Taxa de Aprendizagem (Parâmetro α)

A taxa de aprendizagem está relacionada diretamente com a velocidade com que os pesos e o limiar do filtro adaptável convergem para valores estáveis. A escolha do valor ideal deste parâmetro depende de diversos fatores, entre os quais podemos citar (Haykin, 1991): • erro residual; • estabilidade; • sensibilidade a transientes; • número de taps; • tempo de convergência; • capacidade de readaptação.

Estes fatores precisam ser cuidadosamente levados em conta na hora da escolha da taxa de aprendizagem de um filtro adaptável, para que este possa convergir rapidamente. Estes fatores são detalhados e exemplificados a seguir.

Erro residual: após a fase de convergência, os pesos e o limiar de um filtro adaptável continuam variando estocasticamente nas imediações do “ponto ótimo” (ponto para o qual os valores dos pesos e limiar convergem assintoticamente). Isto gera um pequeno erro residual, que pode ser visto no perfil temporal da FIGURA 4.3, que exibe o comportamento de uma rede ADALINE com apenas um único peso (W0) e o limiar (B). Na Figura 4.3 pode ser visto que, embora os valores de W0 e B tenham convergido para os valores “ótimos”, eles continuam oscilando em torno dos mesmos. Assim, via de regra, quanto maior o valor de α maior este erro residual indesejável (Haykin, 1991). Em geral, quanto menor for o valor de α, menor será o erro residual.

FIGURA 4.3 – Variação estocástica do peso e do limiar em torno do “ponto ótimo”. Estabilidade: o filtro adaptável em geral é estável e converge para a solução ótima do problema. Porém, esta estabilidade depende fundamentalmente do parâmetro α. Valores

de α muito grandes podem tornar o filtro instável e causar divergência, fazendo os

valores dos pesos, do limiar e a saída do filtro tenderem ao infinito, conforme pode ser observado na Figura 4.4:

FIGURA 4.4 – Parâmetro α muito grande, gerando instabilidade e divergência no peso e no limiar.

Para uma escolha segura do parâmetro α existem cálculos matemáticos baseados principalmente no estudo dos sinais de entrada do filtro adaptável (Haykin, 1991; Butterweck, 1997). Na prática, porém, este estudo nem sempre é possível, pois dificilmente se conhecem os sinais de entrada a priori. Assim, normalmente a escolha de um valor seguro para α é realizada empiricamente, testando diferentes valores até encontrar aqueles que não causem divergência no filtro e, em seguida, escolhe-se um valor um pouco menor, como margem de segurança (Hagan, Demuth e Beale, 1996). A estabilidade, em geral, melhora quando a taxa de aprendizagem, α, torna-se menor. Sensibilidade a Transientes: diretamente relacionada com a estabilidade do filtro adaptável, a sensibilidade a transientes diz respeito à capacidade do filtro adaptável em suportar transientes nos sinais de entrada. Existem certas situações onde um filtro adaptável pode parecer estável com sinais de entrada bem comportados, mas acabar divergindo na presença de um transiente forte, tal como ilustram os perfis temporais da Figura 4.5. Deste modo, um valor de α menor faz com que o filtro fique menos sensível a estes transientes.

FIGURA 4.5 – Transiente no sinal de entrada (esquerda) causando instabilidade nos pesos do filtro adaptável (direita).

Número de taps: deve ser levado em consideração na escolha do parâmetro α pois, em geral, quanto maior o número de taps, menor deve ser o α correspondente (caso contrário pode ocorrer instabilidade no filtro adaptável).

Tempo de Convergência: embora teoricamente um filtro adaptável estável sempre tenda a convergir para a solução ótima, o tempo de convergência pode acabar se tornando excessivamente grande. Em alguns casos, mesmo após o processamento de 90% do vetor de entrada, os pesos e o limiar não convergem completamente. Este tempo de convergência depende fundamentalmente de α, de forma que quanto maior o valor de α, menor o tempo gasto na convergência do filtro adaptável para a solução ótima. Os perfis temporais da Figura 4.6 ilustram esta relação, exibindo três simulações onde a única variação é o valor do parâmetro α. Com α valendo 0.050 o filtro converge rapidamente, enquanto que com valores menores o tempo de convergência aumenta gradativamente.

FIGURA 4.6 – Relação entre o valor do parâmetro α e o tempo de convergência. Convém lembrar que, via de regra, os dados de saída gerados pelo filtro na fase de adaptação são descartados. Assim, com vetores de entrada (sinais) de tamanho reduzido (mil amostras ou menos), a quantidade de dados descartados pode tornar-se excessiva, em alguns casos, fazendo com que a filtragem adaptável seja inviável.

Capacidade de Readaptação: num ambiente real provavelmente os sinais de interferência não são estáveis e podem variar durante o tempo. Uma das qualidades do filtro adaptável é justamente conseguir modificar-se para enfrentar estas situações (capacidade conhecida como “tracking”, Haykin, 2003), já que cada mudança no comportamento dos sinais de interferência leva a uma nova readaptação nos pesos do filtro. O tempo necessário para esta readaptação nos valores dos pesos do filtro depende

diretamente de α, sendo tanto menor quanto maior for o valor de α. A Figura 4.7 exibe um perfil temporal com o desenvolvimento dos pesos e limiar de um filtro adaptável durante um teste, e exemplifica um caso onde os mesmos passam por uma readaptação (aproximadamente na varredura 675), devido a mudança na natureza da interferência. Após um pequeno transiente os novos valores dos pesos e limiar estabilizam-se por volta da varredura 685.

FIGURA 4.7 – Readaptação dos pesos e limiar em um filtro adaptável.

A Tabela 4.1 resume os fatores discutidos acima, que devem ser levados em conta na determinação de um valor ideal do parâmetro α.

TABELA 4.1 – Fatores importantes na escolha da taxa de aprendizagem ideal.

α menor α maior

• erro residual pequeno; • maior estabilidade;

• menor sensibilidade a transientes; • maior número de taps possíveis;

• erro residual grande; • menor estabilidade;

• maior sensibilidade a transientes; • menor número de taps possíveis; • convergência lenta;