JOÃO BOSCO DIAS MARQUES
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE
PROJETOS DE PETRÓLEO COM EMPREGO DE CÓPULAS
E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS AUTORREGRESSIVOS
CAMPINAS
2015
iii
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA E INSTITUTO DE
GEOCIÊNCIAS
JOÃO BOSCO DIAS MARQUES
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE
PROJETOS DE PETRÓLEO COM EMPREGO DE CÓPULAS
E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS AUTORREGRESSIVOS
Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo, na área de Reservatórios e Gestão.Orientador: Prof. Dr. Osvair Vidal Trevisan.
iv
2015
Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura
Luciana Pietrosanto Milla - CRB 8/8129
Marques, João Bosco Dias,
1963-M348m M Metodologia de avaliação econômica de projetos de petróleo com emprego de cópulas e processos estocásticos autorregressivos / João Bosco Dias Marques. – Campinas, SP: [s.n.], 2015.
MarOrientador: Osvair Vidal Trevisan.
MarTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências.
Mar1. Avaliação econômica. 2. Petróleo. 3. Cópulas. 4. Modelos GARCH. 5. Valor em risco (VaR) . I. Trevisan, Osvair Vidal,1952-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Economic evaluation methodology of oil projects using copulas and
stochastic autoregressive processes
Palavras-chave em inglês: Economic evaluation Oil Copulas GARCH models Value-at-risk
Área de concentração: Reservatórios e Gestão
Titulação: Doutor em Ciências e Engenharia de Petróleo
Banca examinadora:
Osvair Vidal Trevisan [Orientador] Denis José Schiozer
Gabriel Alves da Costa Lima Mônica Rebelo Rodriguez Rafael Filipe Schiozer
Data de defesa: 09-02-2015
v
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA E INSTITUTO DE
GEOCIÊNCIAS
TESE DE DOUTORADO
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE
PROJETOS DE PETRÓLEO COM EMPREGO DE CÓPULAS
E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS AUTORREGRESSIVOS
Autor: João Bosco Dias Marquesvii
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à memória de minha mãe Maria Farias Dias, de quem tenho saudades imensas, e aos meus amores que fazem de mim o homem mais feliz do mundo: Aglais, Renato, Cibelle, Amanda e Yuri.
ix
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar agradeço o apoio e a orientação do Prof. Dr. Osvair Vidal Trevisan. A sua paciência, orientação e os votos depositados em mim possibilitaram a concretização deste trabalho. Agradeço à minha companheira Gê, que abriu mão da minha atenção em muitos finais de semana. Agradeço em especial à compreensão do meu filho Yuri, pelas vezes que deixei de pedalar ao seu lado para mergulhar nos artigos referenciados neste trabalho.
Agradeço o apoio da Petrobras na pessoa do Bucheb, Luiz Carlos e Juliana, que possibilitaram a minha liberação. Agradeço aos funcionários e professores do Departamento de Energia da Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP, que me permitiram usufruir da infraestrutura do campus sempre que solicitados.
Ao colega de trabalho e amigo Barragan pelas inúmeras discussões sobre estatística, um especial agradecimento. Agradeço aos colegas Avansi, Samuel, Marcia Ida, Philipe Laboissière e Marcio, pelas discussões pontuais e nas dúvidas sobre programação em MATLAB. Aos professores Bonet, Rosângela e Iatchuk, pela agradável companhia nos cafés e nas discussões políticas.
Um agradecimento especial ao meu irmão Chagas, mais do que um Físico uma extraordinária pessoa, pelo acolhimento sempre carinhoso e pelos momentos de discussões sobre os mais variados temas científicos. São destas discussões paralelas que os melhores ensaios são produzidos. Agradeço à minha sobrinha Lívia, pelas inúmeras simulações de estratégias de produção de reservatórios cedidas para este trabalho.
Por último, agradeço aos amigos Eloy, Chagas, Adalberto, Guina, Paulo e suas respectivas esposas, enófilos por adesão, pelos momentos de lazer nas centenas de rótulos de vinhos que compartilhamos juntos, sem os quais a minha fase em Campinas teria sido mais estressante do que o necessário.
xi
''O que sabemos é uma gota; o que ignoramos é um oceano''.
xiii
RESUMO
Esta tese, de caráter metodológico, é uma proposta de análise econômica de projetos de petróleo com emprego de cópulas e processos estocásticos autorregressivos envolvendo cinco variáveis fundamentais: o preço da commodity, a taxa mínima de atratividade (TMA), o custo de investimento (CAPEX), o custo operacional (OPEX) e a curva de produção de óleo. A premissa é a existência de uma estratégia de produção já estabelecida, de preferência decorrente de metodologias validadas em simulação numérica de reservatórios. O fluxo de caixa do projeto é baseado numa formulação simplificada de VPL e num modelo analítico de produção condicionado à referida estratégia.
Para a aplicação desta metodologia são estimados modelos da família GARCH e ARMA para o preço do óleo e TMA, cópulas Arquimedianas para o CAPEX e o OPEX e cópulas elípticas para as variáveis que compõem a curva analítica de produção. Uma solução computacional, desenvolvida para a validação desta tese, possibilita não só a estimativa dos modelos como a incorporação destes no fluxo de caixa de um projeto de petróleo, tanto em regime de concessão como de partilha de produção. A matriz de incertezas combina os atributos preço e taxa para três cenários econômicos, contra os atributos de eficiência e eficácia para três níveis de desempenho da empresa. A métrica de risco indicada é o valor em risco ponderado.
Os resultados evidenciam as vantagens dos modelos estimados para a análise de risco de projetos de petróleo em condições de incertezas. As assimetrias relacionadas aos choques havidos no preço da commodity são claramente evidenciadas. A métrica indicada, além de coerente para um investidor avesso ao risco, pode subsidiar com vantagens a curva de risco na estimativa das reservas P10, P50 e P90. Outra vantagem é o tratamento acoplado de variáveis como o CAPEX e o OPEX como parâmetros de atributos de desempenho operacional. Trata-se de uma metodologia expedita, aplicável, de fácil interpretação e de valor prático, que pode auxiliar os processos de decisão em projetos de alta complexidade como os do pré-sal brasileiro.
Palavras Chave: Avaliação econômica de projetos de petróleo, processos autorregressivos, cópulas Arquimedianas, modelos GARCH, valor em risco ponderado.
xv
ABSTRACT
This thesis of methodological nature is a proposed economic analysis of oil projects with the use of copulas and autoregressive stochastic processes involving five fundamental variables: the price of the commodity, the discount rate (TMA), the investment cost (CAPEX), the operating cost (OPEX) and the curve of oil production. The premise is the existence of a production strategy established, preferably derived from validated methods in numerical reservoir simulation. Cash flow of the project is based on a simplified formulation of NPV and an analytical model of production conditioned on the Strategy.
For the application of this methodology, models from the ARMA and GARCH family were estimated for the price of oil and TMA, Archimedean copulas for the CAPEX and OPEX, and elliptical copulas for the variables that comprise the analytical production curve. A computational solution, developed to validate this thesis, provides not only the estimation of models, such as the incorporation in the cash flow of an oil project under concession regime and production sharing contract. The uncertainty matrix combines the attributes of price and rate in three economic scenarios versus the attributes of efficiency and effectiveness in three levels of operator performance. The indicated risk metric is the weighted value-at-risk.
The results show advantages of the estimated models for the risk analysis of oil projects under conditions of uncertainty. Asymmetries related to shocks that were in the price of
commodity are clearly evidenced. The indicated metric, in addition to its consistency for a risk averse investor, can subsidize with advantages the risk curve in the estimation of reserves P10, P50 and P90. Another advantage is the coupled treatment of variables like the CAPEX and OPEX as parameters of management attributes. This is an expedient methodology, applicable, easy to understand and of practical value that can assist decision-making processes in highly complex projects such as Brazilian pre-salt.
Key Words: Economic evaluation of oil projects, autoregressive processes, Arquimedean copulas, GARCH models, average value-at-risk.
xvii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 1 1.1. MOTIVAÇÃO ... 5 1.2. OBJETIVO ... 5 1.2.1. Premissa fundamental ... 6 1.2.2. Ferramenta de trabalho ... 6 1.2.3. Contribuições ... 7 2. REVISÃO DA LITERATURA ... 92.1. DECISÃO DE INVESTIMENTO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZAS ... 9
2.2. TEORIA DE CÓPULAS – FINANÇAS E PETRÓLEO ... 16
2.3. PREÇO DO PETRÓLEO ... 20
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 27
3.1. TEORIA DE CÓPULAS ... 27
3.1.1. Distribuição conjunta ... 27
3.1.2. Inversa da função distribuição ... 31
3.1.3. Definição de cópula ... 32
3.1.4. Classes de cópulas ... 35
3.1.5. Exemplificando estruturas de dependência ... 46
3.1.6. Medidas de dependência ... 48
3.1.7. Geração de cópulas ... 53
3.1.8. Critérios de seleção de cópulas... 57
3.1.9. Estimativa de cópulas - noções ... 59
3.2. ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS ... 63
3.2.1. Definição de processos estocásticos ... 64
3.2.2. Conceitos fundamentais ... 64
3.2.3. Processos estocásticos estacionários ... 77
3.2.4. Estimativa de parâmetros ... 88
xviii
3.2.6. Processos estocásticos não estacionários ... 93
3.2.7. Modelos de heterocedasticidade condicional ... 102
3.2.8. Processos estocásticos contínuos – processos de difusão de Itô... 108
4. METODOLOGIA ... 115
4.1. DETALHAMENTO – FLUXOGRAMA DE TRABALHO ... 115
4.1.1. Premissas gerais (fluxo de caixa fiscal) – Etapa 1 ... 115
4.1.2. Seleção da estratégia de produção do campo – Etapa 2 ... 118
4.1.3. Proposição e ajuste do modelo analítico de produção – Etapa 3 ... 118
4.1.4. Definição dos cenários econômicos – Etapa 4 ... 121
4.1.5. Validação do método simplificado de VPL – Etapa 5 ... 122
4.1.6. Estimativa de modelos de cópulas – Etapa 6 ... 130
4.1.7. Estimativa de modelos de processos estocásticos – Etapa 7 ... 131
4.1.8. Simulação do fluxo de caixa do projeto – Etapa 8 ... 138
4.1.9. Análise de risco – Etapa 9 ... 142
5. RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 151
5.1. AJUSTE DO MODELO ANALÍTICO DE PRODUÇÃO ... 151
5.2. ESTIMATIVA DE CÓPULAS ... 154
5.2.1. Cópulas Arquimedianas bivariadas para o CAPEX e OPEX ... 154
5.2.2. Cópulas elípticas para o modelo Comodel ... 158
5.2.3. Estimativa confiável dos parâmetros das cópulas ... 159
5.3. ESTIMATIVA DE MODELOS TEMPORAIS AUTORREGRESSIVOS ... 161
5.3.1. Preço do óleo ... 161
5.3.2. Taxa mínima de atratividade ... 172
5.4. SIMULAÇÃO DO FLUXO DE CAIXA – MATRIZ DE INCERTEZAS ... 175
5.4.1. Incerteza econômica – Preço do óleo (GARCH, EGARCH e GJR) ... 176
5.4.2. Incerteza econômica – Preço do óleo (MGB com reversão à média) ... 180
5.4.3. Incerteza quanto ao desempenho operacional – Curva de óleo ... 182
5.4.4. Incertezas econômicas e desempenhos operacionais ... 184
5.5. EQUIVALENTE CERTO E PRÊMIO DE RISCO ... 186
xix
5.6.1. Caso 1 ... 189
5.6.2. Caso 2 ... 191
5.6.3. Caso 3 ... 192
5.7. ÁBACOS DE AVALIAÇÃO ECONÔMICA DE PROJETOS ... 194
6. CONCLUSÕES ... 199
6.1. QUANTO À APLICABILIDADE DA METODOLOGIA ... 199
6.2. QUANTO AOS MODELOS ESTIMADOS ... 201
6.3. QUANTO AOS RESULTADOS ... 203
6.4. RECOMENDAÇÕES ... 204 REFERÊNCIAS ... 207 APÊNDICE A ... 231 APÊNDICE B ... 233 APÊNDICE C ... 235 APÊNDICE D ... 237 ANEXO A ... 243 ANEXO B ... 244
xxi
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1 – Distribuição normal bivariada – Função densidade e função distribuição. ... 29
Figura 3.2 – Distribuição t de Student bivariada. ... 31
Figura 3.3 – Distribuições Gaussiana e Gama e respectivas transformadas U=F(x). ... 31
Figura 3.4 – Cópula bivariada de Farlie–Gumbel–Morgenstern. ... 37
Figura 3.5 – Cópula FGM generalizada. ... 38
Figura 3.6 – Cópula Gaussiana com θ=0,5. ... 39
Figura 3.7 – Cópula de Clayton para θ=1. ... 42
Figura 3.8 – Cópula de Frank para θ=3. ... 43
Figura 3.9 – Cópula de Gumbel para θ=2. ... 44
Figura 3.10 – Cópula de Ali-Mikhail-Haq, AMH para θ=0,5. ... 45
Figura 3.11 – Estruturas de dependências (variável uniforme – distribuição normal). ... 47
Figura 3.12 – Estruturas de dependências (variável uniforme – distribuição t). ... 47
Figura 3.13 – Estruturas de dependências – Cópulas Normal, t e Arquimedianas. ... 48
Figura 3.14 – Estimativa dos parâmetros α e β pelo método da máxima verossimilhança. ... 60
Figura 3.15 – Exemplo de esperança condicional e incondicional. ... 67
Figura 3.16 – FAC e FACP amostral (cotação do gás em U$/MM BTU, jan/2012 a out/2012). 72 Figura 3.17 – Multiplicador dinâmico φk como função de k. ... 73
Figura 3.18 – Classificação das séries temporais. ... 78
Figura 3.19 – FAC e FACP de um processo autorregressivo AR(1) com 0<φ<1. ... 80
Figura 3.20 – FAC e FACP de um processo autorregressivo AR(1) com –1<φ<0. ... 80
Figura 3.21 – Realização de um processo AR(2) e funções FAC e FACP. ... 82
Figura 3.22 – Função FAC e FACP de um processo AR(4). ... 83
Figura 3.23 – Realização de um processo MA(1) e funções FAC e FACP. ... 84
Figura 3.24 – Função FAC e FACP de um processo MA(2). ... 85
Figura 3.25 – Realização de um processo MA(3) e funções FAC e FACP. ... 86
Figura 3.26 – Petróleo WTI real (jan/1974 a jan/2014) – filtro de Hodrick e Prescott. ... 100
xxii
Figura 3.28 – Hipótese normal para os retornos diários do IBOVESPA (2006 a 2012). ... 103 Figura 4.1 – Fluxograma de trabalho. ... 115 Figura 4.2 – Modelo analítico de produção. ... 119 Figura 4.3 – Esquema da matriz de incertezas. ... 123 Figura 4.4 – Matriz de incertezas – Terrestre ou Marítimo. ... 126 Figura 4.5 – Matriz de incertezas – Plataforma ou FPSO. ... 127 Figura 4.6 – Procedimento para estimação de processos estocásticos autorregressivos. ... 132 Figura 4.7 – Função densidade – conceito da métrica AVaR. ... 145 Figura 4.8 – Função distribuição – conceito da métrica Ω... 146 Figura 4.9 – VPL ajustado ao risco. ... 147 Figura 5.1 – Ajuste do modelo analítico contra as curvas da estratégia de produção. ... 152 Figura 5.2 – Cópula de Clayton – CAPEX e OPEX (desempenho ótimo – LDA>400m). ... 156 Figura 5.3 – Cópula de Frank – CAPEX e OPEX (desempenho normal – LDA>400m). ... 156 Figura 5.4 – Cópula de Gumbel – CAPEX e OPEX (desempenho ruim – LDA>400). ... 156 Figura 5.5 – Cotações mensais do petróleo WTI nominal e real... 162 Figura 5.6 – Cotação nominal diária do WTI (02/jan/1986 a 01/abr/2014). ... 164 Figura 5.7 – Teste de hipótese normal – retornos WTI (02/jan/1986 a 01/abr/2014). ... 164 Figura 5.8 – Histograma dos retornos WTI – (02/jan/1986 a 01/abr/2014). ... 165 Figura 5.9 – FAC dos resíduos – EGARCH(1,1) – (02/jan/1986 a 01/abr/2014). ... 166 Figura 5.10 – Previsão WTI – Modelo EGARCH(1,1) – (fev/2008 a jan/2014). ... 167 Figura 5.11 – Óleo tipo Brent (nominal – 30/01/2006 a 31/10/2013). ... 168 Figura 5.12 – Óleo tipo Brent – Amostra de período longo e curto. ... 169 Figura 5.13 – Histogramas dos parâmetros GARCH(1,1) – Tabela C.1. ... 171 Figura 5.14 – FAC e FACP – TJLP mensal (jan/1997 a dez/2005). ... 173 Figura 5.15 – FAC dos resíduos – Modelos AR(2) e ARMA(2,1) – TJLP mensal ... 174 Figura 5.16 – Teste retroativo ARMA(2,1) para a TJLP mensal – (jan/1997 a dez/2005). ... 174 Figura 5.17 – Matriz de incertezas econômicas versus desempenho da empresa. ... 175 Figura 5.18 – VME e desvio padrão do projeto em regime de concessão. ... 176 Figura 5.19 – Curva de risco – Preço do óleo conforme EGARCH(1,1). ... 177 Figura 5.20 – AVaR – Preço do óleo conforme EGARCH(1,1). ... 178
xxiii
Figura 5.21 – AVaR – Preço do óleo conforme GARCH(2,1) e GJR(1,1). ... 179 Figura 5.22 – AVaR – Preço do óleo conforme GARCH(1,1) e GARCH(2,1). ... 180 Figura 5.23 – Modelos MGB com reversão à média... 181 Figura 5.24 – Curva de risco – Preço do óleo conforme EGARCH(1,1) e MGB. ... 181 Figura 5.25 – Percentis P10, P50 e P90 para a produção acumulada Np (cópula Gaussiana). ... 183
Figura 5.26 – VPL ajustado ao risco. ... 186 Figura 5.27 – Equivalente certo versus participação – Desempenho normal (concessão). ... 187 Figura 5.28 – Prêmio de risco versus participação – Desempenho normal (concessão). ... 188 Figura 5.29 – Equivalente certo versus participação (desempenhos ótimo e ruim). ... 188 Figura 5.30 – Equivalência das curvas analíticas de produção de óleo... 190 Figura 5.31 – Esquema de evolução do valor do projeto vt – Caso 3. ... 193
Figura 5.32 – VPL versus CAPEX e OPEX (concessão e partilha). ... 195 Figura 5.33 – VPL versus Preço do Óleo (CAPEX variável com OPEX constante). ... 195 Figura 5.34 – VPL versus Preço do Óleo (OPEX variável com CAPEX constante). ... 196 Figura 5.35 – ROI versus TMA (CAPEX variável com OPEX constante)... 196 Figura 5.36 – ROI versus TMA (OPEX variável com CAPEX constante). ... 197 Figura 5.37 – VPL e ROI versus %Partilha (CAPEX variável com OPEX constante). ... 197 Figura 5.38 – VPL e ROI versus %Partilha (OPEX variável com CAPEX constante). ... 198 Figura A.1 – PDF do CAPEX e OPEX (desempenho da empresa para LDA>400m). ... 232 Figura A.2 – PDF das variáveis de Comodel (desempenho da empresa para LDA>400m). ... 232
Figura D.1 – Função densidade conjunta f(φ,logk) – Campo de Namorado. ... 237 Figura D.2 – Hipótese de distribuição normal e t para os retornos PETR4 e VALE5. ... 238 Figura D.3 – Cópulas de Clayton e Gumbel – {φ, log k} – Campo de Namorado. ... 239 Figura D.4 – Cessão onerosa – MAB e MGB. ... 241 Figura D.5 – Cessão onerosa – MGB com reversão à média e modelo CEV. ... 241
xxv
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – 10 cotações mensais do gás natural (Henry Hub – jan/2012 a out/2012) ... 71 Tabela 4.1 – Parâmetros gerais – Fluxo de caixa fiscal do projeto ... 116 Tabela 4.2 – Parâmetros e valores dos cenários econômicos ... 121 Tabela 4.3 – Distribuições do CAPEX e OPEX (atributo eficácia) ... 128 Tabela 4.4 – Distribuições das variáveis de Comodel (atributo eficiência) ... 129
Tabela 4.5 – Cópulas, funções geradoras e coeficientes de concordância (τ, λL e λU) ... 131
Tabela 4.6 – Testes de estacionaridade ... 133 Tabela 4.7 – Comportamento das funções FAC e FACP ... 135 Tabela 4.8 – Estatísticas – Critério de informação ... 136 Tabela 4.9 – Modelos de séries temporais e de cópulas – Simulação do VPL... 138 Tabela 5.1 – Características gerais do modelo de simulação do reservatório ... 151 Tabela 5.2 – Distribuições do CAPEX e OPEX – U$/bbl (atributo eficácia) ... 155 Tabela 5.3 – Parâmetros estimados – cópula CAPEX e OPEX (LDA>400m) ... 157 Tabela 5.4 – Distribuições das variáveis do vetor Comodel(Atributo eficiência) ... 158
Tabela 5.5 – Parâmetros das distribuições das variáveis do vetor Comodel (LDA>400m) ... 159
Tabela 5.6 – Médias dos parâmetros estimados – cópula CAPEX e OPEX (LDA>400m) ... 160 Tabela 5.7 – Testes de estacionaridade – TJLP mensal (jan/1997 a dez/2005) ... 172 Tabela 5.8 – Modelos AR(2) e ARMA(2,1) – TJLP mensal (jan/1997 a dez/2005 ) ... 173 Tabela 5.9 – VME's e desvio padrão conforme cenário econômico – U$ MM ... 176 Tabela 5.10 – Produção acumulada esperada e desvios – MM bbl (cópula Gaussiana e t) ... 183 Tabela 5.11 – Incertezas econômicas versus desempenhos – Concessão (U$ MM) ... 185 Tabela 5.12 – Incertezas econômicas versus desempenhos – Partilha (U$ MM) ... 185 Tabela A.1 – Curvas de produção dos fluidos em 1000 m3/dia – Cimex ... 231
Tabela C.1 – Óleo tipo Brent (período longo, 01/06/1987 a 01/04/2014 – U$/bbl). ... 235 Tabela C.2 – Óleo tipo Brent (período curto, 28/09/2011 a 01/04/2014 – U$/bbl). ... 236 Tabela D.3 – Parâmetros e coeficientes de concordância – Exemplo 3 ... 239 Tabela A.1 – Participação Especial – Regime de Concessão ... 243
xxvi
Tabela A.2 – Alíquotas – Participação governamental no E&P e tributos legais ... 243 Tabela B.1 – Funções cópulas, funções geradoras e coeficientes de concordância ... 244 Tabela B.2 – Tabela de cópulas Arquimedianas – Nelsen (2006) ... 245 Tabela B.3 – Funções de autocovariância e autocorrelação – Família ARMA ... 246 Tabela B.4 – Processos estocásticos – Família GARCH ... 247
xxvii
LISTA DE NOMENCLATURAS
Letras latinas
a0 Taxa de declínio
aI Parâmetro da função sigmoide (injeção de água) aW Parâmetro da função sigmoide (produção de água) bW Parâmetro da função sigmoide (produção de água) bI Parâmetro da função sigmoide (injeção de água) Cximex Curva do fluido x oriunda da estratégia de produção
Ct,rec Custos totais a recuperar no regime de partilha de produção c Função densidade de cópulas; parâmetro de modelo MA
cdes Custo de tratamento e descarte de águas produzidas cinj Custo de injeção de água
csep Custo de separação dos fluidos cvar Custo variável
Dt Depreciação no ano fiscal t Dk Função de Debye de ordem k
F Função distribuição de probabilidade
fc,p Fatores de convergência – concessão e partilha de produção G Função distribuição de probabilidade; percentual de partilha
Gp Produção acumulada de gás
H Função distribuição de probabilidade
I Matriz identidade; função indicadora
It,D Investimento depreciável no ano fiscal t It,ND Investimento não depreciável no ano fiscal t k Defasagem; permeabilidade absoluta da rocha
L Operador de defasagem
m Nível de participação no projeto
xxviii
Np Produção de óleo acumulada em barris de petróleo
Np,t Produção de óleo acumulada em barris de petróleo no ano t Pc Pressão capilar
p0,óleo Preço inicial do óleo pt,óleo Preço do óleo no tempo t QIt Injeção de água no ano fiscal t. Qt,gás Vazão de gás para o ano fiscal t Qt,óleo Vazão de óleo para o ano fiscal t QWt Produção de água no ano fiscal t. Rt Rendimento bruto no ano fiscal t rt,óleo Retorno do preço do óleo no tempo t Sgc Saturação crítica de gás
Soi Saturação de óleo original Swi Saturação de água inicial
tabd Tempo de abandono do campo (anos)
tbt Tempo de irrupção de água nos poços produtores (anos) tplatô Tempo para atingir o platô de produção de óleo (anos) tdeclínio Tempo para iniciar o declínio de produção de óleo (anos)
TMAt Taxa mínima de atratividade no ano t
u Variável de distribuição uniforme com domínio [0, 1]
v Variável de distribuição uniforme com domínio [0, 1]
Wp Produção acumulada de água Winj Injeção acumulada de água yt Variável de séries temporais
Letras gregas
∆ Diferenciação de séries temporais ∑ Matriz de covariância
xxix Ω Vetor de estimadores; medida de risco
α Parâmetro de modelo da família ARMA, MGB, MB; distribuição Beta β Parâmetro de modelo da família GARCH; distribuição Beta
γ Função de autocovariância; parâmetro de modelo da família GARCH δ Parâmetro de modelo não estacionário; medida de risco
ε Ruído branco
η Parâmetro de velocidade do modelo de MGB com reversão à média θ Parâmetro de cópula Arquimediana; parâmetro do modelo MA
λ Autovalor
λL Coeficiente de dependência entre caudas inferiores de distribuições
λU Coeficiente de dependência entre caudas superiores de distribuições
µ Média; parâmetro do modelo AR
ν Grau de liberdade da distribuição t de Student π Ponderadores de representação do modelo AR ρ Coeficiente de correlação de Pearson
ρs Coeficiente de correlação de Spearman
σ Desvio padrão
τ Coeficiente de correlação de Kendall; índice de tortuosidade
φ Função geradora de cópula; porosidade da rocha; parâmetro de modelo AR φkk Função de autocorrelação parcial, FACP
ψ Ponderadores de representação de modelo MA ω Parâmetro de modelo da família GARCH
Abreviações
AIC Critério de Informação de Akaike AMH Modelo de cópula de Ali-Mikhail-Haq AR Processo Autorregressivo
xxx
ARMA Processo Autorregressivo de Média Móvel AVaR Valor em Risco Ponderado
BFGS Método iterativo de Broyden, Fletcher, Goldfarb e Shanno BHHH Método iterativo de Berndt, Hall, Hall e Hausman
BIC Critério de Informação Bayesiano
BSW Porcentagem de água e de impurezas no óleo (Basic Sediments and Water) Btu Unidade Térmica Britânica (British thermal unit)
bbl Barris de petróleo
CAPEX Custo de Investimento (Capital Expenditure) CAPM Modelo de Precificação de Ativos Financeiros
COFINS Contribuição para o Financiamento da Seguridade Social CVaR Valor em Risco Condicional
EDK Estimativa de Densidade Kernel
EGARCH Processo Autorregressivo de Het. Condicional Generalizado Exponencial FAC Função de autocorrelação
FACP Função de autocorrelação parcial
FGM Modelo de cópula de Farlie–Gumbel–Morgenstern
GARCH Processo Autorregressivo de Heterocedasticidade Condicional Generalizado GFGM Modelo de cópula de Farlie–Gumbel–Morgenstern generalizado
GJR Modelo de Glosten, Jaganathan e Runkle HQC Critério de Informação de Hannan e Quinn KPSS Teste de Kwiatkowski, Phillips, Schimidt e Shim. MA Processo de Média Móvel
MB Movimento Geométrico
MGB Movimento Geométrico Browniano
MLCX Índice da BM&FBOVESPA (MidLarge Cap) MLE Método de Estimação de Máxima Verossimilhança MQO Método dos Mínimos Quadrados Ordinários
OCDE Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Econômico OPEX Custo Operacional (Operational Expenditure)
xxxi
PASEP Programa de Formação do Patrimônio do Servidor Público PE Participação Especial
PIB Produto Interno Bruto
PIS Programa de Integração Social RGO Razão Gás/Óleo
ROI Retorno sobre o Investimento ROY Royalties
TIR Taxa Interna de Retorno TJLP Taxa de Juros de Longo Prazo TLC Teorema do Limite Central TMA Taxa Mínima de Atratividade
WACC Custo de Capital Médio Ponderado (Weighted Average Cost of Capital) VaR Valor em Risco
VME Valor Médio Esperado VPL Valor Presente Líquido
WTI Petróleo Intermediário do Texas (West Texas Intermediate)
Siglas
ANP Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis BC Banco Central do Brasil
TRC Texas Railroad Commission
IBOVESPA Índice da Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros de São Paulo
NYMEX Bolsa de Mercadorias de Nova Iorque (New York Mercantile Exchange) OPEP Organização dos Países Exportadores de Petróleo
1
1.
INTRODUÇÃO
Nas últimas quatro décadas, matemáticos, estatísticos e físicos têm se debruçado na proposição de modelos analíticos que buscam reproduzir o comportamento de séries temporais de interesse dos economistas. As propostas mais recentes têm se concentrado na família dos processos autorregressivos de variância condicional1, GARCH. Estes modelos, sobretudo os assimétricos, tornaram-se efetivos em finanças na precificação de ativos relacionando-os com variáveis econômicas agregadas, tais como o PIB, a renda e o consumo. Para as empresas de petróleo, que concorrem por vultosos recursos de capital num ambiente integrado financeiramente, torna-se imperativo recorrer aos mesmos tratamentos metodológicos já consagrados em finanças.
Os investimentos referentes à implantação de projetos de produção de petróleo da área do pré-sal brasileiro, por exemplo, demandam análises financeiras com base nos modelos temporais assimétricos, dado que a ocorrência de eventos extraordinários é elevada. Estes modelos, por sua vez, podem ser enriquecidos com o conceito de cópulas2, o que permite capturar relações de dependência dificilmente evidenciadas por outra área da matemática. Mais precisamente, os modelos autorregressivos assimétricos, aliados às cópulas multivariadas, podem subsidiar com vantagens a análise de risco de projetos de petróleo em condições de incertezas, conforme advoga esta tese.
Os modelos matemáticos sobre investimentos financeiros, que consideram a natureza estocástica do retorno, tiveram início na década de 1970 com os trabalhos de Black e Scholes (1973), Brennan (1973), Merton (1973), Cox e Ross (1976), Constantinides (1978) e Pindyck (1980). Já na década seguinte, tais modelos foram adaptados para a valoração de projetos de petróleo com as proposições de Paddock, Siegel e Smith (1982, 1988), Brennan e Schwartz (1985), McDonald e Siegel (1986) e outros. Estes trabalhos se tornaram populares na década de
1. Processos de heterocedasticidade condicional – a variância é heterogênea, o que contraria o postulado clássico de normalidade. 2. As funções cópulas, baseadas no teorema de Sklar (1959), são usadas como método eficaz na formulação de distribuições multivariadas e possibilitam evidenciar estruturas de dependência de variáveis aleatórias.
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1990, relegando por definitivo os critérios determinísticos de avaliação econômica de projetos de petróleo, que tiveram suas primeiras sistematizações com Grayson (1960), Arps e Arps (1974), Newendorp (1976), Megill (1977) e Ross (1978). De fato, conforme atestam Brennan e Schwartz (1985), a evolução destes critérios foi lenta, onde até então eram simples adaptações do valor presente líquido proposto por Fisher (1907).
Apesar da evolução promovida pela fórmula de Black e Scholes (1973), muitas empresas de petróleo continuam utilizando em suas rotinas o CAPM para estimar o prêmio de risco e a valoração de ativos, conforme asseguram Brealey e Myers (2006). Ora, com a reincidência de crises econômicas vivenciadas no final da década de 1990 e de 2000, as distribuições de valores extremos e os modelos autorregressivos assimétricos ganharam a atenção de analistas de grandes corporações financeiras. Nada mais oportuno, dado que no setor petróleo a ocorrência de eventos extremos é elevada, que as metodologias de avaliação de projetos façam uso de modelos que sejam capazes de evidenciar estas densidades. Neste sentido, em que pese precificar a commodity, são amplas as possibilidades, incluindo modelos de dependência que correlacionam o comportamento desta série com variáveis agregadas da economia.
O critério do VPL, sem uma abordagem consistente quanto às incertezas econômicas, acaba por subestimar os custos de oportunidades. Hoje, a moderna teoria de investimento considera os custos relacionados às opções de postergar o início da produção, reduzir ou aumentar, suspender, reativar ou abandonar a produção, dentre outras flexibilidades decorrentes da maturação do projeto. Some-se ao fato destes custos não serem precificados, o VPL tradicional desconsidera a irreversibilidade de parte ou de todo o investimento. Estas abordagens, incluindo as metodologias referentes à estatística Bayesiana (VDI, VDF e outros), são mais consistentes se as variáveis fundamentais são tratadas com modelos estocásticos capazes de evidenciar fatos estilizados3 da econometria.
As implicações do custo de oportunidade dos projetos de recursos exauríveis foram amplamente abordadas em livros de autores como Dixit e Pindyck (1994), Trigeorgis (1995) e Copeland e Antikarov (2001), que se tornaram referência em análise de investimentos. Dos
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modelos propostos, que buscam valorar estas oportunidades, o ponto de convergência diz respeito ao tratamento estocástico dado às variáveis fundamentais, dentre as quais se destacam: o preço da
commodity, o custo de capital médio ponderado, o valor do investimento, o custo operacional e o volume da reserva. Resumidamente, pode-se afirmar que a credibilidade de uma análise de risco de projetos de petróleo repousa na capacidade dos modelos estocásticos reproduzirem as variáveis citadas.
Entre as commodities, sem dúvida, o petróleo é a que mais recebeu a atenção de econometristas e financistas, por sua importância como principal fonte de energia e por suas implicações em diversas atividades produtivas. Desde os trabalhos relacionados ao preço do petróleo e seus impactos nas economias mundiais, de autores como Hamilton (1983), Burbidge e Harrison (1984), Gisser e Goodwin (1986), Kim e Loungani (1992), Mork et al. (1994), os modelos autorregressivos fizeram parte do embasamento teórico que suportaram as conclusões destes e de outros autores. Embora sejam abrangentes as possibilidades de aplicação destes modelos para prever o preço da commodity, a abordagem deve ser conduzida com parcimônia e com o rigor matemático necessário. Antes de tudo, a teoria econômica deve inspirá-la e os resultados devem ser validados à luz dos teoremas da probabilidade e testados estatisticamente. Mais ainda, se for possível adotar modelos autorregressivos, sem que a teoria geral do equilíbrio seja negligenciada, tanto melhor é o resultado.
Séries temporais, como a cotação do óleo e a taxa mínima de atratividade4, podem ser reproduzidas com modelos estocásticos autorregressivos. Esta abordagem é uma alternativa ao que já se faz comumente com os modelos de difusão, como o movimento geométrico Browniano e suas derivações. No entanto, aqueles processos aliados às cópulas assimétricas possibilitam evidenciar eventos extremos com mais propriedades se comparados a estes. Ademais, são os processos de variância condicional e as cópulas assimétricas que propiciam a adoção de métricas de risco coerente para um investidor avesso ao risco, como o valor em risco ponderado AVaR e a medida ômega Ω de Keating e Shadwick (2002). Por exemplo, é possível demonstrar que o AVaR de um projeto de petróleo pode ser subestimado se a commodity for representada por um
4. Neste trabalho, o tratamento estocástico dado à TMA visa apenas exemplificar o emprego de processos autorregressivos em séries empíricas estacionárias.
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processo estocástico sob a hipótese do incremento de Wiener, especialmente quando a densidade de valores extremos da série é evidenciada empiricamente.
Como se sabe, a ciência financeira aliada aos conhecimentos das geociências tem contribuído decisivamente com a análise de risco de projetos de petróleo. Não obstante, é na aplicação de alguns conceitos daquela ciência, como o da diversificação de portfólio de Markowitz (1952) e o de opções de Black e Scholes (1973), que surgem problemas decorrentes da natureza dos investimentos reais. Lemme (2001), por exemplo, aponta alguns destes problemas em um trabalho de revisão sobre os métodos de valoração e suas aplicações nas práticas de mercado, dentre os quais se destacam:
(i) A indivisibilidade dos ativos;
(ii) A baixa liquidez e os altos custos de transação;
(iii) A repetição dos eventos é mínima, impossibilitando medidas estatísticas confiáveis; (iv) A assimetria de informação entre os investidores é desconhecida;
(v) Os investidores atuam de forma concentrada, inviabilizando a formação de carteiras, Somem-se a estes fatores, o fato inconteste de que o mercado de exploração e produção de petróleo é incompleto e muitas decisões são decorrentes de estratégias assumidas pela corporação, algumas delas derivadas de responsabilidade social e política nem sempre alinhadas com a ciência financeira ou às geociências.
De acordo com Galli et al. (1999), das abordagens clássicas empregadas para avaliar projetos da indústria do petróleo podem ser citadas: a árvore de decisão, o custo de oportunidade e a simulação Monte Carlo. Não obstante, independentemente das abordagens metodológicas citadas, as incertezas das variáveis econômicas têm sido tratadas em geral sob a hipótese de retorno normal, e as demais variáveis que impactam o VPL do projeto com distribuições elípticas independentes, como a normal, triangular e uniforme. Com efeito, apesar dos trabalhos publicados sob estas hipóteses, a teoria de cópulas e os processos de variância condicional assimétricos podem contribuir muito, conferindo maior consistência na estimativa do risco.
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Para esta tese, de caráter metodológico, vários modelos capazes de evidenciar dependências de eventos extremos são estimados e empregados na avaliação econômica de um projeto de petróleo. A técnica adotada para estimar o valor esperado do projeto é a simulação Monte Carlo. Ainda que este trabalho apresente muitas funções da teoria da probabilidade, a metodologia em si é de fácil compreensão e aplicável, almejando representar uma contribuição para a atividade de avaliação econômica de projetos de petróleo.
1.1.
MOTIVAÇÃO
Os motivos para esta proposição são:
(i) Os projetos de grandes volumes financeiros e sujeitos a riscos extraordinários, como os referentes às recentes descobertas de petróleo nas camadas do pré-sal no Brasil, são melhores assistidos se avaliados com metodologias que explorem o impacto de eventos extremos;
(ii) Uma metodologia de avaliação econômica pautada em modelos assimétricos de dependência pode minimizar erros de subestimação ou superestimação de parâmetros fundamentais dos processos de decisão em projetos de riscos elevados;
(iii) Algumas variáveis de interesse da avaliação econômica de projetos têm distribuições marginais que não são facilmente combinadas. Neste sentido, uma metodologia que explore a teoria de cópulas pode minimizar esta dificuldade;
(iv) Os processos estocásticos assimétricos aliados à teoria de cópulas para a precificação de ativos vêm se consagrando em finanças. Por que não empregá-los numa metodologia de avaliação econômica de projetos de petróleo?
1.2.
OBJETIVO
O objetivo desta tese é propor uma metodologia de avaliação econômica de projetos de petróleo com emprego de modelos de cópulas e de processos estocásticos autorregressivos envolvendo cinco variáveis fundamentais: o preço da commodity, a taxa mínima de atratividade (TMA), o custo do investimento (CAPEX), o custo operacional (OPEX) e a curva de produção de
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óleo. As duas primeiras variáveis são estimadas neste trabalho com modelos temporais baseados em amostras empíricas (GARCH, EGARCH, GJR e ARMA), e as três últimas com modelos de cópulas baseadas em distribuições marginais teóricas (cópulas Arquimedianas de Frank, Clayton e Gumbel e cópulas elípticas de Gauss e t de Student).
Pretende-se abordar os custos CAPEX e OPEX, bem como a curva de produção de óleo, como parâmetros de atributos de desempenho operacional quanto à execução e condução do projeto. Deseja-se, com esta proposição, fomentar a aplicação de modelos autorregressivos assimétricos aliados à teoria de cópulas em outras abordagens metodológicas de interesse da análise de risco de projetos de petróleo.
1.2.1.
Premissa fundamental
A premissa fundamental deste trabalho é a existência de uma estratégia de produção estabelecida, de preferência decorrente de metodologias validadas em simulação numérica de reservatórios. Mais exatamente, para efeito desta proposição, consideram-se tratadas as incertezas de atributos geológicos e definidos os parâmetros da estratégia de produção, como o número de poços, tipos, plataforma, curva de produção de óleo, método de recuperação etc. Neste sentido, os valores esperados do CAPEX, OPEX e da curva de produção de óleo, são os definidos ou estimados a partir da estratégia de produção.
1.2.2.
Ferramenta de trabalho
Para a validação desta tese foi desenvolvido um protótipo em MATLAB que possibilita não só a estimativa dos modelos, como a incorporação destes no fluxo de caixa de um projeto de petróleo para dois regimes fiscais vigentes no Brasil: concessão e partilha de produção.
As simulações são realizadas com base numa formulação simplificada de VPL e num modelo analítico de produção e validadas com a referida estratégia. O risco do VPL é estimado com uma métrica coerente para um investidor avesso ao risco, o valor em risco ponderado AVaR.
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Alternativamente, é indicada a medida ômega Ω de Keating e Shadwick (2002). Estas métricas visam subsidiar a tradicional curva de risco na estimativa das reservas P10, P50 e P90.
1.2.3.
Contribuições
Os seguintes itens resumem as contribuições decorrentes deste trabalho:
(i) A construção de um protótipo de programa para a atividade de avaliação econômica de projetos de petróleo integrado com módulos de estimação de processos estocásticos e de cópulas;
(ii) A adoção de métrica coerente de risco para subsidiar a tradicional curva de risco nas estimativas das reservas P10, P50 e P90;
(iii) A proposição de um modelo de funções analíticas que possibilita representar as curvas de produção de fluidos decorrentes da simulação numérica de reservatórios; (iv) A proposição de um método de cálculo simplificado de VPL do projeto com
resultados robustos e validado para a simulação de incertezas de variáveis fundamentais, como o preço do óleo, a TMA, o CAPEX e o OPEX e a curva de produção de óleo;
(v) Uma abordagem nova quanto ao CAPEX e OPEX e curva de produção de óleo, considerando-os como parâmetros de atributos de desempenho operacional quanto à execução e condução do projeto: eficiência (tempos) e eficácia (custos).
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2.
REVISÃO DA LITERATURA
A revisão bibliográfica de interesse da tese é dividida em três tópicos: (i) Decisão de investimento em condições de incertezas;
(ii) Teoria de cópulas – finanças e petróleo; (iii) Preço do petróleo.
2.1.
DECISÃO DE INVESTIMENTO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZAS
Creditam-se a Pascal e Fermat1 as primeiras proposições sobre a teoria de decisão, com argumentos de que todas as decisões deveriam ser baseadas nos valores esperados das alternativas disponíveis.
∑
= = ⇔ n i i ip 1 a alternativ ) as alternativ ( E decisão (2.1)Com o tempo, este princípio foi se mostrando frágil. Coube a Bernoulli (1738)2 demonstrar sua fragilidade, ao menos como critério para toda e qualquer decisão, propondo a solução do paradoxo de São Petersburg3. Com esta solução, Bernoulli escreveu uma sentença afirmando que ''homens prudentes'' não se pautam invariavelmente pelo princípio da esperança matemática.
Cramer (1728) e Bernoulli (1738) publicaram, mesmo com precária construção axiomática, os primeiros modelos de função utilidade como resultado da solução do paradoxo de São Petersburg. Após um longo período, a teoria utilitarista4 propagada pelo jurista inglês Jeremy Bentham (1823) despertou a curiosidade de economistas em reexaminar a função utilidade indicada por aqueles.
1 Os primeiros trabalhos de Pascal e Fermat datam de 1654.
2 Existem fragmentos publicados por Daniel Bernoulli, ver Bernoulli (1954). 3 Ver Bernoulli (1954).
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Décadas depois, Fisher (1907, 1930) contribuiu com a teoria da decisão e propôs o primeiro critério de avaliação econômica de projetos com base no fluxo de caixa descontado, além de inaugurar a escola do pensamento econômico conhecida hoje como monetarista. São devidos a ele os conceitos relacionados à taxa de juros real e nominal e as primeiras equações macroeconômicas envolvendo o estoque da moeda, velocidade de transação, nível de preço e o critério de decisão pelo valor presente líquido.
1 1 1 , ) 1 ( FCL VPL decisão 0 − + + = + = ⇔
∑
= inflação nominal real n t t real t i i i i (2.2)Somente em 1944, em um trabalho seminal, Neumann e Morgenstern (1944, 1953)5 sistematizaram a teoria da decisão em condições de incertezas. Para os autores, a utilidade esperada de um prospecto, também chamado de jogo ou loteria, é representada por seus possíveis resultados e suas respectivas utilidades. Até então, a teoria da preferência era tratada de modo objetivo e coerente com a visão clássica da probabilidade, que presumia que os indivíduos compartilhavam da mesma percepção de uma distribuição para um dado prospecto. A moderna teoria dos jogos, similar à teoria da decisão, mas com a ressalva de que o custo e o benefício de cada opção dependem da decisão dos competidores ou cooperadores, teve início também com os trabalhos Neumann e Morgenstern (1944).
Um contraponto contemporâneo neste contexto foi apresentado por Arrow e Debreu (1954). Os autores reduziram o problema de decisão em condições de incerteza para um problema sem incertezas, considerando que o estado de equilíbrio de uma cesta de produtos (commodities), onde a preferência dos agentes econômicos pode ser definida sobre a mesma, reduz a noção de aleatoriedade a um valor ínfimo. Esta abordagem da teoria da decisão difere de Neumann e Morgenstern (1944) por não tratá-la como um jogo, mas explicada por meio da teoria geral do equilíbrio.
Uma década depois da primeira publicação daqueles autores, Savage (1954) propôs uma revisão da teoria questionando a objetividade com que a preferência do investidor era tratada, afirmando que a mesma é uma expressão numérica que indica a propensão por parte de quem
5. De acordo com Fishburn (1989), a obra de Neumann e Morgenstern (1944) foi popularizada rapidamente com os trabalhos de Marschak (1950), Weldon (1950), Strotz (1953), Ellsberg (1954) e Luce e Raiffa (1957).
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toma decisões. Savage (1954) demonstrou que a preferência individual na presença de incerteza pode ser caracterizada por uma utilidade esperada, determinada por uma média ponderada dos resultados cujos pesos são probabilidades subjetivas, ou seja:
∑
∑
= = > ⇔ n j j j investidor m i i i investidor p u p u 1 B B B 1 A A A B A ) VPL ( ) VPL ( VPL a preferível é VPL (2.3)onde u é a função utilidade cujo argumento é o VPL. Assim, na proposição de Savage (1954), mais abrangente que a de Neumann e Morgenstern (1944), as probabilidades subjetivas e a função utilidade aparecem como um par de preferências individuais, o que permite elaborar tantas curvas de função utilidade quantas são as preferências individuais de cada investidor.
Pratt (1964), por exemplo, explorou a concavidade da função utilidade e desenvolveu diversos teoremas abordando a medida de aversão ao risco e o prêmio de risco. Mais tarde, com as mesmas proposições de Pratt (1964), Cozzolino (1977b) aplicou a função utilidade para expressar o equivalente certo6 em projetos de exploração e produção de petróleo com a expressão:
(
44 44444448)
4 4 4 4 4 7 6 4 4 4 8 4 4 4 7 6 Cozzolino VPL VPL Pratt 2 2 ) 1 ( ln 1 Eq ) ( ) ( ) ( -cm A -cm B certo pe p e c x x u x x u x r =− + − ∂ ∂ ∂ ∂ − = (2.4)onde r(x) é a medida de aversão ao risco, x é o argumento (VPL, por exemplo), c é o coeficiente da medida de aversão ao risco, m é a participação no projeto e p é o índice de sucesso.
A teoria da decisão, ou qualquer uma de suas aplicações metodológicas, abrange fundamentalmente os teoremas relacionados às distribuições de probabilidades, que têm como ponto de convergência o teorema do limite central (TLC). É impossível tratar a teoria da decisão, seja em projetos de exploração de petróleo ou de outros setores da economia, sem fazer referência ao TLC. Como recentemente ressaltou Tijms (2004): ''O teorema do limite central é considerado o soberano não oficial da teoria da probabilidade''.
6. O equivalente certo de um projeto com risco é o valor que o tomador de decisão está disposto a receber para desistir do projeto. Portanto, é a diferença entre o valor esperado deste e o respectivo prêmio de risco.
12
A ideia básica do teorema do limite central foi aplicada em processos estocásticos durante todo o século XX. O processo estocástico conhecido hoje como movimento geométrico Browniano, inicialmente identificado pelo botânico Brown (1866), por exemplo, pode ser representado como uma convergência do teorema do limite central funcional ou princípio de invariância de Donsker (1951)7. Este é o princípio básico dos processos de Itô (1944, 1951), que originou grandes aplicações em finanças com o desenvolvimento das equações diferenciais estocásticas.
A aplicação mais popular do lema de Itô foi realizada por Black e Scholes (1973) e Merton (1973), resultando na laureada equação de Black e Scholes para derivativos financeiros. Com efeito, tal equação revolucionou não só a teoria de portfólio de Markowitz (1952) e o teorema de Modigliani e Miller (1958), como a teoria de precificação de ativos de capital (CAPM), esta desenvolvida por Treynor (1962), Sharpe8 (1964), Lintner (1965) e Mossin (1966). Os fundamentos matemáticos do artigo de Black e Scholes (1973) e Merton (1973) remontam de longo tempo, mas especificamente dos trabalhos sobre processos estocásticos de Bachelier9 (1900), considerado o precursor da matemática financeira. Outros que deram contribuições decisivas, também se valendo de equações diferenciais estocásticas, foram Uhlenbeck e Ornstein (1930), Wiener (1930) e Cox e Miller (1965).
Não obstante, as primeiras sistematizações significativas de processos decisórios foram dadas por Luce e Raiffa (1957), Schlaifer e Raiffa (1961), Pratt (1964), Pratt et. al. (1965), Howard (1966), Keeney e Raiffa (1976) e Ross (1978). Estes autores valeram-se dos volumes publicados por Neumann e Morgenstern (1953), Savage (1954) e Wald (1947, 1950), como atesta Raiffa (2002) em um depoimento pessoal de como tais metodologias iniciaram e evoluíram.
Já os modelos matemáticos sobre investimentos, que consideram a natureza estocástica do retorno, tiveram início na década de 1970 com os trabalhos de Black e Scholes (1973), Brennan (1973), Merton (1973), Cox e Ross (1976), Constantinides (1978) e Pindyck (1980). Este último
7. É o teorema análogo ao TLC aplicado aos processos estocásticos.
8. Sharpe foi o que mais contribuiu com a teoria do CAPM (Capital Asset Pricing Model). Ganhador do prêmio Nobel de Economia em 1990 por suas contribuições em finanças, dividindo-o com Harry Markowitz e Merton Miller.
9. Louis Jean Baptiste Alphonse Bachelier (1870 – 1946). Matemático francês do início do século 20. A ele é creditado o primeiro modelo de processo estocástico conhecido como movimento Browniano. Sua tese de doutorado – The Theory of Speculation – foi publicada em 1900.
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expandiu a abordagem para os projetos de petróleo considerando a natureza estocástica da reserva. Embora os referidos autores tenham disseminados modelos estatísticos em projetos de recursos minerais, as distribuições da estatística já eram adotadas por Allais (1956) em avaliação de recursos exauríveis do Saara algeriano. Em paralelo, a teoria de processos estocásticos vinha sendo aplicada em finanças por Samuelson desde 1965.
Para Brennan e Schwartz (1985), a evolução dos critérios de decisão de investimento foi lenta, tendo início a partir dos trabalhos de Dean (1951), Bierman e Smidt (1960), que adaptaram tão somente o simples critério de avaliação proposto por Fisher (1907), Eq. (2.2). Ainda de acordo com Brennan e Schwartz (1985, p. 136), a noção da natureza estocástica do preço não é relevante se este é razoavelmente previsto. Não obstante, em setores como a produção de petróleo, negligenciá-la é um erro considerável, uma vez que variações da ordem de 25% a 40% em um ano não são incomuns. Estes autores propuseram um modelo tratando o preço da
commodity como uma variável estocástica:
dz dt S
dS =µ +σ
(2.5) onde S é o preço, σ é o desvio padrão, µ é o termo de tendência que pode ser estocástico ou conhecido e dz é o incremento de Gauss–Wiener10 padrão. Pode-se afirmar que a inclusão dos processos estocásticos difusos em finanças responde hoje pelo crescimento extraordinário de físicos dedicados ao exame de dados financeiros.
Fazendo uso do lema de Itô e seguindo o mesmo procedimento indicado por Black e Scholes (1973), Brennan e Schwartz (1985) popularizaram o tratamento estocástico do preço futuro de uma opção de investimento real subjacente ao preço da commodity. Destes trabalhos
originou-se uma nova abordagem, onde o custo de oportunidade do investimento é levado em consideração no cálculo do VPL. A valoração deste custo é tratada conforme expressão11
dS F dt S F F dF =[− τ +(1/2) SSσ2 2] + S (2.6)
10 O movimento Browniano, ou processo Gauss–Wiener, deriva da mecânica estatística, ramo da física que estuda o comportamento de sistemas com elevado número de entidades constituintes (átomos, íons etc.).
11 Nesta expressão: (i) S é o preço e σ é o desvio padrão, (ii) F representa o preço futuro da oportunidade (opção) no tempo t para exercício no tempo T, onde τ=T–t, (iii) Fτ é a derivada parcial em relação a τ e FSS é a segunda derivada parcial em relação a S.
14 onde F é função do preço S e do prazo τ.
Para a análise de investimentos em condições de incertezas, é de grande importância o conceito de custo de oportunidade e de irreversibilidade. Destas inserções teóricas derivou a moderna análise de investimento, incluindo o que se conhece hoje como a teoria das opções reais, termo proposto inicialmente por Myers (1977) e explorado por Tourinho (1979), Cox, Ross e Rubinstein (1979), Paddock, Siegel e Smith (1982, 1988), Brennan e Schwartz (1985), McDonald e Siegel (1986), Ingersoll e Ross (1992), Dixit (1992) e Pindyck (1993). Portanto, já era consenso desde a década de 70 que o critério do VPL, conforme proposto por Fisher (1907), ignorava três aspectos fundamentais:
(i) A irreversibilidade de parte ou de todo o investimento; (ii) A incerteza dos fluxos de caixa futuros e;
(iii) O custo de oportunidade.
Estes aspectos foram discutidos em livros publicados por Dixit e Pindyck (1994), Trigeorgis (1995) e Copeland e Antikarov (2001), que se tornaram referência em avaliação de riscos de investimentos em condições de incertezas. Dias (2005), por exemplo, conjugou o teotema de Bayes e a teoria dos jogos para precificar custos de oportunidades em casos reais.
A despeito da revolução da fórmula de Black e Scholes (1973), no cotidiano das empresas os modelos mais comuns utilizados para estimar o risco e a valoração de ativos, até o final da década de 1990, ainda eram respectivamente o custo de capital médio ponderado (WACC) e o modelo de precificação de ativos financeiros (CAPM), conforme testificam Brealey e Myers (2006). Não obstante, é inquestionável que o conceito do custo de oportunidade elevou o nível de percepção do investidor para as várias etapas do desenvolvimento de projetos de produção de petróleo, incrementando a análise de risco fomentada inicialmente por Grayson (1960), Arps e Arps (1974), Newendorp (1976), Megill (1977) e Ross (1978), Gentry e O'Neil (1984).
Galli et al. (1999), em um trabalho de comparação de metodologias, revelam que são três as
abordagens clássicas empregadas para avaliar projetos de petróleo: árvore de decisão, custo de oportunidade e simulação Monte Carlo. A primeira, originada da teoria dos jogos e sistematizada
15
inicialmente por Luce e Raiffa (1957), estima os valores possíveis do VPL do projeto em qualquer de suas etapas, conjugando ou não o teorema de Bayes na determinação do valor da informação e o da flexibilidade, VDI e VDF. A segunda, como já referida, deriva dos métodos de precificação de opções financeiros de Black e Scholes (1973), a qual expandiu o conceito do VPL e vem se consagrando nos últimos anos como prática empresarial na indústria do petróleo. Esta se utiliza de uma taxa livre de risco e do conceito de não arbitragem, ambos emprestados da ciência financeira, para determinar o VPL considerando os diversos custos de oportunidades decorrentes da maturação do projeto. A última, mais do que uma abordagem, é uma ferramenta que se revela poderosa nos processos decisórios quando conhecidas as distribuições dos parâmetros de interesse do VPL. De todas estas abordagens, o ponto de convergência é o tratamento estocástico dado às variáveis de interesse.
Com base nas abordagens resumidas por Galli et al. (1999) e nas referências citadas,
diversos autores no Brasil publicaram trabalhos que têm contribuído decisivamente para a análise de risco em projetos de petróleo. Alguns destes trabalhos, utilizando-se de simuladores de reservatórios de petróleo, exploraram metodologias visando maximizar o VPL do projeto e/ou o fator de recuperação do campo em condições de incertezas econômicas e geológicas. Nestes trabalhos, de modo geral, o VME do projeto é estimado envolvendo múltiplos atributos visando definir a estratégia ótima de produção baseada em modelos geológicos representativos, adotando por vezes uma função utilidade ou o teorema de Bayes na determinação do VDI e VDF. Dentre os trabalhos recentes produzidos no Departamento de Energia da Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP, podem ser citados os de Nepomuceno e Suslick (2000), Suslick e Furtado (2001), Ligero et al. (2003), Lima (2004), Suslick e Schiozer (2004), Schiozer et al.
(2004), Xavier (2004), Mezzomo (2005), Avansi (2008), Hayashi et al. (2010), Gaspar et al.
(2014) e outros.
Nepomuceno e Suslick (2000), por exemplo, com base nas equações de Pratt (1964) e Cozzolino (1977b), exploraram o equivalente certo e determinaram o nível ótimo de participação em projetos de parcerias para a exploração e produção de petróleo. Xavier (2004), numa dissertação didática, expõe a metodologia de cálculo do VDI durante as fases de avaliação e desenvolvimento de campos de petróleo, aplicando-a em alguns casos com diferentes números de
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parâmetros. Suslick e Schiozer (2004), em uma revisão das metodologias de análise de riscos de projetos, descreveram algumas das principais tendências e desafios da indústria do petróleo. Dentre os desafios, se destaca a complexidade dos processos de decisão em E&P devida ao elevado número de variáveis envolvidas. Hayashi et al. (2010) evidenciaram a mitigação do risco
do projeto valorando as informações e flexibilidades adicionais, propondo o desenvolvimento de um campo de petróleo com instalações flexíveis e modulares. Gaspar et al. (2014) indicaram um
método assistido envolvendo um grande número de variáveis visando otimizar a estratégia de produção de um campo marítimo. Dentre estas variáveis incluem o número e posição dos poços, a capacidade da plataforma, o cronograma de abertura e o de fechamento de poços, dentre outras.
Por fim, independentemente da abordagem metodológica, a teoria da decisão recomenda que o processo seja conduzido de tal modo que possibilite considerar todos os custos de oportunidades e flexibilidades decorrentes do tempo de maturação do projeto. Esta avaliação é realizada, por exemplo, com métodos de programação dinâmica utilizando-se do princípio de otimalidade de Bellman (1957). Neste caso a decisão ótima12 deve considerar as flexibilidades advindas com o tempo conforme expressão:
}
[
]
+ + π = 4 4 4 8 4 4 4 7 6 8 7 6 futuro FC hoje FC ade) (oportunid projeto do Valor , ) ' ( 1 1 ) , ( max ) ( E F x x u r u x x F u (2.7)onde F(x) é o valor do projeto e u é a função utilidade. Como descreve Dixit e Pindyck (1994), o
retorno dos investimentos realizados hoje é fruto do fluxo de caixa futuro, que é afetado por decisões tomadas hoje e por aquelas que ainda serão tomadas pela firma, concorrentes e parceiros.
2.2.
TEORIA DE CÓPULAS – FINANÇAS E PETRÓLEO
A hipótese de distribuição normal multivariada restringe a associação das distribuições marginais e limita a investigação de fenômenos envolvendo valores extremos. Em trabalhos
12. Uma estratégia ótima apresenta a propriedade segundo a qual, a despeito das decisões tomadas para se atingir um estado particular num certo estágio, as decisões remanescentes a partir deste estágio devem constituir uma estratégia ótima. A equação de Bellman ou equação de Hamilton–Jacobi–Bellman é conhecida como equação fundamental da otimalidade.
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recentes de finanças como o de Embrechts et al. (1999), Bouyé et al. (2000), Klugman e Parsa
(2000), Ané e Kharoubi (2003), são inúmeros os argumentos contrários à suposição de normalidade para algumas variáveis econômicas, uma vez que grandes mudanças são observadas com mais frequência do que o previsto sob o pressuposto da normalidade. Por exemplo, sob a hipótese de distribuição normal, o valor em risco ponderado de uma carteira de projetos pode ser subestimado ou superestimado.
Estas evidências resultaram no resgate de um importante trabalho publicado em 1959 por Abe Sklar, que propôs um teorema onde afirma que as distribuições marginais podem ser acopladas via função para formar uma distribuição multivariada. O teorema de Sklar (1959) se baseia em princípios que remontam aos trabalhos de Hoeffding (1940) e Fréchet (1951), dentre outros. Durante algum tempo, o termo cópula não foi utilizado e os primeiros trabalhos envolvendo modelos de dependência por meio destas funções surgiram na década de 1980 com Schweizer e Wolff (1981).
Apenas uma década depois, a partir das traduções de artigos publicados em jornais alemães das décadas de 1940 e 1950 feitas por Fisher e Sen (1994), o termo cópula atraiu o interesse da academia. Nos anos seguintes à tradução destes autores, outros como Nelsen (1999, 2006), Embrechts et al. (1997, 1999, 2001), McNeil et al. (2005), Cherubini et al. (2004), Kurowicka e
Joe (2010) e Joe (2014) deram contribuições valorosas com a publicação de livros e artigos abordando exemplos em análise de risco. De fato, estes autores popularizaram a teoria de cópulas em finanças e, por consequência, fomentaram a aplicação em outras áreas de pesquisas.
Instituições de classificação de risco, como a Moody e Standard&Poor, utilizam a teoria de cópulas aliada aos processos estocásticos em seus modelos de gerenciamento de risco. A União Europeia, por exemplo, preocupada com o volume de capital que as empresas de seguros daquele continente devem manter para reduzir o risco de insolvência, publicou uma diretiva13 denominada Solvency II estimulando o uso de modelos baseados em cópulas. Patton (2002, 2004), por exemplo, evidencia a importância das assimetrias comparando o desempenho de um portfólio
13. Diretivas adotadas por 27 países da União Europeia (UE) e mais três membros do Espaço Econômico Europeu (EEE). Esta norma, prevista para entrar em vigência em 1º de janeiro de 2016, tem por objetivo melhorar o sistema de solvência de empresas de seguro, bancos e fundos de pensão e substituir o regime criado na Europa na década de 1970.
