Terceira atividade – Números chineses de Shang

Na terceira atividade desenvolvida em nosso trabalho de campo, a História da Matemática também esteve presente de maneira explícita. De acordo com uma das indicações de Fauvel e Van Maanen (2000), apresentada no Capítulo 1, foi uma atividade matemática experimental referente à notação.

Nessa atividade, os estudantes foram apresentados a um antigo sistema de numeração chinês, chamado sistema de numeração de Shang. Os números de Shang, de acordo com artefatos encontrados, datam do século IV a.C., mas historiadores acreditam que eles foram usados pelo menos dez séculos antes, durante a Dinastia de Shang (XVI-XI a.C). Esse sistema de numeração era decimal e posicional e os números maiores do que nove eram representados alternando-se as formas vertical e horizontal dos algarismos de um a nove. Durante séculos, foram utilizadas varas de contagem para representar esses números (BEERY et al., 2004). A notação desse sistema de numeração, que também tinha uma forma específica para indicar números negativos, foi mostrada aos alunos e eles tiveram a oportunidade de praticar a escrita de diferentes números de acordo com ela.

Com essa atividade, tínhamos como objetivo permitir que os alunos experimentassem um antigo método de escrita de números tendo como referência uma outra perspectiva cultural, que se diferencia da ocidental, à qual eles estão acostumados. Ao mesmo tempo, esperávamos que a atividade contribuísse para um melhor entendimento da importância do zero no sistema de numeração decimal que usamos. Além disso, ela serviria como introdução a outra atividade a ser desenvolvida posteriormente. É importante observar que essa atividade foi trabalhada de forma intercalada com a atividade anterior e que essas duas atividades se

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relacionam, especialmente porque, no texto discutido anteriormente, havia o seguinte trecho que se referia à maneira como os chineses faziam cálculos com números negativos.

Mas, como os chineses faziam para distinguir os números negativos dos positivos? Na China, há muito tempo atrás, havia se desenvolvido a prática de calcular com barras de bambu estendidas sobre um tabuleiro. E, para distinguir número positivo de negativo, foi adotada a seguinte convenção: barras pretas indicavam os negativos e barras vermelhas, os positivos. [Trecho retirado do texto trabalhado na segunda atividade]

Josi iniciou a atividade escrevendo no quadro os algarismos nas posições vertical e horizontal e explicando aos alunos como funciona a notação no sistema de Shang, ou seja, enfatizando que esse sistema é decimal e posicional. A seguir, ela escreveu no quadro alguns números no sistema indo-arábico e convidou os alunos para irem ao quadro representar esses números usando o sistema de numeração de Shang.

Josi: O sistema de numeração chinês, ele é posicional como o nosso. Então

tem a casa das unidades, que é a casa da direita, a casa da dezena, centena, unidade de milhar, dezena de milhar, centena de milhar, aí a casa da unidade de milhão e assim por diante. Só que eu não vou pegar números muito grandes pra gente escrever, porque não faz nem muito sentido. Então eu vou pegar só até a casa da dezena de milhar. O sistema de numeração chinês é posicional como o nosso, porém eles vão alternando os símbolos. O símbolo na casa da unidade é o símbolo vertical na dezena, horizontal, na centena, vertical, na unidade de milhar, horizontal, na dezena de milhar, vertical. Então eles vão alternando os símbolos para escrever as casas. Como que ficaria, por exemplo, o número 36? Quem pode fazer pra mim o número 36? [708]

Para discutir a importância do zero, a professora solicitou que os alunos representassem sequências de números como 1, 10, 100, 1000, ou 13, 103, 1003. Um exemplo dessa discussão está no trecho a seguir:

Josi: Já que ninguém perguntou, e eu estava esperando a pergunta: como é

que nós vamos escrever número que tem zero?

Seu Zé: Eu te perguntei! Josi: O algarismo zero.

Seu Zé: Eu te perguntei. Eu falei com você: professora, como é que faz o

10? E você até pediu pra mim esperar, cê tava explicando...

Josi: Ah, é? Então ótimo. Eu que tô com a memória curta. Pssssssiu... Então

ele falou que já tinha perguntado como é que ficaria o 10. Então eu vou responder agora... Quando tinha algum número com algum algarismo vazio, ou seja, com o zero, não tinha o símbolo pro zero, então a casa ficava vazia, porque zero é a mesma coisa que não ter nada. Então a casa correspondente ficava vazia. O 1 é assim, não vou nem pedir para ninguém fazer porque uma unidade fica assim [escreve no quadro]. Agora o 10... quem não veio ainda?

Josi: Stephanie, como que eu faria o 10? Tenta fazer pra mim... Edgar: É a mesma coisa.

Josi: Tenta fazer o 10 pra mim. [Stephanie se levanta e vai até o quadro]. A

casa que tá vazia...

Kamylly: Fica a mesma coisa não. Seu Zé: Eu acho que fica a mesma coisa. Kamylly: Não fica. O T fica horizontal

Josi: Não tem símbolo pro zero, então a casa que seria o zero, você vai

deixar um espaço vazio. (...)

Josi: Por quê, Stephanie?

Stephanie: Porque tá na dezena. Josi: Ah... uma dezena.

Seu Zé: Ah, é...

Josi: A unidade tá vazia, sem nada, uma dezena na outra casa. Tá certinho...

[Vários alunos pedem para fazer o próximo número no quadro]

Josi: Kamylly, faz o 100 pra mim. Como que ficaria o 100 nesse caso?

[Kamylly vai até o quadro]

Kamylly: Vertical, horizontal, vertical.

Josi: Olha, aí já apareceu um problema. Como diferenciar o 1 do 100?

(...)

Josi: Olha, se aparecer num texto chinês, é lógico que não vai ter um

número lá do sistema de numeração indo-arábico.

Seu Zé: É só colocar o mais.

Josi: Se aparecesse num texto chinês o número 1 ou o 100, como diferenciar

se é 1 ou se é 100?

Floyd: mas se tiver escrito lá...

Iuri: É só colocar um tracinho em baixo [faz um gesto colocando um braço

debaixo do outro].

Seu Zé: Professora, vai estar usando unidade, dezena e centena assim? Josi: Ah... a gente não escreve as casas, né. A gente não escreve as casas

(...)

Floyd: E se na atividade tiver pedindo o 100? Miley: Professora, coloca 2 tracinhos em baixo.

Josi: Sabe o que os chineses faziam?... Aí vocês estão especulando, porque

vocês não sabem o que eles faziam. Eles sentiram a necessidade de um símbolo pro zero, porque só deixar casa vazia pode confundir o número, tanto é que você escreve o 1 da mesma forma que você escreve o 100. Então eles sentiram a necessidade de indicar as casas vazias com um símbolo, tanto é que como ficaria o 1.000? Como que ficaria pra escrever o número 1.000?

Karynna: O um.

Josi: Uma unidade de milhar, na horizontal. Seu Zé: Mas aí ia parecer o 10.

Josi: Ficaria igual ao 10 e aí poderia confundir. Então com a necessidade de

um símbolo para indicar a casa vazia, apareceu o pontinho. Então eles começaram o símbolo do zero com um pontinho. Então o 10 ficaria assim [escreve no quadro]. [Turma 708]

Após terminar essa primeira parte de introdução e discussão coletiva, Josi entregou uma folha com atividades para os alunos realizarem individualmente na qual, além de um texto introduzindo historicamente esse sistema de numeração, constavam alguns exercícios que relacionavam números no sistema indo-arábico com seus correspondentes no sistema de

numeração de Shang. A última etapa da atividade foi dedicada à correção e discussão coletiva desses exercícios, momento no qual os alunos foram ao quadro novamente para fazer a representação de alguns números utilizando o sistema de numeração estudado. Ao todo, nessa atividade, juntamente com a anterior, foram gastas quatro aulas de sessenta minutos.

Especialmente na turma 708, houve um grande envolvimento dos alunos. Vários deles se manifestaram querendo ir ao quadro representar os números chineses e todos eles fizeram os exercícios propostos. Ao resolver os exercícios, no entanto, alguns estudantes cometeram erros, especialmente relacionados à posição dos algarismos e/ou à representação dos números negativos. Alguns deles, por exemplo, representaram os números com todos os algarismos chineses na posição horizontal.

3.7.4 Quarta atividade – Introduzindo a soma de inteiros utilizando varas de contagem