CAPÍTULO II O caso Jonathan
TAXA DE VARIAÇÃO POR MEIO DA NOÇÃO DE INFINITÉSIMOS NA DIREÇÃO DA INTERPRETAÇÃO GLOBAL
De acordo com a teoria de Raymond Duval (2004), a aprendizagem matemática está relacionada à diversidade dos registros de representação semiótica de um objeto matemático e, além disso, à coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica. Especificamente em relação ao ensino e à aprendizagem de gráficos, este autor ressalva que somente a abordagem de interpretação global de propriedades figurais possibilita a compreensão integral da curva e do que ela representa (Duval, 2011a). Na perspectiva desta abordagem, a compreensão de um gráfico perpassa a
2 O caminho alternativo para esboçar curvas é apresentado e amplamente discutido na tese
87 realização de uma análise das propriedades peculiares de partes constituintes da curva (Moretti et al., 2008), mais especificamente, a identificação, em uma função, de variáveis visuais, pertinentes ao registro de representação gráfico e unidades simbólicas significativas, pertinentes ao registro de representação algébrico (simbólico), e, além disso, à coordenação destas.
Duval (2011a) apresenta esta abordagem para o caso específico da função polinomial real do primeiro grau (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏) ressaltando a importância da análise qualitativa no sentido de perceber no coeficiente angular 𝑎, por exemplo, o sentido da inclinação da reta. A partir deste estudo de Duval (2011a), esta abordagem vem inspirando pesquisadores na busca por recursos e/ou elementos que permitam esta associação entre variáveis visuais e unidades significativas algébricas de outras funções.
O caminho alternativo aqui apresentado culmina no esboço de curvas de funções reais polinomiais do segundo e terceiro graus por meio do emprego de uma ideia que se aproxima da de Moretti, Ferraz e Ferreira (2008), no sentido de utilizar elementos do Cálculo como orientadores de conversão, mas que possam ser calculados e compreendidos no âmbito do ensino médio, sem o rigor e formalização de limites e derivadas. Esses elementos/recursos orientadores são as taxas de variação da função que carregam informações valiosas para o esboço e a compreensão da curva de uma função.
As taxas de variação, ainda que vastamente utilizadas no ensino médio, são somente trabalhadas com profundidade no ensino superior, mais especificamente em disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, e com rigor e formalização inapropriados para o trabalho no ensino médio. Por isso, a fim de proporcionar a interpretação global a partir de unidades visuais
significativas e possibilitar ao estudante deste nível de ensino a compreensão de variabilidade necessária não só para esboço de curvas, mas para a compreensão de fenômenos e análises de situações, utilizamos o potencial didático da noção de infinitésimos no cálculo das taxas de variação, não no sentido de seu rigor e formalização, mas no de possibilitar o entendimento de variação, fundamental no esboço de curvas e sem recorrer à formalização das noções de limite e derivada.
Assim, para encontrar a taxa de variação instantânea de primeira ordem3 - 𝑇𝑉𝐼1(𝑥) de uma função, encontra-se primeiramente a taxa média de
variação da função em um intervalo genérico ∆𝑥: 𝑇𝑀𝑉 =∆𝑦∆𝑥 =𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)∆𝑥 e considera-se ∆𝑥 um infinitésimo, ou seja, um número muito próximo de zero (infinitamente próximo de zero), de forma que às vezes pode ser desprezado, mas, ao mesmo tempo, diferente de zero, de forma que podemos dividir por ele mesmo quando isso for conveniente. Desta forma, a noção de infinitésimo é utilizada intuitivamente e se mostra um recurso interessante e frutífero neste contexto devido ao fato de ela proporcionar uma compreensão intuitiva sobre a variabilidade de funções, favorável ao entendimento de fenômenos no ensino médio.
3 𝑇𝑉𝐼(𝑥) ou 𝑇𝑉𝐼
1(𝑥) é a taxa de variação instantânea de primeira ordem de uma função,
enquanto que a ideia de variação da taxa de variação instantânea, ou taxa de variação instantânea de segunda ordem da função é representada por 𝑇𝑉𝐼2(𝑥).
89 CAMINHO ALTERNATIVO PARA ESBOÇO DE CURVAS NO ENSINO MÉDIO
Estudar elementos do cálculo no ensino médio, mais precisamente a variabilidade de funções, além de desafiador, pode proporcionar uma compreensão efetiva do conceito de função, conforme Ávila (1991), Duclos (1992), Rezende (2003, 2007) e Silva, Andrade e Azevedo (2013) sinalizam. O esboço de curvas a partir do caminho alternativo perpassa a variabilidade de uma função, concluída por meio do estudo do sinal da taxa de variação instantânea de primeira (𝑇𝑉𝐼1(𝑥)) ou, se necessário for, de segunda (𝑇𝑉𝐼2(𝑥))
ordem. Deste modo, a identificação de unidades básicas simbólicas se refere à expressão algébrica da 𝑇𝑉𝐼1(𝑥) e as unidades básicas gráficas, aos intervalos
de crescimento e decrescimento, aos pontos máximos e mínimos. Para algumas funções, faz-se necessário o estudo da taxa de variação instantânea de segunda ordem (𝑇𝑉𝐼2(𝑥)), a qual permite concluir sobre concavidade e pontos de inflexão.
Tomando, por exemplo, uma função polinomial real do segundo grau na forma 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, a 𝑇𝑉𝐼1(𝑥) em um valor qualquer de 𝑥 será
𝑇𝑉𝐼1(𝑥) = 2𝑎𝑥 + 𝑏. Utilizando o mesmo processo, encontra-se a 𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 2𝑎, a qual não é necessária para esboçar curvas dessas funções,
mas permite concluir sobre a concavidade da curva. Utilizando as taxas de variação (𝑇𝑉𝐼1(𝑥) e 𝑇𝑉𝐼2(𝑥)) da função quadrática nesta perspectiva, são
analisadas importantes variáveis relativas à função, apresentadas na tabela 1, a seguir.
Tabela 1 - Unidades simbólicas e gráficas de uma função polinomial do segundo
grau
Unidades básicas simbólicas Unidades básicas gráficas
𝑇𝑉𝐼1 Valor de 𝑎 𝑇𝑉𝐼1 Valor de 𝑥 Reta Tangente Concavidade (𝑇𝑉𝐼2) Ponto crítico Esboço curva 2𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎 > 0
< 0 𝑥 < 𝑏 2⁄ 𝑎 Decrescente Para cima (positiva) Mínimo absoluto em 𝑥 = −𝑏 2⁄ 𝑎 = 0 𝑥 = −𝑏 2⁄ 𝑎 Constante > 0 𝑥 > −𝑏 2⁄ 𝑎 Crescente 𝑎 < 0
< 0 𝑥 > −𝑏 2⁄ 𝑎 Crescente Para baixo (negativa) Máximo absoluto em 𝑥 = −𝑏 2⁄ 𝑎 = 0 𝑥 = −𝑏 2⁄ 𝑎 Constante > 0 𝑥 < 𝑏 2⁄ 𝑎 Decrescente Fonte: Pasa (2017, p. 146).
Com relação às conversões expostas na tabela 1, cabe salientar que o relevante na perspectiva do caminho alternativo é a conversão que permite uma compreensão global de propriedades fundamentais relacionadas à variabilidade: crescimento, decrescimento, valor máximo e mínimo, concavidade.
No esboço de funções polinomiais reais de terceiro grau, além da análise da 𝑇𝑉𝐼1(𝑥), algumas funções requerem a análise da variação da
𝑇𝑉𝐼1(𝑥), nomeada de 𝑇𝑉𝐼2(𝑥), a qual possibilita concluir sobre a concavidade
da curva. Portanto, sendo 𝑦 = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑, com 𝑎 ≠ 0, tem-se 𝑇𝑉𝐼1(𝑥) = 3𝑎𝑥2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 e 𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏. O esboço da curva pode
acontecer estudando apenas a 𝑇𝑉𝐼1(𝑥) da função ou, quando este dado é insuficiente, analisando a 𝑇𝑉𝐼2(𝑥).
A tabela 2, a seguir, expõe a relação entre as unidades básicas simbólicas, referentes à 𝑇𝑉𝐼1(𝑥), e as unidades básicas gráficas, referentes à reta tangente, aos pontos críticos e ao esboço da curva.
91
Tabela 2 - Esboço de curvas de funções reais polinomiais do terceiro grau a partir
da análise da TVI1(x)
Unidades básicas simbólicas Unidades básicas gráficas
𝑇𝑉𝐼1 Coef. 𝑎 NR* 𝑇𝑉𝐼1 Valores de 𝑥 RT** Esboço
curva Pontos críticos 3𝑎𝑥 2+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 2 < 0 −𝑏 − √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 < 𝑥 < −𝑏 + √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Decres Máx. e mín. relativos (𝑇𝑉𝐼1(𝑥) = 0). Ponto Inflexão (𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0) = 0 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Const > 0 𝑥 <−𝑏−√𝑏3𝑎2−3𝑎𝑐 e 𝑥 >−𝑏 + √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Cresc 1 = 0 𝑥 =−𝑏 3𝑎 Const Ponto inflexão (𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0) > 0 𝑥 <−𝑏3𝑎 e 𝑥 >−𝑏3𝑎 Cresc 0 > 0 𝑥 ∈ 𝑅
Esboço a partir da análise da 𝑇𝑉𝐼2(𝑥) – Ver tabela 3. Cresc Ponto inflexão (𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0) < 0 2 < 0 𝑥 <−𝑏−√𝑏3𝑎2−3𝑎𝑐 e 𝑥 >−𝑏 + √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Decres Máx. e mín. relativos (𝑇𝑉𝐼1(𝑥) = 0). Ponto inflexão (𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0) = 0 𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Const > 0 −𝑏 − √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 < 𝑥 < −𝑏 + √𝑏2− 3𝑎𝑐 3𝑎 Cresc 1 = 0 𝑥 =−𝑏
3𝑎 Const Ponto inflexão
(𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0) < 0 𝑥 <−𝑏3𝑎 e 𝑥 >−𝑏3𝑎 Decres 0 < 0 𝑥 ∈ 𝑅
Esboço a partir da análise da 𝑇𝑉𝐼2(𝑥) - Ver tabela 3.
Decres Ponto
inflexão (𝑇𝑉𝐼2(𝑥) = 0)
*NR = Número de Raízes
**RT = Reta Tangente - Crescente (Cres), Decrescente (Decres) ou Constante (Const).
A tabela 3 apresenta o esboço da curva de uma função real polinomial de terceiro grau a partir da análise da concavidade - 𝑇𝑉𝐼2(𝑥).
Tabela 3 - Análise da concavidade de curvas de funções reais polinomiais do
terceiro grau
Unidades básicas simbólicas Unidades básicas gráficas
𝑇𝑉𝐼2 Coef. 𝑎 Sinal da
𝑇𝑉𝐼2
Valor de 𝑥 Concavidade Possíveis esboços da curva
6𝑎𝑥
+
2𝑏
𝑎 > 0
< 0 𝑥 < 𝑏 3𝑎⁄ Negativa – para baixo = 0 𝑥 = −𝑏 3𝑎⁄ Local de Inflexão > 0 𝑥 > −𝑏 3𝑎⁄ Positiva – para cima
𝑎 < 0
< 0 𝑥 < 𝑏 3𝑎⁄ Positiva – para cima = 0 𝑥 = −𝑏 3𝑎⁄ Local de Inflexão > 0 𝑥 > −𝑏 3𝑎⁄ Negativa – para baixo
Fonte: Pasa (2017, p. 150).
As tabelas 1, 2 e 3 se constituem em uma referência do caminho alternativo para esboço de curvas de funções polinomiais reais do segundo e terceiro graus, apontando elementos essenciais na perspectiva deste trabalho.
CONSTRUÇÕES DOS ESTUDANTES: REFLEXÕES SOBRE O