3. ANÁLISE DE LIVROS DI DÁTICOS
3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS DE ÁLGEBRA LINEAR
3.2.3. Exercícios Propostos
3.2.3.1. Transformações lineares (exercícios introdutórios)
Na introdução às transformações lineares, o Livro 1 aborda dois tipos de exercício: ou questões que envolvem demonstrações ou questões de determinação de uma transformação linear partindo das imagens dos elementos de uma base do domínio. Há dez exercícios propostos, sendo que todos envolvem algum tipo de prova. Em duas questões, também há itens que solicitam a determinação da transformação linear. Baseado neste fato pode-se observar que somente o caráter objeto do conceito está sendo explorado.
Além disso, a maior parte dos exercícios é proposta ou no registro da língua natural especializada ou no simbólico-algébrico, direcionando o estudante a efetuar a resolução no interior do sistema semiótico apresentado no enunciado ou explorando conversões limitadas entre estes dois registros, ou ainda, entre eles e o registro numérico na representação de n-uplas.
A seguir, será apresentado um exemplo de enunciado dado no registro da língua natural especializada, cuja resolução envolve tratamentos neste registro e conversões entre ele e o registro simbólico-algébrico.
QUADRO 27 – TRANSFORMAÇÃO LINEAR DEFINIDA DE C EM C
Consideremos o espaço vetorial C sobre R e seja F: C→C tal que F(z) = , ∀z∈C. Mostre que F é um operador linear. Se tivéssemos considerado o espaço vetorial C sobre C, seria F ainda um operador linear?
FONTE: Livro 1, p. 110
NOTA: Exercício proposto número 3.
É evidente a preocupação dos autores em inserir, no final do bloco, questões formuladas no registro da língua natural especializada, relacionadas às transformações lineares em espaços vetoriais genéricos, valorizando desenvolvimentos que envolvem tratamentos no interior deste registro.
Os gráficos, a seguir, apresentam a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nos exercícios do bloco relativo à introdução do conceito do Livro 1.
GRÁFICO 1 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 1 5 0 7 0 3 0 0 4
8 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 10 exercícios propostos.
GRÁFICO 2 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 1
3 1 1 1 0 2 4 LE para SA N para LE N para SA SA para N NOTA: Total de 10 exercícios propostos.
Neste bloco de exercícios, o conceito só é trabalhado no seu aspecto objeto e, comparando com a abordagem da parte teórica das transformações lineares desta obra, observa-se que os mesmos registros presentes na teoria são aqueles requeridos nos exercícios.
O Livro 2 apresenta cinco exercícios propostos relacionados à introdução do conceito, sendo três de prova e dois de determinação de uma transformação linear. Nestes, são apresentados os registros da língua natural especializada, numérico e simbólico (algébrico e matricial), porém, a representação simbólico- algébrica é a predominante. Há pouca exploração de conversões, sendo a maior parte relacionada às transformações do registro numérico para o simbólico- algébrico. Nesta seção, somente o aspecto objeto do conceito é explorado.
Os gráficos, a seguir, apresentam a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nas questões desta introdução ao conceito do Livro 2.
GRÁFICO 3 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 2 2 0 4 1 2 0 0 2
4 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 5 exercícios propostos.
GRÁFICO 4 – TRATAMENTO (COM MUDANÇA DE REPRESENTAÇÃO) E CONVERSÃO INDICADOS EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 2
1 1 1 1 3 0 2 4 LE para SA SA para LE SA para N SM para SA N para SA NOTA: Total de 5 exercícios propostos.
No Livro 3, tanto na seção de exercícios do primeiro capítulo das transformações, como na relação proposta no segundo capítulo, as questões são formuladas principalmente no registro simbólico-algébrico. As conversões são desenvolvidas de forma significativa, porém, principalmente realizadas entre os registros simbólico-algébrico e numérico, tanto no primeiro como no segundo capítulos. A seguir, será apresentado um exemplo de enunciado presente no primeiro capítulo que envolve este tipo de conversão.
QUADRO 28 – EXERCÍCIO DE INTRODUÇÃO ÀS TRANSFORMAÇÕES LINEARES Encontre a matriz canônica do operador linear T definido pela fórmula.
a) T(x1, x2) = (x2, -x1, x1+3x2,x1-x2) FONTE: Livro 3, p. 146
NOTA: Item “a” do exercício número 5.
Os gráficos, a seguir, apresentam a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nas questões relativas à introdução ao conceito, nos dois capítulos do Livro 3 que tratam das transformações lineares.
GRÁFICO 5 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 3 2 0 13 0 3 3 0 7
14 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 18 exercícios propostos no primeiro capítulo.
GRÁFICO 6 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 3
5 0 27 2 5 0 0 15
30 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 33 exercícios propostos no segundo capítulo.
GRÁFICO 7 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 3
2 8 2 0 4 8 LE para SA SA para N N para SA NOTA: Total de 18 exercícios propostos no primeiro capítulo.
GRÁFICO 8 – TRATAMENTO (COM MUDANÇA DE REPRESENTAÇÃO) E CONVERSÃO INDICADOS EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 3
1 4 5 5 1 1 0 3 6 LE para SA SA para LE SA para N N para SA SM para SA SM para LE
Das conversões estabelecidas no primeiro capítulo, apenas uma envolve o registro numérico-tabular. Já no segundo capítulo desta obra, não há conversões que envolvam este registro. No primeiro capítulo, quatorze exercícios são desenvolvidos no seu aspecto objeto e quatro questões são tratadas no seu aspecto ferramenta. Já no segundo capítulo, todos exploram apenas o aspecto objeto do conceito. Em nenhum dos dois capítulos há exercícios com proposta de uso de algum software matemático.
O Livro 4 apresenta cinqüenta e um exercícios referentes à introdução ao conceito. A representação privilegiada é a que envolve matriz, tendo em vista que vinte e duas questões são formuladas no registro numérico-tabular e sete no simbólico-matricial. Além disso, o registro da língua natural especializada também ocorre com uma freqüência significativa. A maior parte das conversões envolve os registros numérico e simbólico-matricial, afirmação ilustrada com o exemplo seguinte.
QUADRO 29 – EXERCÍCIO NÚMERO 2 PROPOSTO NO LIVRO 4 Sejam 20 02 00 , 10 e 15 0 0 2 3 4 A u v = = = − −
Defina T: R3→R3 por T(x) = Ax. Calcule T(u) e T(v). FONTE: Exercício número 2 do Livro 4, p. 68
Apesar de o livro não conter, neste bloco, questões formuladas no registro gráfico, há doze conversões que o envolvem. A seguir, será apresentada uma questão que propõe conversões do registro numérico-tabular para o gráfico e deste para a língua natural de emprego comum .
QUADRO 30 – EXERCÍCIO NÚMERO 13 PROPOSTO NO LIVRO 4
Sejam 1 0 , 5 e 3
0 1 2 1
A=− u = v =
− −
. Seja T(x) = Ax para todo x do R2.
num sistema de coordenadas retangulares, represente graficamente os vetores u, v, T(u) e T(v). Dê uma descrição geométrica do efeito da aplicação de T num vetor do R2.
FONTE: Exercício número 13 do Livro 4, p. 69
O autor também desenvolve questões de imagens geométricas por meio de transformações lineares, porém, estas são formuladas na língua natural de uso comum ou na língua natural de emprego especializado, envolvendo conversões entre elas e o registro simbólico-algébrico. Não há qualquer indicação ao uso de representações gráficas neste tipo de questão, conforme exemplificado a seguir.
QUADRO 31 – EXERCÍCIO NÚMERO 26 PROPOSTO NO LIVRO 4
Sejam u, v vetores do R3 linearmente independentes, e seja P o plano por u, v e 0. A equação paramétrica de P é x=su+tv (com s,t em R). Mostre que uma transformada linear T: R3→R3 transforma P num plano por 0, ou numa reta por 0, ou apenas na origem do R3. O que precisa acontecer com T(u) e T(v) para que a imagem do plano P seja um plano?
FONTE: Exercício número 26 do Livro 4, p. 70
Por fim, há quatro exercícios formulados no registro numérico-tabular que indicam o uso de software algébrico. Cabe destacar que esta ferramenta assume o papel exclusivo de facilitador de cálculos. Não há indicação de uso de software para fins geométricos. Para ilustrar tal afirmação, será apresentado, a seguir, um exercício com a sugestão de uso de recurso computacional. Tal uso é indicado pelo autor por [M], símbolo presente no início do enunciado do exercício.
QUADRO 32 – EXERCÍCIO NÚMERO 35 PROPOSTO NO LIVRO 4
[M] A matriz dada determina uma transformação linear T. Determine todos os x tais que T(x) = 0
− − − − − − 15 7 9 8 2 2 4 5 7 6 5 7 9 10 3 2
FONTE: Exercício número 35 do Livro 4, p. 70
Os gráficos, a seguir, apresentam a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nas questões relativas à introdução ao conceito, nos dois capítulos que tratam das transformações lineares do Livro 4.
GRÁFICO 9 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 4
14 0 3 7 22 6 0 15
30 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN)
GRÁFICO 10 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 4 1 2 10 11 2 6 6 3 1 5 6 6 0 6 12 SA para N N para SA N para SM SM para N LE para N N para G G para LN LE para N LE para SM LE para SA LN para N LN para SA
NOTA: Total de 51 exercícios propostos.
3.2.3.2. Transformações geométricas no plano e no espaço
No Livro 1, não há exercícios a respeito das transformações no plano ou no espaço. Já no Livro 2, há nove exercícios deste tópico, sendo cinco relacionados com transformações do plano no plano e quatro com transformações no espaço, todos exigindo a determinação da aplicação a partir do registro da língua natural. Não há, na maioria das questões, qualquer solicitação para que o aluno represente graficamente esta transformação, sendo que todas as respostas apresentadas no final do capítulo são dadas exclusivamente nos registros simbólico ou numérico. Foi observado, também, que vários exercícios formulados com enfoque geométrico não tornam necessário o uso de representação gráfica, uma vez que a lei algébrica da transformação está presente na parte teórica da obra. Ainda nesta seção, são apresentados dois problemas, nos quais as transformações lineares são tratadas no seu aspecto ferramenta, fato exemplificado no quadro seguinte.
QUADRO 33 – PROBLEMA DE APLICAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical formando um ângulo de 30o com ela. Se um feixe de luz de raios paralelos for emitido verticalmente (do teto para o chão), determine a direção dos raios refletidos.
Fonte: Livro 2, p. 175
A seguir, serão apresentados os gráficos com a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nos enunciados desta seção do Livro 2.
GRÁFICO 11 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 2 0 1 4 1 4 9 0 5
10 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 9 exercícios propostos.
GRÁFICO 12 – TRATAMENTO (COM MUDA NÇA DE REPRESENTAÇÃO) E CONVERSÃO INDICADOS EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 2
1 3 1 1 3 7 1 2 0 4 8 SA para SM SA para N G para SA G para N N para SA LN para SA LN para G LN para N
NOTA: Total de 9 exercícios propostos.
Dos quatro exercícios propostos no registro numérico, três são tabulares e as conversões ocorrem do numérico-tabular para o simbólico-algébrico. Todos os exercícios são representados por problemas formulados na língua natural, sendo que as transformações lineares tomam o papel de ferramenta de resolução destas questões.
O primeiro capítulo do Livro 3 trata das transformações em espaços Euclidianos. Na seção de exercícios deste capítulo , há uma grande exploração de registros. São propostos vinte e seis exercícios, sendo a maior parte definida no registro da língua natural. Da mesma forma que observado no Livro 2, o registro gráfico é pouco trabalhado explicitamente, pois, apesar de os enunciados dos exercícios envolverem questões de reflexões, rotações, dilatações e composições entre estas transformações, é possível resolvê-los, em sua maioria, utilizando apenas substituições nas fórmulas desenvolvidas no registro simbólico, as quais estão presentes na parte teórica, conforme apresentado no quadro seguinte.
QUADRO 34 – EXERCÍCIO DE REFLEXÃO DE UM VETOR EM TORNO DO EIXO X Use multiplicação matricial para encontrar a reflexão de (-1,2) em torno
(a) do eixo x
FONTE: Livro 3, p. 146
NOTA: Item “a” do exercício número 8.
O aluno não necessita utilizar qualquer recurso geométrico, tendo em vista que, na parte teórica (p. 139), é dada a matriz desta transformação em relação à base canônica. Somente em três questões, propostas no final do bloco de exercícios há no enunciado a solicitação explícita da análise do efeito geométrico de uma transformação, conforme exemplificado a seguir.
QUADRO 35 – EFEITO GEOMÉTRICO DO PRODUTO DE UM VETOR POR UMA MATRIZ Descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x pela matriz A
= 0 0 0 2 ) A a FONTE: Livro 3, p. 148
NOTA: Item “a” do exercício número 29.
Neste caso, o exercício está formulado nos registros da língua natural e numérico-tabular, sendo provável que o aluno “experimente” analisar no plano, o que ocorre com a imagem de um vetor qualquer, para, em seguida, concluir o efeito geométrico de tal transformação.
Ainda, não há qualquer questão formulada no registro gráfico e, conseqüentemente, não se estabelecem conversões que partem deste tipo de representação. Por fim, os dois exercícios propostos no registro numérico são formulados na representação tabular. Nesta seção, todas as conversões que envolvem o registro numérico são transformações que incluem a representação tabular.
A seguir, serão apresentados os gráficos com a tabulação dos registros presentes e das conversões solicitadas explicitamente nas questões desta seção do Livro 3.
GRÁFICO 13 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 3 3 0 8 13 2 22 0 11
22 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN)
NOTA: Total de 26 exercícios propostos.
GRÁFICO 14 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 3
2 1 8 1 2 1 2 17 8 1 0 10 20 LE para SA SA para G SA para N SM para G SM para N LE para N N para G LN para N LN para SA LN para G
NOTA: Total de 26 exercícios propostos.
Dos vinte e seis exercícios propostos, vinte e dois são problemas em que as transformações lineares assumem o papel de ferramenta de resolução. Nesta seção, há um único exercício de transformação no espaço proposto com o uso de um recurso computacional tipificado por um software algébrico, o qual explora apenas a habilidade de representar, no registro numérico-tabular, a composição de transformações lineares, conforme apresentado a seguir.
QUADRO 36 – EXERCÍCIO COMPUTACIONAL DA SEÇÃO 4.2 DO LIVRO 3
(Rotações) Encontre a matriz canônica do operador linear em R3 que efetua uma rotação anti- horária de 45o em torno do eixo x, seguida de uma rotação anti-horária de 60o em torno do eixo y seguida de uma rotação anti-horária de 30o em torno do eixo z. Em seguida, obtenha a imagem do ponto (1,1,1) por este operador.
FONTE: Livro 3, p. 156
Este exercício não requer a representação gráfica da situação, mas sim o uso do software como meio para obter o resultado com maior rapidez. Como as representações simbólico-matriciais de cada rotação são dadas na exposição teórica desta obra, cabe ao estudante apenas consultá-las, determinando o produto de três matrizes e o cálculo da imagem do ponto (1,1,1) por produto matricial.
No segundo capítulo que trata das transformações lineares em espaços genéricos, só há um exercício que envolve as transformações no espaço, tendo em vista que o objetivo deste capítulo era trabalhar com as transformações lineares definidas em espaços genéricos. Este exercício, que trata do conceito no seu aspecto objeto, é formulado no registro da língua natural, e a sua resolução aponta para uma conversão que parte desta representação para a simbólico- algébrica.
No capítulo de “Tópicos adicionais”, os exercícios das transformações geométricas já são formulados de modo a explorar mais a coordenação de registros, sendo a língua natural e o numérico-tabular os registros mais utilizados na formulação das questões. Há um total de vinte e três exercícios que tratam das transformações lineares no plano e no espaço, sendo o registro gráfico um pouco mais explorado neste capítulo adicional do que no que introduz a teoria.
De trinta e quatro conversões, vinte e quatro envolvem o registro numérico-tabular e quinze envolvem o gráfico. Destas quinze, apenas cinco partem do registro de representação gráfica. Ainda assim, estas conversões são realizadas apenas do gráfico para o numérico-tabular, nas questões que solicitam a matriz da transformação linear em relação à base canônica. Ressaltamos, novamente, que as matrizes são dadas na exposição teórica e, desta forma, não se exige do estudante uma coordenação efetiva destes registros.
Pôde-se também notar que, apesar de esta obra explorar mais o registro gráfico se comparada com as demais, ainda não há, na sua abordagem, uma preocupação em explorar a heterogeneidade da congruê ncia nos sentidos contrários de conversão.
A seguir, serão apresentados os gráficos com a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente no enunciado desta seção do Livro 3.
GRÁFICO 15 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 3 2 3 1 0 7 15 0 8
16 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 23 exercícios propostos.
GRÁFICO 16 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 3
2 1 7 3 5 5 8 4 4 0 5 10 LE para SM SA para G SA para N N para SM N para G G para N LN para SA LN para G LN para N
NOTA: Total de 23 exercícios propostos.
Por fim, dos vinte e três exercícios, dezenove são tratados no aspecto ferramenta e nenhum é desenvolvido com a utilização de software matemático.
Quanto ao Livro 4, considerando que as aplicações em Computação Gráfica estão intimamente ligadas às transformações no plano e no espaço, incluiremos, na análise dos exercícios propostos desta seção, também o bloco de questões referentes a este item.
Na relação de exercícios sobre as transformações lineares geométricas presentes no primeiro capítulo, excluindo as questões sobre Computação Gráfica apresentadas em seção posterior, são propostos onze exercícios, sendo nove de transformações do plano no plano e dois de transformações do espaço no espaço. Dos onze exercícios, seis podem ser resolvidos por substituições nas fórmulas presentes na teoria ou por simples consulta ao resultado presente na abordagem teórica. A seguir, será apresentado um exercício deste tipo.
QUADRO 37 – EXERCÍCIO DE TRANSFORMAÇÃO GEOMÉTRICA NO ESPAÇO DO LIVRO 4 Determine a matriz canônica de T.
T: R3→R3 projeta cada ponto (x1,x2, x3) verticalmente no plano x1x2 (onde x3 =0) FONTE: Livro 4, p. 78
Novamente, como a matriz canônica desta projeção é dada na teoria, cabe ao estudante apenas consultá-la. Há quatro exercícios que provavelmente induzirão o estudante a recorrer ao registro gráfico, pois envolvem a composição de transformações que ainda não foram exploradas pelo livro. A seguir, será apresentada uma questão deste tipo.
QUADRO 38 – EXERCÍCIO DE COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS DO LIVRO 4
Determine a matriz canônica de T.
T: R2→R2 é uma reflexão com respeito à reta x2=x1 seguida por uma reflexão no eixo x1. FONTE: Livro 4, p. 78
Neste contexto, o autor apresenta um exercício resolvido deste tipo, oferecendo, como sugestão, a análise do que ocorre com os vetores da base canônica partindo da representação gráfica. Ao tratar de exercícios de aplicação à Computação Gráfica, são propostas vinte e duas questões, sendo treze em língua natural de emprego comum, sete no registro simbólico-algébrico e o restante no numérico. Não há questões formuladas no registro gráfico. Ainda nesta seção, somente um exercício aponta para a conversão envolvendo representação gráfica, no caso, uma conversão do numérico para o gráfico.
Observamos também nesta obra que, embora exista uma exploração maior de registros se comparada com os Livros 1 e 2, não há um cuidado do autor em explorar os sentidos de conversão e de analisar a não congruência neste tipo de atividade. Ainda, não há indicações de uso de software matemático para a resolução de exercícios no plano e no espaço, apesar de o autor oferecer constantemente sugestões de questões a serem resolvidas com o auxílio de uma ferramenta computacional. Novamente, observa-se que tal ferramenta assume mais um papel de facilitador de cálculos do que de uso exploratório.
Os gráficos, a seguir, apresentam a tabulação dos registros presentes e das conversões apontadas explicitamente nas questões desta parte do conteúdo do Livro 4.
GRÁFICO 17 – TIPO DE REGISTRO PRESENTE NO ENUNCIADO – LIVRO 4
1 0 0 7 2
23
0 12
24 Língua Especializada (LE)
Gráfico (G)
Simbólico Algébrico (SA) Simbólico Matricial (SM) Numérico (N)
Língua Natural (LN) NOTA: Total de 33 exercícios propostos.
GRÁFICO 18 – CONVERSÃO INDICADA EXPLICITAMENTE NA QUESTÃO – LIVRO 4
12 7 10 4 4 1 2 1 4 0 6 12 LN para N LN para SM SM para N LN para G G para SA N para LN N para SM N para G SA para N
NOTA: Total de 33 exercícios propostos.