e a igualdade ´e atingida somente quandof2(x)≡0. Aplicando este fato para f1=s′′(x) ef2=f′′(x)−s′′(x), obtemos
Z b a
s′′2(x)dx≤ Z b
a
[f′′(x)−s′′(x) +s′′(x)]2dx= Z b
a
f′′2(x)dx.
A igualdade ´e atingida somente para f2 =f′′−s′′ ≡ 0. Ent˜ao, f −s ´e um polinˆomio de grau um. Desde quef−s´e zero emx0, . . . , xn+1, pelas defini¸c˜oes de f e de s, obviamente f ≡ s. Ent˜ao, a igualdade ´e atingida somente para f ≡s. O teorema est´a provado.
O mesmo teorema vale seF´e a classe das fun¸c˜oes que satisfazem `as condi¸c˜oes de interpola¸c˜ao
f(xi) =yi, i= 0, . . . , n+ 1, f′(a) =y′0, f′(b) =yn+1′ ,
es´e a spline c´ubica que realiza a interpola¸c˜ao spline c´ubica completa. De fato, neste caso,
f′(a)−s′(a) = 0, f′(b)−s′(b) = 0,
e, por (8), novamente segue que as fun¸c˜oesf′′(x)−s′′(x) es′′(x) s˜ao ortogonais.
Vamos introduzir a nota¸c˜ao B(x0, . . . , xr;t) para esta B-spline. De acordo com a defini¸c˜ao ,
B(x0, . . . , xr;t) = (· −t)r+−1[x0, . . . , xr].
Podemos verificar que a express˜aoB(x0, . . . , xr;t) ´e de fato uma spline de grau r−1 com n´osx0, . . . , xr. Para isto, lembremos que, para todaf,
f[x0, . . . , xr] =c0f(x0) +c1f(x1) +· · ·+crf(xr), ondeck =ω′(x1k) eω(x) := (x−x0). . .(x−xr). Consequentemente,
B(x0, . . . , xr;t) =
r
X
k=0
ck(xk−t)r+−1,
o que mostra que a express˜ao B(x0, . . . , xr;t) ´e uma combina¸c˜ao linear das fun¸c˜oes{(xk−t)r+−1}rk=0, isto ´e,B(x0, . . . , xr;t) ´e spline de graur−1 com n´os x0, . . . , xr.
Provaremos algumas propriedades interessantes das B-splines.
Teorema 18 Para todo r≥1 temos:
B(x0, . . . , xr;t) = 0 para t≤x0 e t≥xr, B(x0, . . . , xr;t) > 0 para t∈(x0, xr).
Demonstra¸c˜ao.
a) Sejat≤x0. Logo,xk−t≥0 para todok. Consequentemente, (xk−t)r+−1= (xk−t)r−1 eB(x0, . . . , xr;t) = (· −t)r−1[x0, . . . , xr]. Mas, (x−t)r−1´e um po- linˆomio de grau r−1. Portanto, a sua diferen¸ca dividida em quaisquer r+ 1 pontos ´e igual a zero. Ent˜ao,
B(x0, . . . , xr;t) = 0 para t≤x0.
Vamos supor agora quet≥xr. Assim,xk−t≤0 parak= 0, . . . , re, portanto, (xk−t)r+−1 = 0 parak = 0, . . . , r. Por este fato e pela defini¸c˜ao de B-spline, obtemos
B(x0, . . . , xr;t) =
r
X
k=0
ck(xk−t)r+−1= 0.
b) Seja tum ponto fixo em (x0, xr). Vamos denotar porPr(x) =bxr+· · · o polinˆomio de grau r que interpola a fun¸c˜ao Qt(x) := (x−t)r+−1 nos pontos x0, . . . , xr. ´E claro quePr(x) n˜ao pode coincidir identicamente com (x−t)r−1
ou ser identicamente zero em algum subintervalo de (−∞,∞). Caso contr´ario, o polinˆomio Pr(x) coincide com o polinˆomio (x−t)r−1 ou com a fun¸c˜ao zero, o que ´e obviamente imposs´ıvel. Consideremos a diferen¸ca Pr(x)−Qt(x). Ela tem pelo menos r+ 1 zeros x0, x1, . . . , xr. De acordo com a observa¸c˜ao feita acima, esses zeros s˜ao isolados, isto ´e, em qualquer vizinhan¸ca pequena dexih´a pontos onde a fun¸c˜ao ´e diferente de zero. Ent˜ao, pelo teorema de Rolle, entre dois zeros quaisquer dePr(x)−Qt(x) h´a pelo menos um zero dePr′(x)−Q′t(x) ou, mais precisamente, entre quaisquer dois zeros dePr(x)−Qt(x) h´a um ponto onde a derivada Pr′(x)−Q′t(x) muda de sinal. Ent˜ao, Pr′(x)−Q′t(x) tem pelo menosrzeros distintos que s˜ao pontos de mudan¸cas de sinal. Continuando da mesma maneira, concluimos que Pr′′(x)−Q′′t(x) tem pelo menos r−1 zeros, . . ., Pr(r−2)(x)−Q(rt −2)(x) tem pelo menos 3 zeros onde ela muda de sinal. Por outro lado
Pr(r−2)(x) =r!
2 bx2+· · ·,
isto ´e, Pr(r−2)(x) ´e uma par´abola e Q(rt−2)(x) ´e uma fun¸c˜ao linear por partes, que ´e monotonicamente crescente. (veja Figura 3).
P (x) r (r - 2)
Q (x) t (r - 2)
Figura 3
Podemos observar que a par´abola Pr(r−2)(x) n˜ao pode cruzarQ(rt−2)(x) em mais do que dois pontos, se ela ´e cˆoncava, isto ´e, se seu coeficienter!b/2 ´e n˜ao- positivo. Consequentemente,r!b/2>0 e, portanto,b >0. Mas,b´e o coeficiente dexrdo polinˆomio interpoladorPr(x). De acordo com uma das propriedades de diferen¸cas divididas, bcoincide com a diferen¸ca dividida da fun¸c˜ao interpolada
(x−t)r+−1 emx0, . . . , xr. Em outras palavras, b=B(x0, . . . , xr;t)>0, que ´e o que quer´ıamos provar.
Seja
· · ·< xi−1< xi< xi+1<· · ·
uma sequˆencia finita de pontos distintos. Consideremos a correspondente sequˆencia deB-splines
Bi,r−1(t) :=B(xi, . . . , xi+r;t), ∀i.
Mostraremos que as fun¸c˜oesBi,r−1(t), i=m, m+1, . . . , m+N, s˜ao linearmente independentes em (−∞,∞) para qualquer escolha dem eN. De fato, vamos supor o contr´ario. Ent˜ao, existe uma combina¸c˜ao linear
f(t) =
m+N
X
i=m
αiBi,r−1(t)
que ´e zero para todo tde (−∞,∞), mas pelo menos um dos coeficientes{αi}
´e diferente de zero. Vamos escolher um pontot do intervalo(xm, xm+1). Para estet, temos
f(t) =αmBm,r−1(t),
pois Bi,r−1(t) = 0 para i > m. Desde que, pelo Teorema 1, Bm,r−1(t) > 0, a condi¸c˜ao f(t) = 0 implica que αm = 0. Da mesma maneira, provamos que αm+1= 0, . . ., at´e chegarmos `a conclus˜ao de que todos os coeficientes{αi}m+Ni=m
s˜ao iguais a zero, o que ´e contradi¸c˜ao com a hip´otese de queαi ´e diferente de zero. A afirma¸c˜ao est´a provada.
Agora, vamos construir uma nova base para o espa¸co das splines usando B-splines. Para este prop´osito, precisaremos do seguinte lema.
Lema 6 Para toda escolha dos pontos ξ1 <· · · < ξr as fun¸c˜oes(ξ1−x)r−1, . . .,(ξr−x)r−1 s˜ao linearmente independentes em (−∞,∞).
Demonstra¸c˜ao. Supomos o contr´ario. Ent˜ao, existe uma combina¸c˜ao linear f(x) =
r
X
i=1
ai(ξi−x)r−1,
que ´e zero para todo x∈ (−∞,∞), com pelo menos um ai diferente de zero.
Desde quef(x) ´e um polinˆomio alg´ebrico emx, identicamente zero, suas deri- vadas s˜ao tamb´em identicamente zero, isto ´e,
f(x) =f′(x) =· · ·=fr−1(x) = 0 para x∈(−∞,∞)
Fixamos algumxde (−∞, ξ1) e denotamosyi=ξi−x, i= 1, . . . , r. Ent˜ao, f(x) = 0 ⇒ a1y1r−1+· · ·+aryrr−1= 0
f′(x) = 0 ⇒ a1y1r−2+· · ·+aryrr−2= 0 ... ... ...
f(r−1)(x) = 0 ⇒ a1.1 +· · ·+ar.1 = 0
Concluimos quea1, . . . , arsatisfazem a um sistema linear. O determinante deste sistema ´e o de Vandermonde e, portanto, ´e diferente de zero. Ent˜ao, o sistema tem somente solu¸c˜ao nula, a1 =· · · =ar = 0. Chegamos a uma contradi¸c˜ao . O lema est´a provado.
O Teorema 1 implica que cadaB-splineBi,r−1(t) ´e diferente de zero somente no intervalo finito (xi, xi+r). Este intervalo ´e chamado suporte de Bi,r−1(t).
Ent˜ao, asB-splines s˜ao fun¸c˜oes splines com suporte finito. Agora, mostraremos que n˜ao existem outras splines de graur−1 que tˆem “menor”suporte do que asB-splines.
Lema 7 Sejam x1 < · · · < xr e f ∈ Sr−1(x1, . . . , xr). Se f(t) = 0 para todo t6∈[x1, xr], ent˜ao f(t)≡0 em(−∞,∞).
Demonstra¸c˜ao. A spline f pode ser representada da forma f(t) =p(t) +
r
X
k=1
ck(t−xk)r+−1,
onde p´e um polinˆomio de πr−1. Seja t ∈(−∞, x1). Ent˜ao, f(t) = p(t) = 0.
Consequentemente,p≡0. Portanto, f(t) =
r
X
k=1
ck(t−xk)r+−1
para todot. Vamos escolher alguns pontos arbitr´ariosξ1<· · ·< ξrdo intervalo (xn,∞) e introduzir as nota¸c˜oes
pj(x) := (ξj−x)r−1, j= 1, . . . , r.
O lema 2 implica que p1, . . . , pr s˜ao polinˆomios linearmente independentes.
Desde que o n´umero deles ´er, eles formam uma base emπr−1. Consideremos o
funcional
L(p) :=
r
X
k=1
ckp(xk).
A condi¸c˜ao f(ξj) = 0 implica que L(pj) = 0, j = 1, . . . , r. Desde que{pj}r1 forma uma base emπr−1, ent˜ao
L(q) = 0 para todoq∈πr−1.
Sejaqj o polinˆomio deπr−1 que satisfaz `as condi¸c˜oes de interpola¸c˜ao qj(xk) =δkj, k= 1, . . . , r.
Paraq=qj, obtemos
0 =L(qj) =
r
X
k=1
ckqj(xk) =cj
paraj= 1, . . . , r. Consequentemente,f(t)≡0. A afirma¸c˜ao est´a provada.
Ent˜ao, vamos destacar mais uma vez: AsB-slines de graur−1 tˆem o menor suporte no espaco das splines de graur−1.
J´a estamos preparados para provar o resultado principal desta se¸c˜ao . Teorema 19 Sejam a < xr+1 < · · · < xn < b pontos fixos. Tomemos outros 2r pontos arbitr´arios x1 < · · · < xr < a e b < xn+1 < · · · < xn+r. Sejam Bi(t) := B(xi, . . . , xi+r;t), i = 1, . . . , n. As B-splines B1, . . . , Bn formam uma base no espa¸coSr−1(xr+1, . . . , xn)no intervalo [a, b].
Demonstra¸c˜ao. J´a sabemos que a dimensao do espa¸co Sr−1(xr+1, . . . , xn)
´e n. Desde que Bi ∈ Sr−1(xr+1, . . . , xn) para i = 1, . . . , n e o n´umero des- sas splines tamb´em ´en, basta mostrar queB1, . . . , Bn s˜ao fun¸c˜oes linearmente independentes em [a, b].
Suponha o contr´ario. Ent˜ao, existe uma combina¸c˜ao linear f(t) =
n
X
i=1
αiBi(t),
que ´e identicamente zero em [a, b], mas pelo menos um de seus coeficientes{αi}
´e diferente de zero. Pela express˜ao def podemos observar que f(t)≡0 em (−∞, x1),
f(t)≡0 em (xr+n,∞).
Al´em disso, pela exigˆencia para f, f(t) ≡ 0 em [a, b]. Mas, f coincide com um polinˆomio alg´ebrico em (xr, xr+1). Pelo fato de quef(t)≡0 em [a, xr+1], conclu´ımos que f(t) ≡ 0 no subintervalo inteiro [xr, xr+1]. Da mesma forma, podemos obsevar quef(t)≡0 tamb´em em [xn, xn+1]. Consequentemente,f ≡0 em [xr, xn+1]. Portanto, seu gr´afico ´e como o da Figura 4.
f
a b
1
x x
r
x n+1
x n+ r
Figura 4 Vamos considerar as fun¸c˜oes
f1(t) =
½0 para t > xr
f(t) para t≤xr , f2(t) =
½0 para t < xn+1
f(t) para t≥xn+1
.
Obviamente f(t) =f1(t) +f2(t). Mas,f1∈ Sr−1(x1, . . . , xr) e f1(t)≡0 para t 6∈ [x1, xr]. Agora, pelo lema 3 sobre o suporte m´ınimo, segue que f1(t) ≡ 0 em (−∞,∞) e, da´ı, f(t) ≡ 0 em (−∞, a]. Da mesma maneira podemos observar quef2≡0 e, portanto,f(t)≡0 em [b,∞). Consequentemente,f(t)≡ 0 em (−∞,∞). Mas, como j´a notamos no in´ıcio, as fun¸c˜oes B1, . . . , Bn s˜ao linearmente independentes em (−∞,∞). Ent˜ao,α1=· · ·=αn= 0. Chegamos a uma contradi¸c˜ao. O teorema est´a provado.
Assim, toda fun¸c˜ao splinef de Sr−1(xr+1, . . . , xn) pode ser unicamente re- presentada da forma
(3) f(t) =
n
X
i=1
αiBi(t).
Levando em considere¸c˜ao o fato de que Bi(t) tem suporte finito, esta ´e uma representa¸c˜ao muito conveniente de f quando trabalhamos com computador pois, para t fixo, a slinef(t) ´e de fato uma combina¸c˜ao linear de apenasr B- splines consecutivas, aquelas que contˆemtno seu suporte. Uma outra vantagem da representa¸c˜ao (3) ´e que existe um esquema simples para o c´alculo do valor de Bi em um ponto dado. Este esquema ´e baseado na seguinte rela¸c˜ao de recorrˆencia.
Rela¸c˜ao de recorrˆencia principal: Para todo r ≥ 2 e t ∈ (−∞,∞) a iguladade
(4) Bi,r−1(t) = t−xi
xi+r−xi
Bi,r−2(t) + xi+r−t xi+r−xi
Bi+1,r−2(t).
vale.
Demonstra¸c˜ao. Usaremos a j´a conhecida regra de Stevenson para o c´alculo de diferen¸cas divididas do produto de duas fun¸c˜oes
(f ·g)[x0, . . . , xn] =
n
X
k=0
f[x0, . . . , xk]g[xk, . . . , xn].
Escolhemosf(x) =x−teg(x) = (x−t)r+−2. Obviamente f(x)g(x) = (x−t)r+−1 parax∈(−∞,∞) e, portanto,
Bi,r−1(t) = (f.g)[xi, . . . , xi+r]
= f(xi)g[xi, . . . , xi+r] +f[xi, xi+1]g[xi+1, . . . , xi+r], desde quef[xi, . . . , xi+k] = 0 parak≥2. Depois, levando em considera¸c˜ao que f[xi, xi+1] = 1 e aplicando a rela¸c˜ao de recorrˆencia para as diferen¸cas divididas, obtemos
Bi,r−1(t) = f(xi)g[xi+1, . . . , xi+r]−g[xi, . . . , xi+r−1]
xi+r−xi +g[xi+1, . . . , xi+r]
= µ
1 + f(xi) xi+r−xi
¶
g[xi+1, . . . , xi+r]− f(xi) xi+r−xi
g[xi, . . . , xi+r−1]
= xi+r−t xi+r−xi
Bi+1,r−2(t) + t−xi
xi+r−xi
Bi,r−2(t),
que ´e a igualdade desejada.
Notamos que os coeficientes de Bi,r−2(t) e Bi+1,r−2(t) da rela¸c˜ao de re- corrˆencia acima s˜ao positivos para t ∈ (xi, xi+1) e que sua soma ´e igual a 1.
Consequentemente, a f´ormula (4) representa Bi,r−1(t) como combina¸c˜ao con- vexa deBi,r−2(t) eBi+1,r−2(t).
A f´ormula (4) ´e a parte fundamental para o c´alculo dos valores dasB-splines.
B00(t) ց
B01(t)
ր ց
B10(t) B02(t)
ց ր ց
B11(t) B03(t)
ր ց ր
B20(t) B12(t)
ց ր ց
B21(t) B13(t)
ր ց ր
B30(t) B22(t)
ց ր
B31(t) ր
B40(t)
A primeira coluna desta tabela ´e preenchida usando-se a defini¸c˜ao deBi,0(t), Bi,0(t) =
½ 1
xi+1−xi para t∈[xi, xi+1) 0 para t6∈[xi, xi+1) .
As pr´oximas colunas s˜ao preenchidas consecutivamente usando os dados da an- terior e a rela¸c˜ao de recorrˆencia (4).