Os espa¸cos de medida neste cap´ıtulo ser˜ao sempre em rela¸c˜ao `a medida de Lebesgue.
Defini¸c˜ao 2.1: Seja A um operador densamente definido num espa¸co de Hilbert H. Ent˜ao, se A ´e fechado e D ⊆ Dom(A) ´e um subespa¸co vetorial de H, ent˜ao dizemos que D ´e um core (ou cerne) de A se A|D= A.
Defini¸c˜ao 2.2: Se A e B s˜ao operadores densamente definidos sim´etricos num espa¸co de Hilbert H, dizemos que B ´e A-limitado se Dom(B)⊇ Dom(A) e existem a, b≥ 0 tais que
kBvk ≤ akAvk + bkvk,
para todo v ∈ Dom(A). O ´ınfimo de tais a ≥ 0 ´e denominada a cota de B relativa a A, e ser´a denotada por NA(B). Uma formula¸c˜ao equivalente desta defini¸c˜ao ser´a utilizada (e devidamente justificada) ao final do cap´ıtulo 3.
Defini¸c˜ao 2.3: Seja A um operador densamente definido e sim´etrico num espa¸co de Hilbert H. Dizemos que A ´e limitado inferiormente se existe um n´u- mero real M tal que hAu, ui ≥ Mkuk2, para todo u ∈ Dom(A). Neste caso, dizemos que A ´e limitado inferiormente por M .
Vamos come¸car este cap´ıtulo com os seguintes lemas:
Lema 2.1: Seja A um operador auto-adjunto num espa¸co de Hilbert H li- mitado inferiormente por M . Se A ´e um operador auto-adjunto unitariamente equivalente a um operador de multiplica¸c˜ao Mf (sendo (N, µ) o espa¸co de medida subjacente constru´ıdo na demonstra¸c˜ao do Teorema Espectral), ent˜ao f≥ M em µ-quase toda parte de N .
Demonstra¸c˜ao: Pela hip´otese, h(U−1M
fU )u, ui ≥ Mkuk2, e isto implica hMf(U u), U ui ≥ Mkuk2, para todo u∈ Dom(A). Como U aplica Dom(A) em Dom(Mf) de maneira sobrejetora, tal afirma¸c˜ao ´e equivalente a
Z N f|φ|2dµ ≥ M Z N|φ| 2dµ,
para toda φ∈ Dom(Mf). Suponha, por absurdo, que exista um conjunto P ⊆ N de medida estritamente positiva tal que f < M em P . Ent˜ao, garantimos a existˆencia de um conjunto de medida finita e estritamente positiva, Q ⊆ P , devido `a natureza do espa¸co de medida em quest˜ao (veja a primeira Observa¸c˜ao Importante referente `a Observa¸c˜ao XIII). Temos, ainda, que
Temos dois casos a considerar:
1. existe n0∈ N tal que ∞ > µ(Q ∩ f−1[0, n]) > 0: a defini¸c˜ao de Q implica que Z N f|χQ∩f−1[0,n 0]| 2dµ =Z Q∩f−1[0,n 0] f dµ < Z Q∩f−1[0,n 0] M dµ = Z N M|χQ∩f−1[0,n0]|2dµ,
o que contradiz a hip´otese do enunciado, pois χQ∩f−1[0,n0] pertence ao dom´ınio de Mf;
2. f < 0 em µ-quase toda parte de Q: neste caso, deve existir um n1 ∈ N satisfazendo ∞ > µ(Q ∩ f−1[
−n1, 0]) > 0. Portanto, max{0, −M} < −f < n1 sobre Q∩ f−1[−n1, 0], e conclu´ımos como no item anterior que
Z N (−f)|χQ∩f−1[−n0,0]|2dµ = Z Q∩f−1[−n0,0] (−f)dµ > Z Q∩f−1[−n 0,0] (−M)dµ = Z N (−M)|χQ∩f−1[−n 0,0]| 2dµ, ou seja, Z N f|χQ∩f−1[−n 0,0]| 2dµ <Z N M|χQ∩f−1[−n 0,0]| 2dµ,
o que novamente ´e uma contradi¸c˜ao.
Isto mostra que devemos ter f ≥ M em µ-quase toda parte de N, como quer´ıamos.
Lema 2.2: Seja A um operador auto-adjunto num espa¸co de Hilbert H. Ent˜ao, A ´e limitado inferiormente por M se, e somente se, σ(A)⊆ [M, +∞).27 Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar primeiro a implica¸c˜ao (⇒). Fixe γ < M. Por hip´otese, sabemos quehAu, ui ≥ Mkuk2, para todo u∈ Dom(A). Somando −γhu, ui em ambos os membros, obtemos h(A − γ)u, ui ≥ (M − γ)kuk2, para todo u∈ Dom(A). Uma aplica¸c˜ao da desigualdade de Cauchy-Schwartz nos d´a
k(A − γ)uk ≥ (M − γ)kuk,
para todo u ∈ Dom(A), e vemos imediatamente que A − γ ´e injetor e que o operador inverso (A− γ)−1 : Im(A
− γ) −→ Dom(A) ´e limitado, com norma menor ou igual a (M− γ)−1. De Ker(A
− γ) = {0} e da validade da identi- dade Ker(T∗) = (Im(T ))⊥, para qualquer operador densamente definido em H,
27A demonstra¸c˜ao da implica¸c˜ao (⇐) foi adaptada de [12]; ao inv´es de usar o procedimento
l´a feito - que utiliza integra¸c˜ao em espa¸cos de Banach -, aqui a demonstra¸c˜ao ´e feita utilizando- se o Teorema Espectral e o C´alculo Funcional Boreliano
temos que a imagem de M− γ ´e densa em H. Para ver que tal imagem ´e fe- chada, basta utilizar novamente a desigualdade que obtivemos e proceder como na demonstra¸c˜ao da implica¸c˜ao (2⇒ 3) da Observa¸c˜ao XIX das Considera¸c˜oes Iniciais. Logo, γ∈ ρ(A), estabelecendo o desejado.
Para mostrar (⇐) vamos supor, sem perda de generalidade, que σ(A) ⊆ [0, +∞). Vamos mostrar que A ´e positivo (i.e., hAu, ui ≥ 0, para todo u ∈ Dom(A)). Pelo Teorema Espectral, A ´e unitariamente equivalente (via uma aplica¸c˜ao unit´aria ˜U : H −→ L2( ˜M , ˜µ)) a um operador de multiplica¸c˜ao M
f agindo em L2( ˜M , ˜µ), para um certo espa¸co de medida positiva ( ˜M , ˜µ) e uma certa fun¸c˜ao f , real em ˜µ-quase toda parte de ˜M . Pelo item 4 da Observa¸c˜ao XIII, das Considera¸c˜oes Iniciais (veja a Observa¸c˜ao Importante presente na de- monstra¸c˜ao, na p´agina 22), temos que σ(A) = σ(Mf) = Imess(f ). Como por hip´otese, Imess(f ) ⊆ [0, +∞), a defini¸c˜ao de Imess(f ) implica que, para cada x∈ (−∞, 0), existe um ǫx > 0 tal que µ(f−1[(x− ǫx, x + ǫx)]) = µ({m ∈ ˜M : |f(m) − x| < ǫx})} = 0. Al´em disso, como (−∞, 0) possui uma base enumer´avel de abertosB sabemos que, para cada x ∈ (−∞, 0), existe um conjunto Bx∈ B satisfazendo Bx⊆ (x − ǫx, x + ǫx). Portanto, como
f−1[(−∞, 0)] ⊆ f−1 [ x∈(−∞,0) Bx , segue da subaditividade de ˜µ e da enumerabilidade deB que
˜ µ({m ∈ ˜M : f (m)∈ (−∞, 0)) = ˜µ(f−1[(−∞, 0)]) ≤ ˜ µ f−1 [ x∈(−∞,0) Bx = 0,
pois a uni˜ao enumer´avel de conjuntos de medida nula possui medida nula. Logo, f ≥ 0 em ˜µ-quase toda parte de ˜M . Esta conclus˜ao implica que, se tomarmos t > 0 e definirmos a fun¸c˜ao
g(x) :=
1/(x + t), se x∈ [0, +∞)
0, se x∈ (−∞, 0)
a composi¸c˜ao g◦ f ´e uma fun¸c˜ao satisfazendo (g◦ f)(m) = f (m) + t1 , para ˜µ-quase todo m de ˜M . Portanto, A + t = ˜U−1M
f +tU e (A + t)˜ −1 = ˜
U−1M
g◦fU , pelo C´˜ alculo Funcional estabelecido no cap´ıtulo anterior (note que g ∈ B(R)). Ainda, pela nota¸c˜ao que convencionamos l´a, (A + t)−1 = g(A). Como g≥ 0, existe uma fun¸c˜ao h ∈ B(R) satisfazendo h2= g, a saber
h(x) :=
1/√x + t, se x∈ [0, +∞)
0, se x∈ (−∞, 0)
Portanto, como o C´alculo Funcional ´e um∗-homomorfismo, h(A + t)−1u, u
i = hg(A)u, ui = hh2(A)u, u
i = hh(A)(h(A)u), ui = hh(A)u, (h(A))∗u
i = hh(A)u, h(A)ui = hh(A)u, h(A)ui ≥ 0,
para todo u∈ Dom(A). Logo, (A + t)−1 ´e um operador positivo. Por hip´otese, −t ∈ ρ(A). Logo, para cada u ∈ Dom(A), existe v ∈ H tal que u = (A + t)−1v, de modo que
h(A + t)u, ui = hv, (A + t)−1vi = h(A + t)−1v, vi ≥ 0,
para todo u∈ Dom(A) (usamos que (A + t)−1´e auto-adjunto, na ´ultima igual- dade). Como t > 0 era arbitr´ario, podemos tomar o limite t → 0 e obter hAu, ui ≥ 0, para todo u ∈ Dom(A), estabelecendo que A ´e positivo.
Isto encerra a demonstra¸c˜ao.
Temos como um corol´ario imediato do Lema 2.2 que, se A ´e um operador auto-adjunto positivo, ent˜ao (A + t)−1 ´e um operador auto-adjunto positivo, para todo t > 0. Conforme veremos no Cap´ıtulo 3, o operador H0(que ´e o ope- rador−∆ definido no seu dom´ınio de “self-adjointness”, Dom(−∆) = H2(Rn)) ´e positivo, pois σ(H0) = Imess(x 7−→ |x|2 := P1≤i≤n|xi|2) = [0, +∞), pela Observa¸c˜ao XIII. Logo, o operador (H0+ t)−1´e positivo, para todo t > 0.
Na Mecˆanica Cl´assica, se o potencial V em Rn´e limitado inferiormente por M (ou seja, V (x)≥ M, para todo x ∈ Rn), ent˜ao a energia mecˆanica de uma part´ıcula dada por, digamos,
E = p 2
2m+ V (x),
n˜ao pode ser menor do que M , pois caso contr´ario concluir´ıamos que p2< 0. A situa¸c˜ao an´aloga na Mecˆanica Quˆantica ´e descrita pelo seguinte:
Corol´ario:28 Sejam A um operador positivo auto-adjunto em L2(Rn) e V uma fun¸c˜ao Lebesgue-mensur´avel. Se MV ´e limitado inferiormente por M ∈ R, A + MV ´e auto-adjunto em Dom(A + MV) e Dom(A) ⊆ Dom(MV), ent˜ao σ(A + MV)⊆ [M, +∞) (veja que este corol´ario tamb´em se aplica para A = H0). Demonstra¸c˜ao: Como MV ´e limitado inferiormente por M e A ´e positivo, temos que A + MV ´e limitado inferiormente por M . Pelo Lema 2.2, conclu´ı- mos que σ(A + MV) ⊆ [M, +∞), uma vez que A + MV ´e auto-adjunto em
Dom(A + MV).
Pr´oximo ao contexto deste ´ultimo corol´ario, est´a o:29
Teorema de Kato-Rellich: Sejam H um espa¸co de Hilbert, A um ope- rador linear auto-adjunto em Dom(A)⊆ H e B um operador linear sim´etrico e fechado30 em Dom(B) ⊆ H que ´e A-limitado (em particular, Dom(A) ⊆ Dom(B)), de forma que a cota de B relativa a A ´e a < 1 (isto ´e, NA(B) := a < 1). Ent˜ao, A + B ´e auto-adjunto em Dom(A) e ´e essencialmente auto-adjunto em todo core de A (note que, como A ´e auto-adjunto, A ´e fechado). Al´em disso, se A ´e limitado inferiormente por M , ent˜ao A + B ´e limitado inferiormente por M− max {b/(1 − a), a|M| + b}.
Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que existe µ > 0 tal que Im(A + B ± µi) = H. Seja u ∈ Dom(A). Como A ´e, em particular, sim´etrico, temos que hAu, vi = hu, Avi, para todo v ∈ Dom(A) e, portanto,
(i) k(A − µi)uk2=kAuk2+iµhAu, ui−iµhu, Aui+µ2
kuk2=kAuk2+µ2 kuk2, para todo µ > 0 (lembremos que Dom(A− µi) := Dom(A) ∩ Dom(−µi) = Dom(A)∩ H = Dom(A) - veja a Observa¸c˜ao VI das Considera¸c˜oes Iniciais). Como A ´e auto-adjunto, pelo Teorema II das observa¸c˜oes iniciais garantimos a existˆencia de um operador linear (A− µi)−1 : H
−→ Dom(A) tal que (A − µi)−1(A
− µi) = IB(Dom(A)) e (A− µi)(A − µi)−1 = IB(H), para todo µ > 0. Logo, da equa¸c˜ao (i), conclu´ımos que, para todo v∈ Dom((A − µi)−1) = H,
µ−1kvk ≥ (A− µi)−1v e kvk ≥ A((A− µi)−1v) , para todo µ > 0, e obtemos as rela¸c˜oes
(A− µi)−1 ≤ µ−1 e A(A− µi)−1 ≤ 1.
Pela hip´otese do enunciado, existe b≥ 0 tal que a equa¸c˜ao (ii) kBvk ≤ a kAvk + b kvk
´e v´alida para todo v∈ Dom(A). Logo, conclu´ımos que, para todo v ∈ Dom((A− µi)−1) = H, temos B(A− µi)−1v ≤ a A(A− µi)−1v + b (A− µi)−1v
29Os trˆes ´ultimos teoremas deste cap´ıtulo s˜ao vers˜oes detalhadas da exposi¸c˜ao feita em [20] 30Em [20] n˜ao ´e colocada a hip´otese de B ser fechado
(note que Dom(A(A− µi)−1)
⊆ Dom(B(A − µi)−1), pois H = Dom(A(A − µi)−1) = Dom(B(A
− µi)−1), de modo que a evalua¸c˜ao B((A
− µi)−1v) est´a bem definida), e desta ´ultima equa¸c˜ao decorre que
B(A− µi)−1 ≤ a A(A− µi)−1 + b (A− µi)−1 ≤ a + b(µ−1), para todo µ > 0. Escolha um µ > 0 suficientemente grande para que tenhamos
B(A− µi)−1
< 1. Ent˜ao, como B(H) ´e uma C∗-´algebra unital, garantimos que IB(H)+ B(A− µi)−1 ´e invers´ıvel em B(H), isto ´e, −1 /∈ σ(B(A − µi)−1) - veja o primeiro coment´ario feito a respeito de C∗-´algebras na introdu¸c˜ao (no entanto, enfatizamos que somente a sobrejetividade de IB(H)+ B(A− µi)−1 ser´a usada na demonstra¸c˜ao). Devido ao Teorema II da observa¸c˜ao XIX das Considera¸c˜oes Iniciais, temos que o operador A− µi ´e sobrejetor. Portanto, A + B− µi = (IB(H)+ B(A− µi)−1)(A− µi), sendo a composta de dois ope- radores sobrejetores, ´e tamb´em sobrejetor. Argumentando de maneira an´aloga, conclu´ımos tamb´em que A+B +µi ´e sobrejetor. Logo, novamente pelo Teorema II, temos que A + B ´e auto-adjunto em Dom(A + B) := Dom(A).
Vamos mostrar que A + B ´e essencialmente auto-adjunto em todo core de A. Para tanto, basta mostrar que (A + B)|D= A + B, uma vez que j´a foi mostrado que A + B ´e auto-adjunto em Dom(A + B) = Dom(A). Seja D ⊆ Dom(A) um core de A, e seja u∈ Dom(A). Ent˜ao, A|D= A e, portanto, existem uma seq¨uˆencia {un}n∈N em D tal que un −→ u e uma seq¨uˆencia {Aun}n∈N tal que Aun −→ Au. Agora, como kBvk ≤ akAvk + bkvk, para todo v ∈ Dom(A), os fatos de{un}n∈N e{Aun}n∈N serem seq¨uˆencias de Cauchy em H implicam que {Bun}n∈N seja, tamb´em, uma seq¨uˆencia de Cauchy em H. Da comple- tude de H, segue a existˆencia de w ∈ H tal que Bun −→ w. Por outro lado, como un ∈ Dom(B), para todo n ∈ N (pois Dom(B) ⊃ Dom(A), por defini¸c˜ao), e B ´e fechado, temos que u ∈ Dom(B) e w = Bu. Isto nos leva `a conclus˜ao de que (u, (A + B)u) ∈ Gr((A + B)|D). Em particular, mostra- mos que Dom(A + B) = Dom(A)⊆ Dom((A + B)|D). Como j´a sab´ıamos que (A + B)|D ⊂ A + B (pois A + B ´e auto-adjunto e, portanto, ´e uma extens˜ao fechada de (A + B)|D), conclu´ımos que (A + B)|D= A + B.
Suponhamos que A ´e limitado inferiormente por M . Pelo Teorema Espectral, sabemos que existem um espa¸co de medida (N, µ) positiva e uma transforma¸c˜ao linear unit´aria U : H −→ L2(N, µ) tal que U
◦ A ◦ U−1 : Dom(M
f) ∋ g 7−→ f· g ∈ L2(N, µ), onde f ´e uma fun¸c˜ao a valores reais e Borel-mensur´avel em N . Ent˜ao, temos pelo Lema 2.1 que f (x)≥ M em µ-quase todo parte de N. Esta informa¸c˜ao ser´a de vital importˆancia para podermos utilizar o C´alculo Funcional e obter as estimativas que queremos. Seja t < M . Ent˜ao t∈ ρ(A), pelo lema que mostramos, e B(A− t)−1 ≤ a A(A− t)−1 + b (A− t)−1 , por (ii). Ambas as fun¸c˜oes
f1(s) := s/(s− t), se s∈ [M, +∞) 0, se s /∈ [M, +∞) e f2(s) := 1/(s− t), se s∈ [M, +∞) 0, se s /∈ [M, +∞)
pertencem a B(R). Como |f1| ≤ max {1, |M|/(M − t)} (pois f1|[M,+∞) ou ´e mon´otona, se t6= 0, ou ´e igual a 1 em todos os pontos de [M, +∞). Al´em disso, lims→+∞f1(s) = 1), pelo C´alculo Funcional desenvolvido, sabemos que
kA(A − t)−1
k = kf1◦ fk∞≤ sup {|f1(s)| : s ∈ [M, +∞)} ≤ max{1, |M|/(M − t)}
(note que para concluir a segunda desigualdade usou-se que |f1◦ f| ≤ sup {|f1(s)| : s ∈ [M, +∞)}
em µ-quase toda parte de N . Para a primeira igualdade, veja o item 3 da Ob- serva¸c˜ao XIII, nas Considera¸c˜oes Iniciais). f2|[M,+∞)´e estritamente decrescente e
lim
s→+∞f2(s) = 0,
mostrando que |f2| ≤ 1/(M − t). Novamente pelo C´alculo Funcional obtemos de maneira an´aloga `a feita acima que
k(A − t)−1k ≤ kf2◦ fk∞≤ sup {|f2(s)| : s ∈ [M, +∞)} ≤ 1/(M − t). Portanto, temos quekB(A − t)−1
k ≤ a max {1, |M|/(M − t)} + b/(M − t). Se tivermos
a max{1, |M|/(M − t)} + b M − t < 1, concluiremos que A + B− t ´e invers´ıvel, pois
A + B− t = (IB(H)+ B(A− t)−1)(A− t)
e A− t ´e invers´ıvel, com inversa limitada, uma vez que t ∈ ρ(A). Mas se M − t > max {a|M| + b, b/(1 − a)} ,
ent˜ao temos que
a max 1, |M| M − t + b M − t < 1. De fato, se max{1, |M|/(M − t)} = 1, ent˜ao
a max 1, |M| M− t + b/(M− t) = a + b M− t <
a + b·1− ab = a + (1− a) = 1;
por outro lado, se max{1, |M|/(M − t)} = |M|/(M − t), ent˜ao a max 1, |M| M− t + b M− t = a |M| M− t + b M− t < (a|M| + b) · 1 a|M| + b = 1. Portanto, se t < min M, M− max a|M| + b, b 1− a = M− max a|M| + b, b 1− a , ent˜ao t∈ ρ(A + B). Logo,
σ(A + B)⊆ [M − max {b/(1 − a), a|M| + b} , +∞). Pelo Lema 2.2, temos que A + B ´e limitado inferiormente por
M − max a|M| + b, b 1− a .
Existe o seguinte corol´ario, que ´e uma forma sim´etrica do Teorema de Kato- Rellich:
Teorema: Sejam A e C operadores densamente definidos e sim´etricos em um espa¸co de Hilbert H, e suponha que D⊆ Dom(A) ∩ Dom(C) ´e um subespa¸co vetorial de H tal que
(∗) k(A − C)vk ≤ a(kAvk + kCvk) + bkvk,
para todo v∈ D, com a < 1. Ent˜ao, A ´e essencialmente auto-adjunto em D se, e somente se, C ´e essencialmente auto-adjunto em D.
Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar, primeiramente, que se S e T s˜ao opera- dores lineares sim´etricos (logo, fech´aveis) com D = Dom(S) = Dom(T ), tais que
(∗′) MkSvk ≤ NkT vk + P kvk,
para todo v ∈ D, com M, N > 0, P ≥ 0, ent˜ao Dom(S) ⊇ Dom(T ). Em particular, se T for densamente definido, S tamb´em ser´a. Seja u ∈ Dom(T ). Ent˜ao existem seq¨uˆencias{un}n∈Nem D e{T un}n∈Nem Im(T ) tais que un−→ u e T un −→ T u. (∗′) implica que{Sun}n∈N´e uma seq¨uˆencia de Cauchy em H, uma vez que{un}n∈Nem D e{T un}n∈Ns˜ao seq¨uˆencias de Cauchy em H. Como H ´e um espa¸co m´etrico completo, existe limnSun. Como S ´e um operador fechado, u ∈ Dom(S) e limnSun = Su. Isto mostra a inclus˜ao Dom(S) ⊇ Dom(T ) (note que, em particular, mostramos que (∗′) implica
para todo v∈ Dom(T ), devido `a continuidade da norma).
Vemos que (∗) implica (1 − a)kAvk ≤ (1 + a)kCvk + bkvk e (1 − a)kCvk ≤ (1 + a)kAvk + bkvk, para todo v ∈ D e, portanto, em particular, Dom(A|D) = Dom(C|D), pelo que demonstramos acima.
Vamos `a demonstra¸c˜ao.
Suponha que C ´e essencialmente auto-adjunto em D. Defina B := A− C e o caminho F (α) := C + αB, 0 ≤ α ≤ 1, de modo que C = F (α) − αB e A = C + B = F (α) + (1− α)B. Utilizando a desigualdade triangular, (∗) se transforma em
kBvk ≤ a(kF (α)vk + k(1 − α)Bvk + kF (α)vk + kαBvk) + bkvk, de modo que obtemos
(∗∗) kBvk ≤ 2a
1− akF (α)vk + b 1− akvk,
para todo v∈ D e todo α ∈ [0, 1] (na verdade, para todo α ∈ R). Seja n ∈ N tal que n(1−a)2a < 1. Multiplicando os dois membros de (∗∗) por 1/n, obtemos
(∗∗′)
k(1/n)Bvk ≤ n(12a
− a)kF (α)vk + b
n(1− a)kvk,
para todo v∈ D e todo α ∈ [0, 1]. Escolhendo α = 0 em (∗∗′), podemos utilizar a argumenta¸c˜ao feita no in´ıcio da demonstra¸c˜ao para concluir que possu´ımos todas as hip´oteses do Teorema de Kato-Rellich e inferir que C|D+ (1/n)B|D´e auto-adjunto em Dom(C|D) (lembre-se de que, pelo que foi mostrado no in´ıcio da demonstra¸c˜ao,
k(1/n)B|Dvk ≤ 2a
n(1− a)kC|Dvk + b
n(1− a)kvk,
para todo v ∈ Dom(C|D), e Dom(B|D)⊇ Dom(C|D). Usamos tamb´em que o fecho de um operador sim´etrico ´e sim´etrico).
Vamos mostrar que C|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D. J´a sabemos que C|D+ (1/n)B|D⊃ C|D+ (1/n)B|D,
pois C|D+ (1/n)B|D´e auto-adjunto em Dom(C|D) e, portanto, ´e uma extens˜ao fechada de C|D+ (1/n)B|D. Verifiquemos que
C|D+ (1/n)B|D⊂ C|D+ (1/n)B|D: tome (v, (C|D+ (1/n)B|D)v)∈ Gr(C|D+ (1/n)B|D). Como
(lembre-se de que Dom(B|D)⊇ Dom(C|D)), existem seq¨uˆencias{vm}m∈Nem D e{Cvm}m∈Nem Im(C|D) tais que vm−→ v e Cvm−→ C|Dv. Logo, por (∗∗′) e um argumento an´alogo ao feito logo no in´ıcio da demonstra¸c˜ao, conclu´ımos que
(1/n)B|Dvm−→ (1/n)B|Dv e
(C|D+ (1/n)B|D)vm−→ (C|D+ (1/n)B|D)v. Portanto,{vm}m∈N´e uma seq¨uˆencia em D convergente em H e
{(C|D+ (1/n)B|D)vm}m∈N
´e uma seq¨uˆencia convergente em H. Pela unicidade do limite e a defini¸c˜ao de fecho de um operador, temos que
(C|D+ (1/n)B|D)v⊂ C|D+ (1/n)B|Dv. Isto mostra a inclus˜ao desejada e estabelece que
C|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D, como quer´ıamos.
Em resumo, para α = 0, temos que
C|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D ´e um operador auto-adjunto em Dom(C|D).
Podemos tamb´em utilizar (∗∗)′com α = 1/n de modo que, pelas observa¸c˜oes no in´ıcio da demonstra¸c˜ao, possu´ımos as hip´oteses necess´arias para poder aplicar o Teorema de Kato-Rellich e concluir que
C|D+ (1/n)B|D+ (1/n)B|D ´e auto-adjunto em Dom(C|D+ (1/n)B|D) = Dom(C|D).
De maneira an´aloga `a feita para mostrar que
C|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D, podemos provar que
C|D+ (2/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D+ (1/n)B|D. Portanto,
C|D+ (2/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D+ (1/n)B|D
Suponha, agora, que 2 ≤ j ≤ n − 1 ´e um natural que possui a seguinte propriedade: C|D+ (j/n)B|D= C|D+ ((j− 1)/n)B|D+ (1/n)B|D= C|D+ X 1≤i≤j (1/n)B|D e C|D+ (j/n)B|D ´e auto-adjunto em Dom(C|D). Vamos mostrar que tal pro- priedade tamb´em ´e v´alida para j + 1. Aplicando Kato-Rellich para α = j/n e o fato de que C|D+ (j/n)B|D= C|D+P1≤i≤j(1/n)B|D, conclu´ımos que o operador
C|D+ (j/n)B|D+ (1/n)B|D
´e auto-adjunto em Dom(C|D). Fazendo um procedimento an´alogo ao feito para demonstrar que C|D+ (1/n)B|D= C|D+ (1/n)B|D, conclu´ımos que
C|D+ ((j + 1)/n)B|D= C|D+ (j/n)B|D+ (1/n)B|D. Logo, temos que
C|D+ ((j + 1)/n)B|D ´e um operador auto-adjunto em Dom(C|D).
Fica mostrado, ent˜ao, que
C|D+ (j/n)B|D
´e um operador auto-adjunto em Dom(C|D), para todo j ∈ N. Em particular, fazendo j = n, conclu´ımos que C|D+ B|D= C|D+ (A|D− C|D) = A|D´e auto- adjunto em Dom(C|D) = Dom(A|D), terminando a demonstra¸c˜ao de uma das implica¸c˜oes.
Como podemos escrever (∗) como
(∗) k(C − A)vk ≤ a(kCvk + kAvk) + bkvk,
para todo v∈ D, a rec´ıproca ´e uma mera repeti¸c˜ao da demonstra¸c˜ao que aca- bamos de terminar.
Quando a cota de B relativa a A ´e igual a 1, temos uma conclus˜ao um pouco mais fraca do que a do Teorema de Kato-Rellich:
Teorema (W¨ust): Sejam H um espa¸co de Hilbert, A um operador linear auto-adjunto em H e B um operador linear sim´etrico e fechado em H que ´e A-limitado, de forma que a cota de B relativa a A ´e a = 1. Ent˜ao, A + B ´e essencialmente auto-adjunto em Dom(A) (e em todo core de A).
Demonstra¸c˜ao: Seja w∈ Ker((A + B + i)∗). Como (I) kBvk ≤ kAvk + bkvk,
para todo v ∈ Dom(A), multiplicando-se os dois membros por 0 < t < 1, sabemos pelo Teorema de Kato-Rellich que A + tB ´e auto-adjunto em Dom(A). Logo, para cada 0 < t < 1, existe yt ∈ Dom(A) tal que (A + tB + i)yt = w. Defina zt:= w− tByt+ Byt= (A + tB + i)yt− tByt+ Byt= (A + B + i)yt. Ent˜ao,
hzt, wi = h(A + B + i)yt, wi = hyt, (A + B + i)∗wi = 0, qualquer que seja 0 < t < 1. Ainda, como A + tB ´e sim´etrico,
kwk2=
k(A + tB + i)ytk2=k(A + tB)ytk2+kytk2, mostrando que
(II) kytk ≤ kwk e
(III) k(A + tB)ytk ≤ kwk,
para todo 0 < t < 1. Pela desigualdade triangular e (I) multiplicado por t, temos
kAytk ≤ k(A + tB)ytk + tkBytk ≤ k(A + tB)ytk + t(kAytk + bkytk), e conclu´ımos por (III) que
(1− t)kAytk ≤ k(A + tB)ytk + tbkytk ≤ kwk + tbkwk,
para todo 0 < t < 1, mostrando que sup{(1 − t)kAytk : t ∈ (0, 1)} < ∞. Logo, por (I) multiplicado por 1− t e (II), conclu´ımos que
sup{(1 − t)kBytk : t ∈ (0, 1)} < ∞
e, portanto, sup{kztk : t ∈ (0, 1)} = sup {kw − (1 − t)Bytk : t ∈ (0, 1)} ≤ M, para algum M > 0 real.
Seja η∈ Dom(A). Para todo 0 < t < 1,
hη, zti − hη, wi = hη, (1 − t)Byti = (1 − t)hBη, yti, e conclu´ımos que
|hη, zt− wi| ≤ (1 − t)kBηkkytk ≤ (1 − t)kBηkkwk.
Logo, o limite lateral limt→1−hη, zti existe e ´e igual a hη, wi, para todo η ∈ Dom(A). Seja x∈ H, e seja ǫ > 0. Da densidade de Dom(A) em H, segue que existe η∈ Dom(A) tal que
kx − ηk < min {ǫ/3M, ǫ/3(kwk + 1)} .
Pelo que acabou de ser argumentado, garantimos a existˆencia de um δ > 0 tal que se t∈ (0, 1) satisfaz |t − 1| < δ, ent˜ao |hη, zti − hη, wi| < ǫ/3. Logo,
kx − ηkM + ǫ/3 + kη − xkkwk < 3MM ǫ + ǫ/3 + ǫ
3(kwk + 1)kwk < ǫ. Isto estabelece que limt→1−hx, zti = hx, wi, qualquer que seja x ∈ H. Em particular, tomando x = w, obtemos limt→1−hw, zti = hw, wi. Como foi visto anteriormente que hzt, wi = 0, para todo 0 < t < 1, temos que kwk = 0. Logo, w = 0 e, da arbitrariedade de w, conclu´ımos que Im((A + B + i))⊥ = Ker((A + B + i)∗) ={0}. Analogamente, podemos repetir os passos feitos acima e ver tamb´em que Im((A + B− i))⊥ = {0}. Portanto, Im((A + B ± i)) s˜ao densos em H, e temos que A + B ´e essencialmente auto-adjunto em Dom(A), pela Observa¸c˜ao XIX.
Um exemplo simples para ver que a tese “A + B ´e essencialmente auto- adjunto em Dom(A)” do ´ultimo teorema n˜ao pode ser melhorada para “A + B ´e auto-adjunto em Dom(A)” ´e tomar B :=−A. Vemos que todas as hip´oteses do teorema se mantˆem, mas
A + B = 0Dom(A),
mostrando que A + B n˜ao ´e auto-adjunto, pois (0Dom(A))∗= 0B(H)6= 0Dom(A). No entanto, note que 0Dom(A)= 0B(H), de modo que o operador 0B(H) ´e essen- cialmente auto-adjunto.