Utilidade Indireta

A função de utilidade indireta tem por argumentos o vetor de preços,p, e a renda,y, do indivíduo.

v(p, y)≡







maxx∈Rⁿ+u(x) s.t.y≥px .

Se o problema de maximização tem solução única, i.e., define-se a função de demanda marshalliana,x(p, y), de acordo com

x(p, y)≡







arg maxx∈Rⁿ+u(x) s.t. y≥px

4Sejax^∗um ponto satisfazendo as condições necessárias de 1 a 5 comx^∗ 0epx^∗=y.

Seja, então,x⁰uma cesta tal queu(x⁰)> u(x^∗). Então, pela quase-concavidade deu(.)temos que∇u(x^∗)[x⁰−x^∗]>0. Como∇u(x^∗) =λp, entãopx⁰>px^∗=y.

Note que a utilidade indireta também pode ser escrita como v(p, y) =u(x(p, y)).

A seguir, apresentaremos as propriedades da função utilidade indireta e da demanda marshalliana.

Propriedades dev(p, y):

Seu(x)é contínua e estritamente crescente emRⁿ+, temos quev(p, y)é 1. Contínua emRⁿ++×R+

2. Homogênea de grau zero em(p, y) 3. Estritamente crescente emy 4. Decrescente emp

5. Quase-convexa em(p, y)

6. A Identidade de Roy: sev(p, y)é diferenciável no ponto(p⁰, y⁰)e∂v(p⁰, y⁰)/∂y6=

0,então

x_i p⁰, y⁰

=−∂_iv(p⁰, y⁰)

∂yv(p⁰, y⁰). 1.2.2 Demanda Marshalliana

Propriedades das Funções de Demanda

1. Homogeneidade e Equilíbrio Orçamentário (agregações de Engel e Cournot).

2. Simetria e negatividade semi-definida da matriz de Slutsky:

s(p, y)≡









∂₁x₁+ (∂_yx₁)x₁ ... ∂_nx₁+ (∂_yx₁)x_n ... . .. ...

∂1xn+ (∂yxn)x1 ... ∂nxn+ (∂yxn)xn









Adiaremos a demonstração até havermos discutido a equação de Slutsky.

1.2.3 A Função Gasto (Despesa)

Considere o seguinte problema. Pergunte ao consumidor quanto de din-heiro (ou renda) ele precisa para atingir um determinado nível de utilidade.

Ou seja, qual é a despesa mínima,

x∈minRⁿ+

px, (1.3)

necessária para que

u(x)≥u. (1.4)

A solução desse problema define afunção despesaque tem por argumentos o vetor de preços,p, e a utilidade,u, de acordo com

e(p, u)≡







minx∈Rⁿ+px s.t.u(x)≥u .

Graficamente, fixa-se uma curva de indiferença e encontra-se a curva de isogastoque a tangencia.

Se o problema de minimização tem solução única, então a função de de-manda hicksiana (ou compensada)χ(p, u)existe, e a função gasto também pode ser escrita como

e(p, u) =pχ(p, u).

Variando-se o vetor de preços a demanda hicksiana nos dá a forma como a demanda varia com os preços ‘mantendo a utilidade constante’.

Propriedades da função despesa DefinaU ≡

u(x)|x∈Rⁿ+ .Se u(x)é contínua e estritamente crescente emRⁿ₊, temos quee(p, u)é

1. Igual a zero quandouatinge o seu valor mínimo emU.

2. Contínua emRⁿ++×U.

3. Para todop0,estritamente crescente e sem limite superior emu.

4. Não-decrescente emp 5. Homogênea de grau 1 emp 6. Côncava emp

7. Lema de Shephard: see(p, u)é diferenciável no ponto(p⁰, u⁰)ep⁰ 0,então

∂_ie(p⁰, u⁰) =χ_i(p⁰, u⁰) 1.2.4 Demanda Hicksiana

Vejamos agora as propriedades da demanda Hicksiana, 1. A curva de demanda de Hicks é não-positivamente inclinada; i.e.,

0≥∂iχi(p, u) 2. A matriz de substituição (de Hicks)

Σ(p, u)≡









∂1χ1(p, u) ... ∂nχ1(p, u) ... . .. ....

∂₁χ_n(p, u) ... ∂_nχ_n(p, u)









é negativa semi-definida.

3. Simetria:Σ(p, u)é simétrica, i.e.,

∂_jχ_i(p, u) =∂_iχ_j(p, u) 4. Homogeneidade: Para todo(p, u)e todot >0,

χi(tp, u) =χi(p, u) 1.2.5 Problemas Duais

Considere os seguintes problemas de otimização problema A

maxx∈Rⁿ+u(x) sujeito ày≥px

problema B minx∈Rⁿ+px sujeito àu(x)≥u

Seu(x)é contínua e estritamente crescente emRⁿ+,p 0, y >0, u ∈U, então

e(p, v(p, y)) =y, e v(p, e(p, u)) =u.

Além disso, se u(x) é contínua, estritamente crescente e estritamente quase-côncava emRⁿ+,então parap0, y >0, u∈U,

xi(p, y) =χⁱ(p, v(p, y))∀i χⁱ(p, u) =xi(p, e(p, u))∀i.

Senão vejamos.

1.2.6 A Equação de Slutsky

A equação de Slutsky representa uma decomposição da demanda (ob-servável) marshalliana em duas partes: efeito substituição e efeito renda.

∂_jx_i(p, y)

| {z }

efeito-preço

= ∂_jχⁱ(p, u^∗)

| {z }

efeito-substituição

−∂_yx_i(p, y)x_j(p, y)

| {z }

efeito-renda

Demonstração:Vimos que

χⁱ(p, u)≡x_i(p, e(p, u))

Como se trata de uma identidade, podemos diferenciá-la com relação ap_j para obter

∂jχⁱ(p, u) =∂jxi(p, e(p, u))

+∂_yx_i(p, e(p, u))∂_je(p, u)

| {z }

xj(p,y)

,

onde a última igualdade é conseqüência do lema de Shephard.

Demonstração da última propriedade da demanda marshalliana: É sufi-ciente notar ques(p, y) =σ(p, u),ou seja a matriz cujas entradas são dadas por∂x_i/∂p_j +x_j(∂x_i/∂y)é a matriz jacobiana das demandas compensadas que é simétrica e negativa semi-definida por ser igual à matriz hessiana da função despesa.

1.2.7 Bens Complementares e Substitutos

Dizemos que dois bens sãocomplementares (substitutos) brutosseε_ij ≤ 0 (εij ≥0).

Dizemos que dois bens sãocomplementares (substitutos) Hicksianosseεˆij ≤ 0(εˆ_ij ≥0).

compelementares⇔εˆ_ij ≤0 substitutos ⇔εˆ_ij ≥0

Observação:O conceito de complementar ou substituto bruto pode não estar bem definido. Isto porque o bemj pode ser complementar bruto do bemi, mas o bemiser substituto bruto do bemj.

1.3 A Demanda Excedente

Em muitos casos (vocês verão isso exaustivamente quanto estudarem equilíbrio geral) é interessante considerar que a renda não cai simplesmente do céu, mas é produto da venda da dotação inicial do agente (essa é que agora cai do céu).

Como incorporar isso na teoria que estudamos?

Suponha que em vez de uma renda o agente possua uma dotação inicial

¯

xde bens que possa vender no mercado para comprar as mercadorias que são de seu interesse.

Neste caso, seu problema de maximização passa a ser

ˆ

v(p;x)¯ ≡







maxx∈Rⁿ+u(x)

s.t. p¯x≥px , (1.5)

ou seja, o total do que compra não pode custar mais do que o total do que vende.

O que acontece com a demanda de um bemjquando aumenta o preço do bemi? Primeiro, há o efeito tradicional medido pela demanda marshalliana

∂xj/∂pi.Mas a renda do agente também é afetada de modo independente pelo aumento dep_i.

De fato, seja y ≡ p¯x.Podemos, então escrever o efeito total a partir da demanda marshalliana:

dxj =

∂ixj(p,y) +∂yxj(p,y) dy dp_i

dpi

={∂_ixj(p,y) +∂yxj(p,y) ¯xi}dpi

Subsitutindo na Equação de Slutsky:

dx_j ={(∂_iχ_j(p,u)−∂_yx_j(p,y)x_i) +∂_yx_j(p,y) ¯x_i}dp_i

={∂_iχ_j(p,u)−∂_yx_j(p,y) (x_i−x¯_i)}dp_i

Neste caso, saber que um bem é normal não garante que possamos determi-nar o efeito de uma aumento no seu preço sobre a demanda. De fato, isso dependerá de ser o indivíduo um demandante ou ofertante líquido do bem.

Consideremos, então duas aplicações importantes dessa discussão:

1.3.1 Aplicações

1.3.1.1 Oferta de Trabalho

Sejawo salário (i.e. o preço do lazer). Então, a pessoa tem uma dotação inicial deL¯ horas (e.g., 168 horas semanais). Ela vendeL¯ −l(e.g., 40 horas semanais) no mercado de trabalho e consomel(168-40=128 horas) de lazer.

Com o salário recebido, o agente consome bens a um preçop.Podemos escrever o problema do consumidor/trabalhador como

ˆ

Ou seja, se escrevermos y = wL,¯ estaremos com um problema idêntico a (1.5), onde um dos bens é o lazer e a dotação inicial éL:¯

Logo, podemos escrever a equação de Slutsky dl =

n

∂wl^h(p,w,u)−∂yl^h(p,w,y) l−L¯o dw

O que acontece quando o lazer é normal? Qual a direção do efeito renda??

1.3.1.2 Escolha Intertemporal

A restrição orçamentária do agente deve ser lida como ”o valor presente do consumo não pode ser maior do que o valor presente da renda”. O vetor de preços ép= 1, R⁻¹

,ondeRé a taxa de juros bruta:1 +r.

Há suas coisas a serem compreendidas. 1) O aumento da taxa de juros é uma ’redução’ em um preço: o preço do consumo futuro. 2) O efeito renda, mais uma vez depende de o agente ser ofertante (devedor) ou demandante líquido (poupador) de consumo futuro.

1.3.2 Preços não-lineares

Implícita na decomposição de Slutsky está a hipótese de que o preço da unidade marginal de um bem é igual ao preço das unidades inframarginais.

Assim, a variação do preço atinge de forma igual todas as unidades com-pradas. Com preços não lineares, isto deixa de ser o caso, e precisamos de novas formas de lidar com o efeito renda.

Imposto de renda progressivo Imposto progressivo introduz não-linearidade na restrição orçamentária dos agentes. Ainda assim, a restrição orçamen-tária é convexa, o que (considerando as hipóteses que já estamos adotando) preserva a continuidade da oferta de trabalho. A grande novidade aqui diz respeito ao tratamento do efeito-renda, para o que faremos uso do conceito de renda virtual. No entanto, postergaremos até o capítulo XXX esta dis-cussão.

Descontos No caso de descontos o problema ganha um grau extra de com-plexidade, já que o conjunto orçamentário deixa de ser convexo, e a tinuidade das preferências deixa de ser suficiente para se garantir a con-tinuidade das escolhas. Novas hipóteses sobre a estrutura das preferências e da função de preço podem garantir uma análise local, mas estas tendem a ser restirtivas. (Ver Wilson [1993])

1.4 Bem-Estar

O que queremos é saber como varia o bem-estar do agente quando variam os preços. A própria questão já aponta uma dificuldade fundamental, rela-cionada à mensuração do bem-estar. Ou seja, qual a métrica? Devmos atribuir à utilidade um sentido cardinal? Não estaríamos regredindo teoricamente?

Procuraremos responder a essas perguntas à medida em que apresenta-mos as diferentes medidas de bem-estar (ou de sua variação):(i)Excendente do Consumidor;(ii)Variação Compensatória, e;(iii)Variação Equivalente 1.4.1 O Excedente do Consumidor

Suponha que nós possamos ter uma representação ’legítima’ do bem-estar por meio de uma função utilidade. A variação da utilidade quando os preços passam dep⁰parap¹é, então, dada por

v p¹, y

−v p⁰, y .

Começaremos por considerar o caso em que somente um preço variou; o preço do bemi, pi. Pela Identidade de Roy, sabemos que

∂_iv(p, y)≡ −∂_yv(p, y)x_i(p, y) O que nos permite escrever

v p¹, y Suponhamos, então, que∂v(p, y)/∂yseja constante. Neste caso,

− 1

Ou seja, a variação no bem estar é proporcional à variação na área abaixo da curva de demanda que chamamos deexcedente do consumidor. Note que ao dividirmos porvy estamos ’transformando em uma métrica que não de-pende da função utilidade específica’. Um bônus adicional pela hipótese restritiva de∂yv(p, y)constante!!!

Limitações do Excedente do Consumidor Ainda que bastante intuitivo, e fácil de computar na prática, o excedente do consumidor apresenta uma série de limitações. Em primeiro lugar, depende da hipótese de constância

da utilidade marginal da renda. Em segundo lugar, não está bem defindido quando ocorre variação simultânea de vários preços. Isto porque a integral de linha que definiria o excedente do consumidor é (geralmente) depende do caminho, o que faz com que o excedente do consumidor não seja bem definido.

Em virtude dessas dificuldade associadas à utilização do excedente to consumidor é que se usa asmedidas exatas de Bem-estar: Variação Com-pensatória e Variação Equivalente.

1.4.2 Variação Compensatória

Considere um consumidor que tenha uma função utilidade indiretav(p, y). Sejaysua renda inicial ep⁰ o vetor de preços iniciais. Considere agora uma variação nos preços para p¹ 6= p⁰. Quanto de renda deve ser dado para o agente para compensá-lo pela variação no preço do bem?

Avariação compensatóriaCV dessa mudança de preço é definida por v p¹, y+CV

=v p⁰, y

Podemos expressarCV também através das funções gasto:

e p¹, v p⁰, y

=e p¹, v p¹, y+CV

=⇒ CV =e p¹, v p⁰, y

−y Também é verdade quey=e p⁰, v p⁰, y

,portanto temos que CV =e p¹, v⁰

−e p⁰, v⁰

Pelo lema de Shephard, nós podemos expressarCV em função das de-mandas hicksianas:

CV =e p¹, v⁰

−e p⁰, v⁰

= ˆ _p¹

p⁰

∂pe p, v⁰dp dtdt=

ˆ _p¹

p⁰

χ p, v⁰dp dtdt

Perceba então que CV é igual à integral de linha debaixo da demanda hicksiana entrep⁰ep¹.

Quando a variação é no preço de um só bemi

A pergunta agora é a seguinte: Quanto o agente estaria disposto a pagar para evitar uma variação no preço?

Neste caso

Pelo lema de Shephard, nós podemos expressarEV em função das de-mandas hicksianas:

Perceba então que EV é igual à integral de linha debaixo da demanda hicksiana entrep⁰ep¹.

1.5 Escolha no Tempo

Vamos supor um número finito de datas t = 0,1, ...T. Sejam então os objetos de escolha dos indivíduos fluxos de consumo, c ≡ (c0, ..., ct, ...c^T), c_t ∈ R^L₊, c_t ≥ 0. Vamos supor que os indivíduos têm preferências bem definidas racionais e contínuas sobre estes fluxos de consumo. Neste caso, sabemos que podemos representar essas preferências com uma função utili-dadeU(c).

Separabilidade Aditiva.

U(c) =XT

t=0ut(ct) (1.6)

A idéia é de que em sua forma mais geral a utilidade marginal do con-sumo nas várias datas é função de todos os concon-sumos passados e futuros.

A separabilidade forte tem duas implicações importantes: i) o ordenamento induzido dos fluxos de consumo que começam emT independem de tudo o que aconteceu atéT −1; ii) o ordenamento dos fluxos atéT −1independe do que esperamos ter de T em diante,⁵ e iii) o ordenamento dos bens em cada período independe do ordenamento (e, conseqüentemente) das escol-has feitas nos outros períodos.

Quão restritiva é a hipótese?

A plausibilidade da hipótese de separabilidade pode depender do tamanho do período que estamos considerando. Meu ordenamento entre uma salada e um churrasco no jantar deve depender de eu ter comido uma feijoada ou uma outra salada no almoço, o que sugere que separabilidade não é uma hipótese razoável para um períodos tão curto. Já para prazos mais longos, esta hipótese de independência parece não ser tão difícil de ser verificada.

Ainda assim, note que a hipótese elimina a possibilidade de vícios ou outras formas de formação de hábito. Poderíamos, para remediar o prob-lema pensar em uma preferência que acomode formação de hábito na forma

U(c) =XT

t=0u_t(ct−1, c_t)

5Para aqueles que estão familiarizados com a axiomatização da utilidade de von-Neumann Morgenstern, note como estas idéias assemelham-se ao axioma da independência na teoria da escolha sob incerteza. De fato esta condição exerce papel análogo ao axioma da independência para separabilidade nos estados da natureza.

ou, mais geralmente,

U(c) =XT

t=0u_t(s_t, c_t), ondes_t=f(ct−1, ct−2, ...c−J).

Vários modelos de formação de hábito têm-se provado tratáveis, o que tem permitido sua maior utilização.

Vamos extender agora nosso problema para um número infinito de datas t = 0,1, ... Sejam então os objetos de escolha dos indivíduos sejam fluxos de consumo, c = c₀, ..., c_t, ...c^T

, c_t ∈ R^L₊, c_t ≥ 0. Vamos nos limitar a considerar fluxos de consumo tais quesup_tkc_tk < ∞, ou seja, seqüências definidas eml∞. Introduzamos agora a seguinte notação. Definamosc^τ = (c^τ₀, ..., c^τ_t, ...) relativamente ac = (c0, ..., ct, ...) de tal forma quec^τ_t = ct+τ. Vamos supor que os indivíduos têm preferências bem definidas racionais e contínuas sobre o espaço de seqüências com as propriedades acima descritas.

6

Estacionariedade. Tome dois fluxosceˆctais quec_s = ˆc_s para todos < τ. Estacionariedade requer

U(c)≥U(ˆc) se e só seU(c^τ)≥U(ˆc^τ). As preferências sobreconsumos futurosnão mudam com a idade.

Será que a forma geral (1.6) tem essa propriedade? Note que U(c) = P∞

t=0u_t(c_t)eU(c^τ) =P∞

t=0u_t(c^τ_t) =P∞

t=0u_t(c_t+τ).Neste caso, U(c)−U(ˆc) =X∞

t=0u_t(c_t)−X∞

t=0u_t(ˆc_t)

=X∞

t=τ[u_t(c_t)−u_t(ˆc_t)]≥0 (1.7) não implica

U(c^τ)−U(ˆc^τ) =X∞

t=0ut(c^τ_t)−X∞

t=0ut(ˆc^τ_t)

=X∞

t=τ[ut(ct+τ)−ut(ˆct+τ)]≥0 (1.8)

6Note que estamos agora em um espaço de dimensão infinita. Em geral, o que precisamos é queX seja um espaço topológico conexo e separável (ou, possua uma base contável de abertos). Sedefinida emXfor racional e contínua estamos feitos.

Precisamos, portanto queut+τ(ct+τ)−u_t+τ(ˆct+τ)≥0⇐⇒ut(ct+τ)−u_t(ˆct+τ)≥ 0 para todo t e todo τ. Consideremos, então u_t(·) = β^tu(·). Neste caso, u_t+τ(c_t+τ)−u_t+τ(ˆc_t+τ) =

β^t+τu(c_t+τ)−β^t+τu(ˆc_t+τ)

=β^τ

β^tu(ct+τ)−β^tu(ˆct+τ) .

Este tipo de preferência exibe o chamado desconto exponencial.

Impaciência. Vamos suporβ <1.Sec= (c0, c1, ....)6= 0ec⁰ = (0, c0, c1, ....) entãoc0é estritamente pior do quec. Esta hipótese é útil para garantir que um fluxo de consumo limitado tenha valor limitado. Uma implicação prática é de que o consumo em um futuro distante tem pouca relvância hoje.

Recursividade. Queremos escrever as preferências dos indivíduos como função do valor do consumo presente e a utilidade de todo o fluxo futuro como em

U(c) =u(c0) +βU c¹

para qualquer fluxo de consumoc= (c₀, c₁, ...)[notando quec¹ = (c₁, c₂, ...)].

Note que a taxa marginal de substituição entreutilidadecorrente e futura éβ.

Vamos, portanto, considerar preferências sobre fluxos de consumo do tipo

U(c) =X∞

t=0β^tu(c_t) (1.9)

ondeβ <1eué crescente e côncava.

Este modelo pode ser também interpretado como uma sucessão de ger-ações ligadas por vínculos de altruismo na linha de Barro (1989).

Cabe finalmente falar deconsistência intertemporal. Se você prefere cac⁰ emt = 0,você vai continuar a preferircac⁰ sempre. Ou seja, o indivíduo não muda suas preferências sobre fluxos de consumo. Um exemplo inter-essante de violação consistência intertemporal ocorre no caso de desconto hiperbólico. Neste caso,

U_t c^t

=u(c_t) +δX∞

s=t+1β^s−tu(c_s) enquanto.

Ut−1 c^t

=X∞

s=tβ^s−tu(c_s)

Note que é possível construir dois fluxoscecˆtais que, sob a perspectiva det o indivíduo prefira ce sob a perspectiva de t+ 1prefira c, violando,ˆ desta forma, consistência intertemporal.

Escolha no tempo e nos estados da natureza:Notando queP∞

t=0β^t= (1−β)⁻¹, reescrevamos (1.9) na forma

U(c) = (1−β)X∞

t=0πtu(ct),

ondeπt=β^t(1−β)⁻¹.A estrutura de preferências sobre consumo no tempo mais comuente utilizada é formalmente equivalente à estrutura de preferên-cias sobre consumos nos estados da nautreza. Em particular, no que concerne à estrutura separável, ambas a exibem na forma aditiva.

1.6 Incerteza

Muitas das situações em que as pessoas fazem escolhas envolvem algum tipo de incerteza. Em vários casos, é razoável ignorar esse problema e tra-balhar sob a hipótese de certeza. Em outros casos, porém, a incerteza está na raiz do problema. Exemplos: seguros, investimentos financeiros, lote-rias e jogos de azar. Agentes tomam decisões que afetam as conseqûencias econômicas de sua incerteza. Queremos então uma teoria que nos permita lidar com essas questões.

Ou seja, queremos de um lado uma forma de representar escolhas nesse ambiente (i.e., determinar o que seja um conjunto de consumo, restrições orçamentárias, preferências ou adotar uma outra abordagem) e determinar a estrutura que esta teoria confere ao problema de escolha individual. É necessária uma teoria do consumidor “especial” para tratamento da incerteza?

Não. Uma alternativa para que seja possível a utilização do instrumental de-senvolvido até agora é a adoção do conceito deestado da natureza. Esta idéia, presente nas formulações de Savage [1954] e Anscombe and Aumann [1963], foi utilizada, a partir da genial percepção de Debreu [1959], para extender os resultados de equilíbrio geral para um ambiente com incerteza.

Informalmente, podemos entender o conceito a partir do seguinte exem-plo. A incerteza em relação ao mundo se resume a apenas dois estados da natureza: s₁ (chuva) e s₂ (sol), e existe apenas um “bem”: guarda-chuva (x= 1se ele tem um guarda-chuva,x= 0se ele não tem um guarda-chuva).

Defino, porém, dois bens: x no estado s1 e x no estado s2 e uma cesta de consumo passa a ser definida comox= (x₁, x₂), ondex_i é a quantidade de guarda-chuvas no estados_i.Se as preferências definidas sobre o conjunto de consumo são completas, transitivas e contínuas, existe uma função de utili-dade contínuau(x₁, x₂)que representa essa estrutura de preferências. Logo, a introdução de incerteza não altera em nada a natureza do problema do consumidor (exceto a dimensionalidade do conjunto de consumo).

No entanto, a teoria da escolha sob incerteza acrescenta mais estrutura às preferências de forma a responder perguntas de interesse específico da área. Podemos, por exemplo estar interessados em saber o efeito sobre a demanda de guarda-chuvas do aumento da probabilidade de chover. I.e., a probabilidade de chuva pode afetar a taxa marginal de substituição entre guarda-chuva se chover e se não chover.

A funçãou(x₁, x₂)não tem por argumento a probabilidade de chuva. Na verdade, uma mudança na probabilidade de chuva deve alterar a própria função utilidadeu(x₁, x₂).Uma forma incorporar preferências sobre proba-bilidades é inseri-la diretamente como parâmetro da função utilidadeu(x1, x2, π), ondeπé a probabilidade de chuva.

Mais geralmente, suponha que existamS(inteiro e finito) estados da na-turezas= 1,2, ...S.com respectivas probabilidades (objetivas)π1, π2, ..., πS. SejaX ⊆ R^m+ o conjunto de consumo (por simplicidade, o mesmo em cada estado da natureza).

Sejax^s∈R^m+ a cesta que será consumida caso o estado da natureza real-izado sejas.A função utilidade é então definida por

u x¹,x², ...,x^S, π1, π2, ..., πS

(1.10)

A teoria tradicional do consumidor ainda é perfeitamente válida para se estudar uma utilidade como (1.10). Alguns axiomas adicionais e plausíveis sobre o comportamento do consumidor nos permitirão, porém, estabelecer algumas propriedades importantes de (1.10). É aí que entra ateoria da utili-dade esperada.

1.6.1 Formalização

Há (basicamente) três alternativas de formalização que diferem com re-lação ao caráter subjetivo ou objetivo das probabilidades (ou crenças) en-volvidas. Em um extremo temos a teoria de Von Neumann and Morgen-stern [1944] que toma as probabilidades como algo objetivo. Em um outro extremo temos a teoria de Savage [1954], que supõe que as probabilidades (crenças) são subjetivas. No meio do caminho temos a teoria da Anscombe and Aumann [1963], que admite que algumas probabilidades, como por ex-emplo a probabilidade de sair o número 1 em um lançamento de dados, são objetivas, enquanto algumas são essencialmente subjetivas, como a probabil-idade de o Brasil ganhar a próxima Copa do Mundo. Na maior parte do que se segue estaremos estudando a formulação de Von Neumann and Morgen-stern [1944], a primeira, cronologicamente, e a de formalização mais simples.

1.6.1.1 Definições e Conceitos

Seja C o conjunto de possíveis resultados(outcomes). Resultado é uma lista de variáveis que podem afetar o bem-estar do agente. Por exemplo, se os resultados são cestas em cada estado da naturezaxⁱ, entãoC=X.Vamos supor, para evitar tecnicalidades, queCé um conjunto finito:C ={x_s}^S_s=1. Definção: Considere, então um vetor de probabilidades (π₁, ..., π_S), onde π^s≥0∀sePS

s=1πs= 1. Umaloteria simples,L,é um vetor(x1, π1;...;xs, πs). No entanto, durante a exposição que se segue, vamos fixar os resulta-dos possíveis{x_s}^S_s=1e definir uma loteria pelo seu vetor de probabilidades associado a ela. Definamos então o conjunto£de todas as loterias sobre o conjunto de resultados{x_s}^S_s=1,

£≡

(π₁, ..., π_S) ;XS

s=1π_s = 1

.

Definção:Uma loteria composta é uma loteria cujos resultados são também loterias. Por exemplo, considere duas loteriasL= (π₁, ..., π_S)eL⁰ = (π₁⁰, ..., π⁰_S), podemos então definir a loteria compostaL^α=αL+ (1−α)L⁰, α∈[0,1].

Note que a loteriaL⁰⁰ = (απ₁+ (1−α)π₁⁰, ..., απ_S+ (1−α)π⁰_S)associa a cada resultado a mesma probabilidade que a loteria compostaL^α.É natural,

então. associar a loteria compostaL^α = αL+ (1−α)L⁰ a essa nova loteria reduzidaL⁰⁰.

Suporemos, então que o agente tem uma relação de preferências%sobre

£,caracterizada pelos seguintes axiomas.

Axioma 1:(“consequencialismo” ou “axioma da redução”): Indivíduos pos-suem uma ordenação de preferências definida apenas sobre loterias reduzi-das, i.e.,%é definida apenas sobre£.

Axioma 2: (racionalidade): A ordenação de preferências%em£é racional;

i.e.,%é completa e transitiva.

Ou seja, o axioma 2 pode ser decomposto em duas partes:

Axioma 2.a: A ordenação de preferências%em£é completa, i.e., para duas loterias quaisquerLeL⁰,temosL%L⁰,ouL⁰ %L,ou ambos.

Axioma 2.b: A ordenação de preferências%em£é transitiva, i.e., para quaisquer três loteriasL, L⁰eL⁰⁰,seL%L⁰ eL⁰ %L⁰⁰,entãoL%L⁰⁰.

Axioma 3:(continuidade): Para todoL, L⁰, L⁰⁰∈£,os conjuntos α∈[0,1] :αL+ (1−α)L⁰ %L⁰⁰

α∈[0,1] :αL+ (1−α)L⁰ -L⁰⁰ são fechados em[0,1].

Uma forma de entender o significado desta proposição é lembrar que se estes conjuntos são fechados os conjuntos referentes a relações estritas, , são abertos em [0,1].Continuidade, portanto, quer dizer que pequenas mudanças nas probabilidades não afetam o ordenamento entre duas loterias.

Assim se tivermosL L⁰ L⁰⁰, então paraα <1suficientemente próximo de1,temos queαL+ (1−α)L⁰⁰L⁰e paraα >0suficientemente próximo de0, αL+ (1−α)L⁰⁰ ≺L⁰.

Algumas pessoas questionam esse axioma com base no seguinte exem-plo. Suponha que os prêmios sejamz₁ =‘ficar em casa vendo BBB’,z₂=‘jantar no Cipriani’ ez3 =‘morrer em um assalto’. Para a maior parte das pessoas z₂ z₁ z₃(para algunsz₁ é a morte!). O axioma de continuidade diz que existe umαtal que αz₂ + (1−α)z₃ z₁.Alguns reajem dizendo que não há nada que pague a vida e portanto as preferências envolvendo a mortes

são lexicográficas e não contínuas. No entanto, quase todas as pessoas que

são lexicográficas e não contínuas. No entanto, quase todas as pessoas que

No documento Notas de Economia do Setor Público Aula 01 - Revisão de Microeconomia. Carlos Eugênio da Costa Fundação Getulio Vargas - EPGE/FGV (páginas 14-0)