1 O Teorema Espectral - O teorema espectral e a propriedade de "self-adjointness" para alguns o

Antes de iniciar a demonstra¸cão do Teorema Espectral, vamos demonstrar um teorema auxiliar que será utilizado com freqüência, posteriormente:

Lema 1.1 (B.L.T. - Bounded Linear Transformation): Sejam X e Y espa¸cos normados não-triviais, sendo Y completo. Se D _{⊆ X é um subes-} pa¸co de X e T : D_{−→ Y é uma transforma¸cão linear limitada com, digamos,} kT xk ≤ C kxk para um certo C > 0 e todo x ∈ D, então existe uma única transforma¸cão linear limitada ˜T : D−→ Y tal que ˜T|D = T e

T x˜ ≤ C kxk, para todo x_{∈ D. Em particular, se D for denso em X, então existe uma única} transforma¸cão linear limitada ˜T : X −→ Y tal que ˜T|D = T e

T x˜ ≤ C kxk, para todo x_{∈ X.}

Demonstra¸cão: Sejam x_{∈ D e {x}n}n∈N uma seqüência de elementos de D tal que xn −→ x (tal seqüência existe, pois x ∈ D e todo ponto de X possui uma base local enumerável de abertos básicos, uma vez que X é um espa¸co métrico). Vamos mostrar que a aplica¸cão dada por ˜T x := limnT xn, está bem definida, e é linear e cont´ınua. Primeiramente, notemos quekT xn− T xmk = kT (xn− xm)k ≤ C kxn− xmk ≤ C(kxn− xk+kxm− xk), para todos n, m ∈ N, o que mostra que{T xn}n∈Né uma seqüência de Cauchy em Y e, da completude de Y , segue a existência do limite limnT xn (além disso, este limite é único, pois Y é Hausdorff). Agora, se_{yn}n∈Né uma seqüência de elementos de D tal que yn −→ x, então kT xn− T ynk = kT (xn− yn)k ≤ C kxn− ynk ≤ C(kxn− xk + kyn− xk) −→ 0, o que mostra que limn(T xn−T yn) = 0 e, portanto, limnT yn = limnT yn+limn(T xn−T yn) = limn(T yn+(T xn−T yn)) = limnT xn. Logo, pelos argumentos anteriores em conjunto, temos que ˜T : D_{−→ Y está bem definida.}

T é linear, pois se z_{∈ D, com {z}n}n∈N sendo uma seqüência de elementos de D tal que zn−→ z, e α ∈ C, então ˜T (αx + z) := limnT (αxn+ zn) = limn(αT xn+ T zn) = α limnT xn+ limnT zn = α ˜T x + ˜T z. Finalmente, ˜T é cont´ınua, pois kT xnk ≤ C kxnk, para todo n ∈ N e, pela continuidade das normas em X e Y , obtemos, tomando limites em ambos os membros da desigualdade, que

T x˜

= klimnT xnk = limnkT xnk ≤ limn(Ckxnk) = C kxk. Portanto, como x é arbitrário, conclu´ımos que ˜T é limitada em D ou, equivalentemente, cont´ınua em D (Obs.: para ver que ˜T_|D= T , tome x∈ D e a seqüência {xn}n∈Ntal que xn = x, para todo n∈ N. Então, ˜T x = limnT xn = limnT x = T x, mostrando o desejado).

Para verificar a unicidade de tal aplica¸cão, suponha a existência de uma aplica¸cão linear cont´ınua G : D_{−→ Y tal que G|}D= T . Se x∈ D e {xn}n∈Né uma seqüência de elementos de D tal que xn−→ x, então da continuidade de G, segue que Gx = G(limnxn) = limnGxn= limnT xn=: ˜T x e, da arbitrariedade de x, segue a demonstra¸cão do resultado.

As linhas gerais da demonstra¸cão do teorema abaixo foram retiradas de [18]. Teorema Espectral: Se H é um espa¸co de Hilbert e A é um operador linear densamente definido em H, então A é auto-adjunto se, e somente se, existem um espa¸co de medida (N, µ) positiva e uma transforma¸cão linear uni- tária U : H −→ L2_{(N, µ) tal que U}

◦ A ◦ U−1 _{: Dom(M}

f) ∋ g 7−→ f · g ∈ L2_{(N, µ), onde f ´e uma fun¸c˜}_{ao a valores reais e Borel-mensur´}_{avel em N (isto} ´e U_{◦ A ◦ U}−1_{= M}

f, para uma certa f real e Borel-mensurável em N ; note que N está provido de uma certa topologia, pois senão não faria sentido falar em fun¸cões Borel-mensuráveis definidas em N ).

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos, primeiramente, que A ´e um operador linear auto-adjunto em_B(H):

“O teorema espectral para operadores lineares auto-adjuntos limitados”

Defina I := [_{− kAk , kAk] e tome p ∈ P (I), p 6= 0. Vamos mostrar que} kp(A)k ≤ sup {|p(x)| : x ∈ I}.17 _{Seja u}

∈ H, u 6= 0. Se o grau de p for n, ent˜ao considere o subespa¸co vetorial W := spanAi_{u : 0}

≤ i ≤ n . Como W é fechado (pois dim W <_∞)18_{, podemos definir a respectiva proje¸cão ortogonal} E : H _{−→ W sobre ele. Note que, como E|}W = (IB(H))|W e E2 = E, tem- se que p(EAE)u = p(A)u. Como W é um subespa¸co fechado de H, sabemos que (EAE)|W é um operador auto-adjunto em W , pela Observa¸cão XVII das Considera¸cões Iniciais (aqui, usamos a completude do espa¸co W para definir o adjunto de um operador em W ). Assim, (EAE)|W possui uma base ortonormal de auto-vetores de W ,19 _{digamos, (e}

i)1≤i≤k, para um certo k =: dim W ≤ n + 1, de forma que u := P

1≤i≤kuiei. Denotemos para cada j ∈ N, 1 ≤ j _{≤ k, por λ}j o auto-valor relativo ao auto-vetor ej. Logo, k(EAE)|Wk = max_{|λi| : 1 ≤ i ≤ k}, pois se 0 6= v :=P1≤i≤kviei, ent˜ao

k((EAE)|W)vk2 kvk2 = P 1≤i≤kλiviei 2 P 1≤i≤kviei 2 = P 1≤i≤k|λivi|2 P 1≤i≤k|vi|2 ≤ max|λi|2: 1≤ i ≤ k (P_1≤i≤k|vi|2) P 1≤i≤k|vi|2 = (max_{|λi| : 1 ≤ i ≤ k})2; al´em disso, k((EAE)|W)eik keik =|λi|, 17_{Se I ∋ t 7−→ p(t) :=}Pn

i=0aixi for uma fun¸c˜ao polinomial com coeficientes complexos,

definimos p(A) :=Pni=0aiAi

18_{dim W denota a dimens˜}_{ao alg´}_{ebrica de W}

19_{Este resultado que acabamos de usar ´}_{e conhecido como o teorema espectral para opera-}

para todo 1_{≤ j ≤ k. Portanto, |λ}j| ≤ k(EAE)|Wk ≤ kEAEk ≤ kEkkAkkEk = kAk (a norma de uma proje¸cão ortogonal é 1), para todo 1 ≤ j ≤ k, o que implica λj ∈ I, para todo 1 ≤ j ≤ k, pois os auto-valores de (EAE)|W são reais, uma vez que (EAE)|W é auto-adjunto. Conclu´ımos, então, que

kp(A)uk = kp(EAE)uk = X 1≤i≤k ui(p(EAE)ei) = X 1≤i≤k ui(p(λi)ei) = X 1≤i≤k (p(λi)uiei) = s X 1≤i≤k |p(λi)|2|ui|2 ≤ max {|p(λi)| : 1 ≤ i ≤ k} kuk ≤ sup {|p(x)| : x ∈ I} kuk

e, da arbitrariedade de u, resultakp(A)k ≤ sup {|p(x)| : x ∈ I}, como quer´ıamos. Aliás, como p também é arbitrário, temos que _{kp(A)k ≤ sup {|p(x)| : x ∈ I},} para todo p_{∈ P (I) (repare que, para p = 0, o resultado é trivial).}

Temos, então, que a aplica¸cão P (I)_{∋ p}_{7−→ p(A) ∈ B(H) é cont´ınua. Mas,}ϕ como ϕ também é linear, P (I) é denso em C(I) (pelo Teorema da Aproxima¸cão de Weierstrass20_{) e}

B(H) é um espa¸co de Banach, sabemos que existe uma única aplica¸cão linear cont´ınua ΦC : C(I)−→ B(H) tal que ΦC|P (I)= ϕ, pelo Lema 1.1 (come¸caremos, eventualmente, a usar a nota¸cão f (A) para designar o objeto ΦC(f ), qualquer que seja f ∈ C(I)). Além disso, ΦCé um∗-homomorfismo unital entre_{∗-álgebras (tais defini¸cões estão explicitadas no texto sobre C}∗_-álgebras logo após as Considera¸cões Iniciais):

I) se α ∈ C e f, g ∈ C(I), então ΦC(αf + g) = αΦC(f ) + ΦC(g), pois já vimos que ΦC é linear;

II) sejam f, g _{∈ C(I), sendo (p}n)n∈N e (qn)n∈N seqüências de fun¸cões polinomiais uniformemente limitadas tais que pn −→ f e qn −→ g em C(I) (tais seqüências podem sempre ser tomadas de modo que sup_{|pn| : n ∈ N} ≤ kfk∞ e sup_{|qn| : n ∈ N} ≤ kgk∞). Então, ΦC(f · g) := limnϕ(pn· qn) = limn(pn· qn)(A) = limn[pn(A)◦ qn(A)] = [limnpn(A)]◦ [limnqn(A)] = [limnϕ(pn)]◦ [limnϕ(qn)] = ΦC(f )◦ ΦC(g); a antepenúltima igualdade vem de

kpn(A)◦ qn(A)− f(A) ◦ g(A)k ≤ kpn(A)◦ qn(A)− pn(A)◦ g(A)k + kpn(A)◦ g(A) − f(A) ◦ g(A)k ≤ kpn(A)k kqn(A)− g(A)k +

kpn(A)− f(A)k kqn(A)k ,

para todo n_{∈ N (note a independência do resultado relativamente à escolha das} seqüências);

20_{Se f ∈ C(I), onde I ´}_{e um intervalo compacto da reta real, ent˜}_{ao para todo ǫ > 0 dado}

III) sejam 1C(I) a fun¸cão identicamente igual a 1 em I (veja as conven¸cões de nota¸cão na Observa¸cão III das Considera¸cões Iniciais) e IB(H)a fun¸cão identidade deB(H). Então, ΦC(1C(I)) := 1C(I)(A) = IB(H);

IV) seja f ∈ C(I) e (pn)n∈N uma seqüência de fun¸cões polinomiais tal que pn −→ f em C(I). Então, como pn −→ f e ∗ : B(H) −→ B(H) é um operador linear cont´ınuo (de fato, a involu¸cão é uma isometria emB(H)), temos que ΦCf := limnpn(A) = limn(pn(A))∗= (limnpn(A))∗= [f (A)]∗= (ΦCf )∗.

(Observamos que todos os resultados mostrados até então, e que serão mostrados mais adiante, continuariam válidos se trocássemos I por qualquer subconjunto compacto de R contendo o espectro de A).

Antes de prosseguir, evidenciamos o seguinte teorema (cuja demonstra¸cão se encontra em [21]), que será de vital importância para o progresso da demonstra¸cão:

Teorema da Representa¸cão de Riesz: Seja X um espa¸co localmente compacto Hausdorff, e denotemos por Cc(X) como sendo o conjunto das fun¸cões cont´ınuas a valores complexos definidas em X que possuem suporte compacto (isto é fun¸cões cont´ınuas em X a valores complexos f tais que o fecho de {x ∈ X : f(x) 6= 0} é um subconjunto compacto de X). Se λ : Cc(X)−→ C é um funcional linear positivo,21_ent˜_{ao existe uma ´}_{unica medida positiva µ definida} numa σ-álgebra Ω que contém a σ-álgebra de Borel tal que λf =R

Xf dµ, para todo f_{∈ C}c(X). Al´em disso, tal medida satisfaz as seguintes propriedades:

1. todo K_{⊆ X compacto é Ω-mensurável e satisfaz µ(K) < ∞;} 2. para todo E que seja Ω-mensurável,

µ(E) = inf_{{µ(V ) : V ⊇ E ´e aberto em X } ;}

3. para todo U aberto em X, ou U que seja Ω-mensur´avel e tenha medida finita, tem-se que

µ(U ) = sup{µ(K) : K ⊆ U ´e um compacto de X } ;

4. se E é Ω-mensurável e µ(E) = 0, então todo subconjunto de E é Ω- mensurável. (em outras palavras, µ é uma medida completa)

Seja u_{∈ H, e defina o funcional λ}u: C(I)−→ C por λu(f ) =< f (A)u, u >. Então, λu é claramente linear, pelo fato de a aplica¸cão ΦC ser linear e da bi- linearidade do produto interno. Além disso, λu é um funcional linear positivo, pois se f ∈ C(I), f ≥ 0 ∈ C(I), então existe g ∈ C(I) tal que g = g e f = g2_,

21_{Um funcional linear λ : C}

c(X) −→ C ´e dito ser positivo se λ(f ) ≥ 0 sempre que f ≥ 0.

O Teorema de Riesz possui uma outra vers˜ao, que n˜ao exige a posividade do funcional, mas sim a sua continuidade

e da´ı, λu(f ) = h(g · g)(A)u, ui = h[g(A) ◦ g(A)]u, ui = h[g(A) ◦ g(A)]u, ui = hg(A)(g(A)u), ui = hg(A)u, (g(A))∗_u

i = hg(A)u, g(A)ui = hg(A)u, g(A)ui ≥ 0. Logo, pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, existe uma medida µu em I tal que < f (A)u, u >=R

If (x)dµu(x), para toda f ∈ C(I); Cc(I) = C(I), no nosso caso, pois I ´e compacto.

Apesar de não usarmos isto na demonstra¸cão, note que λu também é cont´ı- nuo: de fato, seja f _{∈ C(I), f 6= 0 ∈ C(I) e (p}n)n∈N uma seqüência de fun¸cões polinomiais tal que pn−→ f em C(I) e pn6= 0 ∈ C(I) para todo n ∈ N. Então, temos que |hpn(A)u, ui| kpnk ≤ kpn(A)uk kuk kpnk ≤ kpn(A)k kuk2 kpnk ≤ kpnk kuk2 kpnk =_kuk2. Portanto, |λu(f )| kfk = |h[limnpn(A)]u, ui| klimnpnk = lim n |hpn(A)u, ui| kpnk ≤ kuk 2 , e como f era arbitrária, conclu´ımos o desejado.

Defina, agora, o subespa¸co vetorial Hu:={Aiu : i∈ N ∪ {0}}. Vamos mostrar, agora, que existe uma única transforma¸cão linear unitária ˜Ωu : Hu −→ L2_{(I, µ}

u) tal que ˜Ωuu = 1Cµu(I)(veja as conven¸cões sobre nota¸cões na Observa- ¸cão IV das Considera¸cões Iniciais) e ˜Ωu◦ A ◦ ˜Ω−1u = Mid_{Cµu (I)}. Para isso, vamos proceder por partes. Primeiro, note que Gu:={f(A)u : f ∈ C(I)} ⊆ Hu e que o conjunto Gu é denso em Hu(segundo a topologia de H), pois

spanAi_{u : i}_{∈ N ∪ {0} ⊆ {f(A)u : f ∈ C(I)} ,} e spanAi_{u : i}_{∈ N ∪ {0}}_{´e denso em H}

u, por defini¸c˜ao. Vamos, agora, definir uma aplica¸c˜ao Ωu: Gu−→ Cµu(I) por f (A)u

Ωu

7−→ f. Mostremos que Ωué uma transforma¸cão linear unitária: Ωuestá bem definida, pois se f, g∈ C(I) (note a diferen¸ca de espa¸cos, aqui: f e g pertencem a C(I), e não a Cµu(I)!) e f (A)u = g(A)u, então (f−g)(A)u = 0 e, portanto, |f −g|2_{(A)u = [(f}_{− g)·(f −g)](A)u =} (f− g)(A)(f − g)(A)u = 0. Logo, 0 = h|f − g|2_{(A)u, u}

i =R

I|f − g| 2_(x)dµ

u(x), e conclu´ımos que f = g em quase todo ponto de I, o que implica que f = g em Cµu(I), e Ωu está bem definida. Que Ωu é linear e sobrejetora é óbvio. Verifiquemos que Ωupreserva produto interno. De fato,

hf(A)u, g(A)ui = hu, [f(A)]∗(g(A)u)_{i = h[f(A)]}∗_{(g(A)u), u}_{i = hf(A)(g(A)u), ui} =h(f · g)(A)u), ui = Z I (f· g)(x)dµu(x) = Z I (f· g)(x)dµu(x) = Z I (f_{· g)(x)dµ}u(x) =hf, gi,

para quaisquer f, g_{∈ C}µu(I). Isto tamb´em mostra a injetividade.

Para terminar a demonstra¸c˜ao da existˆencia de ˜Ωu vamos precisar do:

Lema 1.2: Sejam H1 e H2 espa¸cos de Hilbert não-triviais. Se existem D⊆ H1 um subespa¸co denso de H1, E⊆ H2 um subespa¸co denso de H2 e uma transforma¸cão linear unitária U : D −→ E, então existe uma única aplica¸cão linear unitária ˜U tal que ˜U : H1−→ H2 e ˜U|D= U .

Demonstra¸cão: Já sabemos pelo Lema 1.1 que, se definirmos ˜U por ˜U x := limnU xn, para cada x∈ H1, onde{xn}n∈N é uma seqüência de elementos de D tal que xn −→ x, então ˜U será uma aplica¸cão linear e cont´ınua de H1 em H2 que estende U . Basta, então, mostrar que ˜U preserva o produto interno, é bijetora, e que só existe uma aplica¸cão unitária que satisfaz tal propriedade. Sejam x, y ∈ H1 e{xn}n∈N, {ym}m∈N seqüências de elementos de D tais que xn−→ x e ym−→ x. Então,

< ˜U x, ˜U y >=< lim

n U xn, limm U ym>= limm < limn U xn, U ym>= lim

m(limn < U xn, U ym>) = limm(limn < xn, ym>) = limm < limn xn, ym>= < lim

n xn, limm ym>=< x, y >,

e isso mostra que ˜U preserva o produto interno (em particular, está mostrado que ˜U é injetora). Para mostrar a sobrejetividade de ˜U vamos usar que E é denso em H2e a completude de H1como espa¸co métrico. Seja z∈ H2e{zn}n∈Numa seqüência de elementos de E tal que zn−→ z. Da sobrejetividade de U, sabemos que existe wn ∈ D tal que zn = U wn, para todo n∈ N. Como kwn− wmk = kU(wn− wm)k = kUwn− Uwmk, para quaisquer m, n ∈ N, e {Uwn}n∈Né uma seqüência de Cauchy em H2(pois é convergente em H2), conclu´ımos que existe w∈ H1tal que lim wn := w, pois H1é completo. Então, da continuidade de ˜U em H1 vem que ˜U w = ˜U (limnwn) = limnU w˜ n = limnU wn = limnzn = z. A unicidade segue do Lema 1.1, já que U é unitária e, portanto, cont´ınua em D.

Voltemos `a demonstra¸c˜ao.

Notando que Gu ´e denso em Hu e que Cµu(I) ´e denso em L

2_{(I, µ} u), vemos que de fato existe uma única transforma¸cão linear unitária ˜Ωu : Hu −→ L2_{(I, µ}

u) tal que ˜Ωu|Gu = Ωu, pelo Lema 1.2. Além disso, ˜Ωuu = 1Cµu(I), pela defini¸cão de Ωu e ˜Ωu◦ A ◦ ˜Ω−1u = Mid_{Cµu (I)}: de fato, sejam f ∈ L2(I, µu) e {fn}_n∈N uma seqüência de fun¸cões cont´ınuas tais que fn −→ f em L2(I, µu). Então, ( ˜Ωu◦ A ◦ ˜Ω−1u )(f ) = ˜Ωu(A(lim n ˜ Ω−1u (fn))) = ˜Ωu(A(lim n [fn(A)u])) = ˜ Ωu(lim

lim n

Ωu([idC(I)· fn](A)u) = lim

n (idCµu(I)· fn) = idCµu(I)· f = Mid_{Cµu (I)}(f ),

onde a pen´ultima igualdade (∗) vem de

id_C

µu(I)(fn)− idCµu(I)(f ) 2 = Z x∈I|x(f n(x)− f(x))|2dµuα ≤ kAk Z x∈I|(f n(x)− f(x))|2dµu−→ 0.

Agora usaremos o Lema de Zorn para decompor H como uma soma di- reta de subespa¸cos fechados e dois-a-dois ortogonais. Tomemos uma indexa- ¸cão (bijetora) de H, θ : S _{7−→ H, θ : α 7−→ u}α, e consideremos o conjunto Σ := _{B ∈ ℘(S) : (α, β ∈ B, α 6= β) =⇒ (H}uα⊥ Huβ) (lembre-se da defini¸cão de Hu dada acima), com uma ordem parcial definida pela inclusão “⊆” (veja que Σ é não-vazio). Seja ∆ _{⊆ Σ uma cadeia em Σ. Então,} S ∆ é uma cota superior de ∆ (note queS ∆ ∈ Σ, pois se α, β ∈ S ∆, α 6= β, então existem Bα, Bβ ∈ ∆ tais que α ∈ Bα e β ∈ Bβ; mas, como ∆ é uma cadeia, deve- mos ter Bα ⊆ Bβ ou Bβ ⊆ Bα. Suponhamos, sem perda de generalidade, que Bα⊆ Bβ. Assim, α, β ∈ Bβ, e Huα⊥ Huβ pela defini¸cão de Bβ). Conclu´ımos, então, pelo Lema de Zorn, que Σ possui um elemento maximal, M . Afirmamos que H =⊕α∈MHuα (note que aqui fizemos uma identifica¸cão entre o espa¸co das somas finitas de elementos dos subespa¸cos Huα e o espa¸co⊕α∈MHuα, via uma aplica¸cão unitária canônica - observe a defini¸cão presente no Fato 7, a), das Con- sidera¸cões Iniciais; adotaremos tal identifica¸cão para o resto da demonstra¸cão). Suponhamos, por absurdo, que H _{6= ⊕}α∈MHuα. Então, existe w 6= 0 tal que w_{∈ (⊕}α∈MHuα)

⊥_{. Mas}

⊕α∈MHuαé A-invariante, pois se x∈ ⊕α∈MHuα então existem subconjuntos finitos Fm⊆ M, m ∈ N de modo que xm :=Pα∈Fmvα, com vα ∈ Huα e (xm)m∈N é uma seqüência de elementos de ⊕α∈MHuα que converge para x (note que todo ponto de_⊕α∈MHuα possui uma base local enu- merável de abertos). Então,

Ax = A(lim

m xm) = limm A(xm) = limm A( X α∈Fm vα) = lim m X α∈Fm Avα e, como P

α∈FmAvα ∈ ⊕α∈MHuα, para todo m ∈ N (pois cada Huα é A- invariante), temos que _⊕α∈MHuα é A-invariante. Como A é auto-adjunto em H, (_⊕α∈MHuα)

⊥ _{tamb´em ´e A-invariante. Logo,} _Ai_{w : i}

∈ N ∪ {0} ⊆ (_⊕α∈MHuα) ⊥ _{e, conseq¨}_uentemente, {Ai_{w : i}_{∈ N ∪ {0}} ⊆ (⊕} α∈MHuα) ⊥_{, pois} (_⊕α∈MHuα)

⊥ _{´e fechado. Mas, ent˜ao, conclu´ımos que H}

w⊥ Huα, para todo α_{∈ M e, como w = u}β, para algum β ∈ S − M (uma vez que w /∈ Huα, para todo α∈ M), contradissemos a maximalidade de M. Assim, segue que temos de fato a identifica¸c˜ao H =⊕α∈MHuα.

Definindo Ω :⊕α∈MHuα −→ ⊕α∈ML

2_{(I, µ} uα) por Ω(vα)α∈M := ( ˜Ωuαvα)α∈M,

obtemos uma aplica¸cão linear unitária Ω. Novamente, devido ao Lema 1.2, podemos estender Ω a uma única aplica¸cão linear unitária

Ω :⊕α∈MHuα−→ ⊕α∈ML2(I, µuα), sendo

⊕α∈ML2(I, µuα)

o completamento de espa¸cos de Hilbert de _⊕α∈ML2(I, µuα), e que coincide com o espa¸co ˜l2 constru´ıdo na Observa¸cão XXI das Considera¸cões Iniciais. O produto interno em_⊕α∈ML2(I, µuα) é definido por h(fα)α∈M, (gα)α∈Mi := P

α∈Mhfα, gαi, quaisquer que sejam (fα)α∈M, (gα)α∈M ∈ ⊕α∈ML2(I, µuα). Para terminar a demonstra¸cão desta implica¸cão no caso em que A é um operador linear cont´ınuo, precisamos construir uma transforma¸cão linear unitária de _⊕α∈ML2(I, µuα) num certo espa¸co L

2_{(N, µ), para algum conjunto N e al-} guma medida µ. Definamos N :=S

α∈M{(α, x) : x ∈ I} = M × I (em qualquer contexto futuro que necessite de uma estrutura topológica, M sempre possuirá a topologia discreta), e considere a σ-álgebra em N como sendo o conjunto dos E ⊆ M × I tais que πα(E∩ ({α} × I)) é um subconjunto mensurável de I, para todo α ∈ M, onde πα : {α} × I −→ I é a proje¸cão em I, definida por πα(α, x) = x, para todo (α, x) ∈ {α} × I. Defina, também, a medida nesta σ-álgebra por µ(E) = P

α∈Mµuα(πα(E∩ ({α} × I))). Podemos definir uma aplica¸c˜ao Ψ que transforma cada elemento (fα)α∈M deQα∈ML2(I, µuα) em uma classe de equivalˆencia ˆf de CM ×I segundo a medida µ, definida por

f (α, x) := fα(x), para cada α∈ M, para todo x ∈ I. Note que, devido à própria defini¸cão de µ, tal aplica¸cão está bem definida - logo abaixo vamos mostrar que, em particular, Ψ transforma cada elemento (fα)α∈M de ⊕α∈ML2(I, µuα) em uma fun¸cão ˆf de L2_{(N, µ), considerando-se que temos a descri¸cão expl´ıcita de} ⊕α∈ML2(I, µuα) dada por

⊕α∈ML2(I, µuα) = ( (fα)α∈M ∈ Y α∈M L2(I, µuα) : X α∈M kfαk2<∞ )

(pelo Fato 7, a), com p = 2). Vamos mostrar que Ψ é tal que Im(Ψ)_{⊆ L}2_{(N, µ),} e que esta aplica¸cão preserva produto interno. De fato, vamos mostrar que Ψ preserva normas. Se (fα)α∈M ∈ ⊕α∈ML2(I, µuα), então

k(fα)α∈Mk2:= X α∈M Z I|f α(x)|2dµuα = (∗) X α∈M Z {α}×I| ˆ f (α, x)_|2_{dµ =}(∗∗)Z M ×I| ˆ f (α, x)_|2_{dµ =:} k ˆf_k2_.

1. se α ´e fixado e E_{⊆ {α} × I, ent˜ao}

µ(E) = µuα({x ∈ I : (α, x) ∈ E}) = µuα(πα(E)); se α ´e fixado e F _{⊆ I, ent˜ao}

µuα(F ) = µuα(x ∈ I : (α, x) ∈ π

−1

α (F ) ) = µ({α} × F ). Portanto, como tamb´em_{| ˆ}f (α, x)_|2₌

|fα(x)|2, para cada α∈ M, para todo x∈ I, temosR

{α}×I| ˆf (α, x)|2dµ = R

I|fα(x)|2dµuα, para todo α∈ M, pela defini¸c˜ao de integral. Comokfαk2=R_I|fα(x)|2dµuα

α∈M ´e som´avel em R_{, conclu´ımos pelo Fato 2 das Considera¸c˜}_{oes Iniciais que}

X α∈M Z I|f α(x)|2dµuα = sup{ X α∈F Z {α}×I|f α(x)|2dµuα, F ⊆ M finito}. Finalmente, como ∞ > sup{X α∈F Z I|f α(x)|2dµuα, F ⊆ M finito} = sup{X α∈F Z {α}×I| ˆ f (α, x)|2_{dµ, F} ⊆ M finito}, conclu´ımos pelo Fato 1 que

sup{X α∈F Z {α}×I| ˆ f (α, x)|2_{dµ, F} ⊆ M finito} = X α∈M Z {α}×I| ˆ f (α, x)|2_dµ e que a fam´ılia nR {α}×I| ˆf (α, x)|2dµ o

α∈M ´e som´avel em R. Estes argumentos mostram (∗);

2. pelos Fatos 3 e 4, sabemos que só existe uma quantidade enumerável de elementos desta fam´ılia diferentes de 0. Como todos os seus elementos são positivos e µ é uma medida positiva, podemos aplicar o teorema de rearranjo de Riemann para séries numéricas e o Teorema da Convergência Monótona para concluir que

X α∈M Z {α}×I| ˆ f (α, x)|2_{dµ =}Z M ×I| ˆ f (α, x)|2_dµ. Isto conclui (_∗∗).

Mostrou-se, então, que Im(Ψ)_{⊆ L}2_{(N, µ), e que Ψ preserva produto interno,} pela identidade de polariza¸cão. Usando a defini¸cão de Ψ e o fato se ela ser uma isometria vemos que ela é sobrejetora. Além disso, pelo fato de Ψ ser uma isometria vemos que é, em particular, injetora.

Logo, a aplica¸cão definida por Ψ_{◦ ˜}Ω =: U : H_{−→ L}2_{(N, µ) é unit´}_{aria (pois} é a composi¸cão de duas aplica¸cões unitárias). Vamos mostrar que U satisfaz U◦ A ◦ U−1 _{: Dom(M}

w)∋ g 7−→ w · g ∈ L2(N, µ), onde w é uma fun¸cão real em µ-quase toda parte e Borel-mensurável em N (na verdade, vamos mostrar, ainda, que w = ˆh, onde h := (idC_µuα(I))α∈M, isto é, w age como “cópias” da identidade em cada “n´ıvel” α). Tome L2_{(N, µ)}

∋ Ψ((fα)α∈M) := ˆf . Pelo Fato 7, a), sabemos que existe uma seq¨uˆencia _{ln}n∈N em ⊕α∈ML2(I, µuα) tal que ln −→ (fα)α∈M, de forma que existe para cada n∈ N um conjunto finito Fn ⊆ M tal que ln := Pα∈Fnf

α com fαn 6= 0, se α ∈ Fn e fαn = 0, caso contrário. Além disso, dado n _{∈ N, para cada α ∈ F}n existe uma seqüência {hn,m

α }m∈N em Cµuα(I) tal que h

n,m α −→ fαn. Logo, (A_{◦ U}−1)( ˆf ) = A( ˜Ω−1Ψ−1( ˆf )) = A( ˜Ω−1(fα)α∈M) = A( ˜Ω−1(lim n ln)) = A(lim n ˜ Ω−1ln) = A(lim n ˜ Ω−1(X α∈Fn fαn)) = A(lim_n X α∈Fn ˜ Ω−1(fαn)) = A(lim n X α∈Fn ˜ Ω−1(lim m h n,m α )) = A(lim_n X α∈Fn lim m ˜ Ω−1(hn,mα )) = lim n A( X α∈Fn lim m h n,m α (A)uα) = lim n limm X α∈Fn (A◦ hn,m α (A))uα) = lim n limm X α∈Fn

(idC(I)· hn,mα )(A)uα. Portanto, (U_{◦ A ◦ U}−1)( ˆf ) = Ψ(lim n limm X α∈Fn ˜

Ω((idC(I)· hn,mα )(A)uα)) =

Ψ(lim n limm

X α∈Fn

idC_µuα(I)· hn,mα ) = Ψ(lim_n X α∈Fn

lim

m(idCµuα(I)· h

n,m α )) = Ψ(lim n X α∈Fn

(idC_µuα(I)· fαn)) =(∗) Ψ((idC_µuα(I)· fα)α∈M) = w· ˆf .

A pen´ultima igualdade (_{∗) vem do fato que}

(idCµuα(I)· f

α)α∈Fn− (idC_µuα(I)· fα)α∈M 2 = X α∈M idCµuα(I)· (f n α− fα) 2 ≤ kAk2 X α∈M kfαn− fαk2−→ 0,

onde a desigualdade vem de idCµuα(I)· (f n α− fα) = Z I|id C_µuα(I)|2|fαn− fα|2dµα 1/2 ≤ kAk kfn α− fαk , para cada α_{∈ M, e do fato que}

sup ( X α∈F idCµuα(I)· (f n α− fα) : F ⊆ M é finito ) ≤ sup ( X α∈F kAk kfn α − fαk : F ⊆ M é finito ) = kAk sup ( X α∈F kfαn− fαk : F ⊆ M é finito ) . Agora, os Fatos 1 e 2 se encarregam de dar a conclusão desejada.

Finalizamos, assim, o teorema espectral para operadores lineares limitados auto-adjuntos. Antes de progredirmos para a demonstra¸cão no caso em que A é um operador linear não necessariamente limitado, vamos tentar dar sentido à expressão f (A), com f ∈ B(R) e A sendo um operador linear limitado auto- adjunto, através do homomorfismo ΦB : f 7−→ f(A). Posteriormente, vamos demonstrar o teorema espectral para operadores normais. Para tanto, vamos utilizar a constru¸cão feita para demonstrar o teorema espectral para operadores lineares limitados auto-adjuntos.

“O C´alculo Funcional Boreliano relativamente a operadores lineares auto-adjuntos limitados”

Defina ΦB : B(R) ∋ f 7−→ U−1◦ M_f˜◦ U ∈ B(H), onde ˜f ´e definida por ˜

f (α, x) := f (x), para todo (α, x)_{∈ N, isto é, ˜}f := f_{◦ w, w como antes (note} que ˜f é Borel-mensurável). Se u_{∈ H, denote U(u) := û.}

Definamos

SP :={f ∈ B(R) : f|I ∈ P (I)} e

SC :={f ∈ B(R) : f|I ∈ C(I)} ,

notando que s˜ao subespa¸cos vetoriais de B(R). Como A = U−1_M

wU , temos que p(A) = U−1_M

p◦wU , para todo p ∈ P (I). Para cada p ∈ P (I), associe um elemento pB

∈ SP tal que pB|I = p (note que tal elemento existe, fazendo pB_{(x) = 0 em R}

\I, por exemplo). Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de w, temos que pB ◦w = p_{◦ w, de modo que p(A) = Φ}−1_M

pB_◦wΦ. Associe, tamb´em, para cada f ∈ C(I) um elemento fB

existe, fazendo fB_{(x) = 0 em R}

\I, por exemplo). Tomando uma seqüência {pn}_n∈N de fun¸cões polinomiais em I que aproximam uniformemente f , vemos quepB

n ◦ w

n∈Né uma seqüência de fun¸cões que aproxima uniformemente f B ◦ w, pois sup y∈N|((p B n − fB)◦ w)(y)| = sup x∈I|(pn− f)(x)|, para todo n_{∈ N. Logo,}

kU−1_M pB n◦wU− U −1_M fB_◦wUk = kM_pB n◦w− MfB◦wk ≤ k(pBn − fB)◦ wk∞≤(∗) sup y∈N|((p B n − fB)◦ w)(y)| = sup x∈I|(p n− f)(x)|. Em (∗) foi usado o seguinte fato: se g ∈ L∞_{(N, µ) e M > 0, ent˜}_ao

kgk∞≤ M se, e somente se, g(x) _{≤ M em µ-quase toda parte de N. Como p}n(A) = U−1_M

n◦wU , para todo n∈ N e pn(A)−→ f(A) em B(H), temos que f (A) = U−1_M

fB_◦wU. Tome f _{∈ S}C. Ent˜ao,

f_|I(A) = U−1Mf ◦wU.

Isto mostra que ΦB(f ) s´o depende do comportamento de f sobre I, para toda f ∈ SC.

Temos que ΦB´e uma aplica¸c˜ao satisfazendo as seguintes propriedades: 1. ΦB(f ) = f|I(A) = ΦC(f|I), qualquer que seja f ∈ SC, de modo que

que ΦB é uma espécie de extensão de ΦC (lembre-se da defini¸cão do ∗- homomorfismo ΦC, definido no come¸co da demonstra¸cão do Teorema Es- pectral).

2. ΦB é um ∗-homomorfismo unital entre álgebras com involu¸cão: sejam f, g_{∈ B(R) e z}0∈ C. Então • ΦB(f + z0g) = U−1M_{f +z}˜ ₀_g_˜U = U−1(M_f˜+ z0Mg˜)U = U−1M_f˜U + z0(U−1M˜gU ) = ΦB(f ) + z0ΦB(g), • ΦB(f )ΦB(g) = (U−1Mf˜U )(U−1M˜gU ) = U−1Mf˜M˜gU = U−1_M ˜ f ·˜gU = ΦB(f· g) e • ΦB(1B(R)) = IB(H). Além disso, (ΦB(f ))∗=(∗)U∗M_f∗˜(U−1)∗= U−1M_f∗˜U = U−1M_˜ fU = ΦB(f ),

já que U é unitário (a justificativa para (_{∗) está na Observa¸cão XVIII} das Considera¸cões Iniciais).

3. se_{hn}n∈Né uma seqüência de fun¸cões uniformemente limitada em B(R) que converge pontualmente para h_{∈ B(R), então Φ}B(hn)u converge para ΦB(h)u, para todo u∈ H. De fato, se u ∈ H, então

M˜_h_nU (u)− M˜_hU (u) 2 = Z N|(˜h n− ˜h)2uˆ2|dµ −→ 0,

pelo Teorema da Convergência Dominada (note que a convergência pontual de{hn}n∈Npara h acarreta a convergência pontual den˜hn

n∈Npara ˜

h). Assim, pela continuidade de U , vem o resultado. Podemos melhorar a defini¸c˜ao f (A) := U−1

◦ M_f˜◦ U, para toda f ∈ B(R), ao mostrar que tal defini¸cão não depende do operador unitário U . Suponhamos, então, que Λ1 e Λ2 são aplica¸cões de B(R) em B(H) satisfazendo:

1. Λ1(f ) = Λ2(f ), qualquer que seja f∈ SC; 2. Λ1 e Λ2 s˜ao∗-homomorfismos unitais;

3. se{hn}n∈Né uma seqüência de fun¸cões uniformemente limitada em B(R) que converge pontualmente para h∈ B(R), então Λi(hn)u converge para Λi(h)u, para todo u∈ H, para i = 1, 2.

Mostraremos que Λ1= Λ2.

Sejam

B := {B ⊆ R : B pertence `a σ − ´algebra de Borel} e

J := {B ∈ B : Λ1(χB) = Λ2(χB)} , onde χB denota a fun¸c˜ao caracter´ıstica relativa ao boreliano B.

Vamos mostrar que _{J ⊇ B (E, portanto, vamos mostrar que J ´e igual a} σ-´algebra de Borel).

J ´e uma σ-´algebra:

• R ∈ J , pois Λ1e Λ2 s˜ao unitais;

• se B ∈ J , ent˜ao R\B ∈ J , pois Λ1(χR\B) = Λ1(1B(R)−χB) = Λ1(1B(R))− Λ1(χB) = Λ2(1B(R))− Λ2(χB) = Λ2(1B(R)− χB) = Λ2(χI\B);

• sejam u ∈ H e {En}_n∈N uma seq¨uˆencia em J . Queremos mostrar que (S

n∈NEn)∈ J . Pelo passo anterior, podemos sem perda de generalidade supor que Ei∩ Ej=∅, se i 6= j. Se n ∈ N, ent˜ao

Λ1( i=n X i=1 χEi)u = i=n X i=1 Λ1(χEi)u = i=n X i=1 Λ2(χEi)u =

Λ2( i=n X i=1

χEi)u.

Logo, como Pi=n

i=1χEi converge pontualmente para χSn∈NEn, conclu´ımos que Λ1(χS n∈NEn)u = lim_n Λ1( i=n X i=1 χEi)u = lim n Λ2( i=n X i=1 (χEi))u = Λ2(χS n∈NEn)u. Da arbitrariedade de u, segue o resultado.

J contém todos os intervalos abertos da reta real: se L ⊆ R é um intervalo, pode-se facilmente construir uma seqüência de fun¸cões _{hn}n∈N em SC que converge pontualmente para χL. Logo, se v∈ H, teremos que

lim

n Λ1(hn)v = Λ1(χL)v e

lim

n Λ2(hn)v = Λ2(χL)v. Por outro lado,

Λ1(hn) = hn|I(A) = Λ2(hn),

para todo n ∈ N e, portanto, Λ1(χL)v = Λ2(χL)v. Conclu´ımos, então, que J ⊇ B, pela defini¸cão da σ-álgebra de Borel. Assim, Λ1e Λ2coincidem sobre as fun¸cões caracter´ısticas de borelianos da reta real e, portanto, pela linearidade de tais aplica¸cões, elas coincidem também sobre as fun¸cões simples de borelianos de R_{. Como toda fun¸c˜}_{ao positiva de B(R) é limite pontual de fun¸c˜}_{oes simples de} borelianos de R, conclu´ımos que Λ1 e Λ2 coincidem sobre as fun¸cões positivas de B(R). Novamente devido à linearidade de Λ1 e Λ2, conclu´ımos que estas aplica¸cões coincidem sobre B(R).

Logo, a expressão f (A) está bem definida, qualquer que seja f _{∈ B(R), in-} dependentemente de U . Em particular, χB(A) está bem definida, para todo B _{⊆ R boreliano. Chamaremos o ∗-homomorfismo Φ}B de “Cálculo Funcional Boreliano”.

χB(A) é auto-adjunto, para todo B⊆ R boreliano, uma vez que (χB(A))∗= χB(A) = χB(A). Além disso, χB(A) também é uma proje¸cão, pois χB(A)◦ χB(A) = (χB· χB)(A) = χB(A). Portanto, pela Observa¸cão XVII das Conside- ra¸cões Iniciais, χB(A) é a proje¸cão ortogonal sobre sua imagem (χB(A) é deno- minada a proje¸cão espectral de A relativa ao boreliano B e, como a aplica¸cão B _{7−→ χ}B(A) possui certas propriedades que lembram uma medida, ela é cha- mada de medida espectral). Para ver que a comutatividade de dois operadores

lineares limitados e auto-adjuntos A1e A2implica a comutatividade dos operadores χB 1(A1) e χB 2(A2), quaisquer que sejam B1, B2⊆ R borelianos, precisamos primeiro definir o conjuntoJ′_:=_{{B ⊆ R : A}

1◦ χB(A2) = χB(A2)◦ A1} e mostrar que ele contém o conjunto B, definido acima. Para ver que J′ _{é uma} σ-álgebra, basta argumentar de maneira análoga à feita acima. Para ver que

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