APLICAÇÃO DO MÉTODO SOLA NA ESTIMATIVA DE CAMPOS HIDRODINÂMICOS EM TORNO DE OBSTÁCULOS
José Eduardo Alamy Filho1 & Harry Edmar Schulz1
Resumo - As equações de Navier-Stokes governam a dinâmica de fluidos newtonianos, constituindo uma ferramenta matemática de grande relevo na modelagem de efeitos localizados no escoamento. A sua extensão para o estudo de escoamentos turbulentos pode ser feita utilizando as condições de Reynolds para as operações de média. Como aproximação ad hoc adicional utiliza-se a hipótese de Boussinesq, na qual uma "viscosidade turbulenta" é convenientemente definida. A solução de tais equações apresenta, contudo, dificuldades inerentes à não linearidade dos termos convectivos e à necessidade de acoplamento entre pressão e velocidade. Uma solução analítica exata ainda não pode ser obtida sem perda de generalidade. Diante disso, a utilização de esquemas numéricos é imprescindível na estimativa de campos de escoamento. Neste contexto, o método SOLA surge como uma alternativa interessante, permitindo usar as equações de Navier-Stokes ou as equações de Reynolds com um procedimento explícito em Diferenças Finitas. Este trabalho descreve as diretrizes do SOLA, demonstrando sua aplicabilidade em casos práticos de escoamento.
Abstract - The Navier-Stokes equations govern the newtonian fluid dynamics, setting an important mathematical tool on local flow modeling. Its extension to turbulent flows may be done using the Reynolds conditions for the average operations. As an additional ad hoc approximation, the Boussinesq hypothesis is used, with the definition of a convenient "eddy viscosity". However, there are many difficulties due to non linear convective terms and to pressure-velocity corrections. An analytical solution is not possible yet, unless for some particular cases. Numerical schemes are thus used to estimate flow fields. As an example, the explicit scheme SOLA represents an interesting tool to solve the Navier-Stokes or Reynolds equations, using a finite difference approximation. This paper describes the main SOLA procedures, applying this method to solve a practical flow example.
1 EESC-USP (Escola de Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo); Departamento de Hidráulica e Saneamento; Av. Trabalhador São-carlense, nº400; CEP 13566-590; São Carlos; SP; Brasil; (0**16)273-9552;
Palavras-chave - Equações de Navier-Stokes, SOLA, Diferenças Finitas.
INTRODUÇÃO
A dedução das equações de Navier-Stokes contribuiu como um importante impulso à Hidráulica e à Mecânica dos Fluidos. Estas equações foram formuladas a partir da aplicação, num volume elementar de fluido, da Segunda Lei de Newton e do Princípio da Conservação de Massa.
Sua gama de aplicação é vasta, podendo ser utilizadas tanto na modelação de escoamentos compressíveis quanto de escoamentos incompressíveis. Convém ressaltar que tais formulações abrangem casos de fluidos newtonianos, ou seja, fluidos onde vale a proporcionalidade direta entre viscosidade e gradiente de velocidade. A aplicação dessas equações é de grande interesse na Engenharia, uma vez que elas possuem a capacidade de estimar efeitos localizados no escoamento para várias situações práticas, incluindo escoamentos de ar e água. Todavia, a não-linearidade inerente à formulação governante dos movimentos dos fluidos e a necessidade do acoplamento pressão-velocidade representam ainda empecilhos para uma resolução analítica mais geral dos campos hidrodinâmicos. Assim, opta-se pela resolução numérica, que permite, através de artifícios convenientes, suplantar estas dificuldades.
A estimativa de campos hidrodinâmicos, seja em escoamentos laminares, seja em escoamentos turbulentos, carece da aplicação das equações de Navier-Stokes. No caso laminar, as equações podem ser aplicadas utilizando valores constantes de viscosidade e malhas relativamente grosseiras. Os campos instantâneos assim obtidos representam diretamente as velocidades e pressões médias, uma vez que as flutuações são nulas. No caso turbulento, por sua vez, existem diversos modelos com diferentes formas de solução. Nesse contexto, podem-se citar as Simulações Numéricas Diretas (SND), as Simulações das Grandes Escalas (SGE) e os modelos de turbulência como o κ − ε . As equações de Navier-Stokes assumem formas ligeiramente distintas de acordo com cada um desses métodos e necessitam de algum esquema numérico para sua solução.
Os métodos de Diferenças Finitas e de Volumes Finitos são os mais largamente aplicados na discretização e solução das equações de Navier-Stokes. Através de uma breve consulta na literatura da área, nota-se uma certa predileção pela utilização de Volumes Finitos. Assim, esquemas de solução em volumes elementares são amplamente difundidos (PATANKAR, 1980; FLETCHER, 1991; MALISKA, 1995). Alguns métodos em Diferenças Finitas podem, por sua vez, ser encontrados em FLETCHER (1991) e FORTUNA (2000). Dentre estes procedimentos destacam-se o método MAC (“marker and cell”) e o método SOLA. De acordo com FORTUNA (2000), o método MAC é um dos esquemas explícitos mais populares para a solução numérica de campos de escoamento. O método explícito SOLA, todavia, não apresenta grande difusão na literatura. Diante
de fatores como estes, o presente trabalho surge com intuito de descrever as equações e procedimentos do SOLA, demonstrando sua aplicabilidade na descrição matemática do comportamento dos fluidos.
Adicionalmente são apresentados resultados da simulação de um escoamento bi-dimensional, permitindo estimar a formação e evolução de vórtices a jusante de obstáculos. Este caso é de grande interesse na Engenharia. De acordo com LIMA e SILVA (2002), os vórtices formados a jusante de estruturas podem induzir vibrações prejudiciais ao seu funcionamento. Assim, o conhecimento e a previsão de campos hidrodinâmicos nas proximidades de estruturas assumem um papel relevante no projeto de obras hidráulicas e estruturais.
EQUAÇÕES GOVERNANTES DO ESCOAMENTO
Conforme foi previamente comentado, equações de Navier-Stokes descrevem matematicamente escoamentos compressíveis e incompressíveis. Estas equações permitem o cálculo do transporte de quantidade de movimento, sendo utilizadas em conjunto com a Equação da Continuidade. Esta ligação possibilita o acoplamento pressão-velocidade e o fechamento do sistema de equações diferenciais governantes. Diante de um escoamento incompressível e um sistema de coordenadas cartesianas, as formulações podem ser descritas por:
• Equação da Continuidade (conservação de massa):
=0
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
z w y v x
u (1)
• Equações de Navier-Stokes (quantidade de movimento):
em x: bx
z u y
u x
u x
p z
w u y v u x u u t
u +
∂ +∂
∂ +∂
∂
⋅ ∂
∂ +
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2 2
1 ν 2
ρ (2)
em y: by
z v y
v x
v y
p z
w v y v v x u v t
v +
∂ +∂
∂ +∂
∂
⋅ ∂
∂ +
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2 2
1 ν 2
ρ (3)
em z: bz
z w y
w x
w z
p z
w w y v w x u w t
w +
∂ +∂
∂ +∂
∂
⋅ ∂
∂ +
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2 2
1 ν 2
ρ (4)
Onde:
• u = velocidade instantânea na direção x [LT-1];
• v = velocidade instantânea na direção y [LT-1];
• w = velocidade instantânea na direção z [LT-1];
• ρ = massa específica do fluido [ML-3];
• p = pressão instantânea [ML-1T-2];
• ν = viscosidade cinemática do fluido [L2T-1];
• bi (i = x, y, z) = força de campo [LT-2].
As equações (1) a (4) reproduzem as leis consideradas válidas para descrever o escoamento de fluidos newtonianos (proporcionalidade entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade).
Neste sentido, são equações "exatas". Vale lembrar que as componentes de velocidade e a pressão representam grandezas instantâneas, o que tira a possibilidade de estimar campos de valores médios, muitas vezes necessários na Engenharia. Assim, as equações foram adaptadas pela aproximação estatística sugerida por Reynolds, representando cada grandeza instantânea pela soma do seu valor médio com sua respectiva flutuação:
• u =u+u′ (5)
• v=v+v′ (6)
• w=w+w′ (7)
• p= p+ p′ (8)
A substituição das equações (5) a (8) nas equações (1) a (4) e a integração dessas equações numa escala de tempo maior que a escala dos movimentos turbulentos fornece as equações da continuidade e de Navier-Stokes para valores médios de velocidade e pressão (RANS): • Equação da continuidade (para valores médios): =0 ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ ∂ z w y v x u (9)
• Equações de Navier-Stokes (para valores médios): em x: x b w z u u v z y u u u y x u u x x p z w u y v u x u u t u + − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅∂ − ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ν ν ν ρ 1 (10)
em y: y b w z v v v z y v v v y x u v x y p z w v y v v x u v t v + − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ − ′ ′ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅∂ − ∂ = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ν ν ν ρ 1 (11)
em z:
z b w z w w w z
y v w w y
x u w x z p z
w w y v w x u w t
w +
− ′ ′
∂
∂
∂ + ∂
− ′ ′
∂
∂
∂ + ∂
− ′ ′
∂
∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν
ρ 1
(12)
Nota-se que as equações resultantes apresentam correlações entre as flutuações das componentes de velocidade (ui′u′j). A determinação destas correlações consiste na principal dificuldade do cálculo de escoamentos turbulentos. Tais correlações, quando multiplicadas pela massa específica do fluido (ρ), apresentam a dimensão de tensões, sendo denominadas de tensões turbulentas ou de tensões de Reynolds. Assim, as tensões atuantes no fluido são resultantes da combinação entre a tensão viscosa molecular, obtida da lei de viscosidade de Newton, e a tensão turbulenta. Estas combinações são representadas pela seguinte equação, escrita em notação tensorial:
j i j
i
ij uu
x
u − ⋅ ′ ′
∂
=µ ∂ ρ
τ (13) Onde:
µ = viscosidade dinâmica do fluido [ML-1T-1];
ν ρ µ = ⋅
As tensões atuantes no fluido podem ser também calculadas partindo-se do princípio de que as tensões turbulentas são proporcionais aos gradientes das velocidades médias, de maneira análoga às tensões viscosas (aproximação de Boussinesq). Assim:
j i t j
i j
i t j i
ij x
u x
u x
u x
u
∂
⋅ ∂
∂ +
⋅ ∂
∂ = + ∂
∂
=µ ∂ µ ρ ν ρ ν
τ (14)
Esta hipótese introduz um novo parâmetro, a viscosidade turbulenta (νt) que, ao contrário da viscosidade cinemática, não depende do fluido, mas sim da estrutura da turbulência. A substituição da equação (14) nas equações (10) a (12), produz uma forma mais "tratável" para as equações de Navier-Stokes, as quais passam a ter como variáveis dependentes apenas valores médios. Assim, estas equações evoluem para:
em x:
( ) ( ) ( )
bxz u z
y u y
x u x
x p z
w u y v u x u u t u
tz ty
tx +
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν ν ν ν
ρ 1
(15)
em y:
( ) ( ) ( )
byz v z
y v y
x v x
y p z
w v y v v x u v t v
tz ty
tx +
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν ν ν ν
ρ 1
(16) em z:
( ) ( ) ( )
bzz w z
y w y
x w x
z p z
w w y v w x u w t w
tz ty
tx +
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν ν ν ν
ρ 1
(17)
As equações (15) a (17), juntamente com a equação da continuidade (9) permitem calcular velocidades e pressões médias para escoamentos turbulentos.
O MÉTODO SOLA
O método SOLA é um procedimento explícito em Diferenças Finitas para resolução numérica das equações de Navier-Stokes. Desta forma, os campos de velocidade e pressão calculados para um determinado instante (n+1) são obtidos a partir destes campos no instante (n). Para isto, o SOLA utiliza um processo iterativo de correção de pressão e velocidades em cada célula do domínio de escoamento. Torna-se, pois, conveniente descrever alguns artifícios necessários a sua aplicação.
Armazenamento de Variáveis
De uma maneira geral, o tipo de malha mais comum, utilizada nos cálculos por Diferenças Finitas, consiste na malha co-localizada. Neste caso, todas as incógnitas são armazenadas em um mesmo nó. Assim, nas aproximações numéricas das equações de Navier-Stokes, a utilização de malhas co-localizadas produz o armazenamento dos valores de velocidade e pressão em um mesmo nó. Segundo alguns autores como PATANKAR (1980), este tipo de malha tem apresentado o inconveniente de fornecer campos oscilatórios de pressão. Isto decorre dos diferentes estênceis necessários ao cálculo dos termos que compõem as equações, gerando quatro grupos de equações desacopladas entre si. Tal empecilho surge porque os grupos não apresentam pontos comuns na malha. O efeito potencial deste desacoplamento é a geração de campos oscilatórios de pressão, o que é fisicamente incorreto.
Diante disto, a tendência na modelação de escoamentos incide na escolha da posição em que cada variável é armazenada, evitando fixá-las num mesmo ponto. Malhas deste tipo, onde as variáveis estão armazenadas em diferentes posições, são chamadas na literatura de malhas deslocadas (“staggered grid”). De acordo com FORTUNA (2000), esta malha tem se tornado um
padrão no cálculo de escoamentos incompressíveis. Neste caso, cada nó é representado por um bloco (em três dimensões) e por uma célula (em duas dimensões), como ilustrado pela Figura 1.
As condições de armazenamento de variáveis em cada célula são as seguintes:
• pressão (p) : armazenada no centro da célula;
• velocidade na direção x (u) : armazenada nas faces laterais;
• velocidade na direção y (v) : armazenada nas faces laterais.
A partir destas características, fixadas pela malha deslocada, será baseado todo o processo de discretização das equações.
Forma Discreta das Equações de Navier-Stokes no Método SOLA
Nesta etapa, as equações diferenciais de quantidade de movimento são transformadas em relações algébricas passíveis de resolução, tomando por base uma malha deslocada, conforme descrito no item anterior. Para isto, o procedimento de discretização é direcionado para o caso bidimensional, sem, contudo, perder sua aplicabilidade quando as equações são consideradas nas três dimensões.
• Na direção x:
∂ +∂
∂
⋅ ∂ ν
∂ +
⋅∂
−ρ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2
y u x
u x
p 1 x v u x u u t
u (forma diferencial primitiva, sem forças de campo)
j
i
i,j
Figura 1 . Malha deslocada, onde as velocidades são armazenadas nas faces e a pressão no centro da célula
∆y
∆x
p Ui+1/2
Ui-1/2
Vj+1/2
Vj-1/2
x p t p
VISC CONV
) t ( u
u
n j , i n
j , 1 n i
j 2, i 1 n
j 2, i 1 n
j 2, i 1 1 n
j 2,
i 1 ∆
⋅ − ρ
−∆
− +
⋅
∆ +
= + + + +
+
+ (forma discretizada)
(18) Onde:
+ =
n j 2, i 1
CONV
(
i 1,j i 1,j i,j i,j)
nx
u u u
u
∆
⋅
−
⋅ +
+ +
(
i 12 j 12 i 12,j 12 i 12 j 12 i 12,j 12)
ny
v , u v
, u
∆
⋅
−
⋅ + + + − + −
+ +
(19)
+ =
n j 2, i 1
VISC
(
( )
i 122,j i 32,j)
nj 2, i 1
x u u
2 u
∆ +
⋅
⋅ −
ν − + + +
(
( )
i 122,j i 32,j 1)
n1 j 2, i 1
y
u u
2 u
∆ +
⋅
⋅ −
ν − + + + −
(20)
A forma discretizada da equação de quantidade de movimento na direção x ainda pode ser escrita de uma forma reduzida como:
x p t p
F u
n j , i n
j , 1 n i
j 2, i 1 1 n
j 2,
i 1 ∆
⋅ − ρ
−∆
= + +
+
+ (21)
Onde:
− +
⋅
∆ +
= + + +
+
n j 2, i 1 n
j 2, i 1 n
j 2, i 1 1
n j 2,
i 1 u ( t) CONV VISC
F (22)
A estas duas últimas equações deve-se dar atenção, uma vez que elas são utilizadas diretamente pelo método SOLA.
• Na direção y:
∂ +∂
∂
⋅ ∂ ν
∂ +
⋅∂
−ρ
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2
y v x
v y
p 1 y v v y u v t
v (forma diferencial primitiva, sem forças de campo)
y p t p
VISC CONV
) t ( v
v
n j , i n
1 j , n i
12 j , i n
12 j , i n
12 j , i 1 n
12 j ,
i ∆
⋅ − ρ
−∆
− +
⋅
∆ +
= + + + +
+
+ (forma discretizada)
(23) Onde, analogamente à discretização na direção x:
+ =
n 12 j ,
CONVi
(
i,j 1 i,j 1 i,j i,j)
ny v v v v
∆
⋅
−
⋅ +
+ +
(
i 12 j 12 i 12,j 12 i 12 j 12 i 12,j 12)
ny
v , u v
, u
∆
⋅
−
⋅ + + − + − +
+ +
(24)
+ =
n 12 j ,
VISCi
(
i,j 12( )
i,j212 i,j 32)
ny
v v
2 v
∆ +
⋅
⋅ −
ν − + + +
(
i 1,j 12( )
i,j212 i 1,j 12)
ny
v v
2 v
∆ +
⋅
⋅ −
ν − + + + +
(25)
Escrevendo, de maneira reduzida, a forma discretizada da equação de quantidade de movimento na direção y, tem-se ainda que:
y p t p
G v
n j , i n
1 j , n i
12 j , i 1
n 12 j ,
i ∆
⋅ − ρ
−∆ +
= + +
+
+ (26)
Onde:
− +
⋅
∆ +
= + + +
+
n 12 j , i n
12 j , i n
12 j , i n
12 j ,
i v ( t) CONV VISC
G (27)
As equações, (21) e (22), assim como as equações (26) e (27), são utilizadas diretamente pelo método SOLA.
Procedimento de Correção de Pressões nas Células
Após a aplicação das equações de quantidade de movimento (21, 22, 26 e 27), varrendo todo o domínio de escoamento, é preciso realizar um balanço de pressão individualmente em cada célula.
É conveniente citar que o método demanda a imposição de campos hipotéticos (iniciais) de pressão e velocidade para ser inicializado.
A correção de pressões nas células do domínio de escoamento consiste no principal atributo do método SOLA. Assim, as pressões são corrigidas por um processo iterativo até que seja garantida a conservação de massa, indicando que 0
y v x
u ≅
∂ +∂
∂
∂ para cada célula do domínio.
Para isto, convém definir o termo dilatação da célula como:
y v v
x u u
y v x
D u i 12,j i 12,j i,j 12 i,j 12
j , j i , i j ,
i ∆
+ −
∆
= −
∂ +∂
∂
= ∂ + − + − (28)
Assim, para que seja garantida a conservação de massa em cada célula, a dilatação deve tender a zero (Di,j → 0). Isto indica uma correção de velocidades de forma a prover esta tendência.
Este procedimento pode ser esquematicamente resumido como:
Aplicando as correções:
• n 1,j k
12
i )
u
( −+ n 1 ,j
12 i k 1 n
j 2, i 1 1 k 1 n
j 2,
i 1 ) (u ) u
u
( −+ + = −+ +δ −+
• n 1 ,j k
12
i )
u
( ++ n 1,j
12 i k 1 n
j 2, i 1 1 k 1 n
j 2,
i 1 ) (u ) u
u
( ++ + = ++ +δ ++
• n 1 k
12 j ,
i )
v
( +− n 1
12 j , i k 1 n
12 j , i 1 k 1 n
12 j ,
i ) (u ) v
u
( +− + = +− +δ +−
• n 1 k
12 j ,
i )
v
( ++ n 1
12 j , i k 1 n
12 j , i 1 k 1 n
12 j ,
i ) (u ) v
u
( ++ + = ++ +δ ++
• (pni,+j1)k (pni,+j1)k+1 =(pni,+j1)k +δpin,+j1 (29)
A substituição do conjunto de equações (29) nas equações de quantidade de movimento (21, 22, 26 e 27), permite chegar a relações entre a correção de velocidades e a correção de pressão.
Assim:
• x
t p u
) k ( j , i )
k ( j 2,
i 1 ∆
⋅δ ρ
= ∆
δ + (30)
• x
t p u
) k ( j , i )
k ( j 2,
i 1 ∆
⋅δ ρ
= ∆
δ − (31)
• y
t p v
) k ( j , i )
k ( 12 j ,
i ∆
⋅δ ρ
= ∆
δ + (32)
• y
t p v
) k ( j , ) i
k ( 12 j ,
i ∆
⋅δ ρ
= ∆
δ − (33)
•
( )
+ ∆
⋅ ∆
∆ ρ
⋅
⋅ ϖ
= − δ
+
2 2 ) k 1( n
j , i )
k ( j , i
y 1 )
x ( t 1 2
p D (34)
correção
i,j i,j
iteração (k) iteração ( k+1)
vi,j-1/2
vi,j+1/2
ui-1/2,j pi,j ui+1/2,j
vi,j+1/2 +δvi,,j+1/2
vi,j-1/2 +δvi,,j-1/2
ui-1/2,j +δui-1/2,j pi,j+δpi,j ui+1/2,j +δui+1/2,j
Figura 2. Esquema de correções de velocidade e pressão nas células
• ω = fator de sobre-relaxação (1< ω <2).
As velocidades corrigidas na face da célula e a pressão são, então, calculadas por:
• ++ + = n++1 ,j (k) +
12 i ) 1 k ( 1 n
j 2,
i 1 ) (u )
u
( x
t pi,j(k)
∆
⋅δ ρ
∆ (35)
• ++ + = n++1 (k) +
12 j , i ) 1 k ( 1 n
12 j ,
i ) (v )
v
( y
t pi,j(k)
∆
⋅δ ρ
∆ (36)
• (pin,+j1)k+1 =(pin,+j1)k +(δpi,j)k (37)
Este processo de correção de velocidades e pressão é executado para todas as células do domínio de escoamento até que seja garantida a conservação de massa em todo o sistema, ou seja, até que:máxDi,j(k) ≤e (38)
Onde: e = precisão imposta à conservação de massa na célula.
Procedimento Geral do SOLA
O emprego do SOLA na resolução numérica das equações de Navier-Stokes pode ser resumido pelos seguintes passos:
• PASSO 1) Imposição de um campo inicial de velocidade (Vr
) e pressão;
• PASSO 2) Aplicação das equações discretizadas de Navier-Stokes (equações (21) e (26)) para cada célula, varrendo todo o domínio de escoamento. Este passo permite o cálculo das velocidades (ainda não corrigidas) n 1 ,j
12
ui++ e n 1
12 j ,
vi++ .
• PASSO 3) Processo iterativo de correção aplicado para cada célula (i,j):
• correção para pressão:
( )
+ ∆
⋅ ∆
∆ ρ
⋅
⋅ ϖ
= − δ
+
2 2 ) k 1( n
j , i )
k ( j , i
y 1 )
x ( t 1 2 p D
• cálculo da pressão no centro da célula: (pni,+j1)k+1 =(pni,+j1)k +(δpi,j)k
• correção das velocidades nas face das célula:
+
= ++
+ + +
) k ( 1 n
j 2, i 1 ) 1 k ( 1 n
j 2,
i 1 ) (u )
u
( x
t pi,j(k)
∆
⋅δ ρ
∆
+
= ++
+ +
+
) k ( 1 n
12 j , i ) 1 k ( 1 n
12 j ,
i ) (v )
v
( y
t pi,j(k)
∆
⋅δ ρ
∆
Convém lembrar que velocidades fixas nas fronteiras de entrada de fluido, e velocidades que constituem contorno não são corrigidas. Nas fronteiras sólidas (paredes) as velocidades normais são geralmente nulas. O mesmo ocorre para velocidades tangenciais (condição “no slip”), a não ser que a parede tenha velocidade em relação a um observador fixo e fora do sistema analisado.
• PASSO 4) Com o término das correções estabelecidas pelo passo anterior, é preciso verificar se a conservação global de massa foi satisfeita. Geralmente isto não ocorre na primeira vez que as correções varrem o domínio, uma vez que o ajuste de velocidades e pressão numa célula altera o eventual balanço já realizado em outra célula adjacente. Desta forma, o PASSO 3 deve ser repetido até que seja obedecida a condição: máxDi,j(k) ≤e.
• PASSO 5) Ao final do processo iterativo, os campos de velocidade e pressão estão efetivamente no nível de tempo (n+1). O avanço para um nível de tempo superior demanda a conveniência de recalcular um intervalo de tempo adequado para evitar instabilidades na solução numérica. Assim:
• controle de “time-step”:
1 2
2 ( )
1 )
( 2 1
−
+ ∆
⋅ ∆
∆ +
∆ +
=
∆ y x y
v x
t umáx máx ν (39)
• repetição dos PASSOS 1 a 4.
Este procedimento é repetido até que seja atingido o instante requerido para finalizar os cálculos.
SIMULAÇÃO
As simulações visam demonstrar a aplicabilidade do método SOLA em escoamentos de água.
Para isto foi considerado um escoamento bidimensional em um canal composto de duas placas planas paralelas infinitas, com um obstáculo localizado no seu eixo de simetria. Este caso permite prever a formação de zonas de recirculação transientes a jusante do obstáculo. Vale lembrar que, para altos números de Reynolds (caso turbulento), a prática tem demonstrado que se formam esteiras de vórtices semelhantes àquelas observadas em fenômenos de instabilidade de escoamentos laminares (CHEN e JIRKA, 1997 ). As equações governantes do escoamento são descritas por:
• =0
∂ +∂
∂
∂ y v x
u (40)
•
( ) ( )
y u y
x u x
x p y
v u x u u t u
ty
tx ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν ν
ρ
1 (41)
•
( ) ( )
y v y
x v x
y p y
v v x u v t v
ty
tx ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
⋅∂
−
=
∂ + + ∂
∂ + ∂
∂
∂ ν ν ν ν
ρ
1 (42)
A viscosidade turbulenta em canais geralmente segue um perfil parabólico ao longo da profundidade (uma decorrência do uso do perfil logarítmico de velocidade), podendo ser descrita por (RIJN, 1984b):
h h u
y h
y
t ⋅ ⋅ ⋅
−
⋅
= 1 κ *
ν (43) Onde:
• y = distância em relação ao fundo do canal [L];
• h = profundidade do escoamento [L];
• κ (constante de von Karman ) = 0,4 (para água limpa);
• * 12 2 2 2
C v g u
u = ⋅ + = velocidade de cisalhamento (GUO e JIN, 2002) [ LT-1]; (44)
• 1 2 h61
C = n ⋅ = coeficiente de Chézy (HU e KOT, 1997); (45)
• n (coeficiente de Manning) = 0,02 (canais de terra em boas condições (PORTO, 1998));
• g = aceleração da gravidade [LT-2];
A aproximação parabólica, no presente exemplo, estabelece prioritariamente a ordem de grandeza da viscosidade turbulenta. Na ausência de um princípio físico rígido, aproximações fundamentadas em casos conhecidos indicam valores que se mantém em patamares reais. Neste caso, adotou-se νtx= νty = νt. Na presente simulação x representa a direção longitudinal horizontal e y a direção transversal vertical. Assim, um valor característico viável da viscosidade turbulenta é obtido através da integração na vertical da equação (43):
1 6
1 *
0
*
h dy u
h h u
y h
y h
h t
⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
∫
κ κν (46)
Para tornar o resultado útil em escoamentos confinados (caso em estudo), a profundidade h pode ser obtida através dos campos de pressão, tomados no nível de tempo atual, a uma altura y equivalente à metade da profundidade. Assim:
g h p
⋅
= ⋅ ρ 2 .
Na entrada do canal impôs-se um perfil uniforme de velocidade. As demais características do escoamento estão listadas a seguir:
• uentrada = 1 m/s;
• ventrada = 0;
• uinicial =1 m/s;
• vinicial = 0;
• pinicial = 1 N/m2;
• base do canal = 2 m;
• comprimento do canal = 7,50 m;
• discretização da malha = 0,05 x 0,05 m;
• dimensões do obstáculo = 0,4 x 0,4 m.
Resultados
Os Gráficos 1 a 11 ilustram os resultados obtidos pela simulação.
Gráfico 1 . Vetores de velocidade para t = 4 s
Gráfico 2 . Vetores de velocidade para t = 8 s
Gráfico 3 . Vetores de velocidade para t = 10 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Gráfico 4 . Campo de vorticidade [ m/s/m] para t = 4 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Gráfico 5 . Campo de vorticidade [m/s/m] para t = 8 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Gráfico 6 . Campo de vorticidade [m/s/m] para t = 10 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
Gráfico 7 . Energia cinética por unidade de massa [m2s-2] para t = 4 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
Gráfico 8 . Energia cinética por unidade de massa [m2s-2] para t = 8 s
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00
x (m) 0.00
1.00 2.00
y (m)
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
Gráfico 9 . Energia cinética por unidade de massa [m2s-2] para t = 10 s
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000
0 1 2 3 4 5 6 7
x (m)
pressão (N/m2)
eixo do canal (montante do obstáculo)
eixo do canal (jusante do obstáculo)
eixo N-N
eixo S-S
margem esquerda
Gráfico 10 . Perfil longitudinal de pressão para t = 10 s
N N
S S
-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
y (m)
pressão (N/m2)
eixo E-E
eixo D-D
E
E
D
D Gráfico 11 . Perfil transversal de pressão para t = 10 s
CONCLUSÕES
Verificou-se que o método SOLA adequa-se ao estudo de escoamentos turbulentos em torno de obstáculos. Os resultados das simulações indicaram que esses escoamentos podem gerar esteiras de vórtices semelhantes aos fenômenos de instabilidade e transição observados em escoamentos laminares em torno de obstáculos. O número de Reynolds, considerando o lado do obstáculo, foi de 4.105. Esses resultados corroboram os estudos experimentais de CHEN e JIRKA (1997).
A avaliação da viscosidade turbulenta envolveu o uso de modelos válidos para canais, com transformação da profundidade em pressão. Esse procedimento tem a vantagem de embutir os valores das constantes empíricas, sem a necessidade de maiores ajustes (coeficientes de Manning e Chézy). Outras aproximações vinculadas a modelos de turbulência devem ser ainda testadas.
Os gráficos de vetores de velocidade, vorticidade e energia cinética média apresentam formas que correspondem àquelas encontradas em outros estudos da literatura, denotando a capacidade preditora do SOLA.
Do ponto de vista numérico, o SOLA apresenta a vantagem de não necessitar da resolução de sistemas lineares. Esta característica evita contratempos potenciais decorrentes da aplicação de métodos inadequados de solução de sistemas e também decorrentes de matrizes mal condicionadas.
As pressões e velocidades, para um determinado nível de tempo, são calculadas a partir do nível anterior, sendo corrigidas a cada iteração. Os termos de correção são calculados a partir da imposição do Princípio de Conservação de Massa em cada célula do domínio. Este procedimento tende a minimizar os resíduos da Equação da Continuidade à medida que as iterações evoluem.
Pelas facilidades numéricas acima descritas e pelos bons resultados obtidos, o SOLA constitui uma ferramenta relevante na estimativa de campos de escoamento.
AGRADECIMENTO
Os autores agradecem à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo apoio financeiro concedido ao projeto de pesquisa.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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FLETCHER, C.A.J. Computational Techniques for Fluid Dynamics, vol.II, Springer Series in Computational Physics, 1991.
FORTUNA, A . O . Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos: conceitos básicos e aplicações. Editora da Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, 2000.
GUO, Q.C.; JIN, Y.C. Modeling nonuniform suspended sediment transport in alluvial rivers;
Journal of Hydraulic Engineering, vol.128, n. 9, p.839-847, 2002.
HU, S.; KOT, S.C. Numerical model of tides in pearl river estuary with moving boundary;
Journal of Hydraulic Engineering, vol.123, n.1, p.21-29, 1997.
LIMA E SILVA, A. L. F. Desenvolvimento e implementação de uma nova metodologia para modelagem de escoamentos sobre geometrias complexas: Método da Fronteira Imersa com Modelo Físico Virtual; Tese (doutorado) - Universidade Federal de Uberlândia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica; Uberlândia, 2002.
MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional – Fundamentos e Coordenadas Generalizadas. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, Brasil, 1995.
PATANKAR, S. V. Numerical Heat transfer and Fluid Flows. Hemisphere Publishing Co. New York, 1980.
PORTO, R. M. Hidráulica Básica, EESC-USP, São Carlos, 1998.
RIJN, L.C. van. Sediment transport, part II: suspended load transport. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, v.110, n.11, p. 1613-1641, 1984b.
