Nesta seção são apresentados os resultados das validações dos cinco modelos analíticos estudados nesse trabalho, Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e RV. A validação de cada modelo inicialmente é realizada considerando a estimação de parâmetros realizada com 4, 5 e 6 dados, conforme as Tabelas 6.1, 6.2 e 6.3, através do método dos MQs não linear; e a análise comparativa para a validação é realizada entre os tempos de vida simulados e os dois conjuntos de dados experimentais para a validação apresentados nas Tabelas 7.1 e 7.2, respectivamente com valores outliers, e sem a presença desses valores. Observa-se que em todos os conjuntos de validação a normalidade dos dados foi veri cada, então é utilizada a média aritmética para a obtenção dos erros dos modelos.
Em um primeiro momento são apresentados os resultados das validações para os cinco modelos analíticos, considerando os dados com a presença de outliers. Na Tabela 7.3 é possível observar o resultado das validações para o modelo Linear, com erros de 2, 57%, 2, 77% e 2, 79% para 4, 5 e 6 dados de estimação, respectivamente. Isto aponta que esse modelo obteve boa acurácia em todos os casos, devido ao fato de apresentar erros inferiores a 5%, conforme indicado pela literatura técnica para modelos matemáticos que predizem o tempo de vida de baterias [14]. O melhor resultado para o modelo Linear foi obtido quando o seu parâmetro empírico foi estimado com 4 dados experimentais.
Tabela 7.3: Validação do modelo Linear considerando valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LLinear Erro LLinear Erro LLinear Erro
75 606,94 625,5 3,06% 626,7 3,26% 626,9 3,29%
100 465,98 469,2 0,69% 470,1 0,88% 470,2 0,91%
150 304,10 312,8 2,86% 313,4 3,06% 313,5 3,09%
500 90,58 93,9 3,67% 94,1 3,89% 94,1 3,89%
Erro médio 2,57% 2,77% 2,79%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LLinear: tempo de vida simulado (min).
Para a Lei de Peukert, os resultados das validações podem ser observados na Tabela 7.4. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e 6 dados foram 1, 07%, 2, 33% e 2, 09%,
Capítulo 7. Resultados das Simulações e Análises 66 respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. De modo análogo ao modelo Linear, a Lei de Peukert também obteve melhores resultados quando foram utilizados 4 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Tabela 7.4: Validação da Lei de Peukert considerando valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LP euk Erro LP euk Erro LP euk Erro
75 606,94 622,4 2,55% 626,1 3,16% 626,2 3,17%
100 465,98 464,4 0,34% 469 0,65% 468,6 0,56%
150 304,10 307,4 1,09% 312,1 2,63% 311,4 2,40%
500 90,58 90,3 0,31% 93,2 2,89% 92,6 2,23%
Erro médio 1,07% 2,33% 2,09%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LP euk: tempo de vida simulado (min).
As validações referentes à Lei de Peukert Estendida são apresentadas na Tabela 7.5. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e 6 dados foram 2, 24%, 3, 17% e 2, 01%, respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. A Lei de Peukert Estendida obteve melhores resultados quando foram utilizados 6 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Tabela 7.5: Validação da Lei de Peukert Estendida considerando valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LP Est Erro LP Est Erro LP Est Erro
75 606,94 630,8 3,93% 639,2 5,32% 631,7 4,08%
100 465,98 473,5 1,61% 479,9 2,99% 471,1 1,10%
150 304,10 313,5 3,09% 317,2 4,31% 310,9 2,24%
500 90,58 90,3 0,31% 90,5 0,09% 90 0,64%
Erro médio 2,24% 3,17% 2,01%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LP Est: tempo de vida simulado (min).
Na Tabela 7.6 são apresentados os resultados obtidos para a validação do modelo KiBaM. O erro encontrado para 4 dados de estimação foi de 2, 79%, para 5 dados foi de 3, 22%e, para 6 dados, 4%. O modelo obteve boa acurácia em todas as situações e melhor desempenho quando utilizados 4 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Por m, é possível veri car o resultado das validações correspondentes ao modelo de Rakhmatov e Vrudhula na Tabela 7.7. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e 6 dados foram 1, 91%, 2, 54% e 1, 53%, respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. O modelo obteve melhores resultados quando foram utilizados 6 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Capítulo 7. Resultados das Simulações e Análises 67 Tabela 7.6: Validação do modelo KiBaM considerando valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LKib Erro LKib Erro LKib Erro
75 606,94 636 4,79% 640,6 5,55% 644 6,11%
100 465,98 475,4 2,02% 478,7 2,73% 480,5 3,12%
150 304,10 314,7 3,49% 316,8 4,18% 317,1 4,27%
500 90,58 89,8 0,86% 90,2 0,42% 88,3 2,52%
Erro médio 2,79% 3,22% 4,00%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LKib: tempo de vida simulado (min).
Tabela 7.7: Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula considerando valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LRV Erro LRV Erro LRV Erro
75 606,94 632,6 4,23% 636,1 4,81% 631,3 4,01%
100 465,98 470,5 0,97% 474,1 1,74% 467,4 0,31%
150 304,10 311,4 2,40% 314 3,26% 308,6 1,48%
500 90,58 90,6 0,02% 90,9 0,35% 90,3 0,31%
Erro médio 1,91% 2,54% 1,53%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LRV: tempo de vida simulado (min).
Na sequência, são apresentados os resultados para as validações com per s sem valores outliers. De forma análoga ao procedimento anterior, também foi observada a normalidade nos conjuntos de erros de validação através do teste de Shapiro-Wilk, devido a isto, também foi adotado o erro médio para a análise dos modelos.
Na Tabela 7.8 é possível observar o resultado das validações para o modelo Linear, com erros de 3, 35%, 3, 55% e 3, 58% para 4, 5 e 6 dados de estimação, respectivamente. Isto aponta que esse modelo obteve boa acurácia em todos os casos, devido ao fato de apresentar erros inferiores a 5%, conforme indicado pela literatura técnica para modelos matemáticos que predizem o tempo de vida de baterias [14]. O melhor resultado para o modelo Linear foi obtido quando o seu parâmetro empírico foi estimado com 4 dados experimentais.
Para a Lei de Peukert, os resultados das validações podem ser observados na Tabela 7.9. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e 6 dados foram 1, 84%, 3, 11% e 2, 87%, respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. A Lei de Peukert também obteve melhores resultados quando foram utilizados 4 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
As validações referentes à Lei de Peukert Estendida são apresentadas na Tabela 7.10. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e 6 dados foram 3, 02%, 3, 97% e 2, 79%,
Capítulo 7. Resultados das Simulações e Análises 68 Tabela 7.8: Validação do modelo Linear sem valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LLinear Erro LLinear Erro LLinear Erro
75 600,48 625,5 4,17% 626,7 4,37% 626,9 4,40%
100 465,98 469,2 0,69% 470,1 0,88% 470,2 0,91%
150 298,25 312,8 4,88% 313,4 5,08% 313,5 5,11%
500 90,58 93,9 3,67% 94,1 3,89% 94,1 3,89%
Erro médio 3,35% 3,55% 3,58%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LLinear: tempo de vida simulado (min).
Tabela 7.9: Validação da Lei de Peukert sem valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LP euk Erro LP euk Erro LP euk Erro
75 600,48 622,4 3,65% 626,1 4,27% 626,2 4,28%
100 465,98 464,4 0,34% 469 0,65% 468,6 0,56%
150 298,25 307,4 3,07% 312,1 4,64% 311,4 4,41%
500 90,58 90,3 0,31% 93,2 2,89% 92,6 2,23%
Erro médio 1,84% 3,11% 2,87%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LP euk: tempo de vida simulado (min).
respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. A Lei de Peukert Estendida obteve melhores resultados quando foram utilizados 6 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Tabela 7.10: Validação da Lei de Peukert Estendida sem valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LP Est Erro LP Est Erro LP Est Erro
75 600,48 630,8 5,05% 639,2 6,45% 631,7 5,20%
100 465,98 473,5 1,61% 479,9 2,99% 471,1 1,10%
150 298,25 313,5 5,11% 317,2 6,35% 310,9 4,24%
500 90,58 90,3 0,31% 90,5 0,09% 90 0,64%
Erro médio 3,02% 3,97% 2,79%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LP Est: tempo de vida simulado (min).
Na Tabela 7.11 são apresentados os resultados obtidos para a validação do modelo KiBaM. O erro encontrado para 4 dados de estimação foi de 3, 58%, para 5 dados foi de 4, 01% e, para 6 dados, 4, 80%. O modelo obteve boa acurácia em todas as situações e melhor desempenho quando utilizados 4 dados na estimação de seus parâmetros empíricos. Por m, é possível veri car o resultado das validações correspondente ao modelo de Rakhmatov e Vrudhula na Tabela 7.12. Os erros obtidos para a estimação com 4, 5 e
Capítulo 7. Resultados das Simulações e Análises 69 Tabela 7.11: Validação do modelo KiBaM sem valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LKib Erro LKib Erro LKib Erro
75 600,48 636 5,92% 640,6 6,68% 644 7,25%
100 465,98 475,4 2,02% 478,7 2,73% 480,5 3,12%
150 298,25 314,7 5,51% 316,8 6,22% 317,1 6,32%
500 90,58 89,8 0,86% 90,2 0,42% 88,3 2,52%
Erro médio 3,58% 4,01% 4,80%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LKib: tempo de vida simulado (min).
6 dados foram 2, 69%, 3, 33% e 2, 30%, respectivamente. Portanto, este modelo também obteve boa acurácia, por apresentar erros inferiores a 5%. O modelo obteve melhores resultados quando foram utilizados 6 dados na estimação de seus parâmetros empíricos.
Tabela 7.12: Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula sem valores outliers.
Per l (mA) Lexp 4 dados de estimação 5 dados de estimação 6 dados de estimação
LRV Erro LRV Erro LRV Erro
75 600,48 632,6 5,35% 636,1 5,93% 631,3 5,13%
100 465,98 470,5 0,97% 474,1 1,74% 467,4 0,31%
150 298,25 311,4 4,41% 314 5,28% 308,6 3,47%
500 90,58 90,6 0,02% 90,9 0,35% 90,3 0,31%
Erro médio 2,69% 3,33% 2,30%
Lexp: tempo de vida experimental (min); LRV: tempo de vida simulado (min).
Quando os modelos foram validados com valores outliers observou-se erros menores em todos os modelos simulados. Quanto à quantidade de dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos, também foi possível perceber resultados semelhantes para os dados de validação com valores outliers e sem valores outliers, o modelo Linear, Peukert e KiBaM apresentaram erros menores quando foram utilizados 4 dados para a estimação dos seus parâmetros empíricos, já os modelos Lei de Peukert Estendida e de Rakhmatov e Vrudhula apresentaram resultados mais satisfatórios quando foram utilizados 6 dados na estimação de parâmetros, todos os modelos apresentaram boa acurácia em todas as situações analisadas, com erros inferiores a 5%.
7.3.1 Análise comparativa entre os modelos
Após a validação foi realizada uma análise comparativa entre os modelos, em que o primeiro colocado é o modelo que obteve melhor acurácia (i.e., menor erro) e assim suces- sivamente. A presença ou não de valores outliers na validação não in uenciou na ordem
Capítulo 7. Resultados das Simulações e Análises 70 de acurácia dos modelos, o que pode ter sido ocasionado devido à baixa variabilidade observada nos dados, com CV menor que 10% (cf. Seção 5.4.4). Assim, na Tabela 7.13 é realizada uma análise comparativa entre os modelos considerando a estimação de parâ- metros realizada com 4, 5 e 6 dados experimentais e o método dos Mínimos Quadrados não linear.
Tabela 7.13: Análise comparativa entre os modelos
Posição 4 dados na estimação 5 dados na estimação 6 dados na estimação 1◦ Peukert Peukert Rakhmatov e Vrudhula
2◦ Rakhmatov e Vrudhula Rakhmatov e Vrudhula Peukert Estendida
3◦ Peukert Estendida Linear Peukert
4◦ Linear Peukert Estendida Linear
5◦ KiBaM KiBaM KiBaM
Observando a Tabela 7.13, pode-se perceber que a Lei de Peukert e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula apareceram com mais frequência em primeiro ou segundo lugar, a Lei de Peukert Estendida por sua vez cou na segunda, terceira e quarta posição, dependendo da quantidade de dados que foi utilizada na estimação de parâmetros, e por m observou-se que os modelos Linear e o modelo KiBaM ocuparam as piores posições na maioria das vezes.
Quanto ao modelo Linear, de fato esperava-se que ele obtivesse um desempenho inferior aos demais, por possuir uma modelagem empírica bastante simpli cada, que não considera os efeitos não lineares, tais como, o efeito de recuperação e a taxa de capacidade. Por outro lado, não é possível a rmar o mesmo em relação ao modelo KiBaM, visto que ele é um modelo fundamentado nas leis físicas do processo de descarga, considera os efeitos não lineares, sendo formulado por um sistema de EDOs. Resultado semelhante foi encontrado no trabalho de Zart [54], desse modo buscou-se investigar o possível motivo do desempenho do modelo KiBaM estar abaixo até do desempenho do modelo Linear. Então, após a revisão do modelo matemático decidiu-se alterar a metodologia de estimação de parâmetros do modelo KiBaM, o método dos Mínimos Quadrados não linear, pela metodologia de estimação de parâmetros proposta Kim [20], apresentada no Capítulo 6. A validação do modelo KiBaM com a metodologia de Kim [20] e uma nova análise comparativa entre os modelos é apresentada na próxima seção.