VETOR AUTORREGRESSIVO (VAR) E TESTE DE COINTEGRAÇÃO DE

JOHANSEN

3RGHVHH[SUHVVDUXPPRGHOR9$56 _{de ordem}

p em função de um vetor com n variáveis endóge- nas, X_t, sendo que essas se conectam por meio de XPDPDWUL]A, da seguinte forma:

5 A metodologia descrita nesta seção está baseada em Bueno (2011) e Lütkepoh (2007).

6 Metodologia desenvolvida inicialmente por Sims (1980).

A X_t= B₀+ p ™ i=1 B_i X_t–i+ %İ_t (14) em que: A p XPD PDWUL]n×n TXH GH¿QH DV

restrições contemporâneas entre as variáveis que constituem o vetor n×1, X_t; B₀, vetor de constantes

n×1; B_iPDWUL]HVn×n; BPDWUL]GLDJRQDOn×n de desvios padrão; e, İ_t, vetor n×1 de perturbações aleatórias não correlacionadas entre si contempo- rânea ou temporalmente, isto é:

İ_t~i.i.d (0; I_n) (15)

em que 0 é o vetor nulo; e, IDPDWUL]LGHQWL- dade.

A Equação (15) expressa às relações entre as variáveis endógenas, geralmente advindas de um modelo econômico teoricamente estruturado, e é denominada de forma estrutural. No entanto, devi- GRjHQGRJHQHLGDGHGDVYDULiYHLVGR9$5RPR- delo é normalmente estimado em sua forma redu- ]LGDGDGDSRU X_t= A–1 _B 0+ p ™ i=1 A–1 _B i Xt–i+ A –1 %İ t= ĭ₀+ ™p i=1 ĭ_i X_t–i+e_t (16) em que: ĭ_i= A–1 _B i ,i=0,1,2,...,p; e, %İt=A et.

$ PHWRGRORJLD 9$5 SRGH VHU HVWLPDGD SRU PHLRGRPpWRGRGH0tQLPRV4XDGUDGRV2UGLQiULRV 042OHYDQGRVHHPFRQWDSULQFLSDOPHQWHDLQ- teração entre as variáveis do sistema considerado. Entre as suas principais vantagens na análise eco- nométrica estão à obtenção das funções de impulso- UHVSRVWD)5,HDGHFRPSRVLomRGDYDULkQFLD'9 9DOH OHPEUDU TXH FDVR DV YDULiYHLV HVWXGDGDV sejam cointegradas, o modelo original pode ser descrito na forma de um vetor autorregressivo de FRUUHomRGHHUURV9(&0(QJOHH*UDQJHU apresentaram a cointegração da seguinte forma. Os componentes de um vetor X_t , n×1, são ditos serem cointegrados de ordem (d,b), denotados por X

t~CI

(d,b), se: i) todos os componentes de X_t são integra- dos de ordem d, ou seja, são I (d); e, ii) existe pelo um vetor não nulo ß, tal que u_t = X'_t ß (d–b), b>0. O vetor ß é chamado de vetor de cointegração.

&DEHGL]HUTXHDGH¿QLomRGHFRLQWHJUDomRGH Campbell e Perron (1991) é mais abrangente, não impondo a restrição de mesma ordem de integra- ção para a existência de cointegração. Segundo

esses autores, basta que ocorra a segunda condi- ção descrita anteriormente para que os elementos de um vetor X_t sejam cointegrados. Nesse caso, deve haver pelo menos duas variáveis integradas de mesma ordem na ordem máxima de integração entre todas as variáveis, para que haja cointegra- ção. Ainda, Hansen e Juselius (1995) descrevem que uma condição necessária para encontrar uma relação de cointegração entre variáveis não esta- cionárias exige que somente duas das variáveis do modelo sejam integradas de ordem um I (1).

$IRUPDPDLVJHUDOGHXP9(&0pGDGDSRU

¨X_t ĭ;_t–1+ _™ȁi¨ X_t-i+e_t p–1

i=1

(17)

em que: X_t é um vetor n×1 de variáveis endó- genas; e, ȁ

i= _™ĭj ; i=1,2,...,p–1 p

j=1+i

+DYHQGRUDL]XQLWiULDVLJQL¿FDTXHĭ 0, de modo que ĭ Į‰. Nesse caso, ßpDPDWUL]TXH

tem r vetores de cointegração e Į p D PDWUL] GH ajustamento, com r vetores de ajustamento. O mo- delo de correção de erros é assim chamado porque a variação de X_t é explicada por dois componentes: RVIDWRUHVGHFXUWRSUD]Rp–1™ȁ_i¨ X_t-i

i=1

; e, a relação GHORQJRSUD]RGDGDHQWUHDVFRRUGHQDGDVGRYHWRU de variáveis endógenas, ĭ;_t–1, caso ocorra coin- tegração.

8PGRVPpWRGRVSDUDYHUL¿FDUDH[LVWrQFLDGH cointegração é o teste de Johansen (1988), que é uma alternativa ao teste de Engle e Granger (1987). -RKDQVHQSURS}HGH¿QLURSRVWRGDPDWUL]ĭ, da Equação (17) e, dessa forma, estimar os vetores de cointegração ß3DUDGH¿QLURSRVWRGDPDWUL]ĭ, Johansen sugeriu dois testes baseados em uma esti- mação de máxima verossimilhança com restrição.

Tem-se que ĭpXPDPDWUL]n×n, e seu posto é dado por r < n, caso haja cointegração. Sendo o SRVWRGHVVDPDWUL]LJXDODn, as variáveis endóge- QDVVmRWRGDVHVWDFLRQiULDV6HRSRVWRGDPDWUL] for nulo (ĭ 0), não há cointegração e as variá- veis são não estacionárias. Como o determinante GHXPDPDWUL]pRSURGXWRGHVHXVDXWRYDORUHVH considerando que o posto de ĭHVWiHQWUH]HURHn, SRGHVHGL]HUTXHĭ terá r autovalores diferentes GH]HURHDXWRYDORUHVLJXDLVD]HUR$LGHLDHQWmR é encontrar esses autovalores.

9DULiYHLVGHWHUPLQtVWLFDVSRGHPLQWHUIHULUQRV valores críticos do modelo. Logo, incluem-se essas

variáveis em , no nível de vetor de cointegração, de modo que,

X_t= ĭ₁ X_t–1ĭ₂ X_t–2+ ĭ_p X_t–pįG_t+e_t (18)

em que: d_t  >t]' é um vetor com variáveis determinísticas, tais como dummiesVD]RQDLVHQ- tre outras; e, įPDWUL]GHFRH¿FLHQWHVGHGLPHQVmR compatível com d

t, que, nesse caso, tem dimensão

dada por 2×n. 1DIRUPDGH9(&0RPRGHORDQWHULRU¿FDGD seguinte forma: ¨X_t ĭ;_t–1+ _™ȁi¨ X_t-i+į' _d t+et p–1 i=1 (19) 3DUDHQFRQWUDURVDXWRYDORUHVGDPDWUL]ĭ, maxi- PL]DVHD(TXDomRFRPUHVWULo}HVVREUHDPDWUL] de covariância. Os autovalores são, então, ordenados do maior para o menor, Ȝ₁!Ȝ₂!Ȝ_n, sendo que cada um está associado a um autovetor que será associado aos vetores de cointegração contidos em ß.

Nesse contexto, o primeiro teste proposto por Johansen é o teste de traço. A hipótese nula é de existência de r* _{vetores de cointegração. A hipó-}

tese alternativa é de r ! r* _{vetores. De maneira}

formal, tem-se:

H₀:r = r*

H₁:r!r* (20)

A estatística de teste é dada por7_:

Ȝ_tr(r)= –7™ln (1–ˆȜ_i) (21)

2 SRVWR GD PDWUL]ĭ equivale ao número de VXDV UDt]HV FDUDFWHUtVWLFDV TXH VmR GLIHUHQWHV GH ]HUR &DVR QmR KDMD FRLQWHJUDomR RV DXWRYDOR- UHV VHUmR SUy[LPRV GH ]HUR GHPRQVWUDQGR QmR HVWDFLRQDULHGDGH RX LQVWDELOLGDGH GD PDWUL]ĭ, e

ln (1–ˆȜ_iĺ. Isso implica em pequenos valores para a estatística de traço, estabelecendo a não re- jeição da hipótese nula. Se o Ȝ

ipVLJQL¿FDQWHPHQWH

GLIHUHQWHGH]HURHQWmRln (1–ˆȜ_i) será negativo. Logo, o valor da estatística de traço será alto, im- plicando na rejeição da hipótese.

O teste é crescente, isto é, inicia-se com a soma de n “logs” de 1 menos o autovalor, considerando, primeiramente, r =0. A rejeição da hipótese nula

 2VDXWRYDORUHVVmRQRUPDOL]DGRVSDUDTXHVHPSUHVHMDPPHQRUHV do que um. Logo, o ln será negativo. Isso é possível devido a não LGHQWL¿FDELOLGDGHGDPDWUL]ĭ.

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Edson Zambon Monte

Rev. Econ. NE, Fortaleza, v. 49, n. 3, p. 129-145, jul./set., 2018

implica a existência de mais de um vetor de coin- tegração. Continuando, parte-se para a soma dos n

– 1 “logs” de 1 menos os autovalores correspon- dentes, até o momento em que a hipótese nula não for mais rejeitada. Mackinnon, Haung e Michelis (1999) apresentam a tabela mais recente deste teste.

O segundo teste é denominado de teste de auto- valor e tende a apresentar resultados mais robustos que o teste de traço. A hipótese nula estabelece a existência de r vetores de cointegração. Já a hipó- tese alternativa é de que existem r +1 vetores de cointegração. Formalmente,

H₀:r = r*

H₁:r!r*_{+1 (22)}

A estatística de teste é representada pela Equa- ção (23):

LR(r)=–Tln(1–ˆȜ_r+1) (23)

(PVtQWHVHRWHVWHGHDXWRYDORUYHUL¿FDTXDOR Pi[LPRDXWRYDORUVLJQL¿FDWLYRTXHGiRULJHPDXP vetor de cointegração. O teste também é crescente e UHMHLWDUDKLSyWHVHQXODVLJQL¿FDTXHH[LVWHPDLVGH um vetor de cointegração. Caso a hipótese nula não seja rejeitada, há r* YHWRUHV GH FRLQWHJUDomR 9DOH

OHPEUDUTXHQDUHDOL]DomRGRWHVWHpSUHFLVRHVWDEHOH- cer cuidadosamente o número de defasagens. Além disso, o modelo deve ser determinado com cautela, levando em conta a existência de constante e tendên- cia no nível do vetor X_t e no vetor de cointegração.