Uma atividade para o Ensino Fundamental Verificando a Relação de Euler

A Relação de Euler, V+F=A+2, já discutida no Capítulo IV, p. 35 deste trabalho, é tema de muitas atividades. Na maioria dos casos, o objetivo principal resume-se a induzir os alunos a descobrir esta relação através da montagem de uma tabela. Para isso o professor apresenta os cinco sólidos de Platão (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) para os quais a relação é válida, sugere a montagem de uma tabela onde consta o nome do sólido geométrico e as quantidades de vértices, faces e arestas e, a partir destas informações, os alunos devem chegar à conclusão de que há uma relação entre essas quantidades e tal relação é V+F =A+2. É exatamente isto que encontramos na atividade Um novo olhar para o Teorema de Euler proposta por Gandulfo e Oliveira (2010).

Ao analisarmos este tipo de atividade, percebemos que os alunos são induzidos a chegar à Relação de Euler, o professor orienta para que se faça a soma V+F=A+2 e por isso há a percepção da regularidade, que nestes casos não ocorre de maneira intuitiva.

Ao procurar em anais de congressos de educação matemática, mais especificamente nos anais do Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) que ocorreram nos anos 2001, 2004, 2007 e 2010 encontramos cerca de 10 trabalhos que trataram da Relação de Euler e a maioria deles, 8, abordaram esta relação de maneira igual ou semelhante a descrita acima. Os outros dois consistiam em demonstrações para esta relação.

71 O ENEM é o maior evento organizado pela SBEM (Sociedade Brasileira de Educação Matemática), tendo como foco o professor que ensina Matemática. Constitui- se em um espaço privilegiado para o intercâmbio entre professores e pesquisadores, de modo que os avanços no campo científico se disseminem nas salas de aulas, bem como as experiências dos professores são compartilhadas pela comunidade científica e escolar.

Devido à importância deste evento e a semelhança encontrada nos trabalhos que tratam da Relação de Euler, apresentaremos algumas sugestões para a atividade Um

novo olhar para o Teorema de Euler e para as demais atividades que, assim como esta,

procuram intencionar os alunos à descoberta da Relação de Euler.

É fato que a maioria dos programas atuais tem recomendado mais atenção à geometria tridimensional. Entretanto trabalhar Geometria Espacial sem que os alunos manipulem, construam ou "vejam" objetos não é satisfatório, o tema tende a ser desinteressante e desprovido de significados e desafios.

As sugestões aqui propostas pretendem trabalhar objetivos de natureza conceitual, atitudinal e procedimental. Permite que os alunos desenvolvam habilidades de visualização, percepção visual e representação mental de figuras tridimensionais; enriquece suas capacidades de investigar e predizer resultados, de combinar, decompor e transformar figuras. Quanto às atitudes matemáticas, essas são enriquecidas quando os alunos desenvolvem hábitos de problematização, formulação de conjecturas, organização de dados, geração de novos problemas e hipóteses.

Desta forma, inicialmente o professor deve apresentar diversos sólidos, incluindo os Sólidos de Platão e também os que não pertencem a esta. O professor também poderá trabalhar com embalagens. O próximo passo é o preenchimento da seguinte tabela, na qual sugerimos alguns sólidos a serem apresentados: cubo, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro, pirâmide, prisma, caixa de creme dental, caixa de bombom, caixa de pizza, caixa do chocolate Toblerone, dentre outros.

Nome do sólido Nº de Vértices (V) Nº de Faces (F) Nº de Arestas (A) Figura 7.3- tabela

72 PERGUNTA

Descubra relações algébricas entre os valores de V, F e A.

Após o preenchimento da tabela, os estudantes devem ter um tempo para responder a pergunta, investigando possíveis relações. Embora a tabela acima tenha apenas quatro linhas, na aplicação deve ser considerada uma quantidade maior de exemplos.

Após a realização da atividade o professor recolhe o material produzido pelos estudantes e faz uma síntese sobre o que foi descoberto. Em uma aula posterior poderá comentar os resultados. Se a Relação de Euler foi descoberta o professor tem aí uma oportunidade de desenvolver seus diversos aspectos, enfatizando sua importância. Se a Relação de Euler não foi percebida, o professor poderá apresenta-la.

Na etapa seguinte, cada equipe de alunos, receberá uma pedra de sabão e um estilete e serão orientados a fazer cortes no sabão (há a necessidade de orientação e monitoramento em relação ao uso dos instrumentos cortantes pelos alunos, por isso para aplicação desta atividade, dependendo do número de alunos, serão necessários mais professores ou estagiários, ou qualquer outro adulto que auxilie na atividade).

Com as pedras de sabão e o estilete em mãos os grupos devem ser indagados. Poderão ser feitas as seguintes perguntas: “Que decisões devem ser tomadas para obter um cubo a partir de cortes no sabão? Quais são as propriedades emergentes do cubo que orientam essas decisões?”.

Espera-se que a partir dos cortes os alunos procurem garantir o perpendicularismo das faces para em seguida cuidar que as medidas das arestas sejam iguais. Daqui em diante toda referência a cortes, deve ser entendida como uma operação de corte que produz seções planas. Assim, podemos questiona-los novamente. Por exemplo, uma pergunta possível seria “O que acontece quando cortamos um "naco" qualquer do cubo de sabão?” Obtemos poliedros ao fazermos estes cortes?”

Cortando, por exemplo, um dos cantos do cubo, de acordo com o indicado pela Figura 7.4 abaixo, obtém-se dois poliedros: uma pirâmide de base triangular e um outro poliedro de formato irregular. Chamemos este último de 7-edro (poliedro de 7 faces). As faces de nosso 7-edro são: 3 quadrados, 3 pentágonos e 1 triângulo. Para os propósitos desta atividade um n-edro é um poliedro de n faces. Assim um poliedro de 7 faces será chamado de 7-edro ao invés de heptaedro como se poderia esperar. A escolha deve-se ao fato de que nomes particulares têm sido reservados para poliedros especiais

73 como os de Platão : tetraedro (4-edro), hexaedro (6-edro), octaedro (8-edro), dodecaedro (12-edro) e icosaedro (20-edro), e em um poliedro regular todas as faces são polígonos regulares do mesmo tipo e seus ângulos diedros são todos iguais.

Figura 7.4- representação de uma seção triangular em um cubo

Podemos então questionar: “Quantos vértices tem este 7-edro?” e observar em conjunto com os alunos que o corte fez perder um dos vértices do cubo original, e fez surgir outros 3 vértices (os vértices do triângulo da seção de corte). Quanto às arestas, o corte alterou o tamanho de 3 arestas do cubo, e fez surgir 3 arestas (os lados do triângulo da seção de corte). Podemos propor que eles ampliem a tabela da Figura 7.3 analisando como variam V, F e A depois do primeiro corte e depois de outros cortes, feitos a critérios dos próprios alunos verificando para cada novo n-edro a validade da Relação de Euler.

Repetindo o procedimento de cortes e de ampliação da tabela os alunos são provocados a formular conjecturas a partir da observação de regularidades e invariantes. Enquanto a tabela é ampliada a partir do aumento do número de cortes, aumentam as possibilidades dos alunos perceberem que as operações de corte não alteram a relação entre vértices, faces e arestas, ela mantém-se invariável, ou seja, V+F=A+2. De modo geral a constante 2 é verificada pelos alunos sempre que têm a oportunidade de fazer variar os dados, construir e ampliar a tabela.

O teorema de Euler que relaciona faces, arestas e vértices de um poliedro é um resultado que há décadas vem sendo estudado por vários geômetras e que devido a simplicidade do seu enunciado e a generalidade de sua validez, tornou-se um resultado atraente e popular. A utilização de materiais didáticos para desenvolver a atividade proposta neste trabalho trará aos professores uma oportunidade de abordar os conteúdos de geometria envolvidos neste teorema. Além disso, fornece uma alternativa didática as aulas, através da utilização de materiais concretos para serem usados tanto em sala de aula ou em um possível laboratório de matemática.

74

7.4

Uma atividade para o Ensino Médio – Trabalhando com

embalagens

Atividades que envolvam o ensino de Poliedros durante o Ensino Médio devem ser elaboradas levando-se em consideração a realidade do aluno. Por isso optamos por analisar a sequência de atividades de Corrêa (2009) intitulada Modelagem Matemática:

um trabalho com embalagens. A sequência escolhida trata do ensino de poliedros

através de embalagens e utiliza a Modelagem como metodologia de ensino.

“Modelagem Matemática consiste na arte de transformar, problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real.” (Bassanezi, 2002, p. 24). Essa afirmação reforça o pensamento de que trabalhar Modelagem Matemática se constitui em um processo, em que, para elaborar um modelo é preciso muito mais do que o conhecimento matemático formal, sendo necessárias intuição e criatividade para perceber qual conhecimento matemático melhor descreve a situação estudada.

A atividade analisada ocorreu no 1º ano do Ensino Médio da seguinte maneira: inicialmente a professora levou algumas embalagens (caixa de bombom, caixa de panetone, caixa de cinto, lata de ervilha, casquinha de sorvete e embalagem de suco

tetra-pack) e pediu aos grupos de estudantes que analisassem e classificassem as

embalagens de acordo com os poliedros existentes e identificassem se tais embalagens eram prismas, pirâmides ou corpos redondos. Em seguida pediu aos alunos que registrassem os dados em uma tabela. A figura seguir é um exemplo de tabela semelhante às construídas pelos grupos de alunos.

Tipo de embalagem

Nome do sólido semelhante Prisma Pirâmide Corpos

redondos Caixa de bombom Paralelepípedo retângulo x Caixa de panetone Tronco de cone x

Caixa de cinto Prisma hexagonal x

Lata de ervilha cilindro x

Casquinha de sorvete

cone x

Caixa de suco Poliedro irregular

75 O próximo passo foi pedir aos alunos para contar o número de vértices, faces e arestas e relacionar essas informações ao tamanho e utilidade da embalagem. A organização desses dados deveria ser arranjada em uma tabela semelhante ao exemplo acima. A possibilidade de manusear as embalagens facilitou e reforçou a compreensão dos conceitos teóricos. Nesta atividade os alunos puderam concluir que somente nos poliedros podemos identificar faces, arestas e vértices, o que não acontece com os demais sólidos como cilindro, cone e esfera.

A última atividade consistiu em os alunos medirem as dimensões de uma caixa de leite, e calcularem a área e volume. Após terem calculado a área e o volume da caixinha, foi proposto para cada equipe criar um modelo para caixinha de leite com menor gasto de material.

Analisando esta atividade percebemos que o objetivo da professora foi relacionar o estudo de poliedros com o cotidiano dos alunos, fazendo com que os mesmos percebessem que tais formas geométricas são importantes e estão presentes no mundo que os cercam. Também direcionou o estudo quanto às características de cada poliedro, nomeando-os e classificando-os em prisma e pirâmide ou identificando-os como corpos redondos. Por fim, houve, através da criação de um novo modelo de caixa de leite que preservou o volume e gastou menos material, o ensino de áreas e volumes em uma aplicação real do conteúdo sobre poliedros.

Observando esta primeira etapa, uma forma de enriquecer este trabalho seria levar os alunos ao supermercado, e propor que, em grupos, observassem e fotografassem os diferentes tipos de poliedros e não poliedros que compõe as embalagens. Feito isto, em sala de aula, os grupos, além de levarem algumas embalagens para análise, deveriam observar seus registros, classificar as “imagens” e as embalagens levadas conforme os poliedros (por exemplo, uma caixa de bombom é um paralelepípedo).

Outro trabalho interessante consiste em os alunos, analisarem embalagens diferentes de um mesmo tipo de produto, calculando a área e volume destas embalagens e analisando qual é mais econômica, fazendo suas planificações e sugerindo uma nova opção de embalagem menor e de maior custo benefício. Este trabalho contemplaria a passagem do tridimensional para o bidimensional de forma totalmente ligada a realidade.

Ao fim da atividade, poderia ocorrer a socialização dos resultados pelos alunos. Uma conclusão esperada é que o modelo ideal do ponto de vista matemático pode ser

76 inadequado ao manuseio, transporte e estocagem, e por isso algumas embalagens no formato de poliedros poderiam ser mais econômicas se tivessem outra forma, mas isso não acontece.

Outro desdobrando interessante seria fornecer as dimensões da antiga caixa de sabão em pó de uma empresa e as atuais. Pedir que calculassem a área externa e volume e fazer alguns questionamentos. Por exemplo, “qual a razão que levou a empresa a mudar o formato da embalagem de sabão em pó? quanto foi a economia de papel? Qual o percentual de papel que a empresa passou a economizar com a mudança?”. Com o desenvolvimento dessa atividade os alunos poderão perceber, por meio dos cálculos matemáticos, que uma pequena mudança na embalagem pode resultar em uma boa economia de material e que os poliedros estão muito mais presente em nossas vidas do que imaginamos. Só não percebemos porque alguém já fez todo o trabalho.

Sendo assim, o assunto Poliedros esta ligado tanto à realidade quanto a muitas outras áreas dentro da própria matemática e seu estudo deve ser amplamente explorado não só no Ensino Médio, mas em todas as outras etapas da vida escolar.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

O mundo está repleto de objetos tridimensionais e os conceitos geométricos, que contribuíram para a confecção desses objetos, são objetivos das propostas de Matemática para todos os níveis de ensino. Tais propostas, como os Parâmetros Curriculares Nacionais, há anos insistem na necessidade de a Geometria Espacial ser introduzida logo nas Séries Iniciais através do estudo de Poliedros. Isto possibilita que o aluno primeiro construa a noção de espaço (repleto de formas) antes perceptivo, depois representativo e por último operatório. Ou seja, ao final da vida escolar o aluno deve estar apto a resolver problemas que envolvam a visão tridimensional, fazendo as representações mentais e as operações matemáticas necessárias.

Ao fazer o estudo teórico sobre a definição, os conceitos e as propriedades elementares de Poliedros assim como a história sobre a Relação de Euler e algumas demonstrações, oferecemos toda a base necessária para que o professor do Ensino Básico ao Médio possa tratar deste tema em sala de aula.

Ao analisar algumas atividades sobre o ensino de Poliedros, nos preocupamos em refletir sobre situações que possam promover no aluno o desenvolvimento do pensamento geométrico, além de incentivar, por meio das sugestões feitas nas atividades, o espírito investigativo, a argumentação e o trabalho em grupo, para favorecer a relação professor – aluno, por meio da contextualização de situações presentes na vida do aluno e procurando envolver o mesmo na atividade a fim de que ele tenha um aprendizado significativo, no sentido de uma maior compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos no estudo de Poliedros.

Desta forma, acreditamos que este trabalho auxilia o docente em sala de aula apresentando-se como sugestão, pois se constitui em um meio de aprendizagem de alguns conceitos relativos ao estudo de Poliedros e também de algumas alternativas de atividades para que as aulas de geometria não fiquem distantes das metas do ensino de Poliedros.

79 BI

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