UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
PAULO FARIAS BRAGA
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica na Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica.
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Orientador: Prof. Dr. Adaildo Gomes D’Assunção
DESENVOLVIMENTO DE ANTENAS DE MICROFITA COM
ABERTURAS NOS PATCHES CONDUTORES ATRAVÉS
DO MÉTODO DA SEGMENTAÇÃO
Paulo Farias Braga
Dissertação de Mestrado aprovada em 25 de agosto de 2005 pela Banca Examinadora composta pelos seguintes membros:
A meu avô, Pedro Alves Braga (in memoriam),
Agradecimentos
A Deus, por manter viva minha fé.
A meu orientador, Professor Adaildo Gomes D’Assunção, cuja compreensão, paciência e sabedoria me conduziram à elaboração deste estudo.
À Universidade Federal do Rio Grande do Norte, pela competência e incentivo à pesquisa.
A todos aqueles que foram meus professores: Adaildo Gomes D’Assunção, Maria Rosa Medeiros Lins de Albuquerque, Sandro Gonçalves da Silva, Wilson da Mata e Laércio Martins de Medonça, tanto pelos ensinamentos em Telecomunicações quanto pelos ensinamentos a respeito da vida.
A minha família, em especial a meus pais, Paulo Mendes Braga e Maria Farias da Mata Braga, a minha irmã, Nícia Farias Braga e a minha namorada, Karine Ramalho Nóbrega, pelo apoio à vida acadêmica.
Aos amigos com os quais eu dividi residência, Adriano Gouveia e Eduardo Jorge Brito, por todos os momentos inesquecíveis.
Aos colegas de curso e àqueles que me ajudaram de forma direta e indireta na elaboração deste estudo.
Resumo
As antenas de microfita são estruturas muito utilizadas nos sistemas de telecomunicações
atuais. Isto decorre, principalmente, da diversidade de configurações e da facilidade de
construção e integração dessas antenas com outros dispositivos e circuitos de altas freqüências.
Neste trabalho, o método de análise empregado é o Modelo de Circuito de Múlti-Porta
(Multiport Network Model – MNM), que combinado com o Método da Segmentação e a técnica
da Função de Green, mostra-se adequado ao estudo da antena de microfita com abertura no patch
condutor.
A partir do equacionamento do problema do valor de contorno, é então realizada uma
análise numérica que consiste em avaliar a estrutura da antena considerada a partir da integração
dos elementos em que ela foi dividida. Nessa análise, os elementos são representados por
matrizes de impedância e a integração é implementada através de portas de circuitos
adequadamente escolhidas em número e posicionamento.
Na análise numérica, foram consideradas as seguintes estruturas: a cavidade ressonante, a
microfita com patch retangular convencional (sem abertura) e a microfita com patch retangular
com abertura. A análise foi efetuada para substratos isotrópicos e estendida para o caso de
antenas com substratos anisotrópicos uniaxiais através do Método do Mapeamento. São
apresentados resultados para a freqüência de ressonância e para a impedância de entrada de
antenas de microfita.
A parte experimental do trabalho consistiu no projeto, construção e medição de vários
protótipos de antenas de microfita com patches retangulares com e sem abertura. Observou-se
que os resultados obtidos, através da simulação numérica, apresentaram uma boa concordância
com os das medições efetuadas. Os resultados deste trabalho, também, concordaram com os
resultados de outros autores, disponíveis na literatura.
Abstract
Microstrip antennas are widely used in modern telecommunication systems. This is
particularly due to the great variety of geometries and because they are easily built and integrated
to other high frequency devices and circuits.
This work presents a study of the properties of the microstrip antenna with an aperture
impressed in the conducting patch. Besides, the analysis is performed for isotropic and
anisotropic dielectric substrates.
The Multiport Network Model – MNM is used in combination with the Segmentation
Method and the Green’s function technique in the analysis of the considered microstrip antenna
geometries.
The numerical analysis is performed by using the boundary value problem solution, by
considering separately the impedance matrix of the structure segments. The analysis for the
complete structure is implemented by choosing properly the number and location of the
neighboor element ports.
The numerial analysis is performed for the following antenna geometries: resonant cavity,
microstrip rectangular patch antenna, and microstrip rectangular patch antenna with aperture. The
analysis is firstly developed for microstrip antennas on isotropic substrates, and then extended to
the case of microstrip antennas on anisotropic substrates by using a Mapping Method.
The experimental work is described and related to the development of several prototypes
of rectangular microstrip patch antennas wtih and without rectangular apertures. A good
agreement was observed between the simulated and measured results. Thereafter, a good
agreement was also observed between the results of this work and those shown in literature for
microstrip antennas on isotropic substrates.
Furthermore, results are proposed for rectangular microstrip patch antennas wtih
Sumário
Capítulo 1 Introdução 1
Capítulo 2 Modelo de Circuito de Multi-Porta 3
2.1 – Introdução... 3
2.2 – Análise... 3
2.3 – Modelamento dos Campos Internos... 4
2.4 – Modelamento dos Campos nas Bordas... 6
2.4.1 – Condutância de Borda... 7
2.4.2 – Capacitância de Borda... 8
2.4.3 – Indutância de Borda... 8
2.5 – Conclusão... 9
Capítulo 3 Função de Green para Estruturas Planares 10 3.1 – Introdução... 10
3.2 – Equação de Onda e Condições de Contorno... 10
3.3 – Características dos Circuitos em termos da Tensão e Corrente de RF... 15
3.4 – Aproximação da Função de Green... 16
3.4.1 – Expansão da Função de Green em Funções de Auto-Funções 20 3.5 – Obtenção da Matriz Impedância... 21
3.5.1 – Segmento Retangular... 21
3.5.2 – Segmento Triangular... 25
3.5.2.1 – Triângulo Escaleno... 25
3.5.2.2 – Triângulo Eqüilátero... 29
3.5.2.3 – Triângulo Isósceles... 31
3.5.3 – Segmento Circular... 40
3.6 – Conclusão... 42
4.3 – Método da Dessegmentação... 48
4.4 – Conclusão... 52
Capítulo 5 Resultados 53 5.1 – Introdução... 53
5.2 – Análise Numérica... 54
5.3 – Conclusão... 65
Capítulo 6 Conclusões... 66
Lista de Símbolos e Abreviaturas
a Largura do patch
b Comprimento do patch
C Capacitância
δc Tangente de perdas no condutor
δd Tangente de perdas no dielétrico
E
r
Campo elétrico
EAN Circuito de admitância de borda (Egde admittance networks)
ε0 Permissividade elétrica do vácuo
εr Permissividade elétrica relativa
φn Auto-função
G Condutância
γl Constante de propagação
H
r
Campo magnético
h Espessura do substrato
J
r
Densidade de corrente elétrica
j Imaginário igual a −1
k Número de onda complexo
kn,m Modos de propagação
L Indutância
MNM Modelo de Circuito de Multi-Porta (Multiport-Network Model)
µ Permeabilidade magnética
Pc Perdas no condutor
Pd Perdas no dielétrico
π 3,141592654
RF Rádio freqüência
σ Condutividade elétrica
Zα Matriz impedância para o segmento α
Zβ Matriz impedância para o segmento β
Zγ Matriz impedância para o segmento γ
ZAB Matriz impedância resultante do Método da Segmentação
2
T
Lista de Figuras
Capítulo 2
2.1 Representação das múltiplas portas em um patch retangular... 3
2.2 Seção transversal de antena de microfita com patch condutor... 4
2.3 Posição das portas i e j em patch circular... 5
2.4 Admitância de borda conectada a um patch de microfita retangular, com indicação
de radiante (R-EAN), ou não-radiante (NR-EAN)... 6
2.5 Elementos de um circuito de admitância de borda, ou EAN... 7
Capítulo 3
3.1 Diferentes configurações de circuitos planares cujas funções de Green são
conhecidas: a) retangular, b) triângulo eqüilátero, c) triângulo isósceles, d) triângulo
escaleno, e) circular, f) anelar, g) setor circular, h) setor anelar... 11
3.2 Linha de fenda com a localização da fonte de corrente de excitação... 12
3.3 Disposição das portas ao longo dos patches... 14
3.4 Modos de alimentação para uma antena de microfita: a) cabo coaxial, b) linha de
microfita... 17
3.5 Exemplo de portas sobrepostas sobre as regiões: (a) ao longo do eixo x, (b) ao longo
do eixo y... 28
3.6 Nomenclatura dada a cada vértice do triângulo isósceles... 31
3.7 Parâmetros para as portas ao longo do contorno da circunferência... 40
Capítulo 4
4.1 Configuração de um possível patch de uma antena de microfita... 43
4.2 Nomenclaturas das portas usadas no Método da Segmentação... 44
4.4 Estruturas possíveis de caracterização através do Método da Dessegmentação... 48
4.5 Representação dos segmentos no Método da Dessegmentação... 49
Capítulo 5
5.1 Várias disposições das portas ao longo da borda do patch... 53
5.2 Dispositivo de placas paralelas: a) geometria e b) aplicação do Método da
Segmentação... 54
5.3 Módulo da impedância versus freqüência de ressonância para um dispositivo de
placas paralelas... 55
5.4 Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação... 56
5.5 Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita alimentada por cabo coaxial... 56
5.6 Antena de microfita alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e b) aplicação
do Método da Segmentação... 57
5.7 Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita alimentada por cabo coaxial... 58
5.8 Reflexão na porta de alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50 Ω) ... 59
5.9 Antena de microfita com abertura alimentada por cabo coaxial: a) seção transversal e
b) aplicação do Método da Segmentação... 60
5.10 Impedância de entrada (parte real e imaginária) versus freqüência para uma antena
de microfita com abertura... 61
5.11 Reflexão na porta de alimentação versus freqüência de ressonância (experimental)
para uma antena de microfita alimentada por cabo coaxial (50 Ω) ... 62
5.12 Freqüência de ressonância versus s ou d... 63
5.13 Antena de microfita com substrato anisotrópico: a) seção transversal e b) aplicação
Capítulo 1
Introdução
Tanto as comunicações móveis quanto a indústria aeroespacial passaram por grandes
transformações nas últimas décadas. Isto ocorreu devido ao aumento do fluxo de dados
transmitidos, sejam através de short messenger, de download de imagens, do sensoriamento
remoto em aviões e do acesso multimídia através do celular, ou da telemetria utilizada em
mísseis. A NASA (National Aerounautics and Space Administration), por exemplo, criou um
avião chamado de Centurion, movido à energia solar, que é utilizado em vôos de longa duração e
em elevadas altitudes, sem a necessidade de piloto a bordo, pois é controlado da terra.
Um dos principais elementos para que haja uma boa comunicação entre o comando na
terra e o Centurion, por exemplo, é a antena. Existem antenas de diversas formas como as de fio,
de espira (loop), as cornetas, as independentes de freqüência e as antenas de microfita, estudadas
neste trabalho. A investigação das características principais destas antenas tem sido contínua e
intensa, particularmente nas duas últimas décadas, e decorre da sua grande utilização nos atuais
sistemas de telecomunicações.
As antenas de microfita foram propostas no início da década de 50 por Greig, Englemann
e Deschamps [1]-[8], mas as pesquisas se intensificaram, a partir da década de 70, com os
trabalhos de Howell [1] e Muson [2]. Basicamente, a configuração mais simples de uma antena
de microfita consiste de um patch condutor situado acima de um plano de terra, separado por uma
camada de material dielétrico. As principais vantagens destas antenas são: facilidade de
fabricação, versatilidade, custo e peso reduzidos, pequeno volume e facilidade de montagem na
estrutura de um veículo ou aeronave. Dentre suas desvantagens, podem ser destacadas: a baixa
eficiência, as perdas elevadas por radiação, a possibilidade de excitação de ondas de superfície e
a estreita largura de banda.
É neste contexto, de melhoria de algumas das características principais da antena de
microfita, visando o atendimento às necessidades específicas da sua aplicação em sistemas de
telecomunicações modernos, que este trabalho faz um estudo sobre a antena de microfita com
O conteúdo deste trabalho está distribuído em cinco capítulos que têm como objetivos
principais: destacar a importância e a atualidade do tema considerado; descrever a análise teórica
realizada através do Modelo de Circuito de Multi-Porta (Multiport Network Model – MNM);
apresentar detalhes da análise numérica desenvolvida através do Método da Segmentação;
projetar, construir e medir as características principais (freqüência de ressonância e impedância
de entrada) de alguns protótipos; mostrar os resultados teóricos e experimentais obtidos,
comentá-los e compará-los (inclusive com resultados disponíveis na literatura da área) e,
finalizando, apresentar as principais conclusões e algumas sugestões para a realização de
trabalhos futuros.
O Capítulo 2 apresenta o Modelo de Circuito de Multi-Porta (MNM), que é utilizado na
análise das antenas de microfita consideradas. No caso da antena com abertura no patch
condutor, são consideradas as seguintes características principais: polarização circular e maior
largura de banda. A polarização circular é utilizada em veículos aeroespaciais devido à
necessidade de recepção ou transmissão do sinal mesmo quando, por exemplo, o avião (ou
míssil) executa manobras que mudem a orientação de algum dos seus eixos principais. Uma
largura de banda maior é obtida através das fendas ou aberturas nas antenas de microfita.
No Capítulo 3, é determinada a Função de Green para estruturas planares, possibilitando a
caracterização de patches com diversos formatos (retangular, triangular, circular, setor de círculo
e de anel).
O Capítulo 4 é dedicado ao estudo do Método da Segmentação, que é empregado na
caracterização de estruturas de antenas de microfita com formas não-regulares, como as que
possuem patches retangulares com aberturas.
O Capítulo 5 mostra os resultados teóricos e experimentais obtidos para as antenas de
microfita consideradas, através dos modelos utilizados. Assim, são apresentados resultados para a
cavidade ressonante, a antena de microfita com patch retangular e a antena de microfita com
patch retangular com abertura. São também efetuadas comparações entre os resultados teóricos e
experimentais obtidos neste trabalho e os disponíveis na literatura especializada.
No Capítulo 6, são apresentadas as principais conclusões do trabalho e sugeridos alguns
Capítulo 2
Modelo de Circuito de Multi-Porta
2.1 – Introdução
A análise de antenas de microfita, através do Modelo de Circuito de Multi-Porta
(Multiport Network Model – MNM), pode ser considerada como uma extensão do Método da
Cavidade [6]. Nesta análise, o patch é visto como um ressoador circundado por paredes
magnéticas com alta impedância ao longo das bordas. Nesse patch são adicionadas múltiplas
portas localizadas na periferia do condutor, como mostra a Figura 2.1.
Figura 2.1: Representação das múltiplas portas em um patch retangular.
2.2 – Análise
Para análise através do MNM, considera-se que a antena de microfita tem a geometria
apresentada na Figura 2.2. O patch condutor está depositado sobre um substrato dielétrico, que se
encontra montado sobre um plano de terra. A região 1 é o ar (µ0,ε0). A região 2 é a do substrato
dielétrico (µ0,ε). Na análise, os campos eletromagnéticos na região 1 (campos radiados, ondas de
superfície e campos de borda) e na região 2 (campos confinados no substrato) são modelados
separadamente. Para o caso em que a alimentação é feita através de uma linha de microfita, os
campos produzidos também são modelados separadamente e o casamento entre a linha e o patch
tensões nas interconexões é o mesmo que casar o campo elétrico tangencial, e garantir a
continuidade entre as correntes, assegura a continuidade do campo magnético tangencial. Cada
circuito com suas múltiplas portas é caracterizado, em termos de sua matriz impedância, e é
combinado através do Método da Segmentação, que será apresentado no Capítulo 4, para obter as
características principais da antena, como: freqüência de ressonância, parâmetros de
espalhamento, largura de banda e diagrama de radiação.
Figura 2.2: Seção transversal de antena de microfita com patch condutor.
2.3 – Modelamento dos Campos Internos
Em muitas aplicações, a espessura h do substrato em antenas de microfita é muito menor
que o comprimento de onda, tal que k0h<<1. Os campos próximos das bordas da antena devem
variar na direção perpendicular ao patch, mas esta variação em z (Figura 2.2) decai rapidamente,
para deslocamentos em relação às bordas do patch. Então, uma solução para os campos
eletromagnéticos na região entre o patch e o plano de terra pode ser obtida considerando o patch
como uma cavidade ressonante em duas dimensões com paredes magnéticas.
Para análise de patches com geometrias regulares (retângulos, círculos, anéis, triângulos,
setores circulares e de anéis), o Modelo de Circuito de Multi-Porta é aplicado e, usando a Função
de Green, obtém-se a matriz impedância, sendo esta representada por [7]:
∫ ∫
=
i j
W W
j i j j i i j
i
ij G(x ,y |x ,y )ds ds
W W
1
z (2.1)
onde (xi,yi) e (xj,yj) representam as posições das duas portas cujas larguras são Wi e Wj,
respectivamente, como mostra a Figura 2.3. A integração dupla na equação anterior deve ser
efetuada em relação às larguras das portas i e j, que são localizadas em qualquer ponto dentro do
Figura 2.3: Posição das portas i e j em patch circular.
No Capítulo 3, será apresentada a expressão da Função de Green, que é usualmente
representada por um duplo somatório infinito em termos dos modos de propagação, para um
ressoador planar com paredes magnéticas laterais. O efeito das perdas no dielétrico é inserido
considerandoεr uma grandeza complexa
(
)
'' '
r r
r ε jε
ε = − . As perdas no condutor também são
incluídas de maneira aproximada pela definição da tangente de perdas, através de [7]:
d d c
c δ
P P
δ = (2.2)
onde Pc é a potência dissipada devido às perdas no patch condutor, Pd é a potência dissipada no
substrato dielétrico e δd é a tangente de perdas no dielétrico. Na parede magnética, a tangente de
perdas δc é independente da geometria do ressoador e igual a [7]:
(
)
h
c
ωµσ
δ = 2/ (2.3)
onde σ é a condutividade elétrica do material do patch condutor.
Cada porta representa uma pequena seção de largura Wi que é escolhida de forma que os campos,
dentro desta largura, sejam considerados uniformes. Tipicamente, para um patch retangular, o
número de portas, ao longo da borda em que há radiação, é 4, e ao longo da que não há radiação,
é 8 [7]. Então, uma matriz 24 x 24 é a de tamanho, tipicamente, adequado para a caracterização
dos campos internos em antenas de microfita com patches retangulares.
2.4 – Modelamento dos Campos de Borda
Na análise, através do MNM, os campos fora do patch (campos radiados, ondas de
superfícies e campos de borda) são modelados pela introdução de circuitos de admitância de
borda equivalentes (edge admittance network – EAN) conectados na periferia do patch, como
mostra a Figura 2.4.
Figura 2.4: Admitância de borda conectada a um patch de microfita retangular, com indicação de
radiante (R-EAN), ou não-radiante (NR-EAN).
Quando o patch de microfita tem a forma de um retângulo ou triângulo, cada lado da
estrutura deverá ter uma distribuição de tensão diferente, o que não ocorrerá, por exemplo, com o
círculo, pois é considerado tendo apenas uma borda. O EAN, para cada lado da estrutura, é um
que representam, respectivamente, a energia armazenada nos campos elétrico e magnético na
borda do patch e uma condutância, G, que representa a potência radiada e a radiação, através das
ondas de superfície. A configuração de uma EAN típica é mostrada na Figura 2.5.
Figura 2.5: Elementos de um circuito de admitância de borda, ou EAN.
2.4.1 – Condutância de Borda
A condutância na borda do patch, G, consiste de duas partes: a condutância de radiação,
Gr, e a condutância de ondas de superfície, Gs. Estas condutâncias, Gr e Gs, quando conectadas na
borda do patch, irão dissipar uma potência igual para a potência radiada (Pr) e para a potência
associada às ondas de superfície (Ps), respectivamente. Quando a distribuição de tensão, ao longo
da borda, é dada por f(l), as condutâncias Gre Gs são dadas por [8]:
∫
=
0 2 , ,
) ( ) / 1 (
2
dl l f W
P
Grs rs (2.4)
onde l representa a distância ao longo da borda do patch. Se forem selecionadas n portas
uniformemente espaçadas, cada uma representando uma seção de comprimento W/n, ao longo da
borda, a condutância Gpconectada para cada porta é dada por
(
Gr +Gs)
/n.O conceito de condutância de borda pode ser empregado quando f(l) é conhecido. Em
muitos casos, a antena de microfita opera na freqüência de ressonância para o patch e f(l) é
conhecida, pelo menos, de forma aproximada. Para resultados mais precisos, processos iterativos
baseada em MNM é realizada pelo cálculo das tensões nas n portas da borda. Esta nova
distribuição de tensão f(l) é então utilizada e os cálculos de Gr e Gssão repetidos.
2.4.2 – Capacitância de Borda
A capacitância de borda, C, armazena a energia associada ao campo elétrico de borda na
periferia do patch. A capacitância de borda é definida como o excesso da capacitância total sobre
aquela que existiria se o patch fosse considerado como um capacitor com paredes magnéticas nas
bordas abertas. Como no caso da condutância de borda, a capacitância de borda também é
distribuída uniformemente sobre as n portas (Cp=C/n). Equações para a capacitância na periferia
são disponíveis para estruturas simples, como a retangular e a circular [8].
2.4.3 – Indutância de Borda
A indutância de borda, L, armazena a energia produzida pelo campo magnético de borda
na periferia do patch. Similarmente aos casos discutidos para G e C, a indutância de borda, L, é
também distribuída, uniformemente, sobre as n portas (Lp=L/n). Para as bordas em que não há
radiação, em um patch retangular, operando no modo dominante, a indutância de borda por
unidade de comprimento, Le, e a capacitância de borda por unidade de comprimento, Ce, (para
εr=1) são relacionadas através de Le =µ0ε0 /Ce, para εr = 1.
Quando a distribuição de tensão, ao longo da borda é uniforme, a tensão para duas portas
adjacentes são iguais, e portanto, não há correntes através da indutância na borda. Neste caso, não
se faz necessária à inclusão da indutância, e o circuito EAN é simplificado, unicamente, para os
pares paralelos de capacitância e condutância. Esta situação ocorre para as bordas em que há
2.5 – Conclusão
Neste capítulo foi estudado o modelamento dos campos internos e nas bordas de uma
antena de microfita através do Modelo de Circuito de Multi-Porta (MNM). Efeitos como o da
condutância, capacitância e indutância nas bordas dos patches também foram discutidos. No
Capítulo 3 será introduzida a Função de Green, necessária à obtenção da matriz impedância para
Capítulo 3
Função de Green para Estruturas Planares
3.1 – Introdução
A Função de Green é uma técnica que fornece uma solução fechada na caracterização de
estruturas planares regulares, como as mostradas na Figura 3.1, através da obtenção de suas
matrizes impedâncias. Sua determinação se baseia na solução da equação de onda que rege o
eletromagnetismo, juntamente com as condições de contorno, associadas à estrutura do circuito
considerado, que neste trabalho, é uma antena de microfita.
3.2– Equação de Onda e Condições de Contorno
A Figura 3.2 descreve uma linha de fenda com um patch, de forma arbitrária munido de
múltiplas portas, entre dois condutores espaçados 2h. O circuito é excitado, simetricamente, com
respeito aos planos de terra superior e inferior. O eixo de coordenadas é escolhido de tal forma
que o patch fique tangencial ao plano x-y e perpendicular ao eixo z. Por conseguinte, as
dimensões, ao longo do eixo x e y, são comparáveis ao comprimento de onda, enquanto a
espessura da estrutura é muito menor a este.
Os campos dentro do circuito podem ser considerados uniformes ao longo do eixo z,
portanto 0∂(.)/∂z = e Hz =Ex =Ey =0. Considerando ainda que o dielétrico é linear,
homogêneo e isotrópico, as equações de Maxwell para os campos variáveis no tempo podem ser
escritas como [13]:
z x
y
E jω y H x H
ε
= ∂ ∂ − ∂ ∂
(3.1)
x z
H jω y
E
µ
− = ∂ ∂
(3.2)
y z
H jω x E
µ
= ∂ ∂
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
Figura 3.1: Diferentes configurações de circuitos planares cujas funções de Green são conhecidas: a) retangular, b) triângulo eqüilátero, c) triângulo isósceles, d) triângulo escaleno, e)
Figura 3.2 – Linha de fenda com a localização da fonte de corrente de excitação.
Usando as equações (3.1) – (3.3), determina-se a equação de onda (equação de
Helmholtz) para o campo elétrico na região dielétrica da Figura 3.2, considerada livre de fontes.
Para dependência harmônica no tempo, obtém-se:
(
∇2 + 2)
=0z
T k E (3.4)
onde:
2 2
2 2 2
y ) ( x
) (
T
∂ ⋅ ∂ + ∂
⋅ ∂ =
∇ (3.5)
µε ω
k = (3.6)
µ e ε indicam, respectivamente, a permeabilidade magnética e permissividade elétrica do
material, ω a freqüência angular e k o número de onda.
(
1 2)
ˆ H H
n Js r r r − × = (3.7)
onde nˆ é o vetor unitário normal à superfície do patch e H1
r
e H2
r
são campos magnéticos de
direções opostas em relação ao material condutor, Portanto, H1 H2
r r
−
= , reduzindo a equação
(3.7) a:
2 ˆ
2n H
Js
r r
× −
= (3.8)
O campo magnéticoH2
r
, ou simplesmente H
r
, na equação (3.8) pode ser expresso, através
das equações de Maxwell, equações (3.2) e (3.3), em termos do campo elétrico tangencial E , da z
seguinte maneira: ∂ ∂ + ∂ ∂ −
= z y
x z a x E a y E jω
H 1 ˆ ˆ
µ
r
(3.9)
onde aˆxe aˆ são os vetores unitários ao longo dos eixos x e y, respectivamente. Substituindo y
(3.9) em (3.8), obtém-se:
∂ ∂ + ∂ ∂ −
= z y
x z s a x E a y E jω
J 2 ˆ ˆ
µ
r
(3.10)
A expressão de Js
r
em (3.10) é válida para todos os pontos no patch da linha de fenda.
Porém, neste trabalho, há apenas a utilização das linhas de microfita, onde o plano de terra
superior não existe, não havendo, dessa forma, a componente magnética acima do patch. Isto
resulta na supressão do fator 2 da equação (3.10). Para pontos na borda do condutor, Js
r
pode ser
escrito em termos das componentes tangencial e normal, como sendo [13]:
∂ ∂ + ∂ ∂ − = n n E s s E jω
J z z
s ˆ ˆ
1
µ
r
Onde sˆ e nˆ são, respectivamente, os vetores unitários tangencial e normal à borda, como mostra
a Figura 3.2.
Existem casos em que os patches, ou são parcialmente preenchidos por portas em suas
bordas, como mostra a Figura 3.3 (a), ou são totalmente circundados por elas, como ilustra a
Figura 3.3 (b). No primeiro caso, a borda sem portas pode ser considerada como um circuito
aberto (impedância infinita), fechada (impedância zero), ou terminada por uma impedância de
valor finito.
(a) (b)
Figura 3.3 – Disposição das portas ao longo dos patches.
Nos circuitos planares, um circuito em aberto, implica em uma componente normal à
corrente de superfície na borda igual a zero, ou seja:
0
= ∂ ∂
n Ez
(3.12)
Esta condição é dita como condição de contorno para parede magnética. No circuito
fechado, a componente tangencial ao campo elétrico na borda deve ser igual a zero, tal que:
0
=
z
E (3.13)
que corresponde a uma situação conhecida como condição de contorno para parede elétrica. Por
último, o circuito terminado por uma impedância arbitrária, deve satisfazer a condição de
y x z
H E
Z = (3.14)
Quando existem portas nas bordas, a condição de contorno é relacionada com as correntes
de excitação nas portas acopladas, com o intuito de diferenciar a componente E do campo z
elétrico.
Os campos eletromagnéticos, dentro da estrutura planar, são normalmente excitados por
uma alimentação, através de uma linha de microfita de alta impedância ou por um cabo coaxial,
conectado ao plano de terra.
Para a primeira alimentação, a corrente de excitação nas portas acopladas é normal ao
plano x-y. Desta forma a equação (3.11) transforma-se em:
n n E jω
J z
s ˆ
1
∂ ∂ =
µ
r
(3.15)
A corrente de RF que passa, através das portas acopladas, pode ser obtida pela integração,
através da largura W da porta, de acordo com:
∫
∂∂− =
W z
ds n E jω i
µ
1
(3.16)
onde ds é a distância incremental ao longo da borda da geometria do patch considerado.
3.3 Características dos Circuitos em termos da Tensão e Corrente de RF
Na prática, é desejável caracterizar os circuitos planares em termos de tensão e densidade
de corrente em RF do que em campos elétrico e magnético. Isto facilita a introdução de fontes,
O campo elétricoE em termos da tensão de RF é dado por [6]: z
h E
v=− z (3.17)
onde h é o espaçamento entre o plano de terra e o circuito planar. A caracterização dos circuitos
planares para o circuito aberto em termos da tensão de RF torna-se:
(
∇2 + 2)
=0v k
T (3.18)
com:
0
= ∂ ∂
n v
(3.19)
para pontos na borda onde não há acoplamento entre as portas. Quando ocorre o acoplamento,
tem-se que:
∫
∂∂=
W
ds n v µh j i
ω
1
(3.20)
Através de (3.11) a (3.20), consegue-se caracterizar um circuito planar com multi-portas
para a condição de contorno com circuito aberto. As outras condições podem ser obtidas, através
de procedimentos similares.
3.4 Aproximação da Função de Green
Com a técnica da Função de Green, obtém-se a tensão em qualquer ponto do circuito
planar, como resposta à excitação de uma fonte de corrente unitária, localizada no circuito.
Juntamente com o conhecimento adequado dos locais das portas, a Função de Green pode ser
Se a excitação for feita, através de cabo coaxial (Figura 3.4 (a)) será gerada uma
densidade de corrente interna J . Então, sua localização será em um ponto qualquer do plano x-yz
e dirigida na direção de z. Dessa forma, a equação de onda pode ser escrita como [13]:
(
∇T +k)
v=−jωµhJz2 2
(3.21)
onde ∇Te k foram definidos em (3.5) e (3.6). Caso a excitação seja por linha de microfita (Figura
3.4 (b)), será gerada uma densidade de corrente Js
r
, que não estará diretamente ao longo do eixo
z, mas pode ser equivalentemente considerada, por exemplo, na direção do eixo z (Figura 3.2)
pela imposição da condição de parede magnética ∂v/∂n=0 ao longo da borda. Essa densidade
de corrente de superfície equivalente é dada por [13]:
z
s a
n v h j
J 1 ˆ
∂ ∂ =
µ ω
r
(3.22)
Portanto, independentemente do modo de excitação, a alimentação dos circuitos planares
é sempre considerada ao longo do eixo z, desde que, é claro, seja considerada a imposição da
condição de parede magnética ao longo de toda a borda.
(a) (b)
Figura 3.4: Modos de alimentação para uma antena de microfita: a) cabo coaxial, b) linha de
microfita.
Uma solução para (3.21) pode ser obtida em termos da Função de Green G(r/r0), que é
(
T2 k2)
G(
r/r0)
j µδ(r-r0)- ω
= +
∇ (3.23)
que deve satisfazer às condições de contorno na borda:
0
= ∂ ∂
n G
(3.24)
A tensão, em qualquer ponto do plano xy, pode ser escrita como:
(
)
∫ ∫
=
D
z(x ,y )dx dy
J ,y x,y|x G
v(x,y) 0 0 0 0 0 0 (3.25)
onde Jz(x0,y0)é a corrente de excitação introduzida na direção normal no circuito, e D é a região
relativa ao plano x-y fechada por paredes magnéticas.
Quando a fonte de corrente é introduzida, unicamente, na borda, a tensão é dada por:
(
)
∫
=
C
s(s )ds
J s|s G
v(s) 0 0 0 (3.26)
ondeJs(s0)é a fonte de linha de corrente, orientada na direção z e é dada por (3.22), s e s0são as
distâncias medidas, ao longo da borda C. Devido ao fato da linha de corrente Js(s0) ser
introduzida, unicamente, em posições determinadas, através das portas, ao longo da borda, (3.26)
transforma-se em:
(
)
∑ ∫
=
j W
s
j
)ds (s J s|s G
v(s) 0 0 0
(3.27)
onde o somatório representa o número de portas acopladas ao longo da borda e Wj representa a
largura da porta j acoplada. A corrente de entrada ij, equação (3.20), através da porta j pode ser
( )
∫
=
j
W s
j J s ds
i 0 0 (3.28)
Se a largura das portas acopladas for pequena, então a densidade de corrente Js é
constante, ou seja, não há variação transversal. A integração em (3.28) pode, então, ser realizada
por:
j j porta j para s
W i |
J − = (3.29)
Substituindo-se (3.29) em (3.27), a tensão de RF, para qualquer ponto na borda do circuito
planar, torna-se:
(
)
∑
∫
=
j j W j
j
ds s|s G W
i
v(s) 0 0 (3.30)
A tensão média vi sobre a largura da porta i acoplada pode ser expressa em termos de v(s),
como se segue:
∫
=
i
W i
i v(s)ds
W
v 1 (3.31)
Combinando (3.30) e (3.31), obtém-se:
∑
∫ ∫
=
i i jW W j i
i j
ds )ds G(s|s W
W i
v 0 0 (3.32)
A relação entre tensão e corrente em termos da impedância produz:
∫ ∫
=
i j
W W j i
ij G(s|s )ds ds
W W
z 0 0
1
A matriz impedância Z é construída a partir de vários i’s e j’s que representam as portas
consideradas em (3.33).
3.4.1 Expansão da Função de Green em Auto-Funções
A Função de Green é expandida em termos de um conjunto de auto-funções ortonormais,
que deve satisfazer a seguinte condição [15]:
=
=
∫ ∫
situações outras
,
m n se , dxdy
D n * n
0 1
φ φ
(3.34)
onde * representa o complexo conjugado e D é a região em volta da borda. Estas auto-funções
n
φ , bem como seu correspondente auto-valor k , devem satisfazer a equação: n2
0 2 2
= +
∇Tφn knφn (3.35)
onde n representa o índice necessário para definir um certo φn.
Expandindo-se a Função de Green G(r/r0) em uma série de auto-funções φn, tem-se:
(
)
=∑
m
m (r)
A r/r
G 0 φm (3.36)
onde Am é um termo que representa os coeficientes desconhecidos. Substituindo-se (3.36) em
(3.23), obtém-se:
(
)
j (r r )(r) 0
m
2 2
m − =− −
Os coeficientes desconhecidos Am são determinados, primeiramente, multiplicando-se
ambos os lados de (3.37) por *(r) n
φ . Em seguida, fazendo-se a integração na região D, e por
último, aplicando-se a condição de ortonormalidade (3.34) nas auto-funções, obtém-se:
) (r0 * n 2 2 φ ωhµ j ) k (k
An − n =− (3.38)
A determinação de Anem (3.38) permite obter de (3.36) que:
(
)
∑
− = n 2 2 * n 0 (r) (r) k k hµ j r/r G n n φ φ ω (3.39)onde nos circuitos com baixas perdas, φn(r)é real. Portanto, não se faz necessária a utilização do
complexo conjugado na equação anterior.
3.5 Obtenção da Matriz Impedância
3.5.1 Segmento Retangular
O termo genérico da matriz impedância para um segmento retangular de uma antena de
microfita é dado por [13]:
∑∑
∞ = ∞ = + − ⋅ = 0m n 0
2 2 2 q q mn p p mn pq ) y , (x ) y , (x Z k k k σ σ ab hµ j y x n
m φ φ
ω
(3.40)
Para as portas orientadas ao longo do eixo y, φmn é dado por:
(
)
( )
= 2 sin cos cos ) ,(x y kxx kyy c kyW
mn
φ (3.41)
E ao longo do eixo x, por:
(
)
( )
= 2 sin cos cos ) ,(x y k x k y c kxW
y x
mn
A função )sinc(z em (3.41) e (3.42) é definida por sen(z)/z , com:
a mπ
kx = (3.43)
b nπ
ky = (3.44)
= = =
n l ,
m l , σl
2 1
(3.45)
(
jδ)
ε µε
k2 =ω2 0 r 1− (3.46)
sendo δ sendo a tangente de perdas do dielétrico, h a espessura do substrato, a o comprimento do
retângulo e b sua largura. Os pontos (xp,yp),(xq,yq)denotam as posições das portas p e q,
respectivamente.
A) Caso I. Portas p e q orientadas na mesma direção.
A equação (3.40) apresenta somente um somatório, pois com as portas p e q, ao longo do
eixo x, há a necessidade do somatório apenas em m e, ao longo do eixo y, em n. Dessa forma,
[15]:
⋅ −
=
∑
= L
l
q u p
u
pq Fσ (k u ) (k u )
ab hµ j Z
0
1cos cos
ω
(
)
(
)
F) (γ γ
/ W k c /
W k c ) z (γ ) z (γ
l l
q u p
u l
l
sin
2 sin
2 sin
cos
cos > < ⋅ (3.47)
Porém, para valores elevados de l, a parte imaginária dos argumentos das funções
problemas numéricos. A solução é substituir as funções trigonométricas por uma aproximação de
seus argumentos, de acordo com:
>
− > =
z jγ
lz ) e
(γ 1
2 1 cos (3.48) < − < = z jγ
lz ) e
(γ 1
2 1 cos (3.49) F jγ l e j F)
sen(γ 1
2
1 −
= (3.50)
Dessa forma, Zpq, pode ser escrita em (3.47), como :
⋅ − =
∑
= < > L l l l q u p upq Fσ (k u ) (k u ) (γ z ) (γ z )
ab hµ j Z
0
1cos cos cos cos
ω
(
)
(
)
⋅ ⋅ F) sen(γ γ / W k c / W k c l l q u pu 2 sin 2
sin
(
)
[
]
l l q u L l p u p u q u γ v v jγ W k c W k c ) u (k ) u (k F abhµ ∞ > <
+ = − −
+
∑
exp(
) (
)
(
)
= = =
n l , ,y y
m l , ,x x ,u
u
q p
q p q
p (3.54)
2 2
u
l k k
γ =± − (3.55)
= = =
n l , b nπ
m l , a mπ
ku (3.56)
(
)
(
)
(
)
= −
= −
=
< >
< > <
>
n l , a,x x
m l , b,y y ,z
z (3.57)
) ,y (y
y> =max p q (3.58)
) ,y (y
y< =min p q (3.59)
O sinal de γ1 é escolhido de forma que sua parte imaginária seja positiva. Wp e Wq
representam a largura das portas p e q. Notação similar às equações (3.58) e (3.59) são aplicadas
a x> e x<quando l = n.
B) Caso II. Portas p e q orientadas em direções diferentes.
Quando as duas portas, p e q, estão orientadas ao longo de direções diferentes (x e y), o
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
F) sen(γ γ / W k c / W k c z γ z γ u k u k Fσ ab hµ j Z l l j u i u L l l l q u p u l pq 2 sin 2 sin cos cos cos cos 0∑
= > < − = ω(
) (
)
[
(
)
]
∑
∞ + = < > − −− − 1 2 2 exp 2 sin cos cos L
l l j
j l i u q u p u W γ / W v v jγ W k c u k u k F ab hµ jω (3.60)
A escolha de l é determinada pela convergência do somatório em (3.60) e é realizada
quando: 0 2 > − − < > j W v v (3.61)
A decisão se l estará em função de m ou n é determinada de acordo com as condições
abaixo:
,
m
l= se
(
)
02 min max > −
− p q j
q p W ,y y ) ,y (y (3.62) , n
l= se
(
)
02 min max > −
− p q j
q p W ,x x ) ,x (x (3.63)
Se l = n, Wi corresponde às portas orientadas ao longo do eixo y, e Wjao longo do eixo x.
De forma contrária, se l = m, condiz-se que Wi representa as portas na direção do eixo x, e Wj na
direção do eixo y.
3.5.2 – Segmento Triangular
3.5.2.1 – Triângulo Escaleno
mesmas 24 fontes de linha, Lee, Benalla e Gupta obtiveram uma nova e eficiente expressão para
G [16]. A solução encontrada foi fazer a aproximação, através de um segmento retangular com
paredes magnéticas e com as portas orientadas, arbitrariamente, dentro do retângulo.
A matriz impedância para um segmento com formato de triângulo escaleno tem o seu
elemento genérico dado por [16]:
∑
= = 24 ) , , ; , , ( l i i i i p p p R pq Tpq Z x y x y
Z m θ θ
(3.64)
onde ( p, p, p; i, i, i)
R
pq x y x y
Z m θ θ é a matriz impedância para um segmento retangular com paredes
magnéticas, com a porta p localizada em (xp,yp) sobre um ângulo θp, e uma imagem i localizada
em (xi,yi) sobre um ângulo θi. Para uma dada fonte de linha em um triângulo, a localização da
imagem e seu ângulo de orientação é obtido através de considerações geométricas [16]. O valor
de Rm
pq
Z é dado por:
( ) ( )
(
)
∑
∞ = Ψ Φ − = 0l l l
l pq F sen t t F ab h j Z γ γ σ µ ω (3.65) onde:
(
) (
)
[
]
(
)
+ − ⋅ − + − = Φ 2 sin cos 2 1 )(t A C t B D c A C Wθ
(
)
[
]
(
)
+ ⋅ + + + 2 sincos A C t B D c A C Wθ
(3.66)
onde F é dado em (3.53), sinc(z)=sen(z)/z e Wθ é o comprimento projetado para uma porta no
eixo x ou y. A expressão para Ψ(t) é obtida de (3.66) pela mudança de D para D’. As constantes
A, B, C, D e D’ dependem do valor do índice l, da orientação de θ e da localização das portas.
( )
p pm
a m k
A= α = π cotθ (3.67)
(
)
a m y
x
B po po p
π α´
−
= (3.68)
2
2
− = =
a m k
C m
π
γ (3.69)
b
D=−γm (3.70)
Quando l = n, então:
( )
p pn
b n k
A= α = π tanθ (3.71)
(
)
b n x
y
B po po p
π α´
−
= (3.72)
2
2
− = =
b n k
C n
π
γ (3.73)
a
D=−γn (3.74)
O termo σm é definido em (3.45), (xpo, ypo) é a coordenada para o ponto médio da porta p e
αp = cot(θp) é a inclinação da porta. A orientação do ângulo θpé dada em relação ao eixo x. A
escolha entre l = m e l = n depende da situação. Se as duas portas estiverem sobrepostas na
(a) (b)
Figura 3.5: Exemplo de portas sobrepostas: a) ao longo do eixo x , b) ao longo do eixo y.
Quando p = q a expressão para a matriz impedância é obtida com l = m e a integração
com respeito a variável y.
∑
∞ = − = 0 0 ) ( ) (m m m
pq m pq b sen y I a h j Z γ γ σ µ ω (3.75) onde:
[
]
[
]
{
+ ⋅ +}
+ ⋅ ⋅ − − ⋅= 2 ( ) cos2 2 1
4 1 )
( 0 2 2 0 θ
θ
γ b Ay B sen AW sen C A C W y
Ipq m
(
) (
)
{
Λ − − +Λ + +}
− ⋅ Γ ' '
, , 2 , , , , 4 1 D B C A D B C A W D C B A W θ θ
(
)
(
)
{
A C B D A C B D}
W D C B A
W ⋅ Λ − − +Λ + +
−
Γ , ,
2 , , , , 4
1 ' θ
θ
(3.76)
(
)(
)
[
]
(
−)
+ − + + − = Γ C A D B W y C A sen W D C BA /2
2 , , ,
, θ 0 θ
(3.77)
(
)(
)
[
]
(
A C)
D B W y C A sen + − + +
+ 0 θ /2
(3.78) e:
(
)
[
(
)
]
(
)
± ⋅ ± + ± = ± ± Λ 2 sin cos, 0 '
' Wθ
C A c D B y C A D B C A (3.79)
3.5.2.2 –Triângulo Eqüilátero
O elemento genérico da matriz impedância para um segmento com formato de um
triângulo eqüilátero é dado por [16]:
(
Tm)
pq Te pq
pq Z Z
Z = +
2 1
(3.80)
onde ZTepq e Tm pq
Z representam, respectivamente, os elementos da matriz impedância para um
segmento com formato de um triângulo escaleno com paredes elétricas e magnéticas. A
expressão de ZTmpq é dada nas equações de (3.65) a (3.79). O valor deZTepq é expresso por:
(
)
∑
= = 24 Re , , ; , , l i i i i p p p pi Tepq Z x y x y
Z θ θ (3.81)
onde Zpi
(
xp,yp,θp;xi,yi,θi)
Re
representa a matriz impedância para um segmento retangular com
duas paredes elétricas, a porta p localizada em (xp,yp) sobre um ângulo θp, e uma imagem i
localizada em (xi,yi) sobre um ângulo θi. Nota-se que alguns valores da imagem possuem valores
A matriz impedância para um segmento retangular com duas paredes elétricas próximas, é dada por:
( ) ( )
(
)
∑
∞ = Ψ Φ − = 0l l l
l pq F sen t t F ab h j Z γ γ σ µ ω (3.82)
onde F é dado em (3.53), σm em (2.48) e Φ(t) é expresso por:
(
) (
)
[
]
(
)
+ − ⋅ − + − = Φ 2 sin 2 1 )(t sen A C t B D c A C Wθ
(
)
[
]
(
)
+ ⋅ + + + 2sinc A C Wθ
D B t C A sen (3.83)
onde sinc(z)=sen(z)/ze Ψ(t) é dada pela equação (3.83), mas D é substituído por D’.
Quando p = q, a impedância é dada por:
(3.84) onde:
[
]
[
]
{
− + ⋅}
− ⋅ − ⋅ − ⋅ = θ θ AW c B Ax D D sen C A C W yIpq ( ) 1 cos2 2 sin
2 1 ) ( 0 ' 2 2 0
(
)
(
)
{
Ω − − +Ω + +}
+ ⋅ Π ' '
, , 2 , , , , 4 1 D B C A D B C A W D C B A W θ θ
(
)
(
)
{
A C B D A C B D}
W D C B A
W ⋅ Ω − − +Ω + +
−
Π , ,
2 , , , , 4
1 ' θ
θ (3.85)
∑
∞ = − = 0 0 ) ( ) (n n n
com:
(
)(
)
[
]
(
A C)
D B W
x C A W
D C B A
−
− + +
− =
Π cos /2
2 , , ,
, θ 0 θ
(
)(
)
[
]
(
A C)
D B W
x C A sen
+
+ + +
+
+ 0 θ /2
(3.86)
e:
(
)
[
(
)
]
(
)
± ⋅
± + ±
= ± ± Ω
2 sin
,B D' sen A C x0 B D' c A C Wθ
C
A (3.87)
3.5.2.3 – Triângulo Isósceles
Figura 3.6: Nomenclatura dada a cada vértice do triângulo isósceles.
Para o triângulo isósceles, os elementos da matriz Zpq são dados em termos de um único
somatório e os valores da matriz dependem da localização das portas ao longo das laterais do
triângulo, Figura 3.1 (c).
A) Ambas as portas localizadas ao longo de OA ou OB
Quando ambas as portas estão localizadas ao longo de OA ou OB, a matriz impedância é
(
1 2)
0
2a Z Z
h j
Zpq =− +
µ ω (3.88) onde:
(
)
(
)
(
)
∑
∞ = + = 0 1 2 sin cos 2 sin cos cos 2 m j x q x i x p x m m W k c u k W k c u k a DZ γ (3.89)
Se up ≥uq, então
( )
(
)
(
)
∑
∞ = + − = 0 2 2 sin cos 2 sin cos 1 2 m q x q m p x p x m m W k c u W k c u k DZ γ (3.90)
caso contrário:
( )
(
)
(
)
∑
∞ = + − = 0 2 2 sin cos 2 sin cos 1 2 m i x p m q x q x m m W k c u W k c u k DZ γ (3.91)
Considera-se que sinc(x)=sen(z)/z e os parâmetros kx, γm, Dm, k2 são definidos
respectivamente por:
a m
kx = π (3.92)
2 2
x m =± k −k
γ (3.93) ) ( a sen D m m m m γ γ σ = (3.94)
(
e)
r j
k =ω µε0ε 1− δ
2 2
(
)
(
)
(
)
= OB de longo ao j i para y y OA de longo ao j i para x x u u q p q p q p , , , , , (3.96)Quando m se torna muito grande, a parte imaginária dos argumentos das funções
trigonométricas complexas sen
(
γm*)
e cos(
γm*)
em (3.89) – (3.91) também se tornam grandes etrazem complicações numéricas. Para evitar este problema, as funções trigonométricas são
substituídas por uma aproximação de seus argumentos, que são dados por:
(
)
exp( *)2 1
* m
m j
j
senγ = γ (3.97)
(
)
exp( *)2 1 *
cosγm = jγm (3.98)
Então usando (3.97) e (3.98), as expressões para Z1 e Z2 são reescritas por:
(
)
(
)
(
)
+ + =∑
= L m q x q x p x p x m m W k c u k W k c u k a D Z 0 1 2 sin cos 2 sin cos cos 2 γ(
)
(
) (
)
∑
∞ + = 2 sin cos sin cos 2 1 q x q x p x q x L m mm k W
c u k W k c u k j γ σ (3.99)
A expressão para Z2, se up ≥uq é:
( )
(
)
(
)
∑
∞ = + ⋅ − = 0 2 2 sin cos 2 sin cos 1 2 m q x q m p x p x m m W k c u W k c u k D Z γ(
)
⋅ − − − ⋅ −∑
∞ + = 2 sin cos 2 exp ) 1 ( 2 1 2 p x p x q q m Lm m q
m
m k W
