Uma abordagem heurística para resolver equações diferenciais parciais através de simetrias de Lie. NUNEZ, E. Uma abordagem heurística para resolver equações diferenciais parciais através de simetrias de Lie.
Grupos de Lie
- Transforma¸c˜ oes infinitesimais do grupo de Lie
- Geradores infinitesimais e invariantes
- Coordenadas canˆ onicas
- Grupos de Lie a v´ arios parˆ ametros
- Algebras de Lie
- Subgrupos, sub´ algebras e ´ algebras sol´ uveis
Desenvolvendo as transformações do grupo de Lie (1) em séries de Taylor em relação ao parâmetro α e utilizando a aproximação de primeira ordem, obtemos x∗ = x+ (α − α0 )∂χ. O primeiro teorema fundamental de Lie permite-nos lidar com as transformações infinitesimais do grupo (em vez das transformações finitas (1)).
Transforma¸ c˜ oes Estendidas e Simetrias de EDOs e EDPs
Simetrias de EDOs e seu uso
Vimos que uma vez obtida uma simetria, o método de Lie fornece-nos uma fórmula explícita para a solução/redução da EDO invariante. Temos então duas etapas principais: encontrar os infinitos da EDO e utilizá-los para obter sua solução/redução.
Simetrias de EDPs e seu uso
Portanto, a expectativa é que, se conhecermos a forma dos infinitos ξx, ξy, η e as equações integradas (50), encontraremos uma solução para 1EDP (47). Portanto, assim como no caso dos 1EDPs, a expectativa é que, se conhecermos a forma das equações infinitesimais ξx, ξy, η e integra (82), encontraremos uma solução para o 2EDP ( 79).
Equa¸c˜ ao do tel´ egrafo
Exemplo particular
Equa¸c˜ ao do tel´ egrafo com coeficientes vari´ aveis
Equa¸c˜ ao de Burger
- Resolvendo para o caso de viscosidade constante
Podemos observar que obtemos diversas soluções que não estão incluídas na solução apresentada pelo comando MAPLE (pdsolve). Também podemos utilizar as transformações finitas dos grupos de simetria para gerar novas famílias de soluções.
Burger’s com viscosidade vari´ avel
Uma generaliza¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de Burger
Neste capítulo, que deu origem ao trabalho publicado (NUNEZ; DUARTE; MOTA, 2016), mostraremos dois tipos de conexões entre 2EDOs racionais e 1EDPs polinomiais quase lineares. A primeira é mais direta e inclui EDOs racionais e EDOs quase lineares em duas variáveis independentes. A outra relação diz respeito a EDOs racionais e EDOs polinomiais quase lineares em três variáveis independentes.
Além disso, essas relações podem ser utilizadas para obter soluções específicas de 1EDPs quase lineares em três variáveis independentes. A função S está relacionada à possibilidade de escrever o 2EDO racional como duas formas 1 em três variáveis com componentes polinomiais. Para um 2EDO racional, as funções S associadas pertencem ao polinômio quase linear 1EDP em três variáveis.
Finalmente, utilizando a relação entre 1EDPs quase lineares em duas variáveis independentes e 2EDOs, obteremos algoritmos para obter simetrias (e portanto invariantes) dos 2EDOs e dos 1EDPs associados.
A Fun¸ c˜ ao S
Estas relações permitem-nos encontrar simetrias de Lie em casos mais complicados (do ponto de vista prático) e integrar os 2EDOs racionais por quadratura; Também podemos integrar os 1EDPs (em duas variáveis) associados aos 2EDOs racionais conectando o primeiro tipo. A seguir, mostraremos que as simetrias do 1EDP para a função S estão relacionadas de forma especial com as simetrias dos 2EDO associados. A função definida por S :=Iy/Iz é chamada de função S associada ao 2EDO pela primeira integral I.
Como ω é uma forma 1 exata (ω = dI), vemos que R é um fator integral da forma gama 1 definida por. Se S for uma função S conectada por 2EDO a I, então podemos escrever as condições de compatibilidade de (265) como.
Simetrias de Lie da 1EDP para a Fun¸ c˜ ao-S
Revisitando Simetrias de Lie para EDOs
Simetrias de Lie para a 1EDO de Riccati
Isto significa que com qualquer solução particular ψ da equação de Riccati em relação a (285), determinaremos a simetria (284) para ϕ. Em resumo, a partir de uma dada solução do Riccati 1EDO podemos obter a simetria e assim a solução da equação de Riccati via quadratura.
A 1EDP para a Fun¸c˜ ao S como uma 1EDO de Riccati
A partir do Teorema 5.4, podemos conectar a simetria 2EDO (289) à simetria 1EDP para a função S conectada:.
Um Algoritmo para Obter Simetrias de 2EDOs e 1EDPs
Nesta seção usaremos o conhecimento da relação entre simetria 2EDO ↔ simetria 1EDP para construir um algoritmo que nos permita (em um grande número de 2EDOs) encontrar a simetria de 2EDO e 1EDP para a função associada dog-S encontrar Este 2EDP, devido à equivalência formal entre os operadores13 Dx e dx, pode, com relação às soluções do 2EDO z0 =φ(x, y, z), ser visto como um 2EDO linear homogêneo. No caso em que o 1EDP de Riccati possui uma solução racional cujo denominador é o denominador do racional 2EDO associado (o que é bastante comum quando o racional 2EDO associado possui um invariante elementar ou de Liouvillian), temos uma simetria da forma ν = e−Rx [pol/N], onde pol é um polinômio em (x, y, z).
Observação 5.4: Se após o passo 6 obtivermos duas soluções independentes, resolvemos completamente o problema, ou seja, (obviamente) não será necessário integrar as duas reduções de 1EDO que obtivemos. Observação 5.5: A descrição das etapas do algoritmo é mais didática do que técnica, no sentido de que algumas etapas são muito mais complexas que outras. Nota 5.6: O algoritmo descrito acima é na verdade um semi-algoritmo, pois não é permitido terminar.
Na próxima seção descreveremos o segundo pacote que usa a relação entre 1 EDOs polinomiais quase lineares em três variáveis e duas EDOs racionais desenvolvidas teoricamente no Capítulo 3.
O pacote InSyPDE
Um resumo do pacote
Pdef - Esta rotina coloca o PDE no formato de uma equação em que o lado esquerdo é uma das derivadas de ordem superior. Div - Esta rotina constrói derivadas simbólicas para variáveis sem dependência funcional explícita. Polg - Gerador de polinômios em diversas variáveis (de determinado grau) com coeficientes indeterminados.
Sympgen - Esta rotina procura simetrias EDP (ou 2EDO em alguns casos particularmente difíceis). PDEInv – Esta rotina tenta construir invariantes, soluções invariantes ou soluções gerais a partir de 1EDP/2EDP.
Os comandos do Pacote
- Comando: Pdef
- Comando: Div
- Comandos: D1 / D2 / D3
- Comando: Xop
- Comando: Dop
- Comando: Polg
- Comando: Sympgen
- Comando: PDEInv
Funcionalidade: Este comando constrói variáveis que representam derivadas parciais de funções, ou seja, Div(E, x) resultaria em Exemplo. Funcionalidade: Estes comandos produzem operadores que representam as derivadas totais em relação às variáveis (x, y, z), respectivamente. Funcionalidade: Este comando produz um operador que representa a primeira extensão do gerador de simetria (simbólica).
Funcionalidade: Este comando produz um polinômio com coeficientes indeterminados de um determinado grau em (potencialmente) diversas variáveis. A rotina Sympgen representa a parte principal do pacote: a partir da posse de simetrias, a Teoria de Lie nos dá uma ‘receita de bolo’ para encontrar soluções gerais/soluções invariantes/íons de redução etc. A partir do grau gp, a utilidade Polg gera polinômios nas variáveis independentes e na variável dependente com coeficientes a serem determinados.
Funcionalidade: Este comando constrói soluções invariantes (invariantes) ou soluções gerais para 1EDPs e 2EDPs (se possível) com base nas simetrias obtidas pelo comando Sympgen.
Exemplificando o Uso do Pacote InSyPDE
A saída é uma lista na qual o primeiro elemento é uma família de soluções invariantes e o segundo é o invariante (falando propriamente).
O pacote InSyDE
Um resumo do pacote
Os comandos do Pacote
- Comando: Insyde
- Comando: Symmeo
- Comando: Sfunc
- Comando: Exodes
- Comando: Polg
- Comando: Invade
- Comando: Infact
Funcionalidade: Este comando constrói um fator integral associado à invariante encontrada pelo comando Invadir.
Exemplificando o Uso do Pacote InSyDE
Desempenho
Desempenho do pacote InSyPDE
Observação 6.2 Esta versão inicial do pacote ataca 1EDPs nos quais as funções A, eB e C são polinômios. Isto significa que, se encontrarmos duas simetrias independentes, podemos (teoricamente) obter dois invariantes e a solução geral de 1EDP, e, se obtermos apenas uma simetria, podemos gerar uma família de soluções uniparâmetros. Usando o comando pdsolve do pacote PDEtools, digitamos [> pdsolve(pde);. resultando em uma saída vazia. Colocamos o EDP no formato pdee:=. 343).
Como encontramos duas simetrias, esperamos encontrar uma solução geral com o comando PDEInv, que utiliza as simetrias encontradas para encontrar a solução geral 1EDP:. 345) Lembre-se que o resultado é uma lista em que o primeiro elemento é a solução geral e o segundo e terceiro elementos são invariantes. Com o comando pdsolve do pacote PDEtools, insira [> pdsolve(pde);. resultando em uma saída em branco. Como encontramos apenas uma simetria, não será possível obter uma solução geral:. 348) Neste caso, o resultado é uma lista em que o primeiro elemento é uma família de soluções e o segundo é um invariante.
Neste caso, 1EDP corresponde a um sistema dinâmico em cinco variáveis independentes, e nosso programa não está preparado para buscar a solução geral.
Desempenho do pacote InSyDE
- Em rela¸c˜ ao a abordagem de Darboux
- Em rela¸c˜ ao a abordagem de Lie
Um autopolinômio do operador D é um polinômio p tal que D[p] =p q, onde q é um polinômio chamado cofator. Portanto, um olhar mais atento ao problema de encontrar autopolinômios revela que o grau do cofator q é 4 para este caso. Já um polinômio em três variáveis de grau 4 pode ter até 35 coeficientes.
Como o polinômio x2z−1 faz parte do fator integrador, ele deve ser calculado em um método que utiliza a abordagem Darbouxiana. Por outro lado, para calcular a simetria. 357) usando o processo desenvolvido no Capítulo 4, precisávamos apenas calcular o polinômio P(x, y, z) =a4x2−a4yx−a4z, (grau 2) e usando um sistema algébrico muito mais simples. A partir daí, a função S é construída a partir da simetria ν simplesmente fazendo 359) o que pode ser feito com o próprio comando dsolve, nós temos.
Considera¸c˜ oes sobre o desempenho dos pacotes (e algoritmos)
Nesta tese, tentamos estender um dos nossos “modus operandi” favoritos ao universo das equações diferenciais parciais (EDPs). Essa trajetória começou em nosso grupo há muito tempo com nossas incursões analógicas em equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira (1EDOs) e segunda (2EDOs) ordem. Após o sucesso da tentativa citada, o grupo continuou no universo das EDOs, desta vez com o método Prelle-Singer (e métodos Darbouxianos em geral), gerando diversas extensões e semi-algoritmos.
Conforme mencionado na primeira seção, utilizei métodos heurísticos, e também o referencial teórico do método Lie. Completando assim o ciclo de aplicação original, operacionalizando o método de Lie para gerar métodos heurísticos para determinação das simetrias envolvidas em cada caso. Desta vez trazemos um diálogo entre as simetrias de Lie e nossos métodos e algoritmos que se originam de nossos esforços nos métodos Darbouxianos: um método novo e poderoso para resolver 2EDOs.
Inicialmente, nossa ideia, após percebermos que a função “S” obedece a um 1EDP (quase-linear) em 3 variáveis independentes, era simplesmente tentar estender nossos métodos heurísticos para determinação da simetria de Lie para este caso, e quando resolvermos o 1EDP para a função “S”, utilize este resultado e resolva o 2EDO correspondente (além de ter ampliado o escopo dos 1EDPs por nós considerados).
