Algumas questões em percolação anisotrópica

Rodrigo Geraldo Do Couto

Algumas Questões em Percolação Anisotrópica

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Tese de Doutorado

Algumas Questões em Percolação Anisotrópica

Esta tese foi apresentada como parte dos requisitos necessários para a obtenção do

Grau de Doutor em Matemática.

Rodrigo Geraldo do Couto

Orientador: Bernardo Nunes Borges de Lima

Co-orientador: Rémy de Paiva Sanchis

Resumo

Neste trabalho estudamos alguns aspectos dos modelos de percolação indepen-dente de elos anisotrópico na lajeZ2_{× {}0_{, . . . ,k}}e na rede quadradaZ2. Consideramos o modelo de percolação independente de elos anisotrópico na lajeZ2× {0_{, . . . ,k}}, onde supomos que os elos verticais estão abertos com probabilidadepv, enquanto os elos

ho-rizontais estão abertos com probabilidadeph. Estudaremos as curvas críticas para esses

modelos e estabeleceremos sua continuidade e monotonicidade estrita. Os resultados podem ser estendidos para percolação independente de elos anisotrópico emZ3.

Posteriormente, consideramos o modelo de percolação independente de elos aniso-trópico emZ2, i.e., seja_{p =} (p_h,pv) ∈ [0_,1]2 com_{pv > ph} e declare cada elo horizontal (respectivamente vertical) deZ2 aberto com probabilidade _ph (respectivamente_pv), e fechado de outro modo, independentemente de todos os outros elos. Denote porP_p a medida de probabilidade correspondente. Considerex=(x1_,x2)∈Z2com 0 _{<x1 <}x2, ex′ =(x2,x1)∈ Z2. É natural questionar como se comporta a função de conectividade P_p({0 → x}), e quando a anisotropia das probabilidades de percolação implica na de-sigualdade estritaP_p({0 → _x}) _> P_p({0 → _x′_{}). Nós daremos uma resposta afirmativa}

para a questão, considerando o regime altamente supercrítico.

Palavras-chave: Percolação, anisotropia, conectividades truncadas.

Abstract

In this work we study some aspects of anisotropic independent bond percolation on the slabZ2_{× {}0_{, . . . ,k}}and on the lattice Z2. We consider anisotropic independent bond percolation on the slabZ2× {0_{, . . . ,k}}, where we suppose that the vertical bonds are open with probabilitypv, while the horizontal bonds are open with probabilityph.

We study the critical curves for these models and establish their continuity and strict monotonicity. The results can be extended to anisotropic independent bond percolation onZ3.

Later, we consider an anisotropic independent bond percolation model onZ2, i.e., letp = (p_h,pv) ∈ [0,1]2 with pv > ph and declare each horizontal (respectively vertical)

edge ofZ2to be open with probability_ph(respectively_pv), and otherwise closed, inde-pendently of all other edges. LetP_pdenote the corresponding probability measure. Let x=(x1_,x2)∈Z2with 0_{<x1 <}x2, and_x′ = (x2_,x1) ∈Z2. Its natural to ask how behaves the connectivity functionP_p({0 → _x}), and whether anisotropy in percolation proba-bilities implies the strict inequalityP_p({0 → x}) _> P_p({0 → x′_{}). We give affirmative}

answer to this question, at least in the highly supercritical regime.

Keywords: Percolation, anisotropy, truncated connectivity.

Agradecimentos

Agradeço a Deus, por iluminar os pensamentos.

À minha família, em particular aos meus pais, pelo apoio e sacrifício feitos durante toda a vida por mim.

Aos funcionários e professores do Departamento de Matemática, em especial ao professor Mário Jorge com quem tive a oportunidade de fazer iniciação científica e inúmeras disciplinas, e ao professor Fernando Oliveira, pela amizade e por todos os anos de trabalho juntos, desde a primeira palestra, onde ao ouvi-lo escolhi trocar a engenharia pela matemática.

Ao amigo Thiago Santos, mais pela amizade do que pela abissal ajuda com os softwares. Ao amigo Sebastião, pelo exemplo de luta. Aos demais amigos da graduação e pós, por todos os anos memoráveis.

Aos meus orientadores, Bernardo e Remy, a eles serei eternamente prato pela oportu-nidade e por todo trabalho desenvolvido. O prazer com que trabalham com matemática é contagiante.

Aos demais membros da banca, pela disponibilidade e pelas valiosas dicas.

À minha futura esposa Mariane, que esteve sempre a meu lado e a quem, juntamente com meus pais, dedico esta obra.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 5

1.1 O modelo de percolação independente . . . 5

1.2 A Fórmula de Russo . . . 7

1.3 Percolação dependente e decaimento exponencial . . . 8

2 Percolação Anisotrópica em Lajes 11 2.1 Introdução . . . 11

2.2 Lemas preliminares . . . 15

2.3 Prova do Teorema . . . 22

3 Conectividades Truncadas em Percolação Anisotrópica 25 3.1 Introdução . . . 25

3.2 Notações e definições . . . 29

3.3 Contagem com contornos . . . 33

3.4 Cotas inferior e superior para a conectividade truncada . . . 42

3.5 Prova do Teorema . . . 46

4 Apêndice 49

Referências Bibliográficas 55

Introdução

O estudo do modelo de percolação teve início em 1957 com Broadbent e Hammersley [7], sendo uma fonte de problemas intrigantes, muitos destes de enunciado simples mas não raramente exigem uma investigação elaborada. Várias variantes do modelo foram propostas ao longo do tempo, muitas das quais surgiram da análise de fenômenos físicos, e nesse caso, um ingrediente que acompanha vários fenômenos é a anisotropia do sistema. Um caso particular de anisotropia, do qual trataremos, consiste em dividir os elos da rede em duas classes (horizontal e vertical) de elos paralelos onde permitimos que a medida produto tenha intensidades diferentes em elos diferentes, mas requerendo que quaisquer dois elos paralelos tenham a mesma intensidade.

Um dos primeiros resultados sobre percolação anisotrópica surge em 1964 com o artigo de Sykes and Essam [31], que obtém (de maneira não muito rigorosa) as curvas críticas dos modelos de percolação anisotrópica para as redes quadrada, triangular e hexagonal. Em 1982, H. Kesten [21] obteve de maneira rigorosa a prova para o caso da rede quadrada. Para o caso da rede triangular a prova começou a ser dada em Kesten [20], [21] e foi aparentemente completada em Kesten [22], mas a prova detalhada não foi publicada. A prova desses fatos também pode ser encontrada em Grimmett [15]. Considerando o problema de percolação anisotrópica, na década de 1980 alguns resultados exatos ou aproximados envolvendo por exemplo expoentes críticos e transição de fase, foram obtidos via grupo de renormalização (ver [5, 8, 19, 26,27]), expansão em séries [29], método de “sítio fantasma” Turban [33].

Mais recentemente, encontramos trabalhos envolvendo percolação “Bootstrap”

sotrópica [12,13], percolação de primeira passagem anisotrópica [32], e trabalhos sub-metidos de Grimmett e Manolescu [16,17] que estendem métodos usados em modelos isotrópicos para modelos de percolação anisotrópica nas redes quadrada, triangular e hexagonal, obtendo uma teoria de cruzamentos de caixas (RSW) e desenvolvendo técnicas para estudar a universalidade em tais modelos.

O presente trabalho trata do estudo de alguns modelos de percolação anisotrópica.

No Capítulo (1) definimos o modelo de percolação independente anisotrópico e enunciamos alguns resultados da teoria de percolação que serão utilizados nos capítulos seguintes.

No Capítulo (2) estudaremos a curva crítica do modelo de percolação independente de elos anisotrópico na lajeSk =Z2× {0_{, . . . ,}k}, i.e., o grafo onde o conjunto de vértices é V ₌ Z2× {_{0,1, ...,k}} _{e o conjunto de elos} E é o conjunto de elos entre os primeiros vizinhos de Sk. O conjunto de elos é particionado em dois subconjuntos disjuntos E_{h ={hx,yi ∈}E :_{x3 = y3}}(elos horizontais) eE_{v = {hx,yi ∈} E: _x3 , _y3}(elos verticais). Declaramos cada elo horizontal (respec. vertical) aberto com probabilidadeph (respec.

pv). Sejapk =1− k

+q1 1

2 o ponto crítico para o modelo no caso em quepv=1.

Definimos então as funçõespk v,c:

h

pk, 1₂ i

→[0_,1] epk

h,c : [0,1]7→ h

pk,1₂ i

por

pk_v,c(ph)=sup{pv ∈[0,1] : θ(ph,pv)=0}

pk_h,c(pv)=sup{ph ∈[0,1] : θ(ph,pv)=0}

O resultado que provamos é que a curva críticapk

v,c(ph) que divide as regiões onde

θ(ph,pv) > 0 eθ(ph,pv) = 0 é contínua, Lipschitz em qualquer compacto do domínio e

estritamente decrescente, fato sumarizado no seguinte teorema:

Teorema (2.1). As funções pv,c : h

pk, 1₂ i

7→ [0_,1] e ph,c : [0,1] 7→ h

pk,1₂ i

são estritamente

decrescentes, contínuas e pv,c é a inversa de ph,c. Além disso, para qualquer compacto [a,b] ⊂

pk,1₂

, existem constantes positivas c and C (dependendo de a e b) tais que

3

para todo p′

h,ph ∈[a,b].

No Capítulo (3) estudaremos o comportamento da conectividade truncada no mo-delo de percolação independente de elos anisotrópico emZ2, onde o conjunto de elos Eé o conjunto de elos entre os primeiros vizinhos deZ2, particionado em dois subcon-juntos dissubcon-juntosE_{h={hx,yi ∈}E:_{x2 = y2}}(elos horizontais) eE_{v ={hx,yi ∈}E: _{x1= y1}} (elos verticais). Declaramos cada elo horizontal (respec. vertical) aberto com pro-babilidade ph (respec. pv). Consideramos então a conectividade truncada no regime

supercríticoτpf(x,y), dada pela probabilidade dexeypertencerem ao mesmo

aglome-rado aberto finito.

Considerandoph ≤ pv e um fator de anisotropiaη(a ser definido posteriormente),

nós estabeleceremos uma desigualdade estrita que envolve a probabilidade da origem se conectar com pontos x e x′ _{que são simétricos em relação à diagonal em Z}2_{. O} teorema que provaremos é o seguinte:

Teorema(3.1). Seja x = (x1_,x2) ∈ Z2_{+ e x}′ = (x2_,x1) ∈ Z2_{+ com ρ} = x2

x1 > 1. Então, para

qualquerη∈(0_,1), existe p∗_{(η, ρ)<1tal que a desigualdade}

τpf(0,x)> τ

f

p(0,x′)

é verdadeira para todo ph >p∗(η, ρ).

O Capítulo (4) (Apêndice) contém uma adaptação paraSk de um resultado envol-vendo desigualdades diferencias para o processo de percolação independente de elos emZ2.

Capítulo

1

Preliminares

Neste capítulo descreveremos de maneira breve o modelo de percolação indepen-dente e o caso envolvendo anisotropia. Parte da notação usada na tese também é introduzida neste capítulo, assim como alguns resultados da teoria de percolação que serão utilizados no texto. As referências para o que segue são os livros de Grimmett [15] e Bollobás e Riordan [6].

1.1 O modelo de percolação independente

Seja G = (V_,E) um grafo infinito, localmente finito, onde V eE são os conjuntos de vértices (sítios) e elos deG, respectivamente. A cada elo ou sítio associamos uma variável aleatória que assume os valores 0 (fechado) ou 1 (aberto), considerando (ps)s∈V e (pe)e∈Esequências tais que 0≤p_s,p_e≤1∀s∈V,∀e∈E, ondep_s(respectivamentep_e) é a probabilidade do sítios(respectivamente, do eloe) estar aberto.

Considerando que todos os sítios e elos estão abertos ou fechados independente-mente, o espaço de probabilidade que descreve o modelo é (Ω_,F_,P) onde o espaço amostral éΩ ={0,1}V

× {0,1}E_,

F é aσ-álgebra gerada pelos conjuntos cilíndricos em

ΩeP=Q_s∈Vbs×Qe∈Ebeé o produto de medidas de Bernoulli, ondebα é a medida de

Bernoulli de parâmetroα.

Alguns casos particulares mais difundidos são os modelos homogêneos: percolação de elos, quandope = p∀ e ∈ Eeps = 1∀ s∈ V; percolação de sítios, quandops = p∀

s∈Ve_pe=1_∀e∈E; e percolação mista, quando_ps=pe=p,_∀s∈V,_∀e∈E.

O modelo de interesse para o nosso trabalho é o modelo de percolação anisotrópica de elos, onde o conjunto de elos será particionado em dois subconjuntos Ev (elos verticais) e Eh _{(elos horizontais), cuja definição depende do grafo envolvido, e nesse}

caso vamos considerar ps = 1 ∀ s ∈ V, pe = ph ∀ e ∈ Eh e pe = pv ∀ e ∈ Ev. Para

simplificar a notação usaremosp = (p_h,pv) para representar o par de parâmetros ph e

pv e denotaremos por Pp a respectiva medida de probabilidade. Se X é um conjunto

usaremos |X|para denotar sua cardinalidade. Se X ⊂ E usaremos_Xh _{= X∩E}h _para

denotar o conjunto de elos horizontais deXeXv _=X∩Ev_{para denotar o conjunto de}

elos verticais deX.

Durante quase todo o restante do texto trataremos com o modelo de percolação independente de elos anisotrópico; quando não, isso ficará explícito no texto. Dados dois vértices x,y ∈ V dizemos que _x e _y estão conectados, na configuração _ω, se existe um caminho finito de elos abertos conectando x a y, isto é, existe caminho

σ = x0,e0,x1,e1, ...,en−1,xn onde x0 = x, xn = y e o elo ei = hvi,vi+1i está aberto ∀

i= 0_,1_{, ...,}n−1. Vamos usar a notação{x↔ y}para denotar o evento ondexeyestão

conectados.

Dado uma configuração ω ∈ Ω, um aglomerado ocupado A em ωé um subgrafo conexo A = (V_A,EA) de G tal que ω(e) = 1 ∀ e ∈ EA e ω(e) = 0 ∀ e ∈ ∂eA, onde

∂eA = {e ∈ E : |e ∩ VA| = 1} é a fronteira externa de elos de A. Denotaremos o

aglomerado ocupado de x na configuração ω por Cx(ω). O conjunto de vértices de

Cx(ω) é o conjunto {y ∈ V : x ↔ yemω} e o conjunto de elos deCx(ω) é o conjunto

de elos abertos deEque conectam tais vértices. Por vezes usaremos o termo _Cx para representar o conjunto{y ∈ V : _{x ↔ y}}e_|Cx|para representar o número de elementos desse conjunto.

7

θx(p)=θx(ph,pv) : [0,1]2 7→[0,1] por

θx(p)=Pp{ω∈Ω: |Cx(ω)|=∞} (1.1)

Em grafos com invariância translacional as variáveis aleatórias |Cx| têm a mesma

distribuição para todo x ∈ V, assim em Zd _{não há perda de generalidade em supor}

quexé a origem do grafo e nesse caso escreveremos simplesmente|C0|para o tamanho do aglomerado da origem eθ(p) = _θ(p_h,pv) para a probabilidade de percolação. Nós

dizemos que o vértice x percola se a cardinalidade de Cx(ω) é infinita; usaremos a

seguinte notação padrão{x↔ ∞} :={_ω∈Ω;|Cx(ω)|=∞}.

Definimos a distância entre dois vérticesx,ydeGcomo

d(x,y)=min{|_σ|:_σé caminho que liga_xa_y} (1.2)

onde|_σ|é o número de elos do caminho_σ. EmZd_{a distância definida acima é dada por}

d(x,y)=

d X

i=1

|xi−yi| (1.3)

1.2 A Fórmula de Russo

A Fórmula de Russo é uma técnica para estimar a taxa de variação deP(A) como fun-ção dos parâmetrospe, para eventos crescentesA. A demonstração pode ser encontrada

em [6]ou [15]. Antes de enunciar a Fórmula de Russo temos alguma definições. No conjunto da configuraçõesΩ, considere a seguinte ordem parcial.

Definição 1.1. Dadas as configuraçõesω, ω′ _{∈ Ω}

, dizemos queω4 _ω′ _seω(e) ≤ _ω′_(e)

para

todo elo e∈E_.

Definição 1.2. Dizemos que o evento A∈ F é crescente se para todoω∈A, temos queω′ _∈A,

∀_ω4_ω′_{. Dizemos que o evento A é decrescente se seu complementar é crescente.}

Definição 1.3. Sejam e ∈E_{, A}∈ F um evento qualquer eω∈Ωuma configuração. Dizemos que o elo e é pivotal para o par (A, ω), se ω ∈ A eω′ _{< A, ou ω < A e ω}′ _{∈ A, onde ω}′ _{é a}

configuração obtida a partir deωtrocando-se apenas o estado do elo e, i.e.,

ω′(f)=

 

 1−_ωω((ff)),, sese ff=,ee.

Escrevemos “eé pivotal paraA” para o evento{_ω∈Ω: eé pivotal para (A, ω)}. Para um evento crescenteA, um elo é pivotal se e somente se Anão ocorre quando eestá fechado masAocorre quandoeestá aberto. Enunciamos então a Fórmula de Russo.

Lema 1.1. (Fórmula de Russo) Seja A um evento crescente que depende apenas de uma

quantidade finita de elos, e um elo qualquer e pea probabilidade de e estar aberto. Então, temos

que

∂P(A)

∂pe

=P{_ω∈Ω: e é pivotal para(A, ω)} (1.4)

1.3 Percolação dependente e decaimento exponencial

Considere um grafo Ge seja ˜Puma medida de percolação de sítios emG, i.e., uma medida de probabilidade no conjunto de estados (aberto ou fechado) dos vértices de G. Dizemos que a a medida ˜P él-independente se, sempre que _U e_V são conjuntos de vértices deG cuja distância no grafo é pelo menosl, os estados dos vértices em U são independentes dos estados dos vértices emV. Observe que se ˜Pé 1-independente, então ˜Pé uma medida produto.

9

Lema 1.2. Sejam l ≥ 2e∆ ≥ 2 inteiros positivos e G um grafo (finito ou infinito) com grau

máximo menor ou igual a∆. Existem constantes p1 = p1(l,∆) > 0e a = a(l,∆) > 0tais que,

seeP_{é uma medida de percolação de sítios l-independente em G onde cada sítio está aberto com} probabilidade no máximo p1, então

e

P(_{|Cv| ≥}n)_≤e−an (1.5)

para todo vértice v de G e todo n≥1.

Capítulo

2

Percolação Anisotrópica em Lajes

Neste capítulo estudaremos a curva crítica do modelo de percolação independente de elos anisotrópico emSk. Nós estabeleceremos sua continuidade e monotonicidade estrita. Na Seção (2.1) faremos uma exposição do problema, daremos algumas notações e definições e enunciaremos o Teorema (2.1). Na Seção (2.2) enunciaremos e provaremos alguns lemas utilizados na prova do Teorema (2.1). Na Seção (2.3) fechamos com a prova do Teorema (2.1).

2.1 Introdução

Um dos motivos para se estudar o processo de percolação anisotrópica em Lajes vem de uma relação com o seguinte problema:

Em Zd, _d ≥ 2 considere o grafo G = (V_,E), com conjunto de vértices V = Zd e conjunto de elosE₌

∞

[

n=1

E_nonde

E_n ={hv,ui ∈Zd×Zd: ∃!i∈ {1_{, . . . ,}d}tal que|vi−ui|=nevj =uj,∀j,i}, (2.1)

i.e.,E_né o conjunto dos elos paralelos a algum eixo coordenado e de comprimenton. Dada uma sequência (pn ∈ [0,1),n ∈ N) considere um modelo de percolação de

elos independente onde cada elo de comprimentonestá aberto com probabilidadepne

assuma queX

n∈N

pn = ∞. Formalmente, considere o espaço de probabilidade (Ω,F,P),

ondeΩ ={0_,1}E_,

F é a_σ-álgebra apropriada eP= Y

hu,vi∈E

µhu,vionde

µhu,vi(ωhu,vi=1)=pn se hu,vi ∈En (2.2)

são medidas de Bernoulli independentes. Observe que uma aplicação do Lema de Borel-Cantelli nos diz que a origem desse grafo percola com probabilidade 1. Dado

K∈N, considere a sequência truncada emK, (p_K,n)_n∈Ndada por

pK,n =  

 p0n sese nn≤>KK,. (2.3)

Considere também o processo truncado (Ω_,F_,P_K) onde a medida é P_K = Y

hu,vi∈E

µK,hu,vi

eµK,hu,vi(ωhu,vi=1)=pK,nsehu,vi ∈En.

O problema do truncamento ainda em aberto é o seguinte: é verdade que existe um

K inteiro positivo grande o suficiente tal que a origem no processo truncado (Ω_,F_,P_K) _ainda percola com probabilidade positiva? Veja [14] para uma melhor descrição do problema do truncamento e a solução em alguns casos especiais.

Em de Lima, Sanchis e Silva [25] os resultados obtidos vão na direção de compre-ender melhor o problema do truncamento. Uma versão mais simples do Teorema 1 em [25] mostra que para o processo de percolação de elos independente com parâ-metro pno grafo Gk _{= (Z}d_,E

1∪ Ek), onde Ek é definido na Expressão (2.1), vale que

lim

k→∞pc(G

k_{) = p}

c(Z2d), onde pc(Z2d) é o ponto crítico do modelo de percolação de

pri-meiros vizinhos emZ2d_{. Note que G}k _éZd _{equipado com os elos de comprimento 1}

e elos de longo alcance de comprimentok paralelos a algum eixo coordenado. Uma questão que é deixada em aberto é a questão da monotonicidade de θGk

(p) em k. A prova dos fatos em [25] passa por um isomorfismo entre um subgrafo deGk_{com uma}

13

esse isomorfismo, o problema de percolação emGk _{com parâmetros p1 ep}

k ao estudo

do modelo de percolação anisotrópica em lajes.

Consideramos entãoSk ₌(V_,E) a laje de espessura_k∈N, i.e., o grafo com conjunto de vérticesV ₌ Z2 _{× {}0_,1_{, ...,k}} e conjunto de elosE _{= {hx,yi} : _{x,y ∈} V_,d(x_,y) ₌ 1_}. Vamos considerar o modelo de percolação anisotrópica de elos emSk onde o conjunto de elos horizontais éE_{h ={hx,yi ∈}E:_{x3 = y3}}eE_{v ={hx,yi ∈}E: _{x3, y3}}.

Considere a caixa B(n) = [−n,n]2 × {0_,1_{, ...,}k}, denotamos a fronteira de B(n) por

∂B(n) = {_x ∈ B(n) : ∃_y < B(n) tal qued(x_,y) = 1}. Seja _An = {0 ↔ _∂B(n)} o evento onde 0 está conectado a ∂B(n). Denotando por θn(ph,pv) = Pp(An) observamos que

{0↔ ∞} =\

n≥1

Aneθn(ph,pv)↓ θ(ph,pv) quandon→ ∞.

Observe que sepv =1 o modelo é equivalente ao modelo de percolação de elos em

Z2 com parâmetro_s satisfazendo 1−s = (1−ph)k+1. Neste caso, denotaremos por pk

o ponto crítico horizontal onde pk = 1− k

+q1 1

2. Portanto, um argumento simples de dominação mostra queθ(ph,pv)=0 para todoph ≤pk epv ∈[0,1].

Se pv = 0 temos k+ 1 cópias disjuntas de Z2. Logo o valor crítico nesse caso é

1

2 e se tivermos ph > 1₂, há percolação independentemente do valor de pv. Usando

um argumento padrão de acoplamento podemos mostrar que θ(ph,pv) é uma função

crescente nas variáveis ph e pv. Isto não quer dizer, no entanto, que θ(ph,pv) seja

estritamente crescente em qualquer dos dois parâmetros (faremos esta distinção entre “crescente/decrescente” e “estritamente crescente/decrescente” ao longo do texto).

Definimos então a funçãopk v,c:

h

pk,1₂ i

→[0_,1] por

pk_v,c(ph)=sup{pv∈[0,1] :θ(ph,pv)=0}. (2.4)

Usando o resultado de Aizenman and Grimmett [1] podemos ver quepk v,c

₁

2

= 0.

Segue da definição de pk

v,c que pkv,c(pk) = 1 poisθ(pk,pv) ≤ θ(pk,1) = 0. Como θ(ph,pv)

é crescente em ph, pkv,c(ph) é decrescente em ph. Neste capítulo vamos provar que a

funçãopk

v,c(ph) (cujo gráfico, que denotaremos por curva crítica, separa as regiões onde

θ(ph,pv) >0 e θ(ph,pv) =0) é contínua, Lipschitz em qualquer compacto do domínio e

estritamente decrescente. De maneira análoga definimos a funçãopk

h,c : [0,1] 7→ h

onde

pk_h,c(pv)=sup{ph ∈[0,1] : θ(ph,pv)=0}. (2.5)

Nós iremos omitir o índicekquando conveniente e escreveremospv,c(ph) eph,c(pv).

Observe que dado x ∈ V a probabilidade de percolação P_p(x _{↔ ∞}) é, em geral, diferente deθ(ph,pv) mas as funçõespv,c(ph) eph,c(pv) são as mesmas, pois fixadophepv,

ouθx(ph,pv)>0∀x∈V, ouθx(ph,pv)=0∀x∈V. Agora podemos enunciar o principal

resultado deste capítulo.

Teorema 2.1. As funções pv,c : h

pk, 1₂ i

7→ [0_,1] e ph,c : [0,1] 7→ h

pk, 1₂ i

são estritamente

decrescentes, contínuas e pv,c é a inversa de ph,c. Além disso, para qualquer compacto [a,b] ⊂

pk,1₂

, existem constantes positivas c e C (dependendo de a e b) tais que

c|p′_h−ph| ≤ |pv,c(p′_h)−pv,c(ph)| ≤C|p′_h−ph| (2.6)

para todo p′

h,ph∈[a,b].

Observações:

1) Os resultados deste capítulo podem ser generalizados, com modificações míni-mas, para o modelo de percolação anisotrópica emZ3.

2) Simulações em [18] indicam que em Z3 anisotrópico, _pv,c(p_h) é convexa. Se tivermos a convexidade depv,c(ph) no modelo de percolação independente de elos

ani-sotrópico emSk, então, pelo Teorema (2.1), teremos que, se_p>p′ e_θ(p_,p′)=0 obtemos

θ(p′_{,p) = 0. Isso não implica que a laje S}k _{“percola melhor” quando o parâmetro}

maior está associado aos elos horizontais, mas esperamos que esse comportamento seja verdadeiro∀k.

15

2.2 Lemas preliminares

O primeiro lema prova que, se ph < 1/2 e pv é suficientemente pequeno, temos

decaimento exponencial da distribuição de |_C0|. Como consequência teremos que

pv,c(ph)>0 para todoph ∈[pk,1₂).

Lema 2.1. Dado ph < 1₂, existeδ=δ(ph)>0com a seguinte propriedade: para todo0≤pv < δ

existe uma constante c=c(_δ)_>0tal que

P_p(_{|C0| ≥}n)_≤e−cn_{, ∀n≥}1_. (2.7)

Onde C0é o aglomerado aberto da origem emSk_.

Demonstração. Nós adaptaremos paraSk _{as ideias contidas na Seção (3.5) de [6], mais}

especificamente, no Teorema (12) daquela seção.

Dado um inteirom>0 eA⊂V, denote por_Cm(A) o evento onde algum vértice em Aestá conectado por um caminho aberto a algum vértice à distância mdeA, onde a

distância é dada pela norma do máximo. Dadom>kum inteiro denote porSma caixa

Sm = [0,m−1]2× {0,1, ...,k}emSk. Mostraremos primeiramente que dadoǫ > 0 (a ser

escolhido a posteriori) eph< 1₂ existemmeδ >0 tais quePp(Cm(Sm))< ǫ,∀pv ∈[0, δ).

Para i ∈ {0_,1_{, ...,k}} denote por _Pi _{o plano Z}2 _{× {i} e S}i

m = [0,m −1]2 × {i} ⊂ Pi.

EscreveremosCm(Sim) para o evento onde algum vértice emSim está conectado por um

caminho aberto emPi a algum vértice à distânciamdeSim. Seja Q(Sm) o evento onde

todos os elos verticais da caixa ˜Sm =[−m,2m−1]2× {0, ...k}estão fechados.

Observe queCm(Sm)∩Q(Sm) ⊂ k [

i=0

Cm(Sim). Como os eventos Cm(Sim) tem a mesma

probabilidade ∀ i, temos queP_p(C_m(S_m)∩Q(S_m)) ≤ (k+1)P_p(C_m(S0

m)). Comoph < 1₂,

usamos o decaimento exponencial na fase subcrítica deZ2 _≃Z2_{× {}0_}(ver Teorema 5.4 em [15]), ou seja, existe uma constante ψ(ph) > 0 tal que Pph(0 ↔ [−n,n]

2_{) ≤ e}−ψ(ph)n,

ondeP_p

parâmetrophemZ2. Então

P_p(C_m(S0

m))=Pph(Cm(S

0

m))≤ X

v∈S0m

P_p

h(v←→∂B(v,m))

≤ m2e−ψ(ph)m m_−→→∞0 (2.8)

ondeB(v,m) é a bola de centrove raiomna norma do máximo emZ2× {0}. Tomamos entãomgrande o suficiente de modo queP_p(C_m(S0

m))≤ 2(kǫ+1). Logo

P_p(C_m(S_m)_∩Q(S_m))_≤ ǫ

2 (2.9)

Observando queP_p(Q(S_m))₌(1_−pv)N_{ondeN =k(3m)}2_{é o número de elos verticais} em ˜Sm, podemos escolherδ >0 pequeno suficiente de modo quePp(Q(Sm))>1−ǫ₂ para

todoph ∈[0,1] epv∈[0, δ).

Fixado entãoph < 1₂ epv ∈[0, δ) temos que

P_p(C_m(S_m))₌P_p(C_m(S_m)_∩Q(S_m))₊P_p(C_m(S_m)_∩Q(S_m)c)_≤ ≤ ǫ

2+Pp(Q(Sm)c)≤ǫ (2.10)

Agora iremos definir uma medida de percolação de sítios eP em Z2. Declaramos cada vérticev=(x_,y)∈Z2como aberto se e somente se o evento_Cm(S_v,m) acontece para a caixa de tamanhom×m,Sv,m =[mx+1,mx+m]×[my+1,my+m]× {0, ...,k}.

Mais formalmente, seja f : Ω 7→ {0_,1}Z2 _{a função definida como}

f(ω) = (fv(ω))v∈Z2 onde

fv(ω)=  

 10,, ififωω<∈_CC_mm(S(Sv_v,_,m_m))_.

(2.11)

A função f e a medida P_p induzem uma medida de probabilidade eP em {0_,1}Z2 dada poreP(A)₌ P_p(_f−1_{(A)) paraA∈ A, ondeAé aσ-álgebra gerada pelos conjuntos} cilíndricos de {0_,1}Z2_{. Essa medida} e_{P nos dá um modelo de percolação de sítios em} {0_,1}Z2_.

17

máximomdeSv,m, a medidaePé 5-independente (com a distância do grafo, ver figura

(2.1)). Além disso, cada vérticev∈Z2está aberto com probabilidadeeP(vestá aberto)₌ P_p(C_m(S_v,m))≤_ǫ.

Figura 2.1: Os estados dos vérticesuevsão independentes

Pelo Lema (1.2), existemp1 = p1(l_,∆) e a= a(l_,∆) (as constantesle∆ do Lema (1.2)

são 5 e 4, respectivamente) tais que, tomandoǫ <p1, teremosPe(vestá aberto)_{≤ǫ <} p1, logo

e

P(|_Ce_v| ≥n)≤_e−an_{, ∀n≥1. (2.12)}

Onde Cev é o aglomerado aberto do vérticev no modelo 5-independente induzido

emZ2.

Se|_C0| ≥ (k+1)(4m+1)2, isso implica que cada vérticeu deC0 está conectado por um caminho aberto a algum vértice que está a uma distância no mínimo 2mdeu, então

Cm(Sv,m) ocorre para cada vérticevtal queSv,m ∩C0 , ∅, i.e., o vérticevestá aberto no

modelo 5-independente induzido em Z2, em particular _v ∈ C0. Por isso, como cadae Sv,m contêm (k+1)m2vértices, sen≥(k+1)(4m+1)2 temos que

P_p(_{|C0| ≥}n)_≤eP _|C0e_{| ≥} n (k+1)m2

!

Concluímos a prova do Lema (2.1) tomandoc= ₍ a

k+1)m2.

No próximo lema usamos um argumento análogo para mostrar que pv,c(ph) é

estri-tamente menor que 1 no intervalopk,1₂ i

e quepv,c(ph) é contínua em 1/2.

Lema 2.2. Para todo ph ∈

pk,1₂ i

temos que pv,c(ph)<1. Ainda, temos que

lim

ph↑1₂

pv,c(ph)=pv,c ₁

2

=0 (2.14)

Demonstração. Observamos que a igualdade2.14 (provada neste lema) também segue de Aizenman and Grimmett [1]. Primeiramente mostraremos que pv,c(ph) < 1 para

ph ∈(pk,1/2]. Comopv,cé decrescente emph, é suficiente mostrar quepv,c(ph)<1 paraph

próximo depk. De fato mostraremos que, dadoǫ >0 existepv <1 tal queθ(pk+ǫ,pv)>0,

logopv,c(pk+ǫ)≤pv <1.

Seja{u1 =(1_,0_,0)_,u2 =(0_,1_,0)_,u3 =(0_,0_,1)}a base canônica deR3. Considere o grafo Gobtido deSk substituindo cada elo vertical _fv=hv,v+u3i, comv∈Z2× {0_,1_{, ...,}k−1}, por 4 elos paralelos, denotados por fr

v, fvl, fvt e fvd, conectando os vértices v e v+u3 e

declarando cada um desses novos elos abertos com probabilidade bpv onde 1 −pv =

(1−_bpv)4.

Isso significa que cada elo vertical emSk_{está fechado se e somente se os respectivos}

4 elos paralelos de G estão fechados. Observe que G eSk têm o mesmo conjunto de vértices e as substituições feitas não alteram as funções de conectividade envolvendo os vértice deSk. Temos então queP_p(0←→_∂B(n) emSk)= P_p

h,bpv (0←→∂B(n) emG) e

θSk

(ph,pv)=θG(ph,bpv).

Definiremos então um processo de percolação de elos independente em Z2 que será estocasticamente dominado pelo processo de percolação de elos em G, logo se ocorrer percolação emZ2 então ocorrerá percolação em G. Para simplificar a notação identificamosZ2comZ2× {0} ⊂G. A cada elohv,v+u1ideZ2associamos os caminhos ci

v,u1 em G, com i ∈ {0,1, ...,k} onde c

0

v,u1 é o elo hv,v+ u1i e c

i

v,u1 para i = 1, . . . ,k é

o caminho em G que começa em v, segue verticalmente usando os elos fr

19

0≤ j≤i−1, até o vérticev+iu3, usa o elohv+iu3,v+iu3+u1i, e desce verticalmente até o vérticev+u1 usando os elos fl

v+u1+ju3 com 0≤ j≤i−1. Analogamente associamos os

caminhosci

v,u2 ao elohv,v+u2i, usando os elos verticais f

t v+ju3e f

d

v+u2+ju3. Declare cada elo

e=hv,v+u1ideZ2como aberto se pelo menos um dos caminhos associados_ci

v,u1 está

aberto. Analogamente, fazemos o mesmo para o eloe= hv,v+u2ie os caminhosci v,u2.

Observe que esses caminhos foram escolhidos de modo que tenhamos um processo de percolação de elos independente emZ2, com parâmetro_p=p(p_h,pv) definido como:

p=p(p_h,pv)=ph k X

j=0

[(1−ph)bpv2]j =ph

1−[(1−ph)bpv2]k+1

1−(1−_ph)_bpv2 , (2.15)

lembrando quebpv =1−(1−pv)

1

4. Tomandop_h=p_k+ǫep_v =1 (portantobp_v =1) obtemos

p(pk+ǫ,1)=1−   

k+1

r

1 2 −ǫ

  

k+1

> 1

2 (2.16)

Comop(ph,pv) é contínua, existeδ >0 tal quep(pk+ǫ,pv)> 1₂ para todopv ∈(1−δ,1].

Então escolhemospv <1 tal quep(pk+ǫ,pv)> 1₂. Portanto

θSk_(p

h,pv)=θG(ph,bpv)≥θZ

2

(p(pk+ǫ,pv))>0 (2.17)

Para mostrar que lim

ph↑1₂

pv,c(ph)= 0, podemos supork =1 já que pkv,cé decrescente em

k. Comobpv >0 é equivalente apv >0, temos que parapv >0 eph= 1₂,p= 1₂+bpv

2

4 > 12.

Fixadopv = ǫ >0, comopé função contínua deph, existeδ1 >0 tal que p(ph, ǫ) > 1₂

∀ph ∈ ₁

2 −δ1,12

i

.

Logo,

θSk_(p

h, ǫ)=θG(ph,bǫ)≥θZ

2

(p(ph, ǫ))>0 (2.18)

ondebǫ =1−(1−ǫ)14. Assim,_pv,c(p_h) _≤ǫ_{∀ph ∈}δ₁,1

2

i

. Temos então que lim

ph↑12

pv,c(ph) =0

epv,c ₁

2

Combinando o resultado acima com o Lema (2.1) temos que 0 < pv,c(ph) < 1 para

todoph ∈

pk, 1₂

.

Antes da prova do próximo lema enunciaremos um resultado, cuja prova se encontra no apêndice, que é uma adaptação paraSk_{do Lema (3.5) de [15].}

Proposição 2.1. Existe um inteiro positivo N e uma função contínuaβ : (0,1)2 7→ (0_,∞)tal

que∀ph,pv ∈(0,1)e n ≥N, vale que

β−1(ph,pv)∂θn

∂ph

(ph,pv)≥ ∂θn

∂pv

(ph,pv)≥β(ph,pv)∂θn

∂ph

(ph,pv). (2.19)

Desigualdades diferenciais como as de (2.19) são usadas para provar desigualdades estritas entre pontos críticos, como por exemplo em Aizenman and Grimmett [1], e também para estabelecer continuidade (Lipschitz) de curvas críticas, como por exemplo em Chayes and Schonmann [9], de onde nos inspiramos para a prova do Teorema (2.1). O próximo lema utiliza as desigualdades diferenciais em (2.19) para estabelecer direções de crescimento da funçãoθ(ph,pv).

Lema 2.3. Dadoδ >0, existemφ=φ(δ)eψ=ψ(δ)∈(0, π

2)tais que∀(ph,pv)∈[δ,1−δ]2a

funçãoθ(ph,pv)é crescente nas direções de(cosφ,−sinφ)e(−cosψ,sinψ).

Demonstração. Nós mostraremos a existência deφ, a prova da existência deψé similar.

Considerando a desigualdade à esquerda na Proposição (2.1), dado δ > 0 tome

m>0 tal queβ(ph,pv)≥mem [δ/2,1−δ/2]2, nesse caso ∂θ_∂pn_h(ph,pv)≥ m∂θ_∂pn_v(ph,pv) paran

suficientemente grande. Tome entãoφ∈(0_{, π/}2) tal que tan_φ=m. Logo

∇θn(ph,pv)·(cosφ,−sinφ)=

∂θn

∂ph

(ph,pv) cosφ−

∂θn

∂pv

(ph,pv) sinφ=

=cosφ ∂θn

∂ph

(ph,pv)−

∂θn

∂pv

(ph,pv) tanφ !

≥cosφ m∂θn

∂pv

(ph,pv)−

∂θn

∂pv

(ph,pv) tanφ !

=0 (2.20)

21

Dado (ph,pv)∈[δ,1−δ]2considere (p′_h,p′v)=(ph,pv)+δ/2(cosφ,−sinφ) de modo que

(p′

h,p

′

v)∈[δ/2,1−δ/2]2. Sejaα: [0, δ/2]−→[δ/2,1−δ/2]2,α(t)=(ph,pv)+t(cosφ,−sinφ)

o caminho linear ligando (ph,pv) a (p′_h,p′v). Integrando (2.20) ao longo do caminho α

obtemos

θn(p′_h,p′v)−θn(ph,pv)= Z δ/2

0

dθn

dt (α(t))dt=

Z δ/2

0

∇_θn(p_h,pv)·(cosφ,−sinφ)dt≥0

Tomando o limite quandon−→ ∞temos

θ(p′_h,p′_v)= lim

n→∞θn(p ′

h,p

′

v)≥ lim

n→∞θn(ph,pv)=θ(ph,pv) (2.21)

Logoθ(ph,pv) é crescente na direção de (cosφ,−sinφ).

Como consequência do lema acima podemos ver que

lim

ph↓pk

pv,c(ph)=pv,c(pk)=1. (2.22)

De fato, suponha que lim

ph↓pk

pv,c(ph)<1, então existe ¯pv<1 eη >0 tal queθ(ph,p¯v)>0

∀ph ∈ (pk,pk+η). Tomandoδ < min{

1−p¯v

2 ,

pk

2}nós obtemos do Lema (2.3) queθ(ph,pv) é

crescente na direção de (−cos_ψ,sin_ψ). Assim, deve existir um par (p_h,pv) ∈[δ,1−δ]2

comph <pk eθ(ph,pv)>0, o que é uma contradição, pois não há percolação seph <pk.

Logopv,c(pk)=1.

De maneira análoga mostramos que lim

ph↓pk

pv,c(ph)=1.

Resumindo, temos que lim

ph↓pk

pv,c(p) = pv,c(pk) = 1, lim p↑1₂

pv,c(ph) = pv,c(1/2) = 0 e

0 < pv,c(ph) < 1, ∀ph ∈

pk, 1₂

. De maneira análoga, para a função ph,c : [0,1] 7→ h

pk, 1₂ i

definida na Equação (2.5), podemos mostrar que ph,c(0) = 1/2, ph,c(1) = pk e ph,c(pv) é

decrescente empv, logoph,c(pv)∈[pk,1₂], ∀pv ∈[0,1].

2.3 Prova do Teorema

Prova do Teorema(2.1). Primeiramente trataremos da equação (2.6). Fixado [a,b] ⊂

pk,1₂

temos que 0 < pv,c(b) ≤ pv,c(a) < 1, assim, tomeδ = δ(a,b) > 0 tal que a região

[2δ,1−2_δ]2 contenha os pontos (a_,pv,c(a)) e (b,pv,c(b)). Como pv,c é decrescente temos

(ph,pv,c(ph))∈[2δ,1−2δ]2, ∀ph ∈[a,b].

Sejamφ=φ(δ) eψ=ψ(δ) dados pelo Lema (2.3) e tomeǫ = ₂δmin{(tanψ)−1_,(tanφ)−1_}. Considere entãoph <p′_h ∈[a,b] com|p′_h−ph| ≤ǫ.

Observe que∀0_{< η <} δ₂ valem

i)(ph,pv,c(ph)+η), (p′_h,pv,c(ph)+η− |p′_h−ph|tanφ)∈[δ,1−δ]2e

(p′

h,pv,c(ph)+η− |p′h−ph|tanφ)=(ph,pv,c(ph)+η)+

|p′

h−ph|

cosφ (cosφ,−sinφ) (2.23)

ii)(ph,pv,c(ph)−η), (p′_h,pv,c(ph)−η− |p′_h−ph|tanψ)∈ [δ,1−δ]2e

(p′

h,pv,c(ph)−η− |p′h−ph|tanψ)=(ph,pv,c(ph)−η)+

|p′

h−ph|

cosψ (cosψ,−sinψ) (2.24)

As direções de crescimento e decrescimento de θ(ph,pv) são mostradas na figura

(2.2).

Pelo Lema (2.3) e a Equação (2.23) temos que

θ(p′_h,pv,c(ph)+η− |p′h−ph|tanφ)≥θ(ph,pv,c(ph)+η)>0, (2.25)

logopv,c(p′_h)≤pv,c(ph)+η− |p′_h−ph|tanφ,∀0< η < δ₂, de onde obtemos

|pv,c(p′_h)−pv,c(ph)| ≥ |p′_h−ph|tanφ (2.26)

Novamente, pelo Lema (2.3), usando o fato queθ(ph,pv) é decrescente na direção de

(cosψ,−sin_ψ) e a Equação (2.24), temos que

θ(p′

h,pv,c(ph)−η− |p

′

23

Figura 2.2: Direções de crescimento e decrescimento deθ

logopv,c(p′_h)≥pv,c(ph)−η− |p′_h−ph|tanψ, ∀0< η < δ₂ de onde obtemos

|pv,c(p′_h)−pv,c(ph)| ≤ |p′_h−ph|tanψ (2.28)

Observe que provamos as desigualdades em (2.6), mas com a restrição|_p′

h−ph| ≤ǫ.

Para obter a desigualdade do lado direito em (2.6) para todoph,p′_h ∈[a,b], basta observar

quepv,cé decrescente e escrever|p′_h−ph|como uma soma telescópica onde cada termo

da soma seja menor queǫ. Assim, tome C(a,b) = tan_ψ. Para a desigualdade do lado

esquerdo de (2.6), observe que sep′_h−_{ph > ǫ}, tomando_ph≤_{p1 <p2} ≤_p′

hcomp2−p1 =ǫ

teremos que

|_pv,c(p′

h)−pv,c(ph)| ≥ |pv,c(p2)−pv,c(p1)| ≥

|_p2−_p1||_p′

h−ph|tanφ

|p′

h−ph|

≥

≥ ǫ|p

′

h−ph|tanφ

|b−a| (2.29)

O argumento acima mostra que pv,c é uma função Lipschitziana e estritamente

decrescente em qualquer compacto [a,b] ⊂ pk,1₂

. Combinando com lim

ph↓pk

pv,c(ph) =

pv,c(pk) = 1 e lim ph↑12

pv,c(ph) = pv,c ₁

2

= 0, temos que pv,c é estritamente decrescente e

contínua em todo intervalohpk,1₂ i

.

Analogamente provamos que ph,c(pv) é estritamente decrescente e contínua para

pv ∈[0,1].

Agora, mostraremos que a função pv,c é a inversa de ph,c. Dado ph ∈

pk,1₂

, como pv,c(ph) é estritamente decrescente, temos que ∀ǫ > 0, θ(ph − ǫ,pv,c(ph)) = 0,

logo ph,c(pv,c(ph)) ≥ ph. Também temos que ∀ǫ > 0, θ(ph + ǫ,pv,c(ph)) > 0, logo

ph,c(pv,c(ph))≤ ph). Logo, concluímos queph,c(pv,c(ph))=ph. Da mesma maneira

mostra-mos quepv,c(ph,c(pv))=pv, ou seja,pv,cé a inversa da funçãoph,c.

Capítulo

3

Conectividades Truncadas em Percolação

Anisotrópica

Neste capítulo estudaremos o comportamento da conectividade finita no modelo de percolação independente de elos anisotrópico em Z2. Nós estabeleceremos uma desigualdade estrita que envolve a probabilidade da origem se conectar com pontosx ex′ _{que são simétricos em relação à diagonal em Z}2

+. Na Seção (3.1) faremos uma

ex-posição do problema e enunciaremos o Teorema (3.1). Na Seção (3.2) daremos algumas notações e definições para o restante do Capítulo. Na Seção (3.3) provaremos alguns lemas que envolvem contagem com contornos. Na Seção (3.4) obtemos cotas superior e inferior para a conectividade finita. Na Seção (3.5) fechamos com a prova do Teorema (3.1).

3.1 Introdução

A motivação para tratar desse assunto vem do seguinte problema proposto por E. Andjel. Antes precisamos introduzir algumas notações. A referência para a discussão que segue é [24].

elos é formado pelos pares de primeiros vizinhos, i.e.,E _{={e= {x,y} ⊂} V :d(x_,y)₌1_} onded(x,y) é a distância do grafoZ2. O conjuntoEé particionado em dois subconjuntos disjuntosEh _{={e={x,y} ∈E: x2 = y2}eE}v _{={e={x,y} ∈E: x1= y1}. Dizemos queeé}

um elo horizontal (resp. vertical) see∈Eh(resp. _e∈Ev).

DadoV ⊂ Z2, denote por L[V] = (V_,E[V]) o subgrafo induzido por_V emL onde E[V]_{={{x,y} ∈}E :_{x∈V,y∈ V}}. Diremos que um conjunto_V⊂Z2é conexo seL[V] é conexo.

Vamos considerar o modelo de percolação de elos anisotrópico emZ2com conjunto de elos horizontaisEh_{e elos verticaisE}v_{, como descrito na Seção (1.1).}

Denotaremos porα∈(0,1] o fator de anisotropia dado porα=ph/pv.

Assim, o modelo de percolação de elos anisotrópico em Z2 é descrito pelo espaço de probabilidade (Ω_,F_,P_p) onde Ω = {0_,1}E_,

F é a_σ-álgebra gerada pelos conjuntos

cilíndricos emΩeP_{p =}Y

e∈E

µ(e) é o produto de medidas de Bernoulli.

Dadosx,y∈Vdenotaremos por_τp(x_,y)=P_p(x↔ y) a função de conectividade do processo.

Considere agorax = (x1,x2) ∈ Z2_{+ =} Z₊×Z₊ com_{x1 < x2} e_x′ ₌(x2_,x1) ∈ Z2₊. Se o modelo não tem anisotropia, i.e.,α=1, então por simetria temos que_τp(0_,x)=_τp(0_,x′₎

onde 0 é a origem de Z2. Considerando o caso anisotrópico, i.e., _{α <} 1, E. Andjel questionou se a desigualdade estrita τp(0,x) > τp(0,x′) é verdadeira ou não [3]. A

conjectura é a seguinte:

Conjectura 3.1. Seja x=(x1_,x2)∈Z2

+e x′ =(x2,x1)∈Z2+com x1 <x2, então a desigualdade

estrita

τp(0,x)> τp(0,x′) (3.1)

vale para todo x∈Z2_{+, para todo pv} ∈(0_,1)e para todoα∈(0_,1).

27

Vamos fazer uma primeira análise de como a quantidadeτp(0,x) depende dos

parâ-metros. O parâmetro chave que mede o grau de anisotropia do sistema é o parâmetro

α. De fato, α próximo de 1 significa que o sistema é pouco anisotrópico enquantoα

próximo de 0 é a situação oposta. Claramente, deve ser mais simples provar a desi-gualdade (3.1) paraαpróximo de 0 do que paraαpróximo de 1, que poderia ser um

regime onde a desigualdade (3.1) não seja verdadeira.

Assim, gostaríamos de provar a conjectura o mais uniformemente possível em relação ao parâmetroα, i.e., queremos provar que, para qualquerα < 1, que significa

considerar anisotropia no sistema, a desigualdade (3.1) é verdadeira para pelo menos determinadas regiões do parâmetropv.

Considerando a dependência de τp(0,x) em relação à variável x, τp(0,x) depende

claramente da distância dexà origem, mas também da inclinaçãoρ =x2/x1do vetorx com o semi-eixo positivox. Em particular, se|x| → ∞e simultaneamenteρ→1+_i.e.,x

vai pra infinito de tal maneira que a distância angular dexcom a diagonal vai para 0, então razoavelmente esperamos queτp(0,x)−τp(0,x′)→0 para quaisquer valores depv

eα. Assim parece mais difícil provar a desigualdade (3.1) uniformemente emx, devido

exatamente à região onde|x| → ∞eρ → 1+_{. Assim, ao tentar provar a desigualdade}

(3.1) podemos pedir uma uniformidade emxno sentido que a desigualdade (3.1) seja verdadeira para todas as distâncias |x| que tenham inclinação _ρ maior ou igual a um valor fixo maior que 1.

Um primeiro resultado parcial, obtido por de Lima e Procacci em [24], prova que se o sistema tem anisotropia (α∈(0_,1)), mesmo uma fraca anisotropia, e é fixada uma distância angular positivaρ=x2/x1, mesmo muito pequena, entrexe a diagonal, então a Desigualdade (3.1) vale parapv suficientemente pequeno, ou seja, num regime

alta-mente subcrítico. Lembramos que, como provado originalalta-mente em [21] (ver também [15]), o regime subcrítico para esse modelo ocorre quando ph +pv < 1. O resultado

obtido em [24] é o seguinte:

Teorema 3.1. Seja x = (x1,x2) ∈ Z2

para qualquerα∈(0_,1), existe p∗_{(α, ρ)>0tal que a desigualdade estrita}

τp(0,x)> τp(0,x′) (3.2)

vale para todo pv <p∗(α, ρ).

Em [24] também é observado que a Desigualdade (3.1) pode ser provada para valores maiores (mais ainda subcríticos) depv, via um cálculo similar ao apresentado

é possível mostrar que para todoρ > 1 e para todoαmenor que uma quantidade fixa

α∗_{(ρ) (de fato,αsuficientemente pequeno), a Desigualdade (3.1) é verdadeira para todo}

pv <1/3.

O resultado que vamos obter é análogo ao resultado acima, mas considerando a conectividade truncada no regime supercrítico, definida a seguir.

Definição 3.1. Dados x,y∈ Z2 _definimosτpf(x_,y)_{como a probabilidade que x e y pertençam} ao mesmo aglomerado aberto e este seja finito, ou seja,

τpf(x,y)=Pp(∃aglomerado aberto A:{x,y} ⊂VA,|EA|<∞)

Na fase supercrítica usaremos outro parâmetro para medir a anisotropia do sistema, dado porη∈ (0_,1], a ser definido posteriormente em (3.7), mas que também carregará a informação de que ηpróximo de 1 significa que o sistema é pouco anisotrópico eη

próximo de 0 significa que o sistema é bastante anisotrópico. Podemos então enunciar o resultado que provaremos nesse capítulo.

Teorema 3.2. Seja x = (x1_,x2) ∈ Z2_{+ e x}′ = (x2_,x1) ∈ Z2_{+ com ρ} = x2

x1 > 1. Então, para

qualquerη∈ (0,1), existe p∗_{(η, ρ)<1tal que a desigualdade}

τpf(0,x)> τ

f

p(0,x′)

é verdadeira para todo ph >p∗(η, ρ).

29

truncada através de uma expansão que envolve contornos, como exposto em [28]. Se-guindo as ideias em [24], usando tal caracterização e algumas estimativas do número de contornos que cercam 0 ex, obtemos cotas inferior e superior para a conectividade truncada, que quando comparadas, fornecem a desigualdade do Teorema (3.2). Ob-servamos que a limitação em relação à “supercriticalidade forte” vem precisamente da expansão em contornos que utilizamos.

3.2 Notações e definições

Nesta seção daremos uma caracterização da conectividade truncada usando expan-são em aglomerados. Antes porém precisamos de algumas notações e definições.

DadoV ⊂ Z2 denotamos por _{∂eV =} {_e ∈ E : |_e∩_V| = 1}a fronteira de elos de V. Denotaremos por∂ext

v V ={x∈Z2\V :d(x,V)=1}a fronteira exterior de vértices deVe

∂int

v V={x∈V :d(x,Z2\V)=1}a fronteira interior de vértices deV.

Diremos que um conjuntoγ ⊂Eé um conjunto separador se o grafoL_\γ≡(V_,E_\γ) é desconexo. A seguir daremos a definição de contorno, objeto extensivamente usado durante o restante do texto. Uma boa referência para o assunto são os artigos [28] e [2].

Definição 3.2. Um subconjunto finitoγ ⊂E_{é chamado contorno se}L_{\γtem exatamente uma} componente conexa finita e é minimal com respeito a essa propriedade, i.e., para qualquer elo

e∈ γ, o grafo induzido(V_,E_\(_γ\e))_{não tem componente conexa finita. Denotaremos porΓo} conjunto dos contornos emL_.

Seγé um contorno emL, denotamos por _Gγ =(I_γ,Eγ) a única componente conexa

finita deL\_γ, onde_Iγ⊂ Z2 é o conjunto de vértices interior ao contorno_γe_Eγ ⊂Eé o conjunto de elos interior ao contornoγ. Observe que∂eIγ =γ.

Considere um contorno γ ∈ L e um conjunto de vértices _X ⊂ Z2. Dizemos que

γ cerca X se X ⊂ Iγ e usaremos a notaçãoγ⊙X. Denotaremos por |γ| o tamanho do

contornoγ, i.e., o número de elos deγ. Denotaremos porΓ_Xo conjunto dos contornos

que cercamX, i.e.,Γ_X = {γ ∈Γ : γ⊙X}e porΓn

nque cercamX, i.e.,Γn

X ={γ ∈ΓX :|γ|=n}. Durante o restante do o texto o conjuntoX

conterá somente um ou dois elementos.

Como vamos trabalhar a volume finito considere G = (V_G,EG) um subgrafo deL

e denote por Ω_G o conjunto de configurações em G. Denotaremos por GN = L[VN]

o subgrafo induzido por VN = [−N,N]×[−N,N] ⊂ Z2 e escreveremos EN = E[VN]

para os elos de GN. Denotaremos por ΩG o conjunto das configuraçãoes em G, i.e.,

Ω_G = {ω : EG → {0,1}}. Dado ω ∈ ΩG denotamos por O(ω) = {e ∈ EG : ω(e) = 1} o

conjunto de elos emEG abertos na configuração ω e porC(ω) = {e ∈ EG : ω(e) = 0} o

conjunto de elos emEGfechados na configuraçãoω.

Considerando a medidaP_p restrita aΩ_Ge fixando_ω ∈Ω_Ga probabilidadeP_p(_ω) é dada por

P_p(_ω)=p|_hOh(ω)|p|vOv(ω)|(1−ph)|C

h_(ω)|

(1−pv)|C

v_(ω)|

(3.3)

A quantidade com a qual vamos trabalhar no regime supercrítico é a conectividade truncada, de fato, vamos trabalhar a volume finito, i.e., fixeNsuficientemente grande de modo que{x,y} ⊂VN\∂vintVN. A conectividade truncada a volume finitoτpf,N(x,y) é

definida como a probabilidade que os vérticesx,ypertençam ao mesmo aglomerado aberto, e este aglomerado não intercepte∂int

v VN. Nominalmente temos,

τpf,N(x,y)=Pp(∃aglomerado abertoA:{x,y} ⊂VA,VA∩∂intv VN =∅) (3.4)

Observando a definição (3.1) temos que

τpf(x,y)= lim

N→∞τ

f,N

p (x,y) (3.5)

Observe que, pela continuidade da medida produtoP_p, para encontrar uma cota supe-rior para a conectividade finitaτpf(x,y), basta encontrar uma cota superior paraτ

f,N

p (x,y)

31

Vamos dar uma expressão paraτpf,N(x,y) em termos dos parâmetros

λh=

1−ph

ph

e λv =

1−pv

pv

(3.6)

Desde já usaremos

η= λv

λh

∈ (0_,1] (3.7)

que nos dá uma medida da anisotropia do sistema. Observe que fixado ph (ph < pv)

temos que

lim

pv→p+_h

η=1 e lim

pv→1

η=0 (3.8)

Primeiramente observe que

1= X

ω∈ΩG

p_h|Oh(ω)|pv|Ov(ω)|(1−ph)|C

h_(ω)|

(1−_pv)|Cv(ω)|

=

= X

ω∈ΩG

p|_hOh(ω)|+|Ch(ω)|p|vOv(ω)|+|Cv(ω)|(

1−ph

ph

)|Ch_(ω)|

(1−pv pv

)|Cv_(ω)| =

=p|EhG|

h p

|Ev G|

v X

ω∈ΩG

λ|_hCh(ω)|λ|vCv(ω)| (3.9)

Definimos então a função de partição

ZEG(p)=ZEG(ph,pv)=p

−|Eh G|

h p

−|Ev G|

v = X

ω∈ΩG

λ|_hCh(ω)|λ|vCv(ω)| (3.10)

Denotamos simplesmente porZN(p) seG = GN. A conectividade truncada a volume

τpf,N(x,y)=

X

ω∈ΩN:∃A aglomerado aberto

{x,y}⊂VA, ∂eA⊂EN

p_h|Oh(ω)|pv|Ov(ω)|(1−ph)|C

h_(ω)|

(1−pv)|C

v_(ω)| =

= 1

ZN(p)

X

ω∈ΩN:∃A aglomerado aberto

{x,y}⊂VA, ∂eA⊂EN

λ|_hCh(ω)|λ|vCv(ω)| (3.11)

Uma configuração ω ∈ Ω_N é especificada uma vez que conhecemos o conjunto

de elos fechados C(ω) em EN. Se C = C(ω) é um conjunto de elos fechados em EN,

escrevemosC⊙ {x,y}quando existe um contorno_γ ⊂Ctal queγ⊙ {x,y}. Fixada uma configuraçãoω ∈Ω_N, existe um único contornoγcontido na fronteira do aglomerado

aberto (emω) que contém{x,y}. De fato, a fronteira do aglomerado aberto que contém

{_x,y}é um conjunto separador. Se tal fronteira não é um contorno podemos, excluindo

alguns elos, encontrar um contorno γ contido nessa fronteira. Suponha agora que

exista dois contornosγ eγ′ _{para o aglomerado aberto que contém{}

x,y}. Então existe um eloe∈_γ′ _{tal quee<γ. Mas assim o grafoG}

N\γcontém o eloe, logoGN\γé conexo

poisγ′ _{é um contorno.}

Podemos então reescrever (3.10) e (3.11) como

ZN(p)= X

C⊂EN

λ|_hCh|λ|vCv|=p

−|Eh N|

h p

−|Ev N|

v (3.12)

e

τpf,N(x,y)=

1 ZN(p)

X

C⊂EN

C⊙{x,y}

λ|_hCh|λ|vCv| (3.13)

33

3.3 Contagem com contornos

Nesta seção provaremos alguns lemas que envolvem contagem com contornos, os quais serão utilizados na prova do Teorema (3.2).

Inicialmente vamos dar uma caracterização dos contornos em termos da rede dual deL a qual denotaremos por L∗, cuja definição formal pode ser encontrada em [15]. Temos queL∗ _{é isomorfo aL. ConsidereL imersa emR}2_{. Tomaremos como vértices} da rede dual o conjuntoV∗=nx+1_2,1₂:x∈Z2oe nós ligaremos dois vértices vizinhos por um elo que será representado por um segmento de reta em R2. Usaremos 0∗ ₌

(1/2,1/2) ∈ Z2 para a origem em L∗. Denotaremos por E∗ o conjunto de elos de L∗. Dessa maneira existe uma bijeção entre os elos deLe os elos do dualL∗_{, pois cada elo}

edeLé “atravessado” por um único elo do dual, o qual denotaremos por_e∗.

Se X ⊂ E, denotaremos por _X∗ _{o conjunto X}∗ _{= {e}∗ _{∈ E}∗ _{: e ∈ X}, observe que}

|X|=|X∗_{|. Temos então o seguinte fato, cuja prova basicamente se encontra em [28].}

Proposição 3.1. Seγ∈Γentãoγ∗_{é um circuito emL}∗_.

Demonstração. Basta mostrarmos que γ∗ _{contém um circuito c}∗ _{no dual. De fato, um}

circuitoc∗_{no dual é tal quecé um conjunto separador na rede original (ver [21]), logo}

comoγ ⊃ceγé um conjunto separador minimal entãoγ =ceγ∗_=c∗_.

Vamos então mostrar que γ∗ _{contém um circuito c}∗ _{no dual. Inicialmente vamos}

mostrar que todo vérticev∈_γ∗_{é incidente a pelo menos dois elos emγ}∗_.

Suponha quevseja incidente a somente um eloe∗_emγ∗_{. Denotando porV}ext

γ =Z2\Iγ

temos queγ = _∂eIγ = {e = {x,y} ∈ E : x ∈ Iγ,y ∈ Vextγ }, logo o eloe∗ é dual de e = {x,y}

em γ com x ∈ Iγ e y ∈ Vγext. Dos 3 elos restantes do dual aos quais v é incidente,

dois perpendiculares ae∗ _{e um paralelo a este, denote por ˜e}∗ _{aquele paralelo a e}∗_{. Por}

construção, se escrevemos ˜e= {x′_,y′_{}então denotando por f}∗_eg∗ _{os dois elos do dual}

perpendiculares a e∗ _{aos quais v é incidente, então podemos escrever f = {x,x}′_{} ∈ E}

e g = {y,y′_{} ∈ E. Como o único elo de γ}∗ _{ao qual v é incidente é e}∗_{, então ˜e}∗_{, f}∗ _e

g∗ _{não pertencem a γ}∗_{, logo ˜e, f e g não pertencem a γ. Assim temos um caminho}

σ = x, f,x′_,e˜,y′_{,g,y conectando x ∈ I}

hipótese queγé um contorno.

Considerando agora o subgrafo γ∗ _{da rede dualL}∗_{, sejaπ= v0,e}∗

0,v1, ...,e∗n−1,vn um

caminho de tamanho máximo emγ∗_{. Comov}

nestá emγ∗e todo vértice deγ∗é incidente

a pelo menos 2 elos em γ∗_{, existe um eloe}∗

n = {vn,vn+1} , e∗_n−1 em γ∗. Como π é um

caminho de tamanho máximo então devemos tervn+1 ∈π, de fato devemos tervn+1 =

vi ∈ {v0,v−1, ...vn−3}. Logoγ∗contém o circuito (ciclo)c∗=vi,e∗_i,vi+1, ...,e∗_n−1,vn,e∗n,vn+1.

Trataremos agora com contagem de contornos que cercam 0 ex. Entre os contornos que cercam {0,x}, ou seja γ ∈ Γ{0,x}, existem aqueles de tamanho mínimo, os quais

denotaremos por contornos mínimos. Seγ ∈Γ{0,x}é um contorno mínimo então

|γh_{|=2(x2+1) e |γ}v_{|=2(x1+1) (3.14)}

Temos então que |_γ| = 2(x1 +x2 +2) = 2(|x|+2). Usaremos a notação kxk para o tamanho de um contorno mínimo que cerca 0 ex, i.e.,kxk=2(|x|+2).

Para simplificar escreveremosF(x,n) para o número de contornos de tamanhonque cercam 0 ex, paran≥ kxk, ou seja

F(x,n)=|Γn_{0,x}| (3.15)

Usaremos também a notação βx = F(x,kxk) para o número de contornos de tamanho

mínimo que cercam 0 ex. Temos então o seguinte lema.

Lema 3.1.

i) F(x,n)≤4n_{, para todo n≥ kxk}

ii) F(x,kxk+m)≤12m_· kxk

m

·_βx, se 0≤m≤ kx₂k

Demonstração.

i)

35

exno seu interior. Vamos dar uma cota superior estimando o número de circuitos de tamanhonno dual que contém 0 no seu interior. Como um tal circuito envolve a origem então ele contém um elo da formae∗_={v−,v

+}ondev−=

k− 1_2,−₂1ev+ =

k− 1_2,1₂para algumk ≤ 0. Devemos ainda tern− _<k ≤ 0 pois casok ≤ −no circuito teria tamanho pelo menos 2n. Retirando-se o elo e∗_{do circuito obtemos um caminho (auto evitante)}

de tamanhon−1. Logo o número de circuitos de tamanhonno dual que contém 0 no seu interior é cotado superiormente porn·3n−1_≤4n_.

ii)

Dadoγ ∈ Γk_{0x_,k+m

x} , temos que o circuito γ

∗ _{corta o eixo x, denote então por}

e∗γ o elo

mais à esquerda deγ∗_{que cruza o eixo x, i.e., entre os elos da formae}∗

k ={v k

−,vk

+}onde

vk

− =

k− 1_2,−1 2

evk

+ =

k− 1_2, 1_{2 que pertencem a γ}∗_{, escolha aquele que tem o menor}

valor de k. Denotando por kγ esse menor valor escrevemos e∗γ = {v

kγ

−,v

kγ

+}. Como o

circuitoγ∗_{envolve 0 e}

xentão devemos ter−_m<kγ ≤_0.

Denotamos então por Γk_{0x_,k+m

x} (e ∗

k) = {γ ∈ Γ

kxk+m

{0,x} : e ∗

γ = e∗_k} o conjunto dos contornos

de tamanhokxk+mque cercam 0 excujo elo mais à esquerda do circuito dualγ∗_que

cruza o eixoxée∗_k. Temos claramenteΓk_{0x_,k+m

x} (e ∗

k)∩Γ

kxk+m

{0,x} (e ∗

j) =∅se j,k. Logo podemos

escrever

Γk_{0xk+m

,x} =

0

[

k=−m+1

Γk_{0xk+m

,x} (e ∗

k) (3.16)

Como a união é disjunta temos

F(x,kxk+m)=|Γk_{0xk+m

,x} |=

0

X

k=−m+1 |Γk_{0xk+m

,x} (e ∗

k)| (3.17)

Para cada um dos termos|Γk_{0xk+m

,x} (e ∗

k)|do somatório, afirmamos que a seguinte cota

superior (independente de k) é verdadeira

|Γk_{0x_,k+m

x} (e ∗

k)| ≤3

m_· kxk+m

m

!