Nesta sec¸ ˜ao ser ˜ao apresentados os principais trabalhos que favoreceram o equaci- onamento e entendimento dos sistemas porosos assim como as suas influ ˆencias nas pesquisas atuais. A revis ˜ao ´e apresentada dentro de uma perspectiva hist ´orica e das aplicac¸ ˜oes num ´ericas na ´area de engenharia.
A teoria da poroelasticidade foi iniciada atrav ´es de observac¸ ˜oes experimentais fei- tas pelo engenheiro franc ˆes Henry Darcy em seu trabalho Darcy (1856), o qual publi- cou resultados de experimentos realizados sobre o fluxo de ´agua em leitos de areia, fi- cando conhecido como Lei de Darcy. A unidade da permeabilidade de fluidos, ”darcy”,
´e nomeada em honra de seu trabalho.
De acordo com Andr ´e (2005), o conceito de meio poroso surgiu a partir dos traba- lhos de Karl von Terzaghi, engenheiro austr´ıaco reconhecido como o pai da mec ˆanica dos solos e da engenharia geot ´ecnica. Terzaghi (1923) desenvolveu um trabalho na ´area de mec ˆanica dos solos, onde a noc¸ ˜ao de press ˜ao efetiva foi introduzida para descrever a influ ˆencia do fluido que satura o material poroso na deformac¸ ˜ao quase- est ´atica dos solos.
O pesquisador belga naturalizado americano, Maurice Biot, apresentou uma teo- ria mais geral da poroelasticidade em seu trabalho Biot (1935). Alguns anos depois, Kosten e Zwikker (1941) propuseram duas equac¸ ˜oes acopladas da conservac¸ ˜ao do
23
momento para a fase fluida e fase s ´olida de um material poroso, prevendo a exist ˆencia de dois modos compressionais, por ´em esta teoria n ˜ao previa um modo de cisalha- mento, assim o m ´odulo de compressibilidade em termos de experimentos drenados e n ˜ao-drenados n ˜ao poderia ser determinado.
Frenkel, em 1944, tornou-se o primeiro autor a desenvolver um conjunto completo de equac¸ ˜oes din ˆamicas que governam a ac ´ustica de meios porosos isotr ´opicos, onde duas ondas compressionais e uma cisalhante se propagam (FRENKEL, 1944).
Em 1956, Biot expandiu sua pr ´opria teoria da poroelasticidade din ˆamica, descre- vendo completamente o comportamento mec ˆanico de um meio poroel ´astico. Nos seus famosos artigos Biot (1956a,b), foi estabelecida a teoria da poro-viscoelasticidade, onde esta descreve teoricamente a propagac¸ ˜ao de ondas em um s ´olido el ´astico po- roso que cont ´em um fluido viscoso compress´ıvel. O trabalho de Biot (1956a) descreve a propagac¸ ˜ao de ondas el ´asticas em um meio poroso saturado para freq ¨u ˆencias bai- xas, enquanto que em Biot (1956b) assume-se o problema para altas freq ¨u ˆencias.
De acordo com Biot (1956a,b), a Teoria da Poroelasticidade assume que os efeitos anel ´asticos surgem a partir de uma interac¸ ˜ao viscosa entre o fluido e o s ´olido e prev ˆe a exist ˆencia de duas ondas compressionais e uma cisalhante. A onda compressional r ´apida corresponde ao movimento no qual o deslocamento do s ´olido e do fluido est ˜ao em fase, enquanto que a onda compressional lenta, tamb ´em conhecida como onda lenta de Biot, ´e uma onda difusiva que corresponde ao movimento no qual os des- locamentos das fases s ´olida e fluida n ˜ao est ˜ao em fase. Para baixas frequ ˆencias, o meio n ˜ao suporta onda lenta. Esta torna-se difusiva pois os efeitos da viscosidade do fluido dominam os efeitos inerciais. J ´a para altas frequ ˆencias, os efeitos inerciais s ˜ao predominantes e o modo lento ´e ativado.
Devido ao sucesso de seu trabalho, a Teoria da Poroelasticidade ficou tamb ´em conhecida como Teoria de Biot.
A previs ˜ao da onda compressional lenta de Biot foi motivo de controv ´ersia no meio cient´ıfico durante alguns anos at ´e que, em 1980, Plona observou experimentalmente este tipo de onda (PLONA, 1980).
mentos de um meio poroso saturado por fluido puderam ser interpretados, os modos drenado e n ˜ao-drenado.
A Teoria de Biot, apesar de ter sido desenvolvida h ´a alguns anos, ´e extrema- mente poderosa e consistente. Os estudos e an ´alises que atualmente se baseiam nesta teoria resultam em boas respostas, podendo-se verificar tal fato atrav ´es de uma comparac¸ ˜ao com resultados experimentais.
Ap ´os a leitura da alguns trabalhos relacionados `a Teoria da Poroelasticidade, foi poss´ıvel observar que alguns autores analisaram a teoria de Biot e fizeram algumas modificac¸ ˜oes, principalmente com relac¸ ˜ao `as constantes poroel ´asticas. Por ´em, trata- se de mudanc¸as realizadas apenas para facilitar a obtenc¸ ˜ao destas constantes expe- rimentalmente, o que n ˜ao muda a ess ˆencia do modelo f´ısico-matem ´atico de Biot.
Como exemplo, temos o trabalho de Pride et al. (1992), onde neste encontra-se uma abordagem mais moderna para o desenvolvimento das equac¸ ˜oes constitutivas do meio poroel ´astico no dom´ınio da frequ ˆencia.
Existem v ´arios trabalhos dedicados ao desenvolvimento e aplicac¸ ˜ao de m ´etodos num ´ericos e anal´ıticos para an ´alise de propagac¸ ˜ao de ondas em meio considerado pu- ramente el ´astico (monof ´asico) e poroel ´astico (fases s ´olida e fluida acopladas). Por ´em, neste ´ultimo, a modelagem da propagac¸ ˜ao de ondas possui peculiaridades que difi- cultam a sua resoluc¸ ˜ao.
Isto acontece pois a maior diferenc¸a entre os campos de ondas em um meio po- roel ´astico e puramente el ´astico ´e a exist ˆencia da onda compressional lenta em adic¸ ˜ao `as ondas compressional e cisalhante convencionais, conforme foi incicialmente veri- ficado em Biot(1956a,b). Como consequ ˆencia disto, a amplitude do campo de onda sofre atenuac¸ ˜ao devido `as perdas da energia na presenc¸a de fluido viscoso. Al ´em disso, a interac¸ ˜ao f´ısica e qu´ımica no meio poroso ´e mais complexa do que em um meio monof ´asico, onde cada processo f´ısico ou qu´ımico do sistema poroso pode ser visto como um sistema acoplado, exigindo ent ˜ao para sua an ´alise uma ferramenta te ´orica e computacional bem mais elaborada (PREVOST, 1981).
Segundo Molotkov (2002) as soluc¸ ˜oes existentes para problemas relacionados `a an ´alise de propagac¸ ˜ao de ondas em meios puramente el ´asticos e meios poroel ´asticos
25
s ˜ao realizadas, na maioria das vazes, atrav ´es de alguns m ´etodos num ´ericos. Dentre outros, podemos citar o M ´etodo de Elementos de Contorno, M ´etodo Pseudo-Espectral e M ´etodo de Elementos Finitos.
A utilizac¸ ˜ao do M ´etodo de Elementos Finitos na ´area de poroelasticidade teve in´ıcio no trabalho de Sandhu e Wilson (1969). Eles consideraram o meio poroel ´astico su- jeito a pequenas deformac¸ ˜oes, mas apenas para as fases (gr ˜aos de solo e ´agua) tidas como incompress´ıveis. Gaboussi e Wilson (1973) introduziram o conceito de com- pressibilidade na fase l´ıquida. O estudo onde foram inclu´ıdas as deformac¸ ˜oes finitas foi elaborado por Carter et al. (1977), que consideraram a n ˜ao-linearidade geom ´etrica. No mesmo trabalho de Carter et al. (1977) foi introduzida a n ˜ao-linearidade f´ısica, a qual foi analisada tamb ´em por Prevost (1981 e 1982) e Zienkiewicz e Schiomi (1984). A plasticidade no processo de adensamento foi estudada por Small et al. (1976), entre outros.
Os trabalhos iniciais em poroelasticidade usando o M ´etodo dos Elementos de Con- torno devem-se a Banerjee e Butterfield (1981), Cleary (1977), Cheng e Ligget (1984), Chopra e Dargush (1995), Manolis e Beskos (1989), Bonnet (1987), Dominguez (1991 e 1992), Norris (1985), entre v ´arios outros autores.
Al ´em dos m ´etodos num ´ericos citados, podemos destacar alguns m ´etodos anal´ıticos que foram desenvolvidos para an ´alise de propagac¸ ˜ao de ondas. Para o caso de meios considerados puramente el ´asticos, tem-se os trabalhos realizados em Thom- son (1950), Haskell (1953), Brekhovskih (1960), Kunetz e d’Erceville (1962), Ursin (1983), Molotkov (1984), Akkuratov e Dmitriev (1984) e Fat’yanov (1990). Dentre es- tes, daremos destaque ao m ´etodo desenvolvido por Ursin (1983), j ´a que este servir ´a como base para o desenvolvimento deste projeto.
O trabalho de Ursin (1983) descreve a propagac¸ ˜ao de ondas el ´asticas e eletro- magn ´eticas num meio estratificado, onde neste os par ˆametros que aparecem nas equac¸ ˜oes diferenciais parciais s ˜ao func¸ ˜oes cont´ınuas por partes que dependem ape- nas da profundidade. Atrav ´es do uso de uma combinac¸ ˜ao das transformadas de Fou- rier, Laplace e Bessel nestas equac¸ ˜oes diferenciais, foi poss´ıvel obter dois sistemas de quac¸ ˜oes diferenciais lineares ordin ´arias contribuindo para uma soluc¸ ˜ao mais simples do problema.
Andr ´e (2005) utilizou o sistema de Biot para a modelagem num ´erica de propagac¸ ˜ao das ondas el ´asticas em meios 2D porosos e heterog ˆeneos propondo uma soluc¸ ˜ao baseada em um esquema de diferenc¸as finitas.
Zhou e White (2006) simplificou o formalismo de Ursin considerando uma grande quantidade de camadas homog ˆeneas em um meio poroel ´astico. O objetivo deste tra- balho era obter f ´ormulas expl´ıcitas que pudessem servir de base para um eficiente c ´odigo computacional. O formalismo de Ursin foi utilizado para resolver as equac¸ ˜oes obtidas em Pride (1994) que governam o fen ˆomeno eletros´ısmico. Estas equac¸ ˜oes s ˜ao formadas pelo acoplamento das equac¸ ˜oes de Biot da poroelasticidade com as equac¸ ˜oes de Maxwell do eletromagnetismo. De forma geral, o m ´etodo desenvolvido em Zhou e White (2006) aplica-se a qualquer sistema de equac¸ ˜oes diferenciais parci- ais que possa ser colocado na forma sugerida por Ursin.
Allard et al. (1989), Baird et al. (1996) e Molotkov (2002) tamb ´em apresentam alguns m ´etodos anal´ıticos e semi-anal´ıticos para resolver as equac¸ ˜oes da Teoria da Poroelasticidade por ´em considerando apenas modelos geol ´ogicos simplificados.
Nos ´ultimos anos, uma linha de pesquisa tem sido desenvolvida para o estudo do modelo de Biot aplicando-se o formalismo de Ursin como m ´etodo de resoluc¸ ˜ao, tanto para baixas quanto para altas frequ ˆencias. Azeredo (2013) e Azeredo e Priimenko (2015) desenvolveram um algoritmo e um c ´odigo computacional capaz de obter a soluc¸ ˜ao anal´ıtica-num ´erica do problema 3D no regime de baixas frequ ˆencias. Oliveira (2015) utilizou o mesmo m ´etodo para o modelo de Biot-JKD unidimensional no regime de altas frequ ˆencias, e com isso, construiu um c ´odigo para um meio homog ˆeneo. Lorenzi e Priimenko (2014) e Priimenko e Vishnevskii (2015) realizaram uma an ´alise te ´orica de alguns problemas diretos e inversos para os sistemas de Biot e Biot-JKD.