e, como ξ1 =ξ2 =ξ3 = 0, η=σ(x, y, z, u), η1 =∂x[σ] +ux∂u[σ] =σx+uxσu, η2 =∂y[σ] +uy∂u[σ] =σy +uyσu, η3 =∂z[σ] +uz∂u[σ] =σz+uzσu,
X(1) =σ ∂u+ (σx+uxσu)∂ux + (σy +uyσu)∂uy + (σz +uzσu)∂uz. (310) Logo, X(1) aplicado `a EDP (306) ´e
σ(−2u−φz) + (σx+uxσu) + (σy+uyσu)z+ (σz+uzσu)φ=
=σ(−2u−φz) +σx+z σy +φ σz+σu(ux+z uy +φ uz) =
=σ(−2u−φz) +Dx[σ] + (u2+φzu−φy)∂u[σ] = 0 pela equa¸c˜ao (298). 2
8. A partir do teorema 5.4 podemos relacionar a simetria da 2EDO (289) com a simetria da 1EDP para a fun¸c˜ao-S associada:
Corol´ario 5.2 A simetria para a 1EDP (306) associada com a 2EDO(289)´e dada por
h
0,0,0, e−Rx[φz]ν2 (u+Dx[ln(ν)])2i
, (311)
onde [0, ν] ´e uma simetria de Lie da 2EDO (289) na forma evolucion´aria.
Prova do Corol´ario 5.2 Das hip´oteses (iii), (iv) e (v) do teorema 5.4, temos que
σ(x, y, z, u) = eϕ(x,y,z)
u+ Dx[νp] νp
2
, onde ϕ= Z
x
2Dx[νp] νp −φz
,
⇒ σ(x, y, z, u) = e
R
x
h
2Dx[νpνp ]−φz
i
u+ Dx[νp] νp
2
=e−Rx[φz]ν2(u+Dx[ln(ν)])2.2
locais) para muitos casos em que os outros procedimentos dispon´ıveis se tornam invi´aveis e, uma vez de posse dessas simetrias, podemos reduzir (ou mesmo integrar) as 2EDOs em quest˜ao.
5.3.1 A Ideia Central
Nesta se¸c˜ao vamos usar o conhecimento da rela¸c˜aosimetria da 2EDO ↔ simetria da 1EDPpara construir um algoritmo que nos permite (em um grande n´umero de 2EDOs) achar a simetria da 2EDO e da 1EDP para a fun¸c˜ao-S associada. Vejamos como:
Considere a 2EDO z0 =φ(x, y, z), cuja simetria na forma evolucion´aria ´e definida pela fun¸c˜ao ν(x, y, z) que obedece `a 2EDP linear homogˆenea D2x[ν] = φzDx[ν] +φyν. Essa 2EDP, devido `a equivalˆencia formal entre os operadores13 Dx e dx pode, sobre as solu¸c˜oes da 2EDO z0 =φ(x, y, z), ser vista como uma 2EDO linear homogˆenea. Devido `a conex˜ao entre as 2EDOs lineares homogˆeneas e as 1EDOs de Riccati, pudemos, usando a rela¸c˜ao entre as solu¸c˜oes particulares de ambos os tipos de EDOs, relacionar uma simetria da 1EDP de Riccati com uma solu¸c˜ao particular da 2EDP para a simetria da 2EDO na forma evolucion´aria (veja o teorema 5.4 na se¸c˜ao 5.2.3):
σ(x, y, z, u) =e−Rx[φz]ν2 (u+Dx[ln(ν)])2, (312) onde −Dx[ln(ν) ´e uma solu¸c˜ao particular da 1EDP de Riccati (306). Podemos enunciar o seguinte corol´ario a esse resultado:
Corol´ario 5.3 Se Sp(x, y, z) ´e uma solu¸c˜ao particular da 1EDP de Riccati (306), ent˜ao νp =e−Rx[Sp(x,y,z)], onde R
x Dx =Dx
R
x =1, define uma simetria para a 2EDO (289) na forma evolucion´aria.
Prova do Corol´ario 5.3 Substituindo νp = e−Rx[Sp(x,y,z)] em D2x[ν] = φzDx[ν] +φyν
13Denotaremosdx≡ d dx.
vamos obter
Dx[νp] =Dxh
e−Rx[Sp(x,y,z)]i
=e−Rx[Sp(x,y,z)](−Sp(x, y, z)), D2x[νp] =Dxh
e−Rx[Sp(x,y,z)](−Sp(x, y, z))i
=
=e−Rx[Sp(x,y,z)](Sp2(x, y, z))−e−Rx[Sp(x,y,z)]Dx[Sp(x, y, z)],
⇒ D2x[ν]−φzDx[ν]−φyν=e−Rx[Sp](Sp2) +
−e−Rx[Sp]Dx[Sp]−φz
e−Rx[Sp(x,y,z)](−Sp
−φye−Rx[Sp] =
=−e−Rx[Sp] Dx[Sp]−Sp2−Spφz+φy
= 0,
pois, por hip´otese, Sp ´e uma solu¸c˜ao particular da 1EDP de Riccati (306). 2
Considere agora uma 2EDO racional (257). No caso em que a 1EDP de Riccati possui uma solu¸c˜ao racional cujo denominador ´e o denominador da 2EDO racional asso- ciada (o que ´e bastante comum quando a 2EDO racional associada possui um invariante elementar ou Liouvilliano), temos uma simetria na forma ν = e−Rx[pol/N], onde pol ´e um polinˆomio em (x, y, z). Considerando que a integra¸c˜ao R
x ´e a opera¸c˜ao inversa de Dx, n˜ao podemos, em geral, ‘operar’ a integra¸c˜ao assinalada. Contudo, podemos supor que, se alguma parte (dependente apenas dex) puder ser integrada, devemos ter um formato geral do tipo
νp =e
f(x) + Z
x
g(x) P
N
, (313)
ondeg(x) ´e uma fun¸c˜ao racional de x, f(x) ´e uma fun¸c˜ao racional de xou um logaritmo neperiano de uma fun¸c˜ao racional dex,P ´e um polinˆomio em (x, y, z) eN ´e o denominador da 2EDO racional (257). Substituindo (313) na 2EDP para a simetria, vamos obter Dx2[f] +Dx
gP
N
+
Dx[f] +gP N
2
−
Dx[f] +gP N
φz−φy = 0. (314)
Como f e g dependem apenas de x e N ´e um polinˆomio conhecido (o denomidador da 2EDO), podemos pensar em um algoritmo para resolver / reduzir a 2EDO:
Os passos do algoritmo:
1. Fa¸ca n= 1.
2. Construa um polinˆomio P de grau nnas vari´aveis (x, y, z) com coeficientes indeter- minados ai.
3. Substitua P na equa¸c˜ao (314) e expanda a equa¸c˜ao resultante em potˆencias de y e z.
4. Resolva o sistema de equa¸c˜oes obtido para f, g e para os ai.
5. Caso obtenha solu¸c˜ao, construa a simetria e v´a para o passo 6. Caso contr´ario, fa¸ca n =n+ 1 e v´a para o passo 2.
6. Para cada solu¸c˜ao, encontre um invariante do grupo definido porνp (que define uma 1EDO reduzida).
7. Resolva a(s) 1EDO(s) reduzida(s) e encontre a solu¸c˜ao geral da 2EDO.
Observa¸c˜ao 5.3 : Cada solu¸c˜ao n˜ao trivial do sistema de equa¸c˜oes para f, g e os ai
leva a uma simetria da 2EDO definida por νp =e(f(x)+Rx[g(x)PN]).
Observa¸c˜ao 5.4 : Caso obtenhamos duas solu¸c˜oes independentes, teremos, ap´os o passo 6, resolvido totalmente o problema, ou seja, n˜ao ser´a necess´ario (obviamente) integrar as duas 1EDOs reduzidas que obtivemos.
Observa¸c˜ao 5.5 : A descri¸c˜ao dos passos do algoritmo ´e mais did´atica do que t´ecnica, no sentido que alguns passos s˜ao muito mais complexos que outros. Os passos 4 e 6, por exemplo, s˜ao muito extensos (e complexos), ou seja, realiz´a-los nem sempre ´e uma tarefa simples. O ponto aqui ´e que esses passos podem ser tratados de maneira mais simples que outras alternativas ao processo como um todo. Para mais informa¸c˜ao, veja o cap´ıtulo 6, que apresenta uma discuss˜ao do desempenho do pacote computacional que implementa este algoritmo.
Observa¸c˜ao 5.6 : O algoritmo descrito acima ´e, na verdade, um semi-algoritmo, uma vez que ele pode n˜ao terminar.
5.3.2 Um Estudo de Caso
Vamos aplicar o algoritmo que construimos (descrito na subse¸c˜ao anterior) a uma 2EDO racional para ilustrar a aplica¸c˜ao do m´etodo na pr´atica: considere a 2EDO racional z0 = x3yz+ 2x3z2−zx3−3x2zy−3x2z2 + 3x2z−y2−yz+z2+y−z
x3y−x3+y . (315)
Vamos aplicar o algoritmo passo a passo:
Passo 1: n= 1.
Passo 2: P =a1+a2x+a3y+a4z.
Passo 3: Substituindo P na equa¸c˜ao (314) e separando em potˆencias de y e z, obtemos (omitimos a dependˆencia de x nas equa¸c˜oes para simplificar a nota¸c˜ao):
−2x3+g a4+ 3x2−1
−x3+g a4−1
= 0, (316)
(2a4x3+ 2a4)g−4x6+ 6x5−6x3+ 6x2−2
f0+ (a4x3+a4)g0+
+2g2a3a4+ (−4a3x3+ 6a3x2−3a4x2−2a3)g = 0, (317) ...,
onde omitimos quatro equa¸c˜oes para simplificar a apresenta¸c˜ao.
Passo 4: Resolvendo a primeira equa¸c˜ao (316) parag(x), obtemosg(x) = 2x3−3ax2+1
4
ou g(x) = x3a+1
4 . Substituindo g(x) = 2x3−3ax2+1
4 na segunda equa¸c˜ao (317), obtemos 3x a4(x3 +x−2) = 0 ⇒ a4 = 0, inviabilizando esta solu¸c˜ao. Substituindo g(x) = x3a+1
4
na segunda equa¸c˜ao (317) e resolvendo para f0, obtemos f0 =−aa3
4 ⇒ f =−aa3
4 x. Subs- tituindo f =−aa3
4 x eg(x) = x3a+1
4 nas equa¸c˜oes restantes vamos obter o seguinte sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas:
a2 = 0, a22 = 0, 4a2 = 0, −3a2 = 0, a2 = 0, −a1−a4 = 0, 3a1 + 3a3 = 0, 6a1 + 6a3 = 0, a1 + 6a4 = 0, −3a1+ 6a2 −3a3 = 0, −a1 + 4a2 −a3 = 0, a1+a2 +a4 = 0, 5a2 +a3 −a4 = 0, 4a1−6a2 +a3 + 3a4 = 0, a12+a1a4 = 0, 2a1a2 +a2a4 = 0, −3a1a4 + 2a22−3a3a4 = 0, 2a1a2 + 2a2a3 +a2a4 = 0, 4a1a2 + 2a2a3+ 2a2a4 = 0, 2a12 + 2a1a3 + 2a1a4 −a2a4+a3a4 +a42 = 0,
a12 + 2a1a3 +a1a4 −4a2a4+a32+a3a4 = 0. (318) A solu¸c˜ao do sistema ´e a1 =−a4, a2 = 0, a3 =a4, a4 =a4 e, portanto,f =−x.
Passo 5: Usando a solu¸c˜ao a1 =−a4, a2 = 0, a3 = a4, a4 =a4, f =−x, g(x) =
x3+1
a4 , podemos construir ν:
νp =e
−x+ Z
x
(x3+ 1)(z+y−1) x3y−x3+y
. (319)
Passo 6: Usando a simetria encontrada, podemos chegar ao invariante I = e−x(zx3 −y)
z+y−1 . (320)
Passo 7: A partir da 1EDO definida pelo invariante (I = C1) z= ye−x+ C1y− C1
e−xx3− C1 , (321)
podemos resolvˆe-la usando o m´etodo de simetrias de Lie. Por exemplo o comandosymgen da plataforma simb´olica MAPLE encontra a simetria
ξ= 0, η = e
−x− Z
− x3+ 1 x3−ex+kdx
, (322)
levando `a solu¸c˜ao geral y(x) =
Z
− C1e−
R C1+e−x
e−xx3−C1dx
e−xx3− C1−1
dx+ C2
e
R C1+e−x
e−xx3−C1dx
. (323)
Como a 1EDO (321) foi constru´ıda a partir deI = C1, sua solu¸c˜ao geral (323) ´e tamb´em a solu¸c˜ao geral da 2EDO (315).
6 IMPLEMENTAC¸ ˜AO COMPUTACIONAL
Neste cap´ıtulo vamos apresentar uma implementa¸c˜ao dos algoritmos (dicutidos nos cap´ıtulos anteriores) em um ambiente computacional e estudar o seu desempenho quando aplicado a casos concretos. Os algoritmos ser˜ao implementados em dois pacotes com- putacionais na plataforma MAPLE14. Escolhemos a plataforma MAPLE de computa¸c˜ao simb´olica por ser muito vers´atil e male´avel e, por isso, permitir uma implementa¸c˜ao de ferramentas de an´alise (e de algoritmos complexos) bem mais eficiente do que ´e poss´ıvel em outras linguagens simb´olicas. O cap´ıtulo ser´a organizado da seguinte maneira:
Na primeira se¸c˜ao descreveremos o primeiro pacote, que foi desenhado para a busca de simetrias e posterior solu¸c˜ao de 1EDPs em duas vari´aveis. Usamos os algoritmos discutidos nos cap´ıtulos 1 e 3.
Na se¸c˜ao seguinte descreveremos o segundo pacote que aproveita-se da rela¸c˜ao entre 1EDPs polinomiais quase-lineares em trˆes vari´aveis e 2EDOs racionais desenvolvida teo- ricamente no cap´ıtulo 3. Implementamos algoritmos capazes de encontrar simetrias (at´e n˜ao locais) e invariantes de 2EDOs racionais e solu¸c˜oes particulares de 1EDPs polinomiais quase-lineares em trˆes vari´aveis.
Na ´ultima se¸c˜ao comentaremos o desempenho desses dois pacotes em compara¸c˜ao a implementa¸c˜oes computacionais em MAPLE. Novamente escolhemos o MAPLE por ser, provavelmente, a plataforma que apresenta as implementa¸c˜oes mais poderosas (e abrangentes) na ´area.