O principal problema do Cálculo Numérico é o de aproximar funções "complicadas" por funções mais "simples". Portanto, funções definidas em tabelas serão consideradas funções complicadas.
F´ormula de interpola¸c˜ ao de Lagrange
Como a unicidade da solução é imediata, Lagrange procedeu com a construção desta solução da seguinte forma: para um k fixo, encontramos o polinômio lnk(x) de πn satisfazendo as condições. Seu número é exatamente um inteiro e um polinômio de grau n. Portanto, estes são todos zeros de lnk.
Polinˆomios de Chebyshev
O polinômio Chebyshev do primeiro tipo de grau n é denotado por Tn(x) e é definido no intervalo [−1,1] pela equação. Assim, os zeros do polinômio de Chebyshev Tn+1(x) são os melhores nós para interpolação no intervalo [−1,1], pois o melhor limite para o erro Rn(f) é alcançado por eles.
Diferen¸cas divididas. F´ormula de interpola¸c˜ ao de Newton
Em outras palavras, a diferença dividida por n+ 1 pontos do polinômio de grau é igual ao coeficiente dexn. Esta afirmação decorre imediatamente do fato de que sef ∈πn, então de coincide com o polinômio de interpolação de Lagrange em n+ 1 pontos.
Diferen¸cas finitas. F´ormula de interpola¸c˜ ao com diferen¸cas finitas 19
O cálculo dos coeficientes do polinômio de interpolação com nós equidistantes se reduz ao cálculo de diferenças finitas. Até agora consideramos o problema de interpolação de Lagrange, que requer a construção de um polinômio de grau≤nque, dados n+ 1 pontos distintos x0,.
Diferen¸cas divididas com n´os m´ ultiplos
De acordo com a definição de diferenças divididas, o lado esquerdo de (3) é o coeficiente de xm em q, e o lado direito coincide com o coeficiente de xm−1 em p. Para calcular as diferenças divididas, usaremos a tabela abaixo , onde as duas primeiras colunas contém os dados e as próximas são preenchidas utilizando a relação de recorrência (4).
Sistemas de Chebyshev: interpola¸c˜ ao por polinˆomios trigonom´etricos 35
Precisamos apenas ter certeza de que λk(x) e, portanto, tn(x), é de fato um polinômio trigonométrico de ordem. Vamos supor agora que todo produto de n−1 pares de senos é um polinômio trigonométrico de ordem −1.
Fun¸c˜ oes splines. Interpola¸c˜ ao por splines c´ ubicas
Denotamos por F(¯x,y) a classe de todas as funções ¯ cujas segundas derivadas são contínuas em [a, b] e satisfazem as condições de interpolação. O mesmo teorema vale se F for uma classe de funções que satisfazem as condições de interpolação.
B-splines
Então Pr′(x)−Q′t(x) tem pelo menos zeros distintos, que são pontos com mudança de sinal. Então, vamos destacar mais uma vez: B-splines de grau−1 têm o menor suporte no espaço de splines de grau−1.
Melhor aproxima¸c˜ ao em espa¸cos lineares normados
As colunas seguintes são preenchidas sequencialmente com os dados da anterior e a taxa de repetição (4). Existe uma grande classe de espaços lineares métricos, onde pode ser encontrada a resposta à questão sobre a existência do elemento de melhor aproximação. Definição 7 Dizemos que duas normas ν(f) e µ(f) são equivalentes em F, se existem números positivos m e M, tais que.
Aproxima¸c˜ ao uniforme de fun¸c˜ oes por polinˆomios alg´ebricos
Portanto, o problema de unicidade do polinômio de melhor aproximação uniforme não é elementar. A unicidade do polinômio de melhor aproximação decorre facilmente do teorema de Chebyshev. Corolário 4 Para toda função contínua f em [a, b] existe um único polinômio com melhor aproximação para o grau.
Pois todo no polinômio da melhor aproximação de grau n−1 de f(x) = xn em [−1,1] pode ser escrito explicitamente e certamente está relacionado ao polinômio de Chebyshev Tn(x).
Teorema de Weierstrass
Para cada função f contínua em [a, b] ele explicitamente construiu polinômios algébricos que convergem para esta função na distância (métrica) uniforme. Por exemplo, segue do Lema 1 que se f é um polinômio de grau, então Bn(f;t)∈πm para todo. Mais adiante veremos, pela convergência dos polinômios de Bernstein para essas funções, como a convergência segue [0,1] para qualquer função contínua.
Agora estamos prontos para demonstrar o teorema de Weierstrass para um intervalo finito arbitrário [a, b].
Polinˆomios ortogonais
Pn são, pela propriedade 1 n+ 1, elementos linearmente independentes de πn, de forma que cada elemento de πn pode ser representado como uma combinação linear deles. Por fim, esclarecemos a questão fundamental da existência e, em última instância, da construção de sequências de polinômios ortogonais para dados de um intervalo [a, b] e peso de uma função µ(x). Consequentemente, o problema se reduz à construção do polinômio de grau Pn(x) com coeficiente fixo αn, dexn, que é ortogonal a todos os polinômios no espaço πn−1.
Como eles formam um sistema de polinômios ortogonais, cada polinômio de grau 1 pode ser representado como uma combinação linear deles.
Aproxima¸c˜ ao em espa¸cos de Hilbert
Então o cálculo do elemento de melhor aproximação em um espaço de Hilbert se reduz à solução do sistema (4). Por exemplo, podemos escolher quaisquer dois pontos (xi, fi), (xj, fj) da tabela e considerar a linha que passa por eles como uma aproximação de f. Vejamos uma situação específica, nomeadamente a aproximação de uma função por polinómios algébricos de grau n pontos x1<.
Conseqüentemente, o método dos 'mínimos quadrados' leva ao problema de melhor aproximação por polinômios algébricos no espaço de HilbertH△.
F´ormulas de quadratura interpolat´orias
Definição 12 Uma fórmula de quadratura da forma (2) é chamada interpolativa se os coeficientes ck forem obtidos pela fórmula (3). O engenheiro inglês Cotes calculou os coeficientes das fórmulas de quadratura de interpolação em [0,1] com nós equidistantes, xk = k/n, k = 0,. Por esta razão, fórmulas de quadratura interpoladas com nós equidistantes são chamadas de fórmulas de quadratura de Newton-Cotes.
Para obter uma forma exemplar da fórmula de quadratura (11), podemos escrever L2(f;x) usando a fórmula de Newton e calcular I(L2).
F´ormulas de quadratura de Gauss
Mais adiante mostraremos que existem nós {xk}n1 e coeficientes {Ak}n1 para os quais a correspondente fórmula de quadratura (1) tem GPA igual a 2n−1. Esta fórmula foi formulada pela primeira vez por Gauss e, portanto, é chamada de fórmula de quadratura de Gauss. Vamos construir uma fórmula de quadratura de interpolação da forma (1), cujos nós são os zeros{xk}n1 de ω(x).
A unicidade da fórmula de quadratura com o maior GPA é consequência da unicidade do polinômio (x−x1). x−xn), que é perpendicular a todos os polinômios de πn−1.
F´ormulas de quadratura do tipo Gauss
Antes de estudá-los, daremos alguns resultados clássicos para estimar o número de raízes de uma equação algébrica. Começaremos com a regra de Cauchy para encontrar um círculo que contenha todas as raízes de um polinômio com coeficientes complexos. Daremos agora uma regra proposta por Lagrange para determinar um limite superior para as raízes positivas de uma equação algébrica com coeficientes reais.
O seguinte teorema é devido a Sturm e dá o número exato de raízes de uma equação algébrica em um intervalo [a, b].
M´etodo da contra¸c˜ ao
Para caracterizar a velocidade de convergência, introduziremos a noção de ordem de convergência. Então, para toda aproximação boa o suficiente x0, o processo iterativo gerado por ϕ tem ordem de convergência p. Assim, pelo Teorema 5, o processo iterativo gerado por ϕ, ou seja, o método de Newton, é convergente e tem ordem de convergência 2 para cada aproximação inicial x0.
A alta velocidade de convergência do método de Newton é a vantagem essencial que o torna o mais utilizado.
M´etodo de Gauss
Para evitar esse problema, usamos uma modificação do método de Gauss, o método de Gauss com escolha de fulcro ou o método de Gauss com fulcro. Conseqüentemente, o método da torção gaussiana pode ser aplicado a qualquer matriz regular A, ou seja, matriz com determinante diferente de zero. O método Gauss-Jordan é aplicado quando se trabalha com máquinas com pouca memória operacional para resolver grandes sistemas, pois esse método precisa armazenar menos dados.
Com um pouco de esforço, podemos resolver dois problemas adicionais, ou seja. determine A−1 e detA, se já tivermos resolvido o sistema linear A¯x= ¯b usando o método gaussiano.
Decomposi¸c˜ ao triangular. M´etodo de Cholesky
Claro, isso pode ser feito se os elementos diagonais de R e L forem diferentes de zero. Além disso, isso pode ser feito usando o método de Gauss com rotação parcial. Multiplicação de todos os elementos de uma linha (coluna) por um número diferente de zero.
Consideremos agora uma classe de matrizes para as quais o método gaussiano sem pivotamento pode ser realizado, ou seja, para os quais os elementos principais a11, a(1)22,.
Normas de matrizes. Convergˆencia de s´erie matricial
Por esta razão, todas as condições da definição da norma do vetor devem participar da definição da norma da matriz. Além disso, vamos adicionar outra condição sobre a operação matriz por matriz. Cada norma introduzida em An gera uma distância em An e, portanto, podemos discutir a questão da convergência de linhas de matrizes em relação a essa distância.
Dessa forma, o teorema será provado se provarmos a afirmação de alguma transformação de similaridade especial A.
M´etodos iterativos para solu¸c˜ ao de sistemas lineares
Na prática, é utilizada uma modificação natural do método de iteração simples chamado método de Gauss-Seidel. As regiões de convergência do método de iteração simples e do método de Gauss-Seidel se cruzam. Abaixo mostraremos que, neste caso, o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente que o método de iteração simples.
Portanto, o erro do método de Gauss-Seidel é limitado por uma expressão que converge para zero mais rapidamente do que o limite de erro da iteração simples.
M´etodos dos gradientes para a solu¸c˜ ao de sistemas de equa¸c˜ oes . 176
Neste método, assumindo uma aproximação ¯xk, obtemos o seguinte, ¯xk+1, de modo que f(¯x) diminua tanto quanto possível. A direção de queda máxima da função f é então dada pela direção do vetor ck := ¯rk =Ax¯k−¯b. Como a função f(¯x) possui um único ponto de mínimo local, o método é convergente para qualquer aproximação inicial.
N´ umero de condi¸c˜ ao
A desigualdade (6) mostra que se o número de condição de A é próximo de 1, então o erro relativo da solução é próximo do erro relativo do vetor correto. Às vezes, essas transformações podem levar a um aumento no número de condição de A. Mas uma matriz tem número de condição 1 se e somente se for um múltiplo da matriz identidade.
Portanto, em geral, quando A 6=I, a condição (A)>1 e (9) implica que quando tornamos a matriz simétrica, o número de estado de A cresce.
M´etodo de Jacobi
