CRITERIA OF THE FORMATION OF THE MOST CONVENIENT LOAD-BEARING STRUCTURE IN THE BASIC LOAD STATE: TENSION AND BENDING

Marek FLIGIEL1

KRYTERIA KSZTAŁTOWAN

IA NAJWYGODNIEJSZEJ

KONSTRUKCJI NO NEJ W

PODSTAWOWYM STANIE

OBCI ŻENIA ROZCI GAN

IA I ZGINANIA

Streszczenie. W artykule rozpatruje się kryteria optymalnego kształtowania najwygodniejszej konstrukcji no nej dla przypadku prostego rozci gania i zginania. Jako wielko ci kryterialne przyjmuje się minimaln warto ć potencjalnej energii deformacji i możliwie równ względn objęto ciow warto ć potencjalnej energii deformacji w całej objęto ci elementu konstrukcyjnego oraz długo ć działania sił wewnętrznych konstrukcji no nej. Jako kryterium ilo ciowe długo ci działania sił wewnętrznych konstrukcji no nej przyjętocałkę z funkcji bezwzględnych naprężeń okre lon dla stałej objęto ci konstrukcji.

Słowa kluczowe: wielko ci kryterialne, najwygodniejsza konstrukcja no na, długo ć działania sił

CRITERIA OF THE FORMATION OF THE MOST CONVENIENT

LOAD-BEARING STRUCTURE IN THE BASIC LOAD STATE: TENSION

AND BENDING

Summary. In this study, the criteria of an optimal formation of the most convenient load-bearing structure for the case of simple tension and bending are considered. As the criteria quantities, the following are accepted: the minimum value of the potential energy of deformation and a possibly equal relative volumetric value of the potential energy of deformation in the entire volume of a structural element and the activity duration of the internal forces of the load-bearing structure. The integral of the function of absolute stresses, which is determined for the constant volume of the structure, was accepted as a quantitative criterion of the activity duration of the internal forces of the load-bearing structure.

Keywords: criteria quantities, the most convenient load-bearing structure, duration of the activity of forces

1. WPROWADZENIE

Jednym z kryteriów okre laj cych jako ć konstrukcji jest jej materiałochłonno ć i sztywno ć. Ma to szczególne znaczenie w konstrukcjach, w których relacja masasztywno ć ma zasadniczy wpływ na wytrzymało ć i dynamikę konstrukcji, np. w robototechnice,

1

w konstrukcjach lataj cych, w układach drgaj cych itp. Najwygodniejsz konstrukcj no n jest najbardziej sztywna konstrukcja wykonana z zadanej ilo ci materiału o okre lonych własno ciach funkcjonalnych oraz przekazuj ca obci żenia zewnętrzne czynne i bierne po możliwie krótkich wewnętrznych drogach ich płynięcia [1-3]. Pojęcie najwygodniejszej konstrukcji no nej odnosi się zarówno do pojedynczego elementu konstrukcyjnego, jak i do całej złożonej konstrukcji no nej.

W pracy rozpatruje się kryteria optymalnego kształtowania najwygodniejszej konstrukcji no nej dla przypadków obci żeń statycznych w zakresie stosowalno ci prawa Hooke’a dla rozci gania i zginania. Jako kryterium największej sztywno ci przyjęto minimaln warto ć potencjalnej energii deformacji i możliwie równ względn objęto ciow warto ć potencjalnej energii deformacji w całej objęto ci elementu konstrukcyjnego [4]. Następnym kryterium jest długo ć działania sił wewnętrznych konstrukcji no nej. Długo ć działania sił wewnętrznych konstrukcji no nej Q jest rozumiana jako płynięcie sił wewnętrznych po możliwie krótkich wewnętrznych drogach. Jako kryterium ilo ciowe długo ci działania sił wewnętrznych konstrukcji no nej przyjmiemy całkę z funkcji bezwzględnych naprężeń p, okre lon dla objęto ci V0=const całej konstrukcji [2]Ś

min

= =

∫

0 V

dV p

Q ₍₁₎

Jeżeli stan naprężeń wewnętrznych jest stanem złożonym, to całka (1) przyjmie postaćŚ

min

= =

∫

0 V

dV

σ

Q _{red (2)}

gdzie: red jest naprężeniem zredukowanym wyznaczonym na podstawie jednej z hipotez wytężeniowych.

2. NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ROZCI GANIU LUB CISKANIU

2.1. Pręt o stałym przekroju poprzecznym

Rozpatrzmy jednowymiarowy element konstrukcyjny pokazany na rysunku 1, jakim jest pręt o długo ci l1=l=const, polu przekroju Ax=A1=const, objęto ci V01=A1l1=const, rozci gany statyczn sił F=const.

Rys. 1. Długo ć działania sił wewnętrznych Q1, całkowita energia odkształcenia sprężystego U1,

energia względna w jednostce objęto ci u1

Fig. 1. Duration of the activity of internal forces Q1, total energy of elastic deformation U1, relative energy in volume unit u1

F F

dx x

l1=l

Ax Q1=Fl=const A E 2

l F U

2 1=

2 2 1

A E 2

Długo ć działania sił wewnętrznych Q1dla siły Nx=F jest okre lona na podstawie całki (1)Ś

dx A A N dV σ

Q ₁

l

0 1

x x

1

0 V

∫

∫

=

= ₍₃₎

sk d po scałkowaniu otrzymamyŚ

l F

Q1== (4)

Całkowita energia odkształcenia sprężystego U1i względna u1 w jednostce objęto ci pręta odpowiednio wynosi:

1 2

1 _2EA

l F

U = , ₂

1 2

1

A E 2

F

u = . (5)

Załóżmy, że pręt jest wykonany z materiału o module Younga E i jest rozci gany sił F=10 [kN] oraz ma przekrój prostok tny o wymiarachŚ szeroko ć b1=0,06 [m], wysoko ć h1=0,12 [m], długo ć l1=1,2 [m].

Dla powyższych danych mamyŚ - objęto ćŚ V01=8,6410-3 [m3],

- długo ć działania siłŚ Q1=12 000 [Nm],

- całkowit energię odkształcenia sprężystegoŚ U1=8,3103/E [MJ], - energię względn w jednostce objęto ci: u1=964,5103/E [MJ/m3], - wydłużenie sprężyste: l1=1,(6)106/E [m],

- naprężenia normalne: 1=1,39 [MPa].

Z zależno ci (4) i (5) wynika, że względna energia u1w całej objęto ci jest równomiernie rozłożona oraz długo ć działania sił wewnętrznych Q1jest funkcj iloczynu siły rozci gaj cej ( ciskaj cej) i długo ci pręta. Pręt rozci gany ( ciskany) o stałym przekroju poprzecznym jest elementem konstrukcyjnym najbardziej sztywnym o równomiernie rozłożonej względnej objęto ciowo potencjalnej energii deformacji.

2.2. Pręt o zmiennym liniowo przekroju

bw

bz

y Hx

y

z

y

x

l2=l

dx

H1 H

2

x

y

Hx

F F

Rys. 2. Pręt rozci gany o liniowo zmiennej wysoko ci przekroju poprzecznego

Fig. 2. Bar being stretched with a linearly changeable height of the cross section

Infinitezymalna objęto ć pręta jest równa dV=Axdx. Z geometrii przekroju pręta o współrzędnej x wynika, że pole przekroju poprzecznego jest okre lone zależno ci Ś

l y l ) b -(b -b ] l H x ) H -H [( 2

A_x= 2 1 + 1 z z w (6)

sk dŚ dx l y l ) b -(b -b ] l H x ) H -H [( 2 V

d = 2 1 + 1 z z w (7)

Naprężenia normalne w przekroju o współrzędnej x wynosz Ś

} y l ) b -(b -b ] l H x ) H -H {[( 2 l F σ w z z 1 1 2

x = ₊ (8)

a długo ć działania sił wewnętrznychjest równaŚ

l F dx } y l ) b -(b -b ] l H x ) H -H {[( l 2 } y l ) b -(b -b ] l H x ) H -H {[( l F 2 dV σ Q l

0 2 1 1 z z w

w z z 1 1 2 x 2 0 V = + + =

=

∫

∫

₍₉₎

Dla danej siły rozci gaj cej ( ciskaj cej) F długo ć działania sił wewnętrznych Q2 nie zależy od pola przekroju poprzecznego Ax i funkcji wysoko ci y(x), tj. od wysoko ci prostok tnego przekroju poprzecznego pręta, zależy natomiast od długo ci pręta.

W celu uproszczenia przekształceń do dalszej analizy załóżmy, że pręt jest rozci gany tak sam sił F=10 [kN], ma tak sam długo ć l2=l=1,2 [m] i objęto ć V0=V01=V02=8,6410-3 [m3] oraz jest wykonany z tego samego materiału co w poprzednim przykładzie. Pozostałe wymiary s następuj ceŚ szeroko ć bz=0,08 [m], bw=0,04 [m] wysoko ć H1=0,08 [m] i H2=0,16 [m]. Podstawiaj c powyższe dane, dostaniemy:

0,096y -x 0128 , 0 01536 , 0 12000 σx +

= [Pa] (10)

dx 0,08y) -x ) 6 ( 010 , 0 128 , 0 ( dx 2 , 1 0,096y -x 0128 , 0 01536 , 0 V

d = + = + (11)

Potencjalna energia deformacji U2 i względna u2w jednostce objęto ci zawarta w pręcie jest odpowiednio równaŚ

dx 0,096y) -x 0128 , 0 01536 , 0 ( 10 144 E 2 1 dV σ E 2 1 U 2 , 1 0 6 V 2 x 2 0

∫

∫

= ₊

= [J] (12)

2 6

2 x 2

0,096y)

-x 0128 , 0 01536 , 0 (

10 144 E

2 1 E 2

σ u

+ =

= [J/m3] (13)

Z zależno ci (12) wynika, że rozkład potencjalnej energii deformacji w objęto ci jest funkcj wysoko ci y(x). Ponieważ długo ć działania sił wewnętrznych Q2 nie zależy od y=y(x), więc do znalezienia funkcji y=y(x) daj cej ekstremum energii odkształcenia sprężystego z ograniczeniem równo ciowym na objęto ć pręta V0=V01=V02=8,6410-3 [m3] wykorzystamy funkcjonał Lagrange’a. Ograniczenie zapiszemy w postaci równo ciowej, sk d otrzymamy funkcjęŚ

0 V -dx 0,08y) -x ) 6 ( 010 , 0 0128 , 0 ( (x)

Φ 0

2 , 1

0

= +

=

∫

(14)

Zakładaj c funkcjonał Lagrange’a dla wyznaczenia ekstremum warunkowego potencjalnej energii deformacji z ograniczeniem (14), dostaniemy:

0 2

, 1

0 2

, 1

0

6

V -dx 0,08y] -x ) 6 ( 010 , 0 0128 , 0 [ λ dx 0,096y)

-x 0128 , 0 01536 , 0 (

10 120 E

2 1

L

∫

+

∫

+

+

= (15)

Z ekstremum warunkowego funkcjonału (15) mamyŚ

0 10 64 , 8 -0,096y -x 0128 , 0 01536 , 0 λ

L _-3

= +

=

∂ ∂

(16) sk d po przekształceniach otrzymamy funkcjęŚ

x ) 3 ( 13 , 0 07 , 0 ) x ( y

y= = + (17)

Dla powyższych danych i funkcji (17) mamyŚ - objęto ćŚ V02=8,6410-3 [m3],

- długo ć działania siłŚ Q2=12000 [Nm],

- całkowit energię odkształcenia sprężystegoŚ U2=8,3103/E [MJ], - energię względn w jednostce objęto ci: u2=964,5103 [MJ/m3], - wydłużenie sprężyste: l2=1,(6)106/E [m],

- naprężenia normalne: 2=1,39 [MPa].

Z powyższych obliczeń wynika, że warto ci kryterialne najwygodniejszej konstrukcji dla przekroju prostok tnego liniowo zmiennego s takie same jak dla pręta o stałym przekroju.

2.3. Pręt o nieliniowo ci geometrycznej przekroju

Jako następny przykład przyjmiemy pręt jak na rysunku 2, o zmiennej parabolicznie wysoko ci y=0,07+ax2_{. Dla objęto ci pręta V}

3=V0=8,6410-3 [m3] współczynnik kierunkowy a=0,16(6), sk d funkcja y=0,07+0,16(6) x2.

Dla danych i funkcji y=0,07+0,16(6) x2 mamy: - objęto ćŚ V0=8,6410-3 [m3],

Rys. 3. Pręt o nieliniowo ci geometrycznejŚ a) zmiana naprężeń wzdłuż pręta, b) zmiana względnej

objęto ciowej potencjalnej energii deformacjiwzdłuż pręta

Fig. 3. Bar with geometrical non-linearity: a) change of stresses along the bar, b) change of relative volumetric potential energy of deformation along the bar

Całkowit energię odkształcenia sprężystego wyznaczamy z zależno ciŚ

dx ) 0,016x -x 0128 , 0 10 64 , 8

12000 (

E 2

1 dV

σ

E 2

1

U 2

2 , 1

0

2 3

-V

2 x 3

0

∫

∫

= ₊

= [J] (18)

Po podstawieniu danych do (18) i scałkowaniu całkowita energia odkształcenia sprężystego wynosi U3=1,7106/E [MJ] i jest większa od energii prętów rozpatrywanych w rozdziałach 2.1 i 2.2.

Naprężenia x i jednostkowa potencjalna energia deformacji uxs okre lone zależno ciamiŚ

2 3

-x

0,016x -x 0128 , 0 10 64 , 8

12000 σ

+

= [Pa] ₍₁₉₎

2 2 3

-6 2

x x

) 0,016x -x 0128 , 0 10 64 , 8 (

10 144 E

2 1 E 2

σ

u

+ =

= [J/m3] (20)

Na wykresach rysunku 3a i 3b pokazano zmianę naprężeń x(x) wzdłuż pręta i względnej objęto ciowej potencjalnej energii deformacji ux(x). Rozkład względnej objęto ciowej potencjalnej energii deformacji w pręcie o nieliniowym przekroju poprzecznym nie jest stały, zmienia się wzdłuż długo ci pręta. Pręt nie spełnia kryterium równej względnej potencjalnej energii deformacji w objęto ci, a więc nie spełnia jednego z kryteriów najwygodniejszej konstrukcji no nej.

Wydłużenie bezwzględne wynosiŚ

dx 0,016x -x 0128 , 0 10 64 , 8

12000 E

1 l Δ

2 , 1

0

2 3

-3

∫

+

= [Pa] (21)

Po podstawieniu danych i scałkowaniu otrzymamy l3=4,17106/E [m]. Wydłużenie całkowite również jest większe od wydłużenia prętów rozpatrywanych w rozdziałach 2.1 i 2.2.

3. NAJWYGODNIEJSZA KONSTRUKCJA PRZY ZGINANIU

3.1. Belka o niezmiennym przekroju prostok tnym zginana stałym momentem

Rozpatrzmy element konstrukcyjny pokazany na rysunku 4, jakim jest belka o przekroju prostok tnym, długo ci l1=l=const, polu przekroju Ax=A1=b1h1, objęto ci V0=V01=A1l1= b1h1l=const, zginana stałym momentem M=const.

Rys. 4. Belka o niezmiennym prostok tnym przekroju zginana stałym momentem

Fig. 4. Beam with an invariable rectangular cross section of bending with constant moment

Dla przekroju prostok tnegoi momentu gn cego Mg=M pokazanego na rysunku 4 długo ć działania sił wewnętrznych Q1 jest okre lona na podstawie całki (1)Ś

dV J

y M 2 dV

σ

Q

V z

g x

1

0 V

∫

∫

=

= . ₍₂₂₎

Dwójka przed znakiem całki wynika ze znaków naprężeń, górne linie sił s ciskane, dolne rozci gane. Całka (22) dla takiego rozkładu naprężeń i symetrii przekroju względem głównych centralnych osi bezwładno ci jest równa zeru, st d obliczenia po warto ci bezwzględnej dla jednej strony ciskanego lub rozci ganego przekroju.

Dla górnej i dolnej warstwy linii sił infinitezymalna objęto ć pręta jest równa dV=dAxdx=b1dydx, a moment bezwładno ci przekroju Jz=b1h13/12, st dŚ

∫ ∫

= 2 h

0 l

0 3

1 1

1 1

dx dy y h

M 24

Q (23)

0 1

1 1 1

V l b M 3 h

l M 3

Q = = (24)

Na podstawie (24) możemy stwierdzić, że długo ć działania sił wewnętrznych Q1 dla momentu gn cego Mg=M=const zależy od wysoko ci h1 przekroju prostok tnego i długo ci belki l lub, przy spełnieniu warunku V1=V0=b1h1l=const, od szeroko ci b1i długo ci belki l.

Względna objęto ciowa energia odkształceniasprężystego jest równaŚ

4 1 2 0

2 2 2

6 1 2 1

2 2 2

x 1

h V E

y l M 77 h b E

y M 77 E 2

σ

u = = = (25)

Na warto ć energii u1 w największym stopniu wpływa wysoko ć przekroju. Akumulacja jednostkowej objęto ciowej energii wzdłuż wysoko ci jest funkcj hiperboliczn . Również dla stałej objęto ci V0 i dla y=const akumulacja jednostkowej energii najbardziej się zmienia wraz ze zmian wysoko ci przekroju.

M M

dx x

l1=l b1

h1

x

y _y

z

y

dy

dy

y

Całkowit energię odkształcenia sprężystego wyznaczamy z zależno ciŚ

2 1 0

2 2

3 1 1

2 l

0 2 g z 1

h V E

l M 6 h b E

l M 6 dx M J E 2

1

U =

∫

= = (26)

Warto ć energii U1zmienia się hiperbolicznie wraz ze wzrostem wysoko ć przekroju. rednia warto ć względnej objęto ciowej potencjalnej energii deformacji jest równaŚ

2 1 2 0

2 2

sr

h V E

l M 6

U = (27)

i zmienia się również według hiperboli drugiego stopnia.

Zależno ć, dla V0=const, między całkowit potencjaln energi deformacji U1i długo ci działania sił Q1jest następuj c Ś

0 1

1 2

1 _V

Q h E

l M 2

U = (28)

a pomiędzy Q1 i U1:

2 1 0 1 1

l M 2

h E V U

Q = . ₍₂₉₎

Z zależno ci (29) wynika, że wraz ze zwiększaniem się długo ci l pręta długo ć działania sił Q1maleje przy pozostałych niezmiennych wielko ciach, natomiast zmniejszaj c wysoko ć h1, również możemy osi gn ć zmniejszenie warto ci Q1. Dla energii odkształcenia sprężystego U1, opisanej zależno ci (28), powyższe zmiany powoduj wzrost warto ci energii. Przy konstruowaniu belki o stałej objęto ci V0 bardziej celowe jest jej wydłużenie niż zmniejszanie wysoko ci, ponieważ przyrosty całkowitej energii odkształcenia sprężystego U1 i długo ć działania sił Q1 będ szybciej się zmieniać, a tym samym taka belka klasyfikowana według kryteriów podanych w rozdziale 1 będzie zawsze wygodniejsz konstrukcj . Zmiana wysoko ci belki ma odwrotny wpływ na energię U1. Powyższe zmiany h1 i l prowadz do przeciwstawnych zmian kryteriów najwygodniejszej konstrukcji.

W celu uproszczenia przekształceń przyjmiemy następuj ce daneŚ b1=0,08 [m], h1=0,09 [m], l=1,2 [m], V0=8,6410-3 [m3].

Dla powyższych danych mamyŚ

- z zależno ci (24), długo ć działania sił wewnętrznychŚ Q1=40 M [Nm], - z zależno ci (26), potencjaln energia deformacji: U1=123,457M2/E [kJ],

- z zależno ci (25), względn objęto ciow energi deformacji: u1=226,4102M2y2/E [MJ/m3]. 3.2. Belka o zmiennym przekroju prostok tnym zginana stałym momentem

W procesie konstruowania w większo ci przypadków długo ć belki wynika z własno ci funkcjonalnych konstrukcji, dlatego jako zmienn można przyj ć wysoko ć belki lub jej szeroko ć. Jako zmienn przyjmiemy wysoko ć belki.

b2

y hx

y

z

y

x

l2=l

dx

H 1 H

2 (l) x y hx dy dy M M

Rys. 5. Belka o zmiennym przekroju prostok tnym zginana stałym momentem

Fig. 5. Beam with a variable rectangular cross section of bending with constant moment

Dla przekroju prostok tnego o zmiennej wysoko ci hx i momentu gn cego Mg=M=const pokazanego na rysunku 5 długo ć działania sił wewnętrznych Q2wyznaczymy z zależno ci:

dV ) h 2 ( y b M 24 dV J y M 2 dV σ Q V 3 x 2 V z g x 2 0 V

∫

∫

∫

= = = ₍₃₀₎

sk d po wstawieniu infinitezymalnych wielko ci otrzymamyŚ

∫∫

= l 0 h 0 3 x 2 dy h y dx M 3 Q x (31) Dla danego przekroju o współrzędnej x wysoko ć hx jest stała i równa hx=H1+ax. Współczynnik kierunkowy a funkcji połowy wysoko ci całkowitego przekroju jest współczynnikiem poszukiwanym, przy którym warto ć długo ci działania sił wewnętrznych Q2 i potencjalna energia deformacji U2 przy stałej objęto ci V0 będ ekstremalne. Wstawiaj c hx=H1+ax do całki (31), otrzymamy:

∫ ∫

+ = l 0 x a H 0 3 x 2 dy h y dx M 3 Q 1 (32) Po scałkowaniu i przekształceniach otrzymamy zależno ć na okre lenie długo ci działania sił wewnętrznychŚ 1 1 2 _H al H ln a 2 M 3

Q = + (33)

Potencjaln energię deformacji wyznaczymy z całkiŚ

∫

∫

= = l 0 3 x 2 2 l 0 z 2 2 dx ) h 2 ( b 1 E M 6 dx ) x ( J 1 E 2 M U (34)

Po podstawieniu hxi scałkowaniu wyrażenia (34) dostaniemy zależno ćŚ

] ) al H ( 1 -H 1 [ b E 8 a M 3 U ₂ 1 1 2 2 2 + = (35)

Względna objęto ciowa potencjalna energia deformacji jest okre lona zależno ci Ś

6 1 2 2 2 2 2 x 1 ) x a H ( b E 8 y M 9 E 2 σ u + = = (36)

gdzie naprężenia w dowolnym przekroju s równe 3 1 2 x ) x a H ( b 2 y M 3 σ + = .

Objęto ć jest równaŚ

) 2 l a l H ( b 2 dy dx b 2 V 2 1 2 l 0 x a H 0 2 2 1 + = =

∫ ∫

+ (37) W celu okre lenia warto ci współczynnika a i uproszczenia przekształceń do dalszej analizy załóżmy następuj ce daneŚ objęto ć V0=V02=8,6410-3 [m3]=const, szeroko ć b2=0,08 [m], wysoko ć H1=0,08 [m] i l=1,2 [m]. Podstawiaj c powyższe dane na podstawie (33-37), dostaniemy: ) a 5 , 1 1 ln( a 2 M 3

Q₂ = + (38)

] ) a 2 , 1 08 , 0 ( 1 -25 , 156 [ E a M 6875 , 4 U ₂ 2 2 + = (39) E ) x a 08 , 0 ( y M 78 , 175 u ₆ 2 2 1 + = (40) a 72 , 0 01536 , 0

V2= + . (41)

Funkcja równo ciowa ograniczenia na objęto ć V0=const jest równaŚ

a 72 , 0 10 72 , 6 V -V ) x (

Φ -3

0

2 = +

= (42)

Zestawiaj c funkcjonał Lagrange’a, otrzymamy:

) a 72 , 0 10 72 , 6 ( λ ] ) a 2 , 1 08 , 0 ( 1 -25 , 156 [ E a M 6875 , 4 ) a 5 , 1 1 ln( a 2 M 3

L ₂ -3

2 + + + + + = (43)

i okre laj c ekstremum warunkowe, z zależno ci 6,7210 0,72a 0 λ

L _-3

= + = ∂ ∂ wyznaczymy poszukiwany współczynnik kierunkowy a, który jest równy a=-0,05833. Ujemny współczynnik a oznacza, że belka zwęża się w kierunku dodatniej osi x.

Na podstawie współczynnika a=-0,05833 odpowiednio wyznaczamy:

- z zależno ci (38), długo ć działania sił wewnętrznychŚ Q2=53,47 M [Nm], - z zależno ci (39), potencjaln energię deformacji: U2=2691,65M2/E [J], - z zależno ci (40), względn objęto ciow energię deformacji u1 dla:

· x=0, u1(0)=670,5M2y2/E [MJ/m3],

· x=1,2, u1(1,2)=175,3106M2y2/E [MJ/m3];

- z zależno ci (24), długo ć działania sił wewnętrznychŚQ1=40 M [Nm], - z zależno ci (26), potencjaln energię deformacji: U1=123,457M2/E [kJ],

4. WNIOSKI

Na podstawie przeprowadzonych analiz prostego rozci gania i zginania prętów prostych można stwierdzić, żeŚ

1. dla rozci ganego ( ciskanego) pręta o dowolnym przekroju prostok tnym warto ć kryterialna najmniejszej długo ci działania sił jest stała,

2. element rozci gany ( ciskany) o stałym przekroju spełnia dwa kryteria najwygodniejszej konstrukcji,

3. pręt rozci gany o nieliniowo ci geometrycznej spełnia kryterium najmniejszej długo ci działania sił, ale nie spełnia kryterium największej sztywno ci i nie jest elementem ze względów konstrukcyjnych najwygodniejszym,

4. dla zginania prostego belki o stałym przekroju warto ci kryterialne s minimalne, a więc taki element ze względów konstrukcyjnych jest najwygodniejszy,

5. zginane belki o zmiennym liniowo przekroju nie spełniaj kryteriów najwygodniejszej konstrukcji no nej.

Bibliografia

1. Fligiel M.Ś Optymalne kształtowanie struktury elementów konstrukcyjnych typu tarcza. Acta Mechanica et Automatica, vol. 3, No. 2, 2009, s. 22-24.

2. Fligiel M.: Formation of the most optimal supporting construction in a two-dimensional state of load. International Journal of Applied Mechanics and Engineering, vol. 17, No. 3, 2012, University Press, Zielona Góra, Poland, p. 799-810.

3. Bendsøe M.P.: Optimal Material Distribution – Optimal shape design as a material distribution problem – Struct. Optimization 1, 1989, p. 193-202.