A hipótese de distribuição normal multivariada restringe a associação das distribuições marginais e limita a investigação de fenômenos envolvendo valores extremos. Em trabalhos
12. Uma estratégia ótima apresenta a propriedade segundo a qual, a despeito das decisões tomadas para se atingir um estado particular num certo estágio, as decisões remanescentes a partir deste estágio devem constituir uma estratégia ótima. A equação de Bellman ou equação de Hamilton–Jacobi–Bellman é conhecida como equação fundamental da otimalidade.
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recentes de finanças como o de Embrechts et al. (1999), Bouyé et al. (2000), Klugman e Parsa
(2000), Ané e Kharoubi (2003), são inúmeros os argumentos contrários à suposição de normalidade para algumas variáveis econômicas, uma vez que grandes mudanças são observadas com mais frequência do que o previsto sob o pressuposto da normalidade. Por exemplo, sob a hipótese de distribuição normal, o valor em risco ponderado de uma carteira de projetos pode ser subestimado ou superestimado.
Estas evidências resultaram no resgate de um importante trabalho publicado em 1959 por Abe Sklar, que propôs um teorema onde afirma que as distribuições marginais podem ser acopladas via função para formar uma distribuição multivariada. O teorema de Sklar (1959) se baseia em princípios que remontam aos trabalhos de Hoeffding (1940) e Fréchet (1951), dentre outros. Durante algum tempo, o termo cópula não foi utilizado e os primeiros trabalhos envolvendo modelos de dependência por meio destas funções surgiram na década de 1980 com Schweizer e Wolff (1981).
Apenas uma década depois, a partir das traduções de artigos publicados em jornais alemães das décadas de 1940 e 1950 feitas por Fisher e Sen (1994), o termo cópula atraiu o interesse da academia. Nos anos seguintes à tradução destes autores, outros como Nelsen (1999, 2006), Embrechts et al. (1997, 1999, 2001), McNeil et al. (2005), Cherubini et al. (2004), Kurowicka e
Joe (2010) e Joe (2014) deram contribuições valorosas com a publicação de livros e artigos abordando exemplos em análise de risco. De fato, estes autores popularizaram a teoria de cópulas em finanças e, por consequência, fomentaram a aplicação em outras áreas de pesquisas.
Instituições de classificação de risco, como a Moody e Standard&Poor, utilizam a teoria de cópulas aliada aos processos estocásticos em seus modelos de gerenciamento de risco. A União Europeia, por exemplo, preocupada com o volume de capital que as empresas de seguros daquele continente devem manter para reduzir o risco de insolvência, publicou uma diretiva13 denominada Solvency II estimulando o uso de modelos baseados em cópulas. Patton (2002, 2004), por exemplo, evidencia a importância das assimetrias comparando o desempenho de um portfólio
13. Diretivas adotadas por 27 países da União Europeia (UE) e mais três membros do Espaço Econômico Europeu (EEE). Esta norma, prevista para entrar em vigência em 1º de janeiro de 2016, tem por objetivo melhorar o sistema de solvência de empresas de seguro, bancos e fundos de pensão e substituir o regime criado na Europa na década de 1970.
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com base na distribuição normal e em outras distribuições conjuntas mais flexíveis, como as cópulas. O autor, fazendo uso de uma função utilidade, demonstrou que a decisão em um portfólio amparada por modelos de cópulas assimétricas é melhor do que suportada por modelos de distribuições normais.
De acordo com Fisher (1997), as cópulas são de interesse dos estatísticos por ser uma forma de estudar medidas de dependência em livre escala e possibilita a construção de famílias de distribuições multivariadas. Uma cópula pode modelar uma estrutura de dependência a partir de qualquer tipo de distribuição marginal, até mesmo de diferentes famílias, o que não é possível com outras medidas de correlação. Hoje, como revela Mikosch (2006), observa-se uma indústria crescente sobre o assunto e é fácil encontrar procedimentos de construção de cópulas em programas comerciais de matemática. De fato, as distribuições de valores extremos, como a de Gumbel, Fréchet e Weibull, têm sido utilizadas com a teoria de cópulas nos últimos anos para estimar distribuições dos retornos de séries econométricas.
Em atividades da indústria de petróleo, ainda que o foco não seja a proposição de metodologias de avaliação econômica de projetos de petróleo, autores como Gallant et al. (1999),
Rose (2001), Armstrong et al. (2004), Accioly e Chiyoshi (2004), Demirmen (2005), Al-Harthy et al. (2007) e outros, exploraram a teoria aplicando-a na estimativa de reservas, no tempo de
perfuração de poços e em caracterização de reservatórios.
Gallant et al. (1999) avaliaram a complexidade dos projetos de petróleo e discutiram a
importância dos modelos que capturam as correlações entre as diversas variáveis envolvidas no processo de avaliação de risco do projeto, denominando-os de modelos dinâmicos de aprendizagem. Neste artigo os autores citam algumas aplicações:
(i) Estimativa de faixas de variáveis de incertezas que afetam o exercício de opções reais;
(ii) Inclusão da incerteza da taxa de declínio associada ao índice de produtividade para o cálculo da reserva;
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(iii) Revisão do planejamento de perfuração conforme distribuição de produtividade do poço exploratório e;
(iv) Elaboração de modelos dinâmicos para acompanhamento das flutuações da
commodity.
Rose (2001), em seu último capítulo da série sobre análise de risco em exploração de petróleo, chama a atenção para as densidades dos limites superiores e inferiores das distribuições das reservas. A advertência do autor, dirigidas às empresas de petróleo, focava os procedimentos que apresentavam erros comuns de subestimação ou superestimação das reservas consideradas nos projetos.
Armstrong et al. (2004), aplicando análise Bayesiana, investigaram a opção da
oportunidade em obter informações adicionais de um poço com uma ferramenta de perfil de produção (PLT) antes de decidir pela manutenção da produção do mesmo. Estes autores, utilizando-se de cópulas Arquimedianas e de análise Bayesiana para valoração da opção, consideraram três cenários para o poço: (i) continuar em produção sem a intervenção e sem a elevação da vazão; (ii) elevar a produção sem a realização do PLT e; (iii) elevar a produção depois da avaliação do PLT. Para o preço do óleo foi usado o movimento geométrico Browniano e o resultado indicou que, ao contrário das expectativas iniciais, o valor da opção se mostrou menor para as condições de alta da commodity do que para as condições de baixa.
Accioly e Chiyoshi (2004) avaliaram três cópulas Arquimedianas bivariadas clássicas (Clayton, Frank e Gumbel) utilizando-se de amostras de 188 poços exploratórios perfurados no Golfo do México. As variáveis investigadas foram o tempo de perfuração e a profundidade do poço. Com estes dados, segundo os autores, se o objetivo é evidenciar uma estrutura de dependência entre aquelas variáveis, a cópula de Clayton se mostrou mais apropriada frente às demais. Acciolly (2005), em sua proposição de tese, avaliou a incorporação de modelos de cópulas envolvendo variáveis de interesse da avaliação econômica de projetos de petróleo. Além destas avaliações, o autor contribuiu com uma metodologia para a previsão de falhas de poços empregando modelos de dependência estimados com dados empíricos.
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Demirmen (2005) afirma que a redução da incerteza nas estimativas de reservas revela-se um valor para toda a vida do campo. Em uma análise de alguns campos do Mar do Norte e Golfo do México, o autor conclui que a precisão das estimativas de reservas é insatisfatória para muitos casos e aponta algumas medidas visando reduzir o nível de incerteza. Entre as medidas de caráter humano (experiência, competência e integridade ética da equipe), o autor chama atenção da aderência de modelos estatísticos nas diversas metodologias baseadas em simulação Monte Carlo, uma vez que os resultados são altamente influenciados pela curtose e assimetria das distribuições manuseadas. Com efeito, é inconteste a assertiva do autor ao afirmar que um procedimento de simulação Monte Carlo pautado por distribuições inconsistentes constitui uma verdadeira ''caixa-preta''. Ademais, reconhece o autor que quase sempre os cálculos de reservas realizados pelas empresas não consideram adequadamente as dependências das variáveis envolvidas.
Al-Harthy et al. (2007) publicaram um artigo ilustrando o potencial de uso da teoria de
cópulas na indústria de óleo e gás, focando fundamentalmente a determinação da reserva. Eles compararam os resultados obtidos com cópula com outros três métodos de dependência empregados comumente pelas empresas de petróleo: o método tradicional de regressão, o método do envelope conforme descrito por Newendorp (1976) e o algoritmo de Iman e Conover (1982). Este último, implementado em programas comerciais como o @RiskTM e o Crystal BallTM, faz uso da correlação de posição de Spearman (1904), enquanto as cópulas empregadas pelos autores (cópulas de Clayton) utilizam o coeficiente de Kendall et al. (1939). Estes autores concluíram
que as cópulas Arquimedianas capturam melhor as estruturas de dependência de valores extremos quando comparadas com as indicadas pelos demais métodos supracitados.