Generalizações do conceito de distância, i-distâncias, distâncias intervalares e topologia

Fagner Lemos de Santana

Generalizações do Conceito de Distância,

i-Distâncias, Distâncias Intervalares e Topologia

Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Fagner Lemos de Santana

Generalizações do Conceito de Distância,

i-Distâncias, Distâncias Intervalares e Topologia

Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago

Tese de Doutorado apresentada ao

Pro-grama de Pós-Graduação em Sistemas e Computação da UFRN (área de concentra-ção: Teoria da Computação) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.

Tese de Doutorado sob o título“Generalizações do Conceito de Distância, i-Distâncias, Distâncias Intervalares e Topologia”, defendida por Fagner Lemos de Santana e aprovada no dia 30 de novembro de 2012, em Natal-RN, pela banca examinadora constituída pelos professores:

Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago Orientador

Prof. Dr. Benjamín René Callejas Bedregal Universidade Federal do Rio Grande do Norte

-UFRN

Prof. Dr. Marcelo Ferreira Siquera Universidade Federal do Rio Grande do Norte

-UFRN

Prof. Dr. Wilson Rosa de Oliveira Junior Universidade Federal Rural de Pernambuco

-UFRPE

Agradecimentos

Abaixo deixo meus agradecimentos as pessoas que me apoiaram.

Primeiramente as pessoas mais próximas a mim: minha esposa Dra. Fabiana, compa-nheira de doutorado e de vida, meus pais Guilherme e Iranilda que me ensinaram, dentre muitas outras coisas, o quanto estudar é importante e meu irmão Dr. Flávio, grande amigo e primeira inspiração para entrar no mundo das ciências exatas. Agradeço também aos familiares: cunhados: Cláudia, Fernanda e Alex; sogro: Artur; sogra: Ângela.

Meu orientador Prof. Regivan por ter topado me orientar, pelas orientações e por não ter deixado que eu desanimasse durante o curso.

Prof. Benjamin pelas orientações e ajudas em momentos cruciais do doutorado. Prof. João Marcos pelas excelentes aulas de lógica que se tornaram referência para meu trabalho como professor.

Oos membros da banca pelas sugestões e correções que melhoraram significativa-mente esta tese.

Os colegas do PPgSC Flaules, Cláudio e Eduardo.

Os meus colegas/amigos do DM pela força: Viviane, Débora, Jaques, Gabriela, Ber-nadete, Márcia, Roberto Hugo, Marconio, Marcelo, Ronaldo, Roosewelt, Querginaldo, Juan, Liliane, Claudemir, Sidarta, Jonas, Iesus, Carlos Gomes, David, Nir, Odirlei, Ru-bens Leão, Albimar, Nísia, Luis, Hélio e Josenildo.

Finalmente, os 3 professores (também amigos) que são os maiores responsáveis pela minha formação matemática: André e Benedito da UFRN e Cátia da UNB.

Lista de símbolos

≤km: Ordem de Kulisch-Miranker

dM: Métrica de Moore

Aα: α-corte do conjunto difusoA

dE: Distância (métrica) euclidiana na reta

B(a,r): Bola aberta de centroae raior

D+_{: Conjunto das funções de distribuição de probabilidade de variáveis}

alea-tórias não-negativas

⊥: Menor elemento

⊥A: Conjunto dos menores elementos do conjunto pré-ordenadoA

ℑKM: Topologia emMgerada por uma i-distância

Rk_{: Operação de remoção dok-ésimo caractér de uma cadeia de caracteres}

I_ak: Operação de inserção do caractéracomok-ésimo caractér de uma cadeia de caracteres

≪∗: Relação essencialmente abaixo estrita

µs: i-quasi-métrica para cadeias de caracteres

b

f: Representção canônica intervalar da função real f

ωKM: VID de Kulisch-Miranker

dKM: MétricaKM

Resumo

Neste trabalho são apresentadas algumas generalizações do conceito de distância utilizando-se espaços de valoração mais gerais, como as métricas difusas, métricas probabilísticas e métricas generalizadas. É mostrado de que maneiras essas generalizações podem ser úteis, tendo em vista a possibilidade de que a distância entre dois objetos possa carregar uma quantidade maior de informação sobre os mesmos do que no caso em que a distância é representada por um número real. Também é feita a proposta de uma outra generaliza-ção de distância, a qual é feita com o intuito de englobar uma nogeneraliza-ção de métrica intervalar que gere uma topologia de maneira natural. Várias propriedades desta generalização são investigadas, além de suas ligações com as outras generalizações já existentes.

Abstract

In this dissertation we present some generalizations for the concept of distance by using more general value spaces, such as: fuzzy metrics, probabilistic metrics and gene-ralized metrics. We show how such generalizations may be useful due to the possibility that the distance between two objects could carry more information about the objects than in the case where the distance is represented just by a real number. Also in this thesis we propose another generalization of distance which encompasses the notion of interval metric and generates a topology in a natural way. Several properties of this generalization are investigated, and its links with other existing generalizations.

Sumário

Sumário i

1 Introdução 1

2 Preliminares 4

2.1 Ordens, Pré-ordens, Reticulados e Reticulóides . . . 4

2.2 Matemática Intervalar . . . 7

2.3 Lógica Difusa . . . 9

2.4 Espaços Métricos e Topologia . . . 11

3 Estado da Arte 17 3.1 Métricas Estatísticas . . . 17

3.2 Espaço Métrico Difuso . . . 18

3.3 Métrica Generalizada . . . 20

3.4 Conjunto Distância . . . 21

3.5 Espaços de Continuidade . . . 22

4 i-Distâncias 25 4.1 Valoração de i-Distâncias . . . 25

4.2 i-Distâncias: Definições e Primeiros Exemplos . . . 27

4.2.1 Outras i-Distâncias . . . 31

4.3 i-Métricas e Topologia . . . 32

4.3.1 Pré-ordem . . . 34

4.4 i-Métricas e a Propriedade de Hausdorff . . . 35

4.5 Generalizações como Casos Particulares de i-Distâncias . . . 37

4.5.1 Espaço Métrico Estatístico . . . 37

4.5.2 Métrica Difusa . . . 39

4.5.3 Espaços de Continuidade . . . 46

4.6 Toda Topologia é i-Quasi-Pseudometrizável . . . 49

5 Métricas Intervalares 65

5.1 Definição de Métricas Intervalares . . . 65

5.2 Representação e Métricas Intervalares . . . 67

5.3 MétricaKM . . . 68

5.3.1 Sobre a Aplicabilidade da MétricaKM . . . 71

5.4 Topologia Gerada pordKM . . . 72

5.5 KM-Continuidade . . . 75

5.6 KM-Continuidade e Representação . . . 76

5.7 ComparandoKM, Scott e Moore-continuidades . . . 77

5.7.1 Topologia de Scott . . . 78

5.7.2 Independência entre as 3 Noções de Continuidade . . . 79

5.8 i-Métricas Deslocadas . . . 81

6 Considerações Finais 83

Capítulo 1

Introdução

A representação matemática do conceito de distância é feita por funções d : M×

M −→R que satisfazem algumas condições. Abixo, estão listadas as condições mais

encontradas na literatura sobre o assunto.

a)d(a,b)≥0, quaisquer que sejama,b∈M; b)d(a,b) =0 se, e somente se,a=b;

c)d(a,b) =d(b,a), quaisquer que sejama,b∈M;

d)d(a,c)≤d(a,b) +d(b,c), quaisquer que sejama,b,c∈M. e)d(a,c)≤max{d(a,b),d(b,c)}, quaisquer que sejama,b,c∈M. f) Sed(a,b) =d(b,a) =0, entãoa=b.

g)d(a,a) =0, para todoa∈M

Capítulo 1. Introdução

Uma forma de generalizar a noção matemática de distância é através da modificação do espaço de valoração da funçãod, ou seja, a distância entre dois objetos é representada por algo mais geral do que um número real. Este tipo de generalização é o principal tema a ser abordado nesta tese. Uma das primeiras generalizações nesse sentido foi chamada de métrica estatística e foi proposta por Menger em 1942. Depois, em 1960, Schweiser e Sklar propuseram uma outra noção de métrica estatística um pouco mais simples do que a de Menger. Nestas duas propostas, o valor de d(a,b)era uma função de distribuição de probabilidade. Mais tarde, em 1975, Kramosil e Michálek adaptaram o conceito de métrica estatística de Menger para o contexto de conjuntos difusos e definiram os chama-dos espaços métricos difusos. Tal conceito ainda foi sutilmente modificado por George e Veeramani em 1994 e continuou sendo chamada de espaço métrico difuso. Ainda no que diz respeito ao universo dos conjuntos difusos, um terceiro conceito de métrica difusa foi proposto em 1984 por Kaleva e Seikkala. Este último conceito de métrica difusa difere dos anteriores por não ter ligação ou não ser simplesmente uma adaptação das métricas estatísticas. Uma outra generalização encontrada na literatura é a noção de métrica ge-neralizada que foi proposta por Khamsi et al em 1993 para tratar de programas lógicos disjuntivo. Nesta noção o conjunto no qual a funçãod é valorada é um monoide comu-tativo ordenado e as condições são idênticas as de métrica. Outra generalização que será abordada adiante é chamada espaços de continuidade, cuja primeira versão foi proposta por Kopperman em 1988 e a segunda por Kopperman e Flagg em 1997. Há ainda concei-tos de distâncias generalizadas feiconcei-tos a partir da teoria de categorias, cujo trabalho mais citado é [Lawvere 1973]. Esta abordagem categórica não faz parte dos objetivos desta tese. Porém, em [Heitzig 2002], o autor propõe uma noção de distância generalizada usual e a partir da mesma é criada uma categoria e suas propriedades são estudadas.

O objetivo inicial deste trabalho era o de encontrar/propor uma noção de distância que capturasse a idéia de métrica intervalar, ou seja, uma noção na qual a distância entre dois objetos seja um intervalo fechado e também a noção de representação intervalar para dis-tância euclidiana na reta. A Matemática Intervalar é uma teoria surgida nos anos 1950’s através dos trabalhos de Warmus, T. Sunaga e R. Moore (ver [Warmus 1956], [Sunaga 1958] e [Moore 1959]) com o intuito de lidar com erros numéricos. A abordagem in-tervalar baseia-se na chamada aritmética WSM (também conhecida como aritmética de Moore), que consiste em operações de adição, subtração, multiplicação e divisão entre intervalos fechados definidas de modo que o resultado da operação usual entre um ele-mento do intervaloI1 e um elemento de I2 pertence ao intervalo I, que é o resultado da

operação correspondente entreI1eI2. Esta abordagem se mostra útil quando se pensa em

Capítulo 1. Introdução

de medição, (falta de) precisão dos instrumentos e até mesmo limitações na representação em máquina dos dados e os intervalos podem ser usados para carregar as informações de incerteza durante o processo. A noção de métrica generalizada mencionada acima conse-gue capturar a idéia de métrica intervalar mas, como será visto no decorrer do trabalho, não consegue capturar a idéia de representação que é bastante importante no contexto de matemática intervalar. Devido a isso, será proposta neste trabalho uma nova noção generalizada de distância, a qual será chamadai-Distânciaque captura a idéia de repre-sentação intervalar e, além disso, gera uma topologia de maneira muito similar àquela gerada por uma métrica no sentido usual. Esta generalização foi feita tomando como base a estrutura onde a função distância assume valores, a qual recebe o nome deValoração de i-Distância ou, simplesmente, VID. Uma proposta de métrica intervalar foi pode ser encontrada em [Trindade et al 2010], a qual foi feita a partir de uma abordagem voltada para aplicações sem abordá-la do ponto vista topológico.

Este trabalho está dividido em 6 capítulos. No segundo, são apresentados conceitos e resultados preliminares sobre teoria da ordem, matemática intervalar, lógica difusa, espa-ços métricos e topologia. No terceiro é apresentado o estado da arte sobre generalizações de distâncias que seguem a linha da proposta feita aqui. No quarto capítulo é introduzido o conceito de i-distâncias, com alguns exemplos iniciais, a topologia construída a partir delas e sua ligação com as outras generalizações. No quinto são apresentados exemplos de i-métricas cuja valoração é intervalar e é introduzida uma i-métrica intervalar no con-juntoIRdos intervalos que captura (parcialmente) a idéia de representação intervalar, a

qual é estudada sob o ponto de vista topológico, comparando-a com outras topologias co-nhecidas emIRe, no final do capítulo, é apresentada uma noção que captura totalmente

Capítulo 2

Preliminares

Neste capítulo são apresentados os conceitos e resultados básicos que serão abordados no decorrer do trabalho. Tais conceitos e resultados estão separados em 4 seções: uma sobre teoria da ordem, uma sobre matemática intervalar, uma sobre lógica difusa e uma sobre espaços métricos.

2.1 Ordens, Pré-ordens, Reticulados e Reticulóides

Definição 2.1. Seja A um conjunto não-vazio. Uma relação binária≤em A é chamada

pré-ordem, se satisfaz:

1. a≤a, para todo a∈A —Reflexividade;

2. Se a≤b e b≤c, então a≤c —Transitividade.

O parhA≤i, onde≤é uma pré-ordem em A, é chamadoconjunto pré-ordenado. Uma pré-ordem em A é umaordem parcial, se satisfaz:

3. Se a≤b e b≤a, então a=b —Anti-simetria

Uma pré-ordem A é chamada cadeiaoupré-ordem total, se para quaisquer a,b∈A

tivermos a≤b ou b≤a.

Exemplo 2.1. No conjunto dos números reais, a relação definida por ab⇔ |a| ≤ |b|é

uma pré-ordem total. Note que esta relação não é anti-simétrica.

Exemplo 2.2. No conjunto dos números inteiros, a relação definida por ab⇔a|b,

Capítulo 2. Preliminares

Definição 2.2 (Conjunto dirigido e conjunto d-dirigido). Seja hA,≤i um conjunto

pré-ordenado. Dado C⊆A, um elemento u∈A é umacota superiorde C se c≤u, ∀c∈C. Dualmente, define-se cota inferior. Um conjunto D⊆A é chamado conjunto dirigido se para cada par de elementos a,b∈D, o conjunto {a,b} possui cota superior em D. Dualmente, define-seconjunto d-dirigido.

Exemplo 2.3. Se hA,ié um conjunto pré-ordenado e é uma pré-ordem total então

todo subconjunto não vazio de A é dirigido e d-dirigido.

De fato, sea≤b, entãoaé uma cota inferior ebuma superior para{a,b}.

A definição abaixo apresenta uma generalização para conjuntos pré-ordenados dos conceitos de ínfimo e supremo. Esta definição foi retirada de [Morgado 1962].

Definição 2.3. ConsiderehA,ium conjunto pré-ordenado, C⊂A e defina os conjuntos

UC={u∈A; cu, ∀c∈C}e LC={l∈A; lc, ∀c∈C}, ou seja, estes são os conjuntos

das cotas superiores e inferiores de C. É possível que algum desses conjuntos (ou ambos) seja vazio. Se existir um elemento s∈UC tal que su, ∀u∈UC, então diz-se que s é

umsupremóide de C. De modo dual define-seinfimóidede C. No caso em que a

pré-ordem é uma relação de pré-ordem, o supremóide de uma conjunto, quando existe, é único e é chamado desupremodo conjunto. O mesmo ocorre com o infimóide que no caso recebe o nome deínfimo. Os conjuntos dos supremóides e dos infimóides de um conjunto C⊂A

serão denotados por SC e IC. No caso de conjuntos ordenados, o supremo e o ínfimo de

um conjunto serão denotados porsupC einfC.

Definição 2.4. SejahA,ium conjunto pré-ordenado. Denota-se por⊥Ao conjunto dos

elementos⊥ ∈A tais que⊥ a, ∀a∈A. Se a pré-ordem for também anti-simétrica (ou seja, se for uma relação de ordem), então existe no máximo um elemento ⊥ com esta propriedade e este é chamadomenor elemento, ou mínimo dehA,i. Se⊥A6= /0, diz-se

quehA,ié um conjunto pré-ordenado commenores elementos.

A definição abaixo apresenta uma generalização para conjuntos pré-ordenados de um importante conceito de teoria dos domínios, a saber a relação essencialmente abaixo (a definição para conjuntos ordenados é idêntica a dada abaixo e pode ser encontrada em [Gierz et al 2003]).

Definição 2.5. Considere um conjunto pré-ordenado hA,≤i. Diz-se que x está

Capítulo 2. Preliminares

Exemplo 2.4. No conjuntoR, a relação essencialmente abaixo associada à ordem usual

≤coincide com a relação menor estrito<.

De fato, denote por ≪ a relação essencialmente abaixo associada a ≤. Primeiro, suponhaa<b. SejaD⊆Rum conjunto com supremo (todo subconjunto deRé dirigido,

já a ordem deR é total) stal que b_≤s. Pela definição de supremo, como a_<b, então a não pode ser cota superior de D, portanto existe d ∈D tal que a≤d assim a≪b. Agora, suponha a≪b. Considere o intervalo I= (−∞,b). Temos que b é o supremo deste conjunto (todo subconjunto deRé dirigido) logob_≤supI e, pela definição de≪,

existed∈Ital quea≤d. Comod∈I, entãod<blogoa<b.

Observação 2.1. Uma importante propriedade da relação essencialmente abaixo é a

seguinte:

se a≪c e b≪c, então s≪c, para todo s∈U{a,b}. (2.1)

A verificação desta propriedade é inteiramente análoga àquela para conjuntos ordena-dos e relações auxiliares (ver [Gierz et al 2003]).

Teorema 2.1. SehA,≤ié um conjunto pré-ordenado, então a relação≪satisfaz:

i) Se a≪b, então a≤b;

ii) Se a≤b, b≪c e c≤d, então a≪d.

Demonstração. A demonstração também segue os mesmos passos da demonstração deste fato quando nos restringimos a conjuntos ordenados e relações auxiliares (ver [Gierz et al 2003]).

Abaixo, é apresentada uma importante classe de conjuntos pré-ordenados, os quais foram introduzidos em [Morgado 1962].

Definição 2.6. Um conjunto pré-ordenadohA,≤ié chamadosemireticulóide inferiorse

existe pelo menos um infimóide para cada a,b∈A. Dualmente, define-se um semireti-culóide superior. Se um conjunto pré-ordenado é, ao mesmo tempo, um semireticulóide inferior e superior, dizemos que ele é um reticulóide. No caso em que≤ é uma ordem parcial, as definições de semireticulóide e reticulóide coincidem com as de semireticu-lado e reticusemireticu-lado (veja [Blyth 2005]). Nesse caso, denota-se por a∧b e a∨b o ínfimo e o

supremo do conjunto{a,b}. Um reticulóide (reticulado) no qual todo subconjunto possui

Capítulo 2. Preliminares

A teoria dos reticulados (como conjuntos ordenados) já se tornou um tópico funda-mental em teoria de conjuntos ou de ordens. Pode-se enriquecer a estrutura de um reticu-ladohA,≤iacrescentando-se a mesma uma operação entre seus elementos. Um exemplo de uma estrutura como esta são os chamados Reticulados residuados, cuja definição pode ser encontrada em [Galatos et al 2007]. Um outro exemplo são os chamadosQuantalese osco-Quantales, os quais serão abordados no capítulo do estado da arte.

2.2 Matemática Intervalar

Definição 2.7. O conjunto dosintervalos compactosda reta é definido porIR_={[a,b];a_≤ b}e o conjunto dos intervalos compactos com extremos não-negativos porIR+_={[a,b_]∈ IR; 0_≤a_≤b_}.

DadoX ∈IR, a notação_[x,x_]é usada para representarX.

O conjunto de operações entre intervalos definidas abaixo ficou conhecido como arit-mética WSM.

Definição 2.8. Sejam A= [a,a],B=b,b∈IR. As operações de adição, multiplicação, subtração e divisão de intervalos são de finidas como segue:

(a) A+B=a+b;a+b; (b) A−B=a−b;a−b;

(c) A×B= [min{a.b,a.b,a.b,a.b},max{a.b,a.b,a.b,a.b}]; (d) A

B = [min{ a b,

a b,

a b,

a

b},max{ a b,

a b,

a b,

a

b}], onde0∈/B.

A principal propriedade que essas operações possuem é apresentada no seguinte:

Teorema 2.2. Sejam A,B∈IRe O_{={+,×,−, /}}o conjunto das operações intervalares

definidas acima. Denote por∗′a operação entre números reais relativa à operação∗ ∈O. Dessa forma, se∗ ∈O, então a∗′b∈A∗B, para quaisquer a∈A e b∈B.

Essa propriedade traduz a idéia de que as operações definidas por Moore para interva-los são corretas em relação as operações usuais entre números. De fato, como intervainterva-los são usados para representar valores com incertezas é desejável que ao operar esses inter-valos, o intervalo resultante contenha todos os possíveis valores da operação usual entre os elementos dos intervalos, o que garante que o valor real da operação pertence ao intervalo resultante.

Capítulo 2. Preliminares

Teorema 2.3. Sejam A,B∈IRe O_{={+,×,−, /}}o conjunto das operações intervalares

definidas acima. Denotando por∗′ a operação entre números reais relativa à operação

∗ ∈O, temos que A∗B={a∗′b; a∈A e b∈B}.

Isso significa que nas operações intervalares não há “sobra"de valores, ou seja, se um númerozestá emA∗B, então existemx∈Aey∈Btais quex∗′y=z.

As demonstrações destes dois últimos teoremas seguem diretamente da teoria de fun-ções contínuas deR2emR, do fato de que a imagem de um conjunto conexo e compacto

por uma função contínua é um conjunto conexo e compacto e do fato de que os únicos subconjuntos conexos da reta são os intervalos. Estes resultados podem ser vistos em [Lima 1977].

Abaixo, estão listadas algumas propriedades algébricas da aritmética WSM:

(a)A+ (B+C) = (A+B) +C; (b)A(BC) = (AB)C;

(c)A+B=B+A; (d)AB=BA;

(e)A(B+C)⊆AB+AC.

Acima foram apresentadas as operações intervalares que constituem um conceito fun-damental para se trabalhar com matemática intervalar, assim como as operações usuais são fundamentais para se trabalhar com números reais. Do mesmo modo, é também fun-damental uma noção de ordem emIR, assim como emR. É possível definir uma enorme

quantidade de ordens parciais emIR, mas aqui terá destaque àquela definida em [Kulisch

e Miranker 1981], a qual é exibida abaixo:

Definição 2.9. Aordem de Kulisch-MirankeremIR,_≤km, é definida por_[a,b_]≤km[c,d_] se, e somente se, a≤c e b≤d.

Esta ordem parcial recebe destaque dentre as demais por sua naturalidade já que com esta ordem tem-se a idéia de que seX≤kmY, então “X está à esquerda deY na reta real”.

Um fato importante sobre ≤km é que a estrutura hIR+,≤km,[0,0]i é um reticulado

com menor elemento [0,0]. De fato, dados [a,b] e [c,d], temos que inf{[a,b],[c,d]}= [min(a,c),min(b,d)]e sup{[a,b],[c,d]}= [max(a,c),max(b,d)].

Outro ponto importante sobreIRé a definição de uma distância entre seus intervalos,

a qual foi proposta por Moore e ficou conhecida como métrica de Moore:

Capítulo 2. Preliminares

Identificando o conjuntoIRcom o subconjunto deR2formado pelos pares₍a,b₎com a≤b, nota-se quedM é uma simples adaptação da chamada métrica do máximo emR2

(ver [Lima 1977]). Também através desta identificação, nota-se que a ordem≤KM é uma

adaptação da ordem produto emR2₌R_×R.

Uma crítica que alguns pesquisadores fazem sobre a métrica dM está no fato de que

ela não capta as incertezas presentes nos intervalos, já que o valor da distância entre intervalos é um número real. Em sua tese de doutorado ([Acióly 1991]) Acióly alertou para a necessidade de uma noção de métrica em IR que incorporasse as imprecisões

expressas pelos intervalos. Uma maneira interessante de fazer isso é dar uma noção de métrica na qual a distância entre os intervalos seja também um intervalo (uma noção de distância como esta pode ser encontrada em [Trindade et al 2010]).

2.3 Lógica Difusa

A teoria dos conjuntos difusos foi iniciada nos anos 1960’s com o trabalho de Lofti Zadeh (veja [Zadeh 1965]). Na teoria clássica de conjuntos, dado um conjunto universoU

(às vezes chamado universo de discurso) pode-se caracterizar um conjunto qualquerX ⊆

U pela sua chamada função característicaξX, a qual é definida da seguinte maneira: ξX :

U−→ {0,1}, ondeξX(a) =

(

1 , sea∈X

0 , sea∈/X . Com isso, dado um elementoa∈U, temos

que oua∈X oua∈/ X. Isso advém da chamada lógica clássica, onde uma proposição é verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira possibilidade e, portanto, não havendo um terceiro valor para a função de pertinência. Os conjuntos difusos surgiram com o intuito de lidar com expressões que podem ser consideradas vagas, como por exemplo, alto. Se pensarmos no conjunto das pessoas altas, na lógica clássica, dada uma pessoa teremos que dizer se ela está ou não neste conjunto. Dessa forma, se este conjunto for composto pelas pessoas com pelo menos 1,85 mts de altura, uma pessoa com 2,15 será classificada de maneira igual a outra com exatamente 1,85 mts. Neste caso, parece adequado dizer que a primeira pessoa “pertence mais” ao conjunto do que a segunda. Essa noção, no entanto, não é capturada pela teoria clássica dos conjuntos. Assim como no caso clássico, um

conjunto difuso é caracterizado por sua função de pertinência, neste caso, uma função

µ:U−→[0,1], onde o valorµ(t)significa o grau de pertinência do elementotao conjunto em questão. Com isso, por exemplo, poderíamos definir o conjunto alto através de uma função de pertinência que seja crescente com a altura da pessoa.

Capítulo 2. Preliminares

Definição 2.10. Umnúmero difusoé um conjunto difuso A:R_−→[0_,1]que satisfaz:

1. A é normal (existe t ∈Rtal que A₍t_{) =}1);

2. O suporte de A — i.e. o conjunto suppA={t∈R; A₍t_)>0}— é limitado;

3. Para cada α∈(0,1], oα-corte Aα ={t∈R; A₍t_)≥α} é um intervalo compacto da reta.

Cada número real r pode ser visto como um número difuso, considerando-se a se-guinte função de pertinência:

µr(t) =

(

1, set=r

0, set6=r .

Este número difuso será denotado por ˜r. Para outros exemplos de números difusos, como os números difusos triangulares ou trapezoidais, veja [Klir e Yuan 1995].

O seguinte teorema dá a caracterização dos números difusos.

Teorema 2.4. Seja A:R_−→[0_,1]um conjunto difuso. Temos que A é um número difuso

se, e somente se, existem um intervalo [a,b] e duas funções l :(−∞,a)−→[0,1] e r :

(b,∞)−→[0,1], onde l é não-decrescente, contínua à direita e existeω1tal que l(t) =0,

para todo t <ω1∈R e r é não-crescente, contínua à esquerda e existeω2∈Rtal que

r(t) =0para todo t>ω2satisfazendo:

A(t) =     

1, se t∈[a,b]

l(t), se t<a r(t), se t>b

.

Demonstração. Veja [Klir e Yuan 1995].

Um número difuso A é dito ser não-negativo quando A(t) =0 para todo t <0. Se

r≥0, então ˜ré um número difuso não-negativo. O conjunto de todos os números difusos não-negativos será denotado porG.

SeA∈Geα∈(0,1], então osα-cortes deAserão denotados porAα = [aα,aα]. Como os números difusos são determinados por seus α-cortes, pode-se definir uma

aritmética e uma ordem parcial em G, baseadas na aritmética WSM e na ordem de Kulisch-Miranker para intervalos. Aqui, serão consideradas apenas as operações de adi-ção e multiplicaadi-ção da aritmética WSM.

Quando restrita aIR+a operação de multiplicação de intervalos tem a seguinte forma

proprie-Capítulo 2. Preliminares

dades além das já vistas na seção anterior. Estas outras propriedades, além de proprieda-des envolvendo a ordem de Kulisch-Miranker estão na proposição abaixo (cuja demons-tração é imediata).

Proposição 2.1. Sejam A,B,C,D∈IR+, onde A_{= [}a,a_], B_{= [}b,b_], C_{= [}c,c_]e D_{= [}d,d_]. Dessa forma, tem-se:

1. [0,0]≤kmA, para todo A∈IR+;

2. An_{= [a}n_,an_];

3. Se A≤kmB e C≤kmD, então A+C≤kmB+D e A·C≤kmB·D;

4. Se b<1, então A·B<kmA, ou seja, A·B≤kmA e A·B6=A.

A partir das operações intervalares acima e da ordem de Kulisch-Miranker, define-se as operações entre os elementos deGe uma ordem parcial emG.

Definição 2.11. Para A,B∈G as operações de adição⊕e multiplicação⊙são definidas

como segue:

1. A soma entre A e B é o número difuso A⊕B∈G definido por(A⊕B)α=Aα+Bα, para todoα∈(0,1];

2. O produto entre A e B é o número difuso A⊙B∈G definido por(A⊙B)α=Aα·Bα, para todoα∈(0,1];

A ordem parcialé definida por AB⇔Aα≤kmBα, para todoα∈(0,1].

Das propriedades das operações intervalares e da ordem de Kulisch-Miranker, segue que as operações e a ordem emGpossuem as seguintes propriedades.

Proposição 2.2. Para A,B,C,D∈G segue que:

1. ˜0A, para todo A∈G;

2. A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C e A⊙(B⊙C) = (A⊙B)⊙C; 3. (An)α= (A⊙...⊙A)α= [aαn,aαn], para todoα∈(0,1]; 4. Se AB e CD, então A⊕CB⊕D e A⊙CB⊙D;

5. Se bα<1, para todoα∈(0,1], então A⊙B≺A, ou seja, A⊙BA e A⊙B6=A.

2.4 Espaços Métricos e Topologia

Capítulo 2. Preliminares

que hoje é conhecido como espaço de Hausdorff (veja [Hausdorff 1914]). A definição de espaço topológico definitiva foi dada por Kazimierz Kuratowski em 1920 (veja [Kura-towski 1920]). Nesta seção, é apresentada uma breve introdução à topologia e aos espaços métricos, abordando apenas os conceitos e resultados que serão usados em algum ponto no decorrer do trabalho. As demonstrações dos resultados, assim como mais detalhes, po-dem ser encontradas em [Smyth 1992], [Lima 1977], [Dugundji 1966], [Munkres 1975] ou [Nagata 1986]

Definição 2.12. Umatopologiaem um conjunto não vazio M é uma classeτde

subcon-juntos de M que satisfaz as seguintes condições:

1. /0,M∈τ;

2. Se{Aλ}λ∈L ⊆τ, então

[

λ∈L

Aλ∈τ;

3. Se A,B∈τ, então A∩B∈τ.

O par(M,τ), ondeτé uma topologia em M, é chamadoespaço topológico.

Os conjuntos que pertencem a uma topologia são chamados abertos desta topologia. Dado um pontoadeM, dizemos queV é uma vizinhança deasea∈V eV contém um abertoOtal quea∈O. Em um espaço topológico, o complementar de um conjunto aberto é chamado conjunto fechado. Se(M,τ)é um espaço topológico eC⊂M, então o fecho deC(denotado porC) é definido como sendo o menor conjunto fechado que contémC. É possível mostrar queCé a interseção de todos os conjuntos fechados que contémC. Uma caracterização dos conjuntos fechados é apresentada abaixo.

Proposição 2.3. Sejam(M,τ)um espaço topológico e C⊂M. Temos que C é fechado se,

e somente se, C=C.

Dois exemplos triviais de topologias em um conjunto M qualquer são os seguintes: {/0,M}e o conjunto

P

M

e a segunda discreta. Um outro exemplo é a chamada topologia cofinita, onde os abertos da topologia são o conjunto vazio e os subconjuntos deMcujo complementar é finito (no caso em queMé infinito).

Definição 2.13. Seja(M,τ)um espaço topológico. Uma classe

B

baseparaτse todo aberto pode ser escrito como união de elementos de

B

Capítulo 2. Preliminares

Definição 2.14. Umamétricaem um conjunto não vazio M é uma função d:M×M−→

Rque satisfaz:

1. d(x,y)≥0; 2. d(x,y) =d(y,x);

3. d(x,y) =0se, e somente se, x=y;

4. d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z)(desigualdade triangular).

O par(M,d), onde d é uma métrica em M, é chamadoespaço métrico.

No conjuntoRndos vetores comncoordenadas reais as seguintes funções são métricas

(sex∈Rn, denotaremos suas coordenadas porx_1,x_{2, ...,}x_n):

i)dE(x,y) =p(x1−y1)2+...+ (xn−yn)2(distância euclidiana);

ii)dS(x,y) =|x1−y1|+...+|xn−yn|(distância da soma);

iii)dM(x,y) =max{|x1−y1|, ..,|xn−yn|}(distância do máximo).

Definição 2.15. Seja(M,d)um espaço métrico. Fixados um ponto a∈M e um número

real positivo r, o conjunto {y∈M; d(a,y)<r} é chamado bola aberta de centro a e raior. A notação usada é B(a,r). Em um espaço métrico(M,d), diz-se que um conjunto O⊆M é aberto quando para todo a∈O existe r>0tal que B(a,r)⊆O.

Teorema 2.5. Seja (M,d) um espaço métrico. A classe τdos conjuntos abertos é uma

topologia em M. Além disso, a classe das bolas abertas constitui uma base desta topolo-gia.

As 3 métricas emRndescritas acima geram a mesma topologia neste conjunto. Quando

métricas definidas em um mesmo conjunto geram a mesma topologia neste, dizemos que estas métricas são equivalentes.

O fecho de uma bola abertaB(a,r)em um espaço topológico é a bola fechadaB[a,r] = {y∈M; d(a,y)≤r}.

Uma topologia que pode ser construída a partir de uma métrica da maneira descrita acima é chamadametrizável.

A primeira formulação de topologia dada por Hausdorff incluia uma condição a mais além das apresentadas na definição 2.12. Esta condição indica que o espaço em questão tem uma propriedade de separabilidade entre seus pontos, a qual ficou conhecida como propriedade de Hausdorff.

Definição 2.16. Um espaço topológico(M,τ)(ou a topologiaτ) é dito ser deHausdorff

(ou ter a propriedade de Hausdorff)quando dados x,y∈M com x6=y, existem abertos

Capítulo 2. Preliminares

Um resultado bastante conhecido sobre espaços de Hausdorff é apresentado abaixo:

Proposição 2.4. Toda topologia metrizável é de Hausdorff.

Um exemplo de um espaço topológico que não é de Hausdorff é o seguinte: seja M

um conjunto infinito qualquer eτa topologia cofinita emM. DadosA,B∈τ, com AeB

não-vazios, temos queM−(A∩B) = (M−A)∪(M−B). ComoAeBsão abertos desta topologia, entãoM−Ae M−B são conjuntos finitos, logo(M−A)∪(M−B)6=M, já que M é infinito. PortantoA∩B6= /0, para qualquer par de abertos não vazios. Sendo assim, dadosx,y∈Mcomx6=y, é impossível encontrar os abertos disjuntos da definição de espaço de Hausdorff.

Um outro exemplo de espaço que não é de Hausdorff é o espaço (M,τ) onde M é um conjunto com pelo menos dois elementos eτ={/0,M}. De fato, dadosx,y∈M com

x6=y, o único aberto que contémxeyé o próprioM.

Devido a proposição 2.4, estes dois espaços acima não são metrizáveis.

Um resultado trivial sobre espaços de Hausdorff assegura que todo conjunto unitário é fechado neste tipo de espaço.

Definição 2.17. Sejam (M1,τ1) e (M2,τ2) dois espaços topológicos. Uma função f :

M−→N écontínuaquando para cada O∈τ2tem-se f−1(O)∈τ1.

Abaixo, define-se a noção de continuidade relativa a espaços métricos.

Definição 2.18. Dados dois espaços métricos(M,dA)e(N,dB), uma função f :M−→N

é dita sercontínua em a∈M, se para todo ε>0, existeδ>0 tal que dA(a,b)<δ⇒

dB(f(a),f(b))<ε, ou equivalentemente, se b∈B(a,δ), então f(b)∈B(f(a),ε). Quando

f é contínua em cada a∈M diz-se simplesmente que f é contínua.

Teorema 2.6. Sejam(M,dA)e(N,dB)dois espaços métricos. Uma função f :M−→N

é contínua com respeito às topologias geradas por dA e dBse, e somente se, f é contínua

com respeito às métricas.

O teorema acima garante que a definição de continuidade topológica coincide com a de continuidade relacionada a espaços métricos. Assim, para avaliar a continuidade topológica de uma função entre espaços topológicos metrizáveis pode-se usar o conceito relativo a espaços métricos o qual, muitas vezes, é mais fácil de ser averiguado.

A seguir, são apresentadas outras noções de distância que têm pequenas diferenças em relação às métricas.

Definição 2.19. Umaquasi-métricaem um conjunto não vazio M é uma função d:M×

Capítulo 2. Preliminares

1. d(x,y)≥0e d(x,x) =0;

2. Se d(x,y) =d(y,x) =0, então x=y;

3. d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z)(desigualdade triangular).

O par(M,d), onde d é uma quasi-métrica em M, é chamado espaço quasi-métrico.

Uma diferença entre métrica e quasi-métrica é que a segunda não é, necessariamente, simétrica. Outra diferença é que sedé uma quasi-métrica, então pode ocorrerd(x,y) =0, comx6=y.

Exemplo 2.5. Um exemplo simples de quasi-métrica que não é métrica em R é o da

função d1:R×R−→Rdefinida por d1(a,b) =max{a−b,0}. Note que d(2,3) =0 e

d(3,2) =1.

Dada uma quasi-métricademM, é possível obter uma outra quasi-métricad, chamada quasi-métrica conjugada, emM definida pord(x,y) =d(y,x). Também é possível obter uma métricaqemMdefinida porq(x,y) =max{d(x,y),d(x,y)}.

Definição 2.20. Uma pseudo-métrica em um conjunto não vazio M é uma função d :

M×M−→Rque satisfaz:

1. d(x,y)≥0e d(x,x) =0; 2. d(x,y) =d(y,x);

3. d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z)(desigualdade triangular).

O par(M,d), onde d é uma pseudo-métrica em M, é chamado espaço pseudo-métrico.

É possíveld(x,y) =0, comx6=y.

Exemplo 2.6. Um exemplo simples de uma pseudo-métrica que não é métrica emR2é a

função definida por d2((x,y),(z,t)) =|x−z|. Note que d2((1,2),(1,3)) =0.

Capítulo 2. Preliminares

de topologias que não são. Como toda quasi-pseudométrica é, em particular, uma quasi e uma pseudo-métrica, então estas topologias que não são quasi-pseudometrizáveis não são quasi-metrizáveis e nem pseudo-metrizáveis.

Observação 2.2. É imediato que toda métrica é uma quasi-métrica, uma pseudo-métrica

e uma quasi-pseudométrica. A função d1do exemplo 2.5 é um exemplo de quasi-métrica

que não é pseudo-métrica, já que não é simétrica. A função d2 do exemplo 2.6 é uma

pseudo-métrica que não é quasi-métrica, já que d2((1,2),(1,3)) =d2((1,3),(1,2)) =0,

Capítulo 3

Estado da Arte

Neste capítulo, são apresentadas algumas generalizações do conceito de distância fei-tas através da modificação do conjunto de valoração das funções distância. Serão aborda-das generalizações ligaaborda-das a teoria aborda-das probabilidades, lógica difusa e teoria da ordem.

3.1 Métricas Estatísticas

Como já foi dito, uma das primeiras generalizações do conceito de métrica surgiu em 1942 (veja [Menger 1942]), quando Menger introduziu as chamadas métricas esta-tísticas. Para apresentar tal conceito, é necessária a noção de função de distribuição de probabilidade.

Definição 3.1. Uma função F:R_−→[0_,1]é chamada função de distribuição de

proba-bilidade quando é não-decrescente, contínua pela esquerda e satisfaz lim

t−→+∞F(t) =1. O valor de F em t é entendido como a probabilidade de que a variável aleatória X, que tem F como função de distribuição, seja menor do que t. Será denotado por D+ _{o conjunto}

das funções de distribuição de probabilidade não negativas, ou seja, daquelas tais que F(0) =0.

Exemplo 3.1. A função F(x) =1−e−x_{(distribuição exponencial) é um clássico exemplo}

de função de distribuição de probabilidade.

Visto isso, a definição de métrica estatística é apresentada abaixo.

Definição 3.2. Uma função d:M×M−→D+ _{é chamadamétrica estatísticase satisfaz}

as seguintes condições:

i) d(x,y)(t) =1, para todo t>0se, e somente se, x=y, onde x,y∈M; ii) d(x,y)(0) =0, quaisquer que sejam x,y∈M;

Capítulo 3. Estado da Arte

iv) T(d(x,y)(λ),d(y,z)(µ))≤d(x,z)(λ+µ),

para alguma função T :[0,1]×[0,1]−→[0,1]satisfazendo:

a) T(a,b)≤T(c,d), para a≤c e b≤d; b) T(a,b) =T(b,a);

c) T(1,1) =1;

d) Se a>0, então T(a,1)>0;

A tripla(M,d,T)é chamadaespaço métrico estatísticoou espaço de Menger.

A função T que aparece na definição acima, com a exigência de associatividade (T(a,T(b,c)) =T(T(a,b),c)) e do 1 ser o elemento neutro (T(a,1) =a), ficou conhe-cida como Norma Triangular ou simplesmente t-norma. Esta função tornou-se muito importante com o surgimento da chamada lógica difusa, onde as t-normas desempenham o papel de conectivo de conjunção nesta lógica (veja [Klir e Yuan 1995]) .

Na noção proposta em [Schweiser e Sklar 1960], uma função d :M×M −→D+ _é

chamada métrica estatística quando satisfaz as 3 primeiras condições que aparecem na definição de Menger e a condição abaixo, a qual decorre da desigualdade triangular dos espaços e Menger (condição iv) da definição 3.2:

Sed(x,y)(t) =1 ed(y,z)(s) =1, entãod(x,z)(t+s) =1.

Em ambos os casos, o número d(x,y)(t)significa a probabilidade de que a distância entrexeyseja menor do quet. Com base nisso, as 3 primeiras condições são facilmente reconhecíveis enquanto generalizações das condições usuais de métrica. Na segunda de-finição, embora seja intuitiva, a quarta condição, a qual é uma generalização da desigual-dade triangular, tem um problema: como muitas das funções de distribuição não atingem o valor 1 esta condição acaba sendo válida por vacuidade e, devido a isso, não é possível fazer grandes avanços teóricos com este conceito.

3.2 Espaço Métrico Difuso

Em [Kramosil e Michálek 1975] foi introduzido o primeiro conceito de espaço métrico difuso.

Definição 3.3. Um espaço métrico difuso (no sentido de Kramosil e Michalék é uma

Capítulo 3. Estado da Arte

i) µR(x,y,0) =0;

ii) µR(x,y,t) =1, ∀t>0se, e somente se, x=y;

iii) µR(x,y,t) =µR(y,x,t);

iv) T(µR(x,y,t),µR(y,z,s))≤µR(x,z,t+s);

v) Para cada par (x,y)∈M×M, temos que a função µR(x,y,·):[0,+∞)−→[0,1] é

contínua à esquerda, não-decrescente e lim

t−→+∞µR(x,y,t) =1.

Não é difícil ver que um espaço métrico difuso neste sentido é apenas uma adaptação para o contexto de conjuntos difusos dos espaços de Menger. Basta definir para cada (x,y)∈M×Me para cadaλ∈R,d₍x,y_{)(λ) =}µ_R(x,y,_λ).

Em [George e Veeramani 1994], foi definido um outro conceito de espaço métrico difuo, o qual apresentava pequenas modificações em relação à noção de Kramosil e Mi-chálek.

Definição 3.4. Um espaço métrico difuso (no sentido de George e Veeramani) é uma

tripla(M,T,R), onde M é um conjunto não vazio, T é uma t-norma contínua e R é um subconjunto difuso de M×M×Rcuja função de pertinência µ_R satisfaz:

i)µR(x,y,t)>0;

ii) µR(x,y,t) =1se, e somente se, x=y;

iii)µR(x,y,t) =µR(y,x,t);

iv) T(µR(x,y,t),µR(y,z,s))≤µR(x,z,t+s);

v) Para cada par (x,y)∈M×M, temos que a função µR(x,y,·):(0,+∞)−→[0,1] é

contínua.

Esta noção de espaço métrico difuso tem a vantagem de não ser uma adaptação direta do conceito de espaço de Menger.

Em [Kaleva e Seikkala 1984] foi introduzido um outro conceito de espaço métrico difuso no qual o valor da distância entre dois objetos é um número difuso não-negativo. Esta definição pode ser encontrada abaixo:

Definição 3.5. Uma quádrupla (M,d,L,R) onde M é um conjunto não vazio, d :M×

M −→G (G é o conjunto dos números difusos não-negativos) é uma função e L,R : [0,1]×[0,1]−→[0,1]são duas funções simétricas, não-decrescentes nos dois argumen-tos e satisfazendo L(0,0) =0e R(1,1) =1é chamadoespaço métrico difuso(no sentido de Kaleva e Seikkala) quando satisfaz:

Capítulo 3. Estado da Arte

iii) Adotando a notação[d(x,y)]α= [λα(x,y),ρα(x,y)]para osα-cortes de d(x,y)temos, para quaisquer x,y,z∈M,

1. d(x,y)(s+t)≥L(d(x,z)(s),d(y,z)(t)), sempre que s≤λ1(x,z), t≤λ1(z,y)e

s+t≤λ1(x,y);

2. d(x,y)(s+t)≤R(d(x,z)(s),d(y,z)(t)), sempre que s≥λ1(x,z), t≥λ1(z,y)e

s+t≥λ1(x,y);

Já foram feitos vários estudos sobre estes espaços métricos difusos, abordando proble-mas como completude, compacidade, teoreproble-mas de ponto fixo, etc. (veja [Lee et al 1999], [Singh e Jain 2005] e [Ciric 2010]).

3.3 Métrica Generalizada

Uma outra generalização do conceito de métrica foi proposta em 1993 , a qual foi chamada de métrica generalizada (ver [Khamsi et al 1993]). Neste trabalho os autores estavam interessados no problema da existência do chamado conjunto de resposta para um programa lógico disjuntivo. Para um tipo de programa, a existência desse conjunto é garantida por um teorema do ponto fixo para aplicações multi-valoradas relativo a es-paços métricos usuais, o qual pode ser encontrado no próprio artigo. A métrica usada neste caso é a chamada métrica de Fitting (ver [Fitting 1993]). Para um outro tipo de programa, a definição da métrica de Fitting não faz sentido, pois ela poderia “assumir valores infinitos”. Com isso, apareceu a necessidade de uma noção de métrica na qual os valores da distância pudessem não ser números reais, mas que a função distância tivesse características muito parecidas com as de métricas usuais, de modo que um teorema de ponto fixo para aplicações multivaloradas, semelhante ao usual, neste caso também fosse válido. O modo como os autores resolveram isso está descrito nas definições abaixo.

Definição 3.6. Um conjunto A no qual estão definidas uma operação binária ⊕

asso-ciativa, comutativa e com elemento neutro 0∈ A é chamado monoide abeliano. Se em A existir uma relação de ordem parcial tal que ⊕ e são compatíveis, ou seja,

0u, ∀u∈A e u1⊕v1u2⊕v2sempre que u1v1e u2v2, então diremos que A é

ummonoide abeliano ordenado.

Definição 3.7. Seja(A,≤,+,0)um monoide abeliano ordenado. Umamétrica

genera-lizadaem um conjunto não vazio M é uma função d:M×M−→A que satisfaz:

Capítulo 3. Estado da Arte

2. d(x,y) =d(y,x), quaisquer que sejam x,y∈M;

3. d(x,y)≤d(x,z)⊕d(z,y), quaisquer que sejam x,y,z∈M.

A tripla(M,d,A)é chamadoespaço métrico generalizado.

O modo como foi construído o espaço onde seria valorada a métrica teve por objetivo comportar condições bastante semelhantes às de métricas usuais. Os espaços métricos generalizados possuem um teorema de ponto fixo para aplicações multivaloradas muito semelhante ao usual e, com isso, os autores resolveram o problema de existência de con-juntos de resposta para programas lógicos disjuntivos.

Esta noção não se prende a nenhum contexto, como o estatístico ou o difuso, porém em [Santana e Santiago 2011] foi provado que no caso em que as funções L e M da definição de espaço métrico difuso, no sentido de Kaleva e Seikkala, são as funções min e max, aqueles espaços são espaços métricos generalizados. Como ficará claro no decorrer do trabalho, esta noção de métrica generalizada é capaz de capturar a idéia de métrica intervalar, mas não a de representação intervalar segundo [Santiago et al 2006].

3.4 Conjunto Distância

Em [Heitzig 2002] foi introduzido o conceito abaixo, o qual é mais uma generalização de distância.

Definição 3.8. Um conjunto A no qual estão definidas uma operação binária⊕

associ-ativa e com elemento neutro0∈A é chamadomonoide. Se em A existir uma pré-ordem

tal que ⊕ e são compatíveis, ou seja, 0 u, ∀ u ∈A e u1⊕v1 u2⊕v2

sem-pre que u1 v1 e u2 v2, então diremos que A é um monoide pré-ordenado. Uma

tripla (X,d,M), na qual X é um conjunto não-vazio, M é um monoide pré-ordenado e d:X×X −→M é uma função é chamadaconjunto distânciaquando:

i) d(x,x) =0, para todo x∈X;

ii) d(x,y)≤d(x,z)⊕d(z,y), quaisquer que sejam x,y,z∈X

Desde que toda ordem parcial é uma pré-ordem e todo monoide abeliano ordenado é um monoide pré-ordenado, é fácil perceber que todo espaço métrico generalizado definido na seção anterior, é um conjunto distância.

fun-Capítulo 3. Estado da Arte

ções entre conjuntos distância f :(X1,d1,A1)−→(X2,d2,A2)que satisfazem:

Se d1(x1,y1) +...+d1(xn,yn)≤1d1(z1,w1) +...+d1(zn,wn),

então d2(f(x1),f(y1)) +...+d2(f(xn),f(yn))≤2d2(f(z1),f(w1)) +...+d2(f(zn),f(wn))

Partindo dessa noção, foi criada uma categoria, denotada por DISTo, na qual os objetos são os conjuntos distância e os morfismos são as homometrias. Vários aspectos desta categoria foram estudados, entre eles, foi mostrado que algumas categorias, como a dos espaços métricos (contrações como morfismos), são subcategorias de DISTo.

3.5 Espaços de Continuidade

Existem duas versões do conceito de espaços de continuidade. A primeira foi proposta em [Kopperman 1988] e a segunda em [Flagg e Kopperman 1997]. A primeira versão é apresentada nas definições abaixos:

Definição 3.9. Um monoide abeliano(V,+,0)que possui um elemento de absorção∞6=0

(x+∞=∞) é chamadosemigrupo de valoraçãoquando satisfaz:

i) Se x+a=b e b+y=a, então a=b (com isso, define-se uma ordem parcial em V pondo a≤b se, e somente se, b=a+x, para algum x∈V );

ii) Para cada a, existe um único b (denotado por a/2) tal que b+b=a; iii) V é um semireticulado inferior quando considerada a ordem≤; iv)(a∧b) +c= (a+c)∧(b+c).

Definição 3.10. Um subconjunto P de um semigrupo de valoração V é chamadoconjunto

de positivosquando satisfaz:

i) Se r,s∈P, então r∧s∈P; ii) Se r∈P e r≤a, então a∈P; iii) Se r∈P, então r/2∈P;

iv) Se a≤b+r, para todo r∈P, então a≤b.

Um semigrupo de valoração generaliza o conjunto R dos números reais em vários

aspectos relevantes do ponto de vista da teoria dos espaços métricos usuais. A partir destas duas definições, segue a definição dos espaços de continuidade.

Definição 3.11. Umespaço de continuidadeé uma quádrupla(X,d,V,P), na qual X é

Capítulo 3. Estado da Arte

i) d(x,x) =0;

ii) d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z).

Esta função d recebe o nome defunção de continuidade.

No artigo [Kopperman 1988] foi mostrado que dado um espaço de continuidade(X,d,V,P), pode-se obter uma topologia emX de modo semelhante a topologia gerada por uma mé-trica, com aúnica diferença sendo que, neste caso, são usadas bolas fechadas no lugar das bolas abertas. Neste mesmo artigo, foi mostrado que toda topologia é gerada por uma função de continuidade.

A segunda versão do conceito de espaço de continuidade se baseia nas seguintes defi-nições.

Definição 3.12. Um reticulado completo(V,≤)é dito ser completamente distributivo

se para qualquer família{xi,j; i∈I, j∈Ji}de elementos de V satisfaz:

inf

i∈Isup_j∈Jixi,j=sup_f∈Finfi∈Ixi,f(i),

onde F é o conjunto das funções escolha que associam a cada índice i∈I um índice f(i)∈Ji.

Definição 3.13. Um reticulado completo(V,≤)no qual está definida uma operação

bi-nária+que é comutativa e associativa é chamadoco-Quantalequando satisfaz:

i) p+0=p, para todo p∈V ;

ii) Se{qi}i∈I é uma familía qualquer de elementos de V , então p+infi∈Iqi=infi∈I(p+

q), para todo p∈I.

Em [Flagg e Kopperman 1997] a estrutura definida acima recebeu o nome de quantale, e foi mencionado que esta denominação nao era padrão, pois na definição encontrada em [Abramsky e Vickers 1993] a distributividade de+era em relação ao sup e não ao inf. O termo co-quantale foi usado em [Heitzig 2003].

Em um reticulado completo(V,≤) é definida a relação “bem acima” dizendo que y

está bem acima dex, o que é denotado porx≪y, quando em cada subconjunto AdeV

com infA≤x, tem-ser≤ypara algumr∈A.

Definição 3.14. Um reticulado distributivo de valoração é um reticulado

completa-mente distributivo(V,≤)satisfazendo:

Capítulo 3. Estado da Arte

ii) Se0≪ p e0≪q, então0≪p∧q.

Definição 3.15. Umco-quantale de valoraçãoé um co-quantale(V,≤,+)tal que(V,≤)

é um reticulado distributivo de valoração.

Usando a notação

V

espaço de continuidade é apresentada abaixo:

Definição 3.16. Um

V

não-vazio e d:X×X −→V é uma função satisfazendo:

i) d(x,x) =0

ii) d(x,z)≤d(x,y) +d(y,z).

Com base em um

V

X também de maneira muito similar ao que é feito no caso de espaços métricos, sendo que aqui as bolas abertas são definidas com base na relação ≪ da seguinte forma: se

ε∈V é tal que 0≪ε e x∈X, então a bola aberta de centro x e raio ε é o conjunto B(x,ε) ={y∈X; d(x,y)≪ε}.

Nas duas versões de espaços de continuidade as funções distância d poderiam ser chamadas de quasi-pseudométricas generalizadas devido às suas condições serem idên-ticas as condições de quasi-pseudométricas. Dessa forma, também tem-se a noção de

V

Capítulo 4

i-Distâncias

Neste capítulo será introduzida uma nova proposta de generalização do conceito de distância, a qual é feita com base em uma modificação do conjunto de valoração das fun-ções distÂncia. Tais generalizafun-ções serão chamadsa de i-distâncias (i-métrica, i-quasi-métrica, i-pseudo-métrica e i-quasi-pseudométrica) já que a motivação inicial para esta proposta vem da idéia de distância intervalar. Para formular esta noção, são necessários alguns novos conceitos em teoria da ordem, os quais serão introduzidos nesta tese, tais como relação semi-auxiliar, conjunto ordenado com menor elemento separável e Valora-ção de i-Distância (VID). Depois, será apresentada tal proposta com alguns exemplos e será mostrado como tal noção de distância gera uma topologia de maneira bastante natu-ral.

4.1 Valoração de i-Distâncias

Nesta seção será feita a construção do espaço que será usado como contra-domínio das funções distância propostas neste trabalho. Para isso, serão necessários alguns conceitos novos em teoria da ordem. O primeiro deles é apresentado abaixo.

Definição 4.1. Seja ≤ uma ordem em A. Uma relação binária R em A é uma relação

semi-auxiliar para≤quando:

1. Se aRb, então a≤b;

2. Se a≤b, bRc e c≤d, então aRd.

Capítulo 4. i-Distâncias

auxiliar quando o conjunto ordenado possui menor elemento, pois para isso deveríamos ter⊥<⊥, o que não ocorre.

Proposição 4.1. Se≤é uma ordem parcial em A, então a relação menor estrito definida

por a<b⇔(a≤b)∧(a6=b)é uma relação semi-auxiliar para≤.

Demonstração. A primeira condição segue diretamente da definição da relação menor estrito. Para provar a segunda, suponhaa≤b, b<ce c≤d. Comob<c, então temos

b≤ce pela transitividade de≤, temosa≤d. Falta apenas verificar quea6=d. Suponha

a=d, assim segue da transitividade de ≤ que b=c o que contradiz a hipótese b<c.

Logo, deve-se tera6=d e, portanto,a<d.

Proposição 4.2. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então a relação essencialmente

abaixo≪é uma relação semi-auxiliar para≤.

Demonstração. Segue diretamente do Teorema 2.1.

Observação 4.1. SehA,≤,⊥ié um conjunto ordenado com menor elemento e≪é a

rela-ção essencialmente abaixo, então⊥ ≪x, para todo x∈A (veja [Gierz et al 2003]). Dessa forma, tem-se⊥ ≪ ⊥. Como ficará claro adiante, isto pode não ser muito interessante

para a topologia gerada pela proposta de generalização de distância a ser intoduzida aqui. Assim, defina a relação essencialmente abaixo estrita≪∗, pondo a≪∗b se, e

so-mente se, a≪b e b∈ ⊥/ A. Dessa forma, não pode ocorrer x≪∗⊥, logo se⊥ ≪∗x, então

x6=⊥.

Proposição 4.3. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então ≪∗ é uma relação

semi-auxiliar para≤.

Demonstração. Segue da definição que sea≪∗b, entãoa≤b. Agora, suponhaa≤b,

b≪∗ c e c ≤d. Como b≪∗ c, então c6= ⊥, logo d 6=⊥. Como ≪ é uma relação semi-auxiliar, temosa≪de comod∈ ⊥/ A, entãoa≪∗d.

Proposição 4.4. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então toda relação semi-auxiliar

para≤é transitiva.

Demonstração. Seja R uma relação semi-auxiliar para ≤ e suponha aRb ebRc. Dessa forma, tem-se a≤b, bRc e c≤c, logo da segunda condição de relação semi-auxiliar segue queaRc.

Capítulo 4. i-Distâncias

Definição 4.2. Um conjunto ordenado com uma relação semi-auxiliar R,hA,≤,R,⊥i, é

dito termenor elemento separável, quando A é d-dirigido e para cada par de elementos a,b∈A, com⊥Ra e⊥Rb, existe c∈L{a,b}tal que⊥Rc.

Exemplo 4.1. Nem todo conjunto ordenado com uma relação semi-auxiliarhA,≤,R,⊥i

tem menor elemento separável. Por exemplo, considere emN∗₌{1_,2_{, ...}}a ordem par-cial a≤db⇔a|b e sua relação<. O menor elemento dehN∗,≤dié1e para a,b∈N∗, é

fácil ver que mdc(a,b)∈L{a,b}e s≤mdc(a,b), para todo s∈L{a,b}. Mas, mdc(2,3) =1,

então a única cota inferior para{2,3}é1.

Por outro lado, sehA,≤, <,⊥Aié um conjunto ordenado com menor elemento tal que

≤é uma ordem total, então esta estrutura possui menor elemento separável. Abaixo, é definida a estrutura que servirá de valoração para as i-distâncias.

Definição 4.3(Valoração de i-Distâncias). UmaValoração de i-Distâncias (VID)é uma

estruturahA,≤,R,⊥i, tal que R é uma relação semi-auxiliar para≤ehA,≤,R,⊥ié um conjunto ordenado d-dirigido com menor elemento separável.

Exemplo 4.2. SehA,≤,⊥i é um conjunto totalmente ordenado, então a estruturahA,≤

, <,⊥i é uma VID, onde < é a relação de ordem estrita. uma VID bastante natural é h[0,+∞),≤, <,0i. Esta estrutura é usada para valorar as métricas usuais (falta aí apenas a operação de adição).

4.2 i-Distâncias: Definições e Primeiros Exemplos

Nesta seção serão definidas as i-distâncias. Em geral, dado um conjunto não-vazioM

e uma VID

V

V

V

é uma funçãod:M×M−→Aque satisfaz algumas condições semelhantes as condições de distâncias usuais. A seguir, é dada a definição de i-métrica que é o tipo mais natural de i-distância, assim como métrica é o tipo mais natural de distância.

Definição 4.4. [i-Métrica] Seja M um conjunto não-vazio e

V

Uma função d:M×M−→A é chamadai-métrica

V

V

quando satisfaz:

1. d(a,b) =⊥se, e somente se, a=b;

2. d(a,b) =d(b,a), para quaisquer a,b∈M;

Capítulo 4. i-Distâncias

Neste caso, a tripla(M,d,

V

As duas primeiras condições são facilmente reconhecíveis como generalizações das condições de métrica. A terceira, que é a “desigualdade triangular", parece não ser muito natural, mas no decorrer desta seção e da próxima (quando serão vistas as ligações com topologia) esta condição será justificada.

Um ponto importante a ser observado sobre a definição do espaço de valoração das i-métricas é que este espaço não exige uma operação de adição. Em [Heitzig 2003], onde também são apresentadas noções generalizadas de métrica (muito semelhantes aos es-paços de continuidade), o autor foi taxativo ao afirmar que para uma estrutura servir de valoração para uma métrica generalizada, a mesma deve comportar a desigualdade tri-angulard(x,z)≤d(x,y) +d(y,z), ou seja, é necessária a existência de uma operação de adição. As razões para a desigualdade triangular de i-distância não depender de uma ope-ração de soma são duas. A primeira pode ser explicada agora. Um determinado conjunto que pode ser interessante para valorar distância pode não ter uma operação de adição adequada. Por exemplo, em um conjunto de cadeias de caracteres a operação que mais se aproxima de adição é a chamada operação de concatenação (∗), que consiste em jun-tar duas cadeias formando uma terceira cadeia, por exemplo,abcde∗f ghi=abcde f ghi. Em todas as generalizações de distância vistas aqui (exceto aquela proposta em [Heitzig 2003]) a operação de adição deve ser comutativa, o que não é o caso para∗. A segunda fi-cará clara no capítulo sobre distância intervalar, mas resumindo, pode-se ter uma adição e uma ordem bastante naturais e compatíveis em um conjunto mas uma função que dá uma noção perfeita de distância valorada neste conjunto pode não satisfazer a desigualdade triangular usual e satisfazer a de i-métrica (é exatamente este o caso da métrica intervalar a ser definida no capítulo 5). Além disso, toda a construção de uma topologia a partir de uma i-métrica pode ser feita sem a necessidade de uma operação de adição no espaço de valoração.

Exemplo 4.3. SejahA,≤,⊥ium reticulado com menor elemento, tal que

V

,⊥ié uma VID. Defina a função ds:A×A−→A por

ds(a,b) =

(

a∨b , se a6=b ⊥ , se a=b .

Esta função é uma i-métrica

V

De fato, é imediato ver queds satisfaz as condições 1.e 2.da definição 4.4. Suponha

Capítulo 4. i-Distâncias

então a∨b≪ε. Tomeδ=ε e suponhads(b,c)≪δ=ε. Se b=c, o resultado segue

imediatamente. Seb6=c, entãob∨c≪ε. Assim, a≪ε, b≪εec≪ε, o que implica ema∨c≪ε.

O próximo teorema mostra que a classe das i-métricas engloba a classe das métricas usuais.

Teorema 4.1. Seja d uma métrica (usual) em M. A função di : M×M −→ [0,+∞),

definida por di(a,b) =d(a,b), é uma i-métrica

V

V

Demonstração. Seja hM,di um espaço métrico no sentido usual. Como já foi visto, a estrutura

V

1. e 2. de i-métricas. Para a condição 3., suponha di(a,b)<ε, com ε>0. Tome δ=

ε−d(a,b)>0, entãodi(b,c)<δ⇒d(b,c)<ε−d(a,b)⇒d(a,b)+d(b,c)<ε, portanto,

segue da desigualdade triangular usual ded qued(a,c)<ε, ou seja,di(a,c)<ε.

Uma generalização de métrica muito parecida com a feita neste trabalho foi a de mé-trica generalizada, mencionada na seção 3.3. Existe mémé-trica generalizada que é i-mémé-trica, mas nem toda métrica generalizada é uma i-métrica e existe i-métrica que não é genera-lizada (a metrica KM que será definida no capítulo 5 é um exemplo). No restante desta seção serão verificadas as ligações entre estas duas generalizações de distância.

Na próxima proposição, são apresentadas condições suficientes para que uma métrica generalizada seja uma i-métrica com respeto a uma VID bastante natural.

Proposição 4.5. Seja V um monoide abeliano ordenado que satisfaz as seguintes

condi-ções

i) se x<y, então existe e6=0tal que x+e≤y; ii) se x<y, então x+a<y+a para todo a∈V ;

iii)hV,≤,0ié d-dirigido ehV,≤, <,0item menor elemento separável.

Sendo assim, sed :M×M−→V é uma métrica generalizada em M, entãod é uma i-métrica

V

V

Demonstração. As duas primeiras condições são iguais as de métricas generalizadas. Su-ponha d(a,b)<ε, com ε6=0. Assim, existe δ6=0 tal que d(a,b) +δ≤ε. Suponha

d(b,c)<δ, então:

d(a,b) +d(b,c) < d(a,b) +δ≤ε

⇒ d(a,b) +d(b,c)<ε

Capítulo 4. i-Distâncias

Observação 4.2. As condições i) e ii) da proposição acima podem ser trocadas pela

seguinte: se x< y, então existe e6=0 tal que x+e<y. A verificação, neste caso, é análoga à anterior.

Agora, será construida uma métrica generalizada que não é uma i-métrica

V

para

V

Considere o conjunto V = [0,1]∪ {2} com a ordem usual da reta ≤ e a operação binária⊕definida por:

x⊕y= (

x+y , se 0≤x+y≤1 2 , caso contrário

Proposição 4.6. O conjunto V acima munido da ordem≤e da operação⊕é um monoide

abeliano e ordenado.

Demonstração. A comutatividade da operação⊕segue imediatamente da comutatividade da adição usual emR. Para verificar que_⊕é associativa, basta notar que:

(x⊕y)⊕z= (

x+y+z , se 0≤x+y+z≤1 2 , caso contrário

e

x⊕(y⊕z) = (

x+y+z , se 0≤x+y+z≤1 2 , caso contrário .

O 0 é o elemento neutro da operação⊕. Para verificar isso, basta notar que se 0≤x≤ 1, entãox⊕0=x+0=xe sex∈/[0,1], então por definição x⊕0=2, mas neste caso,

x=2.

É imediato que 0≤x, para todox∈V. Agora, suponhax1≤y1ex2≤y2. Sex1+y1∈

[0,1], então x1⊕y1 =x1+y1 e assim, x1⊕y1 ≤x2⊕y2, sendo x2⊕y2 =x2+y2 ou

x2⊕y2=2. Sex1+y1∈/[0,1], entãox2+y2∈/[0,1], logox1⊕y1=2 ex2⊕y2=2. Isso

conclui a demonstração.

Defina a seguinte funçãod:R_×R_−→V por:

d(x,y) = (

|x−y| , se|x−y| ≤1 2 , caso contrário

Capítulo 4. i-Distâncias

Demonstração. As duas primeiras condições são imediatas. Para a desigualdade triangu-lar, note que se|x−y| ≤1, entãod(x,y) =|x−y|. Como|x−y| ≤ |x−z|+|z−y|, temos

d(x,y)≤d(x,z)⊕d(z,y), sendod(x,z)⊕d(z,y) =|x−z|+|z−y|oud(x,z)⊕d(z,y) =2. Agora, suponha |x−y|∈/ [0,1], o que implica em d(x,y) =2. Neste caso, temos que |x−z|+|z−y|∈/[0,1], logod(x,z)⊕d(z,y) =2, sejam quais forem os valores ded(x,z) ed(z,y). Assim, concluimos qued(x,y)≤d(x,z)⊕d(z,y).

Esta funçãod não é uma i-métrica

V

1<2. Dadoδ>0, comδ∈V, tomeδ′≤min{δ,1}. Sejax=1+δ₂′, assim|x−1|= δ₂′ < δ′≤δe|x−1| ≤1, logod(x,1) = δ′

2 <δ. Porém,|x−0|=1+δ

′

2 >1, logod(x,0) =2,

ou seja, não temosd(x,0)<2, o que conclui a verificação de quednão é uma i-métrica

V

4.2.1 Outras i-Distâncias

Abaixo, são apresentadas as definições de quasmétricas, pseudométricas e de i-quasi-pseudométricas, as quais são formuladas a partir do conceito de i-métrica, como ocorre no caso usual, através de alterações nas condições sobre a função.

Definição 4.5(i-Quasi-métrica). Seja M um conjunto não-vazio ehA,≤,R,⊥iuma VID.

Uma função d:M×M−→A é chamadai-quasi-métrica

V

1. d(a,b) =⊥e d(b,a) =⊥se, e somente se, a=b;

2. Se d(a,b)Rε, para algum ε∈A com ⊥Rε, então existe δ ∈A com ⊥Rδ tal que

d(b,c)Rδ⇒d(a,c)Rε.

Neste caso, a tripla(M,d,

V

Observação 4.3. Se d :M×M −→ A é uma i-quasi-métrica

V

V

hA,≤,R,⊥i, então a função d:M×M−→A definida por d(a,b) =d(b,a)também é um i-quasi-métrica, a qual é chamada de i-quasi-métrica conjugada de d.

Definição 4.6(i-Pseudométrica). Seja M um conjunto não-vazio ehA,≤,R,⊥iuma VID.

Uma função d:M×M−→A é chamadai-pseudométrica

V

1. d(a,b) =⊥se, e somente se, a=b;

2. d(a,b)≤d(b,a)e d(b,a)≤d(a,b), para quaisquer a,b∈M;

Capítulo 4. i-Distâncias

Neste caso, a tripla(M,d,

V

Definição 4.7 (i-Quasi-pseudométrica). Seja M um conjunto não-vazio e hA,≤,R,⊥i

uma VID. Uma função d :M×M−→A é chamadai-quasi-pseudométrica

V

quando satisfaz:

1. d(a,a) =⊥para todo a∈M;

2. Se d(a,b)Rε, para algum ε∈A com ⊥Rε, então existe δ ∈A com ⊥Rδ tal que d(b,c)Rδ⇒d(a,c)Rε.

Neste caso, a tripla(M,d,

V

4.3 i-Métricas e Topologia

Nesta seção, é mostrado como as i-métricas geram uma topologia partindo-se do con-ceito de bolas abertas de maneira semelhante ao caso das métricas usuais.

Definição 4.8. Seja(M,d,hA,≤,R,⊥i)um espaço i-métrico. Dados a∈M eε∈A com

⊥Rε, abola aberta de centroae raioεé o conjunto B(a,ε) ={b∈M;d(a,b)Rε}. Um

conjunto X ⊆M é dito seraberto, se para cada a∈X existe uma bola aberta B(a,ε), tal

que B(a,ε)⊆X.

Teorema 4.2(Topologia). Seja(M,d,hA,≤,R,⊥i)um espaço i-métrico. A classeℑ(M)

dos conjuntos abertos de M é uma topologia em M.

Demonstração. Basta provar que: /0,A ∈ℑ(M), se {Aλ}λ∈L ⊆ ℑ(M), então

[

λ∈L

Aλ ∈

ℑ(M)e seA,B∈ℑ(M), entãoA∩B∈ℑ(M). As duas primeiras condições são imediatas. SejamA,B∈ℑ(M). Tomea∈A∩B. Desde queAeBsão abertos, existem bolas abertas

B(a,ε1)eB(a,ε2)tais queB(a,ε1)⊆AeB(a,ε2)⊆B. Por definição,⊥Rε1e⊥Rε2, então,

comoAé um conjunto d-dirigido com menor elemento separável, existe uma cota inferior

δ∈Apara{ε1,ε2}com⊥Rδ. Assim, considere a bola abertaB(a,δ). Tomeb∈B(a,δ),

ou seja, d(a,b)Rδ. Como δ∈L{ε1,ε2}, então δ≤ε1, logo d(a,b)Rε1 ⇒b∈B(a,ε1) o que implica emB(a,δ)⊆B(a,ε1). Similarmente prova-se queB(a,δ)⊆B(a,ε2). Assim,

B(a,δ)⊆A∩B, logoA∩B∈ℑ(M).