Modelos Cosmologios e a Aelera~ao do Universo
(CosmologialModelsandtheAelerationoftheUniverse)
Helio V.Fagundes
Instituto deFsiaTeoria,UniversidadeEstadual Paulista,
S~aoPaulo-SP-CEP01405-900
E-mail: helioift.unesp.br
Reebidoem2dezembro,2001. Aeitoem8demaio,2002.
Alguns modelos osmologios s~ao apresentados informalmente, espeialmenteos de Friedmann e
Einstein-deSitter,utilizadosnoontextodohamado`BigBang',eosdeFriedmann-Lema ^
itreque
ompletamosprimeiros porinluir aaelera~aodaexpans~aodouniverso,desobertaalgunsanos
atras.
I O universo observavel
A Fig. 1 e um esquema da parte do universo que
podemos observar da Terra. Os rulos
represen-tam amadas esferias, om um numero indiando
sua dist^ania em anos-luz. Ela ja pressup~oe
inter-preta~oes teorias,ou ao menos algum proessamento
mental,poisnossossentidosn~aoperebemdiretamente
dist^aniasastron^omias. Nossavis~aodiretadoeun~ao
india profundidade na dire~ao da observa~ao: oSol,
a Lua,asestrelase do Cruzeirodo Sul(distantes
respetivamente 260 e 490 anos-luz) aparentam estar
todosamesmadist^aniadenos.
Terra
5 billion
10 billion
15 billion
Figura1. Esquemadapartedouniversoquepodemos
ob-servar. Cada rulorepresentaumaamada esferia, om
adist^aniaindiadaemanos-luz.
Consideremosorulomarado5bilh~oes(1bilh~ao
= 1000milh~oes) nagura. Osobjetos,omo galaxias
equasares,situadosnessa amada,s~aoobservados por
seja,ada rulorepresenta uma regi~aodo osmo em
umaertaepoa. (Masnaesaladehoje,quelevaem
onta aexpans~aodo espao.) N~ao podemos ver omo
eraemqualquerepoa umadadaregi~ao. Orulo
ex-ternoeapartemaisdistante,aera de15 bilh~oesde
anos-luz,e portanto mais antiga, que pode ser
obser-vadaatravesderadia~aoeletromagnetia.
OsnumerosdaFig. 1s~aoaproximados,mastodos
sebaseiamna teoriada expans~aodo universo,
onhe-ida omo `Big Bang' (BB), ou, teniamente, omo
teoriapadr~ao do universo. Outrasobserva~oesques~ao
expliadas pela teoria do BB s~ao as densidades
rela-tivas dos elementos leves, hidrog^enio, helio e ltio, no
universo,eahamadaradia~aoosmiadefundo, que
seoriginanaesferamaximadaFig. 1.
Aontee que oBB tem muitas variantes. A ideia
basiadoosmoomoalgosemelhanteaoresultadode
umagrandeexplos~aoontinuasendoamaisaeita
pe-los espeialistas, mas quanto aos detalhes ha muitas
possibilidadeseinertezas.
Antes de abordar esses modelos, uma observa~ao:
n~ao onfundir a osmologia relativstia om a teoria
darelatividade geral riada porA. Einstein em 1915.
Esta ultima e uma teoria da fora gravitaional,
en-quanto aosmologiaeinsteinianabaseia-sena
relativi-dadegeralombinadaomoutrashipoteses,omoa
ho-mogeneidade e a isotropia da distribui~ao de materia
emgrandesesalaseaequa~aodeestadodessamateria.
Estas hipoteses adiionais podem ser mais ou menos
basea-II Osmodelosde Friedmanne de
Einstein-de Sitter
A. Friedmann,usando as hipotesesde homogeneidade
eisotropiadamateria,onstruiudois modelosemque
a geometria do espao osmio (teniamente, a
ge-ometriadasse~oesespaiais 3-dimensionaisdoespa
o-tempo4-dimensional)temurvaturapositiva(fehado,
1922) ou negativa (aberto, 1924). A urvatura e
umaquantidadegeometriaquevemdateoriadas
su-perfiesurvas. Destas,amaissimpleseaesfera,que
tem urvatura igual ao inverso do raio ao quadrado.
Veremos, a seguir, uma arateriza~ao dessas
geome-triasemtermosdetri^angulosretilneos.
A
B
C
Geometria hiperbolica:
A + B + C < 180 graus
A
B
C
Geometria esferica:
A + B + C > 180 graus
A
B
C
Geometria euclidiana:
A + B + C = 180 graus
Figura2. Tri^angulo\retilneo" nastr^esgeometrias de
ur-vaturaonstante.
NoseuloXIXhaviamsidodesobertasashamadas
geometria hiperbolia e geometria esferia, diferentes
da geometria eulidiana omum. Um teorema bem
onheidoda geometriaeulidiana, quetemurvatura
nula, diz que a soma dos ^angulos internos de um
tri^angulo retilneoe igual a 180graus. Na geometria
esferiaessasoma emaiorque180graus,ena
geome-representa otri^angulo eulidianoorretamente,dentro
das limita~oes dodesenho. Paraostri^angulos esferio
e hiperbolio as ilustra~oes s~ao distoridas, por ausa
da urvatura: os lados representados por urvas s~ao
geodesias-que s~aoas\retas" nessas geometrias,por
exemplooequadoreosmeridianosnumgloboterrestre.
II.1. Modelo de Friedmann esferio ou
fehado
Nestavers~aoadensidademediademateriaemaior
que uma ertadensidadertia dateoria,que
orres-ponde a era de ino vezes a massa de um atomo
de hidrog^enio por metro ubio. Usa-se aletra grega
(^omega) para a densidade de materia em unidades
dadensidade rtia. Portanto, eumnumeromaior
do queumno modeloesferio. Ase~aoespaial ou
3-espaoerepresentadoporumahiperesfera:assimomo
aesferaeumasuperfienita,deduasdimens~oes
(lati-tudeelongitude),imersanoespaoeulidianoomum,
a hiperesfera e uma hipersuperfie nita, de tr^es
di-mens~oes (dist^ania, latitude e longitude), imersa em
umespaoeulidianoabstratodequatrodimens~oes,que
n~aoeintuitivo. Vamosnoslimitaraonsideraraesfera
omum,queseriaum\plano"nahiperesfera.
A
E
B
C
D
Figura3. Expans~aoe ontra~aonomodelo de Friedmann
AFig. 3representagrosseiramenteaevolu~aodeste
modelo,pormeiodeumbal~aoesferioujoraio
iniial-mente (A) tem um di^ametro mnimo (\quase nulo"),
expande-se ate B e hega a um valor maximo em C,
para depoisseontrairateD,eseextinguiremE,
no-vamente om raio mnimo. Em B, C, D as manhas
sobreobal~aorepresentamestruturasomogalaxiasou
seus aglomerados. As dist^anias entre esses objetos e
proporionalaoraiodo bal~ao,istoe,primeiro
aumen-tamedepoisseontraem. Naepoa atual,estaramos
noestagioB,portantoemestadodeexpans~ao.
II.2. Modelo de Friedmann hiperbolio
ou aberto
Neste aso, densidade mediaemenor que a
densi-dade rtia, portanto e uma fra~aoda unidade. O
analogodaFig. 3eaFig.4. Aexpans~aoontinua
sem-pre,emboraomveloidadeadavezmenor,ouseja,a
expans~aoedesaeleradaou freada. A se~ao espaiale
o espao hiperbolioinnito. Aquino IFTtemos
tra-balhadoomumavariantedestemodelo,ondeoespao
etambemhiperbolio,poremnito.
A
B
C
D
Figura 4. Expans~aonomodelo deFriedmannhiperbolio:
A!B!C!D!...
II.3. Modelo de Einstein-de Sitter
Este modelo (1932) sup~oe que a densidade de
materiaeexatamenteadensidadertia,portantoque
= 1. Sua evolu~ao e representada na Fig. 5. O
espao3-dimensional (se~aoespaial)eagoraoespao
eulidianoinnito.
Comrela~aoasFigs. 3a5,ostuma-sedizerqueas
galaxiaspermaneemxasnoespao,enquantoestese
dilata ou ontrai; por issoas primeiras afastam-se ou
aproximam-seumasdasoutras.
OmodelodeEinstein-deSittere,asvezes,hamado
modelodeFriedmanndeurvaturanula. Ouseja,a
ex-teoriasqueaabamosdedesrever.
Eummisteriopara
mimpor que oproprio Friedmannn~aotratou doaso
eulidiano,queeomaissimplesdostr^es.
A
B
C
D
Figura5. Expans~aonomodelo deEinstein-deSitter: A!
B!C!D!...
NaFig.6,vemosumgraodaevolu~aodofatorde
esalaoudeexpans~aonostr^esmodelosdeFriedmann.
Essefatormedeograudeexpans~aoouontra~ao. Por
exemplo,seemertaepoaofatoreoduplodeseuvalor
emoutra epoa, ent~aoa dist^aniaentre duas galaxias
na primeira e o duplo da dist^ania entre elas na
se-gunda. Notemqueastr^eslinhasseurvamparabaixo,
o que matematiamente signia desaelera~ao. Esta
e produzida pela atra~ao gravitaional das partes do
universoentresi.
Tempo
Fator
Figura6. Fator de esala nosmodelos deEinstein-de
Sit-ter(aurvadomeio),deFriedmannesferio (embaixo) e
Friedmannhiperbolio(notopo).
II.4. A lei de Hubble
OafastamentodasgalaxiasprevistoporFriedmann
foi onrmado pelas observa~oes, realizadas por V.
Slipher,dodesloamentoparaovermelho(ouredshift)
da luz proveniente das galaxias, e pelas dist^anias de
galaxiasmedidasporE.Hubble,ambosresultados
for-veloidadede afastamentodas galaxiaseproporional
asuadist^ania. Essaleiexprimeahamadaexpans~ao
do universo, que ostr^esmodelos aima prev^eem,mas
omdiferenas nosvaloresnumerios. NotarnasFigs.
de3a5queesseafastamentodasgalaxiasn~aoesoom
rela~aoanosnaTerra, masdetodasasgalaxiasentre
si.
Em1948,foipropostaporH.BondieT.Golduma
teoriaestaionariadoosmo,quetambempreviaa
ex-pans~aomasn~aooBB.Elafoipratiamenteabandonada
omaomprova~ao,em1965,daprevis~aodaradia~ao
defundo,queeexpliadademodonaturalnosmodelos
BB.Tambemontribuiuparaissoaonrma~aoda
pre-vis~aodestesquantoaabund^aniadoelementoqumio
helionouniverso.
Os tr^es modelos aima, de Friedmann e
Einstein-deSitter,todosprev^emumaexpans~aodouniversoque
estadesaelerando. Ouseja,aveloidadedaexpans~ao
esta sempre diminuindo. Isso se deve a que a unia
fora atuante e a atra~ao gravitaional, que freia a
grandegrande veloidadeiniial. Ate hapouos anos,
os teorios ahavam que esta previs~ao estava orreta,
e apenas sedividiam em duas prefer^enias prinipais:
uma orrente,ligadaaos astrofsios,areditavanuma
baixa densidade de materia, algoomo 30%da
densi-dade rtia, eque portanto o modelo apropriado era
odeFriedmannhiperbolio;outra,prinipalmente dos
fsiostrabalhandonateoriadosampos,preferiaade
Einstein-deSitter.
Ent~ao, tr^es anos atras, apareeu um novo
resul-tado, espetaularjaqueninguemoesperava. Da
ob-serva~aode estrelassupernovas distantes, doisgrupos
independentes,lideradosporA.G.RiesseS.
Perlmut-ter, hegaram a onlus~ao de que a expans~ao do
uni-verson~aoestafreando,ela estaaelerando! (Na se~ao
4, adiante,teremos uma no~ao do prinpio desta
de-soberta.) Iniiou-se, ent~ao, a atual fase de frenetia
pesquisaparaadaptaroBBaessenovofato.
Porquetantoalvoroodiantedestenovofato? Para
oientista n~ao setrata de uma observa~aoisolada, e,
antes,maisumapeanainvestiga~aodasleisnaturais.
Eparatodosnos,habitantesdoUniverso,eimportante
onheerosdetalhesdestanossaasa!
III A onstante osmologia e os
modelos de Lema
^
itre e de
Sitter
Em 1917, quando ainda n~ao se onheia a expans~ao
douniverso,Einsteinonstruiuummodeloosmologio
estatio. Para isso ele usou sua propria teoria da
gravita~ao, \om uma pequena modia~ao". Esta
modia~aofoiaresentar,naequa~aodoampo
gra-vitaional, a hamada onstante osmologia, o que
outra densidade de energia invisvel, que pode ser
hamadaenergiaesura,ouenergiadovauo. Seuvalor
foi ajustadode modoa funionar omo uma fora
re-pulsivaeassim ontrabalanaraatra~aogravitaional
damateriaomum,permitindomodelarumosmosem
expans~ao nem ontra~ao. Essa onstante, designada
pelaletragrega(lambda),oufamosapelafrasede
Einstein \amaiorburradademinhavida": sema
mo-dia~ao ele poderiater previsto aexpans~ao osmia,
detetadaonzeanosdepois. Poroutroladotinha
fun-damentomatematiosolido;tantoassimque foiusada
emdoismodelos,desritosabaixo,quepormuitotempo
sotiveraminteresseteorioformal,masqueatualmente
fazempartedapesquisa defronteira.
O modelo de W. de Sitter (1917) n~ao ontem
materia, mas apenas uma onstante osmologia. Seu
fator de expans~ao rese exponenialmente (isto e,
muitorapidamente),eoespaoeeulidiano. Nadeada
de 1980, apareeuo hamado enario inaionario do
universoprimordial,quesup~oeumaepoamuitourta,
logoaposonasimentodouniverso,emqueestese
ex-pandiude formamuitssimorapida,segundoomodelo
de Sitter, antes de omear a fase de expans~ao
`nor-mal',queedesritapelosmodelosdeFriedmanneseus
suessores. NaFig. 7vemosaevolu~ao domodelode
de Sitter,omexpans~aosempre aelerada: nograo,
urvaturaparaima.
Tempo
Fator
Figura7.Expans~aoexponenialnomodelodedeSitter.
Nomodelooriginal deG. Lema ^
itre (1927),a
ons-tanteosmologiatemumvalormaiorquenode
Eins-tein. Ele tem expans~ao, primeiramente desaelerada,
depois aelerada, om uma epoa de \hesita~ao" no
meio, omo diz Harrison em seu exelente livro
semi-popular. Generaliza-se o modelo original para
quais-quer valores de , e resultam as mesmas variantes
geometriasdosmodelosdeFriedmann,quepodemser
hamadas modelos de Friedmann-Lema ^
itre (FL). Na
Fig. 8,temos umgraodofatordeevolu~aode
algu-masdasvariantesdeFriedmann-Lema ^
por Einstein; oque signia uma fora repulsiva
su-iente para vener a atra~ao gravitaional, da a
ae-lera~ao nal da expans~ao. Para menor que ovalor
deEinstein noasoesferio,e negativoemqualquer
aso-atra~aoextra! -temos apenas desaelera~aoeo
olapsonal,omonoFriedmannesferio.
Tempo
Fator
Figura 8. Expans~ao em modelos de Friedmann-Lema ^
itre
om onstante osmologia positiva, e, no aso esferio,
maior queno modelo estatio de Einstein. Debaixo para
ima,espaos esferio,eulidiano ehiperbolio.
Comadesobertadaaelera~aodaexpans~ao -que
aindan~aofoisuientemente onrmada-aonstante
voltouapesquisadefronteira,omoumdospossveis
reursos para enaixaressa aelera~ao noesquema do
BB.
IV Modelos inluindo a
~ao
Nos tr^esmodelos deFriedmann, aexpans~aoe sempre
freada, isto e, n~ao prev^eemaelera~ao. Node de
Sit-ter ela e aelerada demais, so serve para desrever a
hamadafaseinaionariadouniversoreem-nasido.
Poroutrolado,oesquemainaionariomais
popu-lar e aquele em que a ina~ao elimina qualquer
ur-vatura que o universo pudesse ter originalmente, de
modo que a epoa pos-inaionaria tem urvatura
nula.
O modelo mais simples para aomodar tanto o
BB om urvatura nula omo a aelera~ao e o de
Friedmann-Lema ^
itreomespaoeulidiano.
Amedida
que o universo se expande, a densidade de materia
diminui, pois a quantidade de materia em uma erta
regi~ao se onserva enquanto o volume da regi~ao
au-menta. Temos,ent~ao,umgraodaevolu~aodas
den-sidades, em unidades da densidade rtia atual, de
materia e de energia esura omo na Fig. 9. Nesta
guranotamosquenoiniopredominavaamateria,e
assimouniversosepareeomodeEinstein-de Sitter
(EdS). Eventualmente aenergiado vauo vai
predom-inar, e o modelo se omportara omo o de de Sitter
1
Tempo
0,3
0,7
Densidade
Figura9. Densidadesde materia(urva) eenergia esura
(reta),emunidadesdadensidadertiaatual. Onumero1
noeixodotempoindiaaepoaatual.
0,54
1
2
Tempo
1
2
Fator
Figura10. FatordeesalanosmodelosdeEdS(linhana)
eFLeulidiano (linha grossa),este omdensidadesatuais
de30%demateriae70%deenergiaesura.
NaFig. 10mostramosumgraodoFLeulidiano,
junto om oEdS para ompara~ao. Oponto 0,54 no
eixohorizontalindia amudanadadesaelera~ao
ini-ialpara a fase de aelera~ao em FL, quando o fator
de esalatinha 65% do valor atual. Nossa Fig. 10 e
aunia baseadaemalulosexatos. Paraos
interessa-dosnestes, o Ap^endie traz as grandezas basias eos
valoresadotadosnaFig. 10.
Podemosagoradarumaideiadeomoaaelera~ao
atual foi desoberta. Para um dado redshift de uma
supernova,a dist^ania desta alulada no FLemaior
doque noEdS. Portanto, seu brilho previstoemenor
noprimeiroaso-aelerado-eeoqueorrespondeao
brilhoobservadodasupernova.
Naepoa`atual'(emosmologiaistopodesigniar
umperododemilharesouatemilh~oesdeanos),temos
aestimativa de uma densidade relativade materia de
30%,edeenergiaesuradosrestantes70%-demodoa
satisfazeraideiadominanteentreosteorios,dequeo
perodoinaionario(v. se~aoIIIaima)implia
total
=1, isto e,a densidadetotal demateria eenergia
se-riaa densidade rtia. Por que naepoa atual esses
valoress~aoda mesmaordem de grandeza? Esteeum
doshamadosproblemas deoinid^enia. Ohamado
prinpio antropio explia essa oinid^enia dizendo
que so nessas ondi~oes do universo a vida humana
vauo t^em de ser da mesma ordem de grandeza. Eu
n~aoestouonvenidodequeestaeuma boasada...
Uma outra ideia, alternativa a onstante
os-mologia, para expliar a aelera~ao, e postular um
novotipodemateria,hamadoquintess^enia,numa
re-fer^enia poetiaaos quatro elementos da antiguidade.
Suadensidadepoderiasern~aoonstante,masdiminuir
vagarosamente, de modo a simular uma onstante na
epoaatual, eseanularnofuturoremoto.
V Nomenlatura e outros
mode-los
Em todos os asos aima, o espao foi suposto
isotropio: em ada ponto suas propriedades s~ao as
mesmas em qualquer dire~ao; e homog^eneo: tem
as mesmas propriedades em ada ponto. A lasse
dessassolu~oeshama-semodelosdeRobertson-Walker.
Destes, aqueles om a propriedade BB formam
a sublasse FLRW (Friedmann-Lema ^
itre-Robertson-Walker). Mas essa nomenlatura n~ao e uniforme na
literaturaespeializada.
N~aodisutinossapesquisaaquinoIFT,queenvolve
modelosdeurvaturaonstante,masomespaos
ni-tosedeformasmaisomplexasqueosaima. Tambem
n~aomenioneioutrosasosques~aodegrandeinteresse
teorio,masquenomomentot^empouarelev^aniana
osmologiaobservaional.
VI Conlus~ao
O Big Bang, agora na vers~ao de Friedmann-Lema ^
itre
om onstante osmologia positiva e geometria
espa-ial eulidiana, aomoda bem seus antigos suessos.
Estes inluem a expans~ao do universo, a forma~ao
e abund^ania, om rela~ao ao proton, dos nuleos
at^omios leves - d^euteron, helio 3, helio 4, ltio 7 - e
aradia~aoosmiadefundo. E tambem explia a
atualpossibilidadedaaelera~aodaexpans~ao.
Mas ha um sentimento de inompleteza da
teo-ria, que preisa apelar, porexemplo, para oprinpio
antropio e para a misteriosa onstante osmologia,
queninguemsabedeondevem. Hatambemoproblema
de oniliar a osmologia om outras areas da fsia,
omoateoriaqu^antiadosampos. Aparentemente,as
teoriasdoosmoenontram-seemumafasetransitoria,
aesperadaelabora~aodeumanovasnteseteoria.
Ap^endie
ModeloFL eulidiano, omosvaloresadotados na
Fig. 10:
ConstantedeHubble H
0
=65kms 1
Mp 1
Constanteosmologia =1;036810 56
m 2
Densidadedemateria
M0 =8G M0 =3H 2 0 =0;3
Densidadedeenergiaesura
= 2 =3H 2 0 =1 M0 =0;7
Par^ametrodedesaelera~ao q
0 =
M0
=2
= 0;55
Metria ds
2 = 2 dt a 2 (t)dx 2 ;onde
a(t)=(
M0 = ) 1=3 sinh 2=3 ( p 3t=2)
=0;754sinh 2=3
(1;210t=t
0 )
Idadedouniverso t
0 =(2=3H 0 p )tanh 1 p
=14;510 9
anos
Dist^aniapropria d(Z)=
(=H 0 ) R Z 0 [ M0 (1+z)
3 + ℄ 1=2 dz
Transi~aodesaelera~ao!aelera~ao t
da =(2= p 3)tanh 1 (1= p 3)
=0;544t
0 Z da =(2 = M0 ) 1=3
1=0;671
d
No modelo EdS, a(t) = (t=t
0 ) 2=3 , t 0 = 2=3H 0 = 10;010 9
anos,ed(Z)=(2=H
0
)[1 (1+Z) 1=2
℄:Esta
emenorquesuaorrespondente noFL,para qualquer
redshift; por exemplo, para Z = 1;0, a raz~ao dessas
dist^aniase0;76:
Bibliograa {em ordem de
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preprintarXiv/astro-ph/0109399
A.G. Riesseoutros, The Farthest KnownSupernova:
Support for an Aelerating Universe and a Glimpse
at the Epoh of Deeleration, preprint
