CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
U M A M ETODOLOGIA PAR A SIM ULAÇÃO N UM ÉRICA TRIDIM EN SIO N A L DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
UTILIZANDO MODELO BLACK-OIL E FORM ULAÇÃO EM FRAÇÕES MÁSSICAS
DISSERTAÇÃO SUBM ETIDA À UNIVERSIDADE FED ERA L DE SANTA CATARINA PARA A OBTEN ÇÃO DO GRAU DE M ESTR E EM
ENGENHARIA MECÂNICA
ADALBERTO ROMALINO DA C U N H A
TR ID IM EN SIO N A L DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO UTILIZANDO MODELO BLACK-OIL E
FORM ULAÇÃO EM FRAÇÕES MÁSSICAS
ADALBERTO ROMALINO DA CUN H A
ESTA DISSERTAÇAO FO I JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTU LO DE M ESTRE EM EN G EN H A R IA ESPECIALIDADE
E N G EN H A R IA M ECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO ENGENHARIA E CIÊNCIAS TÉRM ICAS,
APROVADA EM SUA FORM A FINAL PELO CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Prof. ABELARDO ALVES DE QUEIROZ, Ph.D. CO O R D EN AD O R d o CURSO
Prof. ANTONIO F /B I O CARVALHO DA SILVA, Dr. Eng. Mec. ORIENTADO R
B A N C A EX A M IN A D O R A
Prof. CL UNDO MALISKA, Ph.D .
/
Prof. ALVARO TO UBES/PRATA, Ph.D .
Aos contribuientes brasileiros que através do CN Pq financiaram este trabalho.
Ao Prof. Antonio Fábio Carvalho da Silva pela orientação e dedicação em pregadas em seus ensinamentos.
Ao Prof. Clovis R aim undo Maliska pela orientação e suporte proporcionados.
Ao Prof. Francisco M arcondes pela atenção e conhecimentos transm itidos.
Ao ilustre m estre e grande amigo Luciano Am aury dos Santos, por ser um a fonte de m otivação das coisas sérias e verdadeiras, e pelos constantes e inestimáveis auxílios prestados.
Ao amigo Clovis R. M aliska Jr. pelos seus fantásticos program as gráficos, colocados sem pre com m u ita presteza a disposição dos menbros do SINMEC.
Ao amigo João Flávio V. de Vasconcellos pelas correções iniciais da dissertação e ensinam entos transm itidos em relação ao editor de texto utilizado.
Ao amigo Marcos Antonio do Livram ento pelo espetacular gerenciam ento da rede de com putadores do SINMEC.
Ao m estre Axel D ihlm ann pela educação e atenção com que sempre nos acolhe.
v
A A na Lucia pela paciência com que sempre me atendeu.
Aos demais amigos e professores do Depto. de Eng. M ecânica pelo excelente ambiente de convívio.
S u m á r i o ... v R e s u m o ... vii A b s t r a c t ... viii L ista de F i g u r a s ... ... ix L ista de T a b e l a s ... xiii S im b o lo g ia ...'... xiv 1. I n t r o d u ç ã o ... 1 1.1 - Prelim inares ... 1 1.2 - Processos de Explotação de P e t r ó l e o ... 4
1.3 - Aspectos Numéricos n a Simulação de Reservatórios ... 6
1.3.1 - M alhas U tilizadas n a Discretização de R e s e rv a tó rio s ... 6
1.3.2 - Formulações U t i l i z a d a s ... 8
1.3.3 - M étodos de Linearização das Equações Discretizadas ... 9
1.4 - O bjetivos e Organização do Trabalho ... 11
2. Formulação M a t e m á t i c a ... 14
2.1 - Introdução ... 14
2.2 - Modelo Composicional ... . 14
2.2.1 - Algumas definições p re lim in a re s... 14
2.2.2 - Equação da Conservação da M a s s a ... 16
2.3 - Modelo Black-Oil G e n e ra liz a d o ... 18
2.3.1 - Fatores Volume de Formação e Solubilidade ... 19
2.4 - Modelo Black-Oil P a d r ã o ... ... 21
2.4.1 - Modelo Black-Oil Padrão: Formulação em S a tu ra ç ã o ... 21
2.4.2 - Cálculo d a Solubilidade, R s ... 23
2.4.3 - Modelo Black-Oil Padrão: Formulação em Frações Mássicas . . . . 25
3. Discretização das Equações Governantes ... 27
3.1 - Introdução ... 27
3.2 - Discretização p a ra a Formulação em S a tu ra ç ã o ... 27
3.2.1 - M etodologia IM PES ... 29
3.2.2 - M etodologia Totalm ente Im p líc ita ... 31
3.3 - Discretização p ara a Formulação em Frações M á s s ic a s ... 35
3.3.1 - Processo de derivação das funções re s id u a is ... 47
4. Aplicação das Condições de C o n t o r n o ... 53
4.1 - Introdução ... 53
4.2 - Esquem a de T ratam ento das Falhas Geológicas - Desenvolvimento de um a Equação G e r a l ... 53
4.2.1 - Procedim ento de obtenção dos coeficientes F 's ... 54
4.3 - Modelo de P o ç o ... 58
4.3.1 - Cálculo do Raio Equivalente, r° ... 61
4.4 - Relação E ntre Termos Fonte/Sorvedouro e Pressão de Fundo de Poço . 63 4.5 - Condições de Contorno nos P o ç o s ... 66
4.5.1 - Pressão de Fundo de Poço P r e s c r ita ... 67
4.5.2 - Vazão de Agua P rescrita nas Condições de Superfície ... 67
/ 4.5.3 - Vazão de Oleo P rescrita nas Condições de S u p e rfíc ie ... 67
4.5.4 - Vazão de Gás P rescrita nas Condições de S u p e r f íc ie ... 69
4.5.5 - Vazão Total P rescrita nas Condições de S u p e r f íc ie ... 69
5. Descrição da R otina de Flash ... 70
5.1 - Introdução ... 70
5.2 - R otina de Flash p ara o Modelo Black-Oil P a d r ã o ... 70
5.3 - Um a Observação I m p o r t a n t e ... 75
6. Aspectos Numéricos Relevantes ... 76
6.1 - Introdução ... 76
6.2 - Considerações a Respeito das Derivadas Numéricas ... 76
6.3 - Considerações a Respeito da Aplicação do Esquem a UDS ( upwind) . . . 77
6.4 - E s tru tu ra da M atriz Jacobiana e Procedim ento Iterativo de Solução . . . 80
6.5 - Avaliação da Convergência no M étodo de N e w t o n ... 84
7. Resultados e Discussões ... 85
7.1 - Introdução ... 85
7.2 - Resultados Bidimensionais Bifásicos ( á g u a /ó le o ) ... 85
7.2.1 - Comparações com Yanosik e M c C r a c k e n ... 86
7.2.2 - Comparações com P a l a g i ... 94
7.2.3 - Comparações com M a rc o n d e s ... 96
7.3 - Caso Tridimensional Bifásico (água/óleo) ... 111
7.4 - Caso Tridimensional Trifásico ... 115
8. C o n c lu s õ e s ... 120
Referências B ib lio g rá fic a s ... 122
A. Condições de Contorno nos Poços Baseadas nas M o b ilid a d e s ... 127
A .l - Vazão de Água P r e s c r i t a ... 128
A.2 - Vazão de Óleo P rescrita ... 128
A.3 - Vazão de Gás P r e s c r i t a ... 129
A.4 - Vazão de Líquido P r e s c r i t a ... 129
A.5 - Vazão Total P r e s c r ita ... 130
O presente trabalho descreve um a metodologia p ara o desenvolvimento de um simula dor tridim ensional de reservatórios de petróleo em pregando coordenadas curvilíneas não- ortogonais. As equações de balanço são escritas n a formulação em frações mássicas para escoam entos multifásicos a m ulticom ponentes, posteriorm ente sendo simplificadas e apli cadas ao modelo black-oil trifásico (água, óleo e gás). O m étodo dos volumes finitos é em pregado p a ra integração das equações diferenciais e obtenção das equações aproxima das. O m étodo de Newton é utilizado p a ra linearização do conjunto de equações algébricas (aproxim adas) não-lineares. Resultados bi e tridim ensionais são apresentados e com para dos com outros da literatura.
This work addresses a methodology for the development of a three-dim ensional pe troleum reservoir sim ulator using non-orthogonal curvilinear coordinates. The balance equations axe w ritten in a m ass fraction form ulation for m ultphase flows, w ith m ulti com ponents in each phase. These equations are then simplified to obtain the three-phase black-oil model (w ater, oil and gas). The finite volume m ethod is applied in the integration of the differential equations to obtain the aproxim ate equations. The Newtons’ m ethod is use for the linearization of the non-linear equations set. Two and three-dim ensional results are presented and com pared w ith others from the literature.
1.1. Reservatório típico de petróleo. ... 2
1.2. Esquem a da e stru tu ra porosa... 3
1.3. Fluxogram a da simulação com putacional... 10
2.1. Definição de B ° e R,a°... 19
2.2. Curva de R s em função de P ... 23
3.1. Volume de controle P e seus vizinhos... 28
3.2. Domínios físico e transform ado... 36
3.3. Volumes presentes no esquem a num érico... 39
3.4. Volume de controle elem entar tridim ensional... ... 40
4.1. Linhas coordenadas passando por falhas geológicas... 54
4.2. Plano com putacional 7 constante... 55
4.3. Falha geológica alcançando a face norte do volume de controle P ... 56
4.4. a) Escoam ento radial b) C om portam ento logarítm ico da pressão ... 60
4.5. Volume de controle com poço... 62
4.6. Representação de um poço. ... 64
4.7. Vazão de água prescrita nas condições de superfície ... 68
6.3. E s tru tu ra da m atriz correspondente a Fig. 6.2... 81
7.1. Escoamento unidim ensional de um a frente de deslocamento... 86
7.2. Perfis de saturação de água referentes ao escoamento indicado na Fig. 7.1... 87
7.3. Curvas de fluxo fracionário, f w, representando deslocamento tipo pistão ... 88
7.4. Configuração five-spot num cam po de petróleo... 89
7.5. M alhas diagonais e paralelas. ... 89
7.6. M alha curvilínea utilizada p a ra a discretização d a configuração de 1 /4 de five-spot. ... 90
7.7. Volume de óleo recuperado - Com paração com [45] utilizando várias m alhas... 92
7.8. Volume de óleo recuperado - Com paração com [45] e [29]... 93
7.9. Iso-saturações S w = 0.9 p ara diversos V P I ... 94
7.10. Volume de óleo recuperado M = 10 - Comparação com Pa-lagi [29] ... 95
7.11. Volume de óleo recuperado M = 50 - Comparação com Pa-lagi [29] ... 95
7.12. M alha Generalizada (21 x 36)... 97
7.13. M alha de Voronoi hexagonal [23]. ... 97
7.14. M alha de Voronoi hexagonal-híbrida [23]... 98
7.15. Recuperação de óleo... 99
101 103 104 104 104 105 106 106 107 107 108 108 109 110 111 112 113 113 Reservatório de geom etria irregular - 2 - comparação com M ar
condes [23]...
Com portam ento das curvas de perm eabilidades relativas. . .
Malhas generalizadas...
Malhas de Voronoi (Marcondes [23])...
Recuperação de óleo no poço produtor 1. ... Pressão no poço p ro dutor 1. ...
Recuperação de óleo no poço produtor 4. ...
Pressão no poço prod utor 4...
Recuperação de óleo no poço produtor 5. ...
Pressão no poço prod u to r 5... Variação das localizações dos poços nas m alhas generalizadas.
Variação das localizações dos poços em duas malhas de Voronoi hexagonais...
Posições do poço: Pc —► Posição correta; P u —► Posição utili zada pelo simulador. ... Variação da posição do poço com o refino da m alha...
M alha tridim ensional em perspectiva. ...
V ista superior da m alha e falha geológica em destaque. . . .
Curva de recuperação total de óleo. ...
7.37. Vetores velocidade após 0,6 V P I... .... 114
7.38. Paralelepípedo deformado. M alha e linha onde são medidas as saturações da Fig. 7.39 ... 116
7.39. Saturações das três fases após 0,3 V P I... 117
7.40. Paralelepípedo deformado. Iso-saturações após 0,10 V P I... .... 118
7.41. Paralelepípedo deform ado. Iso-saturações após 0,30 V P I... .... 118
7.42. Paralelepípedo deformado. Iso-saturações após 0,70 V P I... .... 119
7.1. Dados do Problem a p ara o caso tipo pistão... 91
7.2. Dados físicos e geométricos - 1- com paração com Marcodes [ 2 3 ] ... 98
7.3. Perm eabilidades relativas ... 99
7.4. Coordenadas e Vazões Iniciais dos P o ç o s ... 102
7.5. Dados físicos e geométricos - 2 - com paração com Marcodes [ 2 3 ] ... 103
A - Coeficiente de Equações Algébricas, Eq. (3.7) - M atriz jacobiana, Eq. (3.19)
- Área transversal, Eq. (4.19)
B p - Fator volume de formação da fase p
cp - Compressibilidade da fase p
cr - Compressibilidade da rocha
d - D istância entre o centro do volume P e o centro do
volume considerado
Di - Termos definidos na obtenção das equações em
coordenadas generalizadas e que representam a difusão da propriedade em consideração
f w - Fluxo fracionário d a água
F - Termo fonte, Eq. (3.7)
- Vetor de funções residuais, Eq. (3.19), Eq. (3.103) - Coeficientes de falha, Eq. (3.44)
- Função resíduo, Eq. (3.62)
g - Aceleração da gravidade
Gi - Termo proveniente de D t, conforme definição (?)
do item 3.4
h - A ltura (ou profundidade) do reservatório
J - Jacobiano da transform ação de coordenadas
k - Perm eabilidade absoluta
k r - Perm eabilidade relativa
M - M assa da m istura, Eq. (2.2)
- Razão de viscosidades, Eq. (7.3)
M c - M assa do com ponente c
m p rhp p p p c o w p c o g p nP Qp r° R cp S p S or S%w S 10 S %9 t UP V PI V P O R V yp y c p ypp x
- fluxo mássico da fase p
- fluxo mássico d a fase p por unidade de
volume de reservatório - Pressão da fase p
- Pressão capilar entre as fases água e óleo
- Pressão capilar entre as fases gás e óleo - Pressão d a fase óleo
- Vazão volum étrica da fase p nas condições de reservatório por unidade de volume de reservatório - Vazão volum étrica da fase p nas condições
de superfície por unidade de volume de reservatório - Vazão volum étrica da fase p nas condições de
superfície - Raio do poço
- Raio equivalente de poço
- Solubilidade do componente c n a fase p
- Saturação d a fase p
- Saturação residual da fase óleo - Saturação inicial d a fase água - Saturação inicial da fase óleo - Saturação inicial da fase gás - Tempo
- Velocidade da fase p
- Volume poroso deslocável injetado
- Volume poroso de óleo recuperável - Volume
- Volume da fase p nas condições P e T de reservatório - Volume do com ponente c que é liberado da fase p
nas condições padrões
- Volume do com ponente p (ou fase p) nas condições padrões
X°v y z Z c W I G regos aP A x A y A z A í Ar, A j A t A V X p <í> <&p I* 7 p pm / £ , f v , h í n 7 Subíndices
Fração m ássica do componente c n a fase p Coordenada cartesiana
Coordenada cartesiana
Fração m ássica global do com ponente c índice de poço
Fração m ássica da fase p
Dimensão do volume de controle n a direção x Dimensão do volume de controle n a direção y Dimensão do volume de controle n a direção z Dimensão do volume de controle na direção £ Dimensão do volume de controle n a direção r. Dimensão do volume de controle n a direção 7
Passo de tem po Volume Discreto Mobilidade da fase p Porosidade Potencial d a fase p Viscosidade da fase p Peso específico da fase p M assa específica da fase p M assa específica da m istura Parâm etros presentes nas
definições dos coeficientes de falha Coordenada no plano transform ado Coordenada no plano transform ado Coordenada no plano transform ado
vizinhos ao Volume P
N B - V izinhança do volume P
S T C - Condições de superfície (stan d ard Conditions)
Su p erín d ices w - Água ou poço o - Oleo g - Gás w f - Fundo de poço c - Com ponente p - Fase
In tro d u çã o
1.1 - P relim inares
A decisão sobre a viabilidade de explotação de um a bacia petrolífera depende da análise de vários parâm etros im portantes como: tem po de produção da bacia, capaci dade de produção, tip o de fluido presente no reservatório, e stru tu ra geológica da bacia, técnicas/m eios operacionais necessários p ara realizar a recuperação.
A im plantação ou não de um complexo de engenharia de explotação de petróleo envolve custos elevadíssimos e, p o rtanto, deve ser fundam entada em bases concretas. Assim, um prévio estudo sobre a viabilidade econômica e operacional da bacia é necessário. A análise experim ental com pleta de um a bacia petrolífera torna-se evidentem ente m uito difícil, além de envolver altos investimentos. Fatos tais como dim ensões/características geométricas, e stru tu ra geológica, condições iniciais e operacionais do reservatório, etc, são realm ente difíceis, se não impossíveis, de serem reproduzidos em laboratório. E exatam ente neste estudo prelim inar d a bacia petrolífera que a simulação num érica tem grande im portância, tornando-se, p o rtan to , um a ferram enta fundam ental n a análise de viabilidade e no ge renciam ento de reservatórios de petróleo. A tualm ente, todas companhias de petróleo do m undo fazem uso exaustivo desta poderosa ferram enta.
Segundo Ewing [12], existem quatros estágios a serem seguidos p a ra realizar a si m ulação numérica:
1. Modelação física - descreve a essência do fenômeno.
2. Formulação matemática - é a descrição m atem ática do modelo físico.
3. Estabelecimento das propriedades do modelo matem,ático - existência, unicidade, e regularidade da solução p ara originar um modelo numérico que seja estável.
ciente, necessário n a com putação do m étodo numérico.
F ig . 1.1 - Reservatório típico de petróleo.
Fisicam ente, o fenômeno em estudo consiste no escoamento multifásico a multicom- ponentes em meio poroso. Sabe-se que, em reservatórios de petróleo, o óleo (petróleo) não se encontra isolado, isto é, no subsolo de um reservatório norm alm ente coexistem três fases (fase água, fase óleo e fase gás), como pode-se ver na Fig. 1.1. Além disso, estas fases podem conter mais de um com ponente (substância). Também, não se deve im aginar o petróleo (e todas as fases) estando contido em bolsões vazios no subsolo. Em geral, como ilustrado Fig. 1.2, água, óleo e gás estão impregnados em microporos de solo ro choso como arenito [12], e o escoamento através da rocha só ocorre sob a influência de grandes diferenciais de pressão. Conforme já mencionado, é difícil fazer a análise experi m ental de um reservatório de petróleo pois o escoamento no meio poroso envolve muitos fenômenos físicos complexos. Um a alternativa p a ra o estudo do problem a é a modelagem m atem ática. P ara tanto, to d a descrição geom étrica/geológica do reservatório deve ser co nhecida. Por exemplo, devem ser feitas definições em relação às superfícies geométricas que delim itam o reservatório, e tam bém das superfícies que constituem as falhas estruturais
imprecisões, de modo que existem incertezas n a prescrição geom étrica do reservatório.
As propriedades que caracterizam o meio poroso como porosidade, compressibilidade, condutibilidade térm ica, calor específico, densidade, perm eabilidade absoluta, etc, são ob tidas por am ostragem no reservatório (nos poços exploratórios), e po rtan to , não se tem de form a plena e rigorosa a caracterização com pleta do domínio em estudo. Porém, a existência de ta l deficiência, n a caracterização das propriedades do reservatório, não im pede a elaboração de modelos que ten tam representar o fenômeno do problem a. A m edida que as técnicas de caracterização do reservatório são aprim oradas mais realística tornar- se-á a modelagem do fenômeno físico.
I I Água + Óleo + Gás
V/\
RochaF ig . 1 .2 - Esquema da estrutura porosa.
Do exposto, observa-se que a tarefa de sim ular num ericam ente um a bacia petrolífera, levando em conta todos os detalhes envolvidos, é árdua. A tualm ente, m uitos tópicos de pes quisa são investigados n a “ciência” de simulação num érica de reservatórios de petróleo [4], podendo-se destacar, entre eles, o desenvolvimento de novas formulações e metodologias num éricas, métodos p ara linearização das equações diferenciais governantes, m étodos de resolução de sistemas lineares associados, modelagem de poços, processos de inicialização de reservatórios, modelos composicionais, etc.
Existem grupos, prestadores de consultoria, especializados n a elaboração de softwares comerciais p ara simulação de reservatórios de petróleo. Os códigos com putacionais comer ciais, em geral, têm características particulares, alguns, por exemplo, sim ulam escoamentos
tem sim ular escoamentos p a ra óleos que apresentam com portam ento não-newtoniano, e alguns, apenas sim ulam o cham ado escoamento black-oil, que será abordado neste tra b a lho. Como exemplo de sim ulador comercial p ara escoamentos black-oil pode-se citar o SIM BEST I [39].
1.2 - P ro cesso s de E xp lotação de P etróleo
Conforme Mezzomo [24], a eficiência do processo extrativo (cham ado fator de recu peração) resu lta do p roduto de três eficiências independentes, a saber: eficiência de var re d u ra vertical, de varredura superficial, e de deslocamento. As eficiências de varredura representam o acesso ao reservatório pelo fluido deslocante (água, gás, etc). A eficiência de varredura vertical é associada à heterogeneidade n esta direção e a superficial está rela cionada à m alha (configuração) de poços e razão de mobilidades entre fluidos deslocante e deslocado. Finalm ente, a eficiência de deslocamento é associada a fenômenos a nível de poro, e está relacionada ao balanço de forças viscosas e capilares. A inda segundo Mez zomo [24], o fator de recuperação não evoluiu consideravelmente desde a década de 60 devido à escassez de desenvolvimento tecnológico significativo no que tange à explotação de petróleo.
Descrições detalhadas sobre os principais m étodos de explotação de petróleo podem ser encontradas em [24] e [12]. Estes m étodos, conforme será visto a seguir, estão relacionados com as subdivisões das eficiências acim a relacionadas.
Cronologicamente, a técnica de recuperação mais elem entar é a recuperação natural, sendo m ais conhecida como recuperação prim ária. Norm almente esta técnica é aplicada d u ran te um curto período de tem po. Na recuperação prim ária faz-se perfurações (poços) em determ inadas regiões do reservatório por onde o óleo é extraído. A recuperação é prom ovida pelo estado inicial de pressão existente no interior do reservatório. E sta técnica pode deixar de 70 à 80% do óleo disponível no reservatório [12].
O m étodo secundário de recuperação se dá pela injeção de água (ou gás) p ara o in terior do reservatório. O objetivo é m an ter elevadas as pressões e taxas de escoamento inundando o meio poroso com o fluido deslocante. A injeção do fluido deslocante promove
aplicação deste processo m ais de 50% do óleo disponível perm anece no reservatório, de vido à diferença entre viscosidades do fluido deslocante e deslocado e devido a efeitos de tensão superficial. Em geral, o óleo confinado no reservatório apresenta elevada viscosi dade (baixa m obilidade), quando com parada com a viscosidade (mobilidade) d a água (ou gás). D urante o processo de recuperação secundária é comum o aparecim ento dos cham a dos “dedos” (em inglês, fingers), Ewing [12], Yanosik e McCracken [45], M ota [25], que são oriundos, fundam entalm ente, da grande diferença de mobilidades entre as fases água e óleo. Os “dedos” n ad a mais são do que a formação de canais preferenciais onde a água escoa mais facilmente. Q uando existe a formação destes canais ocorre o aparecim ento de água mais rapidam ente nos poços produtores, o que significa menor produção de óleo.
Os m étodos terciários de recuperação ou m étodos especiais de recuperação (M ER), geralm ente, envolvem processos químicos ou térmicos e visam aum entar o fator de recu peração. C ertam ente, dentre os processos de recuperação terciária, os mais difundidos são os cham ados m étodos de recuperação térm ica. Os processos térmicos m ais conhecidos são: injeção de água quente ou vapor d ’água, com bustão in situ, e passagem de corrente elétrica. Estes m étodos objetivam , principalm ente, reduzir a viscosidade do óleo de modo a aum entar sua m obilidade, isto diminui a razão de mobilidades entre fluidos deslocante e deslocado, m inim izando a formação de “dedos” . D esta forma, a redução da viscosidade do óleo influi diretam ente no aum ento do fator de recuperação. E n tretanto, deve-se ressaltar que a elevação d a tem p eratu ra no interior do reservatório, via injeção de fluido não é fácil, pois m uitas perdas de calor ocorrem. Em reservatórios que contém hidrocarbonetos na form a de carvão, piche ou óleo pastoso, costum a-se promover a com bustão in situ, que é a transform ação destes hidrocarbonetos em estados no qual podem ser recuperados via poços produtores. O calor gerado n a com bustão possibilita a recuperação de um a parcela dos hidrocarbonetos em detrim ento de outras. A com bustão in situ é m an tid a pela injeção de oxigênio p a ra o interior do reservatório. M étodos miscíveis de recuperação são usados quando injeta-se um gás (geralm ente dióxido de carbono) que é solúvel n a fase óleo, de m odo a reduzir a viscosidade desta fase. Então, a produção processa-se por um a m istu ra que escoa em um a única fase. Os m étodos químicos de recuperação podem ser vistos como um a evolução do m étodo de recuperação secundária. Eles consistem, basicam ente, na adição de substâncias n a água injetada. Por exemplo, pode-se adicionar polímeros n a fase
m obilidade do sistem a água/óleo, o que aum enta a eficiência de varredura, pois a formação de dedos é reduzida. Também pode-se adicionar soluções alcalinas n a água, que reduzem o efeito de tensão interfacial do sistem a água/óleo, aum entando a eficiência de desloca m ento. Pode-se, ainda, adicionar sufactantes ou detergentes n a fase água com o objetivo de reduzir os efeitos de tensão superficial, perm itindo que o óleo escoe por poros pequenos. Do exposto, pode-se concluir que a simulação num érica destes m étodos é complexa devido aos fenômenos físicos e químicos associados. Existem ainda pesquisas/experim entações no emprego de novos M ER, tais como: uso de princípios microbiológicos, vibração, etc. Mez- zomo [24] ainda apresenta outras informações interessantes, por exemplo, que o percentual de óleo produzido via recuperação terciária no Brasil não é superior a 3%, e que a produção terciária nos EUA é equivalente a produção to tal brasileira.
1.3 - A sp ecto s N u m éricos na Sim ulação de R eservatórios
A p a rtir do advento do com putador e da crescente evolução dos recursos computacio nais, pôde-se aplicar m étodos numéricos p ara a simulação de reservatórios de petróleo [5]. Tradicionalm ente o m étodo das diferenças finitas, em pregando m alhas cartesianas, foi e é m uito em pregado com este propósito. Devido às características e complexidades particu lares de reservatórios de petróleo, novas metodologias estão sendo em pregadas buscando
aprim orar a simulação de todo processo. A seguir são apresentados alguns dos tópicos de estudo enfocados n a simulação de reservatórios de petróleo.
1.3.1 - Malhas Utilizadas na Discretização de Reservatórios
Conforme citado anteriorm ente, as prim eiras simulações num éricas foram realizadas em pregando discretização do tipo cartesiana. O emprego de m alhas cartesianas tem como vantagens principais a fácil construção, relativa simplicidade da form a final das equações discretizadas, e ráp id a im plem entação do código computacional.
apresenta consideráveis desvantagens como:
a) Exige significativo refinam ento para descrever contornos e superfícies de reser vatórios de geom etrias irregulares e com presença de heterogeneidades.
b) Dificuldade de aplicação de condições de contorno em reservatórios de fronteiras arb itrárias, às vezes, sendo necessário interpolação das condições de contorno. c) A centuado nível de difusão num érica pela dificuldade de alinham ento da m alha
com as direções de escoam ento (efeito de orientação de m alha), que as vezes pode ser m inim izado pelo em prego de m alhas curvilíneas.
P a ra contornar problem as relativos à geom etria e da presença de heterogeneidades m uitos trabalhos foram realizados. Alguns trabalhos em pregando m alhas curvilíneas or togonais p ara sim ular reservatórios de petróleo foram apresentados por Hirasaki [16], Fle m ing [15], Sharp [38] e R obertson [37]. Estes trabalhos apresentaram -se como alterna tivas p a ra m apear reservatórios irregulares e m inim izar o efeito de orientação de m alha n a simulação de configurações especiais de reservatórios, como five-spot t. E ntretanto, os contornos das geom etrias de reservatórios são em geral irregulares dificultando a geração de m alhas ortogonais. B ritto et al. [7] estudaram o emprego de coordenadas curvilíneas não-ortogonais n a simulação de um reservatório com descontinuidades e heterogeneidades internas e m ostrou que o núm ero de volumes necessários p ara sim ular o reservatório em questão foi b astan te reduzido quando com parado ao núm ero de volumes usado n a simulação com m alha cartesiana. Maliska et al. [18,19,20,21,22] e C unha et al. [10] tam bém fize ram uso de sistemas curvilíneos generalizados e obtiveram bons resultados p a ra simulação
/
da configuração five-spot. E bom ressaltar que o uso de coordenadas não-ortogonais pro voca um a pequena alteração n a e stru tu ra m atricial do sistem a linear pois m ais pontos são considerados. É claro que a utilização de coordenadas curvilíneas não elimina os efeitos de orientação de m alha, a não ser em situações m uito particulares como na conhecida configuração five-spot.
Também pode-se m inim izar o efeito de orientação de m alha pelo emprego de m alhas triangulares ou de Voronoi. Nestes tipos de m alhas, por serem considerados um núm ero
se melhores resultados. Por exemplo, Amado [2,3], utilizou m enor núm ero de blocos de m alha, com discretização triangular, p ara obter resultados equivalentes aos fornecidos por um sim ulador comercial que empregava m alha cartesiana [39]. Palagi [29] e Marcondes [23] fizeram uso de m alhas de Voronoi e obtiveram resultados menos dependentes de orientação de m alha. Eles, e tam bém Pedrosa [33], ainda usaram a técnica de refinamento local, ju n to aos poços onde existem elevados gradientes, buscando reduzir efeitos de difusão num érica. O utro m odo de dim inuir o efeito de difusão num érica consiste em envolver na equação discretizada um núm ero m aior de pontos d a m alha, conforme sugerido por Yanosik e M cCracken [45]. Porém , o esquema proposto por eles impõe maiores dificuldades no tra ta m e n to de contornos e heterogeneidades. Esquem as de interpolação m ais aprimorados, como o TVD ( Total Variation Diminishing) tam bém contribuem p ara redução do efeito de orientação de m alha. Exemplos de trabalhos utilizando o esquema TVD n a simulação de reservatórios de petróleo são o de P into [35], em coordenadas cartesianas, e de M ota [25], em coordenadas curvilíneas.
No presente trab alh o é usado o sistem a de coordenadas curvilíneo generalizado [17]. As equações resolvidas são tipicam ente de difusão com propriedades físicas variáveis, sendo o esquema UDS (UDS- Upstream Differencing Scheme) usado p ara avaliar quais quer parâm etros físicos nas interfaces dos volumes de controle. O processo de geração da m alha, segue, basicam ente, as idéias de Thom son et al. [43], Hirasaki e O ’Dell [16] e Ma- liska et al. [20]. Como argum entado em [16], o uso de coordenadas curvilíneas tem grandes vantagens na simulação tridim ensional de reservatórios de petróleo, pois, geralmente, os reservatórios são de “fina” espessura e apresentam “grande” variação de profundidade (são encurvados!), tendo o aspecto como indicado n a Fig. 1.1.
1.3.2 - Formulações Utilizadas
Na simulação de reservatórios de petróleo, denomina-se de modelo composicional ao modelo m atem ático que perm ite descrever o escoam ento de múltiplos-com ponentes em m últiplas-fases num meio poroso. Usualmente, nos modelos composicionais, as equações de balanço são form uladas de modo que se ten h a como variáveis prim árias pressão e sa turações. Exemplos de modelos composicionais que envolvem tais variáveis podem ser
de formulações que têm como variáveis prim árias pressão e saturações apresentam sérios problem as. Exemplos destes problem as ocorrem em regiões do reservatório onde a fase gás desaparece, mas o com ponente gás perm anece presente dissolvido nas fases líquidas. Nestas formulações, como mencionado por Prais e Campagnolo [36], com o desapareci m ento de qualquer fase torna-se inativa a respectiva equação de restrição envolvendo o som atório das frações dos com ponentes da fase. Isso im plica na utilização de esquemas como substituição de variável e equação, ou outros que im peçam que a fase em questão desapareça, perm anecendo em um valor residual especificado [1,13], dificultando com isso a program ação. Com o propósito de contornar estes problemas, no presente trabalho, utilizou-se a form ulação descrita por P rais e Campagnolo [36] e B ritto [6], que tem como variáveis prim árias pressão do óleo e frações mássicas globais de cada componente. O em prego da form ulação em frações mássicas globais não origina modificações nem troca de equações (ou variáveis), com o aparecim ento ou desaparecim ento de fases, o que constitui sua grande vantagem.
O modelo composicional completo é m uito complexo t p a ra o estudo e análise inicial de um reservatório. Um a etap a anterior à aplicação do modelo composicional costum a ser a im plem entação de um modelo m ais simplificado, o modelo black-oil. Após a escolha do modelo a ser utilizado define-se a form ulação a ser em pregada, formulação em saturações ou formulação em frações mássicas. O conjunto de equações resultantes, após serem escritas na form a discretizada, pode ser linearizado aplicando-se as metodologias IM PES ou implícita, que serão descritas no próxim o item . Um fluxograma da modelação integral do problem a está apresentado n a Fig. 1.3 í .
1.3.3 - Métodos de Linearização das Equações Discretizadas
D urante a confecção deste trab alh o foram estudados, basicam ente, duas metodologias p ara linearização do conjunto de equações algébricas, o M étodo IM PES (IM plicit Pressure Explicit S atu ratio n ) e o M étodo Totalm ente Implícito. Porém , neste trabalho, somente este últim o será apresentado em maiores detalhes.
t Este modelo será descrito no próximo capítulo.
F ig . 1 .3 - Fluxograma da simulação computacional.
Como já m encionado, as equações resolvidas são tipicam ente de difusão com coeficien tes variáveis. No m étodo IM PES estes coeficientes são avaliados com o valor das variáveis do intervalo de tem po anterior, de m odo que é possível desacoplar a pressão d a saturação, obtendo u m a equação envolvendo apenas a pressão. Resolvendo o cam po de pressão obtém- se as saturações de form a explícita como função das pressões. O m étodo IM PES é usado largam ente n a in d ú stria de petróleo, porém ocorrem problem as n a aplicação d esta meto dologia em regiões de altas vazões ou de elevados gradientes de saturações, acarretando no uso de pequenos intervalos de tem po “A í” p a ra m anter a estabilidade d a solução. Em regiões refinadas d a m alha a restrição no passo de tem po é necessária p a ra que se ten h a estabilidade, contudo o uso de baixos “A í” pode to rn a r a simulação um ta n to onerosa. No m étodo IM PES o custo com putacional por passo de tem po é m enor em relação ao m étodo
totalm ente implícito, pois apenas a equação da pressão é avaliada im plicitamente. O utra vantagem do IM PES é que as rotinas computacionais de avanço das variáveis explícitas são facilmente vetorizáveis.
No M étodo Totalm ente Im plícito (M TI), que foi utilizado no presente trabalho, os coe ficientes presentes nas equações discretizadas são avaliados no nível de tem po mais atual. D esta form a todo o conjunto de equações algébrias é resolvido sim ultaneam ente. Neste m étodo o custo com putacional por passo de tem po é m ais elevado, entretanto, o M TI é m uito estável, o que perm ite o uso de intervalos de tem po maiores. Conforme mencio nado por M arcondes [23], Thom as e T hurnao [42] propuseram o uso de um a metodologia im plícita ad ap tativ a (AIM - A daptive Implicit M ethod), que foi aprim orada posteriorm ente por Forsyth e Sam m on [14]. No AIM, os m étodos IM PES e im plícito podem ser aplica dos sim ultaneam ente em diferentes regiões do reservatório. N esta metodologia a pressão é sempre avaliada im plicitam ente e as saturações (ou frações mássicas) podem ser obtidas im plícita ou explicitam ente, dependendo de algum critério pré-estabelecido [14].
1.4 - O bjetivos e O rganização do Trabalho
O presente trabalho tem por objetivo global apresentar um a metodologia p ara a desenvolvimento e a elaboração de um sim ulador de reservatórios de petróleo. O tra balho teve como fonte de m otivação um projeto de cooperação firmado entre o CEN- P E S /P E T R O B R Á S e o SINMEC (Laboratório de Simulação Num érica em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor). Os estudos prelim inares reservaram -se a casos m uito simples. Inicialm ente estudou-se escoamentos mono e bifásicos em situações bidim en sionais. Por fim passou-se p a ra o caso tridim ensional. Nestes estudos foram utiliza das a formulação em saturação e a metodologia IM PES. Porém , o interesse do CEN- P E S /P E T R O B R Á S era o desenvolvimento de um código com putacional tridim ensional que utiliza-se a metodologia totalm ente im plícita usando a form ulação em frações mássicas. Além disso, tinha-se tam bém interesse no uso de coordenadas generalizadas, um a vez que
____ /
os softwares comerciais disponíveis no C E N P E S /P E T R O B R A S perm item apenas a discre- tização cartesiana de um reservatório.
Foi dentro deste contexto que este trabalho nasceu, tendo como objetivo os seguintes itens:
i) Utilizar form ulação em frações mássicas.
E sta form ulação é apresentada p ara modelação de escoamentos multifásicos a multi- componentes. E n tretan to , no decorrer deste trabalho, maiores detalhes serão dedicados à aplicação desta form ulação ao modelo black-oil.
ii) E m pregar o m étodo totalm ente implícito usando o sistem a curvilíneo de coordena das.
A im plem entação do m étodo totalm ente im plícito em coordenadas generalizadas requer, como poderá ser visto, algumas considerações devidas à não-ortogonalidade da m alha.
iii) Aplicação do sistem a de coordenadas curvilíneo generalizado.
0 uso de coordenadas coincidentes com a fronteira (boundary fitted coordinaies) perm ite, com satisfatória flexibilidade, m apear de m odo eficiente geom etrias irregulares como as de reservatórios de petróleo. Além disso, tam bém torna-se possível descrever as cham adas falhas geológicas usando coordenadas curvilíneas. P a ra ta l é comum fazer com que algum as superfícies coordenadas passem pelas posições espaciais que delim itam as falhas geológicas.
iv) Desenvolvimento de um a equação genérica.
Em m uitas situações tridim ensionais, a obtenção das equações discretizadas p ara todos os tipos de volumes (volume de fronteira, interior, vizinho de um a falha geológica, etc) da m alha torna-se um a tarefa im praticável. D esta form a, apresenta-se o desen volvimento de um a equação geral, que pode reproduzir a equação de conservação de qualquer volume de controle da malha.
A seguir apresenta-se o escopo do restante do trabalho.
0 Cap. 2 descreve a formulação m atem ática utilizada onde são apresentadas as for mas diferenciais das equações de balanço p ara as formulações em saturação e em frações mássicas.
No Cap. 3 as equações diferenciais são obtidas em formas discretas via aplicação do m étodo dos volumes finitos.
O Cap. 4 relata o esquem a num érico desenvolvido que perm ite tra ta r falhas geológicas in tern as ao reservatório, e conseqüentem ente as fronteiras do mesmo. Também são discu tidos os vários tipos de condições de operação dos poços injetores e produtores.
No Cap. 5 são apresentadas as equações que regem o equilíbrio entre fases (rotina de
flash).
O Cap. 6 apresenta todo o processo numérico envolvido p ara resolução do sistema não linear de equações.
O Cap. 7 é reservado p a ra apresentação dos resultados numéricos que validam a m etodologia abordada.
Por fim, no Cap. 8 são m encionadas as contribuições do presente trabalho e sugestões p a ra trabalhos futuros.
F orm ulação M a te m á tic a
2.1 - In trod ução
Neste capítulo serão apresentados os modelos m atem áticos das formulações em sa tu ração e em frações mássicas globais. As equações apresentadas representam o modelo composicional que descreve o escoamento de múltiplos componentes em m últiplas fases. E m seguida as equações genéricas do modelo composicional são simplificadas p ara o modelo
black-oil.
2.2 - M odelo C om posicional
No modelo composicional considera-se o escoamento de np fases no meio poroso onde em cada fase podem estar presentes n c componentes (substâncias químicas). Pelo fato de ser possível a transferência de m assa entre fases, não existe necessariam ente conservação de m assa a nível de fase. A conservação da m assa ocorre a nível de com ponente. N esta seção a equação da conservação da m assa, p ara o modelo composicional, será apresentada sob duas formulações: a formulação em saturação [4,31] e a formulação em frações mássicas [6,36,44].
2.2.1 - Algumas definições preliminares
Com o objetivo de facilitar o entendim ento das equações a serem apresentadas descreve- se a seguir definições de algumas grandezas im portantes.
• Saturação da fase p
g P volume da f a s e p V p _ ^
rC m assa do componente c M c m assa total da m is tu r a M onde • Densidade da fase p np ^ m assa da f a s e p M p volum e da f a s e p V p
• Densidade m édia d a m istura
m m a ssa total da m is tu r a P = — ;--- n --- :--- = >
volum e total da m istu ra np
• Fração m ássica do com ponente c n a fase p
m assa do componente c presente na f a s e p m assa total da f a s e p
Fração m ássica da fase p
m assa da f a s e p M p m assa total da m is tu r a M
A conservação da m assa do com ponente c é descrita pela equação d_ dt < l> [ J 2 x ep^ s pj np = - V - X cpm p (2.9) np sendo rhp = ppqp (2.10) onde
(j) é a porosidade do meio poroso; up é o vetor velocidade d a fase p\
rhp é o fluxo mássico de produção/injeção da fase p por unidade de volume, sendo
positivo p ara produção e negativo p a ra injeção;
qp é a vazão volum étrica de produção/injeção d a fase p por unidade de volume, sendo
positiva p ara produção e negativa p a ra injeção.
A Eq. (2.9) não apresenta term os envolvendo efeitos de difusão hidrodinâm ica, um a vez que os efeitos convectivos são considerados dominantes. N esta m esm a equação, o term o de acum ulação está escrito em função da variável saturação. E sta form a de escrever a equação da conservação d a m assa é adequada p ara a formulação em saturação, em que as incógnitas são as saturações das fases. Porém, não é difícil perceber que o term o de acum ulação tam bém pode ser escrito em função das frações mássicas globais, como pode ser visto n a Eq. (2.11). Neste caso, a equação d a conservação d a m assa é conveniente paxa a form ulação em frações m ássicas, em que as incógnitas são as frações mássicas globais.
- [<i>pmZ c] = - V Y ^ x cp(?ü? . np
Y , X ‘r m r
(
2.
11)
np
Considerando-se escoam ento em meio poroso, a velocidade v? é o btida da lei de Darcy,
uP = [V $p] (2.12)
D esta forma, levando em conta a Eq. (2.12), e somando as equações de conservação (equações da formulação em saturações ou da formulação em frações mássicas) p ara todos os com ponentes, obém-se
| «•/"] = E v ■ <2-13)
np np
Note-se que equação anterior representa a conservação global de massa. E sta equação é m uito im portante e será requisitada mais adiante.
N a Eq. (2.12) Xp é a m obilidade d a fase p, d ad a por
XP = (2.14)
ßP v '
onde, k TP é a perm eabilidade relativa da fase p, np é a viscosidade da fase p, é o potencial da fase p, dado por
= PP + pPgz (2.15)
sendo, P p a pressão da fase p, pp a densidade da fase p, g o módulo da aceleração gra- vitacional e z a terceira coordenada cartesiana, orientada do fundo p a ra a superfície do reservatório. Neste trabalho o meio poroso será considerado homogêneo e isotrópico, e po rtan to o tensor perm eabilidade absoluta, k assume a form a
k 0 0
k = 0 k 0
0 0 k
(2.16)
Na formulação em saturações as variáveis prim árias são as saturações das fases, S p, e a pressão d a fase óleo, P°. Na formulação em frações mássicas as variáveis prim itivas são as frações mássicas globais, Z c, e a pressão da fase óleo, P°, porém, p a ra com putar a Eq. (2.11) é necessário o conhecimento das mobilidades Xp, e estas por sua vez são dependentes das perm eabilidades relativas, que são função das saturações das fases. P ortanto, tam bém n esta formulação, se faz necessário o conhecimento das saturações. As saturações são obtidas a p a rtir das frações mássicas de cada fase, conforme Eq. (2.8).
Os valores das frações X cp e a p são obtidas por rotinas de flash^ que descrevem o com portam ento (equilíbrio) entre fases. Segundo Prais e Campagnolo [36] estas rotinas são estudadas em detalhe na Engenharia Quím ica [26,27,28,34]. No caso de modelos térmicos^ e composicionais as rotinas de flash envolvem processos iterativos, enquanto no modelo
black-oil o flash é um procedim ento explícito de cálculos. No capítulo 5 apresentar-se-á a
ro tin a de flash p a ra o modelo hlack-oil padrão, modelo que é abordado neste trabalho.
2.3 - M odelo Black-Oil G eneralizado
P a ra reservatórios que apresentam óleos pesados ou de baixa volatilidade pode-se res tringir o modelo composicional de form a a obter um modelo mais simples, cham ado de
black-oil. O modelo black-oil generalizado é isotérmico e o com portam ento entre fases é
regido por relações PV T (Pressão-V olum e-Tem peratura). Este modelo tem as seguintes características [4]:
• Sistem a de três componentes (w =água, o=óleo e g=gás) e de três fases (w =água, o=óleo e g=gás)
• As fases água e óleo são imiscíveis e não trocam massa.
t Nas rotinas de flash, a partir do conhecimento das variáveis primárias ( P ° , Z w , e Z °) todas as demais grandezas associadas (saturações, mobilidades, etc) são obtidas por meio de relações de equilíbrio).
t Nos modelos térmicos a equação da energia é resolvida para considerar os gradientes de temperatura existentes no reservatório e as relações de equilíbrio são expressas em função da temperatura.
pode dissolver-se nas fases óleo e água.
A fim de o bter as equações simplificadas do modelo black-oil serão descritas a seguir as definições de duas grandezas im portantes: o fator volume de formação e a solubilidade.
2.3.1 - Fatores Volume de Formação e Solubilidade
Considere um determ inado volume de óleo, Vo , nas condições de reservatório, conforme Fig. 2.1. Q uando este volume de óleo é recuperado e levado à condições de superfície, um a p a rte do gás que estava dissolvido no óleo nas condições de reservatório se desprende dando origem a um volume V&° nas condições de superfície. 0 óleo, por sua vez, que ocupava o volume Vo , devido a m udança de pressão, entre o reservatório e as condições de superfície, e devido ao desprendim ento de gás, passa a ocupar um volume V °°.
Condições de Condições de
Reservatório Superfície
F ig . 2.1 - Definição de B ° e R3°.
Desta form a, define-se o fator volume de form ação da fase óleo por
V o
B° = —— T/oo (2.17)v '
De um a form a geral o fator volume de formação de um a fase p é dado por
V7>
* = (2-19)
E a solubilidade do com ponente c n a fase p por
V°P
R T = V ^ (2'20>
G eralm ente o fato r volume de form ação é fornecido via tabela de pontos experim entais ou é definido em term os d a com pressibilidadet, conforme a seguinte expressão
B p
B p (P ) = ---r (2.21)
1 + c P ( P - P ref) y }
onde B Vref ° fa t ° r volume de formação n a pressão de referência Pref- Devido às carac terísticas de compressibilidade, os fatores volume de formação dos líquidos são d a ordem da unidade, já p a ra os gases o fator volume de form ação é m uito m enor que a unidade.
Deve-se n o ta r que d a Eq. (2.20) pode-se escrever
M °p M cp r>cv .. V °P _ PCS T C _ PCS T C _ M °p f p n p Y cp -i» B P R - V Õ - - W - - - M T - - x (2.22) Bp pP Bp e p o rtan to W * = ^-PSTC (2.23)
E sta ú ltim a expressão será em pregada, logo adiante, quando apresenta-se a form a final da equação da conservação da m assa p a ra o modelo black-oil padrão.
t A compressibilidade de uma fase, cp , a temperatura T constante, expressa a variação do volume da fase com a variação de pressão, sendo definida por cp = —
2 .4 - M odelo Black-O il P adrão
O modelo black-oil generalizado pode ainda adm itir simplificações adicionais que re su ltam no modelo black-oil p ad rão (standard black-oil model), onde se assume que o com ponente óleo não se vaporiza n a fase gás e que o com ponente gás não se dissolve na fase água. Assim, p ara o modelo black-oil padrão tem-se
R ww = 1 R ow _ o R gw _ o
R0° = 1 R wo = o R go = Rs (P ) (2.24)
R gg = i R v g = 0 R °9 = 0
onde R 9° é a única solubilidade que deve ser conhecida como função de P , isto é,
R 9° = R S(P), e de mesmo modo, as frações mássicas de cada componente ficam sendo
dadas por t
X ww = 1 X wo = 0 X wg = 0
X 00 = 1 - X 90 X ow = 0 X 09 = 0 (2.25)
X " = 1 X 9W= 0 X 90 = ^ õP9s t c
2.4.1 - Modelo Black-Oil Padrão: Formulação em Saturação
A p a rtir das suposições anteriorm ente expostas, pode-se escrever a equação da con servação da m assa do com ponente c p ara o modelo black-oil padrão. Porém deve-se p a rtir da equação da conservação d a m assa do modelo black-oil generalizado. Então, inicialmente deve-se substituir a Eq. (2.23) n a Eq. (2.9). Feito isto, a equação da m assa p ara o compo nente c segundo o modelo black-oil generalizado, e n a formulação em saturação, fica sendo d ad a por
t Na formulação em frações mássicas X ° ° = 1 - X go — função(.Z™, Z ° , P ), como poderá ser visto no Cap. 5.
sendo que agora a m obilidade da fase p, Xp, é dad a por,
k k rP
X p = (2.27)
BPfiP v ;
Levando em conta as solubilidades do item 2.4, as equações do modelo black-oil padrão, n a formulação em saturações, são dadas por
d_ dt S w ' B w = V • [XWV $ W] - 2 -L 1 f í w (2.28) d_ dt <t> Ê1 B° (2.29) d_ dt V-B» J5° V • [AffV$ 9 + R 90A°V$°] - ' Í - + R T Í L , B 9 B° (2.30)
É im portante perceber que as três equações anteriores representam conservação vo lum étrica dos com ponentes nas condições de superfície. Os potenciais das fases são obtidos de acordo com a Eq. (2.15) e estão relacionados com a pressão d a fase óleo por meio das pressões capilares, logo
$ w = P° - p c™ + 7 ®z (2.31)
= P ° + 7 °2 (2.32)
= P° + P cog + 7 9z (2.33)
De posse destas equações, vê-se, agora, que nas Eqs. (2.28) a (2.30) existem quatro incógnitas ( S w, S°, S 9 e P°). A q u a rta equação, responsável pelo fechamento do problema, resu lta da restrição volum étrica, dada por,
A form ulação descrita anteriorm ente é a convencionalmente usada e tem como variáveis prim árias saturações e pressão d a fase óleo. Porém , usando tal formulação, surgem proble m as quando em determ inadas regiões do reservatório a fase gás desaparece (S 9 — 0). Neste caso, como será visto no próxim o item , a solubilidade, R s, não pode ser o b tida em função d a pressão e tem-se que fazer u m a m udança de variáveis. Este problem a acaba originando um código com putacional de pouca eficiência e de implementação um tan to complexa, devido à necessidade de m udança de variáveis. O mesmo problem a ainda pode ser contor nado em pregando esquemas que im peçam que a fase gás desapareça, perm anecendo um valor residual. Porém, tam bém nestes esquemas a program ação fica dificultada.
2.4.2 - Cálculo da Solubilidade, Rs
Considere um sistem a envolvendo um a m istu ra de gás e óleo a um a determ inada pressão
P . Suponha, ainda, que o com ponente gás não esteja totalm ente dissolvido n a fase óleo, isto
é, existe gás livre ( S 9 7^ 0). E sta situação é representada pelo ponto A da Fig. 2.2. Neste caso a solubilidade, R s, pode ser o b tid a como função da pressão, ou seja, R s = R 9°(P). Assim, a solubilidade, R Sl poderia ser o b tida a p a rtir d a curva de saturação, dada pela lin h a tracejada da Fig. 2.2.
Porém , imagine agora que a pressão do referido sistem a aum ente, a p a rtir do ponto A , até atingir o ponto B , de m odo que todo gás fique dissolvido n a fase óleo. N esta nova situação, aum entando-se a pressão, a solubilidade R s fica constante (p atam ar contínuo da Fig. 2.2), tornando-se independente d a pressão. São em processos como o mencionado que ocorrem problemas com a form ulação em saturações, pois não se consegue obter R s como função de P , e p o rtan to , não pode-se avaliar a Eq. (2.30). O problem a apresentado, n a form ulação convencional, é contornado por meio de substituição de variáveis, onde a pressão, P , é substituída pela pressão de saturação. Conforme Aziz [5], a pressão de satu ração de um a célula com putacional é a pressão do bloco se existir gás livre (S 9 ^ 0) no mesmo ou é a pressão de ponto de bolha se o óleo estiver s u b s a t u r a d o t . A pressão de
ponto de bolha, como indicado na Fig. 2.2, de um líquido subsaturado, é a pressão a p artir do qual a prim eira bolha de gás é liberada com o decréscimo de pressão.
As metodologias num éricas em pregadas paxa trab alh ar com a form ulação convencio n al são m uito complexas e não fazem p arte dos objetivos deste trabalho. Deste modo, estas metodologias não serão exploradas neste texto. E ntretanto, n a literatu ra, podem ser encontrados muitos trabalhos relacionados ao problem a do desaparecim ento d a fase gás. Alguns destes trabalhos foram realizados por Stright et al. [41], Abou-kassem [1] e Forsyth e Sam m on [13].
Neste trabalho os estudos usando a formulação em saturações concentraram -se apenas p a ra o caso de escoamentos imiscíveis bifásicos (água/óleo), onde as equações governantes reduzem -se a
d_
dt <t>B * = V • [A®VP] - (2.35)
d_
dt V • [A°VP] - j L (2.36)
Note-se que nas duas equações anteriores desconsiderou-se os efeitos capilares e gravi- tacionais ( $ “ = <3>° = P ).
t Um líquido encontra-se subsaturado quando a quantidade de gás nele dissolvido é menor que a de saturação.
2.4.3 - Modelo Black-Oil Padrão: Formulação em Frações Mássicas
No presente trab alh o estudou-se a form ulação em frações mássicas globais aplicada ao m odelam ento do escoam ento black-oü trifásico padrão. Como já m encionado, neste modelo cada com ponente flui exclusivamente n a fase de mesmo nome, com exceção do componente gás que pode estar n a fase gás ou dissolvido na fase óleo.
Aplicando as relações expressas pela Eq. (2.25), obtém -se as equações de conservação da m assa de cada um dos com ponentes segundo a form ulação em frações mássicas. P ortanto tem -se ^ [<bpmZ w] = V • [A™V$w] - m w (2.37) at [<f>pmZ°] = V • [X00A0V $°] - X 00m° (2.38) C /l [<t>pmZ 9] = V • [(1 - X 00) A°V$° + \ 9V $ 9} - (1 - X 00) m ° - m 9 (2.39)
Som ando as três equações anteriores obtemos,
£ [<i>pm\ = V • [AWV $ W + A°V$° + \ 9V $ g] — rhw — rh° — m 9 (2.40) at
Note-se que a equação anterior já foi apresentada anteriorm ente, Eq. (2.13), e repre sen ta a conservação global de massa.
Nas quatro últim as equações a m obilidade d a fase p, \ p, é d ad a por,
A* = * 2 . (2.41)
fJ,P
Z w + Z° + Z 9 = 1 (2.42) P w = po - p cow (2.43) P 9 = P° + P C09 (2.44) = p ° + 7 °z ' (2.45) $ w = P ° - p c<w + 7 W* (2.46) = P ° + P co? + j 9z (2.47)
No presente trabalho as equações de balanço resolvidas são as Eqs. (2.37), (2.38) e (2.40). P o rtan to , as incógnitas são P ° , Z ° e Z w, um a vez que Z 9 pode ser o b tida direta m ente da equação de restrição m ássica, Eq. (2.42).
N esta form ulação não surgem problem as com o cálculo da solubilidade, R s, um a vez que ela sempre pode ser determ inada por meio do conhecimento das variáveis P, Z w e Z ° , conforme pode ser visto pela equação Eq. (5.1).
Neste capítulo apresentou-se as formulações e equações usadas durante este trabalho. No capítulo seguinte m ostrar-se-á a m etodologia num érica utilizada p ara tra ta r e resolver as equações relacionadas a tais formulações.
D is c r e tiz a ç ã o d as E q u a çõ es G o v ern a n tes
3.1 - In trod ução
Neste capítulo as equações diferenciais do modelo black-oil padrão são discretizadas via m étodo de volumes finitos. O capítulo está dividido em duas paxtes. Na prim eira será abordada a formulação em saturações. As equações diferenciais são discretizadas p a ra o caso bifásico (água/óleo) unidim ensional. Duas metodologias de linearização das equações discretizadas serão apresentadas: a m etodologia IMPES e a totalm ente implícita. As equações são apresentadas p a ra o caso unidimensional, pois o objetivo n esta p arte é de apenas esclarecer o entendim ento das metodologias. Contudo, no capítulo 7, resultados tri dim ensionais são apresentados envolvendo a formulação em saturações. N a segunda parte, que é o objetivo do presente trabalho, será ab o rd ad a a formulação em frações mássicas. As equações são discretizadas considerando-se escoamento trifásico. O m étodo de Newton é usado p ara linearização do sistem a de equações algébricas discretizadas. Nesta parte, as equações são escritas p a ra o caso tridim ensional, utilizando o sistem a de coordenadas curvilíneo generalizado.
3.2 - D iscretização para a Form ulação em Saturação
Considere-se as Eqs. (2.28) e (2.29) aplicadas à situação unidim ensional,
d_ dt ' .S * ' ^ Bp d_ dx * T Tdx - r (3.1) onde p = w ou p = o.
de volume de reservatório. Note-se ainda que os efeitos capilares e gra,vitacionais foram desconsiderados.
A integração da Eq. (3.1) no tem po e no espaço sobre o volume de controle da Fig. 3.1 conduz a, BP ) S A 0 d>~=r-' B P j p A x ~Ãt \ p dP_ dx - À?J ,dP_ dx qp A x (3.2
onde o sobrescrito “0” indica o instante de tem po anterior.
F ig . 3 .1 - Volume de controle P e seus vizinhos.
Considera,ndo-se um a discretização uniforme e, usando-se aproximação em diferenças centrais p ara as derivadas parciais, obtém -se a equação na forma discreta,
3.2.1 - Metodologia IMPES
A m etodologia IM PES t consiste em obter um a equação im plícita p ara o avanço da pressão e um a equação explícita p ara avançar a saturação. P ara tal, isola-se as saturações
S w e S° da Eq. (3.3) obtendo-se, S'S = A t B w </>Ax ^w(Pe - Pp) vw(Pp - Pw ) e A xa w A x (3.4) S i A t B ° <f>Ax X o(PE - Pp) ,0 (Pp ~ P\V ) A x q p T p + t e B lp (3.5)
Observe-se que a porosidade foi adm itida constante. Ainda no m étodo IM PES, as mobilidades e vazões são consideradas constantes dentro de um intervalo de tempo, e assum em os valores do instante anterior. Note-se que as mobilidades devem ser conhecidas nas interfaces do volume de controle. Existem várias técnicas p a ra se avaliar os valores das mobilidades nas interfaces dos volumes de controle, a mais simples, e a usada neste trabalho, é a interpolação UDS+ (U pstream Differencing Scheme). Substituindo-se as Eqs. (3.4) e (3.5) n a equação de restrição volumétrica,
S w + = 1 (3.6)
obtém -se a equação im plícita da pressão, na form a
A p P p = AePe + M - v P w + F (3.7)
onde
1 Neste trabalho, a aplicação da metodologia IMPES parte do modelo black-oil seguindo o caminho A , indicado na Fig. 1.3.
x
