XXIV Congresso de Iniciação Científica
Algumas propriedades formais da lógica proposicional para muitos
João Fernando Montanher, Hércules de Araujo Feitosa
Campus de Bauru – Faculdade de Ciências – Licenciatura em Matemática – joaochipss@gmail.com – PIBIC/CNPq
Palavras Chave: lógica proposicional para muitos, propriedades formais.
Introdução
Neste trabalho, estudamos a lógica proposicio- nal para “muitos”, denotada por L(▲), introduzida por Feitosa, Grácio e Nascimento (2009). Esta lógi- ca estende a lógica proposicional clássica através da introdução do operador ▲ na linguagem da lógi- ca clássica L.
O objetivo principal é verificar a validade de algumas propriedades formais para esta lógica.
Material e Métodos
O desenvolvimento do trabalho foi possível a- través de reuniões com o orientador e estudo dos referenciais teóricos.
Resultados e Discussão
Definição 1: A lógica proposicional para muitos L(▲), além das tautologias clássicas, possui três novos axiomas e uma regra de inferência:
(Ax1) ▲(A ∧ B) →▲A (Ax2) ▲A → A (Ax3) ▲(A∨¬A)
(R▲) A ↔ B / ▲A ↔ ▲B.
Os axiomas e a regra de inferência podem ser entendidos da seguinte maneira:
(Ax0) Se A e B possuem muitas evidências, então A possui muitas evidências;
(Ax1) Se A possui muitas evidências, então não é uma contradição;
(Ax2) As tautologias possuem muitas evidências;
(R▲) Se A e B são equivalentes, então ▲A e ▲B também são equivalentes.
Proposição 2: A lógica L(▲) é consistente.
Demonstração: Ver Feitosa, Grácio e Nascimento (2009).
Definição 3: Uma lógica L é Halldén completa se para todas as fórmulas de A e B que não contém variáveis em comum vale:
A ∨ B ∈ L ⇔ A ∈ L ou B ∈ L.
Proposição 4: A lógica proposicional para muitos é Halldén completa.
Definição 5: Uma lógica L tem a propriedade da disjunção se para todas as fórmulas A e B:
A ∨ B ∈ L ⇔ A ∈ L ou B ∈ L.
Proposição 6: A lógica L(▲) não apresenta a pro- priedade da disjunção.
Definição 7: Seja L uma lógica modal e ▲ um operador modal de L. Dizemos que L tem a proprie- dade de disjunção modal se para todas as fórmulas A1, A2 , ..., An de L:
▲A1 ∨ ▲A2∨ ... ∨ ▲An ∈ L ⇔ Ai∈ L, para algum i
∈ {1, 2, ..., n}.
Proposição 8: A lógica L(▲) tem a propriedade de disjunção modal.
Conclusões
Com estes resultados pudemos compreender um pouco melhor a lógica proposicional para muitos dentro da família de lógicas modais, entender os seus modelos algébricos e refletir sobre outras pro- priedades formais, na interação com este sistema lógico formal. O trabalho trás como novidade a aplicação ou não dessas propriedades à L(▲).
Agradecimentos
Agradecemos ao PIBIC/ CNPq.
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1 Chagrov, A.; Zakharyaschev, M. Modal logic. Oxford: Clarendon Press, 1997.
2 Feitosa, H. A.; Paulovich, L. Um prelúdio à lógica. São Paulo: Editora UNESP, 2005.
3 Feitosa, H. A.; Grácio, M. C. C.; Nascimento, M. C. Algebraic elements for the notion of 'many', 2009.
4 Grácio, M. C. C. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese de Doutorado (Doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência) – Instituto de Filosofia e Ciências Humanas, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.
