Análise de sistemas não lineares e síntese de operadores inversos com diagonal da série Volterra / Raphael Barros Teixeira. PROGRAMA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ANÁLISE DE SISTEMAS NÃO LINEARES E SÍNTESE DE OPERADORES.
Motivação
Este trabalho apresenta contribuições para a representação, análise e síntese de sistemas não lineares da série Volterra. Também buscamos sistematizar esses procedimentos para tratar de poderem ser usados como técnicas eficientes na síntese de operadores inversos, um importante problema de engenharia para sistemas não lineares que tem recebido muita atenção (JUNG, 2018).
Revisão bibliográfica
Funcionais de ordem superior expressam relações polinomiais não lineares da entrada, de modo que a série pode, em princípio, aproximar operadores dinâmicos não lineares. Este é um exemplo de funções não lineares de resposta em frequência de saída (NOFRF)5 (LANG; BILLINGS, 2005), que modelam comportamento não linear no domínio da frequência com a inconveniência de combinar características de entrada.
Propostas e contribuições
Operadores inversos
O projeto então tenta determinar o operador de inversão que minimiza a função de custo quando satisfaz um conjunto de restrições. A estratégia de síntese numérica baseia-se em minimizar a taxa de distorção harmônica (THD) de uma série de senoides que são processadas pelo sistema e recuperadas na saída do operador de inversão.
Objetivos
Escopo do Trabalho
Um exemplo de projeto de um operador inverso exato é implementado para um sistema Duffing, resultados de inversão nos domínios do tempo e da frequência são apresentados. Um estudo de caso para o projeto de um operador inverso de um sistema Volterra diagonal é discutido.
Introdução
Representações Não-lineares
A Figura 2a mostra o diagrama de um sistema Hammerstein onde o bloco estático não linear atua na entrada e gera uma variável intermediária v(t) que é processada pelo bloco linear H(·) na geração da saída y(t) . ). No entanto, a falta de acesso à variável intermediária v(t) e a não linearidade paramétrica do modelo dificultam a aplicação de estratégias de identificação.
Séries Funcionais de Volterra
Série de Volterra discreta
A forma contínua da série de Volterra dada por (2.24) é mais aplicável do ponto de vista teórico matemático na definição de conceitos e propriedades (RUGH, 1981). O limite superior de truncamento adotado da ordem infinita em (2.26) é uma necessidade imposta do ponto de vista computacional.
Séries de Volterra Diagonal
Forma simétrica diagonal
Inicialmente, sem perda de generalidade, consideramos a expansão do funcional de segunda ordem com simetria triangular dada por (2.30) em suas componentes polinomiais:. 2.33) Agora agrupando as sequências em relação ao padrão expresso em termos de atraso como. A orientação com que os coeficientes são escolhidos resulta no nome do funcional em coordenadas diagonais.
Análise na Frequência de Sistemas Não-lineares
Funções de Resposta em Frequência Generalizadas
Como a transformada de Fourier da resposta impulsiva define o FRFH(ω) e reúne as propriedades espectrais do sistema, a mesma interpretação é atribuída ao conjunto dos GFRFs, que se tornam uma importante fonte para o estudo das propriedades invariantes do sistema no domínio da frequência. Ao contrário dos FRFs que expressam os valores das propriedades espectrais do sistema a partir de um único argumento, a própria frequência, os GFRFs realmente o fazem a partir de um espaço de alta dimensão.
Funções de resposta em frequência não lineares de saída
Observe que o conceito NOFRF permite que a determinação do espectro de saída seja feita de maneira muito semelhante à que é feita para sistemas lineares, ou seja, com base na contribuição de cada função unidimensional. Por outro lado, ao contrário do GFRF, as características expressas pelo NOFRF dependem do sinal de entrada usado para determiná-las, de modo que essas funções não expressam simplesmente as características invariantes do sistema. Esta é uma característica indesejável que estabelece a necessidade de sintetizar a entrada de áudio relacionada com as características que queremos verificar no sistema em estudo.
Método Variacional
Para um sistema NARX de forma (2.60), o conjunto de ALEs derivados pelo método de variação tem a forma geral. Seguindo os passos estabelecidos para o método, tentamos obter as componentes funcionais de graus n = 1, 2 e 3. O lado esquerdo realmente expressa os componentes funcionais de graus 1 a 3 servidos por A como coeficientes de um polinômio em α.
Identificação de Sistemas
Algoritmo OLS-ERR
A estratégia seguida é a ortogonalização do conjunto de dados expresso na matriz de regressão de forma que a informação associada a cada termo polinomial do modelo seja independente das demais. Isso pode ser usado como um critério de inclusão de termos, dando ao algoritmo um meio de selecionar a estrutura do modelo. O termo limite de corte depende de cada problema, mas os valores típicos podem variar entre 10−2 e 10−4.
Seleção dos dados de modelagem
Sugere-se que as amostras para estimação sejam escolhidas aleatoriamente, na tentativa de melhor captar a dinâmica embutida nos dados. Na tentativa de evitar esses problemas, propomos que N valores de t sejam selecionados aleatoriamente, com probabilidade uniforme, no intervalo[1; NT], para construir equações de regressão de diferentes pontos das formas de onda coletadas. Na tentativa de selecionar o melhor modelo possível, um índice de desempenho é calculado para cada modelo identificado e o modelo com o melhor índice é selecionado como a representação final para o sistema.
Fundamentos de operadores inversos
A inversa de ordem p
O modelo do sistema é identificado através do algoritmo OLS-ERR e a avaliação é feita em comparação com um modelo convencional de Volterra com o mesmo desempenho de tempo e frequência do modelo diagonal proposto. Outra vantagem da representação é que a estabilidade do modelo depende exclusivamente da posição das raízes do polinômio A(z) em relação ao círculo unitário. A forma (3.15) torna-se útil nesta situação, pois a estabilidade do modelo pode ser facilmente verificada.
Resposta Senoidal de Modelo Diagonal
É considerado, sem perda de generalidade, como um modelo Volterra diagonal de terceira ordem, onde as componentes diagonais da saída são expressas em tempo e frequência, respectivamente, como Seguindo o mesmo procedimento, pode-se desenvolver a resposta de componentes harmônicas a funcionais de ordem superior de um modelo diagonal. A implementação desta estratégia em um ambiente de computação matemática simbólica leva a funções polinomiais, racionais, unidimensionais que podem ter valores numéricos que podem ser facilmente calculados a partir da definição de um intervaloω de interesse, permitindo a avaliação de todos os componentes harmônicos de um modelo Volterra diagonal.
Relação com modelos de Wiener e Hammerstein
Embora no caso do funcional de terceiro grau a soma comece a depender de mais de um índice, embora a função de resposta harmônica resultante seja em qualquer caso unidimensional. É o caso, por exemplo, do equivalente de Volterra do modelo de Wiener em que os modos de cada função diagonal são n-combinações dos modos da parte linear. Isso cria uma estrutura de relacionamentos entre as várias diagonais que permite a análise de fenômenos como a convergência da série diagonal na geração de harmônicos de saída do sistema.
Estudo de Caso I: Sistema Wiener
Identificação do sistema Wiener
Geração de dados: Na qual os dados de entrada e saída do sistema são coletados do modelo (3.44);. Modelagem: Em que foi realizada a identificação propriamente dita, com base na aplicação do algoritmo OLS-ERR aos dados de identificação; O sinal utilizado para coletar os dados de identificação do sistema Wiener foi uma sequência PRMLS, seguindo a sugestão de (TOKER; EMARA-SHABAIK, 2004), dada por.
Análise de resposta em frequência do modelo diagonal
- Componentes harmônicas do modelo Diagonal
Isso leva a uma avaliação da generalização do modelo diagonal identificado para explicar as características do sistema de Wiener. Entende-se que esta relação corresponde a uma validação do modelo do ponto de vista estrutural. Assim é possível avaliar a resposta em frequência dos harmônicos do modelo diagonal e compará-la com a do sistema de Wiener. A Figura 20 mostra esses dados, onde foi adotado o tamanho de entrada α=1.
Convergência analítica da série diagonal
É interessante notar que os polos das diagonais são relativamente diferentes dos polos das funções racionais que representam os harmônicos. Este resultado demonstra que a série diagonal realmente consegue convergir para o valor correto de cada componente de frequência.
Introdução
Como visto, esses modelos incluem um formalismo eficaz para caracterizar o sistema nos domínios do tempo e da frequência, uma vez que os funcionais podem ser descritos como uma série de convoluções unidimensionais quando expressos em coordenadas diagonais. Para isso, será realizado um estudo a partir do caso especial de mapeamento de um modelo NARX polinomial, relevante do ponto de vista prático, uma vez que esses modelos podem ser ajustados relativamente bem a dados experimentais sem aumentar excessivamente a complexidade estrutural (BILLINGS, 2013). . O método proposto é baseado na visão de funcionais como séries de potências, onde os núcleos são isolados por meio de derivadas.
Derivação de Modelo Volterra Diagonal
Esse resultado pode ser generalizado para extrair do kernel um funcional de ordem n com l atraso. Usando esse raciocínio, o Algoritmo 1 é proposto para obter os kernels diagonais de um sistema a partir de seu modelo NARX. Algoritmo 1 O algoritmo que estrutura o método derivado para determinar o modelo diagonal de Volterra de um sistema NARX.
Estudo de Caso II: Sistema NARX
Solução analítica
4.72) Uma inspeção dos resultados mostra que os estados de (4.58) serão exatamente aqueles produzidos pela parte linear do sistema, ou seja, nas diagonais de grau 3, esses modos estarão presentes devido aos termos, mas serão acompanhados pelos modos cúbicos λti,i produzidos pela combinação três por três dos modos lineares.
Resultados numéricos
Com relação ao ajuste do modelo diagonal, percebe-se que ele reproduz exatamente a resposta do modelo ALE. A partir do resultado obtido, foram sugeridas duas hipóteses: (i) O grupo de diagonais com maior energia é responsável pela maior contribuição para a resposta funcional; (ii) Reordenar as diagonais por valor de energia pode levar a um procedimento empírico para ajustar o modelo a um número suficiente de diagonais para qualquer ajuste desejado. Observe que a métrica se aproxima de 100% com apenas 15 diagonais e que incluir um número maior de diagonais de segunda ordem é desnecessário, portanto, esse é um procedimento de truncamento de modelo eficaz.
Introdução
Síntese de Inversores Volterra
Projeto analítico: Inversão do sistema Duffing
A síntese de um conversor para o modelo discreto do sistema Duffing pode ser realizada analiticamente isolando u(t) em (5.8). Isso leva à condição de que u(t) só pode ser isolado se seu operador tiver uma fase mínima, caso contrário, a implementação resultará em um operador instável. Assim, o conversor para o sistema Duffing só é possível se for permitido um atraso entre a variável de saída do conversor, que será denotada como dev(t), e a entrada do sistema, ou seja, o conversor deve reconhecê-la.
Restrições à síntese analítica
Como mencionado, esta é uma situação especial e rara para a síntese do inversor, portanto, as limitações devem ser observadas. Como fator limitante final para a síntese de operadores inversos analíticos de sistemas NARX como (5.2), estão aqueles modelos em que o operador C{u(t),y(t)} é não nulo e, portanto, termos cruzados entre u(t)ey(t). Dada a impossibilidade de uma síntese analítica desses operadores nesses cenários, torna-se relevante considerar soluções por meio de estratégias numéricas, que serão buscadas neste trabalho.
Síntese numérica de operadores inversos
O problema de otimização
Neste caso, o problema de otimização pode ser resolvido pelo método de pontos interiores, que representa uma das estratégias mais bem estabelecidas para o problema de otimização não linear. O algoritmo de otimização recebe a função custo, as restrições e um valor inicial x0 para o vetor de parâmetros e realiza a busca pela solução ótima do problema proposto. Tentamos então formular o problema de otimização sob a perspectiva da síntese do operador de inversão.
Estudo de Caso: Inversão de sistema Volterra
A distorção por geração de harmônicos tem energia na saída do sistema toda concentrada em Y(3ω), que é eliminada com a inversão. Com o modelo do sistema e a estrutura proposta para o operador de inversão em mãos, o problema pode ser melhor definido. Isso implica que o operador de inversão deve ter atraso zero entre a saída do sistema y(t) e a variável restaurada v(t) para garantir o atraso de projeto li =2.
Resultados - Inversor
Para verificar o desempenho do inversor em uma perspectiva mais ampla, foram gerados dados sobre a resposta do sistema ao sinal senoidal com a amplitude variando na faixa de 0,01≤α≤1,4, com todas as senoides na frequência de projeto f0 . Por outro lado, também apresenta uma limitação no desempenho do conversor diagonal, que não pode se aplicar a valores de amplitude indefinidos. Como o desempenho dos dois projetos foi muito mais sensível à variação de amplitude e considerando que a estratégia de síntese de otimização foi baseada na minimização da taxa de distorção harmônica dos sinais recuperados, finalmente tentamos avaliar o THD da saída do conversor como uma função da amplitude do sinal de entrada na frequência f0.
Propostas futuras
A consideration of the discrete Volterra series.IEEE Transactions on Automatic Control, IEEE, v. The use of functionals in the analysis of nonlinear physical systems. Linear multichannel blind equalizers of nonlinear fourvolterra channels.IEEE Transactions on Signal Processing, IEEE, v. Nonlinear acoustic echo cancellation based on volterra filters. Adaptive volterra filters for active control of nonlinear noise processes. IEEE Transactions on Signal Processing, IEEE, v.
