3. ANÁLISE DE LIVROS DI DÁTICOS
3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS DE ÁLGEBRA LINEAR
3.2.2. Análise da Parte Teórica
3.2.2.2. Transformações geométricas no plano e no espaço
No Livro 1, este tópico praticamente não é explorado no tratamento das transformações lineares. Há um exemplo sobre homotetia, presente no bloco de exercícios resolvidos, porém sem apelo ao registro gráfico, como pode ser verificado a seguir.
QUADRO 17 – EXERCÍCIO RESOLVIDO NÚMERO 10 DO LIVRO 1
Seja V um espaço vetorial sobre R. Dado α∈R chama-se homotetia determinada pelo escalar α a aplicação Hα:V→V tal que Hα(u) = α.u, ∀u∈V. Mostrar que Hα é um operador linear de V.
1 2 1 2 1 2 1 2
Solução: a) H (u +u ) = (u +u ) = u + u = H (u ) + H (u ); b) H (tu) = (tu) = t( u) = t. H (u)
α α α
α α
α α α
α α
FONTE: Livro 1, p. 109
Destacamos que na pesquisa de ARAÚJO (2002), a qual analisou os metaconhecimentos matemáticos apresentados no discurso dos autores deste livro, foi comprovada a afirmação de que tal obra teria por característica partir de conhecimentos da geometria em duas e três dimensões, para, em seguida, estabelecer generalizações. Apesar deste fato, notamos que, no conteúdo das
transformações lineares, o registro gráfico e as transformações geométricas do plano e do espaço são pouco explorados.
Sendo assim, nota-se que os autores não procuram estabelecer a conversão entre os possíveis registros. Além disso, o aspecto ferramenta do conceito não é tratado nesta seção.
O Livro 2 desenvolve um tópico específico das transformações do plano no plano (“Transformações do plano no plano”, p. 147), tratando da expansão (ou contração) uniforme, da reflexão em torno do eixo x, da reflexão na origem (simetria central), da rotação de um ângulo θ e do cisalhamento horizontal. Ainda, esta obra apresenta a translação como um exemplo de uma aplicação não linear. No tratamento da composição das transformações lineares, exemplifica com a composta de duas transformações no plano, no caso, uma expansão uniforme de fator 2 seguida de um cisalhamento horizontal de fator 2. Em todos os casos, o livro apresenta os registros simbólico (nas duas representações) e gráfico, conforme ilustrado a seguir.
QUADRO 18 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO PLANO NO PLANO DO LIVRO 2 Reflexão em Torno do Eixo- x:
F: R2→R2 (x,y) →(x,-y)
FONTE: Livro 2, p. 148
Na maioria dos casos, a abordagem parte do registro simbólico-algébrico para o gráfico. Somente ao tratar da rotação de um ângulo θ, é feita a dedução da representação simbólico-algébrica partindo da representação gráfica. Com isso, nota-se que há uma preocupação em apresentar o conceito explorando registros distintos, oferecendo ao leitor uma visão mais abrangente do tema estudado. Apesar disso, verifica-se que nesta apresentação teórica, a abordagem não favorece ao aluno a construção do tratamento da representação simbólico- algébrica para a matricial ou das conversões dos registros simbólico para o
gráfico ou deste para o simbólico, uma vez que tais transformações são estabelecidas pelos autores sem a descrição de como são realizadas. Ainda, o registro simbólico-matricial é tratado antes de formalizar o conceito de que, fixadas duas bases, a toda matriz mxn está associada uma transformação linear do Rn em Rm – e a veracidade da implicação inversa -, embora o autor observe este fato na exposição do conteúdo.
As transformações lineares do plano no plano também são tratadas após o estudo da relação entre as aplicações lineares e matrizes, principalmente em questões de composição de funções. Neste contexto, o livro explora conversões que partem da líng ua natural e também trata o conceito no seu aspecto ferramenta, de acordo com o exemplo a seguir.
QUADRO 19 – PROBLEMA DE APLICAÇÃO À ÓPTICA
Um feixe de luz se propagando na direção do vetor (1,-1) e refletindo nos espelhos da fi gura:
Em que direção estará o feixe após as reflexões? FONTE: Livro 2, p. 169
Quanto ao Livro 3, no primeiro capítulo que trata das transformações lineares do Rn em Rm, é dedicada uma seção especial para a “Geometria das Transformações Lineares”. Os autores exploram os aspectos geométricos das reflexões, projeções, rotações e dilatações tanto no plano como no espaço. A garantia da linearidade de tais transformações é dada pelo fato das equações que a compõem serem lineares, sendo que não são trabalhadas as duas condições inerentes à transformação linear, como pode ser verificado no exemplo a seguir.
QUADRO 20 – TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO DO LIVRO 3
continua
Projeções: Considere o operador T: R2→R2 que leva cada vetor na sua projeção ortogonal sobre o eixo x (Figura 4.2.3). As equações relacionando as componentes de x e de w=T(x) são
1 2 w = x = x + 0y (12) w = 0 = 0x + 0y ou em formato matricial, (13)
QUADRO 20 – TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO DO LIVRO 3
conclusão
Como as equações em (12) são lineares, T é um operador linear e, por (13), a matriz canônica de T é
FONTE: Livro 3, p. 141
As figuras apresentadas a seguir, presentes na abordagem deste livro, contêm as projeções ortogonais mais comuns.
FIGURA 5 – PROJEÇÕES NO PLANO DO LIVRO 3
FIGURA 6 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DO LIVRO 3
FONTE: Livro 3, p. 141
Esta dinâmica também é utilizada para apresentar as reflexões, rotações e dilatações. Deste modo, podemos notar que, neste tópico, há uma preocupação em apresentar os registros gráfico, simbólico e numérico, porém, da mesma forma que o Livro 2, observa-se que o texto apresenta estas situações finalizadas, sem um detalhamento das passagens de um registro para outro. Após a apresentação destas transformações, são dados exemplos de composições de transformações lineares. Nesta seção, os autores procuram desenvolver a resolução da composta por meio dos registros simbólico-algébrico, gráfico e numérico (multiplicação de matrizes), conforme ilustrado a seguir.
QUADRO 21 – COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO LIVRO 3
continua Exemplo 8 A Composição de Duas Reflexões
Sejam T1: R2→R2 a reflexão em torno do eixo y e T2: R2→R2 a reflexão em torno do eixo x. Neste caso, T1oT2 e T2oT1 são idênticas; ambas aplicam cada vetor x = (x,y) em seu negativo – x = (-x,-y) (Figura 4.2.9):
(T1oT2) (x,y) = T1 (x,-y) = (-x, -y) (T2oT1) (x,y) = T2 (-x,y) = (-x, -y)
QUADRO 21 – COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES DO LIVRO 3
conclusão
A igualdade de T1oT2 e T2oT1 também pode ser deduzida mostrando que as matrizes canônicas de T1 e T2 comutam:
O operador T(x) = -x em R2 ou R3 é chamado reflexão em torno da origem. Como mostram as contas acima, a matriz canônica deste operador em R2 é
FONTE: Livro 3, p. 145
Com isso, notamos que o conceito é explorado tanto no seu aspecto objeto como no caráter ferramenta. Além disso, são realizadas as conversões entre os registros numérico, gráfico e simbólico.
No capítulo sobre “Tópicos Adicionais” (Capítulo 9, p. 291), o qual trata de aplicações da Álgebra Linear, há uma seção específica intitulada “Geometria dos Operadores Lineares de R2”. Apesar de não ser parte integrante do capítulo de estudo das transformações lineares, há, neste contexto, uma grande preocupação em aprofundar o estudo dos operadores lineares no R2 e de detalhar as
transformações entre os diversos registros, sendo a representação gráfica constantemente requerida. Os autores retomam o tratamento das expansões, contrações, reflexões, rotações e cisalhamentos, procurando coordenar o trabalho com os registros gráfico, algébrico e numérico-tabular, fato exemplificado a seguir.
QUADRO 22 – TÓPICOS ADICIONAIS DO LIVRO 3
Expansões e Compressões Se a coordenada x de cada ponto no plano é multiplicada por uma
constante positiva k, então o efeito é expandir ou comprimir cada figura plana na direção x. Se 0<k<1, o resultado é uma compressão e se k>1, uma expansão (Figura 9.2.2). Nós chamamos estes operadores de compressão (ou expansão) pelo fator k na direção de x.
Analogamente, se a coordenada y de cada ponto é multiplicada por uma constante positiva k, nós obtemos uma compressão (ou expansão) pelo fator k na direção y. Pode ser mostrado que expansões e compressões ao longo dos eixos coordenados são transformações lineares.
Figura 9.2.2.
Se T: R2→R2 é uma expansão ou compressão de fator k na direção x, então
Analogamente, a matriz canônica da expansão ou compressão na direção y é
FONTE: Livro 3, p. 295
Ainda neste capítulo, os autores exploram a determinação da matriz, em relação à base canônica, pela composição destas transformações usuais e o efeito geométrico destas operações.
No Livro 4, o autor apresenta uma tabela com as transformações lineares geométricas básicas aplicadas em um quadrado unitário. No caso, são apresentadas as seguintes transformações: reflexão nos eixos x e y, reflexões em
relação à reta y=-x e em relação à origem, expansões ou contrações horizontais e verticais, cisalhamentos horizontal e vertical e projeções em relação aos eixos x e y. Nesta tabela, ele inclui a representação gráfica e a matriz, em relação à base canônica, de cada transformação, exemplificado a seguir para o caso das reflexões nos eixos x e y.
FIGURA 7 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES GEOMÉTRICAS NO PLANO DO LIVRO 4
FONTE: Livro 4, p. 73
Todos os exemplos da tabela são transformações do plano no plano. Somente na introdução ao conceito, o livro aborda uma transformação no R3, representada pela projeção de um ponto do espaço no plano x0y. Neste exemplo, são trabalhados os registros numérico-tabular, gráfico e simbólico-matricial. Podemos notar que, como nos Livros 2 e 3, as conversões são apresentadas de modo finalizado, ou seja, também não se oferece ao estudante a possibilidade de construí-las.
Ressaltamos, neste momento, que no capítulo que trata de matrizes, posterior ao primeiro capítulo das transformações lineares, há um tópico específico sobre as aplicações iniciais das transformações geométricas em Computação Gráfica, via notação matricial. Neste contexto, o autor mostra o efeito do cisalhamento horizontal de fator 0,25, seguido da contração de fator 0,75, na imagem de um objeto, realizando a composição por meio de multiplicação de matrizes. Em seguida, apresenta a necessidade de trabalhar com as coordenadas homogêneas de cada ponto, para que haja compatibilidade, na
resolução de composição de transformações, entre o produto das matrizes das transformações lineares com a translação. Este tópico é tratado tanto no plano como no espaço.