XXXI Congresso de Iniciação Científica
Recuperação da Integral de Riemann a partir da integral definida fracionária de Grünwald-Letnikov
Marcelo Eduardo Benencase, Alexys Bruno-Alfonso, Rubens de Figueiredo Camargo, Bauru, Faculdade de Engenharia de Bauru, Curso de Engenharia Elétrica, marcelo.benencase@unesp.br.
Palavras Chave: Cálculo fracionário, integral definida, matemática aplicada.
Introdução
O cálculo fracionário tem sido bastante utilizado na modelagem de sistemas físicos, biológicos, financeiros e outros. Na literatura existem diversos operadores. Neste trabalho é utilizada a derivada fracionária de Grünwald-Letnikov.
Objetivo
Este trabalho visa contribuir para a compreensão da integral definida fracionária e demonstrar sua equivalência com a Integral de Riemann para o caso inteiro.
Material e Métodos
A derivada de ordem fracionária de Grünwald- Letnikov é definida pelo limite de uma série1
𝐷𝛼𝑓(𝑥) = lim
ℎ → 0ℎ−𝛼∑ (−𝛼)𝑛
𝑛!
∞ 𝑛=0 𝑓(𝑥 − 𝑛ℎ) , (1)
Considerando 𝛼 < 0, o operador se comporta como uma integração2, logo
𝐼[𝑎,𝑏]𝛼 = 𝐷−𝛼𝑓(𝑏) − 𝐷−𝛼𝑓(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑎𝑏 𝛼𝑥 (2)
é a integral definida fracionária de Grünwald- Letnikov. Para analisar este tipo de integral, consideramos a função gaussiana 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2 no intervalo [0, 1]. O limite e a série são truncados em ℎ = 10−5 e 𝑁 = 350 000, em um programa desenvolvido em C++.
Resultados e Discussão
Os resultados da integral definida fracionária Grünwald-Letnikov são mostrados na Figura 1.
Figura 1. Integral definida fracionária de Grünwald- Letnikov em termos da ordem de integração.
Para o caso inteiro 𝛼 = 1, o resultado coincide com o valor da integral definida de Riemann.
A recuperação do valor da integral do Cálculo clássico pode ser demonstrada de forma geral.
Primeiramente, notamos que
𝐼[𝑎,𝑏]1 = lim
ℎ→0ℎ ∑∞𝑚=0𝑓(𝑏 − 𝑚ℎ)− 𝑓(𝑎 – 𝑚ℎ). (3) Colocando 𝑎 = 𝑏 – 𝑛ℎ na equação acima, temos
𝐼[𝑎,𝑏]1 = lim
ℎ → 0ℎ ∑∞𝑚=0𝑓(𝑏 – 𝑚ℎ)− 𝑓(𝑏 − (𝑛 + 𝑚)ℎ).
(4)
A primeira soma pode ser escrita como
∑𝑛−1𝑚=0𝑓(𝑏 – 𝑚ℎ)+ ∑∞𝑚=𝑛𝑓(𝑏 – 𝑛ℎ) (5)
Já a segunda soma é
∑∞𝑚=0𝑓(𝑏 − (𝑛 + 𝑚)ℎ)= ∑∞𝑚̅ =0𝑓(𝑏 − 𝑚̅ℎ). (6)
Substituindo (5), (6) em (4) e substituindo 𝑛 =𝑏−𝑎
ℎ , temos:
𝐼[𝑎,𝑏]1 = lim
𝑛 → ∞ℎ ∑𝑛−1𝑚=0𝑓(𝑏 – 𝑚ℎ). (8) Este é o valor da integral definida de Riemann.
Conclusões
Foram apresentados resultados numéricos para a integral definida fracionária da função gaussiana, utilizando a derivada fracionária de Grünwald- Letnikov. Provou-se que para a ordem de integração igual a 1, recupera-se o resultado clássico.
Agradecimentos
À FAPESP, pelo apoio em forma de Bolsa de Iniciação Científica (Processo 2019/13691-8).
____________________
1 Camargo, R. F.; Oliveira, E. C. Cálculo Fracionário. 1ed. São Paulo:
Editora Livraria da Física, 2015.
2 Ortigueira, M.; Machado, J. Fractal and Fractional, 2017, 1, 2.
