kh i k 2 sinh 1 2 2 − = σ υ σ ω (4.16)
Na realidade, as condições mais prováveis são as de fronteira do fundo turbulenta. Neste caso, deve ser usada uma forma alternativa da dissipação de energia. Utilizando o factor de atrito de Darcy-Weisbach, f, o termo de dissipação passa a ser dado por:
( )
kh kh i A kf sinh 2 sinh 3 1 2 π σ ω= − (4.17)De forma a implementar este termo de amortecimento assume-se f =0.001.
4.1.5 Porosidade do Fundo
A maioria dos fundos a serem modeladores são porosos e por isso, a dissipação de energia no fundo deve ser considerada. Para leitos caracterizados por um dado coeficiente de permeabilidade, Cp, pode-se mostrar que o factor de amortecimento é dado por:
kh i gkCp 2 cosh ) 1 ( − = ω (4.18)
O coeficiente de permeabilidade, Cp , tem unidades de
[ ]
2L e é da ordem de . Liu e Dalrymple mostraram que, para areias muitos permeáveis, o amortecimento é inversamente proporcional a e que se deve usar um termo diferente de
2 11 10 5 . 4 × − m p
C ω. No entanto, é pouco provável a
ocorrência deste caso na natureza.
4.1.6 Rebentação das ondas
A rebentação é implementada recorrendo ao modelo de Dally, Dean e Dalrymple (1985). Este modelo foi baseado em ensaios para uma série de fundos diferentes e prevê bastante bem a altura das ondas na zona de rebentação. Kirby e Dalrymple (1986) mostraram que a dissipação devida à rebentação das ondas pode ser escrita como:
h KCg(1 (γHh)2)
ω = − (4.19)
onde K e γ são constantes empíricas com valores de 0.017 e 0.4 respectivamente. Ao se usar o modelo de dissipação de energia por rebentação e considerando o início de rebentação dado pela condição
(
H>0.78h)
, com H=2A o modelo é capaz de representar ondas dentro e fora da zona de rebentação. O algoritmo de rebentação de ondas está sempre activo no modelo.4.1.7
4.1.8
Método Numérico
Técnica de Crank-Nicolson
O modelo parabólico é resolvido com a técnica das diferenças finitas. Para tal, o domínio de cálculo é discretizado com uma malha em coordenadas (x,y) dividida em rectângulos com lados ∆ x
e . A amplitude será determinada em cada ponto, não em termos de mas sim em
termos de , onde e . Os valores de que satisfazem a equação
(4.7) serão calculados para todos os i de 1 a m e todos os j de 1 a n. Esta técnica envolve o cálculo de derivadas em todos os pontos da malha. Por exemplo, a derivada de
y ∆ A(x,y) (x,y) ) , ( ji x =(i −1)∆x y =(j−1)∆y A( ji, ) x no ponto é definida como: ) , ( ji x A A x A i j i j ∆ − = ∂ ∂ +1, ,, (4.20)
Esta equação pode ser resolvida para todos os com para um dado desde que sejam fornecidas condições fronteira apropriadas. Esta representação explícita não é suficientemente precisa, portanto o modelo usa um esquema implícito de Crank-Nicolson que pode ser escrito como:
j i A+1, j=1,2,3....n i 1 , , 1 , 1 , 1 , 1 1 , 1 + + + − + − + j + i j + i j = i j + i j + i j i bA cA dA eA fA aA (4.21)
onde os termos a , , , d , e f envolvem termos complexos e variáveis. As amplitudes do lado esquerdo da equação são desconhecidos enquanto os termos do lado direito da equação são conhecidos do cálculo anterior ou das condições fronteira em ou em . Esta equação resolve-se imediatamente para todos , e fixo por uma matriz tridiagonal. Devido à não linearidade da equação às diferenças finitas, os termos não lineares são aproximados na primeira passagem pelos . Quando os termos são calculados, usa-se a equação para resolver de novo os usando agora os valores calculados dos termos não lineares. Este método de duas iterações garante que as não linearidades do modelo são tratadas de uma forma mais precisa. A técnica é aplicada para todas as linhas na direcção
b c e 1 = j j =n j i A+1, j = n2 −1
i
j i A, Ai+1,j j i A+1,xx para todos os . Andando na direcção
j xx são feitos os cálculos até que todos os Ai,j sejam conhecidos.
4.1.9 Condições Inicial e de Fronteira
A condição inicial é vital para o modelo parabólico. A linha em i=1 é tomada com uma profundidade constante e a onda incidente é aqui definida. Esta onda é posteriormente propagada pelo modelo ao longo de todo o domínio.
Tal como a solução de qualquer equação diferencial num domínio, as condições de fronteira são muito importantes. No REF/DIF 1 existem dois tipos de condição fronteira: condição de radiação (fronteira aberta), que permite a saída de ondas do domínio de cálculo e simula a entrada de ondas paralelas à da fronteira de entrada; condição de reflexão (fronteira sólida), que simula o efeito de difracção, como se encontra-se um dique.
4.1.10 Outras Características
4.1.10.1 Sub-Malhas
De forma a reduzir a quantidade de dados de entrada e permitir efectuarem-se cálculos sobre uma batimetria mais fina em zonas de interesse, o REF/DIF permite utilizar uma malha, geralmente
de maior dimensão, e uma sub-malha, mais pequena que a grelha de referência. A principal função da sub-malha é a de permitir que o modelo mantenha a precisão numérica. O utilizador especifica o número de subdivisões em ∆y e define o número de subdivisões a efectuar em ∆y. Na direcção
xx o modelo pode determinar automaticamente o espaçamento (se o parâmetro ) e pode ser o utilizador a definir o número de intervalos através do parâmetro
1 = ispace
mr
.4.1.10.2 Linearidade Fraca
O modelo é baseado numa expansão da perturbação de Stokes e está portanto restrito a situações onde as ondas de Stokes são válidas. Uma medida da não-linearidade é dada pelo parâmetro de Ursell, que é dado pela relação:
3 2 h L H U = (4.22)
Quando este parâmetro excede 40, a solução de Stokes deixam de ser válidas. De forma a que o modelo seja válido em águas menos profundas, Hedges (1976) desenvolveu uma relação heurística de dispersão. Esta relação entre a frequência e a profundidade é dada por:
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = h A kh gktanh 1 2 σ (4.23)
Em águas pouco profundas esta equação é equivalente à equação de um solitão enquanto que em águas profundas aproxima-se assintoticamente a uma onda linear, desprezando os efeitos de dispersão de amplitude. Por esta razão, o REF/DIF usa uma relação de dispersão que aproxima a relação de Hedges (águas pouco profundas) e a relação de Stokes (águas profundas). Este modelo híbrido é descrito por Kirby e Dalrymple (1986). Como resultado, existem três opções possíveis para a escolha da relação de dispersão a considerar no REF/DIF:
1. modelo linear;
2. modelo Stokes-Hedges; 3. modelo de Stokes.
4.1.11 Estrutura do Modelo
O REF/DIF está organizado num programa principal e em catorze sub-rotinas. O modelo está estruturado em dois níveis. O nível principal lê os ficheiros de entrada, verifica a sua validade e em seguida inicia o segundo nível. No segundo nível executa-se o método das diferenças finitas sobre a malha de cálculo.
Segue-se uma pequena descrição do programa que inclui:
• refdif1: Programa principal, que chama as rotinas inref e inwave para lerem os ficheiros de entrada e em seguida chama a rotina model para efectuar os cálculos necessários. Esta rotina não realiza qualquer cálculo.
• inref: Lê as dimensões da grelha de referência e o esquema de interpolação da grelha para o número lógico iun, lê também os valores de referência para as profundidades dr, velocidades na direcção xx , ur, e na direcção yy, vr. Valida ainda os dados de entrada e se os dados de
entrada estão em unidades inglesas, converte para unidades MKS usando a rotina dconv. Finalmente, inicializa os ficheiros de saída.
• inwave: Lê as características da onda incidente presente na primeira fila dos pontos de referência da grelha; converte as unidades para MKS no caso de estarem expressas em unidades inglesas e devolve o controlo ao refdif1.
• model: Controla a execução da parte de cálculo do programa. Para cada componente de frequência (no caso do REF/DIF 1 apenas se propaga 1 componente) executa as seguintes operações:
¾ Inicializa o programa, calculando o campo de ondas na primeira linha da grelha; ¾ Para cada bloco da grelha de referência executam-se os seguintes passos:
Chama a rotina grid para fazer a interpolação da grelha especificada nos ficheiros de entrada;
Chama a rotina con para calcular as constantes de interpolação da grelha;
Chama a rotina fdcalc para executar a integração numérica da equação parabólica sobre
a sub-grelha interpolada.
O modelo de execução fica completo e devolve-se o controlo ao refdif1.
• grid: Realiza a interpolação sobre um único bloco da grelha como especificado nos ficheiros de entrada. A profundidade associada à grelha é corrigida para o nível da maré e determina-se a presença de ilhas. No caso de existirem ilhas estas são alteradas segundo a técnica da lâmina de água, que consiste numa aproximação que impõe uma altura de água mínima de forma a que o programa possa modelar a onda.
• con: Calcula as constantes da grelha de referência criados pela rotina grid e devolve o controlo à rotina model.
• fdcalc: Realiza a integração da equação parabólica sobre a grelha definida na rotina grid. Os coeficientes da equação parabólica na forma de diferenças finitas são calculados pelo método Crank-Nicolson. A sequência de cálculos na rotina fdcalc é a seguinte:
¾ Executa-se um passo implícito para determinar a amplitude de A em toda a grelha;
¾ O modelo verifica o início e o final de rebentações;
¾ Se o estado de rebentação se altera, o modelo reavalia o coeficiente de dissipação da onda em rebentação;
¾ Caso se esteja a ter em conta a não-lineariedade ou a alterar o estado da rebentação, calcula-se de novo uma estimativa de com base nos valores obtidos na iteração anterior, esta série de operações é executada sobre cada linha de cada bloco da grelha até se atingir o final da grelha.
A
¾ Finalmente, devolve-se o controlo a model.
• ctrida: Sub-rotina utilitária chamada pela rotina fdcalc para executar o duplo passo para resolver o esquema implícito de equações.
• diss: Chamado pela rotina con para calcular os coeficientes de dissipação friccional baseado nos valores em inref.
• wvnum: Chamado por model, grid e con. Realiza a solução de Newton-Raphson para a dispersão linear onda-corrente para obter os valores do número de onda k.
• rand: Chamado por model. Esta função é um gerador de números aleatórios para gerar as fases de onda no caso de se estar a usar o modelo direccional.
• acalc: Chamado por model, gera a densidade direccional do espectro de energia sobre um ângulo de 90º.
• bnum: Chamado por acalc para calcular o número de Bernoulli. )! ( ! ! k n k n − (4.24)
• fact: Chamado por bnum e calcula o factorial de um número inteiro
• infile: Chamado por inref. Tem a informação necessária para definir a namelist nos dados de entrada. Para a versão standard do programa, o código necessário é incluído no ficheiro infile1.f,
para a versão LRSS está incluído em infile2.f.
Figura 4.1: Esquema do modelo REF/DIF 1.
4.1.12 Dados e Resultados
Os dados a fornecer ao modelo REF/DIF são:
1) as características da agitação na fronteira de entrada: período, direcção e altura de onda; 2) as características da malha de diferenças finitas (comprimento da malha em x e em y e
espaçamento entre os nós da malha);
3) a batimetria do domínio de cálculo; 4) o nível de maré;
5) se se considerar correntes, a corrente em todo o domínio de cálculo; 6) opções de cálculo do programa
Os ficheiros de dados são:
• REFDAT.DAT: contém a batimetria em cada ponto da malha e, caso se considere os efeitos das correntes, o valor das correntes em x e em y, em cada ponto da malha;
• INDAT.DAT: contém a informação geral da malha (número de divisões da malha, distância entre pontos da malha, sub-divisões a considerar), dados de agitação (período, altura de onda, direcção), condições do modelo (linear, composto ou Stokes, com ou sem correntes, com ou sem atrito de fundo, camada limite turbulenta ou laminar), outros dados (sistemas de unidades, condições de contorno, etc);
• PARAM.H: contém a informação relativa à dimensão dos vectores e matrizes a utilizar no programa;
• WAVE.DAT: contém informação da amplitude complexa na fronteira de entrada da malha. Só é lido se o valor de INDAT (lido no ficheiro INDAT.DAT) for igual a 2. É gerado pelo REFDIF como OWAVE.DAT de uma corrida de uma malha adjacente.
O modelo calcula a altura de onda significativa, H, a direcção da onda, θ, a amplitude complexa,
A, e a elevação da superfície, η, em cada ponto da malha de diferenças finitas. Calcula também as tensões de radiação.
Os ficheiros de resultados são:
• OUTDAT: valores da altura de onda e direcção em cada ponto da malha;
• OWAVE.DAT: valor da amplitude complexa na última linha da malha (se IOUTPUT=2); • SURFACE.DAT: valor da superfície livre em cada ponto da malha;
• BOTTOMU: magnitude da velocidade no fundo para cada ponto da malha; • ANGLE.DAT: direcção da onda em cada ponto da malha;
• REFDIF1.LOG: “run log” do REFDIF. Informações gerais, dados, erros, etc. • HEIGHT.DAT: altura de onda em cada ponto da malha;
• SXX.DAT: tensor de radiação Sxx em cada ponto da malha; • SXY.DAT: tensor de radiação Sxy em cada ponto da malha; • SYY.DAT: tensor de radiação Syy em cada ponto da malha;
• DEPTH.DAT: profundidades (corrigidas por soma do nível de maré) em cada ponto da malha.
4.1.13 Limitações e Potencialidades
O modelo REF/DIF é um modelo que efectua a propagação de ondas regulares em zonas de declive suave e na presença de correntes, tendo em conta os efeitos da refracção e difracção (apenas na direcção perpendicular à direcção principal de propagação da onda), empolamento, dissipação de energia (por atrito ou por percolação do fundo e rebentação das ondas) e outros
efeitos não-lineares. É um modelo essencialmente adaptado para a modelação de grandes áreas costeiras.
Como referido anteriormente, o modelo REF/DIF assenta numa série de pressupostos:
• A derivação matemática do modelo assume que a variação do fundo ocorre em distâncias superiores ao comprimento de onda. Para o modelo linear, Booij (1983) concluiu que, para declives 1:3 o modelo de Berkhoff é fiável e que para declives ligeiramente superiores o modelo ainda prevê correctamente a variação da altura de onda e os coeficientes de reflexão;
• O modelo propaga ondas regulares;
• O modelo apenas tem em conta a difracção de ondas na direcção transversal à direcção de propagação de ondas pelo que não deve ser utilizado em zonas abrigadas por obstáculos. Além disso, este modelo, por ser parabólico, não deve ser aplicado a zonas onde os efeitos da reflexão sejam importantes, pois a componente de onda reflectida é desprezada;
• A direcção da onda está confinada no intervalo
[
−70º,70º]
em relação à direcção de propagação da onda incidente devido à aproximação parabólica de ângulo largo de Kirby (1986).4.2 Caso de estudo
Neste capítulo apresenta-se o caso de teste que irá ser aplicado aos modelos REF/DIF e FUNWAVE, i.e, descrevem-se as características do caso de estudo e as condições de cálculo.
A descrição aqui apresentada baseia-se nos trabalhos de Vieira (2004) e Fortes et al. (2005). Na cidade do Rio de Janeiro, localizada na região sudeste do Brasil, Figura 4.2, o clima quente predomina durante todo o ano, levando os seus habitantes à prática de desportos ao ar livre, entre os quais o surf.
Figura 4.2: Praia de Macumba, Rio de Janeiro, Brasil.
A praia da Macumba, na zona oeste da cidade, é uma das mais procuradas para o surf, pois apresenta condições razoáveis no seu lado Este, onde as ondas têm uma rebentação do tipo progressiva. No lado Oeste, a rebentação das ondas não favorece a prática do surf, pois ocorre muito próximo da praia. Em períodos de tempestade, verificam-se problemas de erosão costeira, consequência da agitação marítima incidente, que põem em risco as urbanizações que se situam em frente à praia.
No sentido de solucionar este problema e promover a prática de um desporto com muitos praticantes nessa cidade, foi estudado e projectado um RAS, Aguiar e Valentini (2005) e Aguiar (2006), a ser colocado neste local.
Para as condições locais de batimetria, maré e agitação marítima, esta estrutura, Figura 4.3, deveria promover a concentração de energia num determinado ponto por onde se iniciaria a rebentação (que seria o local onde os surfistas iniciariam o seu percurso). A partir deste ponto, a rebentação seria gradual e paralela às batimétricas do RAS, para cada um dos lados, de modo a ser possível surfar tanto para à esquerda como para à direita. Pretendia-se, também, que a rebentação da onda fosse do tipo mergulhante e com uma extensão de cerca de 150 m para cada lado.
Figura 4.3: Batimetria natural (esquerda) e batimetria artificial com a inclusão do RAS previsto (direita).
Aguiar e Valentini (2005) e Aguiar (2006) projectaram e testaram várias formas geométricas para o recife artificial de modo a optimizar as suas dimensões e localização, e conseguir assim melhorar as condições de surf desta praia. Os parâmetros de dimensionamento do recife artificial foram calculados recorrendo aos resultados do modelo numérico REF/DIF.
A onda de projecto foi escolhida com base no estudo realizado pela Coppetec (2000) para essa região, que teve como fonte de informação os dados disponíveis no Atlas Global Wave Statistics, Hogben et al. (1986) e no Programa Sentinelas do Mar, (Coppetec, 2000). A onda de projecto, corresponde a uma onda frequente com direcção sudeste, período de pico de 9.1 s e altura significativa de 1.5 m. Esta condição de mar, geralmente associada a boas condições climáticas (pouco vento e temperatura quente) no Rio de Janeiro, dificilmente apresenta boas condições de rebentação para a prática do surf e, por esse motivo, foi escolhida como onda de projecto.
Por limitações inerentes aos próprios modelos, substituiu-se as características de agitação incidente correspondente à onda de projecto, por uma onda regular.
4.3 Aplicação do Modelo REF/DIF
Descreve-se neste capítulo a aplicação do modelo REF/DIF ao caso de estudo do recife artificial par ao surf na zona da praia de Macumba.
O domínio de cálculo utilizado pelo modelo foi discretizado por uma malha de pontos, com espaçamentos de 2 m em ambas as direcções, o que corresponde a uma área de
441 501×
880 1000× metros. Foram usadas duas batimetrias ao longo deste estudo, a batimetria natural e outra em que foi implementado um recife artificial. A profundidade máxima do domínio é de 9.25 m. Na fronteira de entrada considerou-se um fundo plano, de modo a garantir que a profundidade era constante. Na Figura 4.4 estão representadas as batimetrias natural e com o recife artificial e na Figura 4.5 o respectivo domínio de cálculo.
Figura 4.4: Isóbatas de fundo da praia de Macumba. A figura da esquerda corresponde à batimetria natural e a figura da direita à batimetria com o recife.
Figura 4.5: Domínio de cálculo.
4.3.1 Condições de Agitação
As condições de agitação utilizadas no decorrer das simulações são as condições que resultam da variação das características da agitação marítima (amplitude, período e direcção das ondas incidentes) e nível de maré que podem influenciar a forma como se dá a rebentação das ondas.
Assim, foram realizadas simulações para:
1. Nível de maré - As variações efectuadas sobre esta variável são relativas ao nível médio de maré, ao qual se atribui o valor 0. Os restantes valores são variações, em valor absoluto, em relação a este nível, em metros. Os valores utilizados foram:
a. 0 m, nível médio de maré;
b. -1.65 m, 1.65 m inferior ao nível médio de maré; c. 0.65 m, 0.65 m superior ao nível médio de maré; d. 1.65 m,1.65 m superior ao nível médio de maré.
2. Amplitude da onda incidente - As amplitudes de onda utilizadas são definidas como o factor de amplitude introduzido numa sinusóide. A altura de onda correspondente é o dobro da amplitude. As amplitudes utilizadas foram:
a. 1 m - o que corresponde a uma altura de onda de 2 m;
b. 1.25 m - o que corresponde a uma altura de onda de 2.5 m; c. 1.5 m - o que corresponde a uma altura de onda de 3 m.
3. Direcção de incidência em relação à orla costeira - As direcções consideradas são sempre relativas à direcção perpendicular à orla costeira. As direcções consideradas foram:
a. 0º - direcção perpendicular à linha de costa;
b. -22.5º - direcção nor-noroeste com um ângulo de 22.5º; c. 22.5º - direcção nor-nordeste com um ângulo de 22.5º. 4. Período das ondas incidentes - Os períodos considerados foram:
a. 7s; b. 9s; c. 12s.
4.3.2 Condições de Cálculo
As condições de cálculo utilizadas no modelo REF/DIF, e que correspondem aos dados de entrada do programa, são as descritas na Tabela 4.1, onde se apresenta o significado de cada parâmetro e o respectivo valor que se adoptou.
Parâmetro Valor Descrição
MR 500
NR 440
Número de pontos da malha segundo o eixo dos y e x respectivamente.
IU 1 Parâmetro que indica ao programa que se pretende usar o sistema de unidades MKS (metro, quilograma, segundo).
NTYPE 1 Define a forma das ondas. Para o valor utilizado nas simulações temos um modelo linear.
ICUR 0
Parâmetro que define a existência ou não de correntes como dados de entrada. No caso das simulações presentes neste trabalho não foram incluídas correntes.
IBC 1 Parâmetro que define a forma como são tratadas as fronteiras do problema. Para este valor as fronteiras são consideradas abertas.
DXR 2.0
DYR 2.0
Espaçamento real entre os pontos da grelha para as direcções x e y respectivamente.
DT 30 Tolerância do valor de profundidade.
ISPACE 0 Para este valor o programa define sozinho as subdivisões no eixo dos x.
ND 1 Número de subdivisões no eixo dos y.
IFF 0 0 0 Para os valores associados a este parâmetro o programa não executa cálculos para a dissipação de energia.
ISP 0 Parâmetro que indica ao programa que não existem subdivisões de grelha introduzidas pelo utilizador.
IINPUT 1
Valor que indica ao programa que o factor de amplitude de onda, A, na