A Din^amia dos Fluidos Complementada
e a Sustenta~ao da Asa
Complementationofuiddynamisandaerodynamilift
Klaus Weltner
, Martin Ingelman-Sundberg
,Antonio SergioEsperidi~ao
e Paulo Miranda
InstitutodeFsiadaUFBA,Rua CaetanoMoura,123-Federa~ao
CampusUniversitariode OndinaCEP:40.210-340,Salvador,Bahia
Smedsbaksgatan5,11539Stokholm,Sweden
e-mail: weltnerufba.br
Reebidoem08deSetembrode2000. Manusritorevisadoem05deSetembrode2001. Aeitoem15deJaneirode2002.
A explia~aoonvenional dasustenta~aodaasa, usando a leide Bernoulli, apresenta equvoos
gravesques~aoaquianalisados. Usamosasleis deNewtonpara demonstraroerentementea
sus-tenta~aoqueseoriginanaaelera~aodoarparabaixopelaasa. Aveloidadedouxodearaima
daasaemaiordoqueabaixodela. Mostramosqueistoedeorr^eniaen~aoausadabaixapress~ao.
Seumalinhadeorrenteforurvaexisteumgradientedepress~aoperpendiularaveloidade,fato
quen~aopodesernegligeniadonarepresenta~aodadin^amiadosuidos. Aanalisedaurvaturadas
linhasdeorrenteemvoltadeumobstauloeslareeagera~aoeadistribui~aodaspress~oes. Outras
aplia~oesequivoadasdaleideBernoullis~aodetalhadamenteanalisadassegundoonossoenfoque.
Apresentamosexperimentosonvinentesefailmenterealizaveis emsaladeaula, ompreensveis
mesmoparaoensinomedio.
TheonventionalexplanationofaerodynamiliftbasedonBernoulli'slawhasimportantmistakes,
whiharepointedout. LiftisbeexplainedhereinaoherentwayusingNewton'slaws. Weshow
thatthe higherstreaming veloityat theuppersideofanaerofoilisthe onsequenebutnotthe
auseofthelowerpressure. Theauseofliftisthedownwardaelerationofairbytheaerofoil. Fora
detailedanalysisweregardthenormalaelerationofairinaseofurvedstreamlinesthatresults
inpressure gradientsperpendiular to the streamlines. The analysis of urvatureof streamlines
in the viinity of obstales shows the generation of pressure distribution on the surfae. Other
misleadinganderroneousapliationsofBernoulli'slawarealsoanalyzedandorreted. Wepresent
lassroomexperimentsto demonstrateonvininglythedownward movementof airaused by an
aerofoilandthegenerationofpressurebythedeetionofairstream.
I Introdu~ao
A analise do v^oo pode despertar interesse para o
es-tudodaFsiamasnormalmente estamotiva~aon~aoe
usada. Uma ausadistopode seramaneirapela qual
este assunto e tratado. A explia~ao onvenional da
sustenta~ao da asa, baseada na lei de Bernoulli, diz
que a press~ao menor aima da asa e a onsequ^enia
de uma maior veloidade do ar aima dela. Este
raionio temdefeitosfundamentais poisn~ao dauma
ausa para a maior veloidade do ar aima da asa.
A abordagem apresentada aqui foi iniialmente
pro-posta por Smith [1℄, Flether [2℄ e Weltner [3℄. Ela
se baseia nas leis de Newton e partiularmente nas
tem um ^angulo de ataque em rela~ao a dire~ao do
proprio movimento. A asa fora o ar em torno dela
ase moverpara baixo, aelerando-onesta dire~ao. A
ontra-fora (rea~ao do ar), orientada para ima, e a
sustenta~ao. Esta abordagem e adotada por alguns
livros-textos omo o do Halliday - Resnik [4℄ e o de
Bergmann-Shaefer[5℄. Alem disso nas disuss~oes
in-ternaionaisontempor^aneasapareemvariostrabalhos
quemostramerrosnaaplia~aodaleideBernoullipara
asustenta~aoda asa omo Anderson e Eberhardt [6℄,
Craig [7℄ e Waltham [8℄. Sabemos que, se uma
ex-plia~aoerradaforprofundamenteradiada,ebastante
difilsubstitu-la. Certamenteporisso,asexplia~oes
onvenionaisaindasobrevivemomumaertaineria
dospilotos. Nestetrabalhoprouraremos
propositada-menteilustrarestenovopontodevistaom
experimen-tosdefailreprodu~aoedebaixousto. Nosaptulos
seguintesmostramosomoumalaunanaapresenta~ao
da din^amia dos uidos,presente na maioria dos
tex-tos,tenhapossivelmenteausadoaplia~oeserradasda
lei de Bernoulli. Propomos a analise da urvatura do
esoamento de um uido omo uma ferramenta forte
paraentenderagera~aoedistribui~aodaspress~oesem
tornode umobstaulo. Estetrabalhoestabaseadona
refer^enia[3℄de umdosautoresomadequa~oes e
ex-tens~oes.
II Sustenta~ao da asa
II.1 Analise das explia~oes
onven-ionais
A explia~ao onvenional, enontrada na maioria
dos livros-texto de Fsia,aplia a lei de Bernoulliao
esoamento doaremtornodeumaasadeforma
equi-voada. Aleinosdizque: no esoamentode um uido
apress~aoetantomenor quantomaiorfor asua
veloi-dade. Pelasanalisesdasfotos deletes deesoamento
do ar em torno da asa em tuneis de vento veria-se
queadensidadedosletesemaioraimadaasadoque
abaixo dela. Ent~ao, onsiderando a veloidade do ar
maioraimadaasadoqueabaixodela,etendoemvista
aleideBernoulli,deduz-sequeestamaiorveloidadedo
arausaumapress~aomenor. Esteraionioe
inom-pleto. Faltaexpliaromoaasaausaestasdiferenas
nasveloidades. Estafaltaefundamental. Sem
enten-deromoaasamodia asveloidadesdoesoamento
do ar, n~ao seompreende o seu papel. Destaquemos
algunsparagrafosretiradosdoslivros-textoquetratam
desteassunto.
i) Raionio levando em onsidera~ao os
om-primentosdosaminhosperorridospeloar. [9℄
\AFig. 1 mostrao aspeto das linhas de orrente
do esoamento em torno de um aerofolio, no plano
da se~ao transversal. A veloidade do ar e maior na
partesuperiordaasado quenainferior(oartemuma
dist^ania maior a perorrer por ima). Novamente,
pelaequa~aodeBernoulli(fen^omenodeVenturi),a
ve-loidademaiordo esoamentoreduzapress~ao naparte
superior, eoempuxodin^amioE resultantesustenta o
Figura1. Esoamentodoaremtornodaasa[9℄.
Este raionio se baseia na hipotese de que as
partulasdoarqueestavamjuntasafrente da asase
juntem novamente atrasdela. Smith(1972) [1℄
desta-ouqueestahipotesen~aotemnenhumajustiativana
teoriaeeerrada. Realmente,asFigs.2ae2bmostram
queaspartulasdoarqueestavamjuntasafrente da
asanunamaissejuntar~aoatrasdela.
Figura2a. Linhasdeesoamentoemtornodaasa. Copiade
umafotodeumesoamentorealommaradoresdefumaa.
Figura2b. Esoamentoaluladoteoriamente[6℄.
Adiferenadasdist^aniasperorridasn~aopode
es-tarrelaionadaomasdiferenasgeometriasexistentes
equi-podem saber,apriori,queadist^aniaaserperorrida
aimadaasaemaiordoqueabaixodelaeporisso
de-vemtermaiorveloidadeaimadoqueabaixoparan~ao
sesepararemnonal dosdoisperursos[1℄.
ii) Raionioa respeito dairula~ao
Airula~aoeumoneitomatematioapliadoao
esoamento dosuidos.
E aintegralde linha do
pro-dutoesalardaveloidadeomoelementodelinha. Se
esta integra~aofor realizadaao longo de um aminho
fehado en~ao for nula, oseu valor ea irula~ao. Se
as veloidades aima e abaixo da asa t^em diferenas,
esta integral n~ao pode ser nula, indiando uma
ir-ula~ao. Existemautoresqueapresentamairula~ao
omoausadadistribui~aodasveloidadesemtornoda
asa [10℄. Se for usadaomo explia~ao, temosque
es-lareeromoaasaagera.Porenquanto,ooneitode
irula~aoeumadesri~aomatematiadadistribui~ao
das veloidadesmas n~aoeuma explia~ao.
Disutire-mosesteassuntoemmaisdetalhesnoap^endie8.1para
mostrarqueodesviodoesoamentoparabaixoausado
pelaasaresultanumairula~ao.
iii) Raioniosirrelevantes
Frases dotipo\A forma da asa leva oar a esoar
assim"soservemparaoultarafaltadeumaexplia~ao
onvinenteeoerente.
Conlus~ao: Podemosdizer que aexplia~ao
on-venionalenontradanamaioriadoslivrostextospara
a sustenta~ao da asa e inompleta oumelhor, errada.
Podemosadiantar,poisexpliaremosmaisadiante,que
a origem deste dilema e ofato de que amaior
veloi-dade do ar aima da asa e uma onsequ^eniade uma
menorpress~aoen~aoaausadela.
II.2. Raioniobasio: Asustenta~ao da
asa e a fora de rea~ao
A explia~ao da sustenta~ao do rotor de um
heliopteroeomumentebaseadanasleisdame^ania.
Um uxo de ar e empurrado e aelerado para baixo.
Paraissoorotorexereumaforasobreoar. Area~ao
easustenta~ao. Analogamente seexplia apropuls~ao
a helie ou a jato. Neste aso a asa exere a mesma
fun~aodaheliedohelioptero. Aasaeumasuperfie
umpouourvaomumerto^angulodeataquequee
fundamentalparaoseuomportamentonouxodear.
Fig. 3.
Figura 3. O^angulo de ataque eo ^angulo entre a dire~ao
do movimento da asa e a seante que passa pelos pontos
anterior e posterior maisdistantes dalinha media doseu
Se esta superfie for movida horizontalmente, ela
aeleraoarem repousoeemtornodesiparabaixo
e-xerendoumaforavertialaoar. Reenfatizamosquea
ontraforaeasustenta~ao. Esteraionioqualitativo
eaprofundadoteoriamenteno ap^endie8.1. A
aele-ra~ao vertial do arpode ser demonstrada failmente
mediante o uso de um indiador para os movimentos
doar,omosesegue.
Experimentoemsalade aulaparademonstrara
aelera~ao vertial do ar
Desrevamosiniialmenteaonstru~aodeum
indi-adordosmovimentosdoaromonaFig. 4. Tomemos
umahastedemadeirade70-100mdeomprimento,
bem leve porem rgida. Um papel ou uma pea
re-tangular de artolina de aproximadamente 10 por 10
entmetrosexadaemumadasextremidadesdahaste.
Paraqueobraoondesexouopapelsejabemmaior
doqueooutro,aonselhamosprenderumpequeno
on-trapesonaoutraextremidadedahaste. Aosersuspenso
peloentrodemassa,oarranjodevepermaneerna
ho-rizontalomafaedopapelparalelaaoh~ao,podendo
mover-selivrementenoplanovertial. Omodelodaasa
podeseronfeionadoomumatiradeartolinade20
por40entmetroseparaissoenurva-seaartolina
se-gundoadimens~aode20entmetrosatequeasbordas
de40 entmetrosseenontrem,quandoent~ao, devem
seroladas. Obtem-seaasa, modelando-se
uidadosa-menteestapeaateformarumperlomoomostrado
naFig. 3. Noiniodeadatesteoindiadorde
movi-mentodoardeveestaremrepouso,nahorizontal.
Figura4. Indiadordemovimentodoar,antes,durantee
depoisdapassagemdaasaemmovimentohorizontalabaixo
doindiadorque,emonsequ^enia,desloa-separabaixo.
Seomodelodaasaformovidonahorizontal,abaixo
ou aima do indiador, este semovepara baixo, seo
^
angulode ataqueforpositivo. Oindiadorpermanee
quase em repouso, seo ^angulo de ataquefor proximo
de zero, e move-se para ima, se o ^angulo de ataque
fornegativo. Estedispositivoindiaadire~aoeo
sen-tido do movimento do ar. Os seus movimentos ser~ao
maisdestaadosseo^angulodeataqueeaveloidadeda
asaforemmaiores. Depoisdodesloamentooindiador
tenderaavoltaraposi~aoiniial. Valeapenasalientar,
movi-ventiladoreseondiionadoresdeardevemser
desliga-dos bem omo janelase portasseremfehadas. Alem
disso, o modelo da asa deve ser movimentado numa
trajetoria horizontalretilneaque seiniie distante do
indiador a m de que o esoamento do ar em torno
dele se estabelea de forma estaionaria. Estes
expe-rimentos simplespodem serdemonstrados em sala de
aulaparaeslareerasrela~oesfundamentaisquantoa
sustenta~aodaasa.
A sustenta~ao depende do ^angulode ataque
Ouxo do impulso vertial do arpara baixo, que
equivaleasustenta~aoe,emprimeiraaproxima~ao,
pro-porional ao ^angulo de ataque quando este se situar
entre -10 Æ
e +20 Æ
. Fora desta faixa, o esoamento e
turbulento en~ao segue mais ageometria da asa. Por
exemplo, para ^angulos superioresa 20 Æ
a sustenta~ao
diminui.
A sustenta~ao depende da veloidade
Podemos mostrar qualitativamente o aumento do
movimento vertial do ar devido a veloidade da
asa. Teoriamente obtem-seesta rela~aopeloseguinte
raionio. Se a veloidade for dupliada,
mantendo-seonstantes ageometriada asae aslinhas de
esoa-mento, ent~ao dupliar~ao amassa dearaeleradopara
baixoporsegundo(uxo)eaveloidadevertialdoar.
Considerandosimultaneamente essesefeitos, a
sus-tenta~aoseraquadrupliada,seaveloidadefor
dupli-ada. Podemos onluir que, a sustenta~aoe
propor-ional aoquadrado da veloidaderelativaentreo are
aasa.
A sustenta~ao depende da densidadedo ar
Realmente, todas as foras s~ao proporionais a
massaaelerada. Seasdemaisondi~oespermaneerem
onstantesesesomente amassasofrervaria~ao,ent~ao
asforasser~aoproporionaisadensidade. Como
sabe-mos,aumaaltitudede12.000m adensidadedoarea
press~ao atmosferia sot^em umquarto de seus valores
nasuperfiedaTerra. Porisso,paraumv^ooaesta
al-turaovalordaforadesustenta~aoaipara1/4. Este
efeitopodeserompensadodupliando-seaveloidade
do v^oo o que provoaraa quadruplia~ao da fora de
sustenta~ao.
Sustenta~ao e atritoinduzido
Oaraeleradopara baixotemenergiainetiaque
eforneidapelaasaemmovimento. Aasaquesemove
nadire~aohorizontalaelerandooarparabaixo,sente
onsequentemente um atrito queedenominado atrito
induzido. Noslaboratoriosenasdemonstra~oesemsala
de aula, toma-se omo refer^enia, aasa em repouso e
oar emmovimento. Estaeasitua~aodosmodelosem
tuneis de vento. Esta abordagem failita os alulos
teorios. Nesteaso,aasaausaumdesviodouxode
aremtornodela. Podemostambemmostrarfailmente
odesviodoesoamentoparabaixo,omosesegue:
Experimentoemsaladeaulaparademonstraro
desviodo esoamento para baixo:
delo deuma asaomo o desritoanteriormente. Cole
umatiradepapeldesedanabordatraseiradaasaque
funionara omo indiador da dire~ao do uxo de ar
atrasdela. Coloque-a agoranouxo deardoseador.
Pode-severqueadire~aodatiraoinideomado
es-oamento. Mudando-seo^angulo de ataquemuda-sea
dire~aodoesoamentodoaratrasdaasa.
Considerando todos estes fatos onlumos que o
raionio baseado nas leis da me^ania e oerente e
explia asustenta~aodaasa. Sofaltaaexplia~ao do
meanismodaaplia~aodasforasaasa,querdizer,da
gera~aodaspress~oesem tornodela.
III Fundamentos da din^amia
dos uidos
III.1 Observa~oes gerais
A din^amia dos uidos e baseada nas leis da
me^ania Newtoniana omo mostrou Euler ha quase
tr^esseulos. Ele apliouasleis fundamentaisde
New-ton ao movimento de uidos em tr^es dimens~oes e
es-tabeleeu as equa~oes difereniais do esoamento, as
hamadas equa~oes de Euler. Vamos examinar as
equa~oesdemovimentodeumuido,atendendoas
nos-sasneessidadesespeas. Porisso,vamosonsiderar
o uido ideal. Para simpliar os alulos limitamos
nossa analise aum esoamento estaionario dentrode
umtubodeorrente[11℄. Otubopodeserurvoeseu
di^ametropodevariar.
Examinemosumelementode massam=V,
sendo asuadensidade eV oseuvolume. Pela
se-gundaleideNewtonaaelera~aodestamassaedevida
a uma fora resultante que tem a mesma dire~ao da
aelera~ao. Asforasapliadasamassams~ao
deor-rentesdasdiferenasdaspress~oesnasfaesopostasdo
seuelementodevolumeV. VejaFig. 5.
Figura5. Elemento devolumedeumuidodentrodeum
tubodeesoamento.
Assim, a aelera~ao de uma partula do uido e
ausadapelosgradientesdepress~aoestatia. S~aoduas
asaelera~oesprinipais: atangenialeanormalom
respeitoadire~aodomovimento, indiadapelaslinhas
III.2 Aelera~ao tangenial e a lei de
Bernoulli
Aaelera~aotangenialeausadaporumadiferena
de press~ao na dire~ao do movimento. Se aaelera~ao
for positivaapress~aodevesermaiornafae posterior
do que na da anterior.
E esta diminui~ao da press~ao
aausa daaelera~ao. Consequentemente uma
veloi-dade maior numa regi~ao de baixa press~ao e o efeito
provoadopelapress~aomenor. Seestarela~aoforbem
entendida nunasepode pensar em usar aveloidade
maior omo ausa da diminui~ao da press~ao. Vale a
pena evideniar este raionio qualitativo porque
as-sim seevitam explia~oesinorretas dasaplia~oes da
equa~aode Bernoulli. O alulo que segue resulta na
leideBernoulli.
Figura6.Aelera~aotangenialdeumelementodemassa
deuido.
Vamos nosreferirao elemento demassa daFig. 6.
ApliandoasegundaleideNewton,tem-se:
F =ma; emque a= dv
dt
: (1)
Sendoaforanadire~aosdomovimentoesrevemos
F = Ap= A dp
ds
s (2)
Lembre-se de que a fora sera positiva se a press~ao
diminuir, porisso o sinal e negativo. O elemento de
massae:
m=As: (3)
SubstitudasestasquantidadesnaEq. (1),obtemos:
A dp
ds
s=As dv
dt
: (4)
DividindoporAs,erearrumandoostermos,resulta
em
dp
ds =
dv
dt
ou dp= dvds
dt
: (5)
Lembrando que v = ds=dt e substituindo-a na
ex-press~ao aima, enontramos a seguinte equa~ao
dife-renial:
integrandoestarela~ao entre as posi~oes 1e 2do
ele-mentodevolume,istoe:
Z
2
1
dp= Z
2
1
vdv ; (7)
queresultanaequa~aodeBernoulli,propriamentedita:
p
1 p
2 =
2 (v
2
2 v
2
1
) (8)
A deriva~ao aima n~ao e t~ao failomo aquela
omu-mente presente nos livros-textos queusa alei da
on-serva~ao da energia. Mas esta abordagem tem uma
vantagemfundamental: eladeixalaroqueaveloidade
maiore sempre oefeito de press~ao menor. Tendo em
menteestarela~ao,evitam-seerrosnasuaaplia~ao,
es-peialmente quandoumamaiorveloidadedouxofor
onsideradaomoausadapress~aomenor. Restaainda
umproblema: omoseproduzadiminui~aodapress~ao
no esoamento, nas proximidades de um obstaulo,
omo uma asa? A resposta a esta pergunta esta na
aelera~aonormalaoesoamento,aqualpassaremosa
examinar.
III.3 Aelera~ao normal
Para ompletar a analise das aelera~oes sofridas
pelo uidotemos que onsiderar aaelera~ao
perpen-diularaveloidade,ouseja,aaelera~aodoelemento
de massa do uido na dire~ao normal ao esoamento,
omoilustradonaFig. 7.
Figura7. Aelera~aonormaldeumelementodemassado
uido.
Seotubodeesoamentoforurvo,existeuma
ae-lera~aonormaldireionadaparaoentrodeurvatura.
Estaaelera~aosopodeexistirseumaforaemdire~ao
ao entro de urvatura for apliada ao elemento de
massa. No nosso aso, a fora so pode ser originada
dasdiferenas daspress~oesnas faes paralelasalinha
deesoamento. A press~ao nafae voltada parao
nasondi~oesemqueseproduzumesoamentourvo,
apress~aoaumentanadire~aoopostaaoentrode
ur-vaturadatrajetoria.
Aaelera~aoperpendiularaslinhasdoesoamento
e importante porque esta relaionada a um gradiente
dapress~aoperpendiularaestasmesmaslinhas. A
de-monstra~aomaissimplesdestefatoeatravesdarota~ao
de um lquido num reipiente ilndrio, gerando um
esoamentoirularomlinhasdeesoamentotambem
urvas. A superfiedouido sobeproporionalmente
aoquadradodadist^aniaaoeixoderota~ao,mostrando
umaumentodapress~aorelativamenteaumnvel
ons-tante. Uma aplia~ao deste efeito e a maquina
en-trifugadora. Para uma analise quantitativa partimos
novamente da equa~ao de movimento de Newton, Eq.
(1).
Representemosoeixonormalalinhadeesoamento
direionadoparaforadoentroporr,omo naFig. 7.
Aforaapliadaaoelementodemassae:
F = A dp
dr
r: (9)
Osinalnegativoedevidoaofato dequeum
gradi-entepositivogerauma foradireionadaparaoentro
deurvatura(dire~aonegativa).
Comojasabemosamassaedadapor
m=Ar : (3
0
)
Substituindo estas quantidades na Eq. (1), obtemos
que
A dp
dr
r=Ar dv
dt
(10)
ou
dp
dr
=
dv
dt
(11)
Neste aso, sabemos que a aelera~ao normal e dada
por
dv
dt =
v 2
r
; (12)
emquereoraiodeurvatura.
Substituindo esta express~ao em (11), obtemos a
equa~aodiferenialque desrevearela~aoentre o
gra-diente de press~ao na dire~ao r em fun~ao do raio de
urvatura da linha de esoamento e da veloidade do
uxodouido,
dp
dr =
v 2
r
: (13)
Infelizmenteestaequa~aon~aotemsolu~aofail,pois
as press~oes s~ao obtidas atraves de uma integra~ao ao
longodetrajetoriasperpendiularesaslinhasde
esoa-mento. A solu~ao depende do onheimento das
dis-tribui~oes de veloidade v e dos raios de urvatura r
Existe, apesar disso, um aso em que a solu~ao
analtia pode ser failmente obtida. Se o lquido
es-tivergirando,omonoasodeumilindrogirante,sua
superfieadquireaformadeumparaboloide. Aaltura
dolquidofuniona omo umman^ometro,indiando a
press~ao referente a um nvel xo. Para uma
veloi-dadeangularuniforme!,aveloidadedouidoauma
dist^aniar doeixoderota~aoedadapor
v=r!
SubstituindovnaEq. (13)aima,resultaem
dp
dr
=ot r
2
! 2
r ;
ujasolu~aoe
p=! 2
r
2
2
: (14)
Apress~ao,eportanto aalturadasuperfie,e
pro-porionalaoquadradodadist^aniaraoeixoomojafoi
menionado. Estarela~aovale tambemparamaquinas
entrifugadoras.
Inexpliavelmente,oslivros-textosn~aotratamda
a-elera~aonormalnumesoamento. Porisso,aexist^
en-ia de gradientes de press~ao perpendiularesaslinhas
do esoamento e omitida tambem. Esta omiss~ao n~ao
oorre nos livros tenios de din^amia dos uidos em
tubosurvos. A aus^enia daanalise dosgradientesde
press~ao normais ao esoamento tem um resultado
de-sastroso. Sem elaeliteralmente impossvelentendera
gera~ao das press~oes menores num esoamento. Para
analisar aprodu~ao daspress~oes menores temos antes
queexpliaroefeito Coanda.
III.4 Efeito Coanda
Seumobstauloforinseridonouxodeumuidoo
seuesoamentoproximoassuperfieslimitantes
aom-panhaassuasformasseassuperfiesforemsuavemente
urvas. Exemploss~aoasasasdosavi~oes,osorposdos
passaros e todas as formas hamadas aerodin^amias.
Esteomportamentodeumuidoehamadodeefeito
Coandaemhomenagemaoengenheiroingl^esqueo
des-obriu e analisou. Na Fsia, um esoamento deste
tipoe denominado laminar. Se o obstaulo tem
ur-vas abruptasou antos, o esoamento n~aosegue mais
asuperfie,formando vorties. Neste asotem-se um
esoamento turbulento. O exemplo lassio do efeito
Coanda e um jato de uido lanado sobre uma
su-perfieplana,soldadaaumsetorilndrio(Fig.8). O
esoamenton~ao seseparaimediatamente dasuperfie
Figura8. EfeitoCoanda:
Aesquerdaefeito Coanda,a
di-reitaumexperimentoimaginario.
Podemosentenderoefeito Coandaonsiderando a
visosidadedouido. NaFig. 8,adireita,mostramoso
estadoiniial deumexperimentoimaginario. Umjato
deuidoelanadosobreaparteplanadasuperfiena
hipotesedevisosidade nula. Devidoapropriaineria
o jato tenderia a manter a dire~ao do movimento ao
sedesloar naparte urvada superfieilndria. No
entanto, onsiderando-se agora a visosidade, mesmo
que seja mnima, ouido entre ojato e oilindro vai
ser removido provoando nesse loal uma diminui~ao
da press~ao, o que oasiona o enurvamento do uxo.
Estefato olevaaaompanharasuperfiedo ilindro
efazsurgirumgradientedepress~aoeumaaelera~ao,
ambos normais as linhas de orrente do uido. Este
experimentovirtualmostran~aosoaorigemdeste
om-portamentodouidomastambemaimport^aniadeter
ummnimodeatritoouvisosidadeparaos
esoamen-tos estaionarios em torno de obstaulos om formas
aerodin^amias. Sendoeste omportamento
fundamen-tal para a explia~ao da sustenta~ao da asa, torna-se
indispensavelummnimodevisosidadeouatrito.
III.5 Gera~ao das press~oes
Podemosdemonstrarexperimentalmenteemsalade
aulaagera~aodepress~oesmaioresemenoresno
esoa-mento de uidos atraves de um arranjo experimental
bastante simples: umjato dearde umseadorde
a-belos eumman^ometrobastante sensvel. (VejaaFig.
9). Nos ap^endies2 e3est~ao desritososdetalhes da
onfe~ao dosdispositivosque usaremosa seguir.
Ini-ialmente podemos demonstrar que apress~ao estatia
dentrodojatodeareigualapress~aoatmosferia.
Exis-tem textosquedizemque, devidoalei deBernoulli,a
press~ao dentro do jato e menor do que fora.
E um
equvoo. A press~aoestatiaeaatmosferia, dentro e
foradojato,oquepodeseraveriguadomedindo-asom
oman^ometrosensvel. VejaFig. 23noap^endie.
III.5.1Gera~aodaspress~oesdevidoaodesviode
esoamento
Desviamos o esoamento inserindo uma superfie
Figura 9. Desvio de um esoamento do ar. Medi~ao da
press~aoestatiaabaixo(A)eaima(B)dasuperfie.
Gera~ao de press~ao maior aelerando o
esoa-mento para fora da superfie.
Analisemos, iniialmente, o esoamento abaixo da
superfie. Na suafae inferior oesoamento n~ao tem
alternativaan~aoserseguirasuperfieinserida,porque
n~ao pode penetra-la. Assim, o esoamento tem que
serurvoparabaixo. Comomostramosanteriormente,
oesoamento urvotem um gradiente de press~ao que
diminui a partir da superfie para fora ate atingir
a press~ao atmosferia. A press~ao perto da superfie
e, onsequentemente, maior que a press~ao ambiente.
Podemos, experimentalmente, demonstrar e medir a
press~aomaiorabaixodasuperfienopontoAdaFig.
9,usandoumman^ometrosensvel,omoindiado. Em
outraspalavras: ojatodeartemineriae,para
aele-rar oesoamento para baixo,asuperfie temque lhe
apliarumaforanomesmosentido,orrespondendoa
umaumentodapress~ao.
Gera~ao de press~ao menor aelerando o
esoa-mento emdire~aoa superfie.
Desta vez analisamos o esoamento aima da
su-perfie. Vejao ponto (B) da Fig.9. Neste aso,
lem-bremos do efeito Coanda. Por ausa dele o
esoa-mentosegueasuperfieurva. Comomostramos
ante-riormente, o esoamento urvo tem um gradiente de
press~ao, sendo que, desta vez, ela aumenta a partir
da superfie para fora ate atingir o valor nal igual
apress~ao atmosferialoal. A press~ao nouidoperto
dasuperfiee,porausadisso,menor.
Podemosportanto demonstrar emedir
experimen-talmente a press~ao menor aima da superfie no
pontoB.
Em outras palavras, o esoamento gera a press~ao
menordevidoasuapropriaineria. Seoarmantivesse
seumovimentonadire~aooriginaleleseafastariada
su-perfie,gerandoassim umvauo. Masantes queisso
aontea,reduz-seapress~aoentreojatoeasuperfie,
gerando por isso um gradiente de press~ao neessario
paraaeleraroarparabaixo.
III.5.2Origemdaveloidademaioraimada
su-perfie superior
Partindodo fato ja expliado de que apress~ao na
superior emenor, podemos agora entender porque na
superfiesuperiordaasaaveloidadeemaior. Ao
en-trarem umaregi~aodemenorpress~aooareaelerado
paralelamenteaodesloamento,ganhandomaior
aleide Bernoullievalidamasainterpreta~aoorreta
ediferentedausadanoslivros-textos. Asdiferenasde
press~aos~aoausadaspelodesviodoesoamento. Soem
fun~aodestaspress~oesasveloidadessemodiam.
IV Analisedas urvaturasdo
es-oamento
Se o tubo de orrente for urvo, temos gradientes de
press~aoperpendiularesadire~aodoesoamento. Este
raionioeahaveparaentenderomeanismoquegera
adistribui~aodaspress~oesemtornodosobstaulos.
Dentro de ertos limites, um esoamento tende a
aompanhar as superfiessuavemente urvas o quee
expliadopelo efeitoCoanda. Seuma superfieurva
forarumesoamentoadesviar-se,gera-seumapress~ao
maior, seoesoamento for aeleradopara forada
su-perfie, e menor, seno sentidoda superfie. Ambos
osasoss~aovistos apartirdasuperfiedoobstaulo.
Por isso a analise das urvaturas
preponderan-temente nas vizinhanas dos objetos inseridos nos
uxosdeuidosnospermitepreverasdistribui~oesde
press~ao. Podemosevideniaropotenialdaanalise da
urvatura das linhas de esoamento de um uido nas
vizinhanas de umobstaulo neleinserido, mostrando
aprevis~aodedistribui~aodaspress~oessobrediferentes
pontosdesuasuperfie.
IV.1 Press~oes na superfie da asa
As analises e os resultados que seguem est~ao
pre-sentes naliteratura[15℄ epodem seromprovados
ex-perimentalmente em sala de aula om um jato de ar
de um seador de abelos, um man^ometro sensvel e
ummodelode asaomomostraaFig. 10a. Suas
on-fe~oesest~aodesritasdetalhadamentenosap^endies2
e3. Examinemosasurvaturasdeumesoamentoem
tornodeumperlsimetrioom^angulodeataquezero.
VejaFigs. 10ae10b.
Figura10a. Asadeperlsimetriosem^angulodeataque,
suaslinhasdeesoamentoemedi~aodapress~aousandoum
Figura10b. Distribui~aodasforas devidaapress~aosobre
operlsimetrio.
Se o esoamento for aelerado para fora, visto a
partir da superfie, a press~ao aumenta. Istoe o que
oorre na frente do perl da asa. Por isso
espera-mos e realmente observamos a press~ao aumentada na
frente da asa, Fig.10b. Ao longo do perl o
esoa-mento e urvo para dentro aompanhando o desenho
daasa. Consequentemente,podemosprevereonstatar
umapress~aoreduzidaaolongodoperlausandouma
fora para fora em suas duas faes. Sendo todas as
forasiguaiseopostaselasseompensaminteiramente.
Neste aso, n~ao ha sustenta~ao. Apesar disso,
pode-seter sustenta~aoomuma asasimetriadesdeque o
^
angulodeataquesejapositivo. Oesoamentoontinua
seguindotambemaformado perl, gerandouma
ur-vaturamaiornapartesuperiordoquenaparteinferior.
As forasparaimae parabaixo n~aoseanulammais,
surgindoumaforaresultante paraima.
Analisemosagoraasurvaturasdoesoamentonum
perl onde asuperfiesuperior e omo ado exemplo
aimaeainferiorquaseplana. (Figs.11ae11b).
Figura 11a. Perl de uma asa om a fae inferior quase
planaesuaslinhasdeorrente.
Figura11b. Distribui~aodasforas devidasaspress~oes.
Nasuperfiesuperiortudopermaneeomonoaso
anterior. A foraresultanteparaimamantem-se
por-tanto a mesma. Como a superfie inferior e quase
plana, aspress~oess~ao pratiamenteas mesmasde um
esoamenton~aoperturbado, n~aogerando foras
Finalmente analisemos um aerofolio usado por
avi~oes de baixa veloidade ujo perl possui uma
su-perfieinferiorligeiramenteurva. (Figs.12ae12b).
Figura12a. Perldeumaasaparabaixasveloidadesom
fae inferiorligeiramenteurvaesuaslinhasdeorrentes.
Figura12b. Distribui~aodasforas devidasaspress~oesem
fun~aodaurvaturadassuperfies.
Nasuperfiesuperior,nemaurvaturanemo
om-portamentodo esoamento foramalterados
signiati-vamente. Na superfieinferior, agoraumpouo mais
urva,oomportamentodouxodearsemodia.
De-vidoaurvaturaeleeaeleradoparaforaporparte
pre-ponderante da regi~ao posterior da superfie, gerando
ai um aumento da press~ao que ontribui para a
sus-tenta~ao. Na parte dianteira da asa, no aso de um
^
angulo de ataqueproximodezero [14℄,podeate
exis-tir umaestreitaregi~aoondeaurvaturapossuiosinal
oposto aelerando o esoamento para ima e gerando
assimumapequenapress~aonegativadiminuindoa
sus-tenta~ao(Fig.12b). Estesexemplosexpliamporquea
ontribui~aoda superfie superior e sempre maiordo
que adainferior,variando emfun~aodageometriado
aerofolioedo^angulodeataque.
IV.2Outrasaplia~oesdaanalisedas
ur-vaturas
IV.2.1 Vento passandosobre ummorro
Se o vento passa sobre um morro,omo mostra a
Fig. 13, ele aompanha a sua superfie. A varia~ao
doesoamentooorreessenialmentenaslinhasde
or-rentes proximasao morro. Paraalturas bem maiores,
omparadasomaalturadomorro,ouxopermanee
horizontal e a press~ao e a atmosferia. Analisemos o
esoamentodoarnasproximidades dospontosA, Be
Figura13. Linhasdeorrentedeumesoamentosobreum
morro.
Nasvizinhanasdo ponto A,a superfieaelerao
arparafora,nadire~aoperpendiularasimesma. Esta
aelera~ao,noentanto,deaiamedidaqueseafastado
pontoA, aolongodanormal,atedesapareer,quando
oesoamentovoltaaserhorizontaleapress~aoasera
atmosferia.Assimegeradanopedomorroumaregi~ao
demaiorpress~ao.
Nas vizinhanas do ponto B, a parte mais alta do
morro, aontee o fen^omeno inverso: para seguir a
formadasuperfieoareaeleradoparabaixo. Como
vimosnaexplia~aodoefeitoCoanda,devidoaineria
doare aformada superfiea seguir,produz-se uma
redu~aodapress~aonestaregi~ao.
NasvizinhanasdopontoCofen^omenoe
semelhan-te aoque oorreem A. Realmente, passadootopodo
morro,oaraompanhaasuaenostanadire~aodeC,
gerandoneste ponto, devidoaurvatura, umapress~ao
maior.
Podemos demonstrar o raionio aima om um
arranjo experimental de fail montagem, usando um
man^ometrosensvel,ojatodeardeumseadorde
a-beloseummodelodemorroomdimens~oesadequadas
(Ap^endies2e3).
IV.2.2 Vaporizador e a press~ao dentro de um
jatode ar
Noasodovaporizador,umjato dearbem fortee
lanado sobre um orifio de um tubono uja outra
extremidade esta imersaem um uido. A press~ao
re-duzidanoorifioprovoaasu~aodouido.
O raionio usado para analisar a passagem do
ventoporummorro podeserapliado aovaporizador
paraexpliaroseufunionamento. A Fig. 14amostra
aslinhasdeumesoamentoemtornodeumobstaulo
omoo deuma ponta de provafeitaomum tubo de
vidro. Ouidon~aopodepenetrarovidroeedesviado.
Naextremidadedotuboaurvaturaesemelhanteado
esoamento no ponto Bdo exemplo anterior. O uxo
de are aelerado para baixo e por ausa disso tem a
press~ao reduzida neste ponto. Para demonstrar isso,
basta oloar a ponta de prova do nosso man^ometro
sensvel, semodisoolado,no jato deardoseador.
Fiabemlaroquearedu~aodapress~aoeausadapela
urvatura do esoamento naextremidade da ponta de
prova. AFig. 14b mostraamesmaponta deprovado
o-dodiso,n~aoausando, porisso,varia~oesdapress~ao.
Consequentemente,umamedi~aodapress~ao,dentrode
umesoamento,realizadaomumapontadaprovasem
disofurado, produzresultadoserrados.
Figura14a. Esoamento emtornodeumapontadeprova
semodisoomperfura~aoentral,reproduzindooesquema
dovaporizador.
Figura14b. Esoamentoemtornodeuma pontadeprova
omodisoperfuradoeoladoaotubo.
Comapontade provaomdisopodemosmostrar
que a press~ao estatia e a mesma tanto fora quanto
dentrodojato dear produzidopeloseador[13℄. Veja
Fig. 23 no ap^endie. Neste aso a lei de Bernoulli
n~ao pode ser usada, porque as ondi~oes para a sua
aplia~ao n~ao s~ao dadas, isto e: a aus^enia do atrito
ou da visosidade. Na realidade, om raras exe~oes
omo superuidos, sempretemos visosidade nos
ui-dos. Aaplia~aodasequa~oesreferidassoepermitida
se o efeito do atrito for negligeniado. Isto signia,
queasaelera~oesdevemserausadaspelosgradientes
depress~aoen~ao pelo atrito. Noasodojato deardo
seadortodaadesaelera~aodoesoamentoeausada
peloatrito,querdizer,pelavisosidadedoar.
Consequentemente,nesteasoaleideBernoullin~ao
temaplia~aoe,seforapliada,onduzaerros.
IV.2.3 Bola utuando numjato de ar
O experimento om a bola de pingue-pongue
u-tuando num jato de ar e uma demonstra~ao bem
atraente. A explia~ao, usando a lei de Bernoulli, e
impropriaporqueointeriordojatodeartemamesma
press~ao estatia que fora dele. A fora para dentro e
devida ao esoamento em torno da bola. Na situa~ao
ilustrada na Fig. 15, a bola saiu do entro do jato
existem maislinhas deorrente douidoaesquerda e
aima dabola(pontoA) doqueasuadireita eabaixo
(pontoB).Realmente,existemaisurvaturanaslinhas
de orrente do uido nas vizinhanas do ponto A do
quedopontoB.Assim,apress~aoemenornopontoA
Figura15. Bolautuandoemumjatodearproduzidopor
umseadordeabelos.
IV.2.4 Vendaval
Umvendavalpodeausardanosnasasasatingidas.
Por isso vale a pena analisar o fen^omeno para saber
minimizar seus efeitos danosos. A Fig. 16 mostra o
desenhodeumaasadentrodeumuxodear.
Figura16. Esoamentodoarsobreumaasaduranteum
vendaval.
O esoamento pode ser onsiderado
aproximada-mente laminarnoladodaasaquereebeovento. No
lado oposto o uxo vai ser turbulento, sem linhas de
orrente estaionarias. Pela urvatura das linhas de
orrentenaregi~aodopontoA,podemospreverum
au-mentodapress~aonoladodovento. Ouxoeaelerado
para ima. No teto daasa, a urvatura daslinhas e
invertida. O esoamento e aelerado para baixo. Por
isso prevemosuma press~aoreduzida noteto. No lado
daasaopostoaovento, oesoamentoeturbulento e,
maior do que a press~ao no teto. Uma aproxima~ao
razoavel e supor que esta press~ao seja quase igual a
press~aoreduzidano teto. Operigoparaotelhado s~ao
as foraspara fora. Afora queseapliaaotelhado e
ausadapelasdiferenasentreaspress~oesdentroefora
da asa. Ent~ao qual e a press~ao dentro da asa? Se
todasasportasetodasasjanelasforemfehadas
her-metiamente apress~aodentro da asasera indenida.
Seumaportaouumajanelaforaberta,apress~ao
den-troatingeapress~aodoladodeforadaportaoujanela.
Se uma porta no lado do vento for aberta a press~ao
dentrodaasavaisermaior. Seaportadoladooposto
aoventoforaberta,apress~aovaisermenor.
Observando estes fatos reomenda-se fehar,
mini-mamente,asportasejanelasnoladodo ventoe, para
reduzirapress~aodentro,abrirportasejanelasdolado
opostoaovento.
Estadistribui~aodaspress~oespodeserdemonstrada
experimentalmente omum modeloadequado deuma
asa, usando o seador de abelos e o man^ometro
sensvel.
IV.2.4 Carro
A Fig. 17 mostra o esoamento em volta de um
arroem movimento. Esteasoetambemsemelhante
aodomorro. Pelasurvaturasdoesoamento, pode-se
preveroaumento da press~ao na frente doarro, onde
oareaeleradoparaima(regi~aoA)esuadiminui~ao
noteto,ondeoareaeleradoparabaixo(regi~aoB).
Figura17. Esoamentosobreumarroemmovimento.
V Esoamento e sistemas de
ir-ula~ao
A respeito do esoamento total, temos que
aresen-tar oseguintequadro: seexistiremregi~oesnaasaom
maiorpress~aoaima doqueabaixodela,oarrealizara
ummovimentolateralmenteparafora. Jaoarforada
asa aelera-se um pouquinho para ima. Surge assim
uma irula~ao atras da asa omo mostra a Fig. 20.
s vezesospassaros seutilizam destemovimento doar
para ima que oorre na extremidade da asa, voando
aoladomasumpouoatrasdoompanheiro. Quando
Figura18. Cirula~aoemvoltadaasa.
Nototal, osmovimentospara baixo s~ao
preponde-rantes. Ossistemasdeirula~aos~aobastanteestaveis
e se movem para baixo durante longo tempo apos a
passagemdoavi~ao
VI Notas sobre a historia das
ex-plia~oes da sustenta~ao
Em1889, OttoLilienthal deu umaexplia~aoorreta,
emboraqualitativadasustenta~ao[16℄. Comrefer^enia
a Fig.18, quando omparava o desvio do esoamento
porumasuperfieplanaeurvaele disse:
O ar que passa pelas superfies e aelerado para
baixo em ambos os asos. O desvio para baixo oorre
mais brusamente na frente da superfie plana
au-sandoturbul^enia.
Odesvio nasuperfieurvae diferente.
O esoamento do ar que passa por ela e dirigido
gradualmente da dire~ao horizontal para baixo. O
es-oamentoganhaumaomponentevertialnaveloidade
sem impato s ubito. Por isso o desvio do esoamento
oorre om menos turbul^enia. O impulso vertial e
responsavel pelasustenta~ao daasa.
Niermann(1989)[17℄itaqueaoinvesdese
elabo-rar mais estaexplia~ao, ela foi substituda noslivros
textosdos Estados Unidos e da Alemanha na deada
de vinte do seulo passado pela explia~ao
onven-ional errada. Ate alei de Bernoulli,que antes quase
nunaeratratada noslivrostextosdeFsia,passoua
serintroduzida omo m de serviromo base da
ex-plia~ao. N~aosesabeaindaomertezaomooorreu
estasubstitui~ao equaisforamosmotivos. Sopodem
Figura19. DesenhodeLilienthal[15℄deumesoamento.
Paraoteorio,oalulodadistribui~aodapress~ao
na superfie de uma asa e importante. Para isso
eneessarioonheerquantitativamente oesoamento
em torno de seu perl. Uma boa aproxima~aoe
al-ularoesoamentopotenialem tornode umilindro
e superpor uma irula~ao. Pelo metodo das
trans-forma~oesonformesumilindropodesertransformado
numaerofolio.Nestatransforma~aooesoamento
on-tinuaobedeendoasequa~oesdeEuler[11,14℄. Ovalor
da irula~aoe obtidosob aondi~aode que o
esoa-mentonaparteposteriordaasaaompanheoseuperl.
Conheidooesoamentopode-sedeterminara
dis-tribui~aodeduasmaneiras:
i)integrarosgradientesdepress~oesemlinhas
orto-gonaisemrela~aoaoesoamento,omeandopor
pon-tosarbitrariosdasuperfiedaasa.
ii) alular diretamente as press~oes usando as
ve-loidades do esoamento ja determinadas pela lei de
Bernoulli.
A segunda maneira e mais fail e foi usada por
teoriosomoPrandtl[12℄,vonKarman[13℄eoutrosno
iniodoseuloXX.Ent~aosepodeentenderatend^enia
deusarestadistribui~aodeveloidadestambemomo
ausadaspress~oes,oquee,obviamenteerrado. Como
jafoiditon~aoepossvelexpliarporestemetodoomo
aasaausaasdiferenasdeveloidadenoar. A
fragili-dadedesta explia~ao foi perebidadesde oseu
surgi-mentoquandosebusavaumaausaparaexpliaromo
oaresoaommaiorveloidadeaimadaasa. Amais
frequentemente usada era o raionio baseado numa
ompara~aoentreosaminhosdoaraimaeabaixoda
asa e a hipotesede que partulas do ar que estavam
juntas e foram separadas pela asa dever~ao se juntar
novamente atras dela. A origemdeste raionio
equi-voadopodeestar emalgunsdesenhosdaepoaomo
Nesta Fig. 20 as linhas pontilhadas mostram
partulasvizinhasdoar. EstedesenhodePrandtl[18℄
de1921deveriamostraroefeitodoatrito. Aspartulas
doarbempertodaasaforamretardadas.Estedesenho
sugere que, n~ao obstante o efeito doatrito, partulas
do ar que estavam juntas antes da asa passar se
jun-tam depois, atras dela. Issoe errado omo mostra a
Fig. 2. Desenhos deste tipo talvez tenham susitado
a falsahipotese. Estaargumenta~ao n~ao pretendeser
onlusiva.
Figura20. Posi~oesdaspartulasdoarvizinhasnostempos
deIateIV,Prandtl[18℄.
VII Conlus~ao
Na explia~ao onvenional da sustenta~ao da asa,
ausa e efeito est~ao troados. A maior veloidade do
araimadaasan~aoeaausamassimaonsequ^enia
deumapress~aomenornestaregi~ao.
A grosso modo, o efeito preponderante da asa e a
aelera~aodoarparabaixo. Paraentenderosdetalhes
devemos observar as aelera~oes normais que ausam
gradientes de press~ao ortogonaisaslinhas de orrente
ujas formas s~ao determinadas pela ongura~ao e
posi~aodaasa. Infelizmente,amaioriadoslivros-textos
de Fsia somenionaasaelera~oestangeniais. Sea
din^amia dos uidos for baseada na analise ompleta
das rela~oes entre aelera~oes e gradientes de press~ao
muitoserrosarespeitodasaplia~oesdaleideBernoulli
poderiamserevitados. A rela~ao dogradiente normal
da press~aoom aurvatura daslinhas do esoamento
emombina~aoomoefeitoCoandaeahaveparao
en-tendimentodagera~aodaspress~oesnasuperfiedeum
obstaulo. Vista da superfiedo obstaulo a press~ao
aumenta se o esoamento for empurrado para fora e
diminuiseoesoamentoforaeleradoparadentro.
As-sim a analise da urvatura das linhas do esoamento
nasvizinhanasdoobstaulonosdaadistribui~aodas
press~oessobresuasuperfie. Chamamosaaten~aodos
leitoresparaaexplia~aodasustenta~aodaasa,aima
entendi-VIII Ap^endies
1. Cirula~ao e sustenta~ao - Signiado
da Formula de Kutta-Joukowski
Ja menionamos que a sustenta~ao e a irula~ao
est~aorelaionadas, omomostrarampela primeiravez
Kutta e Joukowski no inio do seulo XIX. Em
ho-menagem aseustrabalhos aformula de sustenta~ao e
denominadaformuladeKutta-Joukowski.
Asustenta~aodeumtrehodaasadeenvergadura
de1metroe(formuladeKutta-Joukowski[12℄):
F =v (A:1)
Sendo F afora da sustenta~ao, adensidade doar,
v aveloidaderelativadoesoamento e airula~ao
denida omo
I
~vd~s (A:2)
Segundoasequa~oesdeEuler,airula~aon~aodepende
doaminhodeintegra~ao. Porissoemumesoamento,
tem-se queirular
v=
2R
: (A:3)
A veloidadee proporionalaoinversoda dist^aniaR
aoentrodairula~aoeadire~aodelaeperpendiular
aoraio. Pode-semostrarquetodasassuperposi~oesde
esoamentospoteniaisomesoamentosirularess~ao
solu~oesdas equa~oesde Euler. Nadin^amia dos
ui-dos determina-se o esoamento estaionario em torno
deumaasaapartirdoesoamentopotenialalulado
pelas equa~oes de Euler, superpondo a ele
esoamen-tos irulares omentros nalinha mediadoperl da
asa sobaondi~aode queasuperposi~aoresulte num
esoamento paralelo asuperfie. Assim seonstroio
esoamento.
Epossveldeduzirdesteesoamentoas
ve-loidadese,mediantealeideBernoulli,determinam-se
asdistribui~oesdepress~ao,apartirdasquaisalula-se
asustenta~ao.
Assimapareemairula~aoealeideBernoullino
aluloda sustenta~ao. Mas, nestesalulos,arela~ao
fsiaentreirula~aoesustenta~aoequaseoulta. Por
ausa disso mostramos uma deriva~ao da formula de
Kutta-JoukowskiseguindooraioniodePrandtl[12℄.
Estaformularelaionaamudanadoimpulso
verti-aldeumesoamentoomasustenta~ao. Fialaroque
aasamudaouxodeimpulsodoesoamentogerando
asustenta~aoeairula~ao.
NaFig.(21)apresentamosumortedeumaasanum
volumedeontrole. Nateoriadadin^amiadosuidos
existe um lema: A fora apliada a um orpoe dada
pela integral de superfie da press~ao e a varia~ao do
uxodeimpulsoatravesdovolumedeontrole.
Vamosonsideraroasobidimensionaleonsiderar
Figura21. Asadentrodeumvolumedeontrole.
Amdedeterminaravaria~aodeuxodeimpulso
vertialreferimo-nosaovolumedeontroleformadopor
duassuperfiesA eBperpendiularesadire~ao
origi-naldoesoamento(Fig. 22).
Referimo-nosaumtubodeesoamentoom
espes-suraz ede envergaduray (dire~ao perpendiular ao
planodapagina)queortaassuperfiesAeB.Ouxo
damassadearqueeamassadearquepassanaunidade
detempopela superfieBpodeseresritoomo
m_ =zyv
x
: (A:4)
Figura22. Asadentrodeum volumede ontroleom
su-perfienafrenteA,eatras,B.
Ouxodoimpulsovertialnadire~aoze:
_
A=m_ v
z
(A:5)
Substituindoouxodemassanessaequa~ao. obtemos:
_
I =zyv
x v
z
(A:6)
I
B
=y Z 1 1v z v x
dz: (A:7)
Usandoaaproxima~aoparapequeno,v
x =v 0 os v 0
,ondev
0
eaveloidadedoesoamento,temosque
_
I
B
=yv
0 Z
B v
z
dz : (A:8)
Para a superfie A podemos proeder de forma
analoga. Ent~aoavaria~aodouxo deimpulsoedada
peladiferena
_ I A _ I B
=yv
0 Z B v z dz Z A v z dz (A:9):
Admitindooperursodeintegra~aofehadonoinnito
a express~ao transforma-se em uma integral da linha
fehada,queorrespondeapropria irula~ao,ouseja
= I
vds: (A:10)
Na pratia, o aminho de integra~ao pode ser
fehado se onsideramos uma dist^ania bem grande
quando omparada om as dimens~oes da asa. Nesse
aso as ontribui~oes podem ser desprezadas poiss~ao
pequenas, iguais e de sinais opostos. A varia~ao do
uxodeimpulsoausadapelaasapodeseresritaomo
_ I B _ I A
=yv
0
: (A:11)
Assimonlumosqueaforaapliadanaasaneste
asopodeserdadapor
F =yv
0
(A:12)
queeamesmaformuladeKutta-Joukowski. Podemos
entend^e-la omo se segue: A sustenta~ao de uma asa
equivaleavaria~aodouxodoimpulsovertialausada
pelaasa.
Epossveldesreverestarela~aomediante o
oneitode irula~ao. Masalaroqueairula~ao
nunapodeseraausadasustenta~ao.
2. Confe~ao de um man^ometro sensvel
Todos os experimentos desritos podem ser feitos
usandoumjato deargeradoporumseadorde
abe-los. Amedi~aodepress~oesrequerumman^ometrobem
sensvel, porque asdiferenas daspress~oes s~ao
peque-nas omparadasom apress~aoatmosferia. Todas as
medidas de press~ao s~ao feitas a partir da press~ao
at-mosferia. O esquema na Fig. 23 mostra o arranjo
utilizado.
O man^ometro onsiste de um tubo no de vidro
deomprimentode60a100entmetros omuma das
extremidades urva omo mostra a Fig.23. Esta
ex-tremidadeurvaestaimersanumpequenoreservatorio
(bequer, opo, et.) om agua olorida, para failitar
avisualiza~ao, e umsuporte ajustavel,para regular a
Figura23. Man^ometro sensvel detubooblquo. Medi~ao
dapress~aoestatiadentrodojatodeardeumseadorde
a-belos. (A)Pontadeprovaomdisoperfurado. (B)Seador
deabelos.
Na outra extremidade do tubo de vidro
adapta-se uma mangueira de borraha bastante exvel om
o mesmo alibre do tubo. A outra extremidade da
mangueira possui uma ponta de prova feita de tubo
de vidro no, omo o anteriormente desrito.
A
ex-tremidade da ponta de provadeve ter oladosobre si
um pequeno disoom perfura~ao entral. Estediso
tem porobjetivomanter paralelas aslinhas de
esoa-mentodouxodearnasvizinhanasdaponta. Quando
a extremidade urva for inserida no reservatorio e o
lquido for sugado, deve-se ter o uidado para n~ao
deixar bolhas de ar no tubo nem gotas do liquido na
mangueira exvel,poisambosprejudiamobom
fun-ionamentodoman^ometro. Onveldaaguaeomesmo
noreservatorioenotubo. Seapontadeprovafor
olo-ada numa regi~ao de press~ao diferente da atmosferia
omenisodaaguanotuboreage.A diferenaentreos
nveisdomenisodaaguadentrodo tuboeomeniso
da agua no reservatorio orresponde a diferena das
press~oes nas duas superfies lquidas. Para alibrar
oman^ometromede-seainlina~aodotuboe
maram-seomtarepedist^aniasnotuboomdiferenasde
alturas orrespondentes a diferenas de press~ao de 20
a 40 pasal. Lembre-se de que uma varia~ao de um
1 milmetro na altura equivale a uma varia~ao de 10
pasal. Ent~ao adiferena de press~ao referente auma
dist^anias,entremaras,edadapor
p=gstan;
sendotan=h=lomonaFig.23.
Quando realizarmos medi~oes vale lembrar mais
umavezqueaposi~aoadequadadodisoparamedira
press~aoestatiaeaparalelaemrela~aoaoesoamento.
Seodisoforposiionadoperpendiularmenteao
esoa-mentomede-seapress~aototalqueeasomadapress~ao
estatiaedapress~aodin^amia.
Nota: Se n~ao for possvel usarum tubo de vidro,
pode-seusaruma mangueirade plastiotransparente,
depequenodi^ametro,presanumahastedemadeiraom
tarepeemdist^aniasiguaisparaseremusadasomo
marasalibradoras. Umodeobredeveserinserido
3 Confe~ao de modelos para
~oes
Para gerar um uxo de ar forte existem tuneis
de vento. Normalmente estes equipamentos n~ao s~ao
disponveis nos laboratorios didatios. Neste aso, o
jatodeargeradoporumseadordeabelosesuiente
parademonstrartodososefeitosfundamentais. Ouxo
de ar produzido pelo seadore estreito por ausa do
di^ametro de sua sada. Por isso, temos que adaptar
os experimentos aestaondi~ao,usandomodelos,que
aibamdentrodojato.
Na se~ao III.5.1 desrevemos experimentos
funda-mentais para agera~ao depress~oes mediante odesvio
do esoamento. Ojato dearpassapor umasuperfie
urva,omoapresentadonaFig.9. Estasuperfiee
to-dos osmodelosforamonstrudosdetiras depapel~ao,
artolina,ouart~oespostais. Duastirasforamoladas
e modeladas omodesejado eforampressionadasuma
ontra a outra ate a ola sear. Sendo o jato de ar
estreito e reomendavelolar o modelo onfeionado
entre duas plaas devidro oude arlio. Adist^ania
das plaas deve ser mais ou menos igual ao di^ametro
dasadadoseador,istoe, entre4e5entmetros.As
plaas onnam o uxo. Assimn~ao existem mais
in-terfer^eniaslateraisno esoamento. AFig. 24 mostra
algunsexemplosfeitosdestaforma. Alemdissoos
mo-delospodemserfeitosusandooutrostiposdemateriais,
porexemploisopor.
Figura24. Modelos paraseremutilizados emmedi~oes de
press~aodentrodeumuxodearproduzidoporumseador
deabelos. (a)Superfieurvaomoautilizadanoarranjo
daFig. 8;(b)asa;()aerofolio.
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