Considera¸c˜ oes sobre o desempenho dos pacotes (e algoritmos)

solode:=y(x) = e^x(zx²−1) C1

x + e^x(x²−z) e^−x

x , (360)

levando ao invariante

[> simplify(subs(y(x)=y,solve(solode,_C1)));

−(x²−yx−z) e^−x

zx²−1 . (361)

CONCLUS ˜AO

Nesta tese, tentamos estender um de nossos “modus operandi” preferidos, para o universo das equa¸c˜oes diferenciais parciais (EDPs). Tentando atacar o problema de solucionar estas equa¸c˜oes.

Esta trajet´oria come¸cou em nosso Grupo, j´a h´a bastante tempo, com nossa incurs˜ao an´aloga com as equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias (EDOs) de primeira (1EDOs) e segunda (2EDOs) ordem. Usando a estrutura te´orica do m´etodo de simetrias de Lie.

Depois do sucesso da tentativa acima mencionada, o Grupo continuou no universo das EDOs, desta feita com o m´etodo de Prelle-Singer (e m´etodos Darbouxianos em geral), gerando muitas extens˜oes e semi-algoritmos. Inclusive aqueles para 2EDOs.

H´a muito o Grupo desejava tentar a sorte com as EDPs. Neste contexto ´e que meu trabalho se encaixa. Como mencionado no primeiro par´agrafo, utilizei m´etodos heur´ısticos, e tamb´em, a arcabou¸co te´orico do m´etodo de Lie. Completando assim o ciclo original da aplica¸c˜ao, do tornar operacional, o m´etodo de Lie no sentido de gerar m´etodos heur´ısticos de determinar as simetrias envolvidas em cada caso.

Neste trabalho, inicialmente, nos limitamos a EDPs de primeira e segunda or- dem (1EDPs e 2EDPs, respectivamente) e, em ambos os casos, utilizamos uma fun¸c˜ao dependente de duas vari´aveis independentes, i.e., u(x, y) a ser determinada.

Este esfor¸co conseguiu produzir m´etodos que geram simetrias (e, consequente- mente, solu¸c˜oes) que nosso competidor mais direto n˜ao determina, i.e., o resolvedor padr˜ao do MAPLE (pdsolve) perde estas solu¸c˜oes.

Porque este ´e nosso advers´ario natural? Para tornar nosso m´etodo pr´atico e aplic´avel por usu´arios sem grande fluˆencia no assunto, tornamos nossos resultados dis- pon´ıveis em pacotes computacionais, escritos no sistema computacional alg´ebrico (CAS na sigla em Inglˆes) MAPLE. Como dissemos de diversas maneiras ao longo desta tese, pode-se dizer que estamos sempre buscando expandir a capacidade de resolver equa¸c˜oes diferencias e sistemas delas dispon´ıvel em MAPLE. Para conseguirmos isto, desenvolve- mos resultados e m´etodos interessantes que n´os implementamos em MAPLE, deixando para outros (por enquanto) a tarefa de implement´a-los em outros sistemas. Ou seja, em outras palavras, nosso trabalho sempre se concentra em desenvolver m´etodos e algoritmos e, al´em disto, implementar tais resultados em MAPLE.

Al´em dos resultados para 1EDPs e 2EDPs mencionados acima, ainda no esp´ırito do par´agrafo logo antes deste, esta tese traz um outro resultado que consideramos inte- ressante. Desta vez trazendo um di´alogo entre as simetrias de Lie e nossos m´etodos e algoritmos oriundos de nossos esfor¸cos nos m´etodos Darbouxianos: um novo e poderoso m´etodo para resolver 2EDOs.

No Contexto de nossos esfor¸cos para resolvermos 2EDOs, estendemos o m´etodo de

Prelle-Singer (originalmente desenvolvido para 1EDOs) introduzindo assim a (assim cha- mada) fun¸c˜ao “S”. Inicialmente, nossa ideia era, ao perceber que a fun¸c˜ao “S” obedece a uma 1EDP (quase-linear) em 3 vari´aveis independentes, tentar simplesmente estender nossos m´etodos heur´ısticos para determinar simetrias de Lie para este caso e, ao resolver- mos a 1EDP para a fun¸c˜ao “S”, usar tal resultado e resolver a 2EDO associada (al´em de haver estendido o escopo das 1EDPs tratadas por n´os). Isto n˜ao funcionou a contento (a princ´ıpio) e tivemos que desenvolver v´arios resultados te´oricos antes de seguirmos este ca- minho com sucesso. Estes resultados foram bem sucedidos e s˜ao apresentados no cap´ıtulo 4 desta tese.

Finalmente, no cap´ıtulo 5, apresentamos nossa implementa¸c˜ao computacional de toda esta hist´oria. Um trabalho consider´avel tamb´em.

Como ´ultima nota nesta conclus˜ao, `a guisa de trabalhos futuros a que devemos nos dedicar, veja bem caro leitor que o grupo ficou todos estes anos trabalhando com EDOs, desejando encontrar tempo para se dedicar, mesmo que pouco, a EDPs. Este trabalho

´e esta primeira incurs˜ao mas, mesmo assim, como uma esp´ecie de “atrator estranho”, as EDOs nos puxam de volta a elas. Esta linha aqui apresentada, acreditamos, ainda pode render muitos bons frutos.

Al´em disto, pretendemos estender nosso ataque heur´ısticos a EDPs de outros tipos e a sistemas de EDPs.

REFERˆENCIAS

ASAITAMBI, A. Numerical solution of the burger’s equation by automatic differentiation.

Applied Mathematics and Computation, USA, v. 216, p. 2700–2708.

BLUMAN, G.; ANCO, S. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations.

New York: Springer Verlang, 2002.

BUTKOV, E. Mathematical Physics. New York: St. John’s University, 1968.

DUARTE, L. Simetria e integrabilidade por quadratura de equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias. 1997. 109 f. Tese (Doutorado em f´ısica teorica) — Instituto de f´ısica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 1997.

HOSSEIN, A.; TABATABAEI, A. Some implicit methods for the numerical solution of burger’s equation. Applied Mathematics and Computation, USA, v. 185, p. 560–570, 2014.

JEFFERSON, G.; CARMINATI, J. Automated symbolic computation of lie symmetries of fraction differential equations. Computer Physics Communications, USA, v. 185, p.

430–441.

JIWARI, R. A haar wavelet quasilinearization approach for numerical simulation of burger’s equation.Computer Physics Communications, USA, v. 183, p. 2413–2423, 2012.

JIWARI, R.; PANDIT, S. A hybrid numerical scheme for the numerical solution of the burger’s equation. Computer Physics Communications, USA, article in press.

KUMAR, M.; PANDIT, S. A composite numerical scheme for the numerical simulation of couple burger’s equation. Computer Physics Communications, USA, v. 185, p. 809–817, 2014.

LIE, S. Differentialgleichungen.Teubner, Leipzig, 1891.

LIE, S. Vorlesungen uber differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen transformationen. Teubner, Leipzig, 1912.

LOBEIRO, A. et al.Ciencias Exatas e Naturais, Paran´a, v. 15(2), p. 153–179, 2013.

MIN, X. A novel numerical scheme for solving burger’s equation.Applied Mathematics and Computation, USA, v. 217, p. 4473–4482, 2011.

MOHANTY, R. An operator splitting method for an unconditionally stable difference scheme for a linear hyperbolic equation with variable coefficients in two space dimensions.

Applied Mathematics and Computation, USA, v. 152, p. 799–806, 2004.

MOHANTY, R. An unconditionally stable finete difference formula for a linear second order one space dimensional hyperbolic equation with variable coefficients. Applied Mathematics and Computation, USA, v. 165, p. 229–236, 2005.

NUNEZ, E.; DUARTE, L.; MOTA, L. Finding first order differential invariants through the s-function.Computer Physics Communications, USA, v. 207, p. 542–544, 2016.