Simulação computacional do método sísmico de reflexão para a caracterização de reservatórios de petróleo

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CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUC¸ ˜AO

MARCIA MIRANDA AZEREDO

SIMULAÇ ÃO COMPUTACIONAL DO M ÉTODO SÍSMICO DE REFLEX ÃO PARA A CARACTERIZAÇ ÃO DE RESERVAT ÓRIOS DE PETR ÓLEO

Rio das Ostras - RJ 2017

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MARCIA MIRANDA AZEREDO

Projeto Final de Conclus ão de Curso apresentado ao Curso de Graduaç ão em Engenharia de Produç ão da Uni-versidade Federal Fluminense, como requisito para obtenç ão do grau de ba-charel em Engenharia de Produç ão.

ORIENTADOR: PROF. DR. EDWIN BENITO MITACC MEZA

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Projeto Final de Conclus ão de Curso apresentado ao Curso de Graduaç ão em Engenharia de Produç ão da Uni-versidade Federal Fluminense, como requisito para obtenç ão do grau de ba-charel em Engenharia de Produç ão.

Aprovada em 10 de julho de 2017.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Edwin Benito Mitacc Meza, D. Sc. (Orientador) - UFF

Prof. Luiz Ant ˆonio de Oliveira Chaves, M. Sc. - UFF

Prof. Iara Tammela, D. Sc. - UFF

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Agradeço primeiramente a Deus por ter me proporcionado sa úde e aumentado a minha f é sempre que precisei. Sem Ele nada seria poss´ıvel.

Ao meu esposo, Gustavo, que esteve presente em minha vida durante grande parte deste curso de graduac¸ ˜ao, me apoiando, auxiliando e sendo bastante paciente e aco-lhedor nos momentos de dificuldade.

Aos meu pais, Gilmar e Lurdinha, que me ensinaram que o estudo é sempre a melhor direç ão e a determinaç ão é fator indispens ável para alcançar a vit ória.

Ao meu orientador, professor Edwin, pela disponibilidade em me auxiliar durante o desenvolvimento deste projeto e pela forma h ábil, respons ável e gentil pela qual conduziu esta orientaç ão.

Agradec¸o ao meu amigo e professor Viatcheslav Priimenko, por sanar minhas d ´uvidas e colaborar com ideias para este projeto.

A todos os professores, funcion ários e colegas da Universidade Federal Flumi-nense, campus PURO, que colaboraram para o meu aprendizado e proporcionaram agrad ável experi ência e conviv ência durante todo o curso nesta universidade.

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”A ci ência ser á sempre uma busca, jamais uma des-coberta. É uma viagem, nunca uma chegada”.

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As atividades de exploraç ão na ind ústria do petr óleo t êm registrado grandes avan-ços tecnol ógicos. É imprescind´ıvel obter informaç ões geol ógicas da área explorat ória antes de iniciar a perfuraç ão de um poço, j á que esta tarefa requer altos investimen-tos. O m étodo s´ısmico de reflex ão é o m étodo de caracterizaç ão de reservat órios petrol´ıferos mais utilizado por possuir menores custos, englobar maiores alvos de investigaç ões e obter melhores resoluç ões dos dados. Consiste na ativaç ão de uma fonte s´ısmica capaz de gerar ondas el ásticas na subsuperf´ıcie, onde estas provocam pequenas vibraç ões no meio que s ão capturadas atrav és do registro de sinais em re-ceptores estrategicamente posicionados. A modelagem matem ática deste m étodo é formalizada por um conjunto de equaç ões diferenciais parciais proposto pela Teoria da Poroelasticidade. O objetivo deste projeto é criar um simulador num érico capaz de obter as respostas desta teoria para um reservat ório de petr óleo. Para isto, apresenta-se uma soluç ão anal´ıtica e expl´ıcita para o problema proposto considerando-apresenta-se, como forma de simplificaç ão, um caso unidimensional e um meio geol ógico homog êneo. Atrav és deste simulador s ão realizados alguns estudos. É feita uma an álise da in-flu ência da posiç ão do receptor e da variaç ão dos par âmetros f´ısicos do meio geol ógico na resposta obtida. Os resultados dos testes s ão satisfat órios e garantem a efici ência do simulador proposto neste projeto.

Palavras-chave: meio poroel ástico, Teoria da Poroelasticidade, soluç ão expl´ıcita,

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Abstract

The exploration activities in the oil industry have shown big technological advan-ces. It is essential to get geological information about the exploratory area before star-ting a drilling of oil well because this activity requires high investments. The reflection seismic method is the most popular method of reservoirs characterization because it has lower costs, it can achieve a larger field of investigation and it has better data reso-lutions. The method consists in the activation of a seismic source that generates elastic waves in the subsurface and causes small vibrations in the medium. These vibrations are registered in form of signals in strategically positioned receivers. The mathematical modeling of this method is formalized by a set of partial differential equations proposed by the Poroelasticity Theory. In this project, we desenvolve an analytical and expli-cit solution for this system of equations where we consider the one-dimensional case. Based in this solution, we create a numerical simulator to obtain the answers of the Po-roelasticity Theory in a petroleum reservoir. Through this simulation, we have analysed the influence of the receiver position and the influence of the variation of the physical parameters of the geological medium in the response obtained. The results of these tests are very satisfactory and can prove that the simulator proposed in this project is efficient.

Keywords: Poroelastic medium, Poroelasticity Theory, explicit solution,

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4.1 Propriedades poroel ásticas do meio homog êneo. Fonte: Zhu e McMe-chan (1991). . . 53 4.2 Propriedades poroel ásticas do meio homog êneo calculadas em funç ão

dos par ˆametros da Teoria de Biot. . . 54 4.3 Valores estimados para as velocidades das ondas compressionais

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Lista de Figuras

1.1 Representaç ão do modelo geol ógico proposto para estudo com fonte

posicio-nada em zs. . . 8

2.1 _{Area de interesse do projeto dentro da grande área de engenharia de petr óleo.}´ ₁₂ 2.2 Modelo representando a aquisiç ão s´ısmica. Adaptada de Gerhardt (1998). . . 15

2.3 Trac¸o s´ısmico. Adptada de Tingdahl e de Rooij (2005). . . 16

2.4 Modelo geol ógico resultante de uma interpretaç ão s´ısmica. Adaptada de Ro-bison e Treitel (1980). . . 17

2.5 Movimento das part´ıculas durante a passagem de uma onda. (a) onda P; (b) onda S. Fonte: Cherrif & Geldart (1995). . . 18

2.6 Incid ência da onda s´ısmica em uma interface. Fonte: Cherrif & Geldart (1995). 19 2.7 Sobreposiç ão da fase s ólida e da fase fluida de um material poroso. . . 20

2.8 Relaç ões das escalas do comprimento de onda de um pulso ac ústico e a di-mens ão de um volume elementar. Fonte: Pride and Berryman (2003). . . 28

3.1 Representac¸ ˜ao das ondas descendentes e ascendentes. . . 41

3.2 Superf´ıcie de descontinuidade. . . 42

3.3 Caminh ˜ao com uma fonte pontual vertical. Fonte: Pereira (2014). . . 45

4.1 Representaç ão do modelo geol ógico utilizado na simulaç ão. . . 52

4.2 Pulso de Ricker no dom´ınio do tempo com frequ ˆencia dominante de 15 Hz. . 55

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4.4 Efeito da dist ância entre fonte e receptor. As dist âncias consideradas s ão: (a) z = 1000 m, (b) z = 2500 m , (c) z = 3500 m e (d) z = 5000 m. . . 58 4.5 Efeito da porosidade na velocidade da fase s ólida. Os valores da porosidade

considerados s ˜ao: (a) φ = 2%, (b) φ = 10%, (c) φ = 18% e (d) φ = 25%. . . . 59 4.6 Efeito da permeabilidade na velocidade da fase s ´olida. Os valores da

perme-abilidade considerados s ˜ao: (a) κ = 4 × 10−12 m2, (b) κ = 4 × 10−13 m2, (c) κ = 4 × 10−17m2e (d)κ = 4 × 10−18m2. . . 60 4.7 Efeito da viscosidade na velocidade da fase s ´olida. Os valores da viscosidade

considerados s ˜ao: (a) η = 10−12P a.s, (b) η = 10−8 P a.s, (c) η = 10−7 P a.se (d) η = 10−5 P a.s. . . 61

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Lista de S´ımbolos e Notac¸ ˜oes

S´ımbolos Latinos

bm Autovetores de M1M2 [1]

C M ´odulo de Biot [P a]

D Vetor de ondas descendentes [1]

F Forc¸a na fase s ´olida [N ]

f Forc¸a na fase fluida [N ]

G M ´odulo de cisalhamento [P a]

GA, GB Matrizes para a soluc¸ ˜ao na superf´ıcie [1]

h Momento s´ısmico [N.m]

I Matriz identidade [1]

J Matriz de salto [1]

JA, JB Submatrizes da matriz J [1]

L Matriz de autovetores [1]

L1 Matriz formada pelos autovetores bm [1]

L2 Matriz formada pelos autovetores ym [1]

Kc M ´odulo de incompressibilidade no meio saturado [P a] Kf M ´odulo de incompressibilidade no meio fluido [P a]

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Ks M ´odulo de incompressibilidade do meio s ´olido [P a]

M M ´odulo de Biot [P a]

M Matriz do sistema do tipo Ursin [1]

M1, M2 Submatrizes do sistema do tipo Ursin [1]

p Press ˜ao de fluido [P a]

S Vetor formado pelas fontes do sistema do tipo Ursin [1]

S0, S1 Termos que comp ˜oem o vetor fonte [1]

SA, SB Vetores relacionados com S0, S1 [1]

t Tempo [s]

T Tortuosidade [1]

U Vetor de ondas ascendentes [1]

u Vetor deslocamento da matriz s ´olida [m]

w Vetor deslocamento relativo do fluido [m]

˙

w Velocidade de filtrac¸ ˜ao [m/s]

ym Autovetores deM2M1 [1]

zs Localizac¸ ˜ao da fonte [m]

S´ımbolos Gregos

α Coeficiente de tens ˜ao efetiva de Biot [1]

δ Delta de Dirac [1]

η Viscosidade do fluido [P a.s]

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λ Par ˆametro de Lam ´e [P a]

λm Autovalores da matriz M [1]

Λ Matriz diagonal com entradas λm [1]

ρ Densidade m ´edia do material [Kg/m3]

ρe Densidade efetiva do fluido [Kg/m3]

ρf Densidade do fluido [Kg/m3]

ρs Densidade do material s ´olido [Kg/m3]

τ Tens ˜ao total [P a]

φ Porosidade [1]

Φ Vetor das vari ´aveis do sistema do tipo Ursin [1]

Φg Vetor das inc ´ognitas na superf´ıcie [1]

Ψ Vetor de ondas ascendentes e descendentes [1]

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1 Introduç ão 1 1.1 Contextualizaç ão . . . 1 1.2 Objetivos . . . 4 1.2.1 Objetivo Geral . . . 4 1.2.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 4 1.3 Justificativa . . . 5 1.4 Metodologia . . . 6

1.4.1 Classificac¸ ˜ao do Projeto . . . 7

1.4.2 Ferramenta Utilizada . . . 7

1.5 Delimitac¸ ˜oes . . . 8

1.6 Estrutura do Projeto . . . 9

2 Referencial Te órico 11 2.1 Consideraç ões Iniciais . . . 11

2.2 A Exploraç ão de Petr óleo . . . 12

2.3 O M ´etodo S´ısmico de Reflex ˜ao . . . 14

2.4 Propagac¸ ˜ao das Ondas S´ısmicas . . . 17

2.5 Caracter´ısticas do Meio Poroso . . . 19

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2.7 A Teoria da Poroelasticidade . . . 22

2.8 Modelagem Matem ´atica da Teoria da Poroelasticidade . . . 26

2.8.1 Hip ´oteses da Teoria de Biot . . . 27

2.8.2 Sistema das Equaç ões de Biot para Baixas Frequ ências . . . . 28

2.8.3 Condic¸ ˜oes de Fronteira . . . 30

3 Soluç ão Anal´ıtica do sistema de Biot: Caso Unidimensional 32 3.1 Sistema de Biot no Dom´ınio da Frequ ência Temporal . . . 32

3.2 Sistema de Biot no Formato de Ursin . . . 33

3.3 Diagonalizac¸ ˜ao de Ursin . . . 35

3.3.1 Autovalores e Autovetores para o Sistema de Biot no Formato Ursin . . . 39

3.4 Soluç ão em um Meio Homog êneo sem a Presença de Fonte . . . 40

3.5 Condic¸ ˜ao de Salto . . . 41

3.6 Representac¸ ˜ao da Fonte S´ısmica . . . 43

3.7 Soluç ão Expl´ıcita em um Meio Homog êneo com Presença de Fonte . . 46

3.8 Soluc¸ ˜ao no Dom´ınio do Tempo . . . 49

4 Modelagem Computacional do Sistema de Biot: Resultados e An álises 51 4.1 Dados da simulaç ão num érica . . . 52

4.1.1 Modelo Geol ógico com a Posiç ão da Fonte e Receptor . . . 52

4.1.2 Func¸ ˜ao da Fonte S´ısmica . . . 54

4.2 Resultados e An ´alises . . . 56

4.2.1 Estudo do Variaç ão da Dist ância entre Fonte e Receptor . . . . 58

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4.2.4 Estudo do Efeito da Viscosidade . . . 61 4.3 Discuss ão dos Resultados na Vis ão da Engenharia de Produç ão . . . . 62

5 Conclus ˜oes e Perspectivas 65

A Algoritmo: Soluç ão Anal´ıtica do Sistema de Biot para um Meio Homog êneo

com a Presenc¸a de Fonte na Superf´ıcie 75

B C ódigo Computacional para as Simulaç ões em MatLab 77

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Cap´ıtulo 1

Introduc¸ ˜ao

1.1

Contextualizac¸ ˜ao

A ind ústria do petr óleo é uma das atividades mais fascinantes e complexas no mundo dos neg ócios desde a descoberta das primeiras jazidas petrol´ıferas at é os dias de hoje. Esta ind ústria requer a participaç ão de profissionais de diversas áreas tais como Geologia, Geografia, Matem ática, F´ısica, Qu´ımica e Engenharias, dentre as quais pode-se destacar a Engenharia de Produç ão.

Um Engenheiro de Produç ão deve ter a capacidade de utilizar ferramentas ma-tem áticas e computacionais para auxiliar na tomada de decis ões dentro da ind ústria de petr óleo e g ás buscando melhorar a estrat égia empresarial.

De acordo com Gonçalves (2006), as atividades presentes na ind ústria de petr óleo podem ser classificadas em cinco segmentos b ásicos: exploraç ão, explotaç ão, trans-porte, processamento (refino) e distribuiç ão. O presente trabalho est á ligado à etapa de exploraç ão de petr óleo, onde esta é respons ável por buscar informaç ões à cerca das propriedades f´ısicas de um reservat ório de hidrocarbonetos al ém de verificar se os dep ósitos naturais encontrados na área de interesse possuem valor econ ômico.

Identificar uma regi ão onde o petr óleo possa estar armazenado n ão é uma tarefa simples pois envolve um estudo do comportamento das diversas camadas do subsolo atrav és de m étodos geol ógicos e geof´ısicos. Al ém disso, os riscos associados aos investimentos para empreender os projetos de exploraç ão e de produç ão de petr óleo (E&P) s ão bastante altos na etapa de exploraç ão devido às incertezas geol ógicas (PE-REIRA, 2004). Desta forma, as atividades explorat órias s ão altamente arriscadas em termos de retorno, pois nem sempre os esforços de exploraç ão realizados conduzem a uma descoberta comercial de petr óleo.

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cerca de 85% do custo total da exploraç ão. Sendo assim, é relevante saber como se comporta toda a estrutura do reservat ório numa regi ão onde h á suspeita da exist ência de hidrocarbonetos antes de dar in´ıcio ao processo de perfuraç ão de um poço.

Uma exploraç ão eficiente de campos de petr óleo depende de importantes decis ões a longo prazo tomadas no in´ıcio do desenvolvimento deste campo. A fim de reduzir custos e incertezas, al ém de maximizar lucros, diversos m étodos t êm sido propostos para a otimizaç ão da produç ão. De modo geral, os custos de exploraç ão podem ser minimizados com a realizaç ão de cont´ınuos investimentos em levantamentos s´ısmicos e geol ógicos.

Os m étodos de identificaç ão dos reservat órios podem ser classificados em diretos e indiretos. Os m étodos diretos consistem na perfuraç ão de poços explorat órios. For-necem apenas dados pontuais e envolvem altos custos, o que se torna uma desvanta-gem para a ind ústria petrol´ıfera. No entanto, os m étodos indiretos de investigaç ão pos-suem custos consideravelmente menores e abrangem alvos de investigaç ão bem mai-ores, com grandes profundidades e maior resoluç ão dos dados. Dentre os m étodos indiretos, pode-se destacar: m étodos geoel étricos (eletrorresistividade, sondagem el étrica vertical, potencial espont âneo e polarizaç ão induzida, radar de penetraç ão no subsolo - GPR), m étodos s´ısmicos (s´ısmica de refraç ão e s´ısmica de reflex ão) e m étodos potenciais (magnetometria e gravimetria) (LOPES, 2013).

De acordo com Gonçalves (2006), a s´ısmica de reflex ão é o m étodo indireto de investigaç ão do subsolo mais utilizado. Consiste em uma t écnica baseada na mediç ão do tempo de tr ânsito e amplitudes de uma onda gerada por uma fonte conhecida na direç ão das camadas mais profundas da terra, onde esta é refletida e captada por um receptor em determinada posiç ão. A quest ão mais relevante deste m étodo é a transformaç ão do tempo de tr ânsito para a profundidade.

O m étodo s´ısmico de reflex ão é modelado, matematicamente, atrav és de um sis-tema de equaç ões diferenciais parciais proposto pela Teoria da Poroelasticidade, a qual tamb ém ficou conhecida como Teoria de Biot devido aos trabalhos desenvolvidos pelo engenheiro e pesquisador belga Maurice Biot (BIOT (1956a,b)). Isto acontece porque o reservat ório de petr óleo é caracterizado como um meio poroel ástico, j á que, ao sofrer a aç ão de uma força a fase s ólida apresenta a propriedade de voltar ao seu

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3

estado inicial ap ós sofrer deformaç ão e os fluidos viscosos que preenchem os espaços vazios apresentam resist ência ao fluxo (propriedade conhecida como viscosidade). Assim, a Teoria de Biot descreve o comportamento mec ânico do meio poroel ástico quando este é submetido a um esforço externo causado por uma fonte s´ısmica, por exemplo. O acionamento de uma fonte ir á gerar ondas el ásticas na subsuperf´ıcie cau-sando pequenas deformaç ões na rocha e impulsionando o fluxo de fluido.

O conhecimento dos fen ômenos associados à propagaç ão das ondas el ásticas e suas relaç ões com as propriedades f´ısicas do reservat ório é de grande import ância para a interpretaç ão de dados s´ısmicos realizada no estudo de reservat órios. Uma forma de analisar os efeitos causados pelas propriedades f´ısicas das rochas nas seç ões s´ısmicas é atrav és da modelagem num érica.

O sucesso na perfuraç ão de poços de petr óleo est á associado à exist ência de um sistema petrol´ıfero, à confirmaç ão das expectativas sobre o volume de óleo a ser des-coberto e aos tamanhos individuais dos campos de óleo e g ás, por isso depende das ferramentas e tecnologias explorat órias utilizadas. Com o aumento do conhecimento geol ógico das bacias sedimentares e dos avanços tecnol ógicos, especialmente em s´ısmicas e programas de modelagem num érica de bacias, esses riscos t êm diminu´ıdo (PEREIRA, 2004).

A simulaç ão computacional permite aos gestores a experimentaç ão da realidade atrav és de um modelo e assim avaliar como as vari áveis ir ão se comportar no sistema idealizado. Este projeto prop õe um simulador para o m étodo s´ısmico de reflex ão base-ado em uma soluç ão anal´ıtica-num érica para o sistema de Biot. Tal simulbase-ador poder á ser utilizado como ferramenta para tomada de decis ões nos n´ıveis de planejamento de exploraç ão de reservat órios petrol´ıferos com o intuito de reduzir custos na etapa de exploraç ão de petr óleo e diminuir o grau de incerteza na etapa posterior de perfuraç ão de um poço de petr óleo.

De um modo geral, o desenvolvimento de ferramentas que auxiliem na tomada de decis ões com relaç ão à etapa de exploraç ão de petr óleo é de fundamental import ância para a estrat égia empresarial.

(21)

1.2

Objetivos

Nesta seç ão ser ão apresentados os objetivos deste projeto, separando-os em ob-jetivo geral e obob-jetivos espec´ıficos.

1.2.1

Objetivo Geral

Este projeto tem como objetivo geral propor uma ferramenta computacional capaz de auxiliar no processo de tomada de decis ão na etapa de exploraç ão de petr óleo dimi-nuindo os riscos associados ao grau de incerteza com relaç ão ao reservat ório e, con-sequentemente, reduzindo custos excessivos na perfuraç ão de um poço de petr óleo.

1.2.2

Objetivos Espec´ıficos

Para alcanc¸ar o objetivo geral, devem ser realizados os seguintes objetivos es-pec´ıficos:

• Obter a soluç ão anal´ıtica do sistema de equaç ões diferenciais parciais da Teoria de Biot encontrando uma soluç ão expl´ıcita para o caso unidimensional;

• Elaborar um algoritmo num érico de acordo com a soluç ão expl´ıcita obtida capaz de simular a propagaç ão de ondas s´ısmicas em um meio homog êneo;

• Desenvolver um c ´odigo computacional em ambiente MatLab baseado no algo-ritmo proposto;

• Obter dados (par âmetros f´ısicos e petrof´ısicos do meio) a partir de refer ências bibliogr áficas que servir ão para testar a efici ência do c ódigo criado;

• Fazer simulaç ões da propagaç ão de ondas el ásticas variando par âmetros pe-trof´ısicos do meio;

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5

1.3

Justificativa

Na seleç ão dos projetos de E&P é requisito fundamental estimar a produtividade dos reservat órios e do volume de reservas recuper áveis, pois qualquer mudança no fluxo de caixa de um projeto desta natureza pode ser convertido em dezenas ou cen-tenas de milh ões de d ólares, tanto para mais como para menos. Para tal, s ão efe-tuados trabalhos de investigaç ão que permitem a definiç ão das estruturas geof´ısica e geol ógica dos reservat órios existentes assim como a perfuraç ão de poços explo-rat órios e de extens ão (PEREIRA, 2004).

Encontrar as acumulaç ões de petr óleo é o primeiro passo a ser dado na ind ústria petrol´ıfera. Uma vez constatada a viabilidade t écnico-econ ômica de um campo, a ta-refa ent ão é explotar o óleo, seja em terra (onshore) ou em mar (offshore). Isto requer investimentos elevados. Al ém disso, os riscos associados a estes investimentos s ão tamb ém bastante altos, principalmente na etapa de exploraç ão devido às incertezas geol ógicas (LIMA, 2003).

Um poço explorat ório em águas profundas tem custos da ordem de 10 milh ões de d ólares, podendo atingir at é valores bem superiores dependendo das condiç ões geol ógicas e meteoceanogr áficas da regi ão. Mesmo sendo realizados extensos le-vantamentos s´ısmicos nos blocos, ainda assim a taxa de sucesso na perfuraç ão é relativamente baixa. A taxa m édia mundial de sucesso na perfuraç ão de poços ex-plorat órios é de aproximadamente 1 para 8, ou seja, para cada 8 poços perfurados somente em um se encontram reservas de hidrocarbonetos, podendo estas ainda ser tanto comerciais como sub-comerciais (PEREIRA, 2004).

Estes riscos podem ser minimizados com a realizaç ão de investimentos em pesqui-sas baseadas em levantamentos s´ısmicos e geol ógicos. É imprescind´ıvel a realizaç ão de um extenso programa explorat ório visando identificar as poss´ıveis regi ões produ-toras, os diferentes tipos de óleo existentes nos reservat órios, as caracter´ısticas pe-trof´ısicas dos reservat órios, as condiç ões geot écnicas do solo marinho, entre outros.

Sendo assim, o prop ósito deste trabalho em atuar na busca de informaç ões obtidas pela s´ısmica de reflex ão atrav és da modelagem computacional torna-se de grande utilidade na área de exploraç ão de petr óleo e auxilia na tomada de decis ões.

(23)

O m étodo que ser á desenvolvido neste projeto para resolver o sistema das equaç ões de Biot se destaca dos m étodos convencionais existentes por se tratar de um m étodo anal´ıtico com soluç ões expl´ıcitas para o problema. Al ém disso, trata-se de um m étodo matricial, o que facilita a implementaç ão de um eficiente c ódigo computacional.

Outro aspecto relevante para a elaboraç ão deste trabalho é que o algoritmo pro-posto para resolver o problema em sua forma direta tem forte influ ência na elaboraç ão de um novo algoritmo funcional para o problema inverso, onde atrav és deste é poss´ıvel obter as propriedades petrof´ısicas do reservat ório, como por exemplo, porosidade, permeabilidade e viscosidade do fluido, permitindo conhecer-se o tipo de formaç ão rochosa e caracterizar o fluido saturante.

1.4

Metodologia

Inicialmente ser á feita uma pesquisa com relaç ão aos trabalhos que apresentam soluç ões anal´ıticas e num éricas para as equaç ões da poroelasticidade de Biot, de forma que estes possam servir de orientaç ão para este projeto e tamb ém como meio de comparaç ão entre os resultados. Esta pesquisa ser á feita atrav és de leitura de artigos acad êmicos, trabalhos de final de curso e demais materiais dispon´ıveis na web.

O desenvolvimento do m étodo anal´ıtico ser á feito de forma te órica baseada no formalismo de Ursin (1983). O m étodo de Ursin prop õe uma resoluç ão matricial das equaç ões diferenciais parciais da Teoria da Poroelasticidade transformando o sistema original em um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias, o que facilita de forma significativa a resoluç ão e implementaç ão computacional do m étodo.

Ap ós isto, ser á criado um algoritmo num érico que calcula a soluç ão do sistema de equaç ões de Biot para um meio homog êneo com presença de fonte, o que simula, de forma simplificada, a propagaç ão de ondas s´ısmicas que ocorre no m étodo s´ısmico de reflex ão. Este algoritmo ser á implementado no software MatLab com o intuito de obter a validaç ão do desenvolvimento anal´ıtico realizado.

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7

variando-se os par ˆametros petrof´ısicos do meio para que se possa validar o algoritmo que foi desenvolvido.

Ap ós a apresentaç ão dos resultados obtidos, ser á feita uma an álise destes de acordo com a Teoria da Poroelasticidade.

1.4.1

Classificac¸ ˜ao do Projeto

A seguir, faz-se a classificaç ão deste trabalho quanto ao fim, à área de estudo, à subordinaç ão do tema, quando ao tipo de modelagem e quanto ao tipo de an álise.

• Quanto ao fim: Aplicada;

• Área de concentraç ão: Estudo do Desenvolvimento e Aplicaç ão da Pesquisa e da Extens ão em Engenharia de Produç ão. Estudo em Geoci ências;

• Subordinaç ão do tema a áreas do conhecimento cient´ıfico adquiridos no curso de Engenharia de Produç ão: Algoritmos e Sistemas Computacionais; Modelagem Matem ática; Equaç ões Diferenciais; Álgebra Linear; Engenharia de Petr óleo; Mec ânica do Cont´ınuo; Mec ânica dos Fluidos; Fen ômenos de Transporte; Simulaç ão Num érica como Apoio à Tomada de Decis ão.

• Quanto ao tipo de modelagem: Embora possam ser utilizados modelos num érico-computacionais e o desenvolvimento de algoritmos e programas, a ess ência do problema cient´ıfico é tratada atrav és do modelo f´ısico-matem ático para o desen-volvimento de equaç ões diferenciais que modelam o problema proposto.

• Quanto ao tipo de an álise: Pode-se classificar o resultado deste projeto como uma an álise anal´ıtica-num érica.

1.4.2

Ferramenta Utilizada

De acordo com Silva (2004), as atividades de pesquisa e desenvolvimento na área de processamento e imageamento de dados geofis´ıcos, em particular, na s´ısmica voltada para a exploraç ão e monitoramento de reservat órios de petr óleo, demandam

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de forma cada vez mais acentuada o apoio de pacotes computacionais capazes de executar um grande n úmero de tarefas, possibilitando um melhor gerenciamento e utilizaç ão de uma vasta gama de informaç ões e metodologias dispon´ıveis. Um dos pacotes computacionais capazes de atender às exig ências acima é o MatLab.

O pacote computacional MatLab é uma ferramenta de uso generalizado no meio acad êmico pelas suas vantagens de programaç ão simples e direta e uso f ácil de gr áficos e visualizaç ões. Isto permite que algoritmos e procedimentos em uma s érie de aplicaç ões sejam rapidamente implementados e testados. Embora os progra-mas MatLab n ão possuam a efici ência computacional exigida das linguagens t´ıpicas de programaç ão (por exemplo, Fortran e C), as boas propriedades acima fazem do MatLab uma ótima opç ão para a obtenç ão de prot ótipos, dedicadas a testes em aplicaç ões de pequeno porte. Tal caracter´ıstica explica porque o MatLab seja t ão utilizado na academia, em particular no ensino e elaboraç ão de dissertaç ões e teses (SILVA, 2004).

Desta forma, o software utilizado para a elaboraç ão do c ódigo computacional deste projeto ser á o MatLab.

1.5

Delimitac¸ ˜oes

Considera-se que o meio geol ógico em quest ão é aproximado por um semi-espaço homog êneo (ver Figura 1.1) e que as equaç ões que modelam a propagaç ão das ondas el ásticas no meio representam a s´ısmica de reflex ão em apenas uma dimens ão, ou seja, as vari áveis do sistema dependem apenas da profundidade (eixo z).

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9

Embora tais condiç ões sejam simplificadoras, n ão extinguem ou diminuem a im-port ância e aplicabilidade deste projeto como ferramenta para a minimizaç ão de cus-tos e diminuiç ão do grau de incerteza quanto ao reservat ório alvo de investigaç ão na etapa de exploraç ão de petr óleo. Isto porque, embora um reservat ório real n ão seja exatamente homog êneo, sua representaç ão pode ser aproximada por um meio estratificado composto por camadas homog êneas.

Desta forma, o m étodo de soluç ão anal´ıtica e o algoritmo desenvolvido neste pro-jeto colaboram de forma primordial na elaboraç ão de um simulador computacional para a s´ısmica de reflex ão em um reservat ório real al ém de proporcionarem uma base te órica para a modelagem matem ática e computacional do m étodo s´ısmico em tr ês dimens ões (3D).

Uma outra delimitaç ão do presente trabalho é a utilizaç ão de dados sint éticos nos testes de simulaç ão, os quais s ão obtidos a partir de artigos cient´ıficos altamente qualificados na área de estudos geof´ısicos de reservat órios explorat órios.

1.6

Estrutura do Projeto

Neste cap´ıtulo foi apresentado um pouco do conte údo deste projeto, a área em que ele se enquadra, seus objetivos (geral e espec´ıficos), a justificativa e delimitaç ões deste trabalho.

No Cap´ıtulo 2 ser ão apresentados alguns conceitos considerados essenciais para o entendimento deste projeto. Inicialmente, ser á descrita a etapa de exploraç ão de petr óleo, onde daremos maior ênfase ao m étodo s´ısmico de reflex ão que é o princi-pal m étodo utilizado na exploraç ão e é o m étodo que est á intimamente relacionado ao objetivo geral deste trabalho. Em seguida, ser á feita uma revis ão bibliogr áfica dos artigos t écnicos e cient´ıficos relacionados ao desenvolvimento hist órico da Teoria da Poroelasticidade, assim como dos trabalhos que se dedicaram à resoluç ão anal´ıtica e num érica para as equaç ões que descrevem o fen ômeno de propagaç ão das ondas em meios puramente el ásticos e em meios poroel ásticos. Finalmente, neste cap´ıtulo ser á apresentado o sistema das equaç ões de Biot para um meio poroso 3D (tridimen-sional) em baixas frequ ências o qual servir á como base para o equacionamento do

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sistema de equaç ões para o caso 1D (unidimensional), que é o foco do nosso traba-lho. Juntamente com a descriç ão do problema matem ático abordado neste projeto, iremos mostrar as condiç ões de fronteira a serem consideradas.

O Cap´ıtulo 3 ir á apresentar o m étodo anal´ıtico proposto neste projeto para soluci-onar o sistema das equaç ões da poroelasticidade de Biot. Para isto, utiliza-se como base a metodologia apresentada por Ursin (1983), a qual sugere alterar o sistema de equaç ões diferenciais parciais que modela a Teoria da Poroelasticidade em um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias.

Dando continuidade, mostra-se no Cap´ıtulo 4 alguns resultados obtidos ap ós a implementaç ão do c ódigo computacional. Ser á avaliada a influ ência da variaç ão de alguns par âmetros do meio poroel ástico na resposta s´ısmica e ser á feita uma an álise cr´ıtica dos resultados encontrados.

Enfim, no Cap´ıtulo 5, iremos expor as conclus ˜oes obtidas com o desenvolvimento deste projeto e as perspectivas para trabalhos futuros.

O algoritmo criado e os c ódigos computacionais implementados em MatLab s ão apresentados nos ap êndices A, B e C deste projeto.

(28)

Cap´ıtulo 2

Referencial Te ´orico

Neste cap´ıtulo ser ˜ao apresentados os principais conceitos que fundamentam este trabalho.

2.1

Considerac¸ ˜oes Iniciais

Diante dos segmentos b ásicos da ind ústria do petr óleo que foram citados no in´ıcio do Cap´ıtulo 1, pode-se dizer que este projeto est á centrado na etapa de exploraç ão, mais especificamente, no m étodo s´ısmico de reflex ão. Sendo assim, esses ser ão alguns dos assuntos abordados neste cap´ıtulo.

A propagaç ão da onda s´ısmica no meio poroso pode ser modelada atrav és da Teo-ria da Poroelasticidade, tamb ém conhecida como TeoTeo-ria de Biot. Portanto, apresenta-se tamb ém neste cap´ıtulo o sistema das equaç ões de Biot para um meio poroel ástico 3D, onde, a partir deste, iremos desenvolver o sistema de equaç ões poroel ásticas para o caso 1D, o qual é alvo principal de detalhamento deste trabalho.

N ão é nosso objetivo estabelecer todos os conceitos em suas formas mais defini-das e detalhadefini-das, trataremos apenas de esclarecer de forma suncinta e eficiente os conceitos mais importantes para que este projeto possa ser devidamente compreen-dido. Maiores detalhes poder ão ser encontrados nas bibliografias citadas.

A Figura 2.1 mostra um esquema gr áfico dos assuntos que ser ão abordados neste projeto dentro da grande área da ind ústria do petr óleo.

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Figura 2.1:_{Area de interesse do projeto dentro da grande ´area de engenharia de petr´oleo.}´

2.2

A Exploraç ão de Petr óleo

A descoberta de uma jazida de petr óleo em uma nova área é uma tarefa que en-volve um longo e dispendioso estudo e an álise de dados geof´ısicos e geol ógicos das bacias sedimentares. Somente ap ós exaustivo progn óstico do comportamento das diversas camadas do subsolo, os ge ólogos e geof´ısicos decidem propor a perfuraç ão de um poço, que é a etapa que mais investimentos exige em todo o processo do setor de petr óleo (THOMAS, 2001).

A etapa de exploraç ão de petr óleo pretende localizar, dentro de uma bacia sedi-mentar, as situaç ões geol ógicas que tenham condiç ão para a acumulaç ão de petr óleo e verificar qual dessas situaç ões possui maior chance de conter petr óleo.

De acordo com Thomas (2001), a exploraç ão de petr óleo, tanto em terra como em mar, compreende basicamente tr ês fases interdependentes e inter-relacionadas: a prospeç ão, a perfuraç ão e a avaliaç ão.

A prospecç ão é a fase dos estudos preliminares para a localizaç ão de uma área favor ável à acumulaç ão de petr óleo. Esta identificaç ão é realizada atrav és de m étodos geol ógicos e geof´ısicos, que, atuando em conjunto, conseguem indicar o local mais prop´ıcio para a perfuraç ão.

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13

Todo o programa desenvolvido durante a fase de prospecç ão fornece uma quanti-dade muito grande de informaç ões t écnicas, com um investimento relativamente pe-queno quando comparado ao custo de perfuraç ão de um poço explorat ório.

Dentre os m étodos mais utilizados, podemos citar os m étodos potenciais (a gravi-metria e a magnetogravi-metria) e os m étodos s´ısmicos (s´ısmica de refraç ão e s´ısmica de reflex ão).

O m étodo s´ısmico de reflex ão corresponde à t écnica mais utilizada na prospecç ão s´ısmica. O principal objetivo da exploraç ão s´ısmica é deduzir informaç ões sobre o comportamento das rochas e como estas est ão dispostas na subsuperf´ıcie a partir da observaç ão dos tempos de viagem das ondas s´ısmicas, al ém das variaç ões na amplitude, frequ ência e forma de onda (SHERRIF e GELDART, 1995).

A perfuraç ão é a fase onde realmente se confirmam ou n ão as suspeitas de exist ência de petr óleo. Caso n ão se confirme a exist ência de petr óleo, os testemunhos obtidos s ão analisados em laborat ório, fornecendo dados sobre a hist ória e a natureza do perfil geol ógico. Desta an álise muitas vezes depende a decis ão de se perfurar novos poços explorat órios.

Segundo Pereira (2004), pode-se afirmar que a perfuraç ão do poço de petr óleo é a etapa que mais exige investimentos na fase de exploraç ão, atingindo cerca de 10 a 30 milh ões de d ólares a depender da estrutura geol ógica da regi ão. Isto indica que a fase preliminar de aquisiç ão de dados a repeito da área a ser explorada deve ser reali-zada cuidadosamente para reduzir custos relativamente altos na etapa de perfuraç ão. Al ém disso, tal fato justifica o acr éscimo em pesquisas cient´ıficas relacionadas aos m étodos s´ısmicos de reflex ão. Desta forma, o presente trabalho se enquadra natural-mente à reduç ão de custos na exploraç ão de petr óleo auxiliando na caracterizaç ão de reservat órios.

A etapa de avaliaç ão é onde se verifica a atratividade comercial do poço explo-rat ório caso seja encontrado petr óleo na etapa de perfuraç ão. Entre os procedimen-tos utilizados destacam-se a an álise de perfis el étricos e os testes de formaç ão e produç ão.

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pr óximo passo é delimitar a descoberta e estimar com maior precis ão o volume das reservas. Isto é realizado perfurando-se poços de delimitaç ão ao redor da primeira perfuraç ão de acordo com os mapas s´ısmicos. Caso as reservas sejam comerciais ent ão seguem as fases de desenvolvimento da produç ão.

2.3

O M ´etodo S´ısmico de Reflex ˜ao

O m étodo s´ısmico de reflex ão é o m étodo de exploraç ão de subsuperf´ıcie mais utilizado atualmente na ind ústria do petr óleo. Classificado como um m étodo indi-reto, destaca-se pelo alto grau de efici ência a um custo relativamente baixo. Mais de 90% dos investimentos em prospecç ão s ão aplicados em s´ısmica de reflex ão (GONÇ ALVES, 2006).

Dentre os modelos de prospecç ão existentes, o m étodo s´ısmico de reflex ão possui v árias vantagens tais como sua capacidade de produzir como resultado final imagens s´ısmicas que forneçam alta definiç ão das feiç ões geol ógicas, al ém de permitir a cober-tura de grandes áreas de aquisiç ão quando comparado com um m étodo de aquisiç ão direto, como a perfuraç ão de poços (DALLYSON, 2007).

Como foi mencionado no Cap´ıtulo 1, a reflex ão s´ısmica é uma t écnica baseada na mediç ão do tempo de tr ânsito e amplitudes de uma onda gerada por uma fonte conhe-cida na direç ão das camadas mais profundas da terra, onde esta é refletida e captada por um receptor em determinada posiç ão. Seu objetivo principal é a formaç ão de mo-delos de dados que, depois de processados e organizados, retenham informaç ões relevantes a respeito da geologia da regi ão onde foram adquiridos, onde o problema mais importante é a transformaç ão do tempo de tr ânsito para a profundidade, o que est á diretamente relacionado à velocidade do meio.

De acordo com Robinson e Treitel (1980), a exploraç ão de hidrocarbonetos base-ada em s´ısmica pode ser dividida em tr ês etapas principais: aquisiç ão, processamento e interpretaç ão.

Para a aquisiç ão dos dados s ão geradas ondas el ásticas artificiais (impulsos) de duraç ão relativamente pequena (em torno de 200 milisegundos) em pontos espec´ıficos

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15

na superf´ıcie da área a ser mapeada. Essas perturbaç ões mec ânicas s ão geradas atrav és da utilizaç ão de uma fonte como, por exemplo, fonte explosiva ou pontual (martelo) quando em terra, ou fonte do tipo canh ões de ar comprimido no caso de regi ões mar´ıtmas.

Uma vez gerada, a onda s´ısmica se propaga atrav és da terra gerando ondas re-fletidas e refratadas. A porç ão de energia refletida é proporcional à diferença de im-ped ância ac ústica entre os dois meios. Os receptores que captam a porç ão refletida das ondas ficam situados em pontos espec´ıficos na superf´ıcie, e podem ser de dois tipos: eletromagn éticos para captaç ão em terra (sendo comumente denominados ge-ofones) ou de press ão (chamados de hidrge-ofones) para aquisiç ão de dados em regi ões oce ânicas.

As informaç ões captadas pelos sensores s ão gravadas em sism ógrafos, onde es-tes armazenam as amplitudes das ondas em intervalos de tempo regulares informando o instante de tempo da chegada da informaç ão e a intensidade (amplitude) da onda medida nesse momento.

A Figura 2.2 ilustra os processos de aquisic¸ ˜ao de dados terrestre e mar´ıtima.

Figura 2.2:Modelo representando a aquisic¸˜ao s´ısmica. Adaptada de Gerhardt (1998).

Depois de realizada a coleta dos dados s´ısmicos, os mesmos s ão levados para o chamado processamento, que consiste numa aplicaç ão de conjunto de t écnicas aos dados adquiridos com intuito de obter uma imagem representativa do subsolo. Essas t écnicas t êm por objetivo melhorar a qualidade do sinal e reduzir o ru´ıdo, corrigindo os erros inerentes pelo processo de aquisiç ão.

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Uma das transformaç ões realizadas nos dados durante o processamento faz com que as posiç ões da fonte e do receptor sejam a mesma. Tamb ém graças a esta transformaç ão, podemos considerar que a terceira dimens ão do conjunto de dados é a temporal e que a propagaç ão da onda é feita apenas na direç ão vertical. Assim, como a fonte e o receptor est ão na mesma posiç ão na superf´ıcie, o tempo de cada amostra corresponde ao tempo que a onda leva para viajar at é uma interface mais o tempo de volta à superf´ıcie.

A imagem s´ısmica obtida em cada ponto receptor da superf´ıcie é composta por um respectivo conjunto de valores verticais de amplitudes, formando uma coluna. Essa coluna de amostras com as mesmas coordenadas espaciais, variando apenas o tempo, é denominada de traço s´ısmico. A Figura 2.3 mostra um exemplo de traço s´ısmico.

Figura 2.3: Trac¸o s´ısmico. Adptada de Tingdahl e de Rooij (2005).

Na etapa de interpretaç ão, o int érprete, em geral um ge ólogo ou geof´ısico, analisa os dados s´ısmicos e tenta criar um modelo que represente a geologia contida na área do levantamento.

A interpretaç ão pode ser classificada, de acordo com o foco, em dois tipos: estru-tural e estratigr áfica. A interpretaç ão estruestru-tural basicamente tenta identificar as cama-das geol ógicas ou, de forma equivalente, as interfaces entre as camacama-das, bem como as falhas geol ógicas que ”recortam” as camadas. J á na interpretaç ão estratigr áfica,

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17

o objetivo est ´a em entender a maneira como as camadas foram se depositando ao longo do tempo.

A Figura 2.4 mostra um modelo geol ógico que poderia ser resultante de uma interpretaç ão s´ısmica.

Figura 2.4: Modelo geológico resultante de uma interpretação s´ısmica. Adaptada de Robison e Treitel (1980).

2.4

Propagac¸ ˜ao das Ondas S´ısmicas

Para entender um pouco sobre o m étodo s´ısmico de reflex ão, é necess ário obter algumas informaç ões a respeito da propagaç ão de ondas.

A descriç ão da propagaç ão de ondas s´ısmicas atrav és de meios heterog êneos é extremamente complexa. Por isso, para formular as equaç ões que descrevam essa propagaç ão adequadamente, é necess ário admitir condiç ões simplificadoras. Uma delas consiste em assumir que o meio heterog êneo pode ser convenientemente mo-delado por uma sucess ão de camadas paralelas (tamb ém denominadas formaç ões), no interior das quais se podem assumir condiç ões de homogeneidade (MARGRAVE, 2003; CHAPMAN, 2004). Os contatos entre essas camadas s ão conhecidos como interfaces.

Segundo Lopes (2013), nos meios isotr ópicos e homog êneos podem se propagar dois tipos de ondas: a onda prim ária (onda P) e a onda secund ária (onda S). Tais ondas s ão de fundamental import ância no estudo da s´ısmica.

A onda P, tamb ém conhecida como compressional ou longitudinal, geralmente tem maior velocidade de propagaç ão do que a onda S e se propaga em qualquer tipo de

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material. As part´ıculas do solo s ão alternadamente comprimidas e dilatas paralela-mente à direç ão de propagaç ão da onda s´ısmica. J á a onda S é conhecida como transversal, rotacional ou cisalhante por deslocar as part´ıculas perpendicularmente à direç ão de propagaç ão da onda, provocando alteraç ões morfol ógicas sem alteraç ões de volume da rocha (ver Figura 2.5). Essa onda n ão se propaga em meio l´ıquido e normalmente tem velocidade mais baixa que a onda P (Cherrif & Geldart, 1995).

Figura 2.5:Movimento das part´ıculas durante a passagem de uma onda. (a) onda P; (b) onda S. Fonte: Cherrif & Geldart (1995).

A Figura 2.6 mostra a propagaç ão de uma onda. Quando uma frente de onda s´ısmica atinge a interface entre dois materiais distintos, parte da energia é refletida para o meio no qual a onda estava se propagando, e parte é transmitida para o outro meio. Isto se d á devido à diferença de propriedades f´ısicas entre os dois meios, o que faz com que a velocidade de propagaç ão da onda em cada meio seja diferente. Esse processo de partiç ão de energia se repete a cada nova transiç ão entre rochas, at é que a energia da onda propagada se disperse e n ão mais retorne à superf´ıcie.

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onda P transmitida pode gerar uma onda S, tamb ´em conhecida como onda convertida P-S.

Figura 2.6: Incidˆencia da onda s´ısmica em uma interface. Fonte: Cherrif & Geldart (1995).

2.5

Caracter´ısticas do Meio Poroso

Para compreender melhor o comportamento mec ânico do meio poroso quando este é submetido à aç ão de uma força externa, precisamos estabelecer algumas ca-racter´ısticas importantes.

O meio poroso natural é composto de uma fase s ólida granular com espaços va-zios entre os gr ãos, onde estes podem ou n ão estar preenchidos por l´ıquido ou g ás. De acordo com essa descriç ão, s ão exemplos de meios porosos: leitos, rochas poro-sas, agregados fibrosos como tecidos e filtros, al ém de part´ıculas catal´ıticas contendo micro-poros extremamente pequenos. A rocha-reservat ório é um meio poroso natu-ral, e podemos citar o arenito como a rocha-reservat ório mais encontrada no mundo (BOURBI É et al., 1987).

Quando o meio poroso sofre aç ão de alguma força, a fase s ólida pode apresentar a caracter´ıstica de se deformar e, ap ós a retirada da força, voltar ao seu estado inicial. Um material com essa propriedade é chamado de el ástico. Al ém disso, considerando

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que existe fluido nos poros do meio, esta fase fluida pode resistir ao fluxo, proprie-dade esta denominada de viscosiproprie-dade. Um meio poroso que apresenta estas duas propriedades é chamado de meio poroel ástico (BOURBI É et al., 1987).

A interaç ão f´ısica e qu´ımica no meio poroso é mais complexa do que em um meio monof ásico. Em condiç ões ambientais diversas, cada processo f´ısico ou qu´ımico do sistema poroso pode ser visto como um sistema acoplado, exigindo assim, para sua quantificaç ão, uma ferramenta te órica e computacional mais avançada.

Desta forma, é comum o tratamento de um meio poroso como um meio cont´ınuo fict´ıcio pois isto facilita a modelagem matem ática. Neste caso, para cada ponto do meio é poss´ıvel calcular qualquer propriedade f´ısica de nosso interesse. Trata-se de uma abordagem cl ássica da mec ânica do cont´ınuo, de onde obt ém-se uma ferramenta te órica matem ática capaz de gerar resultados compat´ıveis com mediç ões feitas em laborat órios. Sendo assim, a hip ótese do meio ser cont´ınuo implica na exist ência de um volume elementar infinitesimal que ser á representativo para todas as propriedades f´ısicas do meio (ANDR É, 2005).

O volume elementar pode ser visto como a superposiç ão no tempo e no espaço de dois meios cont´ınuos, ou duas fases. O primeiro é definido por um material granular no estado s ólido com composiç ão qu´ımica e estrutura cristalina diferente, formando o que chamamos de ”esqueleto s ólido”ou ”matriz porosa”, e o segundo por uma regi ão vazia entre o esqueleto s ólido preenchida por fluidos (CARCIONE, 2007).

Na Figura 2.7 pode-se observar a representaç ão macrosc ópica da sobreposiç ão da fase s ólida e fluida do material poroso.

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21

Quando falamos de propriedades f´ısicas de um meio poroso, estamos nos referindo `as propriedades f´ısicas da fase fluida, propriedades f´ısicas da fase s ´olida e proprieda-des f´ısicas inerentes do sistema contendo as duas fases.

Dentre as propriedades f´ısicas b ásicas do meio poroso saturado e que contri-buem para a an álise da estrutura da rocha com relaç ão à sua viabilidade econ ômica de produç ão, podemos destacar a porosidade, a permeabilidade e a viscosidade. N ão é de nosso interesse nos aprofundarmos nestes conceitos, mas falaremos de forma breve sobre estas propriedades seguindo as ideias apresentadas em Gonçalves (2006).

A porosidade da rocha corresponde à raz ão entre o volume de poros contidos no meio poroso e o volume total do meio. Neste caso, considera-se todos os poros, es-tando eles interconectados ou n ão. Como em nosso estudo estamos traes-tando apenas de poros interconectados, é importante, para o fluxo de fluidos em meios porosos, con-siderar a raz ão entre o volume de poros interconectados contidos no meio e o volume total do meio. Esta propriedade é chamada porosidade efetiva.

A permeabilidade do meio poroso é afetada pelo tamanho, forma, arranjo e se-letividade dos gr ãos. Indica a capacidade de permitir a movimentaç ão de fluido en-tre os espaços porosos devido à interconectividade dos poros, sem que haja uma deformaç ão do esqueleto.

A viscosidade, j á mencionada anteriormente, é a medida da resist ência interna de um fluido (g ás ou l´ıquido) ao fluxo. A viscosidade é a conseq ü ência do atrito interno de um fluido e resulta da resist ência que um fluido oferece ao movimento.

2.6

Comportamento Mec ˆanico do Meio Poroso

Seguindo a descriç ão de Biot, quando cargas s ão aplicadas nas fronteiras do meio poroel ástico, podemos expressar o comportamento destes meios considerando cada uma das fases que o comp õem, da seguinte forma:

• Fase fluida: Devido à transfer ência de parte ou totalidade da carga ao fluido existente nos poros, haver á um excesso de press ão nos poros que ir á provocar

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a expuls ão de parte do fluido, resultando assim numa dissipaç ão do excesso de press ão dos poros.

• Fase s ólida: Parte da descarga que est á associada à press ão de poro que foi dissipada durante a expuls ão do fluido, ir á se transferir para o esqueleto s ólido na forma de tens ões, as quais s ão denominadas tens ões efetivas. Estas tens ões promovem as deformaç ões do meio.

Sendo assim, o fluxo de fluido decorre do excesso de press ão de poro e a deformaç ão do esqueleto s ólido resulta da transfer ência gradativa deste excesso de press ão à tens ão efetiva.

2.7

A Teoria da Poroelasticidade

Nesta seç ão ser ão apresentados os principais trabalhos que favoreceram o equaci-onamento e entendimento dos sistemas porosos assim como as suas influ ências nas pesquisas atuais. A revis ão é apresentada dentro de uma perspectiva hist órica e das aplicaç ões num éricas na área de engenharia.

A teoria da poroelasticidade foi iniciada atrav és de observaç ões experimentais fei-tas pelo engenheiro franc ês Henry Darcy em seu trabalho Darcy (1856), o qual publi-cou resultados de experimentos realizados sobre o fluxo de água em leitos de areia, fi-cando conhecido como Lei de Darcy. A unidade da permeabilidade de fluidos, ”darcy”,

´e nomeada em honra de seu trabalho.

De acordo com Andr é (2005), o conceito de meio poroso surgiu a partir dos traba-lhos de Karl von Terzaghi, engenheiro austr´ıaco reconhecido como o pai da mec ânica dos solos e da engenharia geot écnica. Terzaghi (1923) desenvolveu um trabalho na área de mec ânica dos solos, onde a noç ão de press ão efetiva foi introduzida para descrever a influ ência do fluido que satura o material poroso na deformaç ão quase-est ática dos solos.

O pesquisador belga naturalizado americano, Maurice Biot, apresentou uma teo-ria mais geral da poroelasticidade em seu trabalho Biot (1935). Alguns anos depois, Kosten e Zwikker (1941) propuseram duas equaç ões acopladas da conservaç ão do

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23

momento para a fase fluida e fase s ólida de um material poroso, prevendo a exist ência de dois modos compressionais, por ém esta teoria n ão previa um modo de cisalha-mento, assim o m ódulo de compressibilidade em termos de experimentos drenados e n ão-drenados n ão poderia ser determinado.

Frenkel, em 1944, tornou-se o primeiro autor a desenvolver um conjunto completo de equaç ões din âmicas que governam a ac ústica de meios porosos isotr ópicos, onde duas ondas compressionais e uma cisalhante se propagam (FRENKEL, 1944).

Em 1956, Biot expandiu sua pr ópria teoria da poroelasticidade din âmica, descre-vendo completamente o comportamento mec ânico de um meio poroel ástico. Nos seus famosos artigos Biot (1956a,b), foi estabelecida a teoria da poro-viscoelasticidade, onde esta descreve teoricamente a propagaç ão de ondas em um s ólido el ástico po-roso que cont ém um fluido viscoso compress´ıvel. O trabalho de Biot (1956a) descreve a propagaç ão de ondas el ásticas em um meio poroso saturado para freq ü ências bai-xas, enquanto que em Biot (1956b) assume-se o problema para altas freq ü ências.

De acordo com Biot (1956a,b), a Teoria da Poroelasticidade assume que os efeitos anel ásticos surgem a partir de uma interaç ão viscosa entre o fluido e o s ólido e prev ê a exist ência de duas ondas compressionais e uma cisalhante. A onda compressional r ápida corresponde ao movimento no qual o deslocamento do s ólido e do fluido est ão em fase, enquanto que a onda compressional lenta, tamb ém conhecida como onda lenta de Biot, é uma onda difusiva que corresponde ao movimento no qual os des-locamentos das fases s ólida e fluida n ão est ão em fase. Para baixas frequ ências, o meio n ão suporta onda lenta. Esta torna-se difusiva pois os efeitos da viscosidade do fluido dominam os efeitos inerciais. J á para altas frequ ências, os efeitos inerciais s ão predominantes e o modo lento é ativado.

Devido ao sucesso de seu trabalho, a Teoria da Poroelasticidade ficou tamb ´em conhecida como Teoria de Biot.

A previs ão da onda compressional lenta de Biot foi motivo de controv érsia no meio cient´ıfico durante alguns anos at é que, em 1980, Plona observou experimentalmente este tipo de onda (PLONA, 1980).

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comporta-mentos de um meio poroso saturado por fluido puderam ser interpretados, os modos drenado e n ˜ao-drenado.

A Teoria de Biot, apesar de ter sido desenvolvida h á alguns anos, é extrema-mente poderosa e consistente. Os estudos e an álises que atualextrema-mente se baseiam nesta teoria resultam em boas respostas, podendo-se verificar tal fato atrav és de uma comparaç ão com resultados experimentais.

Ap ós a leitura da alguns trabalhos relacionados à Teoria da Poroelasticidade, foi poss´ıvel observar que alguns autores analisaram a teoria de Biot e fizeram algumas modificaç ões, principalmente com relaç ão às constantes poroel ásticas. Por ém, trata-se de mudanças realizadas apenas para facilitar a obtenç ão destas constantes expe-rimentalmente, o que n ão muda a ess ência do modelo f´ısico-matem ático de Biot.

Como exemplo, temos o trabalho de Pride et al. (1992), onde neste encontra-se uma abordagem mais moderna para o desenvolvimento das equaç ões constitutivas do meio poroel ástico no dom´ınio da frequ ência.

Existem v ários trabalhos dedicados ao desenvolvimento e aplicaç ão de m étodos num éricos e anal´ıticos para an álise de propagaç ão de ondas em meio considerado pu-ramente el ástico (monof ásico) e poroel ástico (fases s ólida e fluida acopladas). Por ém, neste último, a modelagem da propagaç ão de ondas possui peculiaridades que difi-cultam a sua resoluç ão.

Isto acontece pois a maior diferença entre os campos de ondas em um meio po-roel ástico e puramente el ástico é a exist ência da onda compressional lenta em adiç ão às ondas compressional e cisalhante convencionais, conforme foi incicialmente veri-ficado em Biot(1956a,b). Como consequ ência disto, a amplitude do campo de onda sofre atenuaç ão devido às perdas da energia na presença de fluido viscoso. Al ém disso, a interaç ão f´ısica e qu´ımica no meio poroso é mais complexa do que em um meio monof ásico, onde cada processo f´ısico ou qu´ımico do sistema poroso pode ser visto como um sistema acoplado, exigindo ent ão para sua an álise uma ferramenta te órica e computacional bem mais elaborada (PREVOST, 1981).

Segundo Molotkov (2002) as soluç ões existentes para problemas relacionados à an álise de propagaç ão de ondas em meios puramente el ásticos e meios poroel ásticos

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25

s ão realizadas, na maioria das vazes, atrav és de alguns m étodos num éricos. Dentre outros, podemos citar o M étodo de Elementos de Contorno, M étodo Pseudo-Espectral e M étodo de Elementos Finitos.

A utilizaç ão do M étodo de Elementos Finitos na área de poroelasticidade teve in´ıcio no trabalho de Sandhu e Wilson (1969). Eles consideraram o meio poroel ástico su-jeito a pequenas deformaç ões, mas apenas para as fases (gr ãos de solo e água) tidas como incompress´ıveis. Gaboussi e Wilson (1973) introduziram o conceito de com-pressibilidade na fase l´ıquida. O estudo onde foram inclu´ıdas as deformaç ões finitas foi elaborado por Carter et al. (1977), que consideraram a n ão-linearidade geom étrica. No mesmo trabalho de Carter et al. (1977) foi introduzida a n ão-linearidade f´ısica, a qual foi analisada tamb ém por Prevost (1981 e 1982) e Zienkiewicz e Schiomi (1984). A plasticidade no processo de adensamento foi estudada por Small et al. (1976), entre outros.

Os trabalhos iniciais em poroelasticidade usando o M ´etodo dos Elementos de Con-torno devem-se a Banerjee e Butterfield (1981), Cleary (1977), Cheng e Ligget (1984), Chopra e Dargush (1995), Manolis e Beskos (1989), Bonnet (1987), Dominguez (1991 e 1992), Norris (1985), entre v ´arios outros autores.

Al ém dos m étodos num éricos citados, podemos destacar alguns m étodos anal´ıticos que foram desenvolvidos para an álise de propagaç ão de ondas. Para o caso de meios considerados puramente el ásticos, tem-se os trabalhos realizados em Thom-son (1950), Haskell (1953), Brekhovskih (1960), Kunetz e d’Erceville (1962), Ursin (1983), Molotkov (1984), Akkuratov e Dmitriev (1984) e Fat’yanov (1990). Dentre es-tes, daremos destaque ao m étodo desenvolvido por Ursin (1983), j á que este servir á como base para o desenvolvimento deste projeto.

O trabalho de Ursin (1983) descreve a propagaç ão de ondas el ásticas e eletro-magn éticas num meio estratificado, onde neste os par âmetros que aparecem nas equaç ões diferenciais parciais s ão funç ões cont´ınuas por partes que dependem ape-nas da profundidade. Atrav és do uso de uma combinaç ão das transformadas de Fou-rier, Laplace e Bessel nestas equaç ões diferenciais, foi poss´ıvel obter dois sistemas de quaç ões diferenciais lineares ordin árias contribuindo para uma soluç ão mais simples do problema.

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Andr é (2005) utilizou o sistema de Biot para a modelagem num érica de propagaç ão das ondas el ásticas em meios 2D porosos e heterog êneos propondo uma soluç ão baseada em um esquema de diferenças finitas.

Zhou e White (2006) simplificou o formalismo de Ursin considerando uma grande quantidade de camadas homog êneas em um meio poroel ástico. O objetivo deste tra-balho era obter f órmulas expl´ıcitas que pudessem servir de base para um eficiente c ódigo computacional. O formalismo de Ursin foi utilizado para resolver as equaç ões obtidas em Pride (1994) que governam o fen ômeno eletros´ısmico. Estas equaç ões s ão formadas pelo acoplamento das equaç ões de Biot da poroelasticidade com as equaç ões de Maxwell do eletromagnetismo. De forma geral, o m étodo desenvolvido em Zhou e White (2006) aplica-se a qualquer sistema de equaç ões diferenciais parci-ais que possa ser colocado na forma sugerida por Ursin.

Allard et al. (1989), Baird et al. (1996) e Molotkov (2002) tamb ém apresentam alguns m étodos anal´ıticos e semi-anal´ıticos para resolver as equaç ões da Teoria da Poroelasticidade por ém considerando apenas modelos geol ógicos simplificados.

Nos últimos anos, uma linha de pesquisa tem sido desenvolvida para o estudo do modelo de Biot aplicando-se o formalismo de Ursin como m étodo de resoluç ão, tanto para baixas quanto para altas frequ ências. Azeredo (2013) e Azeredo e Priimenko (2015) desenvolveram um algoritmo e um c ódigo computacional capaz de obter a soluç ão anal´ıtica-num érica do problema 3D no regime de baixas frequ ências. Oliveira (2015) utilizou o mesmo m étodo para o modelo de Biot-JKD unidimensional no regime de altas frequ ências, e com isso, construiu um c ódigo para um meio homog êneo. Lorenzi e Priimenko (2014) e Priimenko e Vishnevskii (2015) realizaram uma an álise te órica de alguns problemas diretos e inversos para os sistemas de Biot e Biot-JKD.

2.8

Modelagem Matem ´atica da Teoria da Poroelasticidade

A teoria da poroelasticidade de Biot descreve o comportamento acoplado entre o fluido e s ólido em um meio poroso saturado durante sua consolidaç ão, deformaç ão ou propagaç ão de ondas el ásticas.

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27

Quando uma rocha sofre aç ão de uma força, ela est á sujeita a se deformar de acordo com os fundamentos da teoria da elasticidade. A consolidaç ão é o processo no qual a rocha sofre uma diminuiç ão do seu volume inicial devido à sua compactaç ão. Dessa forma, Biot estabelece relaç ões existentes entre força, deformaç ão e proprie-dades do meio, descrevendo assim a propagaç ão de ondas para rochas saturadas.

2.8.1

Hip ´oteses da Teoria de Biot

De acordo com Carcione (2007), a teoria de Biot tem como principais pressupostos:

1. Os deslocamentos, deformaç ões e velocidades das part´ıculas s ão pequenos, de modo que podem ser linearizados. Assim, considera-se que as transformaç ões s ão infinitesimais. Se esta hip ótese n ão fosse considerada, ter´ıamos equaç ões matem áticas n ão-lineares com soluç ões muito trabalhosas.

2. Os princ´ıpios da mec ânica do cont´ınuo podem ser aplicados para medir valores macrosc ópicos. As quantidades macrosc ópicas usadas na teoria de Biot s ão m édias volum étricas das correspondentes quantidades microsc ópicas dos cons-tituintes.

3. O comprimento de onda é grande se comparado com as dimens ões lineares de um volume elementar macrosc ópico, por ém estas dimens ões lineares devem ser maiores do que uma dimens ão caracter´ıstica de qualquer uma das fases dentro do composto (ver Figura 2.8). Assim, o volume tem propriedades bem definidas, como porosidade, permeabilidade e m ódulos el ásticos. Os efeitos de dispers ão s ão, portanto, negligenciados.

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Figura 2.8: Relações das escalas do comprimento de onda de um pulso acústico e a dimensão de um volume elementar. Fonte: Pride and Berryman (2003).

4. As condiç ões s ão isot érmicas. Assim, os efeitos termo el ásticos n ão s ão consi-derados, al ém disso, pouco se conhece sobre os efeitos da variaç ão de tempe-ratura nas propriedades do meio poroso.

5. A distribuiç ão de tens ão no fluido é hidrost ática.

6. A fase l´ıquida é cont´ınua. Os poros n ão interconectados n ão interferem no fluxo de fluido atrav és do meio poroso. Eles s ão vistos como parte da estrutura s ólida do meio poroso.

7. Cada estrato do meio poroso é isotr ópico e homog êneo1_.

As hip óteses propostas por Biot aproximam de maneira satisfat ória os resultados em relaç ão a um solo real (CARCIONE, 2007).

2.8.2

Sistema das Equaç ões de Biot para Baixas Frequ ências

As equaç ões que governam a teoria da poroelasticidade prov êm da teoria da elasti-cidade considerando o equil´ıbrio das forças e da lei de Darcy para o fluxo de fluido em um meio poroso. Biot (1956a,b) ignora o n´ıvel microsc ópico e assume que a mec ânica cont´ınua pode ser aplicada para medir quantidades macrosc ópicas.

1_{Um meio homogêneo tem a mesma velocidade de propagação da onda na mesma direção e um meio isotrópico}

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A seguir, apresenta-se o sistema de Biot para baixas frequ ências considerando um meio tridimensional (3D). Tal sistema é dado no dom´ınio do tempo e para efeito de simplificaç ão utilizamos a notaç ão vetorial. Para cada ponto do espaçox = (x1, x2, x3) ∈ R3, tem-se ρ∂_tt2u + ρf∂tt2w = ∇ · τ +F, (2.1) ρf∂tt2u + ρe∂tt2w + η κ∂tw = −∇p +f, (2.2) τ = (λ∇ · u + C∇ · w) I + G(∇u + ∇uT), (2.3) −p = C∇ · u + M ∇ · w. (2.4)

A influ ência da fonte no meio material é definida nas equaç ões de Biot por F =

(F1, F2, F3) e f = (f1, f2, f3), onde estes representam o campo de forc¸a imposto na matriz s ´olida e na fase fluida, respectivamente.

As vari áveis do sistema s ão: u = (u1, u2, u3), o campo de deslocamentos da fase s ólida;w = (w1, w2, w3), o campo de deslocamentos relativos do fluido; τ , o tensor de tens ões ”bulk”do meio e p a funç ão escalar da press ão de fluido.

Os par âmetros materiais que aparecem nas equaç ões de Biot s ão: λ e G, os par âmetros de Lam é; C e M , os m ódulos de Biot; ρ, a densidade bulk do meio; ρf, a densidade do fluido; ρe , a densidade efetiva do fluido; κ, a permeabilidade; e η, a viscosidade do fluido. Al ém disso,I é a matriz identidade 3 × 3.

As duas primeiras equaç ões representam as equaç ões do movimento dadas a par-tir da segunda Lei de Newton para cada fase separadamente (s ólida e fluida). Desta forma, estas equaç ões representam os deslocamentos da fase s ólida e da fase fluida do meio poroso quando neste é aplicada uma força externa.

As duas últimas equaç ões representam as equaç ões constitutivas do meio que relacionam par âmetros poroel ásticos do meio com as grandezas de interesse consi-deradas (tens ão, deslocamentos e press ão) e s ão obtidas a partir da relaç ão tens ão-deformaç ão (Lei de Hooke).

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do meio que foi descrito na Sec¸ ˜ao 2.6.

A partir do sistema das equaç ões de Biot para o caso 3D, pode-se reduzir este sistema para o caso 1D, levando-se em consideraç ão apenas a vari ável relativa à pro-fundidade z. Assim, temos o seguinte sistema de equaç ões que modela a propagaç ão de ondas el ásticas em meios porosos unidimensionais preenchidos por fluido.

ρ∂_tt2u + ρf∂tt2w = ∂τ ∂z + F, (2.5) ρf∂tt2u + ρe∂tt2w + η κ∂tw = − ∂p ∂z + f, (2.6) τ = (λ + 2G)∂u ∂z + C ∂w ∂z, (2.7) −p = C∂u ∂z + M ∂w ∂z. (2.8)

As vari áveis do nosso problema s ão u, w, τ e p, onde estas representam, res-pectivamente, o deslocamento absoluto da fase s ólida, deslocamento relativo da fase fluida, tens ão total e press ão de poro.

2.8.3

Condic¸ ˜oes de Fronteira

De acordo com Zhou e White (2006), para simplificaç ão da modelagem matem ática, os meios poroel ásticos s ão normalmente considerados estratificados e formados por camadas homog êneas, onde cada camada possui propriedades f´ısicas constantes em seu interior, ou seja, tais par âmetros s ão funç ões constantes por partes, variando somente de acordo com a profundidade z.

Devido a estratificaç ão dos meios poroel ásticos, existe a presença de descontinu-idades, ou seja, fronteiras de camadas com propriedades distintas. O fen ômeno que descreve a difraç ão, refraç ão e reflex ão das ondas est á diretamente relacionado com a presença destas interfaces.

De acordo com Carcione (2007), na interface de descontinuidade entre dois meios porosos homog êneos tem-se a continuidade das vari áveis u, w, τ e p. Enquanto que na superf´ıcie livre de um meio poroso n ão existem restriç ões para o deslocamento,

(48)

31

desde que o meio esteja livre para se mover. Por esta raz ão, a tens ão e a press ão no fluido desaparecem, logo τ = p = 0.

(49)

Soluc¸ ˜ao Anal´ıtica do sistema de Biot: Caso Unidimensional

Neste cap´ıtulo ser á apresentada a metodologia utilizada para obter a soluç ão anal´ıtica do sistema de equaç ões de Biot (2.5)-(2.8) apresentado no Cap´ıtulo 2. Para isto, utiliza-se como base o formalismo desenvolvido em Ursin (1983), o qual denomina-mos M étodo de Ursin, onde este representa um m étodo matricial de soluç ão.

3.1

Sistema de Biot no Dom´ınio da Frequ ˆencia Temporal

Embora as equaç ões que modelam o fen ômeno da propagaç ão de ondas el ásticas em um meio poroso completamente saturado foram desenvolvidas no dom´ınio do tempo, o m étodo anal´ıtico utilizado neste projeto para soluç ão das equaç ões de Biot é desenvolvido no dom´ınio da frequ ência temporal. O uso do dom´ınio da frequ ência para a an álise de problemas el ásticos e din âmicos est á aumentando cada vez mais, principalmente quando propriedades f´ısicas da rocha dependem da frequ ência para serem determindas.

Para transformar as equaç ões no dom´ınio da frequ ência temporal ω, utilizamos a Transformada de Fourier com base eiωt_,

F (ω) = F [f (t)] = √1 2π

Z +∞ −∞

f (t)eiωtdt. (3.1)

Desta forma, derivar com relaç ão ao tempo no dom´ınio da frequ ência temporal é equivalente a multiplicar por −iω. Assim, ao aplicar a Transformada de Fourier às equaç ões do sistema de Biot (2.5)-(2.8) que estamos interessados em resolver,