Volume de controle P e seus vizinhos

Considera,ndo-se um a discretização uniforme e, usando-se aproximação em diferenças centrais p ara as derivadas parciais, obtém -se a equação na forma discreta,

3.2.1 - Metodologia IMPES

A m etodologia IM PES t consiste em obter um a equação im plícita p ara o avanço da pressão e um a equação explícita p ara avançar a saturação. P ara tal, isola-se as saturações

S w e S° da Eq. (3.3) obtendo-se, S'S = A t B w </>Ax ^w(Pe - Pp) vw(Pp - Pw ) e _{A x}a w _{A x} (3.4) S i A t B ° <f>Ax X o(PE - Pp) ,0 (Pp ~ P\V ) A x q p T p + t e B lp (3.5)

Observe-se que a porosidade foi adm itida constante. Ainda no m étodo IM PES, as mobilidades e vazões são consideradas constantes dentro de um intervalo de tempo, e assum em os valores do instante anterior. Note-se que as mobilidades devem ser conhecidas nas interfaces do volume de controle. Existem várias técnicas p a ra se avaliar os valores das mobilidades nas interfaces dos volumes de controle, a mais simples, e a usada neste trabalho, é a interpolação UDS+ (U pstream Differencing Scheme). Substituindo-se as Eqs. (3.4) e (3.5) n a equação de restrição volumétrica,

S w + = 1 (3.6)

obtém -se a equação im plícita da pressão, na form a

A p P p = AePe + M - v P w + F (3.7)

onde

1 Neste trabalho, a aplicação da metodologia IMPES parte do modelo black-oil seguindo o caminho A , indicado na Fig. 1.3.

x

A t A e = ^ ( B ' W + B r K ) A w = j ^ 2 { B f \ % + B°P\° JA t (3.8) (3.9) A p — Ae + A w (3.10) e

Fp_(sf\°

„»

rPBfãt .fs%y

?PB°P&t

onde o term o fonte, F p , d a equação d a pressão foi linearizado segundo P atankar [30],

F p = F P* + - ^ ~ ( V ) * (PP - PP*) (3.12)

e o sobrescrito * representa o nível iterativo anterior da resolução da equação da pressão. S ubstituindo a Eq. (3.12) n a Eq. (3.7), obtém-se formas modificadas para, A p e Fp, como abaixo,

F P = F P* _ J L ( p p y P p * (3.13)

A r = A “' - M F P )' ( 3 ' U )

Neste trabalho utilizou-se o seguinte procedim ento iterativo p a ra o m étodo IMPES:

1. Inicializa-se os valores de S w e P ;

2. Computa-se os valores dos coeficientes e termos fontes da equação da pressão. P a ra obter os coeficientes d a equação da pressão, em prim eiro lugar, calcula-se os fatores volume de form ação pela equação Eq. (2.21). Depois aplica-se o esquem a UDS p ara interpolar as mobilidades nas interfaces dos volumes de controle. Conhecendo-se os fatores volume de form ação e as mobilidades pode-se calcular os coeficientes, Eqs. (3.8) a (3.10), e term o fonte, Eq. (3.11), da equação da pressão.

im plícita. O conjunto de equações, geradas pela aplicação d a equação d a pressão p a ra cada volume de controle, origina um sistem a de equações lineares. P ara obter o cam po de pressão deve-se utilizar algum algoritmo p ara resolução de sistemas lineares. Note-se que o sistem a linear a ser resolvido é esparso, e portanto, seria conveniente dispor de algoritm o eficaz;

4. Verifi.ca.-se se o critério de convergência para a pressão foi obtido. Caso não se ten h a obtido convergência retorna-se ao passo 2. As não linearidades presentes na. equação d a pressão devem-se exclusivamente aos fatores volume de formação. D esta form a, tem -se que reavaliar os coeficientes e term o fonte d a equação da pressão até que se obtenha convergência no campo de pressão;

5. Avança-se o ca,m,po de saturação. Após determ inado o campo de pressão as sa­ turações são obtidas, explicitam ente, via Eqs. (3.4) e (3.6).

6. Faz-se um incremento no tevipo. Obteve-se até aqui a solução p ara o presente instan te de tem po. Se deseja,do, retorna-se a,o item 2 p ara o avanço da sohição no tem po.

U m a analogia im portante pode ser feita entre o método IM PES e PRIM E^. Como a m etodologia IM PES avança a saturação explicitam ente, teoricam ente pode-se dizer que ela é equivalente ao m étodo PR IM E. No PR IM E, a p artir da equação da. quantidade de m ovim ento, as velocidades u e v são explicitadas e substituídas n a equação d a conservação da m assa obtendo-se um a equação p a ra a pressão. Calculando-se o cam po de pressões retorna-se nas equações d a quantidade de movimento e obtém-se o cam po de velocidades explicitam ente.

3.2.2 - Metodologia Totalmente Implícita

N a metodologia totalm ente im plícita í as mobilidades são avaliadas no nível de tem po mais atu al e o conjunto de equações não-lineares é linearizado via m étodo de Newton. No

t 0 PRIME [17](PRessure Implicit, Momentum Explicit) é um método para tratamento do acoplamento pressão-velocidade.

í Neste trabalho, a aplicação da metodologia totalmente implícita, na formulação em saturações, parte do modelo black-oil seguindo o caminho B , indicado na Fig. 1.3.

m odo que os resíduos devem se anular em cada intervalo de tempo. Assim, as equações a serem resolvidas são

4> s h B 1 S v B 1 A x , \ w( P E ~ P p ) Ã i + K A* \ w Á w (■Pp - Pw) A x (3.15) onde S° = 1 — S w. ^ , .o( Pe - P p) ,o ( Pp - Pw) A t ã ; k ã í '//• - i £ A x (3.16) V p

Expandindo-se o resíduo em série de Taylor, tem-se

F k+1 = F k + V - Y | F \ A X (3.17) v x V d A )

onde k é o nível iterativo e X representa o vetor de incógnitas (P e S w) envolvidas com a respectiva equação de resíduo. A princípio a equação de resíduo deveria ser derivada em relação a todas as pressões e saturações envolvidas na discretização. Porém, devido ao uso do esquem a de interpolação utilizado (esquema UDS), aparecem apenas derivadas do resíduo em relação as variáveis do ponto P e de seus vizinhos. Na últim a equação, o resíduo n a iteração k + 1 deve ser nulo, logo tem-se

' Õ F \ k

ou em form a m atricial,

A A X = —F (3.19)

A solução do sistem a linear, dado pela Eq. (3.19), perm ite evoluir os valores de P e

S w até que se o b ten h a a conservação d a m assa em cada instante de tem po. A m atriz

jacobiana, A , é u m a m atriz de blocos, isto é, seus elementos são m atrizes 2x2. As m atrizes d a Eq. (3.19) têm as seguintes formas

A = ’ A n . . . A i n ' -Afin . . . A n n . (3.20) A X = F = A X i A X N ] F , Ffl! . (3.21) (3.22) oncle A í j — dF}° O P , dF? dP, dF™ d S Y d F f d S f j A X i = _{gwk + 1}P r k+] TD.k % - s f F, = TPW i jpo (3.23) (3.24) (3.25)

As equações das derivadas dos resíduos em relação as variáveis não são aqui apresen­ tadas. Nas equações anteriores AT indica o núm ero total de volumes da m alha.

Evidentem ente a m atriz jacobiana A não é cheia, pois nem todas as incógnitas estão presentes em todas as equações. P or exemplo, no caso unidimensional ca,da, volume está conectado a dois volumes vizinhos (ver Fig. 3.1), ou seja, a equação de balanço de um volume envolve as incógnitas de apenas três células. Com isso, o sistem a linear resultante é tridiagonal, e p o rta n to esparso.

D urante o percurso da confeção do presente trabalho, implementou-se um código com­ putacional envolvendo a formulação em saturações e metodologia implícita. Porém poucos testes foram realizados com o mesmo, e por isso, no cap. 7 não são apresentados resultados obtidos com o tal código.

P a ra a, m etodologia totalm ente im plícita o procedim ento iterativo im plem entado foi o seguinte:

1. Inicialização das variáveis;

2. Cálculo das derivadas dos resíduos e montagem da matriz jacobiana. P ara m ontar a m atriz jacobiana é necessário derivar as equações de resíduo, Eqs. (3.15) e (3.16) em relação as variáveis de reservatório, isto é, em relação as saturações e pressões. D esta form a, deve-se obter as derivadas dos fatores volume de formação e das m obilidades em relação as saturações e pressões;

3. Resolve-se o sistema linear definido pela matriz jacobiana, Eq. (S.19). Note-se que cada elemento da m atriz jacobiana é um a m atriz 2x2, e p o rtanto, deve-se dispor de um algoritm o capaz de resolver sistemas lineares de blocos;

4. Avanço das variáveis no nível iterativo. A solução do sistem a linear dado pela Eq. (3.19) é um vetor de variações e p o rtan to as incógnitas são avançadas no nível iterativo fazendo-se (X*+1 = X k A X k), sendo X — P ou S w\

5. Verifica-se se a convergência foi obtida. Caso não h aja convergência volta-se ao passo 2. Note-se que a, convergência é ob tida quando variações no campo de pressões e saturações, são tais que não alteram sensivelmente a solução do sistem a dado pela Eq. (3.19);

6. Avanço no tempo. Se desejado, faz-se um increm ento no tem po e retorna-se ao passo 2.

3.3 - D iscretização para a Form ulação em Frações M ássicas

Como visto no capítulo anterior, as Eqs. (2.37) a (2.40) referem-se a formulação em frações mássicas aplicadas ao modelo black-oil padrão. Porém, conforme com entado, para a solução num érica do problem a apenas três destas equações são utilizadas, sendo estas reescritas a seguir

~ [«/>/"'] = V • [AU’V $ “’ + A°V$° + A?V $ S] - m w - fh° - m lJ (3.26)

£ pmZ w] = V • [AWV $ W] - rhw (3.27)

^ [<ppmZ°] = V • [ X00\ 0V $ 0] - X 00rh° (3.28)

e, como m encionado, as incógnitas são P ° , Z W e Z°. No restante do texto a pressão da fase (Sleo, P°, será designada simplesmente por P.

As equações anteriores serão aplicadas à situação tridim ensional e visando a solução do escoam ento em reservatórios de geometrias irregulares. P ortanto, tais equações devem ser escritas para o sistem a de coordenadas curvilíneo generalizado segundo um a transform ação do tipo [17],

f = £ { x , y , z )

V = v { x , y , z ) 7 = 7 ( x , y , z )

A Fig. 3.2 m ostra os domínios físico e com putacional (transform ado). Objetivando usar um a linguagem m ais compacta,, a equação que representa a conservação global de m assa, Eq. (3.26), será cham ada de equação da pressão, a equação que representa a con­ servação de m assa do com ponente água, Eq. (3.27) será cham ada de equação da água e a equação que representa a conservação de m assa do com ponente óleo, Eq. (3.28), será cham ada de equação do óleo. Realizando-se a, transform ação das equações p ara o domínio

t Estas equações serão resolvidas aplicando-se a metodologia totalmente implícita. Neste caso a solução do problema segue o caminlio C , indicado na Fig. 1.3.