O teorema espectral e a propriedade de "self-adjointness" para alguns operadores...

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“O teorema espectral e a

propriedade de ‘self-adjointness’ para

alguns operadores de Schr¨

odinger”

Rodrigo Augusto Higo Mafra Cabral

Disserta¸c˜ao de mestrado

Orientador: Severino Toscano do Rˆego Melo

Programa de pós-gradua¸cão em Matemática Aplicada Instituto de Matemática e Estat´ıstica da

Universidade de S˜ao Paulo (IME - USP)

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“O teorema espectral e a propriedade de ‘self-adjointness’ para alguns operadores de Schr¨odinger”

Esta versão da disserta¸cão contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 18/12/2014. Uma cópia da versão original está dispon´ıvel no Instituto de Matemática e Estat´ıstica da Universidade de São Paulo.

Comiss˜ao Julgadora:

• Prof. Dr. Severino Toscano do Rˆego Melo (orientador) - IME-USP • Prof. Dr. Frank Michael Forger - IME-USP

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Agradecimentos

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Resumo

Neste texto s˜ao demonstrados, a partir do ponto de vista da teoria dos espa-¸cos de Hilbert e da teoria das C∗_{-´algebras, teoremas relacionados a operadores}

auto-adjuntos em espa¸cos de Hilbert, entre os quais estão o Teorema Espec-tral, o teorema de Kato-Rellich e a desigualdade de Kato. Também são dadas aplica¸cões destes teoremas a alguns operadores de Schrödinger provenientes da F´ısica-Matemática.

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Abstract

In this text we prove, within the Hilbert spaces theory and C∗_{-algebras points}

of view, some theorems which are related to self-adjoint operators acting on Hil-bert spaces, among which are the Spectral Theorem, the Kato-Rellich theorem and Kato’s inequality. Also, some applications to Schr¨odinger operators coming from the Mathematical-Physics context are given.

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Sum´

ario

Considera¸c˜oes Iniciais 14

´

Algebras de Banach e C∗_{-´algebras - alguns resultados elementares} _{. .} ₃₁

1 O Teorema Espectral 42

O teorema espectral para operadores lineares auto-adjuntos limitados 43 O C´alculo Funcional Boreliano relativamente a operadores lineares

auto-adjuntos limitados . . . 52 Teorema espectral para n-uplas de operadores lineares auto-adjuntos

que comutam dois a dois . . . 56 O teorema espectral para operadores lineares normais . . . 62 O teorema espectral para operadores auto-adjuntos n˜ao-limitados . . . 64 O C´alculo Funcional Boreliano relativamente a operadores lineares

auto-adjuntos n˜ao-limitados . . . 67

2 O Teorema de Kato-Rellich 71

3 Aplica¸cões do Teorema de Kato-Rellich 85 O dom´ınio de “self-adjointness” do operador−∆ . . . 85 O átomo de hidrogênio e um átomo qualquer . . . 94

4 A desigualdade de Kato 102

Um corolário da desigualdade de Kato . . . 110 Aplica¸cões do corolário da desigualdade de Kato . . . 113

5 Apˆendice A 116

Teorema espectral para operadores normais via C∗_{-´algebras . . . 116}

Teorema de Von Neumann . . . 119 O Teorema Espectral - uma outra demonstra¸c˜ao . . . 123

6 Apˆendice B 127

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Introdu¸c˜ao

O intuito principal deste texto é fazer uma exposi¸cão de alguns tópicos cl´ as-sicos em teoria de operadores não-limitados auto-adjuntos sobre espa¸cos de Hil-bert.

Nas “Considera¸cões Iniciais” são estabelecidas algumas nota¸cões, defini¸cões e teoremas que servirão de ferramentas básicas para o desenvolvimento do con-teúdo principal. Incluem-se nessa se¸cão:

1. a defini¸cão de somabilidade em espa¸cos de Banach com alguns resultados, para que possamos lidar com espa¸cos de Hilbert não-separáveis;

2. as defini¸cões de semi-álgebras e álgebras de conjuntos, que serão cruciais para que possamos estabelecer (de maneira um tanto “limpa”) uma esti-mativa vital, quando formos demonstrar o teorema espectral para n-uplas finitas de operadores lineares limitados auto-adjuntos que comutam dois a dois;1

3. uma subse¸cão na qual são expostos alguns resultados rudimentares sobre a teoria de C∗-álgebras, que serão importantes para a demonstra¸cão de vários teoremas presentes nos Apêndices A e B. As informa¸cões desta sub-se¸cão só serão utilizadas fortemente nos Apêndices A e B, e não precisam ser lidas caso não se pretenda lê-los (na verdade, utilizamos levemente um resultado mencionado logo no in´ıcio dessa subse¸cão - a expansão da série de Von Neumann - para podermos concluir alguns detalhes da demonstra¸cão do teorema de Kato-Rellich; mas esta é a única exce¸cão).

O Cap´ıtulo 1 se encarrega da demonstra¸cão detalhada, utilizando-se somente a teoria de espa¸cos de Hilbert e alguns resultados de medida e integra¸cão, das linhas gerais do teorema espectral para operadores lineares auto-adjuntos ex-postas em [18]. Tal teorema se encarrega da caracteriza¸cão dos operadores lineares auto-adjuntos (não-limitados) agindo num espa¸co de Hilbert (não ne-cessariamente separável) como sendo unitariamente equivalentes a um operador de multiplica¸cão por uma fun¸cão real e Borel-mensurável definido num certo espa¸co de fun¸cões de quadrado integrável.

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estimativas utilizamos o Cálculo Funcional estabelecido no cap´ıtulo 1 (também utilizamos tal Cálculo para demonstrar o Lema 2.2).

No Cap´ıtulo 3 apresentamos alguns conceitos básicos relativos à Teoria de Distribui¸cões para estabelecer o dom´ınio de “self-adjointness” do Laplaciano, e utiliza-se o teorema de Kato-Rellich para concluir que os operadores de Schrö-dinger da forma−∆ +V(x), agindo emL2(Rn_{), com}

V =V1+V2, V1∈L2(Rn), V2∈L∞(Rn),0< n≤3,

estão bem-definidos e são auto-adjuntos emH2₍_Rn_{). Em particular, mostra-se} que o operador de Schrödinger que descreve um modelo aproximado do sistema correspondente a um átomo de hidrogênio é auto-adjunto emH2₍_Rn_{) e limitado} inferiormente. Essa é uma aplica¸cão muito famosa, e muito importante para a Mecânica Quântica não-relativ´ıstica. Também mostramos que o operador de Schrödinger correspondente a um modelo aproximado de um átomo qualquer é auto-adjunto em emH2₍_Rn_).2

O Cap´ıtulo 4 destina-se à demonstra¸cão detalhada da famosa desigualdade (distribucional) de Kato, com uma aplica¸cão aos operadores de Schrödinger da forma−∆ +V(x), ondeMV(x)é um operador de multiplica¸cão limitado

infe-riormente tal que V ∈ L2loc(Rn) (a saber, mostramos que tais operadores s˜ao essencialmente auto-adjuntos em C∞

c (Rn)). Em particular, mostra-se que o operador de Schrödinger relativo ao potencial de Coulomb em uma dimensão é essencialmente auto-adjunto emC∞

c (Rn), e comenta-se como a desigualdade de Kato pode ser refinada de modo a podermos aplicá-la a operadores de Schrödin-ger relativos a sistemas denpart´ıculas carregadas sujeitas à a¸cão de um campo magnético constante.

No Apêndice A é dada uma demonstra¸cão alternativa do teorema espectral para operadores normais utilizando a teoria de C∗_{-álgebras, e conclui-se uma}

nova demonstra¸cão do teorema espectral para operadores auto-adjuntos que não são limitados, com o aux´ılio do teorema de Von Neumann (que classifica as ex-tensões simétricas de um operador simétrico em termos da transforma¸cão de Cayley), também demonstrado no apêndice.

No Apêndice B demonstra-se, também utilizando a teoria de C∗-álgebras, o teorema espectral para uma cole¸cão infinita (de qualquer cardinalidade) de operadores limitados auto-adjuntos que comutam dois a dois.

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Considera¸c˜oes Iniciais

I) todos os espa¸cos vetoriais mencionados ser˜ao considerados sobre o corpo

C_{dos n´}_{umeros complexos;}

II) as normas e os produtos internos (que serão considerados lineares na primeira entrada, seguindo a “nomenclatura dos matemáticos”) de um espa¸co normado (respectivamente, espa¸co com produto interno) serão representados in-distintamente por_k·k/_h·,_·i, estando subentendido no contexto a qual espa¸co tal norma (respectivamente, produto interno) se refere;

III) uma nota¸cão recorrente que será utilizada é a seguinte: seX é um es-pa¸co normado ex_∈X, com_{xn}n∈Nsendo uma seqüência de elementos de X

que converge parax, indicaremos “xn−→x” para indicar que “limnxn =x”; IV) seI´e um intervalo compacto, ou o produto cartesiano finito de intervalos compactos, ent˜ao:

1. P(I) denota o espa¸co normado das fun¸c˜oes polinomiaispcom coeficientes complexos definidas emI, com a norma do supkpk∞:= sup{|p(x)|:x∈I};

2. C(I) denota o espa¸co normado das fun¸c˜oes cont´ınuas a valores complexos definidas em I, com a “norma do sup”kfk∞ := sup{|f(x)|:x∈I}. A

fun¸c˜ao idC(I) ser´a sempre definida por idC(I)(x) := x, para todox ∈I,

e a fun¸c˜ao 1C(I), por 1C(I)(x) := 1, para todo x ∈ I (na verdade, para

todo espa¸co topológico compacto e Hausdorff X, o espa¸co das fun¸cões cont´ınuas a valores complexos definidas emX será denotado porC(X), e será sempre munido da norma do sup, tornando-se um espa¸co de Banach, desta forma);

3. seµé uma medida que possui as propriedades da medida constru´ıda no Teorema da Representa¸cão de Riesz (veja a página 45), então Cµ(I) de-nota o espa¸co normado das classes de equivalência (segundo a rela¸cão de equivalência usual induzida pela medidaµ) de fun¸cões cont´ınuasf a va-lores complexos definidas emI, com a norma herdada do espa¸coL2₍_{I, µ}₎

(a norma induzida pelo produto interno usual). Isto ´e poss´ıvel devido ao fato de que Cµ(I) ⊆ L2₍_{I, µ}_{) (na verdade,} _C_µ(_I_{) ´e denso em} _L2₍_{I, µ}_)).

A nota¸cãoidCµ(I) sempre indicará a classe de equivalência deidC(I) com

respeito a µ, e 1Cµ(I) sempre indicar´a a classe de equivalˆencia de 1C(I)

com respeito aµ;

4. B(R_{) denota o espa¸co das fun¸c˜}_{oes definidas em} R _{a valores complexos,}

Borel-mensur´aveis e limitadas, e ´e munido da norma do sup (inclusive, torna-se um espa¸co de Banach, desta forma);

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quanto para nos referirmos a sua classe de equivalˆencia relativa aµ(por exem-plo, nos espa¸cos Lp₍_{M, µ}_{), 1}

≤ p _≤ +_∞. Lembramos que L∞₍_{M, µ}_{) ´e}

de-finido como sendo o conjunto das fun¸c˜oes f mensur´aveis tais que kfk∞ :=

inf

λ∈R_{, λ}_≥_{0 :}_µ₍_|_f_|−1_[(_λ,₊_∞_{)]) = 0} _< ₊_∞_{; os membros desta ´}_algebra

serão chamados de fun¸cões essencialmente limitadas). Também chamamos a aten¸cão para o fato de que usamos a mesma nota¸cão para indicar as normas do sup e a norma das fun¸cões essencialmente limitadas, estando impl´ıcito pelo contexto qual delas está sendo usada;

V) um operador linearAnum espa¸co de HilbertH será uma transforma¸cão linear cujos dom´ınio e conjunto-imagem estão contidos em H, e seu dom´ınio será sempre um subespa¸co vetorial de H. O seu dom´ınio será denotado por Dom(A), enquanto sua imagem e kernel serão denotados por Im(A) e Ker(A), respectivamente; seu gráfico será denotado por

Gr(A) :=_{(u, v)_∈H_×H :u_∈Dom(A), v=Au_};

VI) se A eB s˜ao dois operadores lineares num espa¸co de Hilbert H, ent˜ao definiremos

Dom(A+B) := Dom(A)∩Dom(B) e

Dom(A◦B) :={u∈Dom(B) :Bu∈Dom(A)};

note que tais dom´ınios, assim definidos, permanecem sendo subespa¸cos vetoriais deH;

VII) seAeB são dois operadores lineares num espa¸co de HilbertH, diremos queB é uma extensão de A, e escreveremos A_⊂B, se Dom(A)_⊆Dom(B) e

B_|Dom(A)=A; (perceba que tal nota¸c˜ao torna-se natural se interpretarmos uma

fun¸cão definida emH a valores emH como sendo um subconjunto deH_×H) VIII) se X é um espa¸co normado, então _B(X) denota o espa¸co normado dos operadores lineares limitados T : Dom(T) −→ X tais que Dom(T) é um subconjunto denso deX, com a norma dada por

kTk:= sup{kT xk/kxk:x∈Dom(T), x6= 0},

para todo T _{∈ B}(X). O operador identidade IB(X) ∈ B(X) ´e definido por

IB(X)(u) :=u, para todou∈X, e o operador nulo 0B(X)∈ B(X) ´e definido por

0B(X)(u) := 0, para todo u∈ X. Devido ao Lema 1.1 (B.L.T.), demonstrado

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(ou seja, operadoresT tais que_kT_k = +_∞)3 _{sobre espa¸cos de Hilbert (e cujo}

operador adjunto correspondente esteja bem definido). Ainda notamos tamb´em que, devido ao Teorema do Gr´afico Fechado,4_{vemos que operadores lineares n˜}

ao-limitados (ou, equivalentemente, não-cont´ınuos) fechados não podem satisfazer Dom(T) =X. Aliás, notamos aqui como os operadores não-limitados são entes bastante naturais, a partir do exemplo de um operador de diferencia¸cão agindo num espa¸co de Banach: considere o operador de diferencia¸cãoD:C1([−π, π])⊆

C([₋π, π]) _−→ C([π, π]), D : f _7−→ D(f) := f′_{. Vamos mostrar que este}

operador não é limitado. De fato, considere a seqüência_{fn}n∈N definida por fn(x) := sen(nx)

n , n∈N, x∈[−π, π].

Vemos que os elementos desta seqüência estão em C1_([₋_{π, π}_{]) e que} _f

n −→ 0[−π,π], pois

sen(nx)

n _∞≤

1

n,

para todo n∈ N_{. No entanto,} _{_D₍_f_n)_}_N _{´e uma seq¨}_{uˆencia de fun¸c˜}_{oes tal que,}

para cada x ∈ [−π, π] fixado, o limite limnD(fn)(x) não existe. Logo, não existe um elemento g em C([−π, π]) que possa satisfazer D(fn) −→ g, pois a convergência pontual da seqüência é condi¸cão necessária para que haja a con-vergência uniforme da seqüência. Em particular, não podemos ter D(fn)_−→

D(0C([−π,π])) = 0C([−π,π]), eDn˜ao ´e um operador cont´ınuo emC([−π, π]). Para

ver um exemplo de operador n˜ao-limitado em espa¸cos de Hilbert, basta tomar o operador de diferencia¸c˜ao com dom´ınioH1_[0_,_1]

⊆L2_[0_,_{1] (com a medida de}

Le-besgue e norma induzida deL2_[0_,_1]).5 _{A sequˆencia}

{φn(x) :=√2sen(nπx)_}n∈N

é formada somente por elementos de norma 1 e está emL2_[0_,_{1], mas a sequência}

de suas derivadas satisfaz_kφnk=nπ, para todo n∈N, mostrando novamente que tal operador n˜ao ´e cont´ınuo.

Um resultado elementar relativo à geometria de espa¸cos de Hilbert e que será utilizado freqüentemente é o

IX) Teorema I: Se H é um espa¸co de Hilbert e F ⊆ H é um subespa¸co vetorial fechado, então H =F⊕F⊥_{, isto é, se} _x_∈_H_{, ent˜}_{ao existem} _x

1∈F e

x2∈F⊥tais quex=x1+x2e, sex=x1+x2= (x1)′+(x2)′, comx1,(x1)′∈F

e x2,(x2)′ ∈ F⊥, ent˜ao x1 = (x1)′ e x2 = (x2)′; al´em disso, existe um par

P, Q_{∈ B}(H) unicamente determinado pelas propriedades: (i) IB(H) =P+Q,

(ii) Im(P)_⊆F e (iii) Im(Q)_⊆F⊥_. _P _e _Q_{possuem as seguintes propriedades}

3_{Salientamos aqui que assumir esta interpreta¸c˜}_{ao para a express˜}_{ao “n˜}_{ao-limitado” n˜}_{ao ´}_e uma prática usual da literatura, ou seja, costuma-se dizer “não-limitado” (unbounded) para afirmar que um operador não énecessariamente _{limitado. No entanto, n˜}_{ao adotaremos esta}

pr´atica amb´ıgua neste texto

4_Se_T _:_X_⊇_Dom(_T₎_−→_Y _´_{e uma transforma¸c˜}_{ao linear tal que Dom(}_T_{) ´}_{e fechado em}_X _e cujo gráfico é fechado - segundo a topologia do gráfico induzida pela norma (x, y)7−→ kxk+kyk

-, ent˜aoT ´e cont´ınua

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adicionais: (iv) P_◦Q= Q_◦P = 0B(H) e (v) P2 =P, Q2 =Q (ou seja, P

e Q são proje¸cões - veja a Defini¸cão abaixo). Devido à propriedade (iv), P e Qsão denominadas proje¸cões ortogonais sobre F eF⊥_{, respectivamente. Note} que Im(P) =F e Im(Q) =F⊥

X) se A ´e um operador linear num espa¸co de Hilbert H, defina DA := {v∈H : existeη∈H satisfazendohAu, vi=hu, ηi, para todo u∈Dom(A)}.

Vamos mostrar que cada v _∈DA determina unicamente o η da defini¸cão se, e somente se,Aé densamente definido, isto é, o conjunto Dom(A) é denso emH: ⇒) Sejam v _∈ DA e η ∈ H um elemento tal que hAu, vi = hu, ηi, para todo u _∈ Dom(A). Suponhamos que Dom(A) não seja denso em H. En-tão, Dom(A)₆=H e, pelo Teorema I, garantimos a existência de um elemento 0 ₆=w_∈Dom(A)⊥. Portanto,_hAu, v_i=_hu, η+w_i=_hu, η_i+_hu, w_i=_hu, η_i, para todou_∈Dom(A), e vemos queη+wtambém contempla a defini¸cão, mas

η+w₆=η (na verdade, (η+αw) contempla a defini¸c˜ao para todo α_∈C_).

⇐) Sejav_∈DA. Se η1, η2 ambos contemplam a defini¸c˜ao, ent˜ao para todo

u ∈ Dom(A), tem-se que 0 = hu, η1 −η2i. Como Dom(A) ´e denso em H,

sabemos que existe uma seq¨uˆencia {un}n_∈N de elementos de Dom(A) tal que un −→ (η1−η2). Da igualdade acima, obtemos 0 = hun, η1−η2i, para todo

n∈N_{. Tomando limites em ambos os membros, conclu´ımos 0 =}_h_η₁₋_η₂_{, η}₁₋_η₂_i_,

e vem queη1=η2. Logo, oη da defini¸c˜ao est´a unicamente determinado.

Assim, seAé um operador linear densamente definido emH, podemos defi-nir em fun¸cão deste um outro operador emH, que denotaremos porA∗_{, e será}

tal que Dom(A∗_{) :=}_D

AeA∗v:=η, ondeη´e tal quehAu, vi=hu, ηi, para todo

u_∈Dom(A) (note queDA´e um espa¸co vetorial eA∗´e linear).

A∗ _{ser´a denominado o operador adjunto de}_A_{(lembramos que se}_A

∈ B(H) - e, portanto, Dom(A) =H -, ent˜ao Dom(A∗_{) =}_H_{, pelo Lema de Riesz}6_).

XI) seA´e um operador linear num espa¸co de HilbertH, definimos seu resol-vente como sendo o conjunto dosλ∈C_{que satisfazem as seguintes condi¸c˜}_oes:

1. (λIB(H)−A) : Dom(A)−→H ´e uma bije¸c˜ao;

2. existe um operador linear limitado (λIB(H)−A)−1:H −→Dom(A) que

satisfaz (λIB(H)−A)(λIB(H)−A)−1=IB(H)e (λIB(H)−A)−1(λIB(H)−

A) =IB(Dom(A)).

Denotaremos o resolvente de A porρ(A); definimos o espectro de A como sendoσ(A) :=C_\_ρ₍_A_);

6_Se_λ_´_{e um funcional linear limitado definido num espa¸co de Hilbert}_H_{, ent˜}_{ao existe um} ´

(19)

XII) Defini¸cão: Se H é um espa¸co de Hilbert, então um operador linear densamente definidoA é dito auto-adjunto seA=A∗_.

Em Mecânica Quântica não-relativ´ıstica, o estado de uma part´ıcula é dado por uma fun¸cão R4 _∋ ₍_{x, t}₎ _7−→_ψ₍_{x, t}₎_∈ _C _{de quadrado integr´}_{avel sobre} _R3_,

para todot∈R_{fixado (ou melhor, (}_{x, t}₎_7−→_ψ₍_{x, t}_{) satisfaz}R

R3|ψ(x, t)|2dx=

C, onde C ´e uma constante real, para todo t ∈ R _{fixo). Ela ´e denominada}

fun¸cão de onda da part´ıcula. Através de uma normaliza¸cão, tal aplica¸cão induz uma distribui¸cão de probabilidade para a posi¸cão da part´ıcula. A evolu¸cão desta fun¸cão é governada pela equa¸cão

i~∂

∂tψ=Hψ,

chamada equa¸cão de Schrödinger.7 _Aqui,_H _{é um operador}

H :=₋~

2

2m∆ +MV(x)

agindo em um certo dom´ınio Dom(H) _⊆ L2₍_Rn_{), e é chamado operador de} Schrödinger que, com o dom´ınio adequado, representa a energia mecânica do sistema correspondente. Se o problema de valor inicial

i~∂

∂tψ=Hψ

ψ|t=0=ψ0 ,

para algum ψ0 ∈Dom(H) fixo, possui uma ´unica solu¸c˜ao, e que preserva

pro-babilidade (i.e., (x, t)_7−→ψ(x, t) satisfaz R

R3|ψ(x, t)|2dx= 1, para todot ∈R

fixo), diz-se que existe uma dinâmica unitária. Prova-se que uma dinâmica uni-tária existe se, e somente se,H é auto-adjunto. Além disso, os observáveis da Mecânica Quântica tais como posi¸cão, momento, energia, etc., são represen-tados por operadores auto-adjuntos agindo num espa¸co de Hilbert. Estes fatos são uma motiva¸cão (provinda de argumentos f´ısico-matemáticos) do porquê de a propriedade de “self-adjointness” ser algo importante, e do porquê de investigar-se quando investigar-se tem a propriedade de “self-adjointness” para operadores da forma

H=₋∆ +MV(x).

XIII) se f é uma fun¸cão mensurável e finita em µ-quase toda parte rela-tivamente a um espa¸co de medida positiva (M, µ), definimos o operador de multiplica¸cão Mf : Dom(Mf) −→ L2(M, µ) por Mf(g) = f ·g, para toda

g ∈ Dom(Mf) := g∈L2(M, µ) : (f ·g)∈L2(M, µ) . Este operador possui uma participa¸cão fundamental na essência do Teorema Espectral. Se Mf : Dom(Mf) −→ L2(M, µ) é um operador de multiplica¸cão, então quatro fatos importantes à respeito deste são:

1. Mf ´e densamente definido (e, portanto, o seu adjunto est´a sempre bem definido);

(20)

2. (Mf)∗=Mf;

3. _kMfk ≤ kfk∞. SeM forσ-finito, ekfk∞<∞, ent˜aokMfk=kfk∞;

4. seM é σ-finito, entãoσ(Mf) ={λ∈C:µ({x∈M :|λ−f(x)|< ǫ})> 0,_∀ǫ > 0_} (este último conjunto é chamado de imagem essencial de f, e será denotado por Imess(f)).

Demonstra¸c˜ao de 1: Defina, para cadan_∈N_,

En:={x∈M :|f(x)| ∈[0, n]},

e seja ξ ∈ Dom(Mf)⊥ ⊆ L2(M, µ). Ent˜ao, R_Mξφdµ = 0, para todo φ ∈ Dom(Mf) eξχEn∈Dom(Mf), pois ξχEn∈L

2₍_{M, µ}_{) e}

Z

M|

f(ξχEn)|

2_dµ₌Z

M|

f ξ_|2_|χEn|

2_dµ₌Z

M|

f ξ_|2χEndµ=

Z

En

|f ξ|2_dµ

≤n2 Z

En

|ξ|2_dµ

≤n2 Z

M|

ξ|2_{dµ <}

∞.

Portanto, R

M|ξ|

2_χ

Endµ = R

Mξ ·ξχEndµ = 0, para todo n ∈ N. Como

|ξ_|2_χ

En −→ |ξ|

2 _{pontualmente e}

|ξ_|2_χ

En ≤ |ξ|

2

∈L1₍_{M, µ}_{), para todo} _n

∈N_,

obtemos pelo Teorema da Convergência Dominada (ou pelo Teorema da Con-vergência Monótona) que R

M|ξ|

2_dµ _{= limn}R

M|ξ|

2_χ

Endµ = 0, o que implica ξ= 0_∈L2₍_{M, µ}_{). Assim, conclu´ımos que Dom(}_M

f) =L2(M, µ). Demonstra¸c˜ao de 2:

Primeiro, notemos que M_f _⊂ (Mf)∗, pois se θ ∈ Dom(Mf) = Dom(Mf), ent˜ao

hMfφ, θi=hf φ, θi=

Z

M

(f φ)θdµ=

Z

M

φ(f θ)dµ=_hφ, f_·θ_i,

para todoφ∈Dom(Mf) e, como (f·θ)∈L2(M, µ), segue pela defini¸cão de ad-junto queθ_∈Dom((Mf)∗), com (Mf)∗θ=Mfθ. Seja, agora,θ∈Dom((Mf)∗). Então, existe um único elemento em L2₍_{M, µ}_{), denotado por (}_M

f)∗θ, tal que hMfφ, θi =hφ,(Mf)∗θi, para todo φ ∈ Dom(Mf). Vamos mostrar que f θ ∈

L2₍_{M, µ}_{). De fato, como para todo}_ρ_∈_L2₍_{M, µ}_{) a norma do funcional linear}

L2(m, µ)_∋ψ_{7−→ h}ψ, ρ_i

é _kρ_k, obtemos pelo Teorema da Convergência Monótona (considerando En como acima),

∞> Z

M|

(Mf)∗θ|2dµ= lim n

Z

M|

(Mf)∗θ|2χEndµ= lim n k[(Mf)

∗_θ_]_χ

Enk

2

(21)

lim n (sup

|hψ,[(Mf)∗θ]χEni|:ψ∈L

2₍_{M, µ}₎_,

kψ_k= 1 )2= lim

n (sup

|hψ,(Mf)∗θi|:ψ∈L2(M, µ),kψk= 1, ψ|M\En= 0 )

2₌(∗)

lim n (sup

|hMfψ, θi|:ψ∈L2(M, µ),kψk= 1, ψ|M\En= 0 )

2₌

lim n (sup

|hψ, f θi|:ψ∈L2(M, µ),kψk= 1, ψ|M\En= 0 )

2₌

lim n (sup

|hψ, f θχEni|:ψ∈L

2₍_{M, µ}₎_,

kψk= 1 )2=

lim n

f θχEn

2 = lim n Z M|

f θχEn|

2_dµ₌ f θ

2

.

Note que em (∗) foi usado que as fun¸c˜oes ψ∈L2₍_{M, µ}₎_,_k_ψ_k_{= 1}_{, ψ}_|M

\En = 0

pertencem ao dom´ınio deMf. Segue, então, queθé uma fun¸cão deL2(M, µ) tal quef θ∈L2₍_{M, µ}_{). Portanto, conclu´ımos que Dom((}_M

f)∗)⊆Dom(M_f). Logo, Dom((Mf)∗) = Dom(M_f), e como já foi mostrado que M_f ⊂(Mf)∗, conclu´ı-mos queM_fθ= (Mf)∗θ, demonstrando que (Mf)∗ ⊂M_f. Logo, (Mf)∗ =M_f. Obtemos como corolário deste teorema que, se f é uma fun¸cão a valores reais, entãoMf é auto-adjunto.

Demonstra¸c˜ao de 3:

Notemos, primeiramente, que _kMfk ≤ kfk∞. Se kfk∞ = +∞, a

desi-gualdade ´e trivialmente satisfeita. Suponhamos que _kf_k∞ < ∞. Para todo φ_∈Dom(Mf), tem-se que

kMfφk2=

Z

M|

f φ|2_dµ₌Z

|f|−1_[(_k_f_k_∞_,₊_∞_)]|

f φ|2_dµ₊

Z

M\|f|−1_[(_k_f_k_∞_,₊_∞_)]|

f φ|2_dµ₌Z

M\|f|−1_[(_k_f_k_∞_,₊_∞_)]|

f φ|2_dµ₌

Z

|f|−1_[0_,_k_f_k_∞_]|

f φ_|2_dµ

≤ kf_k2

∞ Z

|f|−1_[0_,_k_f_k_∞_]|

φ_|2_dµ

≤

kf_k2∞ Z

M|

φ_|2dµ=_kf_k2∞kφk2,

mostrando que_kMfk ≤ kfk∞. Suponha, agora, queM ´eσ-finito e quekfk∞<

∞. Para ver que_kMfk ≥ kfk∞, tomer <kfk∞. Vamos mostrar quekMfk> r. Pela defini¸c˜ao de _kf_k∞, temos que µ(f−1[r,+∞)) > 0. Agora, como (M, µ)

´e σ-finito, garantimos a existˆencia de um subconjunto E _⊆ f−1_[_r,₊

∞) de medida finita e estritamente positiva. Dessa forma, a fun¸c˜ao caracter´ıstica

χE ∈ Dom(Mf) (basta fazer um c´alculo semelhante ao que foi feito no item 1 para ver queR

M|f χE|

2_dµ

≤ kf_k2

∞ R

M|χE|

2_dµ₌

kf_k2

∞µ(E)) e

kMf(χE)k2=

Z

M|

f χE|2dµ=

Z

E|

f|2_{dµ > r}2Z

E

(22)

r2

Z

M|

χE|2dµ=r2kχEk2.

Logo, como_kχEk 6= 0, conclu´ımos quekMfk> r. Isto finaliza a demonstra¸cão. Corolário: Se M for σ-finito, então Mf ser auto-adjunto implica que f

seja, a menos de um conjunto de medida nula, uma fun¸c˜ao a valores reais.

Demonstra¸c˜ao: Se Mf for auto-adjunto, ent˜ao pelo item 2, temos que

M_f₋_f = 0. Logo, pelo que acabou de ser mostrado no item 3, 0 = M_f₋_f = kf₋f_k∞, e conclu´ımos quef =f emµ-quase toda parte de M.

Observa¸c˜ao importante: enfatizamos que a propriedade fundamental do espa¸co de medida (M, µ) utilizada para mostrar que_kMfk ≥ kfk∞ foi a

exis-tˆencia de um subconjunto E _⊆ f−1_[_r,₊

∞) de medida finita e estritamente positiva. Logo, se ao inv´es da σ-finitude de M exig´ıssemos a hip´otese mais fraca de queM seja um espa¸co de medida no qualtodo subconjunto S_⊆M de medida estritamente positiva possui um subconjuntoE _⊆S de medida finita e estritamente positiva, concluir´ıamos que _kMfk ≥ kfk∞. O espa¸co de medida

que construiremos no decorrer do Teorema Espectral possuir´a esta propriedade, como mostraremos na p´agina 63.

Suponha queλ_∈ρ(Mf). Ent˜ao, existe um operador limitadoL agindo em

L2₍_{M, µ}_{) satisfazendo (}_LM

λ−f)φ = φ, para todo φ ∈ Dom(Mλ−f) (note que λIL2₍_{M µ}₎−M_f =M_λ₋_f). Isto implica

kL_k2 Z

M|

λ₋f_|2_|φ_|2dµ_≥ Z

M|

φ_|2dµ,

ou melhor,

Z

M

1

kL_k2 − |λ−f| 2

|φ|2_dµ

≤0,

para todoφ∈ Dom(Mλ−f) = Dom(Mf). Afirmamos que _k_L1_k2 − |λ−f|2 ≤0

emµ-quase toda parte de M. Suponha, por absurdo, que exista um conjunto de medida positivaS _⊆M de forma que 1

kLk2 − |λ−f|2 >0 emµ-quase toda

parte deS. Pela σ-finitude deM, podemos encontrar um subconjuntoE deS

com medida estritamente positiva e finita. Portanto, como tamb´em

E=_∪n∈N(E∩ |f|−1[0, n]),

existe n0 ∈ N tal que +∞ > µ(E∩ |f|−1[0, n0]) >0. Assim, χE∩|f|−1_[0_,n₀_] ∈

Dom(Mf) e conclu´ımos que

Z

M

₁

kL_k2− |λ−f| 2

(23)

Z

E∩|f|−1_[0_,n₀_]

1

kLk2 − |λ−f|

2_{dµ >}₀_,

e isto n˜ao pode ocorrer. Portanto,

|λ₋f_{| ≥} 1

kL_k

emµ-quase toda parte deM, estabelecendo queλn˜ao est´a na imagem essencial def. Logo, Imess(f)⊆σ(Mf).

(Outra observa¸c˜ao importante: Como no item anterior, poder´ıamos trocar a propriedade deσ-finitude e substituir por aquela outra propriedade mencio-nada, mais fraca, e ainda obter´ıamos a mesma conclus˜ao).

Suponha, agora, queλ /_∈Imess(f). Ent˜ao, por hip´otese, existeǫ >0 tal que

µ(_{x _∈M : _|λ₋f(x)_| < ǫ_}) = 0. Portanto, _|λ₋f(x)_{| ≥} ǫ >0 em µ-quase toda parte deM, mostrando que est´a bem definido emL2₍_{M, µ}_{) e ´e limitado}

o operador M 1

|λ−f(x)|, com Dom

M 1

|λ−f(x)|

= L2₍_{M, µ}_{), pelo item 3 - para}

concluir que

DomM 1

|λ−f(x)|

=L2(M, µ),

usamos que

1

λ₋f(x)

∞

≤ 1_ǫ.

Ent˜ao,λ_∈ρ(Mf), e isto estabelece a inclus˜aoσ(Mf)⊆Imess(f).

XIV) Defini¸cão: Se A é um operador linear definido num espa¸co de Hil-bert H, diremos que A é fechado se seu gráfico é um subconjunto fechado de H×H, segundo a norma definida em H×H dada pork(u, v)k:=kuk+kvk, para todo (u, v) ∈ H ×H; A será dito fechável se possuir uma extensão fe-chada. Neste caso, a menor extensão fechada de A - no sentido da inclusão - será denotada por A, e denominada o fecho de A. Notamos aqui que, se

Gr(A) := _{(u, v)_∈H_×H :u_∈Dom(A) e v = Au e A for fech´avel, ent˜ao

Gr(A) = Gr(A). Em particular, o conjunto Gr(A)ser´a o gr´afico de um opera-dor linear.

Alguns fatos que devem ser ressaltados, e que poder˜ao ser utilizados suma-riamente, s˜ao os seguintes:

seA ´e um operador linear densamente definido num espa¸co de HilbertH, ent˜ao:

1. A∗ _{´e um operador fechado;}

2. seAfor fech´avel, ent˜aoA=A∗∗_e_A∗₌_A∗_;

(24)

Se Aé um operador linear densamente definido num espa¸co de HilbertH, diremos queAé simétrico se o seu adjunto o estende. Como o adjunto de um operador linear é sempre fechado, temos que todo operador linear simétrico é fechável. Além disso, Aé dito ser essencialmente auto-adjunto se o seu fecho é um operador auto-adjunto.

XV) Defini¸c˜ao: Uma transforma¸c˜ao linear U : H1 −→ H2 entre os

espa-¸cos com produto interno H1 e H2 é dito um operador unitário se é bijetor e

hu, v_i=_hU u, U v_i, para todosu, v _∈H1. Se U : Dom(U)⊆H1−→H2for uma

bije¸cão tal que_hu, v_i=_hU u, U v_i, para todos u, v _∈Dom(U)mas Dom(U) não for necessariamente igual a H1, então diremos que U é uma isometria. Note

que todo operador unit´ario ´e uma isometria.

XVI) Defini¸cão: Se H é um espa¸co de Hilbert, então um operador linear N_{∈ B}(H)é dito normal seN_◦N∗₌_N∗

◦N.

XVII) Defini¸cão: Se H é um espa¸co de Hilbert, então um operador linear P ∈ B(H) é dito uma proje¸cão se P2 ₌ _P_. _{Um resultado importante sobre}

proje¸cões é a equivalência:

SejaP uma proje¸cão. EntãoPé auto-adjunta se, e somente se, é a proje¸cão ortogonal sobre algum subespa¸co fechadoF deH.

Demonstra¸c˜ao:

⇒) Vamos mostrar, primeiramente, que a imagem de P é fechada emH. De fato, se _{un}n∈N é uma seqüência de elementos de H tal que P un −→

η _∈ H, ent˜ao pela continuidade de P, segue que P un = P(P un) −→ P(η) e, pela unicidade do limite, segue que P(η) = η. Definindo o operador li-near Q : u _7−→ (u₋P u), para todo u _∈ H, vemos que _hP v, u₋P u_i = hv, P∗₍_u

−P u)_i=_hv, P(u₋P u)_i=_hv, P u₋P2_u

i=_hv, P u₋P u_i= 0, quaisquer que sejam u, v _∈ H. Logo, como se u _∈ H ´e dado, temos u= P u+Qu, te-moskQuk2=kuk2− kP uk2≤ kuk2, mostrando queQ∈ B(H). Ent˜ao, fazendo

F= Im(P) no enunciado do Teorema I, garantimos pela unicidade da existência dos operadores ali mencionados quePé a proje¸cão ortogonal sobre sua imagem. ⇐) Sejam Q ∈ B(H) a proje¸cão ortogonal sobre F⊥ e u, v ∈ H. Então, hP u, v_i = _hP u, P v+Qv_i = _hP u, P v_i+_hP u, Qv_i = _hP u, P v_i = _hu, P∗_{P v}

i. Como tal igualdade ´e v´alida para todosu, v_∈H, conclu´ımos queP∗₌_P∗_P_{, e}

temos queP=P∗∗_{= (}_P∗_P₎∗₌_P∗_P ₌_P∗_.

XVIII) Sejam Ae B operadores lineares densamente definidos num espa¸co de HilbertH. Então, seA+BeA_◦Btambém são densamente definidos, temos que:

1. A∗₊_B∗

⊂(A+B)∗ _(se _A

(25)

2. B∗

◦A∗

⊂(A_◦B)∗ _(se_A

∈ B(H), ent˜aoB∗

◦A∗_{= (}_A

◦B)∗_).

Se ξ ∈ Dom(A∗₊_B∗_{) = Dom(}_A∗₎_∩_Dom(_B∗_{), ent˜}_ao _h_{u, A}∗_ξ₊_B∗_ξ_i ₌

hu, A∗_ξ_i₊_h_{u, B}∗_ξ_i₌_h_{Au, ξ}_i₊_h_{Bu, ξ}_i₌_h₍_A₊_B₎_{u, ξ}_i₌_h_u,₍_A₊_B₎∗_ξ_i_{, para}

todou∈Dom(A+B) = Dom(A)∩Dom(B). Portanto, da defini¸c˜ao de adjunto, segue queξ_∈Dom(A+B)∗_e_A∗_ξ₊_B∗_ξ_{= (}_A₊_B₎∗_ξ_{. Da arbitrariedade de}_ξ_,

obtemosA∗₊_B∗

⊂(A+B)∗_.

Suponha, agora, queA_{∈ B}(H), e tomeξ_∈Dom((A+B)∗_{). Ent˜}_{ao, pela}

de-fini¸c˜ao de adjunto,_h(A+B)u, ξ_i=_hu,(A+B)∗_ξ

i, para todou_∈Dom(A+B). Ainda, como Dom(A+B) = H _∩Dom(B) = Dom(B) e ξ _∈ Dom(A∗_{) =} _H

(pois _kA∗

k =_kA_k < _∞), temos que_hu, A∗_ξ

i+_hBu, ξ_i =_hAu, ξ_i+_hBu, ξ_i = h(A +B)u, ξ_i = _hu,(A+B)∗_ξ

i, para todo u _∈ Dom(A +B) = Dom(B). Mas, pela defini¸c˜ao de adjunto, isto ´e equivalente a dizer que ξ _∈Dom(B∗_{) =} H_∩Dom(B∗_{) = Dom(}_A∗₎

∩Dom(B∗_{) e} _B∗_ξ _{= (}_A₊_B₎∗_ξ

−A∗_ξ_{. Portanto,}

(A+B)∗_⊂_A∗₊_B∗_{. Conclu´ımos, ent˜}_{ao, que}_A∗₊_B∗_{= (}_A₊_B₎∗_.

Sejaξ∈Dom(B∗◦A∗). Ent˜ao,A∗ξ∈Dom(B∗), de onde vem quehBu, A∗ξi= hu,(B∗

◦A∗₎_ξ

i, para todou_∈Dom(B). Em particular, _hBu, A∗_ξ

i=_hu,(B∗

◦

A∗₎_ξ

i, para todo u _∈ Dom(A_◦ B) = _{u_∈Dom(B) :Bu_∈Dom(A)_}. Por-tanto,_h(A_◦B)u, ξ_i=_hBu, A∗_ξ

i=_hu,(B∗

◦A∗₎_ξ

i, para todou_∈Dom(A_◦B). Logo, pela defini¸c˜ao de adjunto, conclu´ımos que ξ _∈ Dom((A_◦B)∗_{) e que}

(A_◦B)∗_ξ_{= (}_B∗

◦A∗₎_ξ_{. Assim,}_B∗

◦A∗

⊂(A_◦B)∗_.

Suponhamos, agora, queA_{∈ B}(H), e sejaξ_∈Dom(A_◦B)∗_{. Ent˜ao,}

hA(Bu), ξ_i=_h(A_◦B)u, ξ_i=_hu,(A_◦B)∗ξ_i,

para todou_∈Dom(A_◦B). Decorre deA_{∈ B}(H) que hBu, A∗ξi=hA(Bu), ξi,

para todou∈Dom(A◦B), uma vez queξ ∈Dom(A∗_{) =}_H_{. Assim,}

conclu´ı-mos queA∗_ξ_∈_Dom(_B∗_{), e que} _B∗₍_A∗_ξ_{) = (}_A_◦_B₎∗_ξ_{. Mostramos, ent˜ao, que}

Dom((A_◦B)∗₎

⊆Dom(B∗

◦A∗_{), e que (}_B∗

◦A∗₎

|Dom((A◦B)∗₎= (A◦B)∗, isto

´e, (A_◦B)∗

⊂B∗

◦A∗_{, finalizando a demonstra¸c˜}_ao.

XIX) Demonstraremos, agora, condi¸cões necessárias e suficientes para que um operador linear simétrico num espa¸co de Hilbert seja auto-adjunto.

Teorema II:Se H é um espa¸co de Hilbert, Aé um operador linear densa-mente definido e simétrico emH eλ_∈R_{, λ >}₀_{, ent˜}_{ao s˜}_{ao equivalentes:}

(26)

2. A´e fechado e Ker(A∗

±λiIB(H)) ={0};

3. Im(A_±λiIB(H)) =H.

Demonstra¸c˜ao:

1 ⇒ 2) A ´e fechado, pois A∗ _{´e fechado e} _A ₌ _A∗_{. Se} _u _∈ _Dom(_A∗_{) =}

Dom(A∗₊_λiI

B(H)), ent˜ao

(A∗+λiIB(H))u

2

=_kA∗u_k2₋λi_hA∗u, u_i+λi_hu, A∗u_i+λ2_ku_k2_≥ λ2kuk2

(note quehA∗_{u, u}_i₌_h_{u, A}∗_u_i_{), o que mostra a injetividade de}_A∗₊_λi_{. A}

de-monstra¸c˜ao de Ker(A∗₋_λiI

B(H)) ={0} ´e an´aloga.

2⇒3) Vamos mostrar que Im(A+λiIB(H)) ´e um conjunto denso e fechado.

Se Im(A+λiIB(H)) n˜ao fosse denso, ent˜ao pelo Teorema I existiriaξ∈Im(A+

λiIB(H))⊥ n˜ao-nulo. Mas isto implicaria 0 =h(A+λiIB(H))u, ξi=hu,0i, para

todou_∈Dom(A) e, portanto,ξ_∈Dom((A+λiIB(H))∗), com

(A+λiIB(H))∗ξ= (A∗−λiIB(H))ξ= 0,

contradizendo a hip´otese. Logo, Im(A+λiIB(H)) ´e denso em H. Seja, agora,

(A+λiIB(H))un _n_∈N uma seq¨uˆencia convergente de elementos de Im(A +

λiIB(H)). Como A ´e sim´etrico, vale que hAu, vi = hu, Avi, para todo v ∈

Dom(A), o que implica

(A+λiI_B₍_H₎)un

2

≥λ2kunk2,

para todo n _∈ N_{. Por esta ´}_{ultima desigualdade, segue que} _{_u_n_}n

∈N ´e uma

seq¨uˆencia de Cauchy em Dom(A), uma vez que

(A+λiIB(H))un _n_∈N tam-b´em o ´e. Logo, da completude deH, segue que_{un}n∈Nconverge para algum

elemento de H, e conclu´ımos que

(un,(A+λiIB(H))un) _n_∈N ´e uma seq¨

uˆen-cia convergente de elementos de Gr(A+λiIB(H)). Como A+λiIB(H) ´e

fe-chado (poisA´e fechado), o limite de

(un,(A+λiIB(H))un) _n_∈Ntamb´em

per-tence a Gr(A+λiIB(H)). Em particular, o limite de

(A+λiIB(H))un _n_∈N pertence `a imagem deA+λiIB(H), e conclu´ımos que Im(A+λiIB(H)) ´e fechado

em H. Temos, então, que Im(A+λiIB(H)) é denso e fechado em H, isto é,

Im(A+λiIB(H)) =H. A demonstra¸cão de que Im(A−λiIB(H)) =H é análoga

`a que acabou de ser feita.

3_⇒1) Vamos mostrar, primeiramente, que seT ´e um operador linear qual-quer, ent˜ao Im(T)⊥ _{= Ker(}_T∗_{). De fato, se} _v

∈ Ker(T∗_{), ent˜ao}

hT u, v_i = hu, T∗_v

i = 0, para todo u _∈ Dom(T). Isso mostra que Ker(T∗₎

⊆ Im(T)⊥_.

Por outro lado, se v _∈ Im(T)⊥_{, ent˜ao}

hT u, v_i = 0 = _hu,0_i, para todo u _∈

Dom(T), mostrando que v _∈ Dom(T∗_{) e que} _T∗_v _{= 0. Logo,} _v

(27)

e a outra inclusão está demonstrada. Voltemos à demonstra¸cão original. Seja

ξ_∈ Dom(A∗_{). Da sobrejetividade de} _A

−λiIB(H), garantimos a existˆencia de

ρ∈Dom(A−λiIB(H)) = Dom(A) tal que (A−λiIB(H))ρ= (A∗−λiIB(H))ξ.

Como A ´e sim´etrico, temos que (A∗ ₋_λiI

B(H))(ρ−ξ) = 0. Logo, como

Im(A+λiIB(H)) =H, pelo que acabou de ser demonstrado temos que Ker(A∗−

λiIB(H)) = Ker((A+λiIB(H))∗) = Im(A+λiIB(H))⊥ = {0}, e obtemos ξ =

ρ_∈Dom(A₋λiIB(H)) = Dom(A). Portanto, Dom(A∗)⊆Dom(A) e, como A´e

simétrico por hipótese, conclu´ımos queAé auto-adjunto.

Deste teorema que acabamos de mostrar, podemos derivar um critério para verificar se um operador linear densamente definido e simétrico é essencialmente auto-adjunto, bastando substituirAporA:

SeH é um espa¸co de Hilbert,Aé um operador linear densamente definido e simétrico emH, entãoAé um operador linear densamente definido e simétrico emH. Portanto, pelo Teorema II, seλ_∈R_{, λ >}₀_{, ent˜}_{ao s˜}_{ao equivalentes:}

1. A´e auto-adjunto;

2. Im(A_∓λiIB(H))⊥= Ker(A∗±λiIB(H)) ={0}.

Denotaremos, `as vezes,A_±λIB(H), λ∈C, simplesmente porA±λ,

alterna-tivamente.

Temos também o seguinte lema, que utilizaremos na demonstra¸cão do coro-lário da desigualdade de Kato, no cap´ıtulo 4:

Lema: Seja A um operador densamente definido e sim´etrico. Se existir λ∈R_satisfazendo_Im(_A₋_λI_B₍_H₎_{) =}_H _ent˜_ao_A_{´e essencialmente auto-adjunto.}

Demonstra¸c˜ao: J´a sabemos queA⊆A∗₌_A∗₌_A∗_{. Vamos mostrar que}

Dom(A∗₎

⊆Dom(A). Sejav_∈Dom(A∗_{). Pela defini¸c˜}_{ao de adjunto,}

h(A−λ)u, vi=hu,(A∗−λ)vi,

qualquer que sejau∈Dom(A) (lembre-se que, pelo que comentamos na Obser-va¸c˜ao XIII,A∗=A∗_{). Tome}_w

∈Dom(A) =: Dom(A₋λ) tal que (A₋λ)w= (A∗

−λ)v. Ent˜ao,

h(A₋λ)u, v_i=_hu,(A₋λ)w_i=_h(A₋λ)u, w_i,

para todou_∈Dom(A), mostrando que w₋v deve ser ortogonal a todo vetor deH. Logo,v=w_∈Dom(A), e terminamos a demonstra¸c˜ao.

O intuito das próximas duas defini¸cões8_{é generalizar a no¸cão de convergência}

(28)

fato de não estarmos lidando com espa¸cos de Hilbert necessariamente separáveis: XX)Defini¸cão:SejaX um espa¸co normado. Diremos que a fam´ılia{xi}i_∈_I

de elementos deX´e som´avel se existirx∈Xde forma que, para todoǫ >0dado existaFǫ⊆Ifinito tal que, para todoF ⊇Fǫfinito, se tenha

(P_i_∈_Fxi)−x < ǫ. Nesse caso, diremos que a soma de tal fam´ılia ´e x, e denotaremos x :=

P

i∈Ixi (note que a soma de uma fam´ılia somável é única). Se a fam´ılia {kxik}i∈I for somável, então diremos que a fam´ılia {xi}i∈I é absolutamente

som´avel.

XXI) Defini¸c˜ao: Seja X um espa¸co normado. Diremos que a fam´ılia

{xi}i∈I de elementos deX ´e de Cauchy se, dadoǫ >0, existe Fǫ⊆I finito tal

que, para todoF ⊆I finito e disjunto de Fǫ, tem-se

P_i_∈_Fxi

< ǫ.

Alguns fatos pertinentes relacionados às defini¸cões XX e XXI são: (alguns são apresentados sem demonstra¸cão. Os que serão efetivamente utilizados pos-teriormente são os Fatos 1, 2, 3, a implica¸cão (_⇒) do Fato 4 e o Fato 7)

Fato 1: Dada uma fam´ılia Γ = _{ri}i∈I n˜ao-vazia de n´umeros reais n˜ ao-negativos, se existirM >0 tal que

sup

( X

i∈F

ri:F ⊆I finito

)

≤M,

então Γ é somável eP

i∈Iri= supPi∈Fri:F ⊆I finito .

Obs.: daqui para frente, denotaremos o fato de uma fam´ılia de números reais não-negativos_{ri}i∈I ser somável por

P

i∈Iri<∞. Demonstra¸c˜ao: Basta mostrar que

X

i∈I

ri= sup

( X

i∈F

ri:F ⊆Ifinito

)

=:s.

Sejaǫ >0. Pela hip´otese, sabemos que o supremo deP

i∈Fri:F ⊆I finito existe e é um número real. Da defini¸cão de supremo, temos que existeFǫ ⊆I finito de modo ques−ǫ <P

i∈Fǫri. Mas, seF ⊆I´e um subconjunto finito tal

queF ⊇Fǫ, ent˜aos−ǫ <P

i∈Fǫri≤ P

i∈Fri, o que implica|

P

i∈Fri−s|< ǫ. Assim, da unicidade da soma, vem queP

i∈Iri= sup

P

i∈Fri:F ⊆Ifinito . Fato 2: Se Γ = {ri}i_∈_I é uma fam´ılia somável não-vazia de números reais não-negativos, entãoP

i∈Iri= supPi∈Fri:F ⊆I finito =:s.

Demonstra¸cão: Seja ǫ > 0. Sabemos, por hipótese, que existe Fǫ ⊆ I finito tal que, se F _⊆ I é um subconjunto finito que satisfaz F _⊇ Fǫ, en-tão _|(P

i∈Fri)−

P

i∈Iri| < ǫ, e isto implica (Pi∈Iri)−ǫ <

P

(29)

finalizar a demonstra¸c˜ao, basta mostrar que P

i∈Iri ´e uma cota superior de

P

i∈Fri:F ⊆Ifinito . Seja F ⊆I finito. Ent˜ao, Pi∈Fri ≤Pi∈F∪Fǫri =

(P

i∈F∪Fǫri)−( P

i∈Iri) + (

P

i∈Iri)< ǫ+ (

P

i∈Iri) e, comoǫeF s˜ao arbitr´ a-rios, concluiu-se a demonstra¸c˜ao.

Fato 3: Se a fam´ılia_{xi}i∈I ´e de Cauchy, ent˜ao o conjunto

E:={i∈I:xi6= 0} ´e enumer´avel.

Demonstra¸c˜ao: Como E =S

n∈N\{0}{i∈I:kxik ≥1/n}, basta mostrar queEn :={i∈I:kxik ≥1/n} ´e finito, para todo n∈N\ {0}. De fato, seEn n˜ao for finito, para algum n_∈ N_{\ {}₀_}_{, ent˜}_{ao dado} _F _⊆_I _{finito, garantimos a}

existência dej _∈En\F. Logo, comoEn\F é disjunto de F, {xi}i_∈_I não pode ser de Cauchy.

Fato 4: SeXé um espa¸co de Banach, então a fam´ılia{xi}i_∈_I é somável se, e somente se, for de Cauchy.

Fato 5: Se_{xi}i∈I é uma fam´ılia absolutamente somável eX é um espa¸co de Banach, então ela é somável: de fato, seǫ >0 é dado, sabemos que existe, pelo Fato 4, Fǫ ⊆ I finito tal que, se F ⊆ I é finito e disjunto de Fǫ, então

P

i∈Fkxik < ǫ e, portanto,

P_i_∈_Fxi

≤ P_i_∈_Fkxik < ǫ. Logo, valendo-se novamente do Fato 4, conclu´ımos que_{xi}i∈I ´e som´avel.

Fato 6: Se A ´e um operador limitado num espa¸co com produto interno

H e _{xi}i∈I é uma fam´ılia somável em H, então {Axi}i∈I é somável em H e P

i∈IAxi = A(Pi∈Ixi). (basta notar que

P_i_∈_FAxi−A(Pi∈Ixi)

≤

kA_k (

P

i∈Fxi)−

P

i∈Ixi

, para todoF ⊆I finito)

Fato 7: Seja_{Xi}i_∈_I uma fam´ılia de espa¸cos normados. Ent˜ao, a) o conjunto

⊕i∈IXi:=

(

(xi)i∈I ∈

Y

i∈I

Xi:{i∈I:xi6= 0} ´e finito

)

´e denso no conjunto ˜

lp:=

(

(xi)i∈I ∈

Y

i∈I

Xi:

X

i∈I

kxikp<∞

)

,

se 1_≤p <_∞(com a topologia induzida pela norma dada por k(xi)i∈Ik:= p

s X

(30)

para todo (xi)i∈I ∈˜lp): de fato, sejam ǫ >0 e (xi)i∈I ∈˜lp. Da somabilidade de _{kxikp}i_∈_I garantimos, pelo Fato 2, a existˆencia de Fǫp ⊆ I finito tal que P

i∈I\Fǫpkxik

p = |P

i∈Fǫpkxik

p −P

i∈Ikxik p

| < ǫp_{. Considere o elemento} (yi)i∈I definido poryi =xi, se i∈Fǫp ey_i = 0, sei∈I\F_ǫp. Ent˜ao, (yi)i_∈_I ´e

tal que (yi)i∈I ∈ ⊕i∈IXi ek(yi)i∈I−(xi)i∈Ik< ǫ.

Logo, sep= 2 e cadaXi:=Hi for um espa¸co com produto interno, ˜l2ser´a

um espa¸co com produto interno, sendo este dado por h(xi)i∈I,(yi)i∈Ii:=

X

i∈I

hxi, yii,

(xi)i∈I,(yi)i∈I ∈Qi∈IHi.

b) ˜lp é completo se, e somente se, Xi é completo, para todo i ∈ I. Para demonstrar este item, basta usar o Fato 1 e alguns truques simples de Análise.

XXII) SejaX um conjunto n˜ao-vazio.

Uma fam´ıliaS não-vazia de subconjuntos deX é dita ser uma semi-álgebra emX se:

1. X _{∈ S};

2. para todos A, B _{∈ S} tem-se que A_∩B _{∈ S}; (e, portanto, intersec¸c˜oes finitas de elementos de_Apertencem a_A)

3. para todo A _{∈ S}, existem n _∈ N _{e elementos} _A_i _{∈ S}_,₁ _≤ _i _≤ _n_{, com}

Ai∩Aj=∅, sei6=j, tais que X\A=∪1≤i≤nAi.

Além disso, uma fam´ılia_A não-vazia de subconjuntos deX é dita ser uma álgebraX se:

1. para todos A, B ∈ A tem-se queA∪B ∈ A; (e, portanto, uni˜oes finitas de elementos deApertencem aA)

2. para todoA∈ A, tem-se queX\A∈ A. (Note queX∈ A).

Um resultado muito importante que vamos utilizar mais tarde, na demons-tra¸c˜ao do teorema espectral paran-uplas finitas de operadores lineares limitados auto-adjuntos que comutam dois a dois, ´e o seguinte:

Lema:9 _Seja

S uma semi-álgebra em X. Então a álgebra gerada por _S,

A(_S), consiste no conjunto _D(_S) das uni˜oes finitas disjuntas de elementos de

(31)

S.

Demonstra¸cão: E poss´ıvel ver que´ A(S) é o conjunto das uniões finitas de elementos deS com complementares de elementos de S. Logo, tem-se trivial-mente queD(S)⊆ A(S). ComoD(S) contémS, terminaremos a demonstra¸cão se mostrarmos que D(S) é uma álgebra. Vamos mostrar, primeiramente, que D(S) é fechado por complementa¸cão. SejamBj,1≤j≤m, elementos deStais queBp∩Bq=∅, sep6=q. DefinindoB :=S1≤j≤mBj temos que

X_\B= \

1≤j≤m

X_\Bj,

e cada X_\Bj ´e uma uni˜ao disjunta de elementos de S, digamos X\Bj =

S

1≤k≤r(j)Bkj, para algum r(j) ∈ N e certos Bjk ∈ S. Logo, X\B ´e a uni˜ao variando-se nas m-uplas (k(i))1≤i≤m, onde 1 ≤ k(i) ≤ r(i), dos elementos T

1≤j≤mB k(j)

j . Cada

T

1≤j≤mB k(j)

j pertence aS, pelo fato deS ser uma semi-´

algebra. Al´em disso, eles s˜ao dois a dois disjuntos, pois se T

1≤j≤mB k1(j)

j e

T

1≤j≤mB k2(j)

j s˜ao tais que (k1(i))1≤i≤m = (6 k2(i))1≤i≤m, ent˜ao existe i tal

quek1(i)6=k2(i). Logo, Bki1(i)∩B k2(i)

i = ∅, mostrando que

T

1≤j≤mB k1(j)

j e

T

1≤j≤mB k2(j)

j são disjuntos. Isto estabelece queX\B é uma união disjunta de elementos deS. Vamos mostrar, agora, que D(S) é fechado por união. Sejam

Al,1 ≤l ≤n, elementos de S tais queAi∩Aj =∅, se i6=j. Vamos mostrar que (S

1≤l≤nAl)∪(

S

1≤j≤mBj) ´e uma uni˜ao disjunta de elementos deS. Temos que

( [

1≤l≤n

Al)_∪B= ( [

1≤l≤n

(Al∩X\B))∪B.

MasX\B é uma união disjunta de elementos deS, como já vimos. Portanto,

S

(32)

“ ´Algebras de Banach e C∗_-´_{algebras - alguns resultados elementares”}

10

Definiremos uma ´algebra de BanachAcomo sendo umC_{-espa¸co vetorial no}

qual:

1. além das opera¸cões de soma (+) e de multiplica¸cão por um escalar (·), está definida uma opera¸cão de multiplica¸cão◦:A×A−→Aque é associativa e bilinear (em particular, vale a distributividade à esquerda e à direita). Os s´ımbolos de multiplica¸cão e de multiplica¸cão por escalar serão sempre omitidos;

2. está definida uma norma _{k · k}que é submultiplicativa (isto é, ela satisfaz kabk ≤ kakkbk, para todosa, b∈A) e que induz uma métrica segundo a qualA, quando considerada como um espa¸co métrico, é completo. Uma álgebra de Banach será dita comutativa se a multiplica¸cão satisfizer

ab=ba, para todosa, b∈A. Al´em disso, se Afor uma ´algebra de Banach na qual existe um elemento IA satisfazendo IA 6= 0, aIA = IAa = a, para todo

a∈A, ekIAk= 1 (note queaIA=IAa=a, para todo a∈Aimplica somente kIAk ≥1), diremos que tal álgebra possui uma unidade (note que sua defini¸cão implica sua unicidade). Agora, seA for uma álgebra de Banach na qual está definida uma aplica¸cão_∗:A_−→A satisfazendo, para todosa, b_∈Aeλ_∈C_:

1. (a+λb)∗₌_a∗₊_λb∗_,

2. (ab)∗₌_b∗_a∗_,

3. (a∗₎∗₌_a_,

com a propriedade adicional _ka∗_a

k = _ka_k2_{, para todo} _a

∈ A, então A é dita ser uma C∗_{-álgebra (}

∗ é denominada aplica¸cão de involu¸cão, e a propri-edade _ka∗_a

k = _ka_k2_{, para todo} _a

∈ A, ´e denominada propriedade C∗_{; al´em}

disso, a∗ _{é definido como o adjunto de} _a_{). Numa C}∗_{-álgebra, a involu¸cão}

´e uma isometria, isto ´e, ka∗_k ₌ _k_a_k_{, para todo} _a _∈ _A_{. Isto se segue da}

propriedade 3 da involu¸cão, da submultiplicatividade da norma e da identi-dade C∗_{. Se} _A _{for uma C}∗_{-álgebra que possui uma unidade, dizemos que} A é uma C∗-álgebra unital. Se A for uma C∗-álgebra sem unidade podemos munir o produto cartesiano A_×C _{com uma estrutura de C}∗_{-álgebra unital,}

na qual a aplica¸cão a _7−→ (a,0) := é uma isometria. Basta definirmos a soma, o produto por escalar e a involu¸cão da maneira óbvia (coordenada a co-ordenada), o produto por (a, α)(b, β) _7−→ (ab+αb+βa, αβ) e a norma por k(a, α)_k = sup_{(a, α)˜x:x_∈A,_kx_{k ≤}1_}, a, b_∈A, α, β _∈C_{. A unidade, neste}

caso, será o elemento (0,1) (a C∗_{-álgebra ˜}_A _{assim obtida é conhecida como a}

unitiza¸c˜ao deA).

SeA´e uma C∗_{-´algebra, dizemos que:}

(33)

1. a_∈A ´e um elemento normal se aa∗ ₌_a∗_a_{, isto ´e, se} _a _{comuta com seu}

adjunto;

2. a∈A´e um elemento auto-adjunto sea=a∗_;

3. a∈A´e um elemento unit´ario se satisfazaa∗₌_a∗_a₌_I_A;

4. a∈A´e uma proje¸c˜ao se satisfaz a∗=a=a2.11

Ressaltamos aqui, sem demonstra¸c˜ao, que os espa¸cosC(I) e_B(H) s˜ao C∗

-´

algebras, se definirmos suas involu¸cões pela conjuga¸cão complexa e pela opera¸cão de adjun¸cão, respectivamente.

Um homomorfismo entre C∗_{-´algebras ser´}_{a dito um}

∗-homomorfismo se for um homomorfismo de álgebras que preserva a involu¸cão. Se as C∗_{-álgebras forem}

unitais e tal homomorfismo levar a unidade de uma na unidade da outra, ent˜ao ele ser´a denominado um homomorfismo unital.

Um resultado muito conhecido afirma que, se A é uma álgebra de Banach com unidade IA, então o elemento IA−a é invers´ıvel, para todo a ∈ A sa-tisfazendo kak < 1. Neste caso, mostra-se que (IA −a)−1 = P+_n₌₀∞an (esta fórmula é conhecida como série de Von Neumann). Isto mostra que o con-junto G(A) := {a∈A: a é invers´ıvel em A} (dizer que “a ∈ A é invers´ı-vel em A” significa dizer que a possui um inverso multiplicativo a−1, isto é,

aa−1₌_a−1_a₌_I_{A, e que}_{este pertence a}_A_{) ´e aberto em}_A_{, pois se}_a

∈G(A) eb _∈ A satisfizer _kb_k <_ka−1

k−1_{, ent˜ao} _a

−b = a(IA−a−1b), eIA−a−1b ´e invers´ıvel, uma vez que_ka−1_b

k ≤ ka−1

kkb_k<1. ´

E poss´ıvel provar que a opera¸cão de inversão em G(A) é um homeomorfismo diferenciável (não nos aprofundaremos nesta discussão, aqui).

Dadoa∈Anuma ´algebra de Banach com unidade, definimos o espectro de

acom respeito a A por σA(a) :={λ∈C_:_λI_A₋_a_{n˜ao ´e invers´ıvel em}_A_}_{, e o}

seu resolvente (com respeito aA) porρA(a) :=C_\_σ_A(_a_{). Definimos, ainda, o}

raio espectral dea, com respeito a A, porrA(a) := sup_{|λ_|:λ_∈σA(a)_}(se A

n˜ao tiver uma unidade, definimosσA(a) :=nλ∈C_:_λI_˜

A− ´e invers´ıvel em ˜A

o

, sendo I_A˜ = (0,1)). Ali´as, o acr´escimo “com respeito a A” posto acima na

defini¸c˜ao de espectro se deve ao fato de que, se um certo elemento a _∈ A

pertence a uma subálgebra de Banach de A, digamos B, com IA ∈ B - por exemplo, a subálgebra gerada por a e IA -, então σA(a) ⊆ σB(a), mas nem sempre se tem a inclusão inversa, pois um elemento invers´ıvel emA pode não ser invers´ıvel emB. Portanto, seλ_∈C_,_|_λ_|_>_k_a_k_{, então}_λ_∈ _ρ_A(_a_{). De fato,}

se|λ|>kak, temos queλ1−a=λ(IA−a/λ), eka/λk<1. Al´em disso, como

C_∋_λ_7−→_λI_A₋_a_∈_A_{´e uma aplica¸c˜}_{ao cont´ınua e} _σ_A(_a_{) ´e a imagem inversa}

deA\G(A) por tal aplica¸c˜ao, segue queσA(a) ´e um subconjunto fechado deC_.

(34)

Logo,σA(a) ´e um subconjunto compacto de C_{. Prova-se, inclusive, que}_σ_A(_a₎

´e sempre n˜ao-vazio.

Uma f´ormula extremamente importante afirma que (R) rA(a) = lim

n ka n

k1/n_.

Com esta fórmula, mostra-se que, seAfor uma C∗_{-álgebra unital, então}_r_A(_a_{) =}

kak, sempre que a ∈ A for um elemento normal ou auto-adjunto. Inclusive, usando este fato, podemos dar uma aplica¸cão interessante aos operadores auto-adjuntos sobre espa¸cos de Hilbert (sejam eles limitados ou não). Vamos fazer uma breve digressão para mostrar um lema e, logo em seguida, mostrar a apli-ca¸cão mencionada:12

Lema A0: SeA´e um operador linear injetor agindo num espa¸co de Hilbert H, ent˜ao

σ(A−1)_\{0_}=_{λ−1:λ_∈σ(A)_\{0_}}, ondeDom(A−1_{) := Im(}_A₎

Demonstra¸c˜ao: A identidade alg´ebrica

(z−1₋λ−1)−1=₋λz(z₋λ)−1,

v´alida para quaisquerz, λ_∈C_{n˜ao-nulos, nos motiva a ideia da demonstra¸c˜}_ao:

seλ_∈ρ(A), λ₆= 0, ent˜ao para todou_∈H,

(A−1−λ−1)(−λA(A−λ)−1)u=−λ(A−λ)−1u+A(A−λ)−1u=u,

enquanto que para todov:=Aw∈Dom(A−1) = Im(A),

(₋λA(A₋λ)−1)(A−1₋λ−1)v=A(A₋λ)−1(₋λ+A)w=Aw=v.

Isto mostra que

−λA(A₋λ)−1= (A−1₋λ−1)−1 e, como

−λA(A−λ)−1=−λ2(A−λ)−1−λ

e o membro da direita pertence a_B(H), temos pela defini¸c˜ao de resolvente que

λ−1

∈ρ(A−1_{). Isto mostra a inclus˜ao} _ρ₍_A−1₎

\{0_{} ⊇ {}λ−1 _:_λ

∈ρ(A)_\{0_}}, ou seja,σ(A−1₎

\{0_{} ⊆ {}λ−1_:_λ

∈σ(A)_\{0_}}. Usando-se a identidade −λ−1z−1(z−1₋λ−1)−1= (z₋λ)−1

e a mesma estrat´egia acima, mostra-se a outra inclus˜ao.

Teorema: O espectro de qualquer operador auto-adjuntoAagindo num es-pa¸co de HilbertH ´e n˜ao-vazio.

(35)

Demonstra¸cão: Se 0 _∈ σ(A), não há nada a demonstrar. Suponha que 0_∈/ σ(A). Então, está bem definido e é limitado o operadorA−1_{. Como} _A−1

´e auto-adjunto,13 _r

B(H)(A−1) = kA−1k, pelo que acabamos de afirmar. Isto

mostra que σ(A−1_{) cont´em um elemento n˜}_{ao-nulo de} _C_{, pois caso contr´}_ario,

A−1 _{seria nulo, um absurdo. Logo, existe 0} ₆₌ _λ _∈ _σ₍_A−1_{). Pelo Lema A0,}

garantimos que λ−1_∈ _σ₍_A_{), mostrando que o espectro de}_A_{´e n˜}_{ao-vazio. Isto}

estabelece o resultado desejado.

(na realidade, ganhamos o seguinte corolário, também: se A é um operador linear agindo sobre um espa¸co de Hilbert H tal que 0 _∈/ σ(A) e A−1 _{é um}

operador normal, ent˜ao σ(A)₆=_∅. Isto se deve ao fato de que tamb´em temos

rB(H)(A−1) =kA−1k, neste caso).

Voltemos `a teoria de ´algebras de Banach.

Devido ao fato de a defini¸cão do raio espectral ser puramente algébrica e à “ponte” criada entre a estrutura algébrica e a estrutura topológica de A pela fórmula (R), provamos que o raio espectral de apermanece o mesmo, tanto se o consideramos com respeito a A ou com respeito a alguma subálgebra unital de A que contenha a (desde que a unidade desta seja a unidade de A). Por este motivo, representaremos o raio espectral de a simplesmente por r(a), de agora em diante. Prova-se também que se Aé uma ∗-álgebra (isto é, uma ál-gebra com uma involu¸cão) que adquire uma estrutura de C∗_{-álgebra quando}

munida de uma certa norma _{k · k}1 e se, quando munimos A com uma outra

norma_{k · k}2, (mantendo as mesmas opera¸c˜oes de soma, multiplica¸c˜ao,

multipli-ca¸cão por escalar e involu¸cão)Atambém se transforma numa C∗_{-álgebra, então}

k·k1=k·k2. De fato, sea∈A´e um elemento de uma ´algebra de BanachAcom

unidade que se torna uma C∗_{-´algebra tanto com}

k · k1quanto com k · k2, ent˜ao

ka_k2

1=ka∗ak1=r(a∗a) =ka∗ak2=kak22, poisa∗a´e um elemento auto-adjunto

deA.

Devido ao fato (não trivial) de que o espectro de todo elemento de uma ál-gebra de Banach com unidade é não-vazio, prova-se o seguinte resultado:

Teorema (Gelfand): Se Aé uma álgebra de Banach com unidade tal que todo elemento não-nulo é invers´ıvel, então A é isometricamente isomorfa aC

(a comutatividade deA também é conseqüência do teorema).

Demonstra¸c˜ao: notemos, primeiramente, que o espectro de cada elemento

a de A, por ser não-vazio, contém somente um elemento. De fato, se λ, µ _∈ σA(a), entãoλIA−a= 0 =µIA−a, pela defini¸cão de espectro, uma vez que 13_{Pois seja}_A_{um operador sim´}_{etrico densamente definido tal que 0}_∈_/_σ₍_A_{). Ent˜}_{ao, se}_v_∈_H eu∈Dom(A−1_{), existem}_{x, y}_∈_Dom(_A_{) tais que}_Ax₌_u_e_Ay₌_v_{. Logo,}