Modelagem Matemática do Tempo de Vida de
Baterias utilizando Modelos Analíticos
Vanessa Pansera
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora
Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador
Ijuí, RS, Brasil c
Modelagem Matemática do Tempo de Vida de
Baterias utilizando Modelos Analíticos
Vanessa Pansera
Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2018
Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora
Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador
Cristiano Roberto Cervi, Dsc. Componente da Banca Mauricio de Campos, Dsc.
Componente da Banca
Ijuí, RS, Brasil, Março, 2018
“A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vê.” (Arthur Schopenhauer)
Agradecimentos
A Deus, pela vida, por me rodear de pessoas especiais, por possibilitar diversas con-quistas, e agora mais uma delas, e pela paz proporcionada nos momentos turbilhonantes. À minha mãe, pai, irmão, vó e madrinha, Marinês, Valdo, Fernando, Teresa e Graci-meri, pelo amor e apoio recebidos e por acreditarem em mim.
Ao meu amor, Albeneir, por iluminar minha vida, por ser também meu amigo, com-panheiro e sempre me apoiar, acreditar em mim e estar próximo, mesmo na distância.
Aos meus professores, Airam e Paulo, pelas orientações, ensinamentos e paciência. Aos demais professores, pelos conhecimentos que me apresentaram, todos contribuíram para meu crescimento nesta trajetória.
Ao meu amigo, Odenis, pela amizade enorme e verdadeira, que trazemos desde a graduação e que pretendo levar para o resto da vida.
Às amigas, Maiara e Nelize, pela companhia e amizade.
Aos colegas e amigos, Douglas e Leonardo, por estarem sempre disponíveis quando precisei de auxílio e pela amizade.
A todos os meus colegas do GAIC e do mestrado, pela companhia e amizade, com vocês a pesquisa se tornou mais agradável.
Às secretárias, Geni e Sibeli, pela atenção e disposição.
À UNIJUÍ e ao GAIC, pela estrutura física disponibilizada e aporte nanceiro recebido.
Resumo
A utilidade, comodidade e facilidade presentes no uso de dispositivos eletrônicos mó-veis, como celulares, tablets e notebooks, fez com que o mercado destes aparelhos expan-disse. Além das vantagens citadas, estes dispositivos também fornecem aos seus usuários a possibilidade de mobilidade durante seu uso, pois são alimentados por baterias recar-regáveis. Deste modo, a funcionalidade destes aparelhos está diretamente ligada a suas baterias, o que torna importante o estudo do tempo de vida das mesmas. Uma alterna-tiva para tal estudo é o emprego da modelagem matemática. Na literatura técnica há várias categorias de modelos matemáticos utilizados para realizar essa predição, entre eles estão os modelos analíticos, que são caracterizados por equações fundamentadas em leis físicas ou empíricas, possuem compreensão e implementações computacionais acessíveis, além de serem considerados de boa acurácia, podendo ser adaptados a diferentes tipos de baterias. Neste sentido, a presente pesquisa tem por objetivo avaliar cinco modelos analíticos, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo Ki-BaM e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula, utilizando a teoria Estatística, estabelecendo critérios e considerando diferentes conjuntos de dados para a estimação dos parâmetros empíricos dos modelos. Critérios para a validação também foram estabelecidos. Além disto, investigou-se qual a metodologia mais indicada para a estimação dos parâmetros do modelo KiBaM, e qual a medida de tendência central é mais adequada para determi-nar a imprecisão nal dos modelos a partir dos erros obtidos para os per s de descarga utilizados na validação. Para validar os modelos, os tempos de vida simulados foram com-parados com os tempos de vida obtidos de uma plataforma de teste, considerando oito baterias novas de Lítio Íon Polímero (Li-Po) modelo PL-383562-2C. Por m, é observado que a Lei de Peukert e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula possuem maior acurácia que os demais quando seus parâmetros empíricos são estimados pelo método dos Mínimos Quadrados não linear, observa-se também que os modelos obtiveram melhores resultados quando seus parâmetros empíricos foram estimados com conjuntos de 4 e 6 dados, e que todos os modelos apresentaram boa acurácia, pois todos os erros foram inferiores a 5%.
Palavras-chave: bateria, tempo de vida, modelagem matemática, modelos analíticos, análise estatística.
Abstract
The utility, convenience and ease of using mobile electronic devices, such as mobile pho-nes, tablets and notebooks, has made the market for these devices expand. In addition to advantages cited, these devices also provide users with mobility during their use as they are powered by rechargeable batteries. In this way, the functionality of the devices is directly connected to their batteries, the study of the batteries lifetime is important. An alternative is the use of mathematical modeling. In the technical literature there are several categories of mathematical models used to perform the prediction of battery lifetime, among them are the analytical models, which are characterized by equations based on physical or empirical laws, have accessible computational comprehension and implementations, besides being considered of good accuracy and can be adapted to die-rent batteries types. In this sense, this research aims to evaluate ve analytical models: the Linear model, the Peukert Law, the Extended Peukert Law, the KiBaM model and the Rakhmatov and Vrudhula model, using Statistical theory, establishing criteria and considering dierent sets of data for the estimation of the empirical parameters of the models. In addition, the most suitable methodology for estimating the parameters of the KiBaM model and which measure of central tendency is more adequate to determine the nal imprecision of the models from the errors obtained for the discharge pro les used in the validation are investigated. To validate the models, the simulated lifetimes were compared with the experimental lifetimes obtained from a test platform of eight new Lithium Polymer (Li-Po) series PL-383562-2C batteries. Finally, it was noticed that the Peukert and Rakhmatov and Vrudhula Law models had higher accuracy than the others when the non-linear Least Squares (MQs) method was used in the estimation, so that the models obtained the best results when they had their parameters estimated with 4 or 6 experimental data, it is also emphasized that all the models presented good indices of accuracy.
Keywords: battery, lifetime, mathematical modeling, analytical models, statistical analysis.
Lista de Abreviaturas
A AmpèreAh Ampère-hora
ANOVA Análise de Variância (ANalysis Of VAriance) AR Modelo AutoRregressivo
ARMAX Modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas eXternas ARX Modelo AutoRregressivo com entradas eXternas
As Ampère-segundo BJ Box Jenkins
CV coe ciente de variação
DCEEng Departamento de Ciências Exatas e Engenharia EDO Equação Diferencial Ordinária
EDP Equação Diferencial Parcial ES Erro de Saída
GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle
KiBaM Modelo Cinético de Bateria (Kinetic Battery Model) viii
Li-Ion Lítio Íon
Li-Po Lítio Íon Polímero
LSI Laboratório de Sensores Inteligentes mA miliampère
mAh miliampère-hora
mAmin miliampère-minuto min minuto
MQs Mínimos Quadrados
NARMAX AutoRregressivo com MédiAs móveis e entradas eXternas Não linear NARX AutoRregressivo com entradas eXternas Não linear
Ni-Cd Níquel-Cádmio
Ni-MH Níquel Metal-Hidreto RV Rakhmatov e Vrudhula
UNIJUÍ Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul V Volt
Lista de Símbolos
α parâmetro relacionado à capacidade da bateria no modelo de Rakhmatov e Vrudhula
α nível de signi cância de testes estatísticos
β parâmetro relacionado ao comportamento não linear da bateria no modelo de Rakhmatov e Vrudhula
µ média aritmética considerada na função densidade de uma distribuição normal
ρ decaimento da concentração de espécies eletroativas
σ2 desvio padrão considerado na função densidade de uma distribuição normal
a parâmetro relacionado à capacidade da bateria no modelo Lei de Peukert
an−i+1 constantes geradas a partir da média, variância e covariância das estatísticas
de uma amostra de tamanho n de uma distribuição normal reduzida N(0, 1) A área da superfície do eletrodo
b coe ciente de Peukert, parâmetro da Lei de Peukert e da Lei de Peukert Estendida
C capacidade da bateria
c parâmetro do modelo KiBaM que representa a fração da capacidade total da ba-teria que corresponde à capacidade disponível
C1 coe ciente de ajuste não linear na Lei de Peukert Estendida, parâmetro que
de-verá ser estimado
C2 capacidade análoga a capacidade física da bateria na Lei de Peukert Estendida,
parâmetro que deverá ser estimado
Ci parâmetro relacionado à capacidade inicial da bateria no modelo Linear
C∗ concentração inicial de espécies eletroativas
C(x, t) concentração de espécies eletroativas
D constante de difusão
Dm desvio médio
Dp desvio padrão
Eco erros considerando valores outliers na validação
Eso erros desconsiderando valores outliers na validação
F constante de Faraday
Fcalc estatística calculada para a realização da ANOVA
Ftab estatística tabelada para a realização da ANOVA
GLtrat grau de liberdade dos tratamentos
GLres grau de liberdade do resíduo
H0 hipótese nula
H1 hipótese alternativa
h1(t) altura da fonte de carga disponível
h2(t) altura da fonte de carga limitada
I corrente constante de descarga
Ik amplitude de pulsos de descarga
i(t) corrente de descarga
J (x, t) uxo de espécies eletroativas
k número de tratamentos, ou amostras, considerados para a realização de testes estatísticos
k uxo entre as fontes de carga do modelo KiBaM
k0 constante relacionada com o uxo entre as fontes de carga do modelo KiBaM, parâmetro que deverá ser estimado
L tempo de vida da bateria
Lexp tempo de vida experimental para uma corrente de descarga
LI limite inferior do intervalo utilizado para encontrar valores outliers
LS limite superior do intervalo utilizado para encontrar valores outliers
Lsim tempo de vida simulado para uma corrente de descarga
LKib Tempos de vida simulados do modelo KiBaM
LP euk Tempos de vida simulados da Lei de Peukert
LP Est Tempos de vida simulados da Lei de Peukert Estendida
LLinear Tempos de vida simulados do modelo Linear
LRV Tempos de vida simulados do modelo de Rakhmatov e Vrudhula
m número de repetições de cada tratamento utilizado na realização de testes esta-tísticos
mi número de repetições do tratamento i
Mg média geométrica
Mh média harmônica
Mp média ponderada
Mq média quadrática
n número de elementos de uma amostra ou população
N dimensão de uma amostra global
ni dimensão (ou número de elementos) da amostra i
X ∼ N (µ, σ2) amostra/população com distribuição normal
pi peso de cada um dos elementos considerados para o cálculo da média ponderada
p-valor nível descritivo de um teste estatístico q amplitude studentizada para o teste Tukey
QMres quadrado médio do resíduo
QMtrat quadrado médio dos tratamentos
SQres soma de quadrados do resíduo
SQtot soma de quadrados total
SQtrat soma de quadrados dos tratamentos
SOC estado de carga
td tempo de duração da corrente de descarga aplicada
tk tempo de descarga
T Vexp tempo de vida experimental
T Vem tempo de vida experimental médio
U (t) função degrau
v quantidade de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo
V ar variância
w comprimento do eletrodo
Wc estatística calculada para a realização do teste de Levene
Wcal estatística calculada para a realização do teste de Shapiro-Wilk
Wtab estatística tabelada para a realização do teste de Shapiro-Wilk
x média aritmética
xi média aritmética do tratamento ou amostra i
xi elementos de uma amostra ou população
Xi valores das variáveis dispostos em ordem crescente
xij variável resposta medida na repetição j do tratamento i
y0 parâmetro relacionado à capacidade total da bateria no modelo KiBaM
y1(t) capacidade disponível da bateria
y1(0) capacidade disponível inicial da bateria
y2(t) capacidade limitada da bateria
y2(0) capacidade limitada inicial da bateria
Z variável utilizada para a obtenção de uma distribuição Normal Padrão
Z média de Zi na amostra global no teste de Levene
Zi média da amostra Zi na amostra i no teste de Levene
Lista de Tabelas
5.1 Dados Experimentais. . . 48
5.2 Limites Inferiores e Superiores para Identi car Valores Outliers. . . 49
5.3 Valores de Wcal para o teste de Shapiro-Wilk. . . 51
5.4 Análise de variância dos tempos de vida experimentais. . . 52
5.5 Resultados do teste Tukey. . . 54
6.1 Conjunto 1: 4 per s de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos. . . 57
6.2 Conjunto 2: 5 per s de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos. . . 57
6.3 Conjunto 3: 6 per s de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos. . . 58
7.1 Per s para a validação com valores outliers. . . 64
7.2 Per s para a validação sem valores outliers. . . 64
7.3 Validação do modelo Linear considerando valores outliers. . . 65
7.4 Validação da Lei de Peukert considerando valores outliers. . . 66
7.5 Validação da Lei de Peukert Estendida considerando valores outliers. . . . 66
7.6 Validação do modelo KiBaM considerando valores outliers. . . 67
7.7 Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula considerando valores outliers. 67 7.8 Validação do modelo Linear sem valores outliers. . . 68
7.9 Validação da Lei de Peukert sem valores outliers. . . 68
7.10 Validação da Lei de Peukert Estendida sem valores outliers. . . 68
7.11 Validação do modelo KiBaM sem valores outliers. . . 69
7.12 Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula sem valores outliers. . . 69
7.13 Análise comparativa entre os modelos . . . 70
7.14 Validação do modelo KiBaM com valores outliers e a metodologia de Kim para a estimação de parâmetros. . . 71
7.15 Validação do modelo KiBaM sem valores outliers e a metodologia de Kim para a estimação de parâmetros. . . 71
Lista de Tabelas 2 7.16 Análise comparativa dos erros do modelo KiBaM considerando a
metodo-logia de estimação de parâmetros MQs não linear e a metodometodo-logia de Kim. 72 7.17 Análise comparativa entre os modelos . . . 72
Lista de Figuras
2.1 Célula eletroquímica, adaptada de [18]. . . 12
2.2 Efeito de recuperação em uma bateria, adaptado de [45]. . . 14
2.3 Con guração básica de um modelo elétrico [18]. . . 17
3.1 Aproximação de correntes de descarga variáveis através de pulsos [18,43]. . 21
3.2 Modelo analítico KiBaM [30,54]. . . 25
4.1 Ilustração de uma distribuição de dados normal [29]. . . 38
4.2 Probabilidades em uma distribuição normal [41]. . . 39
5.1 Fonte responsável por carregar as baterias. . . 46
5.2 Plataforma responsável pelo descarregamento das baterias. . . 46
5.3 Ilustração da imagem interativa gerada pelo software MatLab com o resul-tado da aplicação do teste Tukey. . . 53
Sumário
1 Apresentação da Dissertação 5 1.1 Introdução . . . 5 1.2 Motivação . . . 7 1.3 Objetivos da Dissertação . . . 7 1.3.1 Objetivo Geral . . . 8 1.3.2 Objetivos Especí cos . . . 8 1.4 Contribuições . . . 8 1.5 Estrutura do Documento . . . 9 2 Revisão Bibliográ ca 11 2.1 Introdução . . . 11 2.2 Baterias . . . 112.3 De nições referentes às Baterias . . . 12
2.3.1 Nível de Cuto . . . 12
2.3.2 Tempo de Vida . . . 12
2.3.3 Capacidade . . . 13
2.4 Efeitos Não Lineares . . . 13
2.4.1 Efeito de Recuperação . . . 13
2.4.2 Efeito da Taxa de Capacidade . . . 14
2.5 Tipos de Baterias . . . 14
2.5.1 Baterias de Níquel-Cádmio . . . 14
2.5.2 Baterias de Chumbo-Ácido . . . 15
2.5.3 Baterias de Níquel Metal-Hidreto . . . 15
2.5.4 Baterias de Lítio-Íon . . . 15
2.5.5 Baterias de Lítio Íon Polímero . . . 16
2.6 Categorias de Modelos Matemáticos . . . 16
2.6.1 Modelos Eletroquímicos . . . 16
2.6.2 Modelos Elétricos . . . 16
2.6.3 Modelos Estocásticos . . . 17 2
Sumário 3
2.6.4 Modelos Analíticos . . . 18
2.6.5 Modelos via Teoria de Identi cação de Sistemas . . . 18
2.6.6 Modelos Híbridos . . . 19 2.7 Resumo do Capítulo . . . 19 3 Modelagem Matemática 20 3.1 Introdução . . . 20 3.2 Modelos Matemáticos . . . 20 3.2.1 Modelo Linear . . . 21 3.2.2 Lei de Peukert . . . 22
3.2.3 Lei de Peukert Estendida . . . 22
3.2.4 Modelo KiBaM . . . 25
3.2.5 Modelo de Rakhmatov e Vrudhula . . . 29
3.3 Resumo do Capítulo . . . 33
4 Teoria Estatística 34 4.1 Introdução . . . 34
4.2 Medidas de Tendência Central ou de Posição . . . 35
4.3 Medidas de Dispersão . . . 36
4.4 Dados Outliers . . . 37
4.5 Modelos de Distribuição de Probabilidades . . . 37
4.5.1 Distribuição Normal . . . 37
4.6 Abordagens Estatísticas quanto à Distribuição dos Dados: análise paramé-trica e não paraméparamé-trica . . . 39
4.7 Testes de Hipótese . . . 40
4.7.1 Análise de Variância (ANOVA) . . . 40
4.7.2 Teste de Levene . . . 42
4.7.3 Teste de Shapiro-Wilk . . . 42
4.8 Testes de Comparação de Médias . . . 43
4.8.1 Teste Tukey . . . 43
4.9 Resumo do Capítulo . . . 43
5 Dados Experimentais e Análises Estatísticas 45 5.1 Introdução . . . 45
5.2 Coleta dos Dados Experimentais . . . 45
5.2.1 Plataforma de Testes . . . 45
5.2.2 Metodologia para a Obtenção dos Dados . . . 47
Sumário 4
5.3 Identi cação dos Dados Outliers das Amostras . . . 49
5.4 Reconhecimento das Igualdades e Diferenças Estatísticas entre os Per s de Descarga . . . 50
5.4.1 Aplicação da Análise de Variância . . . 50
5.4.2 Aplicação do Teste de Levene . . . 50
5.4.3 Aplicação do Teste de Shapiro-Wilk . . . 51
5.4.4 Resultados da ANOVA . . . 52
5.4.5 Aplicação do Teste Tukey . . . 52
5.5 Resumo do Capítulo . . . 54
6 Estimação dos Parâmetros dos Modelos 56 6.1 Introdução . . . 56
6.2 Metodologias para a Estimação dos Parâmetros . . . 56
6.3 Resultados das Estimações de Parâmetros . . . 60
6.4 Resumo do Capítulo . . . 62
7 Resultados das Simulações e Análises 63 7.1 Introdução . . . 63
7.2 Per s de Validação e Metodologia Adotada . . . 64
7.3 Validação e Análise comparativa entre os Modelos . . . 65
7.3.1 Análise comparativa entre os modelos . . . 69
7.4 Validação do modelo KiBaM e nova análise comparativa entre os modelos . 70 7.4.1 Nova análise comparativa entre os modelos . . . 72
7.5 Resumo do Capítulo . . . 73
8 Conclusões e Trabalhos Futuros 75 Referências Bibliográ cas 77 A Publicações Relacionadas à Dissertação 83 A.1 Artigos Aceitos em Eventos . . . 83
Capítulo 1
Apresentação da Dissertação
1.1 Introdução
O uso de dispositivos eletrônicos portáteis, como celulares, tablets e notebooks, tem aumentado exponencialmente nos últimos anos. Isto ocorre devido a suas diversas funcio-nalidades, como a possibilidade de executar aplicativos, tirar fotos, gravar vídeos, acessar internet, além da possibilidade de realizar tarefas básicas, como efetuar ligações e enviar mensagens de texto, tudo de maneira cômoda, rápida e prática. Outra vantagem destes aparelhos é o fato de serem alimentados por fontes de energia portáteis, ou seja, baterias, que permitem a mobilidade durante seu uso. Entretanto, estas baterias possuem quanti-dades nitas de carga, sendo necessária sua recarga através de uma fonte de energia, após determinados períodos de tempo de uso do dispositivo. Além disto, as diversas funciona-lidades presentes nos aparelhos contribuem para o aumento do consumo de energia das baterias, fazendo assim com que seu tempo de descarga, também chamado de tempo de vida, seja reduzido.
Neste sentido, é importante o conhecimento de ferramentas que realizam a predição do tempo de vida de baterias, objetivando veri car por quanto tempo o dispositivo ele-trônico poderá car em funcionamento sem a necessidade de conectá-lo a uma fonte de energia. Para a realização dessas predições, uma possibilidade é o uso de experimentos físicos, entretanto, essa alternativa é pouco viável devido ao alto custo de planejamento, implementação e gestão [13]. Outra opção para o estudo do tempo de vida de baterias é a utilização de modelos matemáticos, que é uma alternativa bastante útil, visto que a partir de um conjunto reduzido de dados experimentais e de características físicas das baterias é possível modelar o seu comportamento de descarga e consequentemente predizer seu tempo de vida.
Na literatura técnica são encontradas seis categorias de modelos matemáticos que são utilizados para a predição do tempo de vida de baterias: os eletroquímicos [18, 23], os
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 elétricos [3, 4, 18], os estocásticos [18, 23], os analíticos [14, 19, 30, 43], os via teoria de identi cação de sistemas [28, 46], e os híbridos [16, 20, 55]. Neste contexto, destaca-se que o Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC) da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) tem desenvolvido diversas pesquisas relacionadas à predição do tempo de vida de baterias através do uso desses modelos matemáticos. Além disto, também foi desenvolvida uma plataforma de testes para a coleta de dados de descargas de baterias, a m de possibilitar a validação dos modelos.
Os trabalhos desenvolvidos contemplam as categorias dos modelos elétricos, analíticos, via identi cação de sistemas e híbridos. Quanto aos modelos elétricos, pode-se citar as pesquisas de Porciuncula [42], Brondani [3] e Wottrich [53]. Quanto aos modelos via identi cação de sistemas, os trabalhos de Romio [46], Machado [28] e Kuhn [21]. Considerando os modelos híbridos, as pesquisas de Duarte [8], Fransozi [11], Kusiak [22] e Gomes [17]. E por m, relacionados à categoria dos modelos analíticos, que são o objeto de estudo desta dissertação, estão os trabalhos de Schneider [48], Oliveira [39], Silva [49], Freitas [13] e Zart [54].
Considerando os modelos analíticos, Schneider [48] aplicou e validou os modelos Linear, Lei de Peukert, e de Rakhmatov e Vrudhula (i.e., RV) considerando baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) a partir de dados experimentais de correntes de descarga constantes obtidos de uma plataforma de testes, observando que o modelo RV é o mais acurado. Em seguida, Oliveira [39] comparou duas metodologias para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos estudados por Schneider, o método dos Mínimos Quadrados e o método de Gauss, para a validação dos modelos utilizou correntes de descarga constantes e variáveis em suas análises, observando também que o modelo RV é o mais acurado. Mais tarde, Silva [49] propôs um método para a estimação dos parâmetros do modelo RV, denominado Método da Procura em Rede Melhorado, que é uma extensão do Método Procura em Rede Modi cado, obtendo bons resultados de acurácia. Freitas [13], por sua vez, sugeriu uma nova solução para modelo Kinetic Battery Model (KiBaM), através do método de variação de parâmetros, e para o modelo RV utilizando o método de Fourier, além disso propôs uma extensão para a Lei de Peukert, a qual foi denominada Lei de Peukert Estendida, encontrando bons resultados de acurácia para todos os modelos aplicados. Por m, Zart [54] realizou uma análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV, sob o mesmo cenário de simulação, utilizando correntes de descarga constantes e variáveis. Entretanto, em sua pesquisa, Zart encontrou resultados inesperados, como o fato do modelo KiBaM, por exemplo, apresentar resultados inferiores ao modelo Linear, sendo que o modelo KiBaM é desenvolvido através de um sistema de equações diferenciais ordinárias e possui uma modelagem física, que considera diversos fatores da descarga de uma bateria, enquanto o modelo Linear é um modelo
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 empírico, bastante simples, que sequer considera os principais efeitos não lineares de um processo de descarga.
Neste sentido, visando dar continuidade às pesquisas desenvolvidas no GAIC, e ao trabalho de Zart [54], o objetivo principal dessa dissertação é realizar uma análise com-parativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV, com o diferencial de utilizar a teoria Estatística nos estudos, ampliando signi cativamente os recursos para a análise dos dados experimentais e os resultados para a estimação dos parâmetros empíricos e validação dos modelos, assim como a análise comparativa, de maneira ampla, segura e con ável. As simulações dos modelos são reali-zadas no software de computação algébrica e numérica MatLab, a validação dos modelos é efetuada comparando os resultados simulados com os dados experimentais obtidos da plataforma de testes, considerando per s de correntes de descargas constantes de baterias de Lítio Íon Polímero (Li-Po), com o propósito de veri car qual modelo analítico realiza a predição do tempo de vida de baterias de forma mais acurada.
O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação desta pesquisa. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos geral e especí cos. Na Seção 1.4 são descritas as contribuições e, por m, na Seção 1.5 é apresentada a estrutura deste documento.
1.2 Motivação
Os dispositivos eletrônicos móveis possuem bastante utilidade no cotidiano das pessoas, devido principalmente aos diversos recursos que oferecem, de forma prática e fácil, além da questão da mobilidade, que permite ao usuário a utilização do aparelho em qualquer lugar. Entretanto, esta mobilidade é limitada e dependente da capacidade da bateria. Neste sentido, é importante o estudo do comportamento de descarga da mesma, bem como, de seu tempo de vida, e um recurso disponível na literatura é a modelagem matemática.
Nesse contexto, essa pesquisa ter por motivação contribuir com o estudo do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, apresentando diversos recursos para a análise de modelos matemáticos presentes na literatura técnica, a m de avaliá-los com segurança, sendo possível indicar os que apresentam maior e ciência ao realizar a modelagem em questão.
1.3 Objetivos da Dissertação
Nesta seção, é apresentado o objetivo geral deste trabalho, bem como, os objetivos especí cos para a realização do objetivo geral.
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8
1.3.1 Objetivo Geral
Realizar a modelagem matemática envolvendo cinco modelos analíticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias, i.e., Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e de Rakhmatov e Vrudhula, ampliando os recursos para a estimação e validação dos modelos, fazendo uso da Teoria Estatística, a m de confrontar a e cácia de cada modelo em relação aos demais de maneira ampla, segura e con ável.
1.3.2 Objetivos Especí cos
• Realizar uma revisão bibliográ ca a m de conhecer os modelos de baterias exis-tentes e suas características, assim como as categorias de modelos matemáticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias;
• Estudar os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV;
• Determinar os critérios estatísticos para utilizar no tratamento dos dados e na análise comparativa dos modelos;
• Obter os dados experimentais, a m de analisá-los sob a ótica da Estatística e, posteriormente, utilizá-los na estimação dos parâmetros empíricos, assim como, na validação dos modelos analíticos em questão;
• Utilizar diferentes quantidades de dados na estimação dos parâmetros, veri cando o efeito destes conjuntos de estimação sobre o erro nal de cada modelo;
• Analisar as características dos erros obtidos na validação de cada modelo, a m de utilizar a medida de tendência central mais indicada para determinar a imprecisão dos modelos em cada caso;
• Apresentar os resultados obtidos, bem como as conclusões oriundas desta pesquisa.
1.4 Contribuições
As contribuições desta dissertação para o estudo do tempo de vida de baterias, através dos modelos matemáticos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e de Rakhmatov e Vrudhula, são:
1. Identi cação de valores outliers1 entre tempos de vida experimentais de um per l
de descarga;
1Outliers são valores que apresentam discrepância quando comparados aos demais dados de um mesmo
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 2. Veri cação da existência de distribuição normal entre os tempos de vida
experimen-tais de per s de descarga, utilizando o teste de hipótese de Shapiro-Wilk;
3. Veri cação da normalidade dos erros de validação de modelos analíticos, também utilizando o teste de Shapiro-Wilk, a m de utilizar a medida de tendência central adequada para representar os erros nais dos modelos;
4. Identi cação de igualdades e diferenças estatísticas entre per s de descarga cons-tantes, através da aplicação da Análise de Variância e do uso do teste Tukey, após o teste ANOVA ter seus critérios de aplicação satisfeitos;
5. Investigação da metodologia mais adequada para a estimação dos parâmetros do modelo KiBaM;
6. Validação dos modelos frente a diferentes quantidades de dados na estimação; 7. Análise dos erros dos modelos considerando per s de descarga com e sem valores
outliers na validação.
1.5 Estrutura do Documento
Esta dissertação apresenta a seguinte estrutura.
No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográ ca acerca de baterias, suas caracte-rísticas, conceitos relacionados, os principais efeitos não lineares que podem in uenciar a capacidade utilizada durante um processo de descarga, os tipos de baterias existentes e as categorias de modelos matemáticos utilizados na predição do tempo de vida de baterias. No Capítulo 3 são apresentados os cinco modelos analíticos analisados neste trabalho, ou seja, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo KiBaM e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula, conjuntamente com suas equações e soluções algébricas.
No Capítulo 4 é abordada a teoria Estatística utilizada neste trabalho, de modo que, além dos recursos empregados, também são apresentados os contextos dos mesmos na Estatística.
No Capítulo 5 são apresentados os dados experimentais obtidos, bem como os resul-tados das análises estatísticas realizadas sobre eles.
No Capítulo 6 são apresentados a estimação dos parâmetros empíricos dos modelos e os valores obtidos para os mesmos após a aplicação dos métodos de estimação.
No Capítulo 7 são apresentados as validações dos modelos, assim como os resultados obtidos e as análises comparativas realizadas.
Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10 Por m, no Capítulo 8, são apresentadas as conclusões desta dissertação e a indicação de trabalhos futuros.
Capítulo 2
Revisão Bibliográ ca
2.1 Introdução
Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográ ca que permite uma visão mais ampla acerca de questões referentes a baterias, tais como, composição, conceitos, tipos presentes no mercado, e os efeitos não lineares envolvidos em um processo de descarga. Também é realizada uma exposição sobre as categorias de modelos presentes na literatura técnica para realizar a predição do tempo de vida de baterias.
Neste sentido, este capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2 há uma expli-cação referente ao conceito de baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas algumas de nições relacionadas às baterias, tais como: nível de cuto, tempo de vida e capacidade. Na Seção 2.4 são descritos os dois principais efeitos não lineares que ocorrem em um processo de descarga, são eles: o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade. Na Seção 2.5 são expostos os cinco principais tipos de baterias existentes no mercado. Na Seção 2.6 são apresentadas as seis categorias de modelos matemáticos presentes na literatura para a modelagem do tempo de vida de baterias. E, por m, na Seção 2.7 há um resumo do capítulo.
2.2 Baterias
Baterias são dispositivos compostos por células eletroquímicas, que convertem energia química em energia elétrica, conectadas em série ou em paralelo, ou através de uma combinação de ambas [2,3,13,45]. Elas fornecem energia para diferentes tipos de sistemas. Uma célula eletroquímica é formada por dois condutores, um positivo (cátodo), e outro negativo (ânodo), e um eletrólito (Figura 2.1).
A partir de reações no interior da célula, os elétrons se movem, na forma de íons, do ânodo para o cátodo, através do eletrólito, gerando corrente elétrica para o sistema que
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 12
Figura 2.1: Célula eletroquímica, adaptada de [18].
será alimentado. A diferença entre os potenciais elétricos gerados pelos eletrodos é o que determina a tensão da bateria, expressa em volts (V) [13,18,19].
Quanto à capacidade da bateria, que indica a quantidade de carga armazenada na mesma, espera-se que seja utilizada integralmente independentemente da corrente de des-carga utilizada. Contudo, na prática isto não acontece, pois quanto maior for a corrente de descarga, menor será a capacidade da bateria, podendo haver desperdício de energia. Este fenômeno acontece devido aos efeitos não lineares presentes na descarga [18, 19, 26], os quais serão apresentados na Seção 2.4.
2.3 De nições referentes às Baterias
Para o estudo do tempo de vida de baterias, é necessária a compreensão de algumas de nições, que são apresentadas a seguir.
2.3.1 Nível de Cuto
O nível de cuto de uma bateria é a quantidade mínima de carga disponível para manter um dispositivo em funcionamento, ou seja, ao atingir este nível, a bateria é con-siderada descarregada [45]. Entretanto, isto não signi ca que a bateria não possua carga alguma, ela apenas não possui energia su ciente para manter o dispositivo em atividade.
2.3.2 Tempo de Vida
O tempo de vida de uma bateria corresponde ao tempo decorrido durante um processo de descarga, ocorre entre o nível máximo inicial de carga que a bateria possui, até seu
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 13 nível mínimo de carga (cuto ).
2.3.3 Capacidade
A capacidade da bateria indica a quantidade de carga armazenada na mesma. A capacidade nominal ou teórica representa a quantidade máxima de energia que a bateria pode disponibilizar [23]. Exempli cando, a partir de uma bateria de capacidade nominal de 800 mAh é possível extrair 800 mA (ou 0, 8 A) durante uma hora.
A capacidade teórica pode ser aproveitada em sua totalidade ou pode haver desperdício de energia durante o processo de descarga. Isto dependerá, principalmente, do impacto dos efeitos não lineares (cf. Seção 2.4) [18].
2.4 Efeitos Não Lineares
Em um processo de descarga podem acontecer efeitos não lineares que impactam na capacidade da bateria. Os dois principais efeitos são o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade.
2.4.1 Efeito de Recuperação
O efeito de recuperação corresponde à reorganização dos elétrons na bateria quando ocorre um período de relaxação, ou seja, quando a corrente de descarga é baixa ou nula. Este processo de reorganização faz com que a capacidade da bateria seja melhor apro-veitada [18, 23, 26]. Uma ilustração deste efeito não linear pode ser observada na Figura 2.2.
Na Figura 2.2(a) observa-se que a bateria está completamente carregada; na Figura 2.2(b) ocorre um descarregamento; após, na Figura 2.2(c), há um momento de relaxação, e os elétrons se reorganizam ocorrendo então o efeito de recuperação. Após isto, a bateria pode seguir descarregando e o efeito de recuperação pode acontecer mais vezes se houver outros períodos de relaxação, assim até atingir o nível de cuto (cf. Figura 2.2(d)).
Na Figura 2.2(d) é possível observar que ainda há elétrons no interior da bateria, mas que, por estarem desorganizados, não conseguem mais fornecer energia ao dispositivo. Desta maneira, se não houver momento de relaxação ou de diminuição da taxa de descarga, os elétrons que são fornecidos para o sistema (representados na posição x = 0 da Figura 2.2(b)) tendem a se esgotar, cessando as reações eletroquímicas presentes no interior da bateria, mesmo ainda havendo carga que poderia ter sido disponibilizada. Logo, correntes de descarga baixas ou variantes no tempo tendem a aproveitar melhor a capacidade de uma bateria.
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 14
Figura 2.2: Efeito de recuperação em uma bateria, adaptado de [45].
2.4.2 Efeito da Taxa de Capacidade
Ao contrário do efeito de recuperação, o efeito da taxa de capacidade acontece sob altas correntes de descarga. Como não há a reorganização dos elétrons em correntes de descarga de alta magnitude, a capacidade da bateria tende a ser reduzida, havendo uma sobra de energia não aproveitada pelo dispositivo. A esta relação entre um per l de descarga alto e a capacidade da bateria, dá-se o nome de efeito da taxa de capacidade [18,23].
2.5 Tipos de Baterias
As baterias possuem diversas aplicações, neste sentido, há diversos tipos de baterias no mercado. Nesta seção são apresentados os principais tipos encontrados na literatura.
2.5.1 Baterias de Níquel-Cádmio
Nas baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd), o cátodo é feito de hidróxido de níquel; o ânodo, de cádmio; e o eletrólito é uma solução de hidróxido de potássio, sendo que sua quantidade pode ser reduzida ao mínimo, pois não sofre nenhuma mudança química. A tensão elétrica média destas baterias é de aproximadamente 1, 2 V [2].
A bateria de Ni-Cd foi uma das primeiras baterias utilizadas em eletrônicos portáteis, entretanto, nas últimas décadas, perdeu espaço no mercado devido a sua baixa densidade de energia e alta toxidade. Por outro lado, como vantagens desta bateria, pode-se citar seu baixo custo e sua capacidade para suportar altas taxas de descarga [23], além de
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 15 ser possível utilizá-las em temperaturas extremas, sob condições em que há vibrações ou em aplicações que tenham longos períodos de inatividade, o que faz com que possam ser utilizadas para a iluminação em vagões ferroviários, rádios portáteis militares, dentre outros [2].
2.5.2 Baterias de Chumbo-Ácido
As baterias de Chumbo-Ácido são amplamente utilizadas em veículos, desempenham sua função de forma con ável e têm uma tensão comparativamente alta, de cerca de 2 V por célula [24]. Nestas baterias, o ânodo tem um chumbo esponjoso como material ativo, enquanto o cátodo tem um material ativo de dióxido de chumbo. Os eletrodos são imersos em um eletrólito de ácido sulfúrico diluído.
Os principais materiais constituintes neste tipo de bateria (chumbo, ácido sulfúrico e um recipiente de plástico) não são caros, o que consequentemente faz com que a bateria não tenha custo elevado. Uma das características mais notáveis da bateria de chumbo-ácido é sua resistência interna extremamente baixa. Isto signi ca que a queda na tensão é pequena à medida que a corrente é extraída [24].
2.5.3 Baterias de Níquel Metal-Hidreto
As baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) são as baterias popularmente conhecidas como pilhas recarregáveis, e têm aplicação principalmente em telefones sem o e câmeras digitais.
Estas baterias possuem maior densidade de energia quando comparadas às baterias de Ni-Cd (cerca de duas vezes). Entretanto, não possuem e ciência sob altas taxas de descarga, possuem menor ciclo de vida e maior custo [23].
2.5.4 Baterias de Lítio-Íon
As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) possuem grande densidade de energia, alta potência, vida útil longa (cerca de duas vezes mais que as baterias de Ni-MH) e, por isso, come-çaram a ser amplamente utilizadas em dispositivos eletrônicos móveis, como celulares e notebooks, apesar de seu custo ser superior às baterias de Ni-MH e serem mais sensíveis a diferentes taxas de descarga. Além disso, devido à vida útil mais extensa, não representam grande risco ao meio ambiente [23,27,50].
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 16
2.5.5 Baterias de Lítio Íon Polímero
Baterias de Lítio Íon Polímero (Li-Po) possuem em seu eletrólito uma combinação de polímero com gel. O polímero pode ser à base de fosfato, de manganês ou de cobalto. Estas baterias podem ser fabricadas ultra- nas e exíveis, o que permite tornar os aparelhos eletrônicos portáteis mais leves. Quanto ao desempenho, são semelhantes às baterias de Li-Ion, sendo, porém, mais densas quando comparadas com uma bateria de Li-Ion de mesmo tamanho [11, 23, 28]. Para a realização desta pesquisa, foi utilizado este tipo de bateria.
2.6 Categorias de Modelos Matemáticos
Nesta seção, são apresentadas as seis categorias de modelos matemáticos presentes na literatura técnica, utilizados para a predição do tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis, sendo eles: os eletroquímicos, os elétricos, os estocásticos, os analíticos, os via teoria de identi cação de sistemas e os híbridos.
2.6.1 Modelos Eletroquímicos
Os modelos eletroquímicos visam representar, com detalhes, os processos químicos que acontecem no interior da bateria. Estes modelos consideram, além dos processos eletroquímicos, os processos termodinâmicos e a construção física das baterias [18, 23]. Isto faz com que eles sejam bastante éis ao que está sendo modelado; portanto, faz com que possuam alta acurácia.
Em contrapartida, os modelos eletroquímicos acabam por ser complexos e de difícil manipulação. Por exemplo, há modelos eletroquímicos com um conjunto de seis equações diferenciais ordinárias (EDOs) não lineares acopladas [18], sendo necessário estimar mais de 50 parâmetros referentes às baterias para ser possível simular o modelo. Além disso, modelos eletroquímicos normalmente são construídos para determinados tipos de baterias, não tendo aplicação mais abrangente ou generalizada [23].
2.6.2 Modelos Elétricos
Modelos elétricos representam a descarga de baterias associando-as a circuitos elétri-cos. Dentre os modelos que se destacam na literatura técnica, estão o modelo Battery [3] e o modelo para Predizer Runtime e Características V-I (i.e., tensão e corrente) de uma bateria [3,4,13].
Basicamente, nestes modelos, a capacidade da bateria está relacionada a um capacitor, a capacidade perdida quando há altas correntes de descarga está relacionada a um
nor-Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 17 malizador de taxa de descarga, a resistência da bateria está associada a um resistor, e a tensão versus o estado da carga estão relacionadas a uma tabela de pesquisa [18]. Modelos elétricos também são capazes de levar em consideração, em sua modelagem, o número de ciclos de uma bateria (quantidade de vezes em que ela é carregada e descarregada), sua resistência interna e suas características térmicas [23].
Na Figura 2.3, é possível observar uma con guração básica para modelos elétricos, sendo que é possível, com pequenas mudanças, completar o modelo para células de bateria especí cas [18].
Figura 2.3: Con guração básica de um modelo elétrico [18].
2.6.3 Modelos Estocásticos
Modelos estocásticos descrevem as baterias de maneira abstrata, na qual a descarga e o efeito de recuperação são descritos de maneira estocástica (ou probabilística) [18]. Estes modelos são precisos devido ao fato de considerarem características das baterias em seu processo de modelagem.
Nos modelos estocásticos, a capacidade da bateria é representada por um número nito de unidades de carga e o comportamento de descarga é modelado utilizando um processo estocástico transiente discreto no tempo [23].
Nestes modelos, conforme o processo estocástico evolui ao longo do tempo, as unidades que representam a carga da bateria são monitoradas e, de acordo com a taxa média da corrente de descarga, unidades podem ser acrescentadas ou eliminadas, conforme o que é indicado em uma tabela (ou em um grá co). Se a taxa média da corrente de descarga for
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 18 baixa, então o modelo adiciona unidades de carga para a bateria (efeito de recuperação), levando em consideração uma função de densidade probabilística de forma exponencial decrescente que, por sua vez, considera o estado da carga (SOC) e coe cientes referentes ao tipo de bateria que está sendo modelado [23]. Neste sentido, modelos estocásticos são capazes de modelar descargas variáveis, levando em consideração os efeitos não lineares presentes em uma descarga.
2.6.4 Modelos Analíticos
Modelos analíticos recebem este nome por serem constituídos de equações. Estas equações podem ser simples, como a que descreve o modelo Linear [13, 18, 54], que não considera os efeitos não lineares presentes em um processo de descarga; como podem ser mais complexas, como as que descrevem o modelo de Rakhmatov e Vrudhula [43], que é formado por um sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) e considera os principais efeitos não lineares da descarga de uma bateria.
Os modelos analíticos possuem maior abstração em relação aos modelos eletroquímicos e elétricos, e devido a serem formados apenas por equações, possuem fácil compreensão e implementação computacional [18]. Inclusive, possuem exibilidade para se adaptar a diferentes tipos de baterias, sendo considerados de boa acurácia. Devido a isto, foram escolhidos modelos desta categoria para serem analisados nesta pesquisa.
Na Seção 3.2, os modelos analíticos já citados nesta seção (i.e., Linear, e de Rakhma-tov e Vrudhula), assim como outros modelos analíticos (Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida e KiBaM), serão descritos com maior riqueza de detalhes.
2.6.5 Modelos via Teoria de Identi cação de Sistemas
Modelos via teoria de identi cação de sistemas visam relacionar as causas (variáveis de entrada) e os efeitos (variáveis de saída) presentes em um sistema dinâmico. Para o desenvolvimento destes modelos, é utilizada a modelagem caixa preta ou a modelagem caixa cinza [13,28]. A modelagem caixa preta considera apenas as variáveis de entrada e de saída do sistema, sem levar em consideração qualquer lei física ou química que possa governar o fenômeno a ser modelado. E a modelagem caixa cinza, além de considerar as variáveis de entrada e de saída, também considera algumas características físicas ou químicas do fenômeno [1].
Dentre os tipos de modelos presentes na teoria de identi cação de sistemas, estão os paramétricos lineares, os paramétricos não lineares e os modelos não paramétricos. Conforme Machado [28], dentre os modelos paramétricos lineares é possível citar: o Au-toRregressivo (AR), o AuAu-toRregressivo com entradas eXternas (ARX), o AuAu-toRregressivo
Capítulo 2. Revisão Bibliográ ca 19 com MédiAs móveis e entradas eXternas (ARMAX), o de Erro na Saída (ES) e o Box Jenkins (BJ). Dentre os modelos paramétricos não lineares, estão: o AutoRregressivo com entradas eXternas Não linear (NARX) e o modelo AutoRregressivo com MédiAs móveis e entradas eXternas Não linear (NARMAX). E, em relação aos modelos não paramétricos, pode-se citar o modelo de Análise Espectral.
Machado [28] e Romio [46] desenvolveram estudos em que utilizaram a teoria de identi- cação de sistemas na modelagem do tempo de vida de baterias. Os trabalhos envolveram modelos pertencentes à estrutura de modelos paramétricos lineares, do tipo ARX. Romio chegou a obter, com seu modelo, acurácia superior ao modelo de Rakhmatov e Vrudhula, que é considerado de alta acurácia pela literatura técnica [18,46].
2.6.6 Modelos Híbridos
Os modelos híbridos são constituídos pela junção de pelo menos dois modelos mate-máticos. Sua vantagem consiste em poder juntar as qualidades de diferentes modelos em um só.
Kim [20], Zhang [55] e Gomes [16] desenvolveram modelos híbridos combinando o mo-delo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com momo-delos analíticos. Kim relacionou o modelo KiBaM com o modelo Runtime, Zhang relacionou o modelo de Rakh-matov e Vrudhula com o modelo Runtime, e Gomes relacionou o modelo Lei de Peukert Estendida com o modelo Runtime.
A relevância destes estudos consiste em unir em apenas um modelo as vantagens do modelo elétrico (capacidade de capturar as características dinâmicas da bateria, como respostas transientes e tensão em circuito aberto) e a vantagem dos modelos analíticos (considerar os efeitos não lineares presentes na descarga de uma bateria).
2.7 Resumo do Capítulo
Neste capítulo foram apresentadas questões importantes para a compreensão de con-ceitos utilizados nesta pesquisa, como o de bateria, o de nível de cuto, o de tempo de vida e o de capacidade, assim como os efeitos de recuperação e da taxa de capacidade. Tam-bém foram apresentados diferentes tipos de baterias presentes no mercado e as diferentes categorias de modelos matemáticos presentes na literatura técnica para a modelagem ma-temática do tempo de vida. Concomitantemente, foi apresentando o tipo de bateria e a categoria de modelo que são objetos de estudo desta dissertação, ou seja, as baterias de Lítio Íon Polímero e os modelos analíticos.
Capítulo 3
Modelagem Matemática
3.1 Introdução
A modelagem matemática é uma área do conhecimento que tem por objetivo descrever sistemas reais a m de predizer o seu comportamento futuro. Ela é empregada em diversos campos da ciência, tais como, física, química, biologia, economia e engenharias. Neste sentido, destaca-se que uma de suas aplicações consiste na predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Dentre as categorias de modelos matemáticos existentes na literatura técnica para a predição do tempo de vida de baterias, estão os modelos analíticos, que possuem fácil compreensão e implementação computacional, e menos parâmetros para serem estimados, além de apresentarem boa acurácia, podendo ser empregados e adaptados em diversos tipos de baterias.
O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são apresentados os modelos analíticos, assim como as suas equações, os modelos são, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo KiBaM e o modelo RV. Na Seção 3.3 é apresentado um resumo do capítulo.
3.2 Modelos Matemáticos
Nesta seção são descritos os cinco modelos analíticos: Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e RV. Tais modelos compõem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta dissertação para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, utilizadas em dispositivos móveis.
Capítulo 3. Modelagem Matemática 21
3.2.1 Modelo Linear
O modelo Linear é o modelo mais simples dentre os analíticos. A modelagem do tempo de vida de uma bateria é feita considerando-se uma descarga ideal, deste modo, este modelo não contempla os efeitos não lineares presentes em uma descarga [18,19,54].
O modelo é deduzido a partir de
C = Ci− Itd, (3.1)
em que: C é a capacidade restante na bateria, Ci é a capacidade inicial (único parâmetro
empírico do modelo a ser estimado), I é a corrente de descarga constante, e td é o tempo
de duração da corrente aplicada.
Após a bateria ser descarregada, a variável C será nula e td será igual ao tempo de
vida L da bateria. Desta maneira, substituindo as igualdades C = 0 e td = Lna equação
(3.1), obtém-se
L = Ci
I , (3.2)
que é a equação que representa o modelo Linear, na qual L é o tempo de vida da bateria dependente da capacidade inicial e da taxa de descarga [54].
Para simular o modelo Linear utilizando per s de descargas variáveis utiliza-se a me-todologia de [43], na qual os per s variáveis são aproximados através de funções pulso de amplitude Ik, com k = 0, 1, ..., n, conforme pode ser observado na Figura 3.1.
Figura 3.1: Aproximação de correntes de descarga variáveis através de pulsos [18,43]. Considerando a função degrau U(t)
U (t) = 0, se t < 0
Capítulo 3. Modelagem Matemática 22 a corrente de descarga aproximada i(t) que é representada pelos pulsos pode ser calculada através da equação i(t) = n X k=1 Ik−1[U (t − tk−1) − U (t − tk)], (3.4)
em que: U(t − tk−1) e U(t − tk) são funções degrau deslocadas que, quando subtraídas e
multiplicadas pela amplitude Ik−1, determinam as funções pulso da Figura 3.1.
Assim, para a aplicação do modelo Linear considerando correntes de descarga variáveis, a corrente I é substituída na equação (3.2) pela média ponderada dos pulsos representados pela equação (3.4), que aproximam as descargas variáveis, e o modelo é dado por
L = hPn Ci
k=1Ik−1(tk−tk−1) L
i . (3.5)
3.2.2 Lei de Peukert
Na Lei de Peukert [13,18,19,23] é considerado apenas um efeito não linear na descarga de uma bateria (o efeito da taxa de capacidade). Este modelo é descrito pela equação
L = a
Ib, (3.6)
em que: a e b são os parâmetros empíricos a serem estimados e representam, respectiva-mente, a capacidade da bateria e o coe ciente de Peukert, L é o tempo de vida, e I é a corrente de descarga.
Idealmente, b deve ser igual a 1 e a deve ser o valor exato da capacidade da bate-ria, entretanto, b normalmente possui valor maior que 1 e a é um valor aproximado da capacidade da bateria [48].
Para simular a Lei de Peukert com correntes de descarga variáveis, o processo é análogo ao adotado no modelo Linear, as correntes de descarga variáveis são aproximadas por pulsos e substitui-se I, na equação (3.6), pela média ponderada dos pulsos obtendo-se
L = a
hPn
k=1Ik−1(tk−tk−1) L
ib. (3.7)
3.2.3 Lei de Peukert Estendida
Freitas [14], em seu trabalho, utilizou a minimização funcional por comparação de derivadas de 1a e 2a ordem da equação (3.6), a m de aprimorar e melhorar a acurácia
do modelo original Lei de Peukert, obtendo a Lei de Peukert Estendida, que também contempla o efeito não linear da taxa de capacidade em sua modelagem.
Capítulo 3. Modelagem Matemática 23 Para estender o modelo [13,14,54], Freitas, na equação (3.6), evidenciou I à esquerda
I = (a L)
1
b. (3.8)
Em seguida, calculou a derivada de 1a ordem de (3.8), em relação a L, obtendo
dI dL = − 1 bL a L 1b , (3.9)
e multiplicou ambos os membros da equação (3.9) por −L, e considerando (a L) 1 b = I, obteve − LdI dL = I b ⇒ −L dI dL− I b = 0. (3.10)
Para determinar a derivada de 2a ordem, foi realizada a derivada da equação (3.9)
d2I dL2 = 1 bL2 a L 1b + 1 L2b2 a L 1b , (3.11)
na sequência, substituindo (3.8) em (3.11) e multiplicando ambos os membros de (3.11) por L2, obteve-se L2d 2I dL2 = I b + I b2 ⇒ L 2d2I dL2 = Ib + I b2 (3.12) e, por m, L2d 2I dL2 − I b + 1 b2 = 0. (3.13)
Seguindo os cálculos de Freitas, comparando as equações (3.10) e (3.13), tem-se − LdI dL − I b = L 2d2I dL2 − I b + 1 b2 ⇒ L 2d2I dL2 + L dI dL = − I b + I b + 1 b2 , (3.14) e, L2d 2I dL2 + L dI dL = − I b + I b + I b2 ⇒ L 2d2I dL2 + L dI dL − I b2 = 0. (3.15)
A equação (3.15) é uma equação diferencial ordinária de Cauchy-Euller. Logo, pode-se resolvê-la considerando a substituição
L = ex⇒ x = ln(L), (3.16)
da qual é possível obter
dI dL = 1 L dI dx (3.17)
Capítulo 3. Modelagem Matemática 24 e d2I dL2 = 1 L2 d2I dx2 − I(x) . (3.18)
Substituindo (3.17) e (3.18) em (3.15) e realizando as simplicações cabíveis, chega-se em
d2I
dx2 −
I
b2 = 0, (3.19)
cuja equação característica é
m2− 1
b2 = 0 ⇒ m = ±
1
b (3.20)
e a solução é dada por
I(x) = C1e 1
bx+ C2e −1
b x. (3.21)
Voltando à variável independente L, substitui-se (3.16) em (3.21) e, aplicando propri-edades dos logaritmos, tem-se
I(L) = C1L 1 b + C2L− 1 b. (3.22) Como L > 0, L1
b > 0, assim, multiplicando ambos os membros da equação (3.22) por
L1b, obtém-se IL1b = C1 L1b 2 + C2 ⇒ C1 L1b 2 − IL1b + C2 = 0. (3.23)
Por simpli cação, substituindo L1
b = y em (3.23), obtém-se uma equação de 2◦ grau,
dada por C1y2− Iy + C2 = 0, (3.24) cuja solução é y = I ± √ I2− 4C 1C2 2C1 ⇒ L1b = I ± √ I2− 4C 1C2 2C1 , (3.25)
em que o sinal − à esquerda do radical é adotado convenientemente [13].
Assim, o modelo Lei de Peukert Estendida desenvolvido por Freitas [14], para correntes de descarga constantes, é dado por
L = I − √ I2− 4C 1C2 2C1 b , (3.26)
em que: C1 é o coe ciente de ajuste não linear, C2 é a capacidade análoga à capacidade
física da bateria e b é o coe ciente de Peukert, sendo estes os três parâmetros empíricos a serem estimados a partir de dados experimentais. L e I são os mesmos de nidos nos outros modelos, isto é, tempo de vida e corrente, respectivamente.
substitui-Capítulo 3. Modelagem Matemática 25 se I em (3.26) pela média ponderada das aproximações por pulsos das correntes variáveis, do tempo 0 até L [14,43,44]. Assim, obtém-se o modelo
L = Pn k=1Ik−1(tk−tk−1) L − r hPn k=1Ik−1(tk−tk−1) L i2 − 4C1C2 2C1 b . (3.27)
3.2.4 Modelo KiBaM
O modelo cinético de bateria de Manwell e McGowan [30] (Kinetic Battery Mo-del/KiBaM) foi desenvolvido a m de modelar os processos químicos presentes em baterias de chumbo-ácido. Este modelo considera a carga da bateria distribuída em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Observa-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1−c é distribuída na fonte de carga limitada. Este modelo pode ser descrito a partir da Figura 3.2, em que:
Figura 3.2: Modelo analítico KiBaM [30,54].
y1(t) é a carga disponível da bateria na fonte 1, y2(t) é a carga limitada na fonte 2, h1(t)
e h2(t) são as alturas das fontes.
Durante a descarga da bateria, y2(t) fornece elétrons para y1(t) e esta, por sua vez,
fornece energia à corrente i(t) que alimenta o sistema/dispositivo. Assim, k é o uxo entre as cargas disponível e limitada. A bateria é considerada descarregada quando a carga disponível se torna nula, ou seja, y1(t) = 0.
Sempre que há um período de relaxação, ou seja, um período em que a corrente de descarga é reduzida signi cativamente ou anulada, a carga da fonte limitada ui para a fonte de carga disponível até que as alturas h1(t)e h2(t)sejam novamente iguais, fazendo
com que o sistema tenha mais carga disponível, este processo é conhecido por efeito de recuperação. Em contraponto, se a corrente de descarga for mantida alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, de modo que não haverá tempo para a carga
Capítulo 3. Modelagem Matemática 26 da fonte limitada uir para a disponível, sendo reduzida assim a capacidade da bateria, podendo a bateria atingir seu nível de cuto (i.e., y1(t) = 0) antes de y2(t) fornecer toda
a sua capacidade para y1(t). Neste sentido, percebe-se o efeito da taxa de capacidade
também sendo contemplado pelo modelo KiBaM.
Para a realização da modelagem [11,30], faz-se o seguinte balanço de massa no sistema dy1(t)
dt = −i(t) + k(h2(t) − h1(t)) dy2(t)
dt = −k(h2(t) − h1(t))
. (3.28)
Como as cargas y1(t)e y2(t)são representadas por y1(t) = ch1(t)e y2(t) = (1 − c)h2(t),
tem-se h1(t) = y1(t) c (3.29) e h2(t) = y2(t) 1 − c. (3.30)
Por simpli cação, adota-se uma constante k0, em que
k0 = k
c(1 − c). (3.31)
Então, substituindo as equações (3.29), (3.30) e (3.31) nas equações do sistema (3.28), e considerando a corrente de descarga i(t) uma corrente de descarga constante I, a vari-ação entre as cargas y1(t) e y2(t) é dada pelo seguinte sistema de Equações Diferenciais
Ordinárias (EDOs) dy1(t) dt = −I − k 0(1 − c)y 1(t) + k0cy2(t) dy2(t) dt = k 0(1 − c)y 1(t) − k0cy2(t) , (3.32)
com condições iniciais y1(0) = cy0 e y2(0) = (1 − c)y0, em que y0 é a carga total presente
na bateria.
Aplicando a Transformada de Laplace e suas de nições [37,56] no sistema de equações (3.32), encontra-se
sY1(s) − y1(0) = −Is + k0cY2(s) − k0(1 − c)Y1(s)
sY2(s) − y2(0) = −k0cY2(s) + k0(1 − c)Y1(s)
. (3.33)
Reorganizando os termos das EDOs, de modo que Y1(s) que no primeiro membro de
cada equação, o sistema (3.33) torna-se
[s + k0(1 − c)]Y1(s) = −Is + k0cY2(s) + y1(0)
k0(1 − c)Y1(s) = sY2(s) − y2(0) + k0cY2(s)
Capítulo 3. Modelagem Matemática 27 Multiplicando a primeira equação do sistema (3.34) por −k0(1 − c), e a segunda por
[s + k0(1 − c)], e somando ambas, é possível eliminar Y1(s), obtendo
I sk 0 (1 − c) − k0cY2(s)k0(1 − c) − k0(1 − c)y1(0) + (s + k0− k0c)sY2(s) −y2(0)(s + k0− k0c) + (s + k0 − k0c)k0cY2(s) = 0. (3.35) Reorganizando os termos de modo que os que contém Y2(s) quem no primeiro
mem-bro, e realizando manipulações algébricas, tem-se (−s2− k0s)Y2(s) =
I sk
0
(1 − c) − y2(0)s − y2(0)k0 + y2(0)k0c − k0(1 − c)y1(0). (3.36)
Dividindo ambos os membros da equação por (−s2− k0s) e multiplicando o segundo
membro por s
s, com o objetivo de obter denominador comum, tem-se
Y2(s) = −Ik0(1 − c) + y 2(0)s2+ y2(0)k0s − y2(0)k0cs + k0(1 − c)y1(0)s s2(s + k0) , (3.37) colocando y2(0)k0s em evidência, Y2(s) = −Ik0(1 − c) + y 2(0)s2+ y2(0)k0s(1 − c) + k0s(1 − c)y1(0) s2(s + k0) , (3.38)
e, em seguida, evidenciando k0s(1 − c), tem-se
Y2(s) = −Ik0(1 − c) + y 2(0)s2+ [y1(0) + y2(0)]k0s(1 − c) s2(s + k0) . (3.39) Considerando que y1(0) + y2(0) = y0, (3.40)
a equação (3.39) pode ser reescrita como Y2(s) =
−Ik0(1 − c) + y
2(0)s2+ y0k0s(1 − c)
s2(s + k0) . (3.41)
Utilizando a técnica de frações parciais em (3.41), chega-se à equação Y2(s) = y0k0(1 − c) + I(1 − c) k0s − I(1 − c) s2 + y2(0) s + k0 + (−y0k0)(1 − c) − I(1 − c) (s + k0)k0 . (3.42)
Capítulo 3. Modelagem Matemática 28 para y2(t) y2(t) = y0k0(1 − c) + I(1 − c) k0 − I(1 − c)t + y2(0)e −k0t +(−y0k 0(1 − c) − I(1 − c))e−k0t k0 , (3.43)
e, após algumas manipulações algébricas, y2(t) = (1 − c)(y0k0+ I)(1 − e−k 0t ) k0 − I(1 − c)t + y2(0)e −k0t . (3.44)
Para encontrar y1(t), é necessário substituir a equação (3.44) na segunda equação do
sistema (3.32), obtendo-se, assim, y2(0)(−k0)e−k 0t + y0(1 − c)k0e−k 0t − I(1 − c)(k 0 − k0e−k0t ) k0 = −k 0 cy2(0)e−k 0t −k0cy0(1 − c)(1 − e−k 0t ) + k 0cI(1 − c)(k0t − 1 + e−k0t ) k0 + k 0 (1 − c)y1. (3.45)
Evidenciando y1(t)à esquerda da igualdade, a equação torna-se
y1(t) = y0e−k 0t − I(1 − e −k0t ) k0 + cy0(1 − e −k0t ) − cI(k 0t − 1 + e−k0t ) k0 −y2(0)e −k0t 1 − c + cy2(0)e−k 0t 1 − c , (3.46) e, manipulando algebricamente, y1(t) = y0e−k 0t + (1 − e−k0t)(−I + cy0k 0) k0 − cI(k0t − 1 + e−k0t) k0 − y2(0)e −k0t . (3.47) Assim, substituindo (3.40) em (3.47), obtém-se a seguinte solução para y1(t)
y1(t) = y1(0)e−k 0t + (1 − e−k0t)(−I + cy0k 0) k0 − cI(k0t − 1 + e−k0t) k0 . (3.48)
Portanto, as soluções y1(t) e y2(t) para o modelo KiBaM são dadas, respectivamente,
por y1(t) = y1(0)e−k 0t + (1 − e−k0t)(−I + cy0k 0) k0 − cI(k0t − 1 + e−k0t) k0 (3.49) e y2(t) = y2(0)e−k 0t − I(1 − c)t +(1 − c)(y0k 0 + I)(1 − e−k0t ) k0 . (3.50)
Neste modelo, os parâmetros empíricos a serem estimados para realizar as simulações são k0, c e y
Capítulo 3. Modelagem Matemática 29
3.2.5 Modelo de Rakhmatov e Vrudhula
O modelo de Rakhmatov e Vrudhula (RV) [43], para modelar o tempo de vida de uma bateria, baseia-se na difusão de íons e descreve a evolução unidimensional da concentração das espécies eletroativas no eletrólito, levando em consideração as Leis de Fick [6,13]. Ele é desenvolvido a partir das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) descritas a seguir
−J(x, t) = D∂C(x,t) ∂x ∂C(x,t) ∂t = D ∂2C(x,t) ∂x2 , (3.51)
com condição inicial C(x, 0) = C∗, em que C∗ é a concentração inicial de espécies
eletro-ativas, J(x, t) é o uxo destas espécies, as variáveis independentes t ∈ [0, L] e x ∈ [0, w] representam respectivamente o tempo e uma posição no eletrodo, D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies eletroativas.
Considerando a Lei de Faraday [9, 11, 13, 54], o uxo de espécies eletroativas em uma extremidade do eletrodo (x = 0) é proporcional à corrente de descarga aplicada, ou seja,
− J(0, t)vAF = i(t), (3.52)
logo,
− J(0, t) = i(t)
vAF, (3.53)
em que: F é a constante de Faraday, A é a área da superfície do eletrodo, e v é a quantidade de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo.
Considerando a primeira equação do sistema (3.51) em x = 0 e substituindo (3.53) na mesma, tem-se a seguinte condição de fronteira
∂C(x, t)
∂x (0, t) = i(t)
vF AD. (3.54)
E, ainda segundo a Lei de Faraday, na outra extremidade do eletrodo (x = w), o uxo é nulo. Deste modo, obtem-se também a condição de fronteira
∂C(x, t)
∂x (w, t) = 0. (3.55)
Para a resolução do modelo RV [11], aplica-se a Transformada de Laplace na segunda equação de (3.51), mudando seu domínio de t para s, obtendo
sC(x, s) − C(x, 0) = D∂
2C(x, s)
∂x2 . (3.56)
Capítulo 3. Modelagem Matemática 30 seguinte EDO de 2a ordem não-homogênea
C00− s DC = − C∗ D, (3.57) cuja solução é C(x, s) = k1e( √s Dx)+ k 2e(− √s Dx)+ C ∗ s . (3.58)
Para obter k1 e k2, deriva-se (3.58) em relação a x:
∂C(x, s) ∂x = k1 r s De (√Dsx)− k 2 r s De (−√Dsx) , (3.59)
e aplica-se Transformada de Laplace nas condições de fronteira (3.54) e (3.55): ∂C(0, s) ∂x = i(s) vF AD, (3.60) ∂C(w, s) ∂x = 0. (3.61)
Substituindo (3.60) e (3.61) em (3.59), obtém-se o sistema k1pDs − k2pDs = vF ADi(s) k1 ps De (√Dsw)− k 2 ps De (−√Dsw) = 0 , (3.62)
Multiplicando a primeira equação de (3.62) por −e(√s
Dw)e somando ambas as equações
deste sistema, pode-se encontrar k2:
k2 = −i(s) vF AD r D s e( √ s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) . (3.63)
Em seguida, para encontrar k1, substitui-se (3.63) na primeira equação de (3.62) e,
após algumas manipulações algébricas, tem-se k1 = i(s) vF AD 1 − e( √s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) ! r D s. (3.64)
Capítulo 3. Modelagem Matemática 31 de (3.57) C(x, s) = i(s) vF AD 1 − e( √s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) ! r D s e (√Dsx) + + −i(s) vF AD r D s e( √s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) e(− √s Dx)+C ∗ s . (3.65)
Entretanto, como existe interesse apenas na concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo [11,39], ou seja, em x = 0, tem-se
C(0, s) = C ∗ s + i(s) vF AD 1 − e( √ s Dw) e( √s Dw) − e(− √s Dw) ! r D s + + −i(s) vF AD r D s e( √ s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) . (3.66)
Colocando em evidência o fator i(s) vF AD
q
D
s e juntando os termos semelhantes, (3.66) se
torna C(0, s) = C ∗ s + i(s) vF AD r D s 1 − 2e( √s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) ! , (3.67)
e com algumas manipulações algébricas, C(0, s) = C ∗ s + i(s) vF AD r D s(−1) e( √s Dw)+ e(− √s Dw) e( √s Dw)− e(− √s Dw) ! . (3.68) Como e( √ s Dw)+e(− √ s Dw) e( √ s Dw)−e(− √ s Dw) = cotgh ps Dw , C(0, s) = C ∗ s − i(s) vF AD r D scotgh r s Dw . (3.69)
Para transformar C(0, s) para o domínio de t, aplica-se a Transformada Inversa de Laplace e a de nição de convolução em (3.69), obtendo
C(0, t) = C∗− 1 F Av√πD Z t 0 i(τ ) √ t − τ ∞ X m=−∞ e(−w2m2D(t−τ ))dτ. (3.70)
Na sequência, considerando o decaimento ρ da concentração de espécies eletroativas [54]
ρ(t) = 1 − C(0, t)
