Tarefa 3

A terceira tarefa tem uma estrutura um pouco diferente das outras. Considera a família de funções quadráticas 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0 e tem como objetivo determinar as coordenadas do vértice. Numa} primeira fase induz a uma conjetura, para a ordenada do vértice, que não é verdadeira.

No início da terceira tarefa, Clara foi célere na resolução da primeira questão, mostrando um maior domínio na utilização da calculadora gráfica. A aluna fez a sua conjetura relativa à relação existente entre os coeficientes a, b e c e as coordenadas do vértice da parábola. A conjetura feita pela aluna, para a abcissa do vértice, que se pode ler na Figura 4.5, não era a prevista. Clara faz uma conjetura, que funciona para os exemplos que observa e analisa na calculadora, mas muito mais complexa do que a esperada. Embora, usando linguagem natural, a aluna faz a seguinte conjetura: a abcissa do vértice da parábola é dada por √|𝑏

𝑎|. Esta conjetura, em vez de − 𝑏

2𝑎, deixa transparecer que a aluna não reflete muito sobre o que escreve. Ao fazê-la, Clara não põe a hipótese de o vértice poder ter abcissa negativa. É, contudo, de notar, que tem o cuidado de garantir que o radicando de uma raiz quadrada não pode ser negativo, garantindo-o com a utilização do módulo.

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Figura 4.5 – Conjetura elaborada por Clara na tarefa 3

Na segunda questão, ao verificar que a sua conjetura falha para as duas coordenadas do vértice, Clara mostra-se preocupada. Volta a verificar se não cometeu nenhum erro na introdução da expressão analítica e verifica, também, o que fez na primeira pergunta recorrendo constantemente aos gráficos que tinha na calculadora. Acaba por expressar em voz alta que cometeu um erro e não o consegue encontrar. A investigadora, pergunta-lhe porque razão acha que cometeu um erro e Clara responde:

C: A minha conjetura não funciona.

I: E tem de funcionar? Todas as conjeturas têm de ser demonstradas, não é?

A forma como trabalha e explora os vários exemplos que lhe são colocados parece mostrar que se apoia no trabalho realizado na calculadora para a criação da conjetura. Já a afirmação feita pela aluna, indica que mantém dúvidas sobre o que é uma conjetura. Aparenta admitir que ao fazer uma conjetura baseada na observação de alguns exemplos ela será sempre verdadeira. Sugere também que não sente necessidade de demonstrar as conjeturas.

A conversa com a investigadora permitiu desconstruir a ideia de conjetura que tinha. De tomar consciência que o facto de fazer uma conjetura, sobre algo que parece ser verdade, não garante a validade. Que uma conjetura carece sempre de demonstração. Assim, Clara avança na resolução decidindo seguir as sugestões feitas no enunciado, isto é, começar por escrever a função real de variável real 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, na forma 𝑎(𝑥 − ℎ)}2_{+ 𝑘 com ℎ = −} 𝑏

2𝑎 e 𝑘 = 𝑐 − 𝑏2

4𝑎 e, em seguida, utilizar transformações do gráfico para demonstrar que o vértice da parábola tem coordenadas 𝑉(ℎ, 𝑘). A aluna mostra alguma dificuldade em escrever a função 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, na forma 𝑎(𝑥 − ℎ)}2_{+ 𝑘, 𝑎 ≠ 0.} Conseguindo fazê-lo após várias tentativas. A investigadora repara que Clara lê de novo a segunda sugestão e que começa a representar graficamente várias funções na calculadora. Esta atitude parece sugerir que a aluna procura, através de exemplos, perceber como deve estruturar a sua demonstração. Opta por fazer o esboço de alguns dos exemplos que observou na calculadora e utiliza linguagem corrente para complementar os seus esboços. Começa por representar graficamente a função 𝑥2, seguindo-se o da função −𝑥2. Observando que o coeficiente a não tem influência nas coordenadas do vértice opta por considerar 𝑎 = 1 em todos os seus exemplos. Desta forma, faz o esboço da representação gráfica das funções (𝑥 − 2)2, (𝑥 − 4)2, (𝑥 − 6)2, (𝑥 − 1)2 e (𝑥 + 1)2, tentando

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escrever, usando linguagem natural, a translação do gráfico cartesiano da função 𝑥2_{. Pela escrita} depreende-se que, embora ocorra confusão como o sinal de h, a aluna conclui corretamente que o gráfico cartesiano da função 𝑥2 sofre uma translação horizontal associada ao vetor (h, 0). Embora a aluna não tenha efetuado mais nenhum esboço de representações gráficas de funções, foi possível observar, durante a realização da tarefa, que explorou o que acontecia à representação gráficas das funções (𝑥 − 1)2 _{e (𝑥 + 1)}2 _{quando adicionava uma constante k. Neste caso, limita-se a escrever a sua} conclusão, isto é, considerando uma função real de variável real f, definida por (𝑥 − ℎ)2, ao adicionar- lhe uma constante real k o gráfico cartesiano da função f sofre uma translação vertical associada ao vetor (0, k). Contudo, a aluna não escreve as coordenadas do vértice, V, para uma qualquer função quadrática escrita na forma 𝑎(𝑥 − ℎ)2+ 𝑘, 𝑎 ≠ 0 (𝑉(ℎ, 𝑘)), deixando em suspenso o que pretende concluir. A demonstração realizada por Clara pode ser observada na Figura 4.6.

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No entanto, a aluna segue uma linha de raciocínio correto, apoiando-se claramente em exemplos particulares, mas conseguindo generalizar de forma intuitiva e bem justificada para valores quaisquer valores reais h e k, cometendo apenas um erro de linguagem no que se refere ao sinal de h.

Após a entrega da tarefa Clara mostrava-se confiante da sua prestação, indicando que tinha gostado muito da tarefa. Das suas respostas parece transparecer, novamente, que associa conjetura a uma afirmação verdadeira.

I: O que achaste da tarefa?

C: Esta tarefa foi a mais fixe. Foi a que eu mais gostei. É a mais gira. É bué entusiasmante. I: O que para ti foi mais fácil? E o que foi mais difícil?

C: A parte em tive mais dificuldade foi na de completar o quadrado e a demonstração, claro. O resto foi fácil. Fiquei bué aflita quando vi que a conjetura falhava, mas depois de falar com stora passou.

I: Achas que a utilização da calculadora te ajudou na criação da conjetura? E no processo de demonstração?

C: Sim, sim, principalmente na demonstração. Fiz vários testezinhos com a calculadora antes de avançar. Ajudou mesmo a pensar como devia seguir o raciocínio.

Por sua vez as afirmações feitas pela aluna relativamente à utilização da calculadora sugerem que esta influenciou o raciocínio que desenvolveu para efetuar a sua demonstração e o modo como a conduziu.