Buraco negros, correspondência AdS/BCFT e fluido/gravidade

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

B

URACO NEGROS

,

CORRESPONDÊNCIA

A

D

S/BCFT

E

FLUIDO

/

GRAVITAÇÃO

MADSON

RUBEM

OLIVEIRA

S

B

URACO NEGROS

,

CORRESPONDÊNCIA

A

D

S/BCFT

E

FLUIDO

/

GRAVITAÇÃO

Tese de Doutorado_{apresentada ao Programa de Pós-Graduação} em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau deDoutor_{em Física.}

Orientador: PhD. Dmitry Melnikov

À

A minha família, especialmente a minha mãe.

A minha namorada Luzia Oliveira Aranha por está sempre presente na minha vida.

A minha filha Ingrid por existir na minha vida e ser a motivação para continuar estu-dando.

Ao professor Dmitry Melnikov pela orientação, amizade e pelas excelentes discussões sobre física.

Ao Professor José Roberto P. Cunha pela colaboração e assistência.

A todos os professores do Departamento de Física da UFRN.

Aos amigos da família Cesar Lattes: Leonardo, Janio, Cesar, Heydson, Carlene, Humberto e Francys.

A todos da secretaria da Pós-graduação em Física, em especial a Celina.

Por fim, agradeço a CAPES pela bolsa de estudo concedida.

por

Madson Rubem Oliveira Silva

Submetida ao Departamento de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte em 20 de maio de 2015, como requisito parcial à obtenção do grau de Doutor em Física.

Resumo

A equação de Einstein com constante cosmológica negativa gera um espaço-tempo

d+ 1₋dimensões, que denominamos de espaço anti de Sitter, AdSd+1, que nos referimos

de "bulk". O principio holográfico afirma que a gravidade quântica sobre oAdSd+1 é

co-dificada por uma teoria de contorno, uma CFTd. Por exemplo, uma teoria de cordas IIB

sobre uma espaço-tempo assintoticamente AdS5 ×S5 é dual a uma teoria de gauge de

super Yang-MillsN = 4SYM no espaço-tempo de4−dimensões. Outro exemplo é a rela-ção entre a equarela-ção de Einstein no "bulk"e a equarela-ção hidrodinâmica descreve uma teoria efetiva no contorno, o qual denominamos de fluido/gravitação.

Uma extensão da dualidadeAdS/CFT foi proposta por Takayanagi que

denomi-nou de correspondência AdS/BCFT. O contorno do CFT extende-se para o "bulk"e

res-tringe o AdSd+1. Quando impomos a condição de Neumann sobre a extensão do

con-torno obtemos uma equação de movimento dinâmica que determina a forma da exten-são. Da perspectiva da correspondência fluido/gravitação o tensor energia-momento do fluido residindo no contorno será a fonte da geometria do "bulk". Ampliando a pro-posta de Takayanagi para correspondência fluido/gravitação estudaremos a consistência doAdS/BCFT a temperatura finita ou equivalentemente a geometria de BH no "bulk".

Palavras-chave:Buracos negros, correspondênciaAdS/CFT.

by

Madson Rubem Oliveira Silva

Submitted to the Department of Physics of Federal University of Rio Grande do Norte on March 20, 2015, in partial fulfillment of the requirements for the degree of Ph.D in Physics.

Abstract

Einstein’s equations with negative cosmological constant possess the so-called anti de Sit-ter space,AdSd+1, as one of its solutions. We will later refer to this space as to the "bulk".

The holographic principle states that quantum gravity in theAdSd+1space can be encoded

by ad−dimensional quantum field theory on the boundary ofAdSd+1space, invariant

un-der conformal transformations, a CFTd. In the most famous example, the precise statement

is the duality of the type IIB string theory in the spaceAdS5×S5 and the4−dimensional

N = 4 supersymmetric Yang-Mills theory. Another example is provided by a relation between Einstein’s equations in the bulk and hydrodynamic equations describing the ef-fective theory on the boundary, the so-called fluid/gravity correspondence.

An extension of the "AdS/CFT duality"for the CFT’s with boundary was

propo-sed by Takayanagi, which was dubbed theAdS/BCFT correspondence. The boundary of a CFT extends to the bulk and restricts a region of theAdSd+1. Neumann conditions

impo-sed on the extension of the boundary yield a dynamic equation that determines the shape of the extension. From the perspective of fluid/gravity correspondence, the shape of the Neumann boundary, and the geometry of the bulk is sourced by the energy-momentum tensor Tµν of a fluid residing on this boundary. Clarifying the relation of the

Takaya-nagi’s proposal to the fluid/gravity correspondence, we will study the consistence of the AdS/BCFT with finite temperature CFT’s, or equivalently black hole geometries in the bulk.

Keywords:Black holes, correspondenceAdS/CFT.

1.1 Espaço CFT . . . 4

1.2 Foliação deRd . . . 6

1.3 GeometriaAdS . . . 11

2.1 Curvas congruentes . . . 16

2.2 Partícula proximo buraca negro de Schwarszchild . . . 18

2.3 Partícula proximo a buraco negro . . . 20

2.4 Raio e cone de luz avançada . . . 21

2.5 Raio e cone de luz retardada . . . 22

2.6 Coordenadas nulas avançadas e retardas. Figura retirada e adaptada de [1]. 25 2.7 Diagrama Kruskal . . . 27

2.8 Infinitos no espaço-tempo de Minkowski . . . 29

2.9 Espaço de Minkowski compactado . . . 30

2.10 Diagrama Penrrose . . . 31

2.11 Diagrama Penrose para os parâmetros u e v . . . 32

2.12 Diagrama Penrose para Kruskal . . . 32

3.1 Imersão de hypersuperfície . . . 44

3.2 Espaço dos parâmetros . . . 45

3.3 Elemento infinitesimal . . . 45

3.4 Projeção estereográfica . . . 51

3.5 Visualização doAdS3 como cilindro . . . 56

3.6 Visualização doAdS . . . 58

3.7 Visão conforme doAdS3 . . . 61

4.1 Exemplos deAdS/BCFT . . . 63

4.2 Foliação . . . 64

4.3 Dual BCFT . . . 69

4.4 Geometria BTZ . . . 75

5.1 Geometria AdS4/BCFT2 . . . 85

5.2 EspaçoAdS vazio . . . 88

5.3 Perfily=y(z) . . . 96

5.4 Perfil da brana Q . . . 97

5.5 Gráfico da energia e pressão . . . 98

• Assinatura da métrica: (−,+,+,+).

• Índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos variam de 1 a 3. Índices repetidos repre-sentam soma (convenção de Einstein).

• Palavras em outro idioma são escritas entres aspas.

• Adotamos o sistema de unidades em quec=G=~_{= 1}. Porém, explicitaremos_{c, G}

e~sempre que for necessário didaticamente.

• r_⊙é o raio solar.

Agradecimentos i

Resumo iii

Abstract iv

Lista de Figuras v

Notações, Convenções e Símbolos vii

1 Introdução 1

1.1 CFTs . . . 3

1.1.1 Álgebra conforme . . . 4

1.1.2 Operador de campo local . . . 6

1.1.3 Correlação conforme . . . 7

1.2 CorrespondênciaAdS/CFT . . . 10

1.2.1 GeometriaAdS . . . 10

1.2.2 Função de partição . . . 12

2.1 Buraco negro de Schwarzschild . . . 14

2.1.1 Singularidades . . . 17

2.1.2 Partículas radialmente em queda livre no campo de Schwarzschild . 17 2.1.3 Coordenadas Eddington-Finkelstein . . . 20

2.1.4 Coordenadas de Kruskal-Szekeres . . . 23

2.1.5 Tratamento conforme dos infinitos. Diagrama Penrose . . . 27

2.2 Buraco negro Reissner-Norsdtrom . . . 33

2.3 Termodinâmica de BN . . . 38

2.3.1 Coordenadas Rindler e Milne . . . 38

2.3.2 Entropia de BN . . . 40

2.3.2.1 Temperatura e entropia de Hawking . . . 40

2.3.2.2 Derivação euclidiana da temperatura de Hawking . . . 41

3 Espaços hiperbolicos e contorno conforme 43 3.1 Digressão sobre área funcional para superfície espacial . . . 43

3.2 Reparametrização invariante da área . . . 46

3.3 Os espaços hiperbólicos e o contorno conforme . . . 50

3.4 Geometria do espaço anti de Sitter(AdS) . . . 54

3.4.1 Coordenadas globais . . . 55

3.4.2 Coordenadas Poincarè . . . 56

3.4.3 Coordenadas sausage . . . 59

4 Holografia dual de BCFT 62 4.1 Condição de contorno de Neumann . . . 63

4.3 AdS3/CFT2e BN . . . 72

4.3.1 Fase de alta temperatura . . . 74

4.3.1.1 Propriedades da solução . . . 76

4.3.1.2 Ação euclideana . . . 77

5 Construção holográfica do AdS4/BCFT3 82 5.1 AdS4−Schwarzschild . . . 85

5.1.1 AdS4 vazio comΘab = 0 . . . 87

5.2 Tensor energia-momento geral . . . 88

5.2.1 AdS4−Schwarzschild comQemz =z0 . . . 89

5.2.2 Correspondência fluido ideal conforme sobreQemz =z0 . . . 90

5.2.2.1 AdS4−Schwarzschild comΣárbitrário . . . 91

5.3 Caso geral . . . 95

5.3.1 Propriedades da solução . . . 97

5.3.1.1 Próximo ao horizonte . . . 97

5.3.1.2 Próximo ao contorno . . . 99

5.4 Termodinâmica do BHAdS4−Schwarzschild . . . 101

6 Conclusões e perspectivas 107 Referências Bibliográficas 110 APÊNDICES 114 A Equação para geodésica 114 A.1 Métrica . . . 114

B Método variacional para geodésica 118

C Métrica, espaço e intervalo de tempo 122

C.1 Métrica . . . 122

C.2 Métrica geodésica . . . 123

D Derivação da equação do campo de Einstein 126

E Derivação da ação Einstein com termo de Gibbons-Hawking 130

F Integração da ação de contorno 133

G Integração sobre a superfícieN 137

INTRODUÇÃO

Na teoria da relatividade geral a equação de Einstein, a saber: Rµν − 1₂gµνR =

8πG

c2 Tµν, possui como soluções buracos negros1. Por definição um BN é uma região do

espaço-tempo no qual o campo gravitacional é tão forte que impede até a luz de escapar para o infinito[2]. Citamos como exemplos de BNs: BN de Schwarzschild que tem como característica ser esférico e estático. Reissner-Norsdtrom que corresponde a um BN es-fericamente simétrico de massaM eletricamente carregado. E Kerr, um BN em rotação

que possui momento angular. Todos os BNs possuem um horizonte de eventos, onde qualquer objeto, ou até mesmo a luz, ao cruzá-lo não pode mais escapar. O horizonte de eventos desempenha o papel de uma membrana unidirecional, ou seja, uma membrana de via única que possui uma tensão gravitacional, equivalentemente, a uma tensão super-ficial que separa dois fluidos imiscíveis[3]. A característica mais relevante é que os BNs emitem radiação térmica[4]. Portanto, concluímos que os BNs possuem descrição a nível de termodinâmica. Em outras palavras, associamos as quatros leis da termodinâmica aos BNs[5]. Hawking em [4] determina que a temperatura de BN seja igual a razão entre a tensão gravitacional e o raio do horizonte de evento. Precisamente,TH = _2πzκ_h, que

deno-minamos de temperatura de Hawking. Além disso, Hawking em [4] relaciona a entropia de BN com a area do horizonte de eventos, ou seja,S = A₄.

Adicionando a constante cosmológica na equação de Einstein, teremos Rµν −

1

2gµνR + gµνΛ = 8πG

c2 Tµν. Em particular, para Λ = 0 temos um espaço-tempo plano ou

espaço de Minkowski, para Λ > 0 um espaço-tempo curvado positivamente, que

cha-1_{Usaremos a abreviatura BN daqui para frente.}

mamos de de Sitter,dS, e para Λ < 0 um espaço-tempo curvado negativamente, o qual denominamos de anti de Sitter,AdS.

De maneira não rigorosa definimos a teoria quântica de campos, TQC2_{, como um}

conjunto de idéias físicas que utiliza a matemática como ferramenta para descrever siste-mas físicos com infinitos grau de liberdade. [6] define TQC como um referencial teórico que agrega os conceitos de relatividade e mecânica quântica, onde as partículas são des-critas por excitações localizadas no campo imerso no espaço-tempo. TQC é usado como arcabouço teórico em várias áreas da física, tais como: cosmologia, física de partículas elementares e física da matéria condensada. A TQC que descreve as interações eletro-magnética, forte e fraca é chamada de eletrodinâmica quântica. Tais interações reunidas formam o modelo padrão das partículas elementares. Se TQC é invariante sobre uma transformação conforme, ou mais precisamente invariante de escala, temos uma teoria de campos conforme, CFT3_{. Contudo, TQC não trata da interação gravitacional. Dessa}

perspectiva, há um esforço entre os físicos teóricos em descrever uma TQC para gravita-ção. Entretanto, a teoria clássica da gravitação é descrita pela equação de Einstein com constante cosmológica que identifica a gravitação como uma curvatura do espaço-tempo. O fato de termos uma curvatura no espaço-tempo nos remete a uma questão chave para gravitação quântica: qual a natureza fundamental do espaço-tempo?[7] Uma resposta re-cente para esse problema surgiu da correspondência holográfica[8] que nos permite, em principio, tratar a gravitação quântica em termos de TQC. A estrutura lógica dessa cor-respondência holográfica nos leva de TQC não gravitacional comd₋dimensões para uma

teoria de gravitação quântica emd+ 1−dimensões. Em outras palavras, nos permite estu-dar a gravidade quântica de modo não perturbativo e ao mesmo tempo analisar uma CFT fortemente correlacionado[9].

O exemplo mais compreendido é oAdS/CFT. Precisamente, em teoria de cordas

contento gravitação sobre uma espaço-tempo assintoticamenteAdS em cinco dimensões

vezes uma5₋esfera,AdS5×S5,é dual a uma teoria de gauge de super Yang-Mills,N = 4

SYM, no qual vive no espaço-tempo de quatro dimensões na teoria de campo conforme, CFT, ouAdS5×S5 ↔N = 4SYM. Essa correspondência é dita holográfica, no sentido de

2_{TQC é a abreviatura de teoria quântica de campos que adotaremos em todo o texto.}

que o CFT reside no contorno doAdS e assim podemos reconstruir todo o AdS a partir

desse contorno4_{. No ladoAdS da correspondência nos referimos como "bulk"}5_{, enquanto}

no lado do CFT como contorno da teoria. Na expressão AdS/CFT, diferentes

espaço-tempos produzem diferentes estados na teoria de contorno. Por exemplo: o estado de vácuo no CFT corresponde a um AdS puro. A pertubação da métrica no lado do AdS

corresponde ao valor esperado do tensor energia-momento no CFT[7].

A característica mais relevante dessa conjectura surge quando imergimos um BN no "bulk". Uma vez que o BN emite radiação térmica provoca o efeito de aquecer a TQC residente no contorno. Especificamente, um BNAdS−Schwarzschild corresponde, apro-ximadamente, ao estado térmico da teoria de gauge.

A prescrição para obtermos uma perfeita correspondência entre o AdS e CFT é

garantir que a função de partição no ladoAdS corresponde a função de partição no lado

do CFT.

1.1 CFTs

De maneira geral podemos dizer que CFTs são teorias clássicas ou quânticas de campos que descrevem sistemas que possuem simetria conforme, isto é, são invariante sobre transformação conforme. O termo conforme refere-se ao fato do ângulo entre quais-quer dois vetores ser conservado nessa transformação.

CFTs são importantes como pontos extremos do grupo de renormalização no es-paço das teorias efetivas[10]. O conhecimentos dessa teorias e de suas modificações rele-vantes parcialmente organiza o espaço da teoria de campo[10]. Representamos essa ideias na figura (1.1)

Por definição uma transformação de escala numa TQC local ou quase-local no limite do infravermelho, IR6_{, ou comumente chamado regime de baixas energias, resulta}

4_{Bragg, em 1942, deve a ideia reconstruir a imagem tridimensional a partir de uma imagem de difração de raios X}

de um cristal numa chapa fotográfica. Mas, enfrentou uma dificuldade que chamamos de "problema da fase". Uma vez que é na fase da onda que reside a informação tridimensional da imagem. Somente em 1949, Gabor consegui contornar esse problema e reproduziu a ideia de Bragg. Esse fenômeno é conhecido como holografia.

5_{Nos referimos ao termo bulk como o volume do todo.}

IR CFT

UV CFT

CFT

Figura1.1: Espaço CFT parcialmente organizado. Figura retirada de [10].

numa numa teoria de campo local invariante de escala. Uma transformação de escala no regime ultravioleta, UV7_{, também chamado de regime de altas energias, poderá nos levar}

a uma teoria de campo local invariante de escala, por exemplo: as teorias de Yang-Mills no espaço-tempo de 4−dimensões e como exceção citamos a teoria de cordas pequenas não-local.

Nos concentramos em CFTs que possuem tensor energia-momentoTµν_(x)local,

conservado e de traço nulo.

1.1.1 Álgebra conforme

O grupo conforme no espaço-tempod₋dimensões é um grupo de transformação que preserve a forma da métrica,gµν(x), do espaço-plano por um fator local, ou seja,

gµν(x)→Λ2(x)gµν(x). (1.1)

O grupo conforme é um grupo mínimo que inclui o grupo de Poincarè e a simetria de inversão

xµ→ x

µ

x2. (1.2)

Os geradores do grupo conforme, para d > 2, são transformações(rotações) de Lorentz, , mais translação, dilação e a transformação especial conforme , respectivamente,

Mµν =i(xµ∂ν −xν∂µ), (1.3)

Pµ=−i∂µ, (1.4)

D =₋ixµ_∂

µ, (1.5)

e

Kµ=−i

(

2xµxν∂ν −x2∂µ

)

(1.6)

Tais geradores obedecem as seguintes álgebras conforme[10] e [11]

[D, Kµ] = iKµ, (1.7)

[D, Pµ] =−iPµ, (1.8)

[Pµ, Kν] = 2i(Mµν −gµνD), (1.9)

[Kρ, Mµν] = i(gρµKν −gρνKµ), (1.10)

[Pρ, Mµν] = i(gρµPν −gρνPµ) (1.11)

e

[Mµν, Mρσ] =i(gνρLµσ +gµσMνρ−gµρMνσ −gνσMµρ) (1.12)

e todos os outros são nulos.

Ao definir2d+ 1geradores adicionais de rotações dePµ,DeKµ[10], obtemos

Mµd+1 :=

1

2(Kµ−Pµ), (1.13)

Mµd+2 :=

1

2(Kµ+Pµ), (1.14) e

Md+1,d+2 :=D. (1.15)

x

x

x

x

z

Figura1.2: Foliação deRdemSd−1₋esferas. Figura retirada e adaptada de [11].

1.1.2 Operador de campo local

Em TQC usual, classificamos os operadores de campo localO(xµ_{), por suas}

pro-priedades de transformações do grupoSO(d)_×SO(2)do grupo conforme. Na quantiza-ção radial com assinatura euclidiana, a representaquantiza-ção irredutível do grupoSO(d)é o spin do campo. Enquanto, a carga sob o subgrupoSO(2)é a dimensão da escala,∆, do campo

O∆(λxµ) = λ−∆O∆(xµ), (1.16)

logo

[D,_O∆(0)] =−i∆O(0) (1.17)

Na quantização radial foliamos o espaço euclidianoRdem_(d−1)−esferas,Sd−1,

concêntricas na origem, e definimos o estado dos espaços de Hilbert do CFT numa dada fatia radial. Para sermos mais claro, consideremos um cilindro como espaço euclidiano que projetamos no plano complexo, como mostramos na figura (1.2), ondex0_corresponde

a coordenada temporalt

Na mecânica quântica o gerador da translação temporal é o operador hamiltoni-ano. Nesse caso, o operador evolução temporal é a dilatação,D, ou seja, gera a evolução

no limite de raio tendendo a zero na fatia, O(0)|0⟩. Em CFT, a invariância de escala é um estado sobre qualquer tamanhoSd−1 ao redor da origem. Reciprocamente, qualquer

estado sobreSd−1criado pela da ação dos operadores no menor raio pode ser escrito como

estado criado por um operador local inserido na origem pelo encolhimento da esfera[10].

Nas relações eqs.(1.7) e (1.8), o operador Pµ levanta a dimensão do campo,

en-quanto operadorKµ baixar da dimensão. Em teoria de campo unitária existe um limite

inferior na dimensão do campo, e portanto, cada representação do grupo conforme que surge deve ter algum operador de menor dimensão, que deve ser aniquilado pelo ope-radorKµ, em x = 0. Tais operadores são chamados de operadores primários. Ação do

grupo conforme sobre esses operadores são dados por[8] e [10]

[Pµ,O∆(x)] =i∂µO∆(x), (1.18)

[Mµµ,O∆(x)] = [

i(xµ∂ν −xν∂µ) +

∑_R

µν

]

O∆(x), (1.19)

[D,_O∆(x)] = i(xµ∂ν −∆)O∆(x), (1.20)

e

[Kµ,O∆(x)] = [

i(x2∂µ−2xµxν∂ν+ 2xµ∆

)

−2xν∑R_µν]_O∆(x), (1.21)

onde∑R

µν são as representação das matrizes do spin irredutívelRdo operador primário

atuando sobre os índices do spin e∆∈Ré a dimensão conforme do operador primário.

Operadores descendentes são aqueles que surgem quando atuamos com os ope-radoresPµsobre os operadores primários. Para maiores detalhes sugerimos estudar [8] e

[11]

1.1.3 Correlação conforme

para campos escalares primários,

⟨O∆1(x1)O∆2(x2)⟩=δ1,2 3 ∏

i<j

|xij|−∆, (1.22)

⟨O∆1(x1)O∆2(x2)O∆3(x3)⟩=c123 3 ∏

i<j

|xij|∆−2∆i−2∆j, (1.23)

e

⟨O∆1(x1)O∆2(x2)O∆3(x3)O∆4(x4)⟩=c1234(u, v) 4 ∏

i<j

|xij|

1

3∆−∆i−∆j, (1.24)

ondexij :=xi−xj e∆ =∑i∆isão as somas das dimensões dos operadores na correlação.

Para função de correlação de2−pontos aδ de Kronecker está relacionado com a

norma-lização do campo primário. cijk na função de correlação de 3−pontos são os coeficientes

constantes indeterminados e cijk(u, v) é uma função indeterminada de dois invariante

conformalmente independente dados por

u:= |x12| |x34| |x13| |x24|

, (1.25)

e

v := |x14| |x23| |x13| |x24|

. (1.26)

A correspondência estado/operadores implica que o produto de dois campos pri-mários quaisquer pode ser reescrito como combinação linear de operadores conforme in-seridos na proximidade dos pontos. Essa expansão é chamada de expansão do produto dos operadores, EPO, dos dois campos primários. Por exemplo, campos escalares tem a seguinte forma

O∆i(xi)O∆j(xj) = ∑

k

cijk|x|−∆i−∆j+∆k(O∆k(0) +descendentes). (1.27)

onde∑, é a soma de todos os campos primários e descendentes, os coeficientes dos cam-pos descendente são todos determinado pela invariância conforme. Comparando os coe-ficientes dos campos primários da eq.(1.27) com os da eq.(1.23), são os mesmos.

uma vez que, usando a expansão do produto dos operadores, substituímos qualquer

n−funções por uma soma infinita de funções de(n−1)−pontos. Assim, podemos deter-minar completamente uma CFT via∆i, spins ecijkpor todos os campos primários. Porém,

por conta da unitariedade e associatividade das EPOs implicará em relações complicadas entre os ∆i, spins e cijk e por isso não teremos, em geral, uma CFT consistente. Uma

maneira alternativa de construirmos uma CFT consistente, é a chamada correspondência

AdS/CFT. Em outras palavras, a correspondência nos fornece uma maneira de

construir-mos a função de partição de modo que todas as correlações podem ser reconstruídas.

Escrevemos as funções de correlações de uma CFT em termos da função de parti-ção

Z[ϕ∆i(x)] = ⟨

exp

(∫

ddxϕ∆i(x)O∆i(x) )⟩

CFT

. (1.28)

Essa equação é um funcional da fonte clássicaϕ∆i(x) associado com cada operador de campo do CFT que é gerado pela funções de correlações tomando a derivada deZ[ϕ∆i(x)] com respeito a fonte

⟨O∆1(x1)O∆2(x2)...⟩=

∂

n_Z[ϕ

∆i]

∂ϕ∆1(x1)∂ϕ∆2(x2)...

ϕ∆_i(x)=0

. (1.29)

Sabemos que as correlações são invariante conforme. Em particular,x_→λx,

∫

dd_xϕ

∆i(x)O∆i(x) = ∫

dd_(λx)ϕ

∆i(λx)O∆i(λx) =λ

d−∆ ∫

dd_xϕ

∆i(λx)O∆i(x), (1.30)

logo,Z é invariante conforme sobre a seguinte transformação de escala

ϕ∆i(x) =λ

d−∆_ϕ

∆i(λx). (1.31)

Em linhas gerais, a fonteϕ∆i(x)transforma-se como grupo conforme, enquantoZ[ϕ∆i]é invariante sobre a combinação desse campos8_.

1.2 Correspondência

AdS

/CFT

A ideia principal na correspondência AdS/CFT é garantir que a função de

par-tiçãoZ[ϕ∆(⃗x)]seja conformalmente invariante. De maneira geral, isso não garante que

todas as CFT’s geradas sejam consistente, mas uma parte especial dessa classe, em outras palavras, um subconjunto dessa classe seja consistente.

Não temos a pretensão de fazer uma revisão completa sobre o tema. Porém, for-necemos uma abordagem mais geral. Um tratamento mais detalhado está na referência [8].

1.2.1 GeometriaAdS

A esfera de Lorentz ou pseudoesfera é o hiperboloide dado por

⃗

X2+V₊2₋V₋2 =R2, (1.32)

onde_X⃗2 _:={X

1, X2, ...Xd}eV±são as coordenadas cartesianas sobreRd+1,1com a seguinte

métrica

ds2 =d ⃗X2+dV₊2₋dV₋2. (1.33)

A superfície em Rd+1,1 descrita pela eq.(1.32) é chamado de espaço _{(d+ 1)−}dimensões

anti de Sitter em ,AdSd+1, de raioL.

Definindo as novas coordenadas de Poincaré como

⃗

X = L

z⃗x, (1.34)

V+ =

1 2

(

z+⃗x

2_+L2

z

)

, (1.35)

e

V₋ = 1 2

(

z+⃗x

2_−L2

z

)

AdS

z

X

Figura1.3:AdS_d+1é conforme sobre a metade do planoRd+1. Nessas coordenadas, o contorno do AdS_d+1é conforme aRdemz= 0. Figura retirada e adaptada de [10].

que substituindo na equ.(1.32), obtemos

(

L z

)2

⃗x2 = 0, (1.37)

o que parametriza a solução do hiperboloide para⃗x∈Rde_{z >0}.

Substituindo as eqs.(1.34), (1.35) e (1.36) na eq.(1.33), obtemos a métrica doAdSd+1

ds2 ₌ L2

z2 (

dz2_+d⃗x2)_{. (1.38)}

Dessa forma, oAdSd+1 é conformalmente a metade do espaçoz > 0deRd+1, como

mos-tramos na figura (1.3)

Outro conjuntos de coordenas são ⃗xer = L

z que substituindo na eq.(1.38),

obte-mos

ds2 = L

2

r2dr 2₊ r2

L2d⃗x

2_{, (1.39)}

onderé chamado de coordenada radial doAdS.Nessa nova configuração, quandoz _→0,

r=_∞é o chamado contorno doAdSe, quandoz _{→ ∞},r= 0, que podemos tratá-lo como horizonte.

Para passarmos a eq.(1.39) para assinatura de Minkowski substituímos d⃗x2 _por

−dt2_+d⃗x2_{, onde nesse caso,⃗x = (x}

1, x2, ...xd−1). Temos outra forma de compreender o

Nosso objetivo na próxima seção é determinar a função de partição associada ao campo sobre o espaço AdS para em seguida compara a função de partição do CFT, ou seja, a

eq.(1.28)

1.2.2 Função de partição

Em geral, uma função covariante do campo ϕ(z, ⃗x) sobre o espaço AdS é

con-formalmente invariante. Como sabemos da seção 1.1.1 o grupo conforme atua sobre o espaço-tempo em d−dimensões: translação como {z, ⃗x} → {z, ⃗x+α⃗}, rotação via {z, ⃗x_{} → {}z,Λ⃗x_} e pela transformação de escala como_{z, ⃗x_{} → {}λz, λ⃗x_}. Por esse

mo-tivo devemos restringir a dimensão extra z do campo ϕ(z, ⃗x) de modo que preserve a covariância do espaço completo doAdSd+1 e ainda as isometrias do grupo conforme em

d₋dimensões. Nesse caso, o contorno sobre oAdSd+1quando olimz→0ϕ(z, ⃗x),

transforma-se do mesmo modo como o grupo conforme sobre o espaço-tempo.

Podemos tentar identificar uma função covariante do campo no contorno como função de partição de uma CFT. Uma maneira de escrever uma classe de tais funções é utilizando a integração funcional sobre os campoϕ(z, ⃗x) sobre o AdSd+1 mantendo a

medida da covariância emϕ(0, ⃗x)_∼ϕ¯(⃗x)fixo,

Z[ϕ¯(x)] =

∫

ϕ(z,⃗x)|∂AdS= ¯ϕ(⃗x)

Dϕ(z, ⃗x)e−S[ϕ(x)]. (1.40)

Por exemplo, sabemos da seção 1.1.3 que Z é invariante sobre a transformação

de escala. Nesse caso, para um campo escalar ϕ(z, ⃗x) → ϕ(λz, λ⃗x). Em particular, se ϕ

próximo ao contorno comporta-se como

ϕ(z, ⃗x)_∼zd−∆ϕ¯(⃗x) +O(zd−∆+1), (1.41)

que implica que o campo no contorno sofre transformação de escala tipo

¯

ϕ(⃗x) =λd−∆ϕ¯(λ⃗x). (1.42)

Comparando as eq.(1.31) e (1.42), teremos que _ϕ¯_{(⃗x) ≡ ϕ}¯_∆

operador primárioO∆(⃗x)de dimensão∆do CFT.

Das eqs.(1.28) e (1.40), temos que a função de partição de TQC para gravidade sobre um espaço-tempo assintoticamente AdSd+1 como função do campo do contorno é

uma função de partição de uma CFTd com contorno atuando como fonte do operador

primário.

Zgrav

[_¯

ϕ]=ZCFT[ϕ¯]. (1.43)

Essa expressão resume a ideia básica sobre a correspondênciaAdS/CFT. Em outra pala-vras, calculamos a função de partiçãoZgravi

[_¯

ϕ]e a interpretamos no lado CFT. O resultado

exibirá um rico comportamento, incluindo transição de fase como função de temperatura. Devemos ter em mente que se dispomos da função de partiçãoZgrav

[_¯

ϕ]podemos extrair

todos as característica de um BN usando a mecânica estatística padrão. E faremos uso desse método nos capítulos 4 e 5.

Nossa tese está organizada em cinco capitulos. Onde o capitulo um corresponde a introdução desta. Ainda neste capítulo fizemos uma breve revisão sobre CFTs e suas álgebras e da geometriaAdS. O objetivo foi mostrar que para construir uma correspon-dênciaAdS/CFT consistentes devemos garantir que a função de partição de ambos, CFT

eAdS,sejam equivalentes.

No segundo faremos uma revisão sobre BN de Schwarzschild e Reissner-Norsdtrom e suas respectivas termodinâmicas. No terceiro trataremos da geometriaAdS

a partir do espaço hiperbólico imerso sobre o espaço de Minkowski. No quarto, que tem o caráter puramente didático, construímos a holografia dual de umAdS3/BCFT2. E por fim,

no quinto capítulo construímos extensão holográfica dualAdS3/BCFT2paraAdS4/BCFT3

BURACOS NEGROS

BN é, por definição, uma região do espaço-tempo no qual o campo gravitacional é tão forte que impede até a luz de escapar para o infinito[2].

Um BN é formado quando um corpo de massa m se contrai para um tamanho

menor que o raio gravitacional 2Gm

c2 , ondeGé a constante gravitacional de Newton eca

velocidade da luz[2]. Em outras palavras, um BN é um objeto gravitacionalmente colap-sado que é formado quando a massa desse objeto aumenta, enquanto seu tamanho perma-nece fixo, ou quando o tamanho é reduzido enquanto, a massa permaperma-nece constante[13]. A velocidade necessária para deixar o contorno do BN e afastar-se para o infinito, isto é, velocidade de escape é igual a velocidade da luz. Desse modo, concluímos que nenhum sinal ou partícula podem escapar da região dentro do BN desde que a velocidade da luz seja a velocidade de propagação limite para o sinal físico.

Inicialmente comentaremos sobre a métrica de Schwarzschild, singularidades, partícula radialmente em queda livre no campo de Schwarzschild. Em seguida, trata-remos sobre os sistemas de coordenadas de Eddington-Finkelstein e Kruskal-Szekeres. Por último, abordaremos o tratamento dos infinitos e como representá-los no diagrama de Penrose.

2.1 Buraco negro de Schwarzschild

Iniciaremos a análise das propriedades de BN com o caso mais simples no qual ambos, BN e campo gravitacional, são esfericamente simétrico[2].

A solução para equação de Einstein no campo gravitacional esférico no vácuo foi encontrado por Schwarzschild em 1916[2] e tem a seguinte métrica

ds2 =₋

(

1₋2m

r

)

dt2+( 1

1₋ 2m r

)dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2), (2.1)

ondem é a massa de fonte para o campo. Definimos o raio de Schwarzschild comorS = 2m,o qual define uma superfície de Schwarzchild. Devemos notar quer= 2mrepresenta

uma singularidade na métrica (2.1).

O raio de Schwarzchild para o Sol é rS = 2,95km, que comparando com o raio

solar r_⊙ = 695.500km. Desse modo, rS está dentro de r⊙. Sendo assim, não devemos

nos preocuparmos com tal singularidade uma vez que todo material estelar encontra-se exterior à superfície de Schwarzschild.

Vamos analisar o comportamento dos raios de luz dentro e fora do raio de Schwarzschild.

Consideremos uma classe de geodésicas radialmente nulas1_{, ondeds}2 _{= ˙θ = ˙φ =}

0,e usando o princípio variacional2_obtemos

0 =₋

(

1₋ 2m

r

)

˙

t2+( 1

1− 2m r

)r˙2, (2.2)

onde_t˙₌ dt ds er˙ =

dr ds.

Para geodésica nula a na equação de Euler-Lagrange, eq.(B.18), corresponde a

zero[14], logo

d du

[(

1− 2m

r

)

˙

t

]

= 0, (2.3)

ondeué uma parâmetro afim. Integrando

(

1− 2m

r

)

˙

t=k =cte. (2.4)

2m

r

t

0

outgoing

ingoing

horizonte de eventos

Figura2.1: Curvas congruentes "ingoing"e "outgoing". Figura retirada e adaptada de [1].

Substituindo a eq.(2.4) na eq.(2.2), teremos

˙

r=_±k. (2.5)

De (2.5) e (2.4), obtemos

dr dr =

˙

r

˙

t =±

r−2m

r , (2.6)

que integrando, temos

t=_±(r₋2mln_|r₋2m_|) + cte. (2.7)

O sinal (+) refere-se ao raio "outgoing"3_{, enquanto o sinal(−) aos raios "incoming"}4_(ou

"ingoing")[1]. Esse raios estão desenhados na figura (2.1).

Observamos nessa figura (2.1) que para os raios "outgoing"na região r > 2m, r

aumenta a medida quetaumenta. Porém, na regiãor <2m(dentro da superfícier−2m),

raumenta a medida quetdiminui. Entretanto, para o raios "incoming"na regiãor >2m, r

aumenta a medida quetdiminui e na regiãor <2m,quandoraumentataumenta.[1]. Em

ambos os casos o comportamento singular dos raios emr= 2mé evidente. Desse fato,

mos que a eq.(2.1) troca de assinatura quando está dentro da superfície de Schwarzschild, ou seja

r <2m : +,₋,+,+, (2.8)

e externo a superfícier = 2m, teremos

r >2m : ₋,+,+,+. (2.9)

2.1.1 Singularidades

Um problema associado com sistemas de coordenadas é que, em geral, esses sistemas varre somente uma porção da variedade. Podemos citar com exemplo o sis-tema de coordenadas de Schwarzschild que para θ = 0 ou π o elemento de linha

torna-se degenerada nesse ponto e a métrica diminui a ordem do tensor[14]. Remove-mos essa degenerescência introduzindo o sistema de coordenadas cartesiana(x, y, z)com

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ ez = rcosθ. Tais ponto são chamados de coordenadas

de singularidades[14], pois elas refletem a deficiência no sistema de coordenadas usadas e são, portanto, removíveis[14]. Observamos a eq.(2.1) poderemos identificar mais duas singularidades. Uma emr = 2m e outra emr = 0. Como sabemos em r = 2m é o raio

de Schwarzschild. A hipersuperfície emr = 2mé uma coordenada de singularidade re-movível. Um maneira de verificar se a singularidade é removível ou não é calculando o invariante escalar do tensor de Riemann, RµναβRµναβ, que nesse caso é 48m2r−6, o qual

é finito para r = 2m[14]. E, em r = 0, ou seja, na origem não pode ser removida e a chamamos de singularidade intrínseca, curvatura, física, essencial ou real[14].

2.1.2 Partículas radialmente em queda livre no campo de Schwarzschild

geodé-r₌2m

r₌r₀

dr dt_{/ =}0

partícula em queda livre BN de

Schwarzschild

horizonte de eventos singularidade

r₌0

Figura2.2: Partículas em queda livre no buraco negro de Schwarzschild. Figura retirada e adap-tada de [1].

sica tipo-tempo5_{governada pela eq.(2.4) e por}

(

1− 2m

r

)

˙

t2− (

1− 2m

r

)−1

˙

r2 = 1, (2.10)

onde_t˙ ₌ dt

dτ e r˙ = dr

dτ sendo que τ é o tempo próprio ao longo da linha do universo da

partícula. A constantekpode assumir diferentes valores para diferentes condições inicias.

Supomosk = 1, o que significa que temos uma partícula distante do BN, radialmente em queda livre, com velocidade inicial nula. Como mostramos na figura (2.2).

logo

dt dτ =

1

1₋2_rm, (2.11) que substituindo na eq.(2.10), teremos

dr dτ =±

√

2m

r . (2.12)

Escolhemos sinal negativo na eq.(2.12) e integramos tal que

τ ₋τ0 =

2 3√2m

(

r32 0 −r

3 2

)

, (2.13)

onder0 eτ0 é a posição inicial e tempo próprio, respectivamente, da partícula em queda

atingirr= 0

τ = 2 3

√

r3 0

2m. (2.14)

Quanto tempo(o tempo de Schwarzschild) um observador distante do BN observa essa partícula cair dentro deste? Para responder essa pergunta substituímos as eqs.(2.11) e a eq.(2.12) na equação diferencial dt

dr = dt dτ

dτ dr,

dt dr =−

1 √

2m

√

r

(

1− 2m r

). (2.15)

Realizando a integração, obtemos

t−t0 =−

2 3√2m

(

r32 −r 3 2

0 + 6mr 1

2 −6mr 1 2 0

)

+ 2mln

(√

r+√2m) (√r0−

√ 2m)

(_√

r0+

√

2m) (√r₋√2m) (2.16)

Na vizinhança da superfícier= 2m, a eq.(2.16), torna-se

r−2m= (r0−2m)e− (t−t₀₎

2m , (2.17)

logo, set−t0tende ao infinito, ou seja, um tempo muito longo, teremos que

r−2m →0, (2.18)

ou seja, a medida que a partícula aproxima-se do raio de Schwarzschild, do ponto de vista de um observador distante, a partícula nunca alcançará a superfície de Schwarzschild. As duas eqs.(2.13) e eq.(2.16) estão representado na figura (2.3)

Sabemos da seção (2.1.1) que r = 2m é uma singularidade removível. Para

2m

r

t

0

r

coodernada

temporal

t

tempo

próprio

Figura2.3: Partícula em queda livre próximo ao buraco negro. Figura retirada e adaptada de [14].

2.1.3 Coordenadas Eddington-Finkelstein

Introduziremos um novo sistema de coordenadas seguindo [1], logo

¯

t=t_±2mln r 2m −1

, (2.19)

e

¯

r=r, (2.20)

de modo que

dt¯=dt± 2m

r₋2mdr. (2.21)

Escolhemos o sinal(+)na eq.(2.21) e substituímos na eq.(2.1), obteremos

ds2 =− (

1− 2m

r

)

d¯t2+

(

1 + 2m

r

)

dr2+ 4m

r d¯tdr+r

2(_dθ2_{+ sin}2_θdϕ2)_{. (2.22)}

Essa equação representa as coordenadas de Eddington-Finkelstein avançada na forma de métrica1_{. Observamos que o coeficiente}

g11 = 1 +

2m

r , (2.23)

2m t

r

r₌2m t

r

Figura2.4: Raio e cone de luz obedecendo (2.25) e (2.26). Figura retirada e adaptada de [1].

é regular emr= 2m.Desse modo, extentemos o alcance radial de2m < r <∞da métrica de Shwarzschild para0< r <_∞.

Consideremos a geodésica radial nula(ds2 _{= ˙θ = ˙φ = 0})_{em coordenadas}

avança-das de Eddington-Finkelstein, isto é,

0 = ₋

(

1₋2m

r

)

d¯t2+

(

1 + 2m

r

)

dr2+4m

r dtdr,¯ (2.24)

donde temos

dr

d¯t =−1, (2.25)

ou

dr dt¯=

r−2m

r+ 2m. (2.26)

Essas duas equações nos fornecem o gradiente do cone de luz[1] e está representado nas figuras(2.4).

Os raios "outgoing"que surgem der > 2mtem o cone de luz distorcido e quando alcançar → ∞o cone progressivamente torna-se ereto no espaço de Minkowski[1]. Raios originados de r < 2m nunca pode escapar para a região r > 2m: todos eles

eventual-mente alcançamr = 0[1]. Então, a superfícier = 2m atua como uma membrana de mão

única[1, 14]: raios de luz que cruzam tal superfície e não retornam. Essa conclusão é vá-lida para partículas, ou seja, partículas que cruzam da regiãor > 2mpara regiãor < 2m

2m t

r

r₌2m t

r

Figura2.5: Raio e cone de luz obedecendo (2.28) e (2.29). Figura retirada e adaptada de [1].

a superfície de Schwarzschild nunca será capaz de detectar um sinal de luz ou partícula originadas dentro da superfície der = 2m.Para esse observador a superfície de

Shwarzs-child desempenha o papel de contorno do espaço-tempo que denominamos de horizonte de eventos. Geodésicas tipo-tempo ou nula dentro horizonte de eventos nunca alcançará o lado externo do horizonte. O objeto com horizonte de eventos é chamado de BN[1].

Podemos chegar a essa mesma conclusão escolhendo o sinal(−)na eq.(2.21), logo

ds2 =− (

1−2m

r

)

d¯t2+

(

1 + 2m

r

)

dr2− 4m

r d¯tdr+r

2(_dθ2_{+ sin}2_θdϕ2)_{, (2.27)}

equação que representa as coordenadas de Eddington-Finkelstein retardada na forma de métrica.

Para geodésica nula, teremos

dr

d¯t = 1, (2.28)

ou

dr d¯t =−

(

r−2m r+ 2m

)

, (2.29)

e representamos esses raios na figura (2.5)

retornar a regiãor < 2m. A superfícier = 2mé chamada de horizonte de eventos para

um observador dentro desta. Um objeto desse tipo é chamado de buraco branco[1].

Concluímos que as coordenadas de Eddington-Finkelstein nos fornecem uma completa compreensão da solução de Schwazrschild. Os parâmetros temporais avança-dos e retardaavança-dos dessas coordenadas nos impõem duas geometrias diferentes para essa solução. Podemos introduzir novo sistemas de coordenadas que reuni ambas geometria no mesmo diagrama, o qual denominamos de coordenadas Kruskal-Szekeres.

2.1.4 Coordenadas de Kruskal-Szekeres

Introduzimos uma coordenada avançada temporalv, como[14]

v =t+r+ 2mln( r 2m −1

)

, (2.30)

de modo que

dv=dt+ rdr

r₋2m :=dt−dt

∗_{. (2.31)}

onde usamos o símbolo:=com significado de definir.

Da eq.(2.1), temos para fótons em movimento radial, que

dt = rdr

r−2m =−dt

∗_{, (2.32)}

ondedt∗ _{é a coordenada temporal(coordenada de Schwarzschild) para um fóton em}

mo-vimento radial viajando de uma distânciadr.

Substituindo a eq.(2.31) na eq.(2.1), obtemos

ds2 =₋

(

1₋ 2m

r

) (

dv₋ rdr

r−2m

)2

+

(

1₋ 2m

r

)−1

dr2+r2dΩ2, (2.33)

após fatorarmos, obtemos

ds2 =₋

(

1₋2m

r

)

Observamos que esse elemento de linha não é invariante sob simetria reversão temporalv → −v, equivalentemente at → −t. Em outras palavras, simetria de reversão

temporal substitui os raios viajando para frente por raios viajando para trás. Para obter-mos a correspondência da simetria de reversão temporal da eq.(2.34) introduzireobter-mos a coordenada retardada temporalu

u=t₋r₋2mln( r 2m −1

)

, (2.35)

de modo que

v−u= 2r+ 4mln( r 2m −1

)

, (2.36)

que substituindo na eq.(2.34), obtemos

ds2 =− (

1−2m

r

)

du2−2dudr+r2dΩ2. (2.37)

A eq.(2.37) corresponde a simetria de reversão temporal da eq.(2.34).

Reescrevemos as eqs.(2.30) e (2.35), respectivamente, como

v =t+r∗, (2.38)

e

u=t₋r∗, (2.39)

onder∗ _{= r + 2mln}( r

2m −1

)

. Dessa forma, as equações para os raios de luz "ingoing"e "outgoing"sãov = cteeu= cteque representamos na figura (2.6) euevsão coordenadas

nulas.

Notamos que

(

1−2m

r

)

dudv =

(

1− 2m

r

)

dt2− (

1−2m

r

)−1

dr2, (2.40)

logo, podemos reescrever a métrica de Schwarzschild, eq.(2.1), em termos de coordenadas nulas, ou seja,

ds2 ₌₋ (

1₋2m

r

)

t

r*

v_{= + *}t r u= - *t r

raio ingoing raio

outgoing

Figura2.6: Coordenadas nulas avançadas e retardas. Figura retirada e adaptada de [1].

Introduziremos as seguintes coordenadas seguindo [1]

z = e

v/4m_+e−u/4m

2 , (2.42)

e

w= e

v/4m_−e−u/4m

2 . (2.43)

Substituindo as eqs.(2.30) e (2.35) nas eq.(2.42) e (2.43), obtemos

z =( r 2m −1

)1/2

er/4mcosh (t/4m), (2.44)

e

w=( r 2m −1

)1/2

er/4msinh (t/4m). (2.45)

Naturalmente,

z2₋w2 =( r 2m −1

)1/2

er/4m, (2.46)

ou

w

z = tanh

(

t

4m

)

= 1−e− t/2m

1 +e−t/2m. (2.47)

Após algumas manipulações algébricas, obteremos

dz =αcosh

(

t

4m

)

dr+βsinh

(

t

4m

)

e

dw =αsinh

(

t

4m

)

+βcosh

(

t

4m

)

dt, (2.49)

onde

α2 = r

2

32m3_(r−2m)e

r/2m_{, (2.50)}

e

β2 = (r−2m) 32m3 e

r/2m_{. (2.51)}

Notamos que

dz2−dw2 =α2dr2−β2dt2, (2.52)

ou

32m3

r e

−r/2m(_dz2

−dw2)=₋

(

1₋ 2m

r

)

dt2+

(

1₋ 2m

r

)−1

dr2, (2.53)

comparando com a eq.(2.1), obtemos

ds2 = 32m

3

r e

−r/2m(_dz2_−dw2)_+r2_{(z, w)dΩ}2_{, (2.54)}

a métrica de Schwazrschild em coordenadas de Kruskal-Szekeres, ou simplesmente Kruskal[1]. Se restringimos para movimento radial(θeφconstantes) a eq.(2.54) torna-se

ds2 = 32m

3

r e

−r/2m(_dz2_−dw2)_{. (2.55)}

Essa métrica é conformalmente plana no planoz, w.

Para geodésica radialmente nula,ds2 _{= 0, temos que}

dz =_±dw, (2.56)

o que corresponde a linhas retas no planoz, we a representamos na figura (2.7). A conexão

entrez, w por um lado e a conexão entrer, tpor outro é dado pelas eqs.(2.46) e (2.47)[14].

No diagrama Kruskal temos quatro regiões: I, II, III e IV representado na figura (2.7). A região I representa a espaço exterior da métrica de Schwarzschildr > 2m que é

w

z

r=0

r=2m t, = -1

r=0

r=2m t, = +1

r= cte singularidade

futuro

singularidade passado

I II

III

IV

outgoing

ingoing

(a) (b)

Figura2.7: Diagrama Kruskal. Figura retirada e adaptada de [1].

os cones de luz são exibidos. Um deles, por exemplo, pode ver uma geodésica nula iniciar sobre o eixoz e cruzar a linha r = 2m da região I para região II e terminar emr = 0, ou seja, numa singularidade real[14].

O cone de luz partindo da região I pode acessar a região II. Porém, não tem acesso a regiões III ou IV. Na região II, r < 2m, todas as geodésicas nulas e tipo-tempo

even-tualmente alcança r = 0, isto é, r inevitavelmente diminui[14]. Logo, a região II é um

BN.

O nosso mundo está na região I e não influência a região IV. Contudo, pode sofre influência da região IV. Raios de luz "outgoing"pode viajar da região IV para região I. De fato, todos os raios de luz e objetos materiais, seguindo uma geodésica tipo-tempo, pode deixar a região IV e não poderá mais retornar a essa região, é o chamado buraco branco. O tempo no buraco branco anda para "trás"e a gravidade é repulsiva em vez de atrativa. Para natureza isso não faz sentido.

2.1.5 Tratamento conforme dos infinitos. Diagrama Penrose

repre-sentada no plano finito[15]. Como exemplo, consideraremos a métrica do espaço-tempo de Minkowski em coordenadas esféricas polares, isto é,

ds2 =₋dt2+dr2+r2(dθ2+ sin2θdϕ2), (2.57)

que representamos em coordenadas nulas,u=t₋rev =t+r,respectivamente, avançada

e retardada, como

ds˜2 =−dudv+ 1

4(u−v)

2(

dθ2+ sin2θdϕ2), (2.58)

desde quedudv=dt2_−dr2_.

Introduziremos o fator conforme[1]

Ω2 = 1

(1 +u2_{) (1 +v}2₎, (2.59)

na eq.(2.58), de modo que obtemos

ds2 = Ω2ds˜2

= ₋ dudv

(1 +u2_{) (1 +v}2₎ +

1 4

(u−v)2 (1 +u2_{) (1 +v}2₎

(

dθ2+ sin2θdϕ2), (2.60)

que representa a métrica de Minskoswki reescalada.

Seja as novas coordenadasuev iguais a

u= tanp, (2.61)

e

v = tanq, (2.62)

tal que

(u−v)2

(1 +u2_{) (1 +v}2₎ = sin 2_(p

−q). (2.63)

Substituindo as eqs.(2.61), (2.62) e (2.63) na eq.(2.60), teremos

ds2 =₋dpdq+ 1 4sin

2_(p

futuro infinito nulo futuro infinito nulo passado infinito tipo-tempo passado

infinito nulo

passado infinito nulo futuro infinito tipo-tempo in finito tipo-espaço in finito tipo-espaço

T

R

i

i

-i

i

=

1 p

u=

-, p =

-1 p

v =

, q =

1

p

v =

, q =

-1

p

I

_I

I

-I

-Linhas nulas X = T

i+

: futuro infinito tipo-tempo

i-: passado infinito tipo-tempo

i0

: infinito tipo-espaço

T+_{: futuro infinito nulo}

: passado infinito nulo

T

-Figura2.8: Infinitos no espaço-tempo de Minkowski. Figura retirada e adaptada de [1].

com −π _≤ p, q _≤ π. Essa é a métrica conformalmente reescalada do espaço-tempo de Minkowski em coordenadas nulas. O primeiro termodpdq tem a mesma forma dudv da

métrica usual de Minkowski, eq.(2.58), porém varre somente a região compacta[1]. Pro-pomos

p=T −R (2.65)

e

q=T +R. (2.66)

Em termos das coordenadas(r, t)devemos representar os diferentes tipos de infinitos do espaço-tempo de Minkowski na figura (2.8) a esquerda

Como observamos o passado e futuro do cone de luz estende-se para o passado e futuro do infinito nulo e por sua vez separa o passado e futuro do tipo-tempo por um lado e, o passado e futuro tipo-espaço para o outro lado. Em termos das coordenadasRe T esses infinitos estão no domínio finito, como mostrado na figura (2.8) a direita

O futuro e o passado infinito nulo estão representados pelas linhas J+ _e

J−_{(pronuncia scri mais e scri menos). O futuro e passado infinito tipo-tempo são}

geodésica tipo-tempo geodésica

tipo-espaço

geodésica nula

I

I

-i

i

-p=cte q=cte

i

i

r = 0

V= -1

Figura2.9: Espaço de Minkowski compactado. Figura retirada e adaptada de [14].

coordenadas dessas linhas e pontos, temos

i+ _→T =π, (2.67)

i− _→T =₋π, (2.68)

i0 _→

        

q=−p=π, R=π

p=₋q=π, R=₋π

, (2.69)

J+_{:T ±R=π, (2.70)}

J+_{:T ±R=−π. (2.71)}

Da figura (2.9) observamos que geodésica tipo-tempo que tem origem emi−_{termina em}

i+_{. Geodésica nula com origem emJ}+ _{finaliza em J}−_{. Geodésica tipo-espaço inicia em}

termina emi0_{. Na compactação do espaço-tempo de Minkowski cada ponto do diagrama}

da figura (2.8) corresponde uma2−esfera[1]. Fazendoθ= π₂ na eq.(2.64), obteremos

ds2 =−dpdq+1 4sin

2_(p−q)dϕ2_{, (2.72)}

i

i

-i

I

I

-t = c-te

r = cte

r = 0

raio de luz nulo

Figura2.10: Diagrama Penrose para o espaço-tempo de Minkowski. Figura retirada e adaptada de [14].

compactado[14]. O diagrama de Penrose para o espaço-tempo de Minkowski é mos-trado na figura (2.10). Outro exemplo é construirmos o diagrama Penrose para solução de Schwarzschild em coordenadas Kruskal dada pela eq.(2.41), ondeuev são as coorde-nadas temporais avançadas e retardadas, dadas pelas eqs.(2.30) e (2.35), respectivamente. Introduziremos as seguintes coordenadas[1]

U =₋4me−4um, (2.73)

e

V = 4me4vm, (2.74)

tal que

2m r e

−2rmdU dV = (

1₋ 2m

r

)

dudv, (2.75)

logo, a métrica da eq.(2.41), torna-se

ds2 =₋2m

r e

−2rmdU dV +r2dΩ2 (2.76)

i

i

-i

i

0

u

=

1

u

=

-

1

v =

1

v =

-1

U

=

-

1

U

=

0

V =

1

V = 0

Figura2.11: Diagrama Penrose para os parâmetros u e v, transladado para U e V. Figura retirada e adaptada de [1].

I

II

I

I

-i

i

i

_i

-i

i

0

r = 0

r = 0

I

I

-IV

III

U=

1

V =

-1

U=

0 V = 0 V = 0

U= 0

V = 1

V= -1

Figura2.12: Diagrama Penrose para solução Kruskal. Figura retirada e adaptada de[1].

Devemos notar que o alcance deU eV não é máximo. Por esse motivo adiciona-mos um segundo diagrama de Penrose a este, o qual adiciona-mostraadiciona-mos na figura (2.12)

Buraco branco Buraco negro

I

II

I

I

-i

i

i

_i

-i

i

0

universo raio de luz horiz

onte

r = 0

r = 0

Figura2.13: Observador caindo num buraco negro. Figura retirada e adaptada de[16].

2.2 Buraco negro Reissner-Norsdtrom

Investigamos a solução RN para BN com uma massa pontual carregada, ou sim-plesmente, BN carregado ou BN de RN.

A abordagem que adotaremos para resolver a equação de Einstein-Maxwell é en-contrar uma solução estática, assintoticamente plana e com simetria esférica.

A equação de Maxwell-Einstein é

Gµν = 8πTµν, (2.77)

ondeGµν é o tensor Einstein e Tµν o tensor de energia-momento. Que para uma região

livre de fonte é dada por

Tµν = 1 4π

(

−gαβFµαFνβ+ 1

4gµνFαβF αβ

)

. (2.78)

Uma maneira alternativa de escrever a eq. (2.77) é

Rµν = 8π

(

Tµν− 1 2gµνT

)

, (2.79)

podemos demonstrar que

uma forma equivalente para eq.(2.77) é

Rµν = 8πTµν. (2.81)

Além disso, o tensor de Maxwell Fµν deve satisfazer as equações de Maxwell

numa região livre de fonte, isto é

∇βFαβ = 0 (2.82)

e

∂[αFβγ] = 0. (2.83)

Como supomos que a solução possui simetria esférica introduziremos as coorde-nadas(t, r, θ, ϕ). Logo o elemento linha será dado por

ds2 =eν(t,r)dt2+eλ(t,r)dr2₋r2(dθ2+ sin2θdϕ2). (2.84)

Impondo a condição de que a solução deve ser estática,

ds2 =eν(r)dt2+eλ(r)dr2₋r2(dθ2+ sin2θdϕ2). (2.85)

A suposição que o campo gerado é devido a uma partícula carregada na qual lo-calizaremos tal carga na origem do sistema de coordenadas. Isso significa que o elemento de linha é singular na origem bem como o tensor de MaxwellFµν.

A carga dará origem ao campo eletrostático que é puramente radial. Logo o tensor

Fµν será

Fµν =

      

0 ₋E(r) 0 0

E(r) 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

      

Todos os símbolos de Christoffel são dados abaixo

Γt

rt= Γttr = 12v′(r), Γ

r tt = 12

[

eν(r)−λ(r)]_ν′_{(r), Γ}r

rr= 12λ′(r), Γ

r

θθ =−re−λ(r),

Γr

ϕϕ =−re−λ(r)sin2θ, Γθθr = Γθrθ = 1r, Γθϕϕ=−sinθcosθ, Γ ϕ ϕr = Γ

ϕ rϕ= 1r,

Γϕ_θϕ = Γϕ_ϕθ = cos_sinθ_θ, e todos os outros são nulos.

(2.87)

Substituindo a eq.(2.86) na eq.(2.82), teremos

∂βFαβ + ΓαµβFµβ + Γ β

µβFαµ = 0, (2.88)

que expandindo, obtemos

∂ ∂r

[

r2e−12(v+λ)E ]

= 0, (2.89)

logo

r2e−12(v+λ)E =cte, (2.90)

ou

E(r) = e

1

2(v+λ)cte

r2 , (2.91)

onde cte é uma constante de integração.

Uma das imposições para solução de BN com massa pontual carregado é o espaço plano no limite assintótico,r → ∞, isto éν(r→ ∞) → 0, λ(r→ ∞) → 0,logo eq.(2.91),

tornar-se-á

E(r)_≈ Q

r2, (2.92)

onde identificamos cte=Qcomo a carga elétrica, pois esse resultado é idêntico ao resul-tado clássico para o eletromagnetismo.

as seguintes relações

1 2e

−λ_ν′′₊ e−λ

r ν

′₊1

4e

−λ_(ν′_−λ′_)ν′ ₌

( Q r2 )2 , (2.93) 1 2 ( 1 2λ

′₋1

2ν

′₋ ν′′

ν′

)

ν′+ λ′

r =−

(

Q r2

)2

eλ, (2.94)

(

1 2rλ

′₋ 1

2rν

′₋₁

)

e−λ+ 1 =(ε

r

)2

, (2.95)

logo

λ′+ν′ = 0. (2.96)

Da condição de planitude,ν(r_{→ ∞}), λ(r _{→ ∞})_→0, teremos

λ′ =₋ν′, (2.97)

cuja a integração _∫

0

λ

dλ=₋

∫ 0

ν

dν _→λ=₋ν (2.98)

Substituindo as eqs.(2.97) e (2.98) na eq.(2.95), após integração, obtemos

eν = 1− 2m

r +

Q2

r2 , (2.99)

o que implica em

eλ = 1

1₋ 2m

r +

Q2

r2

, (2.100)

ondemé uma constante de integração.

Substituindo as eqs.(2.99) e (2.100) na (2.85), obtemos

ds2 =

(

1₋ 2m

r +

Q2

r2 )

dt2₋

(

1₋ 2m

r +

Q2

r2 )−1

dr2₋r2(dθ2+ sin2θdϕ2). (2.101)

Para determinarmos uma solução para equação de Einstein, no qual é denomina-mos de solução de RN, todo esse cálculo é análogo ao do BN de Schwarzschild. Portanto, temos um teorema analogo ao teorema Birkhoff, ou seja, a solução exterior da equação de Einstein-Maxwell com simetria esférica é necessariamente estática.

Considerando os coeficientes

g00 =−(g11)−1 = 1−

2m

r +

Q2

r2 =

σ

r2, (2.102)

onde

σ =r2−2mr+Q2, (2.103)

cujo o discriminante é ∆ = 4 (m2_−Q2_{). Devemos fazer as seguintes observações: Se}

Q2 _{> m}2 _{implica que∆ <0,logoQnão tem raiz real e positiva para todos os valores de}

r. O que permite dizer que o elemento de linha

ds2 = σ

r2dt 2

−(σ

r2 )−1

dr2 ₋r2(dθ2+ sin2θdϕ2), (2.104)

é não-singular para todos os valoresr, exceto emr = 0.Nesse caso dizemos que a solução

de RN possui singularidade intrínseca. Isso não é supressa uma vez que a carga está localizada na origem produzindo o campo. Mas,Q2 _≤m2_{implica que}

r_±=m_±√(m2_−Q2_{), (2.105)}

onder+define o horizonte externo e or−o horizonte interno.

Simplificando a eq.(2.103) em termos der_±, obtemos

(r−r₋) (r−r+) = σ. (2.106)

A métrica RN, torna-se

ds2 = (r−r−) (r−r+)

r2 dt

2₊ r2

(r−r₋) (r−r+)

dr2−r2(dθ2+ sin2θdϕ2). (2.107)

re-giões:r+< r <∞, r− < r < r+e0< r < r−.

Na próxima seção descreveremos a termodinâmica de BN.

2.3 Termodinâmica de BN

BNs mantêm relações íntimas com termodinâmica padrão desde que considera-mos BNs como radiação de corpo negro e os efeitos quânticos em torno deles. Teconsidera-mos várias maneiras de deduzir essas relações termodinâmicas. Para uma excelente revisão sugerimos o texto original de Hawking [4], bem como [17], [18] e [19].

Definimos na métrica de Schwarzschild, eq.(2.1), que

ε= 1− 2m

r , (2.108)

de modo que, próximo ao horizonte, r → 2m := zh, teremos ε → 0. Então, a eq.(2.1)

torna-se

ds2 ≈ −ε

zh

dt2+zh

ε dε

2_{+ (z}

h)2dΩ2. (2.109)

Introduzindo a seguinte coordenadaρ=√8mεna eq.(2.109), obtemos

ds2 =₋ ρ

2

4z2

h

dt2+dρ2+ (zh)2dΩ2, (2.110)

onde temos dois fatores nessa métrica. Um corresponde é2₋esfera com raio2me o outro

é

ds2₂ =₋ ρ

2

4z2

h

dt2+dρ2. (2.111)

2.3.1 Coordenadas Rindler e Milne

Queremos compreender e determinar as propriedades termodinâmicas de BN próximo ao horizonte. E por comodidade vamos iniciar com o espaço-tempo de Min-kowski em(1 + 1)₋dimensões cuja a métrica é

Definimos as coordenadas de cone de luz, u˜ = t+x e ˜v = t −x, que substituindo na

métrica, eq.(2.112), obtemos

ds2 =₋dud˜ v.˜ (2.113)

Considerando as seguintes mudanças de coordenadas

˜

u= 1

κe

κu_{, (2.114)}

e

˜

v =−1

κe

−κv_{, (2.115)}

onde (u, v) são as coordenadas Rindler e Milne. Expressando a métrica de Minkowski nessa coordenadas, obtemos

ds2 =₋e(u−v)κdudv. (2.116)

Realizando outra mudança de coordenadas u = t+x, v = t₋x eρ = 1

κe κx _na

eq.(2.116), obteremos o novo elemento de linha da métrica Rindler e Milne

ds2 =e2κx(−dt2+dx2)=−ρ2κ2dt2+dρ2. (2.117)

Comparando as eqs.(2.111) com a eq.(2.117) identificaremos que

κ= 1

2zh

. (2.118)

Esse parâmetro é denominado de superfície gravitacional ou tensão superficial do BN. Podemos encarar, heuristicamente, a tensão superficial como sendo a aceleração gravita-cional de Newton

g = m

r2 =

zh

2r2, (2.119)

no horizonte cujo a raio ézh.

2.3.2 Entropia de BN

Termodinâmica e geometria de BN estão intimamente relacionado, a saber: a lei zero da termodinâmica nos informa que se dois corposA eB, separadamente, estão em

equilíbrio com o terceiro corpos, logoA eB estão em equilíbrio entre si, ou seja, a

tem-peraturaT entre ele é constante. Para um BN estacionário a superfície gravitacional κé

constante no horizonte. Desse modo, temos um equivalência entre temperatura e superfí-cie gravitacional. A primeira lei da termodinâmica retrata a conservação da energia,

dU =T dS+µdQ+ ΩdJ, (2.120)

ondeU é a energia interna, Qa carga com potencial químico µeJ o spin com potencial

químicoJ. Correspondentemente, para o BN

dM = κ

8πdA+µdQ+ ΩdJ. (2.121)

Na segunda lei da termodinâmico a entropia nunca decresce,∆S _≥0. Equivalentemente, para BN, a entropia está relacionada com a área do horizonte, e por conseguinte a sua massa, que demonstraremos nas próximas seções. Nesse caso,∆A≥0.

2.3.2.1 Temperatura e entropia de Hawking

Em príncipio, se nada pode escapar do interior do BN, nem mesmo a luz. Então, se jogarmos uma chícara de chá dentro de um BN, a entropia do mundo externo dever diminuir. Aparentemente, próximo ao horizonte de evento de um BN, a segunda lei da termodinâmica é violada. Para salvar a segunda lei, Bekenstein propõem que BN contêm entropia proporcional a sua área. Entretanto, se BN possui energiaU e entropiaS, logo

ele tem uma temperatura, pois

1

T =

(

∂S ∂U

)

. (2.122)

Para um BN de Schwarzschild, a entropia é proporcional ao quadrado da massa,S ∝m2_,

logo a temperatura é proporcional a massa,T _∝ m. Se BN possui temperatura, podemos