Hipersuperfícies invariantes em dinâmica complexa

VINÍCIUS SOARES DOS REIS

HIPERSUPERFÍCIES INVARIANTES EM DINÂMICA COMPLEXA

Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exi-gências do Programa de Pós Graduação em Matemática, para obtenção do título de Magister Scientiae.

VIÇOSA

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Catalogação e Classificação da Biblioteca Central da UFV

T

Reis, Vinícius Soares dos, 1984-

R375h Hipersuperfícies invariantes em dinâmica complexa / 2012 Vinícius Soares dos Reis. – Viçosa, MG, 2012.

viii, 66f. : il. ; 29cm.

Orientador: Maurício Barros Correa Júnior.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Viçosa. Referências bibliográficas: f. 65-66.

1. Hipersuperfícies. 2. Folheações (Matemática). 3. Geometria algébrica. I. Universidade Federal de Viçosa. II. Título.

VINÍCIUS SOARES DOS REIS

HIPERSUPERFÍCIES INVARIANTES EM DINÂMICA COMPLEXA

Dissertação apresentada à Universidade Federal de Viçosa, como parte das exi-gências do Programa de Pós Graduação em Matemática, para obtenção do título de Magister Scientiae.

APROVADA: 17 de fevereiro de 2012

Luis Guillermo Martinez Maza Rogério Carvalho Picanço

Kennedy Martins Pedroso Alexandre Miranda Alves

(Coorientador) (Coorientador)

AGRADECIMENTOS

Desde o início de minha caminhada no ensino superior, algumas pessoas foram de importância fundamental para chegar até esse momento. Minha mãe, que foi sem dú-vida alguma o pilar que me manteve de pé até hoje, sem dúdú-vidas é a pessoa que mais agradeço e com palavras é difícil expressar essa gratidão, obrigado mãe por me apoiar, acreditar e confiar em mim até hoje. Meu pai, que infelizmente já se foi mas que me ajudou a ser homem e a cumprir com minhas obrigações, muito obrigado por esses ensinamentos pai.

Agradeço demais minha Avó, que também já não está entre nós, obrigado por suas orações e pelas preocupações que sempre tivera comigo, muito obrigado por tudo isso. Não posso esquecer meus irmãos pela amizade e pelo apoio que sempre me deram. Meu sobrinho Pedro, que foi o meu melhor amigo durante essa caminhada e que sem-pre me distraiu muito nos momentos que mais sem-precisei.

Amigos da sala 312 do DMA, em particular meu amigo Frederico que desde a graduação está nessa caminhada comigo pelo mundo da matemática, o agradeço pela hombridade, pela simplicidade, pela força que tens e sem dúvidas pelo amigo que és. Ao Fernando, por ter se tornado um bom amigo e se mostrado uma pessoa simples, dedicada e que sempre esteve disposto a ajudar, valeu mano! Ana Paula, por toda sua gentileza e tranquilidade, Artur pelo companheirismo, o Isaque pela amizade e por tanto nos ajudar com o latex e o Guemael que conheço pouco mas mostrou a pessoa que é nesse pouco tempo que conheço, obrigado a vocês. Aos amigos da Física Tiago e Renan obrigado pela amizade e o apoio.

Não posso deixar de agradecer à Capes pelo apoio financeiro, pois sem esse jamais teria feito uma pós graduação.

Para finalizar, agradeço à Deus, por motivos que dispensam comentários!

SUMÁRIO

RESUMO vii

ABSTRACT viii

INTRODUÇÃO 1

1 Preliminares 3

1.1 Variedades diferenciáveis . . . 3

1.2 Vetores tangentes emCn_{como derivações . . . . 4}

1.2.1 Derivação em um ponto . . . 5

1.2.2 Campo de vetores e derivações emCn _{. . . . 7}

1.3 Formask-lineares Alternadas . . . 9

1.3.1 Permutações . . . 9

1.3.2 Funções Multilineares . . . 10

1.3.3 O Produto Tensorial de formask-lineares . . . 10

1.3.4 O Produto Exterior . . . 11

1.3.5 Uma Base parak-Covetores . . . 12

1.4 Formas Diferenciais emCn _{. . . . 13}

1.4.1 1-formas Diferenciais e a Diferencial de uma Função . . . 13

2 Variedades Algébricas, Funções polinomiais e racionais 15

2.1 Variedades algébricas . . . 15

2.1.1 Polinômios e Espaço Afim . . . 15

2.2 Variedades Afins . . . 16

2.2.1 Ideais . . . 17

2.2.2 Teorema da base de Hilbert . . . 19

2.2.3 Teorema dos zeros de Hilbert (Hilbert’s Nullstellensatz) . . . 20

2.3 Funções polinomiais e racionais em uma variedade . . . 20

2.3.1 Quociente de anéis polinomiais . . . 22

2.3.2 Funções racionais em uma variedade . . . 23

3 Folheações e Teorema de Frobenius 25 3.1 Folheações Holomorfas . . . 25

3.2 Teorema de Frobenius . . . 27

3.2.1 Distribuição . . . 27

3.2.2 Distribuição dek-planos definidos por formas diferenciais . . 27

4 Hipersuperfícies invariantes por endomorfismos polinomiais 29 4.1 Hipersuperfícies Totalmente Invariantes . . . 30

4.1.1 Sobre formas logarítmicas . . . 34

4.2 Adaptação do Teorema de Cantat para Endomorfismos polinomiais . . 35

5 Integrabilidade de Darboux para campos 38 5.1 Campos de vetores polinomiais e Integrais primeiras racionais . . . . 39

5.2 Prova do Teorema 5.0.3 . . . 44

6 Integrabilidade Algébrica der-formas polinomiais diferenciais 52

6.1 r-formas diferenciais polinomiais emCn _{. . . . 54} 6.2 Hipersuperfícies invariantes e integral primeira racional . . . 56 6.3 Prova do Teorema 6.0.7 . . . 60

RESUMO

REIS, Vinícius Soares dos, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, fevereiro de 2012. Hipersuperfícies invariantes em dinâmica complexa. Orientador: Maurício Barros Correa Júnior. Coorientadores: Kennedy Martins Pedroso e Alexandre Miranda Alves.

ABSTRACT

REIS, Vinícius Soares dos, M.Sc., Universidade Federal de Viçosa, February, 2012. Invariant hypersurfaces in complex dynamics. Adviser: Maurício Barros Correa Júnior. Co-advisers: Kennedy Martins Pedroso and Alexandre Miranda Alves.

We talk about versions the theorem of integrability Darboux - Jouanolou for endo-morphisms, fields, or r-polynomial differential forms. These versions say essentially

INTRODUÇÃO

Um importante assunto na pesquisa na teoria dos campos vetoriais polinomiais é a caracterização de campos algebricamente integráveis, ou seja, campos que admitem uma integral primeira racional. A existência de uma integral primeira para um campo vetorial definido emR2_{determina completamente seu retrato de fase.}

Darboux, em 1878, encontrou uma conexão entre curvas algébricas invariantes e a existência de integrais primeiras para campos polinomiais emR2 _ouC2 _{. Ele mostrou}

que curvas algébricas invariantes por um campo de vetores polinomial podem ser usa-das para determinar uma integral primeira. Isto baseado na existência de um número suficientemente grande dessas curvas invariantes.

Jouanolou em [16] apresenta um melhoramento da teoria de Darboux provando que um campo de vetores polinomial, de graud, emR2 _ouC2_{, com pelo menos}

d+ 1 2

+ 2

curvas algébricas invariantes, possui uma integral primeira racional. Este resultado é hoje conhecido como teorema de integrabilidade de Darboux-Jouanolou.

No presente trabalho dissertamos sobre versões do teorema de integrabilidade de Darboux-Jouanolou para endomorfismos, campos ou r-formas diferenciais polinomi-ais.

Primeiramente, dissertamos sobre uma adaptação do teorema de Cantat [6] para endomorfismos polinomiais em Cn_{. Este teorema diz que um endomorfismo} polino-mialf deCn_{, comk > nhipersuperfícies totalmente invariantes, preserva um pencil} de hipersuperfícies algébricas.

d₋1 +n n

+n

hipersuperfícies algébricas irredutíveis invariantes, possui uma integral primeira raci-onal. Isto quer dizer que, nessas condições, o campo será tangente a um pencil de hipersuperfícies.

Por fim, apresentamos um resultado obtido em [7] por M. Corrêa, L. G. Maza e M. Soares , onde os autores provam um teorema do tipo Darboux-Jouanolou parar-formas

diferenciais polinomiais. O resultado diz que umar-forma diferencial polinomial, de graudemCn_{, possuindo}

d₋1 +n n

·

n r+ 1

+r+ 1

Capítulo 1

Preliminares

O objetivo deste capítulo é introduzir alguns conceitos e resultados que são fundamen-tais para esse trabalho. Iniciaremos definindo variedades diferenciáveis e variedades complexas. Em seguida, apresentaremos alguns conceitos e resultados básicos relaci-onados a campo de vetores. Apresentaremos também as formas diferenciáveis emCn_. Para mais detalhes sobre o assunto veja [2], [3],[4], [11], [18], [23] e [25].

1.1 Variedades diferenciáveis

Variedades diferenciáveis

Seja(M,_T)um espaço topológico. EmRn_{, considere a topologia usual. DadoU ∈ T,} um homeomorfismo entreU e um aberto deRn_{é chamado decarta local de dimensão}

n. CasoM possa ser coberto por domínios de cartas locais de dimensãon, entãoM é

umespaço topológico localmente euclidiano. Umavariedade topológica de dimensão

né um espaço topológico:

1. localmente euclidiano de dimensãon;

2. Hausdorff;

Duas cartas locais de dimensãon,(U, ϕ)e(V, ψ), sãoC∞_{compatíveis quando} U ∩V =∅ouU ∩V 6=∅e

ϕ_◦ψ−1 _{:ψ(U ∩V)→ϕ(U ∩V)}

ψ◦ϕ−1 _{:ϕ(U∩V)→ψ(U ∩V)}

são de classeC∞_.

UmatlasC∞_{de dimensãonpara um espaço topológicoM é uma cobertura deM}

por domínios de cartas locais de dimensãonque sãoC∞_{- compatíveis entre si. Daqui}

em diante, cartasC∞_{- compatíveis serão chamadas apenas compatíveis e um atlasC}∞

de dimensãonserá chamado apenas atlas.

Considere todos os atlas que contém um dado atlas _A de um espaço topológico

M. Dentre esses, existe apenas um que é maximal, ou seja, que não está contido propriamente em nenhum outro atlas que contém_A(veja Proposição 5.10, pag. 150, [25]). Dizemos que um espaço topológico Hausdorff, com base enumerável é uma variedade diferenciávelquando pode ser coberto por domínios de cartas locais de um atlas maximal.

Definição 1.1.1 Uma variedade complexa de dimensãoné uma variedade munida de uma estrutura analítica. Isto é, existe uma cobertura de M por abertos, _{Uα}α∈A, e homeomorfismos ϕα : Uα → Vα, onde Vα ⊂ Cn é aberto, tais que as funções de transiçãoϕα◦ϕ−β1são holomorfas.

1.2 Vetores tangentes em

_C

_{como derivações}

Definição 1.2.1 Sejam M um espaço topológico, N um conjunto e a ∈ M. Consi-deremos a família de todas as aplicações definidas em alguma vizinhança deae com valores em N. Nesta família definimos uma relação de equivalência. Dizemos que duas aplicações são equivalentes se elas coincidem em alguma vizinhança de a. As classes de equivalência são chamadasgermes de aplicação ema(com valores emN). Chamamos germe emade uma aplicaçãof à classe de equivalência que contémf.

Vamos denotar porC∞

p a germificação deC∞(Cn), ou seja,

onde [u] = _{v _∈ C∞_(Cn_{) : v}

∼ u_} e v _∼ u se, e somente se, existem abertos

V, U ⊂Cn_{contendoade forma que}

v_|V ≡u|U em um abertoW ⊂V ∩U que contéma.

Sabendo queC∞

p tem uma estrutura de álgebra e que o conjunto de todos os fun-cionais lineares sobreC∞

p que satisfazem a Regra de Leibiniz, denotado porDp(Cn) e chamado derivações no pontop, é um espaço vetorial. Na seção que segue vamos

provar queD_p(Cn_)eT

p(Cn)são espaços vetoriais isomorfos.

1.2.1 Derivação em um ponto

Seja a aplicação γ = (γ1, . . . , γm) : C → Cn, definida por γ(t) = p+ tv, onde

p= (p1, ldots, pn)ev = (v1, . . . , vn)são fixos emCn.

As retas parametrizadas γ = γ(p, v) caracterizam o conjunto dos vetores v que tem origem no ponto p, ao qual chamaremos de espaço tangente ao Cn _{no ponto p} e denotaremos por Tp(Cn_{). Dai, Tp(C}n_{) = {u∈C}n _{: u=p+vt;v ∈C}n_{} e vale} ressaltar queTp(Cn_)≃Cn_.

Para cada vetorv = (v1, . . . , vn)em um pontop∈Cn, a derivada direcional emp

nos dá uma aplicação

Dv :Cp∞ →C, definida porDv =Pvi ∂_∂xi

p. ClaramenteDv éC-linear e satisfaz a regra de Leibniz

Dv(f g) = (Dvf)g(p) +f(p)Dvg. (1)

Em geral, uma aplicação linearDv :Cp∞ →Csatisfazendo a regra de Leibniz (1) é chamada uma derivação emp. Denote o conjunto de todas as derivações emp por D_p(Cn). Este conjunto é de fato um espaço vetorial, pois a soma de duas derivações empe a multiplicação por escalar de uma derivação empsão ainda derivações.

φ :Tp(Cn_{) → Dp(C}n_),

v _7→ Dv =

P

vi ∂ ∂xi

p

(2)

é uma aplicação linear.

Lema 1.2.2 SeDé umaderivação, entãoD(c) = 0para toda função constantec.

Demonstração: PelaC-linearidade,D(c) = cD(1). Pela regra de Leibniz

D(1) =D(1×1) =D(1)×1 + 1×D(1) = 2D(1) ⇒D(1) = 0

segue assim o resultado.

Teorema 1.2.3 A aplicação linearφ : Tp(Cn_{) → Dp(C}n_{) definida em (2) é um} iso-morfismo de espaços vetoriais.

Demonstração: Para provar a injetividade, suponha Dv = 0 para v ∈ Tp(Cn). AplicandoDv à função coordenadaxj teremos

0 = Dv(xj) =

X

i

vi ∂ ∂xi

px j

=X

i

viδji =v j

.

Portanto,v = 0eφé injetiva.

SejamDuma derivação emp = (p1_{, . . . , p}n_{)e(f, V)um representante do germe} defemp. FazendoV menor se necessário, podemos assumir queV é uma bola aberta.

Pelo Teorema de Taylor existem funçõesC∞_{gi(x)em uma vizinhança deptal que}

f(x) =f(p) +P(xi_−pi_{)gi(x), g}

i = _∂x∂fi(p).

Df(x) = X(Dxi)gi(p) +X(pi −pj)Dgi(x) = X(Dxi₎∂f

∂xi(p).

Isto prova queD=Dv parav =hDx1, ..., Dxni.

1.2.2 Campo de vetores e derivações em

C

Um campo de vetoresXem um subconjunto abertoUdeCn_{é uma função que associa} para cada ponto pem U um vetor tangenteXp em Tp(Cn). Como Tp(Cn)tem bases

{∂/∂xi_|

p}, o vetorXpé uma combinação linear

Xp =

X

ai_(p) ∂

∂xi

p, p∈U.

Dizemos que o campo de vetores XéC∞_{emU, se as funções coeficientesa}i _são

C∞_emU.

Podemos identificar campos de vetores emU com vetores colunas de funçõesC∞

em U:

X =Xai(p) ∂

∂xi ←→

  

a1

...

an

  .

Denotamos porC∞_{(U)o anel das funçõesC}∞_{emU. Como podemos multiplicar}

um campo de vetores C∞ _{por uma função C}∞ _{e ainda obter um campo de vetores} C∞_{, o conjunto de todos campos vetoriaisC}∞_{emU, denotado porX(U), não é só um}

espaço vetorial sobreC, mas também ummódulosobre o anelC∞_(U).

Se X é um campo de vetoresC∞ _{em um subconjunto abertoU deC}n_{e f é uma} funçãoC∞_{emU, definimos a nova funçãoX(f)emU por}

X(f)(p) = Xpf para todop∈U. EscrevendoX =Pai ∂

X(f)(p) = Xpf =

X

ai(p)∂f

∂xi(p),

ou

X(f) = Xai∂f

∂xi,

mostrando-nos assim queXf é uma funçãoC∞ _{emU. Assim, um campo de vetores} C∞_{induz uma aplicaçãoC-linear}

C∞_{(U) → C}∞_(U)

f 7→ Xf.

Proposição 1.2.4 (Regra de Leibniz para campo de vetores). SeX é um campo de vetoresC∞_{ef eg são funçõesC}∞_{em um subconjunto abertoU deC, entãoX(f g)}

satisfaz a regra do produto:

X(f g) =X(f)g +f X(g).

Demonstração: Ver [25].

Em geral, se A é uma álgebra sobre um corpo K, uma derivação de A é uma aplicaçãoK-linearD:A→Atal que

D(ab) = (Da)b+a(Db)para todoa, b_∈A.

O conjunto de todas as derivações deAé fechado sobre a adição e a multiplicação por escalar e forma um espaço vetorial, denotado porDer(A). Um campo de vetores C∞_{em um conjunto abertoU induz uma derivação da álgebraC}∞_{(U). Então temos a}

aplicação

ϕ:X_{(U) → Der(C}∞_(U))

Assim como os vetores tangentes em um ponto ppodem ser identificados com os pontos derivações, os campos de vetores em um abertoU podem ser identificados com

as derivações da álgebraC∞_{(U), isto é, a aplicaçãoϕ é um isomorfismo de módulos}

sobreC∞_(U).

Note que uma derivação empnão é uma derivação da álgebraC∞

p (U). Uma deri-vação em um ponto pé uma aplicação deC∞

p (U)emC, enquanto uma derivação na álgebraC∞

p (U)é uma aplicação deCp∞(U)emCp∞(U).

1.3 Formas

k

-lineares Alternadas

Se V eW são espaços vetoriais complexos, denotaremos por Hom(V, W) o espaço vetorial de todas as aplicações linearesf :V →W. Defina oespaço dualV∗_{sendo o}

espaço vetorial de todas as funções lineares com valores complexos emV.

Os elementos deV∗_{são chamados decovetoresemV. Nesta seção, assumiremos}

que V é um espaço vetorial de dimensão finita. Seja _{e1, ..., en} uma base para V. Cada elementov ∈ V é uma combinação linear unicamente determinada da seguinte

forma,v =Pvi_e

icomvi ∈C. Sejaαi :V −→Cuma função linear tal que ai-ésima coordenadaαi_{(v) =v}i_{. Note queα}i _{é caracterizada por}

αi_{(ej) = δ}i j =

1, i=j; 0, i6=j.

Proposição 1.3.1 As funçõesα1_{, ..., α}n_{formam uma base deV}∗_.

Demonstração: Ver [25].

Corolário 1.3.2 O espaço dualV∗ _{de um espaço vetorial de dimensão finitaV tem a}

mesma dimensão deV.

Demonstração: Ver [25].

1.3.1 Permutações

Fixe um inteiro k. Uma permutação de um conjunto A = _{1, ..., k_} é uma

bije-ção σ : A → A. Uma permutação cíclica (a1a2...ar) é a permutação σ tal que

σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, ..., σ(ar) = a1, e de forma que σ fixa todos os outros

Uma transposição é um ciclo da forma (ab) que alternaa e b, mantendos os outros elementos deAfixos.

Seja Sk o grupo de todas as permutações do conjunto {1, ..., k}. Uma permuta-ção é par ou ímpar dependendo se ela é o produto de um número par ou ímpar de transposições.

1.3.2 Funções Multilineares

Denote por Vk _{= V}

× · · · ×V o produto cartesiano dek cópias do espaço vetorial complexo V. Uma forma f : Vk _{→ Cé k-linear se ela é linear em cada um dos k} argumentos

f(. . . , av+bw, . . .) =af(. . . , v, . . .) +bf(. . . , w, . . .)

para todoa, b _∈ Cev, w _∈ V.Uma formak-linear emV é também chamada de um

k-tensor emV. Denotaremos o espaço vetorial de todosk-tensores emV porLk(V).

Sef é umk-tensor emV, também chamaremos dekograudef. Definição 1.3.3 Uma formak-linearf :Vk _{→Cé simétrica se}

f(vσ(1),· · · , vσ(k)) = f(v1,· · ·, vk)

para toda permutaçãoσ_∈Sk; ela é alternada se

f(vσ(1),· · · , vσ(k)) = sgn(σ)f(v1,· · · , vk)

para todoσ_∈Sk. Aquisgn(σ)denota o sinal da permutação.

Denotaremos o espaço das formask-lineares alternadas em um espaço vetorialV

por,Ak(V), parak > 0.

1.3.3 O Produto Tensorial de formas

k

-lineares

(f _⊗g)(v1,· · · , vk+l) =f(v1,· · · , vk)g(vk+1,· · · , vk+l).

Proposição 1.3.4 Sef, gehsão formas multilineares emV, então

(f_⊗g)_⊗h=f_⊗(g_⊗h).

Demonstração: Ver [25].

1.3.4 O Produto Exterior

Definimos oproduto exteriorentre formas multilineares por,

∧:Ak(V)×Ak(V) → Ak+l(V)

(f, g) _7→ f_∧g = _k1_!l!A(f _⊗g); ondeA(f) = X

σ∈Sk

(sgnσ)f.

As demonstrações das proposições e corolários abaixo podem ser encontradas em [11], [18] ou [25].

A seguinte proposição mostra que o produto exterior é anticomutativo. Proposição 1.3.5 Sef ∈Ak(V)eg ∈Al(V), então

f _∧g = (₋1)kl_g∧f. Segue diretamente da proposição acima o seguinte

Corolário 1.3.6 Sef é umk-covetor emV eké ímpar, entãof _∧f = 0.

A seguinte proposição mostra que o produto exterior é associativo.

(f_∧g)_∧h=f_∧(g_∧h).

Corolário 1.3.8 Com as mesmas hipóteses da proposição (1.3.7),

f _∧g _∧h = 1

k!l!m!A(f ⊗g⊗h).

Proposição 1.3.9 Seα1_{, . . . , α}k_{são formas lineares em um espaço vetorialV ev}

1, . . . , vk ∈

V, então

(α1_{, . . . , α}k_)(v

1, . . . , vk) =det[αi(vj)].

1.3.5 Uma Base para

k

-Covetores

Seja_{e1,· · · , en}uma base para o espaço vetorial complexoV, e seja{α1,· · · , αn}a base dual paraV∗_{. Introduzindo a notação multi-índice}

I = (i1,· · · , ik)

escrevaeI para(ei1,· · · , eik)eα

I _paraαi1 ∧ · · · ∧αi k.

Uma formak-linearf emV é completamente determinada pelos seus valores em

toda k-upla (ei1,· · · , eik). Sef é alternada, então ela é completamente determinada

por seus valores em(ei1,· · · , eik)com1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. SuponhaI, J

multi-indices ascendentes de comprimentok. Pela proposição (1.3.9).

αI_(e J) =

1, I =J; 0, I 6=J.

As demonstrações da proposição e corolários abaixo podem ser encontradas em [25] ou [18].

Proposição 1.3.10 As formask-lineares alternadasαI_{, I = (i}

1 <· · · < ik), formam

uma base para o espaçoAk(V)das formask-lineares alternadas emV.

Corolário 1.3.11 Se o espaço vetorial V tem dimensão n, então o espaço vetorial

Ak(V)dek-covetores emV tem dimensão

n k

.

1.4 Formas Diferenciais em

_C

1.4.1 1-formas Diferenciais e a Diferencial de uma Função

De qualquer função f : U _→ C de classeC∞_{, podemos construir uma 1-forma df,}

chamada adiferencialdef como segue. Parap_∈U eXp ∈TpCn, defina (df)p(Xp) = Xpf.

Proposição 1.4.1 Sez1_{,· · · , z}n_{são as coordenadas canônicas deC}n_{, então em cada} pontopemU,_{(dz1_{)p,· · · ,(dz}n_{)p}é a base para o espaço cotangente T}∗

p(Cn)dual a base_{∂/∂z1_|

p,· · · , ∂/∂zn|p}para o espaço tangenteTp(Cn). Demonstração: Por definição,

(dzi_)p ∂ ∂zj

p

= ∂

∂zj

pz i _=δi

j.

Se f : U → C é uma função C∞ _{em um conjunto aberto U em (C}n_{), então a} diferencial def é definida por

df =X ∂f

∂zjdz j

. (1.1)

1.4.2

k

-Formas Diferenciáveis

Mais geralmente, umaforma diferencialωde graukou umak-forma em um conjunto aberto deCn_{é uma aplicação que associa para cada pontopemU uma formak-linear} alternada no espaço tangente Tp(Cn), isto é, ωp ∈ Ak(TpCn). Como A1(TpCn) =

T∗

p(Cn), a definição de umak-forma generaliza a de uma 1-forma. Uma base paraAk(TpCn)é

dzI

ωp =

X

aI(p)dzpI,1≤i1 <· · ·< ik≤n. Portanto umak-formaωemU é uma combinação linear

ω =XaIdzI,

com funções coeficientes aI : U → C.Dizemos que uma k-formaω éC∞ emU se todos os coeficientesaI são funçõesC∞emU.

Denotemos porΩk_{(U)o espaço vetorial dek-formasC}∞_{emU. Uma 0-forma em} U associa em cada pontopemU, elemento deA0(TpCn) = C.Daí, uma 0-forma em

U é simplesmente uma função emU, eΩ0_{(U) =C}∞_(U).

Uma vez que se pode multiplicar uma k-forma C∞ _{por funçõesC}∞_{, o conjunto}

Ωk_{(U) de k-formas C}∞ _{em U é um espaço vetorial sobre C e um módulo sobre} C∞_{(U). Com o produto exterior como multiplicação, a soma direta}

Ω∗(U) = n

M

k=0

Ωk_(U)

Capítulo 2

Variedades Algébricas, Funções

polinomiais e racionais

Neste capítulo vamos estudar polinômios e variedades algébricas afins. Veremos a definição de variedades algébricas, de ideais de uma variedade e a forma como se re-lacionam.

O foco central será a exposição do célebre Teorema dos Zeros de Hilbert que será usado fortemente em demonstrações dos capítulos 4, 5 e 6, os principais desta disser-tação. Apresentaremos uma das versões do teorema citado.

Veremos uma exposição sobre funções polinomiais e racionais em uma variedade. A importância desse assunto, é pelo fato de termos a necessidade de trabalhar nos ca-pítulos 4, 5 e 6 com funções com essas características. Para este capítulo sugerimos a leitura de [10] para mais detalhes.

2.1 Variedades algébricas

Nesta seção estudamos curvas, conjuntos dados por zeros de sistemas de equações polinomias. Utilizaremos um pouco de álgebra e, em particular, precisaremos estudar os ideais do anel de polinômiosC[x1, ..., xn].

2.1.1 Polinômios e Espaço Afim

Definição 2.1.1 Um monômio emx1, ..., xné um produto da forma

xα1

1 .x

α2

2 .· · · .xαnn,

onde os expoentes α1, ..., αn são inteiros não negativos. O grau total desse monômio éα1+...+αn.

Observação 2.1.2 Sejaα= (α1, ..., αn)uman-upla de inteiros não-negativos. Então

xα _{= x}α1

1 .x

α2

2 ...xαnn. Quando α = (0,0, ...,0), temos xα = 1. Temos também que

|α|=α1+...+αndenota o grau do monômioxα

Definição 2.1.3 Um polinômiof emx1, ..., xncom coeficientes emCé uma combina-ção linear finita de monômios. Denotaremos um polinômiof na forma

f =X

α

aαxα,aα ∈C,

onde a soma é sobre um número finito de n-uplas α = (α1, ..., αn). Como usual, o

conjunto de todos os polinômios emx1, ..., xn com coeficientes em C será denotado porC[x1, ..., xn].

Definição 2.1.4 Sejaf =X α

aαxα um polinômio emC[x1, ..., xn].

1. aα é chamado coeficiente dexα;

2. Seaα6= 0, então chamamosaαxα um termo def; 3. O grau def, denotado pordeg(f), é max{|α|;aα 6= 0}.

2.2 Variedades Afins

Definição 2.2.1 Sejamf1, . . . , fspolinômios emC[x1, . . . , xn]. Então temos

V(f1, . . . , fs) ={(a1, . . . , an)∈Cn:fi(a1, . . . , an) = 0, ∀i= 1, . . . , n}.

Assim, uma variedade afim V(f1, . . . , fs) ⊂ Cn é o cojunto de todas as soluções

do sistema de equaçõesf1(x1, . . . , xn) =. . .=fs(x1, . . . , xn) = 0.

Exemplo 2.2.2 Se F _∈ C[x1, . . . , xn], um ponto P = (a1, . . . , an) pertencente ao

espaço afim de dimensãoné um zero deF seF(P) = F(a1, . . . , an) = 0. SeF não

é constante, o conjunto de zeros deF é chamado dehipersuperfíciedefinida porF, e denotada porV(F).

Lema 2.2.3 SeV, W ⊂Cn_{são variedades afins, entãoV ∪W eV ∩W também são.} Demonstração: ConsidereV =V(f1, . . . , fs)eW =V(g1, . . . , gt), então

V _∪W =V(figj) : 1 ≤i≤s,1≤j ≤t),

V _∩W =V(f1, . . . , fs, g1, . . . , gt).

A demonstração deste lema implica que interseções finitas e uniões de variedades afins são ainda variedades afins. Portanto, podemos definir uma topologia emCn cha-madatopologia de Zariskiem que os abertos são os complementares deV(f1, . . . , fn).

2.2.1 Ideais

Definição 2.2.4 Um subconjutoI _⊂C[x1, . . . , xn]é um ideal se satisfaz:

1. 0∈I;

2. Sef, g _∈I, entãof +g _∈I;

3. Sef _∈I eh_∈C[x1, . . . , xn], entãohf ∈I.

A importância dos ideais é que eles nos darão ferramentas para fazer os cálculos com variedades.

Definição 2.2.5 Sejamf1, . . . , fspolinômios emC[x1, . . . , xn]. Definimos o ideal

hf1, . . . , fsi={

Ps

i=1hifi :h1, . . . , hs∈C[x1, . . . , xn]}.

Veja que_hf1, . . . , fsié de fato um ideal como sugere a definição.

Proposição 2.2.6 Sef1, . . . , fs e g1, . . . , gt são tais que hf1, . . . , fsi = hg1, . . . , gti, então

V(f1, . . . , fs) =V(g1, . . . , gt)

Definição 2.2.7 SejaV _⊂Cn_{uma variedade afim. Então temos}

I(V) =_{f _∈C[x1, . . . , xn] :f(x1, . . . , xn) = 0 ∀(a1, . . . , an)∈V}

A observação crucial aqui é que I(V) é um ideal de C[x1, . . . , xn]. Chamamos

I(V)de ideal deV;

Exemplo 2.2.8 Considere a variedade_{(0,0)_}consistindo da origem deC2. Então o idealI(_{(0,0)_})consiste de todos os polinômios que se anulam na origem, e afirma-mos que

I(_{(0,0)_}) = _hx, y_i

1. _hx, y_{i ⊂}I(_{(0,0)_})

SejaA(x, y)x+B(x, y)y_{∈ h}x, y_i, obviamente este polinômio se anula em(0,0).

2. I(_{(0,0)_})_{⊂ h}x, y_i

Sejaf ∈ I, entãof =P_i,jaijxiyj anula-se na origem, daía00 = f(0,0) = 0.

Consequentemente,

f = a00+

X

(i,j)6=(0,0)

aijxiyj

= 0 + ( X

(i,j)i>0

aijxi−1yj)x+ (

X

j>0

a0jyj−1)y∈ hx, yi. Lema 2.2.9 Sef1, . . . , fs ∈C[x1, . . . , xn], então

Embora a igualdade não precise ocorrer, como mostra o exemplo. Exemplo 2.2.10 _hx2_{, y}2_{i ⊂I(V(x}2_{, y}2_))masI(V(x2_{, y}2_))*hx2_{, y}2_i.

x2 _{= 0 e y}2 _{= 0 ⇒ V(x}2_{, y}2_{) = {(0,0)}, mas o ideal de {(0,0)} é hx, yi, então}

I(V) = _hx, y_i. Note quex_{6∈ h}x2_{, y}2_i.

Proposição 2.2.11 SejamV eW variedades afim emCn_{. Então}

1. V ⊂W ⇔I(V)⊃I(W); 2. V =W _⇔I(V) =I(W).

Demonstração: Basta demonstrar 1. Seja f ∈ I(W), temos que f(p) = 0 para todo p _∈ W. Como V _⊂ W, f(q) = 0 para todo q _∈ V. Portanto f _∈ I(V)e daí

I(W)_⊂I(V).

Considere p ∈ V, por definição f(p) = 0para todo f ∈ I(V). Como I(V) ⊂

I(W), entãog(p) = 0para todog _∈I(W), logop_∈W.

2.2.2 Teorema da base de Hilbert

Teorema 2.2.12 Todo ideal I _⊂ C[x1, . . . , xn] é finitamente gerado. Isto é, existem

f1, . . . , fs∈C[x1, . . . , xn]tais que

I =_hf1, . . . , fsi.

O teorema da base de Hilbert nos mostra que, todo subconjunto algébrico é a inter-seção de um número finito de hipersuperfícies.

Definição 2.2.13 SejaI _⊂C[x1, . . . , xn]um ideal. Denotemos o conjunto

V(I) ={(a1, . . . , an)∈Cn :f(a1, . . . , an) = 0 ∀f ∈I}.

2.2.3 Teorema dos zeros de Hilbert (Hilbert’s Nullstellensatz)

O Teorema dos zeros de Hilbert identifica ideais que correspondem a variedades, per-mitindo “construir"um dicionário entre álgebra e geometria.

Definição 2.2.15 SejaV uma variedade afim. O ideal deV é definido por

I(V) = {f ∈C[x1, . . . , xn] :f(x) = 0 ∀x∈V}.

Proposição 2.2.16 Sef1, . . . , fs∈C[x1, . . . , xn], entãohf1, . . . , fsi ⊂I(V(f1, . . . , fs)).

Demonstração: Sef ∈ hf1, . . . , fsi ⇒ f ∈ Ps_i=1hifi, hi ∈ C[x1, . . . , xn]. Como

f1, . . . , fsse anulam emV(f1, . . . , fs)⇒f ∈I(V(f1, . . . , fs)).

SejaIum ideal deC[x1, . . . , xn]o radical deIé definido por

√

I =_{f _∈C[x1, . . . , xn] :∃m∈Ntal quefm ∈I}

O Teorema dos Zeros de Hilbert diz que o ideal de uma variedadeV(I)é o radical deI.

Teorema 2.2.17 (Teorema dos Zeros de Hilbert) Se f1, . . . , fs ∈ C[x1, . . . , xn] são

tais que f ∈ I(V(f1, . . . , fs)), então existe m ≥ 1 tal que fm ∈ hf1, . . . , fsi (e reciprocamente).

2.3 Funções polinomiais e racionais em uma variedade

Definição 2.3.1 Sejam V _⊂ Cm _{e W ⊂ C}n _{variedades. Uma função φ : V →}

W é dita uma aplicação polinomial (ou aplicação regular) se existem polinômios

f1, ..., fn∈C[z1, ..., zm]tais que

φ(a1, ..., am) = (f1(a1, ..., am), ..., fn(a1, ..., am))

para todo(a1, ..., am)∈V.

(f1, ..., fn)∈(C[z1, ..., zn])n

representaφ.

Proposição 2.3.2 SejaV ⊂Cm_{uma variedade afim. Então}

1. f e g _∈ C[z1, ..., zm] representam as mesmas funções polinomiais em V se, e

somente se,f −g ∈I(V).

2. (f1, ..., fn)e(g1, ..., gn)representam as mesmas aplicações polinomiais deV em

Cn_{se, e somente se,f}

i−gi ∈I(V)para todoi, com1≤i≤n.

Demonstração: Se f − g = h ∈ I(V), então para todo p = (a1, ..., am) ∈ V,

f(p)₋g(p) =h(p) = 0. Portantof egrepresentam a mesma função, então, em todo

p _∈ V, f(p)₋g(p) = 0. Assim ,f ₋g _∈ I(V) por definição. A parte (2) segue da

parte (1).

Denotaremos porC[V]a coleção de funções polinomiaisφ:V _→C.

Uma variedade V ⊂ Cm _{é ditaredutível se ela pode ser escrita como uma união} de duas subvariedades próprias não vazias: V =V1∪V2, ondeV 6=V1 eV 6=V2.

Exemplo 2.3.3 Considere a variedade emC3_{dada porV(x}3_{+xy−xz, yx}2_+y3_−yz).

Não é difícil ver que

V(x2+y2₋z)_∪V(x, y).

Portanto,V é redutível.

A seguinte proposição caracteriza variedades irredutíveis.

Proposição 2.3.4 Seja V ⊂ Cn _{uma variedade afim. As seguintes afirmações são} equivalentes:

1. V é irredutível;

2. I(V)é um ideal primo;

3. C[V]é um domínio de integridade.

2.3.1 Quociente de anéis polinomiais

Definição 2.3.5 SejaI ⊂C[z1, ..., zn]um ideal, e sejamf, g ∈C[z1, ..., zn].Dizemos

quef egsãocongruentes móduloI sef ₋g _∈I, denotando como segue

f _≡g mod.I.

Seja I ⊂ C[z1, ..., zn]um ideal. A congruência móduloI é uma relação de

equi-valência emC[z1, ..., zn].Funções polinomiaisφ : V → Cestão em correspondência

biunívoca com as classes de equivalência de polinômios em congruência móduloI(V).

Veja[10]pag.223.

Definição 2.3.6 O quociente de C[z1, ..., zn] módulo I, é o conjunto de classes de

equivalência para congruência móduloI

C[z1, ..., zn]

I ={[f] :f ∈C[z1, ..., zn]}.

Onde[f] ={g ∈C[z1, ..., zn] :g ≡f mod.I}.

PorC[z1, ..., zn]ser um anel, dadas duas classes[f],[g]∈ C[z1,...,z_I n], podemos

defi-nir soma e produtoem classesusando as operações correspondentes sobre os elementos deC[z1, ..., zn]. Isto é, as operações induzidas

[f] + [g] = [f +g],

[f]_·[g] = [f _·g], (1)

estão bem definidas.

Teorema 2.3.7 SejaI um ideal emC[z1, ..., zn]. O quociente C[z1,...,z_I n] é um anel

co-mutativo.

Proposição 2.3.8 SejaIum ideal emC[z1, ..., zn]. Os ideais no anel quocienteC[z1,...,z_I n]

Demonstração: Veja [10] pag.226

O seguinte corolário é uma consequência do teorema da base de Hilbert e da pro-posição 2.3.8.

Corolário 2.3.9 Todo ideal no anel quocienteC[z1,...,zn]

I é finitamente gerado.

2.3.2 Funções racionais em uma variedade

O anel dos números inteiros pode ser imerso em muitos corpos. O menor deles é o corpo dos números racionais Q, pois Q é formado pela construção de frações m/n,

ondem, n ∈ Z. Apenas números inteiros foram usados. Da mesma forma, o anel de polinômiosC[z1, ..., zn]é incluído como um subanel no corpo das funções racionais.

C(z1, ..., zn) =

f(z1, ..., zn)

g(z1, ..., zn)

:f, g∈C[z1, ..., zn], g 6= 0

.

Este é o chamadocorpo das fraçõesdeC[z].

Definição 2.3.10 SejaV uma variedade irredutível afim emCn_{. ChamamosC(V)de} corpo de funções racionaisemV.

Escrevemos o corpo de funções racionaisC(V)explicitamente como

C(V) =

φ

ψ :φ, ψ∈C[V], ψ6= 0

=

[f]

[g] :f, g∈C[z1, ..., zn], g /∈I(V)

.

Definição 2.3.11 Sejam V ⊂ Cm _{e W ⊂ C}n _{variedades irredutíveis afins. Uma} aplicação racionaldeV emW é uma funçãoφrepresentada por

φ(z1, ..., zm) =

f1(z1, ..., zm)

g1(z1, ..., zm)

, ...,fn(z1, ..., zm) gn(z1, ..., zm)

,

Note que uma aplicação racional φ de V paraW pode não ser uma função deV

paraW no sentido usual, ou seja,φpode não estar definida em todos os pontos deV.

Por esta razão, utilizaremos a seguinte notação para indicar uma aplicação racional

Capítulo 3

Folheações e Teorema de Frobenius

Para este capítulo sugerimos a leitura de [5] e [24]. Veremos as definições de folhe-ações holomorfas não singular e singular, os conceitos de distribuição de k-planos e algumas de suas propriedades. Enunciaremos o teorema de Frobenius. Sabemos que toda folheação_F de dimensãok induz uma distribuição de planosk-dimensional. O

teorema de Frobenius nos garante a recíproca desta afirmação. Isto é, nos dá uma condição necessária e suficiente para uma distribuição de planos k-dimensional seja

tangente a uma folheação.

Vale ressaltar que nos capítulos 5 e 6 estudaremos teoremas que nos fornecem algu-mas condições para a existência de integral primeira racional para campos de vetores polinomiais er-formas polinomiais respectivamente. E como veremos neste capítulo,

as distribuições possuem uma forte ligação com os campos de vetores e as formas.

3.1 Folheações Holomorfas

SejaM uma variedade complexa de dimensãon _≥2.

Definição 3.1.1 Umafolheação holomorfa não singular de dimensãok(ou codimen-sãon−k) emM, onde1≤k ≤n−1, é dada pelo seguinte conjunto de informações:

1. uma cobertura_{Uα}α∈AdeM por abertos;

3. sempre queUαβ =Uα∩Uβ 6=∅,

Φαβ : Φα(Uαβ) −→ Φβ(Uαβ) (z, w) _7−→ Φβ _◦Φ−1

α (z, w) = (ϕ1, ϕ2).

satisfazΦαβ(z, w) = (ϕ1(z, w), ϕ2(w)).

Cada aberto Uα é chamado deaberto trivializadorda folheação. Por (2),Uα é de-composto em variedades de dimensãokda formaΦ−1

α (Dk× {w0}), ondew0 ∈Dn−k,

chamadas deplacas. Por (3), as placas se sobrepõem nas interseções de abertos trivi-alizadores da seguinte forma: sePα ⊂Uα ePβ ⊂Uβ são placas, ouPα∩Pβ =∅, ou

Pα∩Pβ =Pα∩Uβ =Pβ ∩Uα.

Definimos a seguinte relação de equivalência em M: p _∼ q se existem placas P1,· · · , Pn, comp ∈ P1 eq ∈ Pntais que P1 ∩Pi+1 6= ∅parai = 1,· · · , n−1. A

classe de equivalência dep_∈ M por essa relação é chamada defolhapassando porp. Cada folha, com a topologia gerada pelos abertos de suas placas, possui estrutura de variedade complexa de dimensãok imersa emM, veja [5].

Uma folheação de dimensão k proporciona uma decomposição da variedade em subvariedades imersas de dimensãok, duas a duas disjuntas.

Oespaço tangenteà folheação_F emp∈ M, denotado porTpF, é definido como o espaço tangente, no ponto p, à folha passando por esse ponto. Dizemos que duas folheações são iguais se todas as suas folhas coincidem.

Definição 3.1.2 Umafolheação holomorfa singular de dimensãok (ou codimensão

n − k), onde 1 ≤ k ≤ n − 1, em uma variedade complexa M é uma folheação não singular de dimensão k em M \S, onde S é um conjunto analítico em M de codimensão maior ou igual a 2.

Exigiremos ainda que o conjunto S da definição acima seja minimal no seguinte sentido: não existe subconjunto analítico próprio S′ _{⊂ S tal que a folheação regular}

emM \Sse estenda aM \S′_{. Nessas condições,Sé chamado deconjunto singular}

da folheação.

O conjunto singular da folheação _F é denotado por Sing(_F). Os elementos de

Sing(F)são chamados depontos singularesousingularidades, enquanto os elemen-tos deM _\Sing(_F)são chamados depontos regulares.

As folhas de_F são, por definição, as folhas da folheação regular_F|M\Sing(F). Duas

folheações singulares_F e_F′_{são iguais se:}

2. as folhas regulares_F|M\Sing(F)eF′|M\Sing(F′₎são iguais.

3.2 Teorema de Frobenius

As demonstrações das proposições e dos teoremas desta seção podem ser encontradas em [5].

3.2.1 Distribuição

Uma distribuição de k-planos em uma variedade M é uma aplicação D que associa à cada ponto q _∈ M um subespaço vetorial de dimensão k de TqM. Dizemos que uma distribuição dek-planos é de classeCr_{se para todoq∈M existemkcampos de} vetoresX1_{,· · · , X}k_{de classe C}r_{, definidos em uma vizinhançaV deqtais que para} todox_∈V,_{X1_{(x),· · · , X}k_(x)

}é uma base paraD(x). Um fato relevante segue

Proposição 3.2.1 Toda folheação_Fde classeCr_{(r≥1)de dimensãokemM define} uma distribuição dek-planos de classeCr−1 _{emM denotado porTF.}

Definição 3.2.2 Dados dois campos de vetoresX, Y _∈ X_{(U), podemos produzir um} terceiro[X, Y] =XY −Y X que é denominado ocolchete de LiedeX, Y.

Definição 3.2.3 Dizemos que uma distribuição de planos D é involutivo se, dados dois campos de vetoresX eY tais que, para cadaq _∈M, X(q)eY(q)pertencem a

D(q), então[X, Y] (q)∈D(q).

Uma distribuição dek-planosDé dita completamente integrável se para todop _∈ U _⊂ M tal que D(p) = _hX1(p), . . . , Xk(p)i existe uma subvariedade Fp tal que

TpFp =D(p).

Teorema 3.2.4 (Frobenius) SejaDuma distribuição dek-planos de classeC∞_.

En-tão,Dé completamente integrável se, e somente se, é involutivo.

3.2.2 Distribuição de

k

-planos definidos por formas diferenciais

Sejamω1_{,· · · , ω}k _Cr _{(r≥0)1-formas definidas e linearmente independentes em um} conjunto abertoU _⊂Mm_{. Para cadaq}

D(q) = _{v _∈TqM; ωq1(v) = · · ·=ωqk(v) = 0} Comoω1

q,· · · , ωqksão elementos linearmente independentes do dual(TqM)∗,D(q) é um subespaço de codimensãokdeTq(M).

Proposição 3.2.5 Uma distribuição de planos de classeCr_{(r ≥0)de codimensãok} pode ser definido localmente como o núcleo dask Cr _{1-formas linearmente} indepen-dentes. Reciprocamente, se ω1_{,· · · , ω}k _{são C}r _{1-formas linearmente independentes} então

D(q) ={v ∈TqM;ωq1(v) =· · ·=ωkq(v) = 0} define uma distribuição de planos de codimensãok.

Segue a versão do teorema de Frobenius para formas.

Teorema 3.2.6 Seja D um Cr _{(r ≥ 1) distribuição de planos de codimensãok} de-finido em um aberto U _⊂ M por ω1_{, . . . , ω}k _{1-formas linearmente independentes.} EntãoDé completamente integrável se, e somente se, para todoj _{∈ {}1,_{· · ·} , k_}temos

dωj

Capítulo 4

Hipersuperfícies invariantes por

endomorfismos polinomiais

Neste capítulo vamos estudar um teorema devido a S. Cantat, extraído de [6]. Este te-orema nos diz que um endomorfismo holomorfo sobre uma variedade complexa com-pacta preserva uma fibração meromorfa não trivial se, e somente se, possui infinitas hipersuperfícies totalmente invariantes. Nosso objetivo é apresentar uma adaptação desse teorema para endomorfismos polinomiais emCn_{e demonstrá-la.}

Antes da demonstração, apresentaremos alguns resultados importantes sobre endo-morfismos polinomiais e hipersuperfícies totalmente invariantes por esses endomorfis-mos. Faremos uso direto do Teorema dos Zeros de Hilbert para demonstrar algumas proposições fundamentais na prova da adaptação que fizemos.

Falaremos um pouco sobre formas logarítmicas apresentando um lema devido a Jouanolou.

Precisamente, o teorema de S. Cantat diz o seguinte.

Teorema 4.0.7 (Cantat) Seja M uma variedade complexa compacta, e f um endo-morfismo deM. Se existem k hipersuperfícies totalmente invariantesWi ⊂M; com

(_∗) k > dim(M) +dim(H1_{(M; Ω}1

M));

Então existe uma funçãomeromorfaΦe um número complexo não nuloαtal que Φ_◦f =αΦ.

H1_{(M; Ω}1

componentes irredutíveisWi. Mais sobre cohomologia de Cˇech pode ser visto em [12].

4.1 Hipersuperfícies Totalmente Invariantes

Definição 4.1.1 SejaV(f)uma hipersuperfície comf ∈C[z1, . . . , zn], dizemos queV

é totalmente invariante por um endomorfismo polinomialG:Cn_−→Cn_seG−1_{(V) =}

V.

Proposição 4.1.2 SejaV uma hipersuperfície totalmente invariante por um endomor-fismoG:Cn_−→Cn_{, entãoG(V) =V.}

Demonstração: Mostremos queG−1_{(V) = V ⇒ G(V) = V. Vamos mostrar que}

G(V) ⊂ V. De fato, sejab ∈ G(V), então existea ∈ V tal queG(a) = b. Como G−1_{(V) = V, temosG(a) ∈ V, ou seja, b ∈ V. O caso G(V) ⊃ V segue de forma}

análoga.

Definição 4.1.3 Uma aplicação contínuaf : M → N é ditaprópriaquando a ima-gem inversaf−1_{(K)de todo compactoK ⊂N é um conjunto compacto.}

Teorema 4.1.4 (Teorema da aplicação própria). Sejaf : U _⊂Cn

→ Cn_uma aplica-ção holomorfa e própria. SeV ⊂U é uma variedade algébria irredutível entãof(V) é uma variedade algébrica irredutível.

Demonstração: Ver [12] pag.34.

Seja V = V1 ∪. . .∪Vr uma hipersuperfície, com Vj irredutivel, para todo j = 1, . . . , r. Se Gé um endomorfismo polinomial, tal que G(V) = V. O lema abaixo

nos garantirá que parai, j = 1, . . . , rtemosG(Vi) =Vj. Isto é,Genvia componentes irredutíveis deV em componentes irredutíveis deV.

Lema 4.1.5 Toda aplicação polinomial homogênea é própria.

Demonstração: Mostremos primeiramente que dada a aplicação polinomial

p = (p1, ..., pn) :Cn → Cn,pi homogêneo de mesmo graud, existemm en tais que

nkzkd _{≤ kp(z)k ≤mkzk}d_{. Considere}

Note que z

kzk ∈S(0,1)esfera centrada na origem de raio 1. Daí, usando a

homogenei-dade depresulta

nkzkd _{≤ kp(z)k=kzk}d_kp( z

kzk)k ≤mkzk

d_.

Verifiquemos com isso quepé uma aplicação própria. SejaK um conjunto compacto,

e defina L = p−1_{(K). Suponha por absurdo queLnão é compacto. Temos que L é}

fechado, poispé contínua. Resta mostrar queLé limitado. Seja

z0 ∈Ltal quekz0k> supz∈K

d

q

kzk+1

m

,

comoz0 ∈p−1(K)temosp(z0)∈K. Ainda

supz∈K d

q

kzk+1

m

d

<kz0kd ⇒sup(kzk+ 1) <kz0kdm≤ |p(z0)|.

Absurdo, poisz0 ∈p−1(K).

ConsidereGum endomorfismo polinomial em Cn_{. SejamV ⊂ C}n _uma hipersu-perfície totalmente invariante e V1, ..., Vr suas componentes irredutíveis. Como V é uma hipersuperfície totalmente invariante, segue da proposição 4.1.2 que

G(V) = V.

Portanto,

G(V1∪...∪Vr) = V1∪...∪Vr.

Utilizando o teorema da aplicação própria temos queG(Vi) = Vj, parai, j ∈ {1, ..., r}. Proposição 4.1.6 SeV(f)é uma hipersuperfície irredutível totalmente invariante, en-tão

Demonstração: Por definição

I(V) =_{g _∈C[z1,· · · , zn] :g(z) = 0 ∀z ∈V}.

Dado p _∈ V, comoV é totalmente invariante (f _◦G)(p) = f(G(p)) = 0, ou seja, (f◦G)∈I(V). Pelo Teorema dos Zeros de Hilbert temos

(f ◦G)∈I(V) = √I =hfi.

Como(f◦G)∈I(V) = √I =hfisegue quef◦G=hf. Pelo fato deG−1_{(V) =V,}

teremos que hf se anula exatamente em V, e pela irredutibilidade de V segue que

existeλ_∈Ctal quef_◦G=λfk_.

Definição 4.1.7 Sejaf : N → M uma aplicação ehuma função emM. Opullback dehporf, denotado porf∗_{h, é a função compostah◦f.}

Proposição 4.1.8 Sejam f1, ..., fr ∈ C[z1, ..., zn] polinômios irredutíveis cujo

con-junto de zeros definem uma hipersuperfície totalmente invariante por um endomor-fismo polinomialG:Cn _−→Cn_.Então

G∗dfi fi

=ri

dfj

fj ,

onde j = k(i), k é uma permutação dos elementos _{1, ..., r_} e ri ∈ N para todo

i= 1, ..., r.

Demonstração: ComoG(Vi) =Vk(i), segue da proposição 4.1.6 que

fi◦G=λif_kri_(i), λi ∈C∗. Utilizando a propriedade do pullbackG∗_{d =dG}∗ _segue

Logo

d(fi◦G)

fi◦G

= d(λif ri

k(i))

λif_kr₍i_i)

= λirif ri−1

k(i) dfk(i)

λif_kr₍i_i)

= ridfk(i)

fk(i) ⇔

G∗dfi

fi =ri

dfk(i)

fk(i)

Considere o espaçoE =_hdfi/fi, i = 1, ..., riC.Pela proposição (4.1.8) temos

G∗ _{:E −→ E}

dfi

fi 7−→

ri

dfj

fj

.

Note que a matriz deG∗_{é uma matriz permutação e portanto diagonalizável.}

De fato, temos pela proposição 4.1.8

G∗dfj

fj =ri

dfi

fi .

Considere a permutaçãok :{1, ..., r} → {1, ..., r}comk(j) = i. SejaG∗ _{:E → E,}

onde E = hdfi/fi, i = 1, ..., ri, temos pelo lema de Jouanolou (4.1.9)dfi/fi linear-mente independentes, segue que

[G∗] = [Gij] =

  

ri, j =k(i);

0, j 6=k(i).

4.1.1 Sobre formas logarítmicas

Lema 4.1.9 (Jouanolou). Sejamf1, ..., frpolinômios irredutíveis. Então as 1-formas logarítmicasdfi/fi são linearmente independentes sobreC.

Demonstração: Sejama1, ..., ar ∈Cefi como no teorema tais que r

X

i=1

aj

dfi

fi

= 0. (4.1)

Defina para i = _{1, ..., r_}, Vi = {fi = 0}. Pelo Nullstellensatz de Hilbert, pode-mos escolherpj ∈Vj rS1≤i≤r,

i6=j

Vi.

Agora, seja Lj uma reta afim passando por pj não contida emVj eu : C → Cn uma parametrização de Lj com u(0) = pj. Coloque gi = fi ◦ u, para todo i =

{1, ..., r_}i₆= j, a função g′

i/gi é regular em 0 eg

′

j/gj tem um polo simples em 0 com

Res(g′

j/gj,0) = ρi, que é a multiplicidade de 0 como um zero degj. Por outro lado, segue de (4.1) que

a1

g′

1

g1

+...+ar

g′

r

gr = 0

Tomando resíduo em 0 na equação acima obtemos aiρi = 0, pois as g

′

i/gi são holomorfas e, comoρi 6= 0, temos queai = 0parai= 1, ..., r.

4.2 Adaptação do Teorema de Cantat para

Endomor-fismos polinomiais

Teorema 4.2.1 Sejaf um endomorfismo polinomial deCn_{. Se existemk} hipersuper-fícies totalmente invariantes com

k > n,

então existem uma função racional não constanteΦe um número complexo não nulo

αtal queΦ◦f =αΦ.

Este teorema significa que f preserva o pencil de hipersuperfícies induzido pela função racionalΦ. De fato, escrevaΦ = P/Qe considere o pencil de hipersuperfícies

induzido porΦdado porVλ ={P −λQ= 0}_λ∈C. Dadoz ∈Vλ, então Φ(z) = P(z)/Q(z) =λ.

ComoΦ◦f =αΦ, comα6= 0, temos que

(Φ◦f)(z) = (αΦ)(z) = αΦ(z)

= αP(z) Q(z)

= αλ.

Daí, concluimos queΦ(f(z))∈Vαλ. Isto mostra quef(Vλ)⊆Vαλ. Portanto, as fibras da função racionalΦsão preservadas porf.

Demonstração: Defina a 1-forma racional ηi = dfi/fi comi = 1, ..., k. Comof∗ é diagonalizável, temos

f∗ηi =µiηi, i= 1, ..., k, (4.2) ondeµi ∈C∗.

Sef possuik > nhipersuperfícies totalmente invariantes, entãoηisão linearmente dependentes sobre o corpo de funções racionais emCn_.

Suponha que o espaço vetorial E sobreC(z1, ..., zn), gerado por η1, ..., ηm tenha dimensão igual am. Temos então que

ηm+1 =

m

X

i=1

Riηi, Ri ∈C(z1, ..., zn). (4.3)

Pelo menos um dosRi′_s é não constante pois pelo lema de Jouanolou lema(4.1.9), as

1-formasηi′_ssão linearmente independentes sobreC.

Aplicandof∗ _{na equação (4.3) e usando (4.2) segue}

f∗_η

m+1 =

m

X

i=1

f∗_(R

iηi) = m

X

i=1

(Ri◦f).f∗ηi = m

X

i=1

(Ri◦f).µiηi. (4.4) Por outro lado

f∗ηm+1 =µm+1ηm+1. (4.5)

Note queµm+1 6= 0. Caso contrário, teríamos

0 =µm+1ηm+1 =f∗η1 =

m

X

i=1

(Ri ◦f).µiηi. (4.6) Isto contraria o fato deη1, . . . , ηmserem linearmente independentes sobreC(z1, . . . , zn),

pois pelo menos um dosRi é não constante. Daí,

µm+1ηm+1 =

m

X

i=1

(Ri◦f).µiηi. (4.7) Comoµm+1 6= 0, segue, usando as equações (4.4) e (4.5)

ηm+1 =

m

X

i=1

µi

µm+1

(Ri◦f)ηi. (4.8) Subtraindo (4.3) de (4.8), temos

Pm i=1

h

µi

µm+1

(Ri◦f)−Ri

i

ηi = 0.

µi

µm+1(Ri◦f) =Ri.

Obtendo assim o resultado esperado pois pelo menos uma das funções racionaisRi é

não constante.

Exemplo 4.2.2 Considere o endomorfismo

g :C3 _{−→ C}3

(x, y, z) 7−→ (x2_{, y}2_{, z}2_).

Observe que os eixos coordenados _{x = 0_}, _{y = 0_}e _{z = 0_}são totalmente invariantes porg. De fato, considereW ={x= 0}, observe que

g−1_{(W) = {x∈C}3 _{: g(x)∈W}.}

Daí, dadop∈g−1_{(W), temos}

g(p)∈W ⇒g(p) = (0, y, z)⇒p= (0, y1, z1), ondey12 =yez12 =z.

Portanto,g−1_(W)⊂W.

Seja q = (0, y2, z2) ∈ W, temos então g(q) = (0, y22, z22), ou seja, g(q) ∈ W.

Daí, por definiçãoq _∈ g−1_{W. Concluindo assim queW ⊂ g}−1_{(W). Portanto temos}

g−1_{(W) =W.}

Para os eixos_{y = 0}e_{z = 0}o raciocínio é análogo.

Capítulo 5

Integrabilidade de Darboux para

campos

Neste capítulo estudamos o teorema de integrabilidade de Darboux. Estudamos as condições para a existência de uma integral primeira racional para um dado campo de vetores polinomiais. A demonstração que apresentaremos do teorema de Darboux foi feita por M. Corrêa Jr em [9]. J. Llibre e Zhang em [20] mostraram esse resultado usando técnicas diferentes.

Após essa discussão, veremos a definição e alguns resultados sobre Curva extac-tica, conceito este introduzido por J. V. Pereira, C. Christopher e J. Llibre em [22]. Apresentaremos um exemplo de duas cotas, optimais, sobre o número de hipersuper-fícies invariantes por um campo polinomial. Essas cotas estão em função dos graus da folheação e das curvas. Utilizamos para isso as referências [8] e [22].

O resultado principal desse capítulo segue abaixo:

Teorema 5.0.3 SejaXum campo de vetores polinomiais emRn _ouCn _{de graud. Se}

X admite

d+n₋1

n

+n

hipersuperfícies algébricas irredutíveis invariantes, entãoX admite uma integral pri-meira racional.

5.1 Campos de vetores polinomiais e Integrais

primei-ras racionais

Um campo de vetores polinomiais emCn_{de graudé da forma} n X i=1 Pi ∂ ∂zi

ondePi ∈C[z]ed= max{deg(Pi),i= 1, ..., n}. Escreveremos por simplicidadeC[z] ao invés deC[z1, . . . zn].

Definição 5.1.1 Seja V(f) uma hipersuperfície algébrica em Cn e X um campo de vetores polinomiais. Dizemos queV é invariante porXsedf(X)|V ≡0.

A invariância deV porXsignifica queX(p)⊂TpVreg, ondeVreg =V \Sing(V)é a parte regular deV.

Proposição 5.1.2 SejaV = {f = 0}uma hipersuperfície emCn _{e X um campo de} vetores polinomiais invariantes de graud. Então,V é invariante porXse, e somente se, existe um polinômiohf ∈C[z], de graud−1tal queX(f) = hff.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência do teorema dos zeros de Hilbert. Com efeito, sejaX =

n X i=1 Pi ∂ ∂zi

um campo de vetores polinomiais, ondePi ∈ C[z]. Temos então que

df(X) = X(f) = n X i=1 Pi ∂f ∂zi . (5.1)

Suponha queV é invariante porX. Assim

0 = df(X)|V = n X i=1 Pi ∂f ∂zi !

V. (5.2)

n

X

i=1

Pi

∂f ∂zi ∈ h

fi. (5.3)

Logo,

X(f) =hf ·f. Observe que se o grau def igual amentão

d+ (m₋1) = grau(X(f)) = grau(hf ·f)

= grau(hf) +grau(f) = grau(hf) +m.

Segue quegrau(hf) = (d−1).

Definição 5.1.3 Seja R = P/Q _∈ C(z1, ..., zn) uma função racional. Considere o

pencil de hipersuperfícies induzido porRdado por_{P −λQ = 0}λ∈C. Dizemos que

R é uma integral primeira racional paraX seVλ = {P −λQ = 0}é invariante por

X para todoλ_∈C.

Corolário 5.1.4 SejaRuma função racional. EntãoRé uma integral primeira deX

se, e somente se,X(R)_≡0.

S

T = X(R)

= X(R−λ)

= X

P Q−λ

= X

P −λQ Q

= QX(P −λQ)−(P −λQ)X(Q)

Q2

= (P −λQ)hλQ−X(Q)(P −λQ)

Q2

= (P −λQ)

Qhλ−X(Q)

Q2

. ∀λ∈C.

Logo, teremosS =T·(P−λQ)Qhλ−X(Q)

Q2

, para todoλ∈C. Como existem infinitos

λ’s, temos queSé o polinômio identicamente nulo. Segue então queX(R)_≡0.

Reciprocamente seX(R)_≡0temos

X(R)≡0 ⇒ X(R−λ) = 0

⇒ X

P Q −λ

= 0

⇒ X

P ₋λQ Q

= 0

⇒ QX(P −λQ)−(P −λQ)X(Q)

Q2 = 0

⇒ X(P ₋λQ) = (P ₋λQ)X(Q)

Q .

Logo, pela proposição 5.1.2Vλ é invariante porX, para todoλ∈C. Proposição 5.1.5 SejaX =

n X i=1 Pi ∂ ∂zi

e considere an-formaη1∧...∧ηn. Então

iX(η1∧...∧ηn) =

n

X

i=1

(₋1)i−1_P

Ondeηˆi significa a omissão do termoηi.

Demonstração: Faremos essa demonstração por indução. Sejam o campo X =

P1η1 +P2η2 e a 2-formaη1 ∧η2. Segue então pelas propriedades de produto interior

que

iX(η1∧η2) = (iX(η1))∧η2+ (−1)η1∧(iX(η2)) =P1η2−P2η1.

Suponha que o resultado seja válido paraX = k−1

X

i=1

Pi

∂ ∂zi

e para a(k−1)-forma

η1∧η2 ∧...∧ηk−1, comk ∈N, ou seja,

iX(η1∧...∧ηk−1) =

k−1

X

i=1

(−1)i−1Piη1∧...∧ηˆi∧...∧ηk−1.

Então, parak

iX(η1∧...∧ηk) = (iX(η1))∧(η2∧...∧ηk) + (−1)η1∧(iX(η2 ∧...∧ηk))

= (iX(η1))∧(η2∧...∧ηk) +η1∧

k

X

i=2

(−1)iPiη2∧...∧ηˆi∧...∧ηk

!

= P1η2∧...∧ηk+ (−1)η1∧

k−1

X

i=1

(−1)i−1Piη2∧...∧ηˆi∧...∧ηk

!

= k

X

i=1

(−1)i−1Piη1∧...∧ηˆi∧...∧ηk.

Portanto, pelo princípio de indução segue o resultado. Lema 5.1.6 Seja X um campo de vetores polinomiais em Cn e η1, ..., ηn 1-formas racionais tais que ηi(X) = 0 _∀i = 1, ..., n. Então η1, ..., ηn são C(z)-linearmente dependentes.

η1∧...∧ηn =Rdz1∧...∧dzn.

De fato, ηi =

X

Rijdzj, ondeRij ∈ C(z). Fazendo o produto exterior deη1, ..., ηn,

temos

η1∧...∧ηn=Rdz1∧...∧dzn, ondeR =det[Rij]. Contraindoη1∧...∧ηnna direção deX =

n

X

i=1

Pi

∂ ∂zi

resulta

iX(η1∧...∧ηn) =iX(η1)∧(ηb1∧η2∧...∧ηn)

| {z }

0

+(−1)1η1∧iX((ηb1∧η2∧...∧ηn))

| {z }

(∗)

.

Observe que (*) será igual a zero. Basta usar indução de forma semelhante ao que foi feito na proposição (5.1.5).

Utilizando a linearidade da contração,

(iXRdz1∧...∧dzn) = RiX(dz1∧...∧dzn).

Daí

RiX(dz1∧...∧dzn) = 0∀i= 1, ..., n.

ComoR ₆= 0e utilizando a proposição 5.1.5 , temos (dz1∧...∧dzn)(X) = 0 ⇔

n

X

i=1⇒

(₋1)i−1_P

idz1∧...∧dzci∧...∧dzn= 0. Isto significa, que

P1 =...=Pn = 0.

5.2 Prova do Teorema 5.0.3

Relembrando o teorema:

Teorema 5.0.3: SejaX um campo de vetores polinomiais emRn_ouCn_{de graud. Se}

X admite

d−1 +n n

+n

hipersuperfícies algébricas irredutíveis invariantes, entãoX admite uma integral pri-meira racional.

Demonstração: Denote porCd−1[z]o espaço vetorial dos polinômios de graud−1.

A dimensão deCd−1[z]é dada por

dimCCd−1[z] =N :=

d−1 +n n

.

Sejamf1, ..., fN+nequações definindo hipersuperfícies irredutíveis invariantes porX. Segue da proposição 5.1.2 que

dfj

fj

(X) =hfj ∈Cd−1[z], j = 1, ..., N +m.

ComoN =dimC(Cd−1[z])seguem as seguintes relações

N+i

X

j=i

λijhfj = 0, i= 1, ..., n, (5.4)

onde λij ∈ C. Além disso, podemos supor que λii 6= 0. Definamos as 1-formas racionais

ηi = N+i

X

j=i

λij

dfj

fj