KATIA HENN GIL
Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra
REFLEXÕES SOBRE AS DIFICULDADES DOS ALUNOS NA
APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Educação em Ciências e Matemática
Orientadora: Dra. Ruth Portanova
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Ficha Catalográfica elaborada por Vanessa Pinent
KATIA HENN GIL
REFLEXÕES SOBRE AS DIFICULDADES DOS ALUNOS NA
APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática, da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Educação em Ciências e Matemática
Aprovada em _____ de ____________ de 2008.
BANCA EXAMINADORA:
___________________________________________ Dra. Ruth Portanova
____________________________________________ Dra. Circe Mary Dynnikov
o humanismo científico."
Agradecer às pessoas que muito contribuíram para que este trabalho fosse realizado também é uma forma de demonstrar o quanto precisamos do outro e somos pequenos sozinhos. Neste meu percurso tenho muitas pessoas para agradecer, que de uma forma ou de outra me ajudaram com o seu incentivo, apoio, materiais, críticas e sugestões valiosas, contribuindo para melhorar meus escritos ao longo da jornada.
Primeiramente, agradeço a Deus, pela oportunidade de realizar este sonho, que em muitos momentos me pareceu bastante difícil.
Agradeço à minha orientadora e professora, que se mostrou sempre disponível para me ajudar em minhas angústias enquanto mestranda. À minha família que muito me incentiva a seguir o caminho da cultura, estando sempre, sempre ao meu lado. Aos meus colegas de mestrado, com os quais aprendi muito, assim como com os meus mestres, que estavam sempre prontos para fornecer informações, idéias e apontar caminhos.
Quero também agradecer aos meus amigos que, apesar da minha ausência, compreenderam o momento sempre com uma palavra otimista e de estímulo. Não poderia deixar de agradecer aos alunos e aos colegas professores, sem os quais este trabalho não se teria realizado. Agradeço, de forma especial, à minha colega Márcia, amiga de todas as horas, que esteve ao meu lado compartilhando alegrias e percalços neste percurso e também à minha colega e amiga Roselaine, que abriu a porta de sua sala de aula, sem melindres de ser observada em sua prática pedagógica, para que eu pudesse realizar esta pesquisa, colocando-se a minha disposição para o que fosse necessário.
Este trabalho apresenta um estudo sobre as possíveis razões para as dificuldades apresentadas pelos alunos de 7ª série do Ensino Fundamental no estudo dos conceitos e procedimentos algébricos. Foram realizadas observações em sala de aula, aplicação de testes com alunos e entrevistas com alunos e professores. Estes instrumentos foram elaborados para tentar detectar as causas das dificuldades que são percebidas. O estudo envolveu uma turma de 7ª série de uma escola da rede privada do ensino em Porto Alegre, e a amostra foi composta de 32 alunos. Por meio deste estudo, cuja análise foi feita de forma eminentemente qualitativa, pretende-se compreender as dificuldades encontradas e buscar alternativas capazes de permitir uma melhor compreensão da aprendizagem da Álgebra. Percebe-se que a interpretação de problemas algébricos, que exigem uma tradução da linguagem corrente para a linguagem simbólica apresenta obstáculos, assim como, a relação entre a Álgebra e a Aritmética. Esses foram os principais fatores detectados na presente pesquisa.
ABSTRACT
This paper presents a study on the possible reasons for the difficulties presented by students from 7 th grade of elementary school in the study of algebraic concepts and procedures. Observations were performed in the classroom, application of testing with students and interviews with students and teachers. These instruments were prepared to try to detect the causes of the difficulties that are perceived. The study involved a class of 7 th number of a school's private network of education in Porto Alegre, and the sample was composed of 32 students. Through this study, whose analysis was performed on a highly qualitative seeks to understand the difficulties and seek alternative able to provide a better understanding of learning algebra. See that the interpretation of algebraic problems, which require a translation of the current language to language barriers have symbolic as well as the relationship between algebra and arithmetic. These were the main factors found in this search.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Análise dos acertos das questões 1 e 2 - bloco I ... 70
Figura 2 – Análise dos acertos da questão 1 - bloco II ... 72
Figura 3 – Representação algébrica do perímetro ... 74
Figura 4 – Dificuldade na ausência de fechamento ... 75
Figura 5 – Representação algébrica da área ... 76
Figura 6 – Análise dos itens “a” e “b” da questão 3 - bloco II ... 77
Figura 7 – Generalização e representação algébrica ... 80
Figura 8 – Dificuldade com a generalização ... 81
Figura 9 – Sentimento de estudar Matemática ... 91
Figura 10 – Sentimento de estudar Álgebra... 92
Figura 11 – Representação algébrica ... 93
Figura 12 – Utilização da Álgebra no dia-a-dia ... 94
Figura 13 – Análise do grau de dificuldade do bloco I... 97
Figura 14 – Análise do grau de dificuldade do bloco II... 99
Figura 15 – Análise do grau de dificuldade do bloco III... 101
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Análise dos acertos das questões 1 e 2 - bloco I... 70
Tabela 2 - Anpalise dos acertos da questão 1 - bloco II ... 72
Tabela 3 - Representação algébrica do perímetro... 74
Tabela 4 - Representação algébrica da área... 76
Tabela 5 - Análise dos itens “a” e “b” da questão 3 - bloco II... 77
Tabela 6 - Análise do item “c” da questão 3 - bloco II ... 78
Tabela 7 - Generalização e representação algébrica ... 80
Tabela 8 - Sentimento de estudar Matemática... 91
Tabela 9 - Sentimento de estudar Álgebra ... 92
Tabela 10 - Representação algébrica ... 93
Tabela 11 - Utilização da Álgebra no dia-a-dia... 94
Tabela 12 - Análise do grau de dificuldade do bloco I ... 96
Tabela 13 - Análise do grau de dificuldade do bloco II ... 99
Tabela 14 - Análise do grau de dificuldade do bloco III ... 101
1 INTRODUÇÃO ... 11
2 PERCURSO METODOLÓGICO ... 13
2.1 Justificativa e Contextualização... 13
2.2 Abordagem da pesquisa... 16
2.3 Sujeitos da pesquisa... 19
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 21
3.1 Alguns Aspectos da História do Ensino da Álgebra no Brasil... 21
3.1.1 As concepções de Álgebra e Educação Algébrica ... 24
3.2 A Linguagem e a Construção do Conhecimento... 26
3.2.1 A Linguagem Matemática... 30
3.2.2 A Linguagem Algébrica ... 32
3.2.3 A Tradução de um Problema Real para a Linguagem Algébrica... 34
3.3 A Relação Entre Álgebra e Aritmética ... 35
3.4 O Ensino da Álgebra ... 40
3.4.1 A Álgebra no Currículo Escolar Atual ... 42
3.4.2 A Atividade Algébrica ... 44
4 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS... 47
4.1 Descrição e análise das observações ... 47
4.2 Apresentação e análise dos dados coletados no teste ... 68
4.2.1 Análise do bloco I ... 69
4.2.2 Análise do bloco II ... 71
4.2.3 Análise do bloco III ... 79
4.3 Apresentação e análise das entrevistas com os professores... 81
4.4 Apresentação e análise das entrevistas com alunos... 90
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 104
REFERÊNCIAS... 108
APÊNDICES ... 112
APÊNDICE A – Atividade de Pesquisa 1 ... 113
APÊNDICE B – Atividade de Pesquisa 2 ... 114
APÊNDICE C – Atividade de Pesquisa 3 ... 116
1 INTRODUÇÃO
Entende-se a Álgebra como parte da Matemática que trabalha a generalização e abstração, representando quantidades através de símbolos.
Para Lins (1997, p.137) “A álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade e desigualdade”. Como essas afirmações, citadas por Lins, são resultados de simplificações e generalizações, exigem um desenvolvimento do pensamento abstrato mais desenvolvido do que aquele utilizado para o pensamento aritmético.
Um menino de sétima série escreveu que a Álgebra “é muito difícil e, apesar de muito instrutiva, noventa por cento das vezes é muito frustrante. Significa horas de aulas que nem chegamos perto de entender” (HOUSE, 1995, p.1).
Apesar de a Álgebra conter um certo formalismo em sua linguagem e necessitar a utilização de procedimentos não muito simples, exigindo um maior grau de abstração, é importante lembrar que a forma de o professor trabalhar estes conceitos e procedimentos algébricos pode estar dificultando ainda mais a sua aprendizagem, fazendo, com que o aluno tenha verdadeiro horror à Matemática, já que não consegue compreendê-la. O fato de o aluno ter dificuldades para apropriar-se de seus conceitos faz com que, ao resolver um problema prefira a matemática nãoformalizada -envolvendo uma grande seqüência de cálculos - como estratégia de resolução.
Acredito que um dos objetivos do estudo da Álgebra é que o aluno, tendo a compreensão dos seus conceitos, seja capaz de utilizá-los em outras situações. Enfim, que o aluno perceba a Álgebra como uma aliada na resolução de problemas em diferentes contextos.
sobre a linguagem e a construção do conhecimento, visto que este trabalho apresenta as dificuldades em um campo da Matemática no qual a linguagem é um dos fatores que pode estar trazendo dificuldades. A terceira subseção apresenta uma relação entre Álgebra e Aritmética e as possíveis dificuldades que estão relacionadas entre as rupturas e as continuidades destes dois campos da Matemática. Por último, na subseção que encerra a fundamentação teórica deste trabalho, faço uma reflexão sobre o estudo da Álgebra e de como este está sendo apresentado no currículo escolar.
O presente trabalho foi realizado através de uma pesquisa eminentemente qualitativa, observando e analisando as dificuldades encontradas na aprendizagem de Álgebra e as suas possíveis razões. Foram realizadas observações e entrevistas com alunos de 7ª série de uma escola em Porto Alegre da rede privada de ensino. Juntamente com as observações, foram aplicados três blocos de testagem. Após a coleta dos dados da testagem, realizei entrevista com alguns alunos que obtiveram desempenhos diferentes, a fim de ter um entendimento melhor de suas dificuldades. Também foram entrevistados professores de 7ª série, além do professor da turma observada, objetivando saber o ponto de vista do professor sobre as dificuldades no ensino da Álgebra.
Ao concluir este trabalho, percebo o quanto o papel do professor é fundamental para que realmente exista a construção do conhecimento, já que partem dele as propostas a serem realizadas em sala de aula, assim como os questionamentos que devem desacomodar, impulsionando e tornando o aluno curioso em busca de respostas.
2 PERCURSO METODOLÓGICO
Com o objetivo de detalhar, de forma minuciosa todo o processo percorrido na realização deste trabalho descrevo nesta seção, o caminho utilizado, bem como os instrumentos e a forma de tratamento para os dados. Na primeira parte desta seção, faço uma justificativa para este trabalho assim como a sua contextualização, descrevendo qual o problema que investiguei, as questões de pesquisa e os fatores que me motivaram na escolha deste tema. Em seguida, defino os objetivos da pesquisa. Tendo os objetivos definidos, trato do tipo de abordagem utilizada nesta investigação, justificando-a. Na última subseção, faço a descrição dos sujeitos de pesquisa.
2.1 Justificativa e Contextualização
Este trabalho de pesquisa foi motivado por uma inquietação minha, enquanto professora de Matemática de 7ª série, com relação às dificuldades que meus alunos apresentam com os procedimentos que fazem parte do contexto algébrico.
[...] gente de todo o mundo está trabalhando na reestruturação da Educação Matemática. Ensinar bem Matemática é um empenho complexo e não há receitas fáceis para isso. Não há um caminho único para se ensinar e aprender Matemática (p. 214).
Acredito que não só o formalismo e a dificuldade de abstração são os únicos culpados das dificuldades que nossos alunos encontram no estudo da Álgebra. Devemos considerar outros fatores que também podem estar concorrendo para este fracasso. A forma como se desenvolve o conteúdo e até problemas sociais e culturais podem contribuir para esta problemática.
Cabe lembrar que a Matemática, de um modo geral, trabalhada na escola, possui um grande estranhamento com a Matemática da rua, da vida do aluno. De acordo com essa idéia, D’Ambrosio (1998) afirma:
A matemática dos sistemas escolares é congelada. São teorias em geral antigas, desligadas da realidade. Foram concebidas e desenvolvidas em outros tempos, outros espaços. Será que essa matemática, que chamamos de acadêmica, é importante para todos os povos? Sem dúvida. A sociedade moderna não funciona sem essa matemática, a tecnologia moderna não se aplica sem essa matemática, as teorias científicas não podem ser trabalhadas sem essa matemática. Mesmo as artes e as humanidades estão impregnadas dessa matemática (p. 3).
desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas escolas. Nos resultados do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), por exemplo, os itens referentes à álgebra raramente atingem um índice de 40 % de acertos em muitas regiões do país” (Brasil, 1998, p.115-116).
Percebo que o aluno tem uma grande dificuldade em compreender os procedimentos que fazem parte do estudo algébrico. Existem erros que se repetem e persistem de um ano para outro. Estes conceitos que envolvem a Álgebra são enfatizados na 7ª série do Ensino Fundamental e serão utilizados até o final do Ensino Médio. Então, é importante que o aluno consiga apropriar-se deles para que possa aplicá-los nas mais diversas situações.
Este trabalho traz uma análise dos dados coletados tentando responder ao problema inicial que gerou esta pesquisa: Por que os alunos apresentam tantas dificuldades na aprendizagem de Álgebra?
A partir do problema, como questões norteadoras da pesquisa, surgiram os seguintes questionamentos:
A relação entre Álgebra e Aritmética pode estar contribuindo para as dificuldades apresentadas?
Existe dificuldade na tradução do problema para a linguagem algébrica? Quais as possíveis causas para as dificuldades encontradas?
Que alternativas poderiam diminuir o fracasso no estudo da Álgebra?
A partir do problema central apresentado e das questões de pesquisa que partem deste, foram projetados os objetivos que seguem.
OBJETIVO GERAL
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Analisar as dificuldades apresentadas na utilização da linguagem simbólica e na sistematização das propriedades envolvidas na aprendizagem de Álgebra.
- Relacionar as dificuldades encontradas na utilização da linguagem algébrica com Aritmética.
- Verificar como se dá a passagem da linguagem corrente para a algébrica. - Levantar as razões das dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra
na visão do professor.
- Analisar a fala dos alunos sobre as suas dificuldades no aprendizado da Álgebra.
- Encontrar alternativas de solução que possibilitem uma melhor compreensão dos conceitos e procedimentos algébricos.
Tendo o entendimento de que os métodos de pesquisa são os diversos modos de abordar a realidade, e tendo definido os objetivos do trabalho, busquei escolher o método mais adequado para a realidade da minha pesquisa.
2.2 Abordagem da pesquisa
Este trabalho foi orientado por uma abordagem eminentemente qualitativa, ou seja, naturalístico-construtiva, pois, segundo Moraes (s. d.), busca compreender a problemática do ensino e aprendizagem que investiga, examinando o próprio contexto em que ocorre. De acordo com este mesmo autor, a abordagem assume a realidade construída pelos sujeitos. Partindo da impossibilidade de acesso ao concreto, procura trabalhar com mundos humanos, focalizando a percepção desses, trabalhando com seus conhecimentos implícitos, nos quais estão inclusos os valores, crenças e conhecimentos prévios do próprio pesquisador.
Os modos de fazer ciência dos pesquisadores e os resultados de suas pesquisas refletem a sua visão de mundo, suas concepções de realidade e seus paradigmas. Quer se entenda isso num sentido de posse individual de teorias e crenças, quer num sentido de imersão em um discurso coletivo e cultural, essas idéias prévias são decisivas na forma em que os fenômenos são percebidos e interpretados.
Na visão de Lüdke e André (1986), esta abordagem é chamada de naturalística, pois o estudo-problema acontece no ambiente em que ele ocorre e sem qualquer intenção de manipulação pelo pesquisador.
Os dados coletados nesta pesquisa são predominantemente descritivos, pois, de acordo com Bogdan e Biklen (1994) o material é rico em descrições pessoais e de situações, incluindo transcrição de entrevistas e depoimentos além de outros documentos. Esses autores entendem que a pesquisa qualitativa ou naturalística envolve a obtenção de dados que são obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, sendo importante o pesquisador estar atento ao maior número de elementos presentes na situação estudada mesmo que no momento possa parecer pouco importante, pois mais tarde pode revelar-se uma informação totalmente relevante.
Entendendo a importância de coletar o maior número de dados possíveis, esta pesquisa também analisa dados quantitativos, fazendo uma combinação de dados quantitativos e qualitativos. De acordo com Flick (2004), a pesquisa qualitativa e a quantitativa não são opostos incompatíveis que não devam ser combinados. Essa combinação foi orientada no sentido de transformar dados quantitativos em qualitativos, objetivando o enriquecimento da pesquisa. Nessa perspectiva, Flick (2004) afirma que
[...] a análise da freqüência de determinadas respostas nas entrevistas pode acabar oferecendo insights1 adicionais para essas entrevistas, a explicação
suplementar quanto às razões que fazem com que determinados padrões de resposta possam ser encontrados em grande quantidade nos questionários requer a coleta e o envolvimento de novos tipos de dados (entrevista, observação de campo) (p. 276).
Penso que muitas das idéias que o pesquisador tem sobre a coleta de dados da sua pesquisa aparecem após algumas análises dos dados já coletados. Aparecem, a partir daí, mais questionamentos que podem transformar-se em mais dados a partir de entrevistas ou observações como o autor acima declara.
Este tipo de pesquisa depende das observações da reação e do comportamento do indivíduo, na qual estas, juntamente com as entrevistas, são fundamentais. Pode-se dizer que a pesquisa qualitativa ou naturalística lida e dá atenção às pessoas e ao que elas pensam, procurando sempre dar sentido aos seus discursos que por muitas vezes são silenciosos. Busca dar significado aos acontecimentos no ambiente natural em que estes ocorrem.
De acordo com Araújo e Borba (2004), a triangulação2 de uma pesquisa qualitativa consiste na utilização de procedimentos variados e diferentes para a obtenção de dados. Quando checamos dados obtidos em uma entrevista com atas de uma reunião sobre o mesmo assunto, estamos realizando uma triangulação de fontes. Agora, se observamos o trabalho de um grupo de alunos e depois fazemos uma entrevista com os componentes do grupo sobre a atividade desenvolvida, estamos realizando uma triangulação de métodos.
Fazendo assim, o pesquisador, ao invés de construir suas conclusões apenas a partir de observações, pode utilizar as entrevistas para checar algum detalhe ou para compreender melhor algum fato ocorrido durante as observações, promovendo uma maior credibilidade de sua pesquisa (ARAÚJO e BORBA, 2004, p. 35-36).
Acreditando que, dessa forma, com uma variedade de instrumentos de pesquisa aumentam a validade dos resultados, utilizei neste trabalho, além de observações e testagem, entrevistas com os alunos, a fim de esclarecer e compreender melhor algumas informações que foram coletadas nos dois primeiros instrumentos citados.
Para escolher os alunos que deveriam ser entrevistados, classifiquei o percentual de acertos das questões da testagem em três categorias sendo:
• categoria A, de 71 % a 100 % de aproveitamento; • categoria B, de 41% a 70 % de aproveitamento, e • categoria C, até 40 % de aproveitamento.
A amostra para a entrevista foi composta de 10 alunos selecionados da seguinte maneira:
• 3 da categoria A, • 4 da categoria B, e • 3 da categoria C.
Os alunos foram escolhidos para a entrevista de forma que os três níveis de aproveitamento fossem contemplados e, sendo assim, pude analisar alunos com desempenhos diferentes.
2.3 Sujeitos da pesquisa
A pesquisa foi realizada no ano de 2007, em uma escola da rede privada de ensino que se localiza na cidade de Porto Alegre – RS e são sujeitos da pesquisa alunos e professores de 7ª série do Ensino Fundamental, pois nesta série há uma ênfase em Álgebra.
Os alunos que compõem essa turma de 7ª série são de classe média, moram nas proximidades da escola, sendo levados para a mesma pelos pais ou por transporte escolar. Com um poder aquisitivo bom, todos possuem acesso à internet. Pude observar nesta turma uma arrogância por parte de alguns alunos em relação à prestação de serviços da escola. Possuem o entendimento de que o professor está ali sendo pago para ensinar e normalmente perturbam o início da aula. Estes alunos desafiam as regras básicas estabelecidas pela escola e pelos professores. Contestam muito as exigências e demonstram desinteresse em aprender regras para um bom convívio. A idade média destes alunos é 13 anos.
esporte e mais duas quadras cobertas. Constituem a escola 1644 alunos, 85 professores, 32 funcionários. A escola possui 28 salas de aula.
A escolha desta escola para realização da minha pesquisa foi determinada pelo fato de eu fazer parte do quadro de professores e trabalhar com 7ª série. Dessa forma, penso que tenho informações, como planejamento, funcionamento da sua estrutura, disciplina, que me dão base para enriquecer a pesquisa. A escola se mostrou aberta para a mesma, dando-me liberdade para fazer as observações e a aplicação da testagem colocando-se a disposição para ajudar no que fosse necessário.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Nesta seção faço um estudo sobre inserção a da Álgebra no currículo brasileiro; a construção do conhecimento através da linguagem e, a partir das concepções de Álgebra e educação algébrica, trato da linguagem algébrica como parte da linguagem matemática e da tradução de situações-problema para a linguagem algébrica. Faço, também, uma relação entre Álgebra e Aritmética e as implicações desta relação nas dificuldades encontradas. A seção é concluída com algumas questões voltadas para o ensino algébrico dentro do currículo atual e a sua aprendizagem.
3.1 Alguns Aspectos da História do Ensino da Álgebra no Brasil
O objetivo desta subseção é ter uma visão histórica do estudo algébrico no currículo brasileiro, assim como compreender de que forma se deu a implantação do estudo deste campo da Matemática, as mudanças ocorridas e quais as implicações destas mudanças nos dias atuais. Em seguida perpassa-se pelas concepções de Álgebra e de educação algébrica.
O ensino da Matemática sofreu muitas mudanças que, na maior parte das vezes, foram lançadas pelo governo, e as escolas, preparadas ou não, teriam que enfrentá-las. Assim, a Álgebra entrou no currículo escolar, deixando de ser privilégio de poucos estudiosos e tornado-se uma disciplina que é considerada pré-requisito para a formação do cidadão comum (CASTRO, 2003).
Os problemas enfrentados nos dias atuais no ensino da Álgebra no Brasil podem ser um reflexo da evolução da Álgebra desde a sua inclusão no currículo até os dias atuais. É necessário que se faça um estudo, mesmo que breve, da sua história no currículo brasileiro, para que se compreenda melhor o que ocorre hoje.
ensino. Estas áreas do conhecimento eram trabalhadas em compartimentos estanques.
E foi no início do século XIX que, pela primeira vez, o estudo de Álgebra é introduzido no ensino secundário brasileiro.
Em 1927, Euclides Roxo, diretor do Externato Pedro II, propôs à congregação do colégio uma alteração radical no ensino da Matemática. Conforme Valente (2002), no documento Euclides Roxo coloca a urgência de adotar métodos de ensino da Matemática Elementar introduzidos na Alemanha, destacando que parte da orientação era acabar com a divisão da Matemática em partes distintas e separadas como vinha sendo trabalhada. O autor afirma que “[...] o conteúdo de todo o documento é, praticamente, o de reafirmação da necessidade de unificar os ramos da matemática” (p.17).
Em 1929, é oficializado o aceite da proposta encabeçada por Euclides Roxo, mas, apesar de o Colégio Pedro II ser referência para o ensino secundário do país, estas modificações deveriam ser obrigatoriamente seguidas apenas pelo Colégio Pedro II (MIORIM, 1998 citado por VALENTE, 2002).
De acordo com Valente, em 1930, Francisco Campos assume o recém criado Ministério da Educação e Saúde e no ano seguinte faz reformulações no ensino, e no que diz respeito à Matemática, acata as idéias modernistas de Euclides Roxo. Então, após a reforma de Francisco Campos em 1931, os quatro campos do ensino -Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria - recebem a denominação Matemática (VALENTE, 2002).
“Para se dividir dois monômios: 1.º observa-se a regra de sinais; 2º dividem-se os coeficientes; 3º escrevem-se uma só vez as letras do dividendo com o expoente igual à diferença dos expoentes no dividendo e do divisor” (DUMONT, 1938, p. 31).
Percebendo a forma mecânica como era trabalhada a Álgebra e a fragmentação dos campos da Matemática, o Movimento da Matemática Moderna apostava na introdução de elementos unificadores dos campos da Matemática, como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas.
Nesse período a Álgebra ganhou lugar de destaque em sua concepção moderna, tornando-se o elemento unificador dos campos da Matemática. O Movimento da Matemática Moderna também tinha a preocupação de superar a forma mecânica e reprodutiva do ensino da Álgebra. Sobre as principais alterações no ensino da Matemática durante a implantação da Matemática Moderna, Miorim, Miguel e Fiorentini (1993, p.21) destacam que
[...] há uma tentativa de superar o caráter pragmático, mecânico e não-justificado do ensino de álgebra, substituindo-o por uma abordagem que enfatiza a precisão da linguagem matemática, o rigor e a justificação das transformações algébricas através das propriedades estruturais; [...].
O movimento modernista não conseguiu dar conta da crise, pois acabou se tornando difuso e diversificado pelas formas diferentes pelas quais foi assimilado em diferentes países, concluem os autores que no caso brasileiro, aos poucos, vai adquirindo um caráter eclético devido às influências que recebeu. A partir do final da década de 70 aparecem alternativas para superar essa situação focando a correção de distorções e excessos cometidos. Uma das distorções foi o esvaziamento do ensino da Geometria, passando a ser este a principal preocupação das novas propostas.
Entendo que as modificações que a Educação Matemática sofreu foram sempre através de influências de outros países, sem um posicionamento crítico sobre estas e sem avaliações do que estava dando certo ou não nestas modificações.
o seu lugar de destaque, que havia adquirido com o Movimento da Matemática Moderna, através dos elementos unificadores, indicando uma tendência de a Geometria ocupar este lugar. Com estas novas propostas, a Álgebra parece retornar ao papel exercido anteriormente, conforme o citado abaixo:
Mas se, por um lado, na proposta da CENP (Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas) a Geometria passa a dar sustentação à metodologia do ensino da Aritmética e da Álgebra, por outro lado, o próprio ensino de Álgebra não apenas perde aquelas características que a Matemática moderna lhe havia atribuído como também parece retomar – sem, é claro, aquelas regras e aqueles excessos injustificáveis do algebrismo - o papel que ele desempenhava no currículo tradicional, qual seja o de um estudo introdutório – descontextualizado e estático – necessário à resolução de problemas e equações (MIGUEL, FIORENTINI E MIRIOM, 1992, p.51).
A Álgebra, nos dias de hoje, ocupa um lugar privilegiado nos livros didáticos, mas acredito que as reflexões realizadas sobre o seu ensino ainda não foram suficientes para minimizar o problema das dificuldades de compreensão dos seus conceitos e procedimentos.
3.1.1 As concepções de Álgebra e Educação Algébrica
De acordo com Baumgart (1992), a palavra Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr, usada no título de um livro Hisab al-jabr w’al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi. Uma tradução literal do título do livro é “ciência da restauração (ou reunião) e redução”, mas matematicamente seria melhor “ciência da transposição e cancelamento”, ou ainda talvez a melhor tradução fosse “a ciência das equações”.
Miorim, Miguel e Fiorentini (1993) afirmam que durante a história do ensino da Matemática, as principais concepções para educação algébrica foram as que seguem. Numa primeira concepção praticamente predominante durante todo o século XIX e primeira metade do século XX, tanto no Brasil como em outros países, prevalecia a crença de que a aquisição, ainda que mecânica, das técnicas requeridas pelo transformismo algébrico – obtenção de expressões equivalentes mediante o emprego de regras e propriedades válidas – seria suficiente para que o aluno fosse capaz de resolver problemas, ainda que estes fossem quase sempre artificiais. Essa concepção chamava-se lingüístico-pragmática.
Com o Movimento da Matemática Moderna, veio uma nova concepção para educação algébrica, que foi denominada pelos autores como fundamentalista -estrutural. Nesta concepção o papel pedagógico da educação algébrica é o de fundamentar os vários campos da matemática escolar. Acreditava-se que a introdução de propriedades estruturais das operações que justificassem cada passagem presente no transformismo algébrico capacitaria o aluno a aplicar essas estruturas nos mais diferentes contextos. Por fim, uma terceira concepção, a qual foi chamada pelos autores de fundamentalista-analógica, tenta fazer uma síntese das concepções anteriores, procurando recuperar o valor instrumental da Álgebra, mantendo o caráter fundamentalista de justificação, mas agora não mais de forma lógico-estrutural, e sim, na maioria das vezes, em recursos analógicos geométricos e, portanto, visuais (MIORIM, MIGUEL E FIORENTINI, 1993).
Esta falta de consenso sobre a sua concepção e até por definir tópicos que fazem ou não parte do estudo da Álgebra acabam trazendo dúvidas quanto a importância destinada a cada um destes, no estudo algébrico.
Como seqüência da fundamentação teórica, faço um estudo sobre a linguagem e a construção do conhecimento.
3.2 A Linguagem e a Construção do Conhecimento
Considerei importante destacar a linguagem e a construção do conhecimento nesta seção por este trabalho tratar de uma linguagem específica, rígida, formal. Sendo assim, faço um estudo sobre a importância da linguagem na construção do conhecimento, apoiada nas teorias de Vygotsky.
Na teoria proposta por Vygotsky, a linguagem ocupa um papel fundamental no crescimento intelectual da criança, já que este depende de seu domínio dos meios sociais e do pensamento, isto é, da linguagem. Para Vygotsky “[...] o desenvolvimento do pensamento é determinado pela linguagem, isto é, pelos instrumentos lingüísticos do pensamento e pela experiência sócio-cultural da criança” (VYGOTSKI, 1998, p.62).
De acordo com Moysés (2006), para Vygotsky, o homem em interação com o meio modifica-o e modifica a si mesmo. O instrumento que mediatiza o homem e o meio social é chamado de signo, que pode ser a linguagem, os vários sistemas de contagem, os sistemas de símbolos algébricos, mapas, diagramas, desenhos e todo o tipo de signos convencionais.
La Rosa (Ibid.) afirma que a maior mudança que acontece na capacidade da criança, quando ela passa a usar a linguagem para solucionar problemas, ocorre quando ela internaliza a fala socializada, aquela que inicialmente era utilizada para dirigir-se a um adulto. Nessa fase, ao invés de procurar um adulto para solucionar o problema, busca em si mesma uma solução.
Para Moysés (2006), na linguagem matemática, por exemplo, o sistema simbólico algébrico já se encontra estruturado quando o aluno chega à escola. É necessário que o aluno consiga compreender os procedimentos que regem esse sistema e esse é o papel da escola, que através da mediação do professor, das atividades que propõe e de suas intervenções, consiga propiciar momentos em que o aluno internalize esses procedimentos.
A internalização desse sistema de linguagem – signo – e das regras que regem esse sistema acontece através de um processo de transformação e não de transferência. Dessa maneira, para Moysés (2006), a passagem do plano externo para o plano interno não se dá como uma simples cópia, ao contrário, essa passagem transforma o próprio processo e muda sua estrutura e funções. Vai acontecer a partir da interação social, de modo que o processo de internalização inicia com uma atividade externa, sendo reconstruída pelo indivíduo. Neste ponto pretendo ressaltar a importância da linguagem na comunicação professor-aluno.
Assim como o processo de internalização, outro ponto dos estudos de Vygotsky que ilustra esta pesquisa é a zona de desenvolvimento proximal, que foi definida por ele como a distância entre o nível de desenvolvimento real e o nível de desenvolvimento proximal. Sendo o primeiro, a capacidade da criança de resolver um problema sem ajuda, já o segundo é a capacidade de resolução deste problema com a ajuda de um adulto ou em colaboração de outros mais capazes. Desta forma, penso que é importante a interferência, a mediação do professor, assim como também é fundamental oportunizar atividades em pares ou em grupos. Moysés (2006) ilustra minha discussão quando afirma:
desempenhá-la com a ajuda de um adulto (ou de alguém mais adiantado do que ela). Perguntas-guia, exemplos e demonstrações constituem o cerne dessa ajuda (MOYSÉS, 2006, p.34).
De acordo com a mesma autora, quando o professor cria zonas de desenvolvimento proximal, está impulsionando o aparecimento de funções superiores ainda não completamente desenvolvidas.
A formação de conceitos insere-se nos trabalhos de Vygotsky como uma extensão das suas próprias pesquisas sobre o processo de internalização. Este autor propõe a distinção entre conceitos espontâneos e científicos, considerando os primeiros aqueles que a criança aprende no seu dia-a-dia, nascidos do contato que ela possa ter tido com determinados objetos, fatos, fenômenos etc.. E os últimos como sendo aqueles sistematizados, os que são transmitidos intencionalmente, são, por excelência, os conceitos que se aprendem na escola (MOYSES, 2006).
Para Vygotsky (1998), existe uma interação entre os dois tipos de conceitos e elos que os unem em um sistema total de conceitos, durante o desenvolvimento intelectual da criança.
No que diz respeito à formação de conceitos, Vygotsky (Ibid., p.104) afirma que
[...] um conceito é mais que uma soma de certas conexões associativas formadas pela memória, é mais do que um simples hábito mental; é um ato real e complexo do pensamento que não pode ser ensinado por meio de treinamento, só podendo ser realizado quando o próprio desenvolvimento mental da criança já tiver atingido o nível necessário.
De acordo com Moysés (Ibid., p.37), Vygotsky resume o que seria um ensino voltado para a compreensão:
a) “trabalhando com o aluno”. A preposição com já revela uma atitude de interação. Trabalham professor e aluno. E o que é esse trabalho? O autor prossegue discriminando inicialmente o trabalho do professor.
b) “explicou” e “deu informações”. Explicar é muito mais do que fazer uma mera exposição. É buscar na estrutura cognitiva dos alunos as idéias relevantes que servirão como ponto de partida para o que se quer ensinar. É caminhar com base nessas idéias, ampliando os esquemas mentais já existentes, modificando-os ou substituindo-os por outros mais sólidos e abrangentes. Nesta tarefa desempenham papel fundamental e exemplificação e o enriquecimento do que está sendo explicado com um número suficiente de informações.
c) “questionou e corrigiu o aluno”, isto é, procurou verificar se sua fala havia sido compreendida e, diante de possíveis erros, vai corrigindo-os.
Mais uma vez, de acordo com o que é um ensino voltado para a compreensão proposto por Vygotsky, percebo a importância das atividades propostas pelo professor, assim como as intervenções e questionamentos que faz, para que realmente aconteça a construção do conhecimento.
3.2.1 A Linguagem Matemática
Penso que a Matemática possui uma universalidade em sua linguagem que é bastante peculiar e que esta desenvolveu-se sintética no intuito de facilitar a comunicação da mesma entre as pessoas. Esta simbologia, que podemos dizer de caráter universal, possui formalismos que acabam afastando o aluno, com uma idéia que pertence somente ao mundo dos matemáticos, e, o que é pior, tornado-se um instrumento excludente. Dienes (1975, p.131) ilustra está discussão quando diz:
Particularmente através dos últimos cem anos mais ou menos, a linguagem matemática tornou-se tão rica que nem mesmo os matemáticos podem familiarizar-se com toda ela. O homem da rua foi deixado tristemente para trás e um leigo ouvindo dois matemáticos discutindo um problema intrincado poderia muito bem supor estar ouvindo uma língua estrangeira [...].
Além de a linguagem matemática ser extremamente rica e formal, penso que muitas vezes acentuamos as dificuldades com o seu simbolismo quando não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos símbolos, de clarear os seus significados. Acabamos abusando do seu uso e conseqüentemente dificultamos o processo de aprendizagem.
Escrever e se comunicar por meio da linguagem matemática, assim também como ler e entender é mostrar-se portador dessas habilidades. Podemos dizer que comunicar-se em Matemática é comunicar-se em outra forma de linguagem que não a materna. Diferentemente da língua materna que é uma linguagem natural, a linguagem matemática é uma linguagem construída. E, assim como a linguagem materna, a Matemática é uma forma de comunicação. Através da Matemática analisamos, interpretamos dados da vida.
colocarmo-nos no lugar de nossos alunos, lembrar que muitas vezes não se aprende não por que faltou comprometimento ou vontade, mas sim porque muitas vezes aquilo que é evidente para o professor não é visto da mesma forma pelo aluno.
Klüsener (2001, p.177) destaca:
Aprender matemática é, em grande parte, aprender e utilizar suas diferentes linguagens – aritmética, geometria, álgebra, gráfica, entre outras. Na atualidade, as linguagens matemáticas estão presentes em quase todas as áreas do conhecimento. Por isso o fato de dominá-las passa a constituir-se um saber necessário considerando o contexto do dia-a-dia.
Para Malta (2004), muitas das dificuldades encontradas no estudo da Matemática estão intimamente ligadas à deficiência do uso da linguagem escrita, pois parte do pressuposto de que expressar de forma clara o raciocínio é equivalente à capacidade de entender resultados. O desenvolvimento da capacidade de expressar o seu próprio raciocínio irá promover o desenvolvimento da capacidade de compreensão da Matemática. E vai além:
Sem o desenvolvimento do domínio da linguagem necessária à apreensão de conceitos abstratos (e, portanto extremamente dependentes da linguagem que os constrói) nos seus diversos níveis, não pode haver o desenvolvimento do pensamento matemático (também em seus diferentes níveis) (MALTA, 2004, p. 44 e 45).
O fato de hoje utilizarmos uma linguagem matemática formal, como já dissemos, foi para sintetizar a comunicação. Fazer com que o aluno seja sabedor disso, e de que a Matemática nem sempre utilizou uma simbologia tão formal, talvez o faça entender que houve uma necessidade para que isso acontecesse, pois, como linguagem universal, deve procurar estar livre de interpretações.
3.2.2 A Linguagem Algébrica
A linguagem algébrica dentro da Matemática, é uma linguagem muito específica, cheia de formalismos que, como já foi dito, é tão sintética que aos olhos do aluno parece incompreensível. Sendo assim, faço nesta parte da subseção um estudo sobre a evolução da notação simbólica que muito tempo foi necessária para que chegássemos à álgebra simbólica utilizada atualmente.
Na estrutura curricular do Ensino Fundamental, o estudo da Álgebra é fundamental. É a partir da apropriação dos seus conceitos que podemos fazer abstrações e generalizações e isso em um grau maior que o realizado no estudo da Aritmética. É importante a compreensão da linguagem algébrica na tradução de problemas reais para a linguagem matemática, a fim de resolvê-los.
Baumgart (1992) afirma que o desenvolvimento da notação algébrica obteve a sua evolução através de três estágios: o retórico ou verbal (tudo escrito com palavras), o sincopado (eram usadas abreviações) e por último o simbólico (uso de símbolos). O simbolismo moderno começou a despontar por volta de 1500. Para mostrar o processo de desenvolvimento, seguem alguns exemplos que mostram não apenas a diversidade posterior dos símbolos, mas também os graduais aperfeiçoamentos e a padronização da notação.
De acordo com esta idéia, para Schoen (1995, p. 138):
[...] o desenvolvimento histórico do simbolismo algébrico começou com um período de álgebra verbal ou retórica, que durou pelo menos três milênios. Ao período retórico surgiu um outro, de mais um milênio, em que o discurso algébrico caminhou gradualmente da fase retórica para a simbólica.
Sendo a Matemática expressa por um conjunto de símbolos, exige do aluno um entendimento sobre o significado destes. Essa linguagem formal e sintética muitas vezes acaba assustando o aluno, pois parece muito mais difícil do que realmente é. Penso que, talvez, ao serem introduzidos os símbolos que fazem parte do cenário da Matemática, se esses viessem dentro de um contexto para que o aluno pudesse fazer relações, tornaria o seu significado mais claro. O que também pode ser válido é a exploração das palavras que, além de pertencerem ao contexto matemático, também pertencem ao contexto não-matemático. A clarificação desses significados pode facilitar o seu recolhimento dentro do contexto matemático. Danyluk ilumina nossa discussão quando diz:
Se a Ciência Matemática tem a peculiaridade de ser expressa em uma linguagem simbólica, pode-se afirmar que, ao ler um texto de matemática, o homem envolve-se com simbolismos. Para ler um texto de matemática, o leitor deve familiarizar-se com os símbolos mostrados no discurso matemático. Por outro lado, é preciso considerar, também, que o leitor deve encontrar sentido nos símbolos matemáticos [...] (DANYLUK, 1993, p. 39).
E continua, afirmando:
Ao ler um símbolo matemático, é preciso entender o significado atribuído a ele. O símbolo traduz uma idéia e se refere a alguma coisa. É importante que o leitor reconheça um símbolo e faça uso de notações adequadas para expressar idéias. Mas somente usar e reconhecer sinais indica que a pessoa tenha compreendido ou atribuído um significado para o mesmo. Isso pode ser considerado uma atividade mecânica se não houver compreensão (DANYLUK, 1993, p. 40).
3.2.3 A Tradução de um Problema Real para a Linguagem Algébrica
Nesta parte da subseção abordo a passagem de uma situação-problema na linguagem corrente para a linguagem algébrica, entendendo que esta passagem é um fator que causa dificuldades no estudo algébrico.
Tendo a Matemática uma linguagem própria, com uma grande variedade de símbolos, podemos fazer uma codificação desta simbologia para a tradução de um problema na linguagem escrita para a linguagem matemática e observo que uma das barreiras enfrentadas pelos alunos no estudo da Álgebra está na hora de fazer a passagem de uma situação-problema na linguagem corrente para a linguagem algébrica. Sendo assim, faço um estudo nesta parte da subseção sobre a dificuldade de formalizar as informações em uma situação-problema.
No estudo de Álgebra, o aluno utiliza muito esta codificação já que este envolve uma interpretação exigindo a tradução da linguagem escrita para a linguagem matemática, e muitas vezes as dificuldades apresentadas pelos alunos na tradução de situação da linguagem corrente para a linguagem formal residem na interpretação. Não sendo capaz de interpretar, o aluno não conseguirá representar formalmente a situação. Segundo Lochhesd e Mestre (1995) muitos alunos possuem dificuldades na resolução de problemas algébricos bastante simples, principalmente quando estes necessitam da tradução da linguagem corrente para a linguagem formal. Em uma pesquisa realizada com alunos de um curso de engenharia, no qual deveriam interpretar problemas algébricos, os autores verificaram que, embora com um nível de ensino superior, não conseguiram interpretá-los de forma correta. Conforme estes mesmos autores, “Sem a capacidade de interpretar expressões, os alunos não dispõem de mecanismos para verificar se um dado procedimento é correto” (LOCHHESD e MESTRE, 1995, p.148).
Com minha experiência em sala de aula, noto que essas dificuldades persistem ano após ano, podendo ser um fator que implicará o fracasso e abandono escolar. Aqueles que continuam trazem consigo muitas lacunas na aprendizagem matemática.
Quando falamos de fracasso, não se trata, naturalmente, de fracasso dentro dos muros da escola. Embora em muitos casos o fracasso seja completo, isto significa que o aluno não aprende o que a escola lhe propõe, há um outro fracasso, igualmente preocupante, que é a farsa de tantas pessoas que aprendem o que é ensinado na escola, mas somente para a escola.
Acredito que o papel da escola é tornar o aprendizado significativo, que este não seja importante apenas para passar nas provas e obter uma aprovação no final do ano. Mas que o aluno seja capaz de relacionar o que aprendeu na escola com fatos de sua realidade, conseguindo aplicar este aprendizado nas mais diversas situações.
3.3 A Relação Entre Álgebra e Aritmética
Acredito que seja necessário fazer um estudo das rupturas e continuidades existentes entre Álgebra e Aritmética, para poder compreender melhor uma parte das dificuldades apresentadas no estudo algébrico.
Na experiência que tenho vivenciado, além da tradução de um problema real para a linguagem algébrica, a resolução de um problema vai exigir que o aluno utilize os conhecimentos que fazem parte dos procedimentos algébricos. Esta nova fase, que tem início na 6ª série do Ensino Fundamental e aprofunda-se na 7ª série, em que o aluno se depara com um cenário totalmente novo e algumas vezes esses procedimentos são contraditórios aos dos procedimentos aritméticos, aos quais estava acostumado, também é um fator que gera grandes dificuldades.
Segundo Booth (1995), a Álgebra é uma fonte de confusões e de atitudes negativas consideráveis entre os alunos. Este sentimento faz parte da vida de qualquer professor de Matemática.
Para Klüsener (2001), o fato de poder representar um conjunto de valores e também poder manipulá-lo de forma simples, faz com que a Álgebra tenha uma grande utilidade, mas os alunos não chegam a compreender e a aproveitar este benefício.
desses necessitam. Esta é a principal questão que gera um desgosto pelo seu estudo. O fato de não compreendê-la afasta o aluno da Álgebra.
Percebo que, dentre alguns fatores influentes na apropriação do conceito algébrico, está a sua relação com a Aritmética. Para Oliveira (2002), algumas barreiras se configuram na Álgebra pelo fato de o aluno trazer para o contexto algébrico dificuldades herdadas do aprendizado no contexto aritmético ou por estender para o estudo algébrico, procedimentos aritméticos que não procedem.
Nos trabalhos realizados em sala de aula, percebo que uma das dificuldades herdadas do contexto aritmético que se estende para o algébrico é o uso de parênteses. Os alunos tendem a pensar que é a seqüência que determina a ordem em que se deve resolver uma expressão. Ainda muitas vezes, o aluno determina a ordem dos cálculos conforme o contexto ao qual a expressão está ligada. Booth (1995) exemplificou esta situação com o exemplo no qual mostra um retângulo com as medidas dos lados representados por a + m e p:
p
a m
A tendência é que o aluno dê como resposta para a representação da área dessa figura p x m + a, ignorando a necessidade de parênteses.
Conseqüentemente, escrevem-se incorretamente expressões algébricas que necessitam de parênteses (por exemplo, p x a + m em vez de p x (a + m)), o que pode acarretar outros erros quando a expressão é simplificada (por exemplo, p x a + m poderá então ser reescrita, erradamente nesse contexto, como pa + m). Nesse caso o erro é fruto menos de concepções algébricas erradas do que de uma visão incorreta da representação aritmética (BOOTH, 1995, p. 34).
x 3. Grande parte da simbologia utilizada no contexto algébrico, já foi anteriormente utilizada no estudo da Aritmética e, em alguns casos, com significados diferentes.
A Aritmética busca respostas numéricas, já a Álgebra é diferente, pois esta estabelece relações representando-as de forma geral e simplificada. Parte das dificuldades também se atribui à interpretação dos símbolos operatórios. “Em aritmética, símbolos como + e = são interpretados geralmente em termos de ações a serem efetuadas, de maneira que + significa efetivamente realizar uma operação, e = significa escrever a resposta” ( BERR, ERLWANGER E NICHOLS3, 1980; e GINSBURG4, 1997 citados por BOOTH, 1995, p.27).
Um erro bastante comum entre os alunos é de simplificar uma expressão como 2a + 5b para 7ab. Percebe-se que o aluno não aceita 2a + 5b como resposta válida, existindo a dificuldade em “aceitar a ausência de fechamento” (COLLINS5, 1975 citado por BOOTH, 1995, p. 27).
Outra grande diferença entre Álgebra e Aritmética está no uso de letras para indicar valores. “A letra m, por exemplo, pode ser utilizada em aritmética para representar metros, mas não para representar o número de metros, como em álgebra” (BOOTH, 1995, p.30). Essa mudança pode ocasionar uma confusão por parte do aluno que até uma época do seu estudo tinha uma letra para representar algo conhecido, ou seja, neste caso a unidade de medida. Então, o aluno pode imaginar que a letra deva representar algo que comece com ela, como no exemplo anterior m
representaria metros, só que agora ela representa um valor ainda desconhecido, e dependendo da expressão, esta letra ainda pode variar o seu valor.
É fundamental propiciar a discussão destes significados. É necessário que o aluno perceba que 3m, por um lado, significa a etiqueta que resume a palavra metros, e em outra situação pode representar 3 x m (KLÜSENER, 2001).
3BEHR, Merlyn, ERLWANGER, Stanley e NICHOLS, Eugene. How Children View the Equals sing. Mathematicas Teaching 92, 1998. 13-15.
4 GINSBURG, Herbert. Children’s Arithmetic: The Learning process. Nova Iorque: Van Nostrand, 1997.
5 COLLINS, Kevin F.. A study of Concrete and Formal Operations in School Mathematics: A
Para Usiskin (1995), muitas vezes se associa o estudo de Álgebra com o estudo de variáveis, o que não está correto já que nem sempre representações feitas por letras estão associadas à idéia de variação. Mais um ponto complicador no uso das letras é a sua equivocada interpretação, pois muitas vezes são referidas como variáveis ou incógnitas sem diferenças, o que é incorreto. Em muitas das expressões comuns no estudo da Matemática, podemos observar diferentes sentidos para a idéia de variável. Usiskin (1995) exemplifica esta situação:
(i) A =b⋅h, neste caso chamamos de fórmula a fórmula da área do retângulo.
(ii) 40=50x, neste caso o valor de x não pode variar, é uma incógnita e a expressão uma equação para ser resolvida, ou seja, é preciso encontrar o valor de x.
(iii) senx =cosx⋅tgx, aqui temos uma identidade que relaciona o seno e o co-seno de um mesmo arco.
(iv)
n 1 n
1= ⋅ , esta expressão representa uma propriedade.
(v) y =kx, aqui sim, temos a idéia de variável, já que o valor de y depende do valor que x assumir.
Para que realmente aconteça a aprendizagem de Álgebra, o aluno deve ter a compreensão da idéia de variável. Segundo Klüsener (2001, p. 186): “ O uso de variáveis tende a confundir-se com o simples uso das letras x, y, z ... manipulando-as naturalmente, sem chegar a valorar a sua complexidade, nem os seus múltiplos significados”. A autora acredita que, para que se adquira o conceito de variável, supõe-se a conjunção de dois processos: a generalização e a simbolização. O primeiro é o que permite a passagem de situações concretas para algo comum a todas elas, e o segundo é expressar de forma abreviada essa característica comum em todas as situações.
dar um valor fixo para esta letra (KUCHEMANN6, 1981 citado por BOOTH, 1995). Talvez, parte desta confusão se dê por falta de experiências que permitam ao aluno construir o conceito de variável. Se fossem propiciadas situações nas quais o aluno pudesse constatar a variabilidade de uma representação a idéia de variável poderia ser diferente. De acordo com esta idéia:
Não adiantará pôr uma variável à frente de uma criança até que esta a veja variar. Quando a variável tiver realmente variado na experiência da criança, então haverá sentido colocar o nosso número escolhido, em lugar de todos os números diferentes que já representaram o nosso número escolhido, e não será necessário muito tempo para convencê-la de que, como economia de expressão, pode usar-se uma letra-código para o nosso número escolhido ( DIENES, 1974, p.70).
Para este mesmo autor, é necessário que exista uma riqueza de experiências concretas para que o aluno possa recolher esta idéia de variabilidade.
Nas experiências que tenho tido, verifico a necessidade de explorar os diferentes significados das letras no contexto matemático, para que o aluno perceba que uma letra não necessariamente está representando um número. Na Geometria, por exemplo, as letras maiúsculas representam pontos, vértices de ângulos. Usiskin (1995) ainda lembra que uma variável, não necessariamente tenha que ser uma letra. E é essa a idéia do aluno que tende a acreditar que uma variável sempre éuma letra. O autor ainda acrescenta que esta concepção é reforçada pelo professor. De acordo com essa idéia, poderíamos usar qualquer simbologia para representar um valor que não é conhecido, não obrigatoriamente uma letra.
Penso que as relações entre Álgebra e Aritmética podem estar trazendo dificuldades para o estudo algébrico. No momento em que acontece a continuidade entre estes dois campos da Matemática, ou seja, quando os procedimentos aritméticos procedem no contexto algébrico, o aluno traz consigo as dificuldades que já havia na Aritmética. Já nas rupturas existentes, o aluno acaba confundindo-se com os novos procedimentos que divergem do contexto a que estava acostumado. Esta é uma
tarefa, talvez não muito simples para o professor. Acredito que no início do trabalho com Álgebra seja necessário uma parada para explorar estas diferenças.
3.3 O Ensino da Álgebra
Faço, nesta subseção, uma análise do ensino da Álgebra, pois entendo que a prática pedagógica tem uma relação direta com o sucesso da construção do conhecimento.
Lins e Gimenes (1997) afirmam que a Álgebra consiste em um conjunto de ações para as quais é possível produzir significado em termos de números e operações. Estando de acordo com esta definição de Álgebra, faço um estudo nesta subseção do ensino da Álgebra nos dias atuais, perpassando pelo lugar ocupado pela Álgebra no currículo atual e, fazendo uma discussão sobre a atividade algébrica.
Entendo que, para que realmente se construam conceitos e se aproprie de forma efetiva dos procedimentos algébricos, é fundamental que se consiga produzir significados para o seu estudo, no entanto percebo que o trabalho com o estudo algébrico não vai muito adiante de manipulações de símbolos que na maioria das vezes não possuem nenhum significado, sendo o seu estudo desenvolvido de forma mecânica.
Esta forma de ensino tem sido limitadora, nela o papel do aluno se restringe à memorização de regras já que não propicia relação dos procedimentos algébricos com situações reais. De acordo com os PCNs Introdução:
Observo que muitas vezes o único recurso didático utilizado pelo professor em sala de aula é o livro didático. É deste que ele retira as explicações e os exercícios a serem propostos para a turma e também se informa de alguma novidade dentro do ensino da Matemática. Sendo o recurso didático fundamental em sala de aula, e de acordo com Molina: “É ainda, objeto familiar a todo aluno, podendo-se afirmar que, muitas vezes, é um elemento tão presente na sala de aula quanto o próprio professor” (MOLINA7, 1998 citado por TELLES, 2004b, p.2). Deve-se refletir sobre o fato de o livro didático ser o principal recurso de sala de aula já que ele, na maioria das vezes, traz os conteúdos sem significação, apresentando-os com uma explicação (técnica) e propondo uma lista de exercícios (prática). Essa proposta dos livros didáticos, chamada de letrista por Lins e Gimenez (1997), não se baseia em investigação ou reflexão de natureza ou profundidade, apenas em uma tradição que já se mostrou ineficaz e perniciosa à aprendizagem. Para esses autores,
Por um lado, é verdade que ainda precisamos que as editoras e as universidades colaborem mais, para produzir material que ofereça alternativa ao que domina hoje, mas, por outro lado, é mais do que provável que a repetição dessa prática por tanto tempo, aliada ao fato de que o livro representa uma voz que se reveste de autoridade8, termine por constituir, para a maioria dos professores, a noção de que atividade algébrica é “cálculo literal”[...] (LINS E GIMENES, 1997, p.106).
Acredito que o professor precisa ter uma postura crítica e reflexiva para decidir o tipo de atividade e as intervenções mais adequadas para o estudo da Álgebra, sendo capaz de mostrar que muitas vezes o uso apenas do livro didático pode ser limitador. Essa é uma questão que requer reflexão, estudo individual ou coletivo. O ideal seria uma formação continuada, mas sabemos que esse estudo esbarra em uma série de fatores complicadores, impedindo que o professor esteja constantemente se atualizando e se capacitando.
Entendo que o papel do professor é fundamental, pois é dele que partem as tarefas que propiciam que o aluno faça relações, ou seja, produza significado para aquele estudo. É do professor que partem as intervenções, a fim de explorar situações
em sala de aula que podem ser muito proveitosas para a construção do conhecimento. Assim, para melhor fundamentar esses aspectos abordados, divido a secção em duas. Na primeira, abordo como a Álgebra vem sendo apresentada no currículo escolar e as implicações desta apresentação. Na segunda faço uma reflexão sobre as atividades algébricas, o quanto são ou não são significativas, tomando por atividade algébrica a definição dada por Lins e Gimenez (1997).
3.4.1 A Álgebra no Currículo Escolar Atual
A Álgebra ocupa um lugar de destaque no currículo escolar, mas observo que, mesmo com um grande tempo de estudo destinado a está área da Matemática, os alunos possuem uma deficiência grande no que se refere aos conceitos e procedimentos que fazem parte do contexto algébrico.
Na 6ª série, e com ênfase na 7ª série, há um marco na vida do educando com o início do estudo algébrico, depois de muitos anos de estudo da Aritmética. Conforme os PCNs de Matemática:
Para uma tomada de decisões para o ensino da Álgebra, deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de representações. Assim é mais proveitoso propor situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as “manipulações” com expressões e equações de forma meramente mecânica (BRASIL, 1998, p. 116).
Dessa forma o trabalho acaba sem propiciar relação alguma com a vida real do aluno, não facilitando em nada o estudo algébrico. Assim fica muito difícil para que o aluno consiga perceber as diferentes funções da Álgebra e também as suas utilidades. De acordo com os PCNs de Matemática, para que se garanta o desenvolvimento do pensamento algébrico, é necessário que sejam oferecidas aos alunos atividades que inter-relacionem as diferentes concepções de Álgebra, permitindo ao aluno analisar as suas diversas funções ao invés de simplesmente oferecer o contato com a técnica e a operatória:
Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relações entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regra para a resolução) de uma equação (BRASIL, 1998, p. 50 e 51).
Penso que realmente é de extrema importância que se proponha uma interligação entre os conteúdos estudados, propiciando ao aluno um ensino gradativo dos conceitos trabalhados. Assim, o aluno irá ampliando seu conhecimento aos poucos, mas de forma efetiva.
É interessante que o estudo da Álgebra inicie nas séries iniciais do Ensino Fundamental de maneira informal, sendo trabalhada juntamente com aritmética, e assim quando o aluno chegar às séries finais, com mais facilidade estes tópicos serão ampliados e formalizados, dentro de uma proposta de sempre fazer uma relação do que se está aprendendo com conhecimentos já existentes. Os PCNs de Matemática partem do pressuposto de que, para que o aluno possa entender álgebra simbólica, é necessário que os professores considerem já nas séries iniciais o estudo da Álgebra (BRASIL, 1998).
algébrico, mas sim a exploração de situações que propiciem ao aluno a percepção de regularidades em diversas situações, como aritmética e geométrica; comparação de situações com aspectos variantes com outros que não variam. Acredito que este seria um bom começo, para que, ao chegar à 7ª série, o formalismo algébrico, este que contém a síntese de um longo processo de evolução, seja mais facilmente entendido.
3.4.2 A Atividade Algébrica
Nesta parte da subseção, faço uma análise dos tipos de atividades algébricas, tomando com diretriz para este trabalho a definição de Lins e Gimenes (1997, p. 137), que afirmam que “A atividade algébrica consiste no processo de produção de significados para a álgebra”. É nessa perspectiva que se entende o estudo algébrico com efetiva construção de conhecimento. Aquele estudo que é capaz de produzir significado.
Acredito que a exploração de situações-problema seja uma forma bastante eficaz para o desenvolvimento de alguns conceitos algébricos pelo aluno. A partir de uma situação-problema, ele pode obter idéias a fim de resolvê-lo ou explicá-lo.
É interessante que estas problematizações sejam bastante diversificadas, com a investigação de padrões em sucessões numéricas ou geométricas; cálculo de áreas, volume e perímetros; preenchimento de planilhas; análise de gráficos.
De acordo com Ponte;
[...]no pensamento algébrico9 dá-se atenção não só aos objetos mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre estas relações tanto quanto possível de modo geral e abstrato. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este raciocínio é o estudo de padrões e regularidades (PONTE, 2005).
Através destas atividades, os alunos terão oportunidade de reconhecer regularidades, fazer generalizações e assim desenvolver a sua linguagem algébrica e
