A medida de V@R de um dia calculada com base em um nível de confiança de 1% implicaria que, em circunstâncias normais de mercado, determinada carteira excederia suas perdas acima das esperadas pelo modelo em uma vez em cada 100, na média. Este foi o nível de significância utilizado para o teste retroativo da eficiência dos modelos de V@R analisados.
Esse número de perdas acima do esperado pode ser considerado, segundo Alexander (2001), como uma variável aleatória que tem distribuição binomial. Assim sendo, para um V@R de 1 dia com probabilidade de perda de p%, calculado para
com n dias retroagidos, tem-se uma quantidade de perdas esperada de n*p; com variância de n*p*(1-p). Assim, para a amostra, composta de 1264 dias de dados (sendo que os 100 primeiros dados foram utilizados como amostra para o primeiro cálculo de V@R), n=1164; p=0,01; n*p = 11,64; variância = 11,52 e o desvio padrão é de 3,39.
Como n é grande e p é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada a uma normal. Neste caso, o intervalo de confiança de número de ocorrências é dado por:
) ) 1 .( . . ; ) 1 .( . . (n p Z0,005 np p np Z0,005 np p IC= − − + − (46) onde:
Z0,005 = número de desvios padrão com relação à média equivalente a 0,5% de
probabilidade de ocorrência em uma distribuição normal padrão.
Substituindo os valores antes apresentados na fórmula acima, tem-se que:
IC =(11,64 – 2,576 * 3,39; 11,64 + 2,576 * 3,39) = (2,90; 20,37).
Assim, dada a amostra de 1164 dados, são esperados que ao menos três perdas, em toda a amostra, excedam o valor estimado pelo critério de risco adotado. Analogamente, são esperadas menos de vinte e uma perdas no intervalos da amostra.
O teste retroativo recomendado pela emenda de 1996 ao Acordo da Basiléia usa os últimos 250 dias de dados com perdas previstas de 1%. A carteira é mantida fixa e as perdas dos últimos 250 dias são comparadas com o V@R. As perdas que excedam o limite de V@R são então anotadas. Desta forma, o número esperado de perdas, a variância, desvio padrão e intervalo de confiança serão:
• número esperado de perdas = n*p = 250*0,01 = 2,5 • variância = n*p*(1 – p) = 250*0,01* (1 – 0,01) = 2,475 • desvio padrão = n*p*(1− p)= 2,475=1,5732
• intervalo de confiança = (2,5 – 2,33 * 1,5732; 2,5 + 2,33 * 1,5732) = (zero; 6,17) com confiança de 99%.
Assim, um total de até seis perdas para um período de 250 dias é aceitável com 99% de confiança.
No teste retroativo realizado, os componentes principais e as cargas fatoriais calculados (tal como descrito no item anterior) serão aplicados para todas as opções que pertencem à carteira de forma que se obtenha um V@R correspondente a movimentações das volatilidades implícitas para cada dia. Como exemplo, para o dia 29 de maio de 2001, observamos na tabela 6 os componentes principais obtidos para cada preço de exercício. Nas colunas valores limites, é feita a combinação linear dos componentes principais de forma a obter a maior alta e a maior baixa da volatilidade implícita para cada preço de exercício.
Tabela 6: Valores do componentes principais para o dia 19 de maio de 2001 e suas combinações lineares mais altas e mais baixas.
Os valores apresentados acima representam a variação esperada, considerando-se um desvio padrão, da diferença da volatilidade implícita da opção com determinado
strike com relação à volatilidade implícita da opção ATM. As colunas “valores limites”
correspondem à combinação linear dos três componentes principais que representa o pior cenário de variação da diferença da volatilidade implícita, para cima ou para baixo. A utilização da combinação linear dos componentes principais foi realizada com base nos artigos de Kreinin et al. (1998), Frye (1997) e Fiori e Iannoti (2006), tal como observado no item 2.8.4 da revisão bibliográfica.
Estes “valores limites” são então multiplicadas por 2,33, que representa o nível de confiança de 99% da distribuição normal. Estes valores são por fim somados às
volatilidades implícitas das opções ATM para se obter a variação máxima de cada opção de strike K:
Tabela 7: Valores de variação da volatilidade implícita das opções de diferentes preços de exercício para o dia 19 de maio de 2001 dado os valores de variação limites obtidos através do ACP.
Por exemplo, o valor da volatilidade limite superior do preço de exercício 2,40 é assim obtido:
Da tabela 3 obtêm-se o valor da volatilidade inicial da opção com preço de exercício 2,40: 16,81%. Os valores extremos de variação obtidos através da tabela 6 representam variações da diferença em relação ao ATM de 2,19%. Assim, a
volatilidade da opção de preço de exercício 2,40 pode variar de 14,62% até 19,00%, como apresentado na tabela 7.
As carteiras são então reavaliadas para todos estes cenários de volatilidades implícitas e suas perdas máximas são então calculadas. Soma-se a estas perdas máximas a variação do valor da carteira de opções utilizando a expansão de Taylor com componentes de delta, gama e teta, como demonstrado na equação (43b), mas desconsiderando-se o termo (δσ). Para o cálculo de Sδ , foi utilizado o retorno associado à volatilidade histórica dos 100 últimos dias e tδ igual a um dia. Assim:
S dias VolHist S * 252 100 = δ Onde:
VolHist100dias é a volatilidade histórica calculada utilizando-se os 100 últimos dados de preço do ativo base disponíveis;
S é o preço do ativo base;
Tabela 8: Cálculo do V@R somando-se componentes da expansão de Taylor e de variação na volatilidade obtidos através do ACP.
Este resultado é comparado ao resultado efetivamente obtido pela carteira no dia seguinte:
Tabela 9: Comparação do resultado obtido no dia 20 de maio de 2001 com os V@R calculados no dia 19 de maio de 2001.
A fim de testar se o modelo de V@R proposto apresenta ganho em relação a outros modelos, a eficiência dos seguintes modelos também são apresentadas:
i. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta isto é, a utilização de uma expansão simplificada sem a utilização do componente de variação da volatilidade;
ii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta somado ao risco de movimentos de volatilidade implícita propostos pela Basiléia II;
iii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama, teta e vega.
4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS
Neste capítulo, inicialmente, são apresentados os resultados da aplicação da análise de componentes principais às diferenças entre as volatilidades implícitas das opções de determinado preço de exercício e as volatilidades das opções ATM de mesmo vencimento. Em seguida são apresentados os cálculos de V@R das oito carteiras escolhidas, realizados através das metodologias de: análise de componentes principais das diferenças de volatilidade adicionada à expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama e teta; expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama, teta e vega; e expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama e teta somada a variação de volatilidade sugeridas pela Basiléia II. Os resultados obtidos com a aplicação de cada metodologia de cálculo de V@R apresentada são comparados às perdas efetivas obtidas pelas oito carteiras. Por fim, como complemento, é realizada uma análise da influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros de delta, gama e teta utilizados na expansão de Taylor.