Um pacote de ondas

Admitindo-se que a matéria tenha comportamento dual, deve-se adotar uma interpretação on­ dulatória. Nessa interpretação adotam-se conceitos ondulatórios nos quais atribui-se uma pro­ babilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição. Embora este seja um mo­ delo essencialmente ondulatório, devem-se preservar algumas propriedades corpusculares corriqueiramente observadas para elétrons. A trajetória de elétrons de altas energias em câ­ maras de Wilson, a possibilidade de se aferir a posição do elétron e/ou medidas coincidentes que envolvam colisões com fótons são experimentos nos quais o caráter corpuscular da matéria é es­ pecialmente evidenciado. A única forma de se compatibilizar essas características contraditó­ rias seria atribuir o comportamento de um elétron ao de um pacote de ondas representado na Fi­ gura 1.28. Esse pacote de ondas representa uma superposição de ondas planas que preservam o caráter parcialmente localizado que elétrons e átomos possuem, sem perda de seu caráter essen­

cialmente ondulatório. Esse pacote possui uma trajetória linear, transportando energia e massa

(tecnicamente, deveríamos dizer que o transporte é de probabilidade) tal como preconizou

Einstein em seu trabalho original. A Figura 1.28 sugere que se pode estimar a posição dessa partí­

cula como qualquer ponto de apreciável probabilidade no interior do pacote de ondas. Da mesma

forma, o momentum, que pode ser estimado do valor médio das freqüências encontradas na des-

convolução desse pacote, tam bém possuiria uma razoável dispersão, o que sugere que a medida

dessas duas variáveis está sujeita a erros. Contrariamente às idéias corpusculares, segundo as

quais é filosoficamente possível aferir simultaneamente a posição e o momentum de uma partí­

cula, em uma descrição ondulatória é intrinsecamente impossível medir simultaneamente

posição e momentum de uma partícula sem que essa medida esteja sujeita a erros fundamentais.

A equação que define esse erro, denominada relação de incerteza, afirma que o produto dos

erros em medidas simultâneas da posição e do momentum deve ser maior que, ou igual a fi.

AxAFx ^ 7T

Zn

5 6

Capítulo 1

Figura 1.28

Diagrama de um pacote de ondas

ordinário. O valor de x pode ser

determinado como sendo aquele que apresenta maior

probabilidade de medida. Essa medida tem uma incerteza que pode ser estimada pela dispersão

em torno do valor médio de x.

Deve-se ter em m ente alguns pontos relativos à correta interpretação deste princípio. Pri­

meiramente, ele só se aplica a casos que envolvam medidas simultâneas das variáveisx e p x.

Portanto, uma medida de x ou de p x isoladamente pode ser feita de maneira tão precisa

quanto se deseje. Sempre que isto ocorre, o erro ligado à medida da variável associada torna-se extrem am ente grande, sendo crescente com a precisão na variável principal. Um segundo

ponto im portante está ligado ao fato de que não apenas a medida do m om ento p x e a da po­

sição x estão sujeitas a um princípio de incerteza. Em mecânica quântica, vários pares de ob­ serváveis físicos (propriedades) estão sujeitos a relações de incerteza semelhantes, enquanto outros podem ser determinados tão precisamente quanto desejarmos. Por exemplo, é perfei­

tam ente possível determinar a posição x t o momentum p y sem qualquer erro físico. Por outro

lado, a medida de duas componentes do m om ento angular ou ainda a medida das compo­

nentes Sxe Sydo spin nuclear estão sujeitas aos mesmos erros intrínsecos. Este fato pode ser

plenamente compreendido no contexto da moderna mecânica quântica, pois para todo par de operadores que não com utam entre si existe a impossibilidade física de determinação simul­ tânea com precisão ilimitada das propriedades associadas. Vejamos um exemplo histórico. E xem p lo 1 .9 -1

Estime, com base no erro intrínseco associado à medida da posição por um microscópio eletrônico, dado por Áx — À/sen a, que a me­ dida simultânea da posição e do m om entum no dispositivo exibido na Figura 1.29 obedece ao princípio da incerteza.

Figura 1.29

Esquema experimental do processo de determinação

simultânea do momentum e da

posição de um elétron utilizando um microscópio e luz.

R . Um microscópio eletrônico é capaz de distinguir pontos cuja distância seja dada pela Equação 1.90. O erro depende de X,

comprimento de onda da luz incidente, e também do ângulo da ocular alfa. Faz-se incidir um fóton sobre um elétron de

modo a se realizar a medida simultânea de p x e x. Se esse fóton for espalhado em um ângulo compreendido pela ocular instru­

m ental (a), o observador determinará a posição desse elétron. A projeção da variação dop 0 - Pf assumirá valores que vão de

0 a ± h sen a / X

A ^

Ax = --- (1.90)

sen a

Ap = p sen a (1.91)

Dessa forma, o produto das incertezas será da ordem de grandeza de h, ou seja,

A Antiga Teoria Quântica

57

Uma análise mais física merece ser feita. Se escolhermos um com prim ento de onda m uito grande, com pouca energia, a

colisão interfere pouco no m ovim ento eletrônico e com isso podemos determinar m uito precisamente o seu momentum.

Infelizm ente, nessas condições, a posição do elétron é extrem am ente mal resolvida ao microscópio, não se permitindo ver

mais do que um borrão. Assim sendo, quando Apx é pequeno, A* é grande. Se, ao contrário, escolhermos uma fonte com

pequenos com prim entos de onda, a precisão na medida da posição é enorme, mas a alta energia do fóton, ao colidir com o

elétron, perturba com pletam ente o seu m ovim ento indeterminando a medida no momentum. Assim, o produto das incer­

tezas tem sempre o valor h.

i

O primeiro aspecto deste princípio m ostra que, em uma medida física, o observador e o sistema observado interagem entre si, destruindo aquilo que existia anteriorm ente. Esse efeito pode ser facilm ente ilustrado quando reconhecemos, no exemplo anterior, que o pro­

cesso de medida altera o momentum do elétron de zero para ± p sen a. D aí conclui-se que o ob­

servador e o elem ento observado participam, cúmplices, no processo de medida, cada qual perturbando o seu complementar. Sob esse aspecto, o século X X resgatou o pensamento de Heráclito de Efeso (540-475 a.C.), pensador jônico pré-socrático que costumava dizer que “não nos banhamos duas vezes em um mesmo rio” em uma alusão à dupla influência que qualquer interação estabelece.

Um segundo aspecto a ressaltar está ligado à ordem de grandeza do produto ApxAx. Fre­

qüentemente, o leitor observará que em outros textos esta constante será representada por

h/2n, h ou mesmo h/4n. A razão dessa disparidade é o uso de uma definição de erro alternativa. Observando a Figura 1.28 o leitor se convencerá quanto às várias possibilidades existentes no que diz respeito a definição de erro, se largura a meia altura, se desvio médio quadrático ou qual­ quer outra. Dependendo da definição adotada, pequenas alterações poderão ser observadas para esta constante, sem contudo mudar significativamente, nem a ordem de grandeza desse pro­ duto, aproximadamente igual a 10~34J • s, nem suas conseqüências físicas.

No documento Química Quântica - Eduardo Hollauer.pdf (páginas 75-77)