Òðóäû Ïåòðîçàâîäñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà
Ñåðèÿ ✏❒àòåìàòèêà✑ ➶ûïóñê ✸✱ ✶✾✾✻
Ó➘✃ ✺✶✼
❰ ✃❐➚ÑÑ➚Õ ❮➮✃❰❐ÜÑ✃❰➹❰ ✖ ➪➴Ñ❰➶➚ ❮➚ ✃❰❒Ï➚✃Ò❮ÛÕ Ñ➮❒❒➴ÒÐ➮×➴Ñ✃➮Õ
ÏÐ❰ÑÒÐ➚❮ÑÒ➶➚Õ Ð➚❮➹➚ ✶ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
Ïóñòü ▼ ✖ ïðîèçâîëüíîå êîìïàêòíîå ðèìàíîâî ñèììåòðè✲ ÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ðàíãà ✶✳ ➶ ðàáîòå èçó÷àþòñÿ ôóíêöèîíàëü✲ íûå ïðîñòðàíñòâà ❇r
♣❀q✭▼✮ òèïà êëàññè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ❮è✲
êîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà✳ ➘àåòñÿ íîâîå îïðåäåëåíèå êëàññîâ ❇r ♣❀q✭▼✮
íà ▼ ÷åðåç ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè ❦✲ãî ïîðÿäêà íà ▼✱ êîòîðûé ââîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ðàçíîñòåé âäîëü ãåîäåçè÷åñêèõ íà ìíî✲ ãîîáðàçèè ▼✳ Ïîëó÷åíî ýêâèâàëåíòíîå îïèñàíèå ïðîñòðàíñòâ ❇r
♣❀q✭▼✮ ÷åðåç íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñôåðè÷åñêè✲
ìè ïîëèíîìàìè✱ ò✳ å✳ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà ❐àïëàñà ✖ ➪åëüòðàìè íà ▼✳
➓ ✶✳ ➶âåäåíèå è ôîðìóëèðîâêà îñíîâíûõ
ðåçóëüòàòîâ
➶ ïîñëåäíèå ãîäû àêòèâíî èçó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå âîïðîñû òåîðèè ïðèáëèæåíèé ôóíêöèé è òåîðèè ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ íà ♥✲ ìåðíîé ñôåðå ✭ñì✳ ❬✶✕✸❪ è ïðèâîäèìóþ òàì ëèòåðàòóðó✮✳ ➴ñòåñòâåí✲ íûì áîëåå øèðîêèì êëàññîì ïðîñòðàíñòâ✱ íà êîòîðûõ ìîæíî ñòàâèòü àíàëîãè÷íûå çàäà÷è✱ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ êîìïàêòíûõ ñèììåò✲ ðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ðàíãà ✶ ✭✃Ð❰ÑÏîâ✱ ïî òåðìèíîëîãèè èç êíè✲ ãè ❬✹❪✮✳ ➘ëÿ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ óæå ïîëó÷åíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ✭ñì✳ ❬✺✕✶✶❪✮✱ íî îñòàåòñÿ åùå ìíîãî çàäà÷✳ ➶ íàñòîÿùåé ðàáîòå íà ïðîèçâîëüíîì ✃Ð❰ÑÏå ▼ ââîäÿòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà
✶Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èñ✲
ñëåäîâàíèé✱ ïðîåêò ✾✺✕✵✶✕✵✶✸✾✶✳ ❝
✶✺✹ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
❇r
♣❀q✭▼✮ òèïà êëàññè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà✳ ➴ñòå✲
ñòâåííîå îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà çàâèñèò îò ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè✱ à òàê êàê íà ✃Ð❰ÑÏàõ ñóùåñòâóþò ðàçëè÷✲ íûå îïðåäåëåíèÿ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè✱ òî âîçìîæíû è ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïðîñòðàíñòâ✳ ➶ íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðèìåíÿåòñÿ ìî✲ äóëü íåïðåðûâíîñòè èç ðàáîòû ❬✾❪✱ â êîòîðîì èñïîëüçóåòñÿ ïåðåõîä îò ìíîãîîáðàçèÿ ▼ ê ìíîãîîáðàçèþ åäèíè÷íûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà ▼✳ ❰ñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷å✲ íèå ýêâèâàëåíòíîãî îïèñàíèÿ ïðîñòðàíñòâ ❇r
♣❀q✭▼✮ ÷åðåç íàèëó÷øèå
ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèé ñôåðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè íà ▼ è ïîñòðîåíèå ðàçëè÷íûõ íîðìèðîâîê â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ✳ ➮ç ïîëó÷åííîãî îïèñà✲ íèÿ✱ â ÷àñòíîñòè✱ ñëåäóåò✱ ÷òî ââåäåííûå êëàññû ❇r
♣❀q✭▼✮ ñîâïàäàþò ñ
êëàññàìè ❮èêîëüñêîãî ✕ ➪åñîâà✱ ââåäåííûìè â ❬✶✵❪ ïðè ïîìîùè äðó✲ ãèõ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè✳
Õîðîøî èçâåñòíà ïîëíàÿ êëàññèôèêàöèÿ âñåõ ✃Ð❰ÑÏîâ ✳ ➮õ âñå✲ ãî ÷åòûðå ñåðèè ✭èíäåêñ ♥ âñþäó îçíà÷àåò ðàçìåðíîñòü ìíîãîîáðà✲ çèÿ✮✿ ñôåðû ❙♥ ✭♥ ❂ ✶❀ ✷❀ ✸❀ ✿ ✿ ✿✮✱ âåùåñòâåííûå✱ êîìïëåêñíûå è êâà✲
òåðíèîííûå ïðîåêòèâíûå ïðîñòðàíñòâà ✭P♥✭❘✮ ✭♥ ❂ ✷❀ ✸❀ ✹✿ ✿ ✿ ✿✮✱ P♥✭❈✮
✭♥ ❂ ✹❀ ✻❀ ✽❀ ✿ ✿ ✿✮✱ P♥✭❍✮ ✭♥ ❂ ✽❀ ✶✷❀ ✶✻❀ ✿ ✿ ✿✮✮ è îäíî îñîáîå ïðîñòðàí✲
ñòâî ✖ ýëëèïòè÷åñêàÿ ïëîñêîñòü ✃ýëè P✶✻✭❈❛②✮✳ ✃Ð❰ÑÏ ▼ âñåãäà
ÿâëÿåòñÿ ðèìàíîâûì ìíîãîîáðàçèåì✳ Ïóñòü ✁ ✖ îïåðàòîð ❐àïëàñà ✖ ➪åëüòðàìè íà ▼✳ Ñïåêòð îïåðàòîðà ✁ ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì✱ äåéñòâè✲ òåëüíûì è íåïîëîæèòåëüíûì✳ Óïîðÿäî÷èì åãî ïî óáûâàíèþ ✭✵ ❂ ✕✵❃
✕✶ ❃ ✕✷ ❃ ✿ ✿ ✿✮ è îáîçíà÷èì ÷åðåç ❍❦ ñîáñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî
✭âñåãäà êîíå÷íîìåðíîå✮ îïåðàòîðà ✁✱ îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó çíà÷å✲ íèþ ✕❦✳ Ïóñòü P♠✭▼✮ ❂ ❍✵✰❍✶✰✿ ✿ ✿✰❍♠✳ Ôóíêöèè èç P♠✭▼✮ áóäåì
íàçûâàòü ñôåðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè íà ▼ ñòåïåíè ♠ ✭ïðè ▼ ❂ ❙♥
îíè ñîâïàäàþò ñ îáû÷íûìè ñôåðè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè✮✳
➘ëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ❳ ñ ìåðîé ❞✖ ÷åðåç ▲♣✭❳❀ ❞✖✮ áóäåì îáî✲
çíà÷àòü✱ êàê îáû÷íî✱ áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî ✭➪Ï✮✱ ñîñòîÿùåå èç èç✲ ìåðèìûõ êîìïëåêñíîçíà÷íûõ ôóíêöèé ❢✭①✮ íà ❳ ñ êîíå÷íîé íîðìîé
❦❢❦♣❂ ❦❢❦▲♣✭❳✮❂
✒❩
❳❥❢✭①✮❥
♣❞✖✓✶❂♣❀ ✶ ✔ ♣ ❁ ✶✿
➴ñëè ❳ ✖ êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî✱ òî ïóñòü ▲✶✭❳✮ ❂
❈✭❳✮ ✖ ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà ▼ ôóíêöèé ñ íîðìîé ❦❢❦✶❂ ❦❢❦❈❂ ♠❛①
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✺✺
➶ ÷àñòíîñòè✱ åñëè ▼ ✖ ✃Ð❰ÑÏ✱ òî âîçíèêàþò áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà ▲♣✭▼✮ ❂ ▲♣✭▼❀ ❞①✮ è ▲✶✭▼✮ ❂ ❈✭▼✮✱ ãäå ❞① ✖ ýëåìåíò ðèìàíîâîé
ìåðû íà ▼✳
❮àèëó÷øèì ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè ❢✭①✮ ✷ ▲♣✭▼✮ ñôåðè÷åñêèìè
ïîëèíîìàìè ñòåïåíè ♠ â ìåòðèêå ▲♣ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
❊♠✭❢✮♣❂ ✐♥❢✟✷P
♠❦❢ ✟❦♣✿
➘ëÿ ① ✷ ▼ ïóñòü ❚①▼ ✖ ìíîæåñòâî êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê ìíî✲
ãîîáðàçèþ ▼ â òî÷êå ①✱ ❙✭①✮ ✖ ìíîæåñòâî åäèíè÷íûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ✭åäèíè÷íàÿ ñôåðà✮ â òî÷êå ①✳ ❰áîçíà÷èì ÷åðåç ❯ ãðóïïó âñåõ èçîìåòðèé ✃Ð❰ÑÏà ▼✳
Ïóñòü ❇ ✖ ìíîãîîáðàçèå åäèíè÷íûõ êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ ê ìíî✲ ãîîáðàçèþ ▼✳ Òî÷êè ìíîãîîáðàçèÿ ❇ èìåþò âèä ✭①❀ ✘✮✱ ãäå ① ✷ ▼✱ ✘ ✷ ❙✭①✮✳ ➹ðóïïà ❯ åñòåñòâåííûì îáðàçîì äåéñòâóåò íà ❇✱ åñëè ïîëî✲ æèòü ✉ ✭①❀ ✘✮ ❂ ✭✉①❀ ✉✄✘✮✱ ãäå ✉✄✖ èíäóöèðîâàííîå îòîáðàæåíèå êàñà✲
òåëüíûõ âåêòîðîâ✳ Ýòî äåéñòâèå òðàíçèòèâíî ✭ò✳ å✳ ▼ èçîòðîïíî✱ ñì✳ ❬✶✷✱ ãë✳■✱ ➓✹❪ è ❬✶✸✱ ãë✳■❳✱ ➓✺❪✮✱ ïîýòîìó íà ❇ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ✱ ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî✱ ❯✲èíâàðèàíòíàÿ ìåðà ❞✈✭①❀ ✘✮ ✭ñì✳✱ íàïðèìåð✱ ❬✶✷✱ ãë✳■✱ òåîð✳✶✳✾❪✮✳ Ïóñòü ▲♣✭❇✮ ❂ ▲♣✭❇❀ ❞✈✮✱ ✶ ✔ ♣ ❁ ✶✱ è
▲✶✭❇✮ ❂ ❈✭❇✮✳ ➴ñòåñòâåííûì îáðàçîì ▲♣✭▼✮ âêëàäûâàåòñÿ â ▲♣✭❇✮✱
åñëè äëÿ ❢✭①✮ ✷ ▲♣✭▼✮ ïîëîæèòü ❢✭①❀ ✘✮ ❂ ❢✭①✮✳ ❮îðìèðóåì ìåðó ❞✈
íà ❇ òàê✱ ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ❩
▼❞① ❂
❩
❇❞✈✿ ✭✶✿✶✮
Ïðè ââåäåííîé íîðìèðîâêå äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ❢✭①✮ ✷ ❈✭▼✮ ❩
▼❢✭①✮ ❞① ❂
❩
❇❢✭①✮ ❞✈✿ ✭✶✿✷✮
Òàê êàê ❈✭▼✮ âñþäó ïëîòíî â ▲♣✭▼✮✱ òî îòñþäà ëåãêî ïîëó÷èòü✱ ÷òî
❦❢❦▲♣✭▼✮❂ ❦❢❦▲♣✭❇✮ ✽ ✷ ▲♣✭▼✮✿ ✭✶✿✸✮
Ñëåäîâàòåëüíî✱ âëîæåíèå ▲♣✭▼✮ ✒ ▲♣✭❇✮ èçîìåòðè÷åñêîå✳ ➶ äàëüíåé✲
øåì ÷åðåç ❦❢❦♣ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ íîðìà â ïðîñòðàíñòâå ▲♣✭▼✮ èëè
▲♣✭❇✮ â çàâèñèìîñòè îò òîãî✱ â êàêîì èç ýòèõ ïðîñòðàíñòâ ñîäåðæèòñÿ
✶✺✻ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
➘ëÿ ✭①❀ ✘✮ ✷ ❇ ïóñòü ✌✭①❀ ✘❀ t✮ ✖ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà ▼ ✭t ✖ ïàðàìåòð✮✱ óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ✌✭①❀ ✘❀ ✵✮ ❂ ① è ❞
❞t✌✭①❀ ✘❀ t✮☞☞t❂✵ ❂ ✘✳ ➘ëÿ
ëþáîé ôóíêöèè ❋ ✭①❀ ✘✮ ✷ ▲♣✭❇✮ ïóñòü
❋t✭①❀ ✘✮ ❂ ❋ ✭✌✭①❀ ✘❀ t✮❀ ❞
❞t✌✭①❀ ✘❀ t✮✮✿ ✭✶✿✹✮ ❮åòðóäíî ïîêàçàòü ✭ñì✳ ❬✾❪✮✱ ÷òî îòîáðàæåíèå
❋ ✼✦ ❋t❀ t ✷ ❘❀
çàäàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ â ▲♣✭❇✮✱
ò✳ å✳
✭❋t✮s❂ ❋t✰s ✽t❀ s ✷ ❘❀ ✭✶✳✺✮
❦❋t❦
♣❂ ❦❋ ❦♣ ✽❋ ✷ ▲♣✭❇✮✿ ✭✶✳✻✮
❰ïðåäåëèì ❦✲þ ðàçíîñòü ôóíêöèè ❋ ñ øàãîì t ôîðìóëîé
⑦ ✁❦
t❋ ✭①❀ ✘✮ ❂ ❦
❳
❥❂✵
✭ ✶✮❦ ❥❈❥
❦❋❥t✭①❀ ✘✮❀
ãäå ❈❥❦ ✖ áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû✳ ❒îäóëü íåïðåðûâíîñòè ïî✲ ðÿäêà ❦ ôóíêöèè ❋ ✷ ▲♣✭❇✮ îïðåäåëèì ôîðìóëîé
✦❦✭❋❀ ✍✮♣❂ s✉♣ ✵❁t✔✍❦ ⑦✁
❦ t❋ ❦♣✿
➶ ÷àñòíîñòè✱ ìîæíî áðàòü è ✦❦✭❢❀ ✍✮ ïðè ❢ ✷ ▲♣✭▼✮✳
➪óäåì ãîâîðèòü✱ ÷òî ôóíêöèÿ ❋ ✷ ▲♣✭❇✮ äèôôåðåíöèðóåìà â
▲♣✭❇✮✱ åñëè äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè ●✭①❀ ✘✮ ✷ ▲♣✭❇✮
❦✶t✭❋t ❋ ✮ ●❦
♣✦ ✵ ïðè t ✦ ✵✿
Ôóíêöèÿ ● íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò ❋ è îáîçíà÷àåòñÿ✱ êàê îáû÷✲ íî✱ ● ❂ ❋✵✳ Ôóíêöèÿ ❋ äèôôåðåíöèðóåìà r✲ðàç â ▲
♣✭❇✮✱ åñëè ❋ ✷
▲♣✭❇✮ è ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå ❋✵❀ ❋✵✵❀ ✿ ✿ ✿ ❋✭r✮✷ ▲♣✭❇✮✱ ãäå ❋✭❦✮❂
❋✭❦ ✶✮✁✵✳ ➶ ÷àñòíîñòè✱ ìîæíî áðàòü r✲þ ïðîèçâîäíóþ ❢✭r✮äëÿ ôóíê✲
öèè ❢✭①✮ ✷ ▲♣✭▼✮✱ îòìåòèì òîëüêî✱ ÷òî ❢✭r✮ ✖ ýòî óæå ôóíêöèÿ íà
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✺✼
➮çâåñòíî ✭ñì✳ ❬✶✸✱ ãë✳ ■❳✱➓✺❪✮✱ ÷òî íà ëþáîì ✃Ð❰ÑÏå ▼ âñå ãåîäå✲ çè÷åñêèå çàìêíóòû è èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó ✷▲✳ Ðèìàíîâà ìåòðèêà íà ▼ îïðåäåëåíà ñ òî÷íîñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî✳ ➘ëÿ óäîáñòâà íîðìèðóåì ðèìàíîâó ìåòðèêó òàê✱ ÷òîáû ▲ ❂ ✙✳
❰ïðåäåëåíèå ✶✳ Ïóñòü r ❃ ✵❀ ✶ ✔ ♣❀ q ✔ ✶❀ ÷èñëà ❦ è ❧ ✖ öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå✱ óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ❦ ❃ r ❧ ❃ ✵✳ Ñîâîêóï✲ íîñòü ôóíêöèé ❢ ✷ ▲♣✭▼✮✱ äëÿ êîòîðûõ êîíå÷íî âûðàæåíèå
❜r
♣❀q✭❢✮ ✿❂
✥❩ ✙
✵
✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮♣✁q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍
✦✶❂q
❀ ✶ ✔ q ❁ ✶❀ ✭✶✳✼✮ ❜r
♣❀✶✭❢✮ ❂ ❤r♣✭❢✮ ✿❂ s✉♣ ✵❁✍✔✙✍
✭r ❧✮✦
❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮♣❀ q ❂ ✶❀ ✭✶✳✽✮
íàçîâåì ïðîñòðàíñòâîì ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ❇r
♣❀q✭▼✮ ❂ ❇♣❀qr ✳ ➶
÷àñòíîì ñëó÷àå ïðè q ❂ ✶ ïðîñòðàíñòâî ❇r
♣❀✶áóäåì òàêæå îáîçíà✲
÷àòü ❍r
♣✭▼✮ ❂ ❍♣r✳
❐åãêî âèäåòü✱ ÷òî íîðìà ❦❢❦❇r
♣❀q ✿❂ ❦❢❦♣✰ ❜r♣❀q✭❢✮ ✭✶✿✾✮
ïðåâðàùàåò ❇r
♣❀q â áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî✳
➹ëàâíûì ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà✱ äàþ✲ ùàÿ îïèñàíèå ïðîñòðàíñòâà ❇r
♣❀q ÷åðåç íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ✳
Òåîðåìà ✶✳ ➘ëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ ❢ èç ▲♣✭▼✮ ïðèíàäëåæàëà
ïðîñòðàíñòâó ❇r
♣❀q✱ íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî✱ ÷òîáû áûëà êîíå÷íà âå✲
ëè÷èíà ⑦❜r
♣❀q✭❢✮ ❂ ✶
❳
❥❂✵
❛❥rq❊q ❛❥✭❢✮♣
✁✶❂q❀ ✶ ✔ q ❁ ✶❀ ✭✶✳✶✵✮
⑦❜r
♣❀✶✭❢✮ ❂ s✉♣ ❥❂✵❀✶❀✷❀✿✿✿❛
❥r❊
❛❥✭❢✮❀ q ❂ ✶❀ ✭✶✳✶✶✮
ãäå ❛ ✖ ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî áîëüøåå ✶ ✭ìîæíî ñ÷èòàòü✱ íàïðè✲ ìåð✱ ÷òî ❛ ❂ ✷✮✳ Ïðè ýòîì âûðàæåíèå
❦❢❦♣✰ ⑦❜q♣❀q✭❢✮
ÿâëÿåòñÿ íîðìîé â ❇r
✶✺✽ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
➘îêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ✶ áóäåò ñëåäîâàòü èç ðåçóëüòàòîâ ➓✸✕✹ î ðàçëè÷íûõ ýêâèâàëåíòíûõ íîðìèðîâêàõ â ïðîñòðàíñòâàõ ❍r
♣ è ❇♣❀qr ✳
➶ ➓✷ äîêàçûâàþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû✳
➬àìå÷àíèå ✶✳ ➮ç òåîðåìû ✶ ñëåäóåò✱ ÷òî îïðåäåëåíèå ïðîñòðàí✲ ñòâà ❇r
♣❀qíå çàâèñèò îò âûáîðà ÷èñåë ❦ è ❧✱ óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
❦ ❃ r ❧ ❃ ✵✱ è ïðè ðàçëè÷íûõ ❦❀ ❧ íîðìû ✭✶✳✾✮ ýêâèâàëåíòíû✳ ➬àìå÷àíèå ✷✳ ➮ç òåîðåìû ✶ ñëåäóåò✱ ÷òî ïðîñòðàíñòâà ❇r
♣❀q✭▼✮
ñîâïàäàþò ñ ïðîñòðàíñòâàìè ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà èç ðàáîòû ❬✶✵❪ ñ òî÷íîñòüþ äî ýêâèâàëåíòíîñòè íîðì✳
➬àìå÷àíèå ✸✳ ➘ëÿ ñëó÷àÿ ▼ ❂ ❙♥ ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ïðî✲
ñòðàíñòâ ❇r
♣❀qè ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû ✶ ✭áåç äîêàçàòåëüñòâà✮ ôàêòè✲
÷åñêè äàíû Ï✳ ➮✳ ❐èçîðêèíûì â ❬✶✹❪✱ òàê êàê ëåãêî âèäåòü ✭ñ ó÷åòîì ôîðìóëû ✭✷✳✸✮ íàñòîÿùåé ðàáîòû✮✱ ÷òî ââåäåííûé â ❬✶✹❪ ìîäóëü íåïðå✲ ðûâíîñòè♣✦
❦✭❢❀ ✍✮♣ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ ñîâïàäàåò ñ ìîäóëåì
íåïðåðûâíîñòè ✦❦✭❢❀ ✍✮♣✳
➓ ✷✳ ➶ñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
❰öåíêà ñâåðõó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè ÷åðåç åå ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè äàåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé ➘æåêñîíîâñêîãî òèïà✳ Òåîðåìà ✷✳ Ïóñòü ôóíêöèÿ ❢✭①✮ ✷ ▲♣✭▼✮ è ❞✲ðàç äèôôåðåíöèðóåìà
â ▲♣✭❇✮✳ Òîãäà
❊♠✭❢✮♣✔ ♠❝❞✦❦ ❢✭❞✮❀♠✙✁♣❀ ♠ ❂ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿ ❀
ãäå ❝ ❃ ✵ ✖ íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ✱ íå çàâèñÿùàÿ îò ❢ è ♠✳ ✴ Ñì✳ ❬✾✱ òåîð✳ ✷❪✳ ✳
❐åììà ✶✳ ✭ñâîéñòâà ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè✮
➘ëÿ ëþáîé ôóíêöèè ❋ ✷ ▲♣✭❇✮ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
✦❦✭❋❀ ✍✮♣✔ ✦❦✭❋❀ ✕✮♣ ïðè ✍ ✔ ✕❀ ✭✷✳✶✮
✦❦✭❋❀ ❧✍✮♣ ✔ ✭❧ ✰ ✶✮❦✦❦✭❋❀ ✍✮♣❀ ✭✷✳✷✮
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✺✾
➘ëÿ äîêàçàòåëüñòâà îáðàòíûõ òåîðåì òåîðèè ïðèáëèæåíèé èñïîëü✲ çóþòñÿ íåðàâåíñòâà òèïà ➪åðíøòåéíà✱ êîòîðûå è áóäóò ïîëó÷åíû äà✲ ëåå ✭ñì✳ ëåììû ✸✱ ✺✱ ✻✮✳
❐åììà ✷✳ Ïóñòü ✟✭①✮ ✷ P♠✳ ➘ëÿ ëþáûõ ✭①❀ ✘✮ ✷ ❇ ôóíêöèÿ ✬✭t✮ ❂
✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮ ÿâëÿåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì ñòåïåíè ♠✳ ✴ Ñëåäóåò èç ëåììû ✸✳✶ â ❬✶✶❪✳ ✳
✃àê è ðàíüøå✱ ïóñòü ❙✭①✮ ✖ åäèíè÷íàÿ ñôåðà â êàñàòåëüíîì ïðî✲ ñòðàíñòâå ❚①▼✳ Ïóñòü ❞✛①✭✘✮ ✖ ýëåìåíò îáúåìà ñôåðû ❙✭①✮✱ à ✛ ✖
ïîëíûé îáúåì ýòîé ñôåðû✳
➮ç ñâîéñòâ èíâàðèàíòíûõ ìåð íà îäíîðîäíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ✭ñì✳ ❬✶✷✱ ãë✳■✱ ➓✶✱ ïðåäë✳ ✶✳✶✸❪✮ ñëåäóåò✱ ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ❋ ✭①❀ ✘✮ ✷ ▲✶✭❇✮ ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
❩
▼
❩
❙✭①✮
❋ ✭①❀ ✘✮ ❞✛①✭✘✮✁❞① ❂ ❆
❩
❇
❋ ✭①❀ ✘✮ ❞✈✭①❀ ✘✮❀ ✭✷✿✸✮
ãäå ❆ ❃ ✵ ✖ íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ✳ ➴ñëè â ✭✷✳✸✮ ïîäñòàâèòü ❋ ✑ ✶ è âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèåì íîðìèðîâêè ✭✶✳✶✮✱ òî ïîëó÷èì✱ ÷òî ❆ ❂ ✛✳
➘ëÿ ✭①❀ ✘✮ ✷ ❇✱ t ✷ ❘ è ❦ ✷ ❩✰❂ ❢✵❀ ✶❀ ✷❀ ✿ ✿ ✿❣ ïîëîæèì
t❅❦✘❢✭①✮ ❂ ❞ ❦
❞s❦❢✭✌✭①❀ ✘❀ s✮✮
☞☞ ☞☞
s❂t✿ ✭✷✿✹✮
➬àìåòèì✱ ÷òî ôóíêöèÿ ❋ ✭①❀ ✘✮ ❂✵❅✘❦❢✭①✮ ñîâïàäàåò ñ ❦✲é ïðîèçâîäíîé
❢✭❦✮✭①❀ ✘✮ îò ôóíêöèè ❢✭①✮ â ïðîñòðàíñòâå ▲♣✭❇✮✳ ✃ðîìå òîãî✱
t❅❦✘❢✭①✮ ❂ ❢✭❦✮ ✌✭①❀ ✘❀ t✮❀❞t❞✌✭①❀ ✘❀ t✮
✁
✿ ✭✷✿✺✮
❐åììà ✸✳ Ïóñòü ✟✭①✮ ✷ P♠✳ Òîãäà äëÿ ëþáûõ ❦❀ ❧ ✷ ❩✰ âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî
❥t❅✘❦✰❧✟✭①✮❥ ✔ ♠❦❦✟✭❧✮✭①❀ ✘✮❦✶✿ ✭✷✿✻✮
✴ Ïî ëåììå ✷ ✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮ ✖ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ñòåïåíè ♠✱ ïîýòîìó ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì íåðàâåíñòâîì ➪åðí✲ øòåéíà
❥❞t❞❦✰❧❦✰❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮❥ ✔ ♠❦ ♠❛① ✵✔s✔✷✙❥
❞❧
✶✻✵ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
Ñ ó÷åòîì ✭✷✳✺✮ çàìåòèì✱ ÷òî
❥❞s❞❧❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ s✮✮❥ ✔ ❦✟✭❧✮❦ ✶❀
îòêóäà è ñëåäóåò ✭✷✳✻✮✳ ✳
➘ëÿ ëþáîé ôóíêöèè ❋ ✭①❀ ✘✮ íà ❇ îïðåäåëèì ✧óñðåäíåííóþ✧ôóíêöèþ ❋✵✭①❀ ✘✮ ôîðìóëîé
❋✵✭①❀ ✘✮ ❂✷✙✶
❩ ✷✙
✵ ❋ ✌✭①❀ ✘❀ t✮❀
❞
❞t✌✭①❀ ✘❀ t✮ ✁
❞t✿ ✭✷✿✼✮
➶âåäåì îáîçíà÷åíèå
■✭❋ ✮ ✿❂ ❩
❇❋ ✭①❀ ✘✮ ❞✈✭①❀ ✘✮✿ ✭✷✿✽✮
❐åììà ✹✳ ➴ñëè ❋ ✭①❀ ✘✮ ✖ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ❇✱ òî
■✭❋ ✮ ❂ ■✭❋✵✮✿ ✭✷✿✾✮
✴ Ñì✳ ❬✶✶✱ ëåììà ✸✳✸❪✳ ✳
❐åììà ✺✳ Ïóñòü ✟✭①✮ ✷ P♠✳ Òîãäà äëÿ ëþáûõ t ✷ ❘✱ ❦❀ ❧ ✷ ❩✰✱ ✶ ✔
♣ ✔ ✶ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
❦t❅❦✰❧✘ ✟✭①✮❦♣✔ ♠❦❦✟✭❧✮❦♣✿ ✭✷✿✶✵✮
✴ Ïðè ♣ ❂ ✶ íåðàâåíñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç ëåììû ✸✳ Ïóñòü ♣ ❁ ✶✱ òîãäà
❦t❅❦✰❧✘ ✟✭①✮❦♣♣❂
❩
❇❥t❅ ❦✰❧
✘ ✟✭①✮❥♣❞✈✭①❀ ✘✮✿
Ïóñòü
❋ ✭①❀ ✘✮ ✿❂ ❥t❅✘❦✰❧✟✭①✮❥♣❂☞☞ ❞ ❦✰❧
❞t❦✰❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮☞☞ ♣✿
❰÷åâèäíî✱ ÷òî
❋ ✌✭①❀ ✘❀ s✮❀❞s❞ ✌✭①❀ ✘❀ s✮✁❂☞☞ ❞❞t❦✰❧❦✰❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t ✰ s✮✮☞☞♣✿ Ïîëüçóÿñü ✷✙✲ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèè ✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮ ïî t✱ ïîëó÷èì
❋✵✭①❀ ✘✮ ❂✷✙✶
❩ ✷✙
✵ ❋ ✌✭①❀ ✘❀ s✮❀
❞
❞s✌✭①❀ ✘❀ s✮ ✁
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✻✶ ❂ ✶ ✷✙ ❩ ✷✙ ✵ ☞☞ ❞❦✰❧
❞t❦✰❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮☞☞ ♣❞t✿
Òàê êàê ✬✭t✮ ❂ ✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮ ✖ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ñòåïåíè ♠✱ òî èç îáû÷íîãî íåðàâåíñòâà ➪åðíøòåéíà â ìåòðèêå ▲✄
♣ ✭ñì✳ ❬✶✺✱
➓✷✳✺❪✮ ñëåäóåò✱ ÷òî
❋✵✭①❀ ✘✮ ✔ ♠ ♣❦
✷✙ ❩ ✷✙
✵
☞☞ ❞❧
❞t❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮☞☞ ♣❞t✿
Ïðèìåíÿÿ ëåììó ✹✱ ïîëó÷èì
■✭❋ ✮ ❂ ■✭❋✵✮ ✔♠ ♣❦ ✷✙ ■ ✒❩ ✷✙ ✵ ☞☞ ❞❧
❞t❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮☞☞ ♣❞t✓❂
❂ ♠✷✙♣❦ ❩ ✷✙
✵ ■
✒☞☞ ❞❧
❞t❧✟✭✌✭①❀ ✘❀ t✮✮☞☞
♣✓❞t ❂
❂♠♣❦ ✷✙
❩ ✷✙
✵ ❦✟
✭❧✮✭①❀ ✘✮❦♣
♣❞t ❂ ♠♣❦❦✟✭❧✮❦♣♣❀
îòêóäà è ñëåäóåò ✭✷✳✶✵✮✳ ✳
Ñëåäñòâèå✳ Ïðè ✟ ✷ P♠✱ ❦ ✷ ❩✰
❦✟✭❦✮❦
♣✔ ♠❦❦✟❦♣✿ ✭✷✿✶✶✮
✴ ➘îñòàòî÷íî â íåðàâåíñòâå ✭✷✳✶✵✮ âçÿòü t ❂ ✵✱ ❧ ❂ ✵✳ ✳
❐åììà ✻✳ ➴ñëè ✟✭①✮ ✷ P♠✱ òî äëÿ ëþáûõ ✶ ✔ ♣ ✔ ✶✱ t ❃ ✵✱ ❦❀ ❧ ✷ ❩✰
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ❦ ⑦✁❦
t✟✭❧✮✭①❀ ✘✮❦♣✔ ✭♠t✮❦❦✟✭❧✮✭①❀ ✘✮❦♣✿ ✭✷✿✶✷✮
✴ ➘ëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè ❋ ✭①❀ ✘✮ íà ❇ ðàçíîñòü ⑦
✁❦
t❋ ✭①❀ ✘✮ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
⑦ ✁❦
t❋ ✭①❀ ✘✮ ❂
❩ t
✵ ✿ ✿ ✿
❩ t
✵
❞❦
❞✜❦✟✭✌✭①❀ ✘❀ ✜✮✮
☞☞ ☞☞
✜❂t✶✰✿✿✿✰t❦
❞tt✿ ✿ ✿ ❞t❦✿
➶ ÷àñòíîñòè✱ ñ ó÷åòîì ✭✷✳✺✮
⑦ ✁❦
t✟✭❧✮✭①❀ ✘✮ ❂
❩ t
✵ ✿ ✿ ✿
❩ t
✵
❞❦
❞✜❦✟✭❧✮✭✌✭①❀ ✘❀ ✜✮✮
☞☞ ☞☞
✜❂t✶✰✿✿✿✰t❦
✶✻✷ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
❂ ❩ t
✵ ✿ ✿ ✿
❩ t
✵ t✶✰✿✿✿✰t❦❅ ❦✰❧
✘ ✟✭①✮ ❞t✶✿ ✿ ✿ ❞t❦✿
Ïîëüçóÿñü ëåììîé ✺✱ ïîëó÷àåì✱ ÷òî ✌✌⑦✁❦
t✟✭❧✮✭①❀ ✘✮✌✌♣❂
❩ t
✵ ✿ ✿ ✿
❩ t
✵
✌✌t
✶✰✿✿✿✰t❦❅✘❦✰❧✟✭①✮✌✌♣❞t✶✿ ✿ ✿ ❞t❦✔
✔ t❦♠❦❦✟✭❧✮❦ ♣✿ ✳
➓ ✸✳ Ýêâèâàëåíòíûå íîðìèðîâêè ïðîñòðàíñòâ ❍
r ♣Ïóñòü r ❃ ✵✱ ✶ ✔ ♣ ✔ ✶✱ ❦ è ❧ ✖ íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà✱ óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ ❦ ❃ r ❧ ❃ ✵✳ ➪óäåì ãîâîðèòü✱ ÷òî ôóíêöèÿ ❢✭①✮ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó ❥❍r
♣✱ ❥ ❂ ✶❀ ✷❀ ✸❀ ✹❀ ✺✱ åñëè ❢ ✷ ▲♣✭▼✮
è êîíå÷íà ïîëóíîðìà❥❤r
♣✭❢✮✱ ãäå ✶❤r
♣✭❢✮ ❂ ❤r♣✭❢✮ ✿❂ s✉♣ ✵❁✍✔✙✍
✭r ❧✮✦
❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮♣
✭✙ çäåñü ìîæíî çàìåíèòü ëþáûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì✮❀
✷❤r
♣✭❢✮ ✿❂ s✉♣ ✍❃✵✍
✭r ❧✮✦
❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮♣❀ ✸❤r
♣✭❢✮ ✿❂ s✉♣ ♠✷❩✰
♠r❊ ♠✭❢✮♣❀ ✹❤r
♣✭❢✮ ✿❂ s✉♣ s✷❩✰
❛sr❊
❛s✭❢✮♣ ✭❛ ❃ ✵❀ öåëîå✮❀
✺❤r
♣✭❢✮ ✿❂ ✐♥❢ s✉♣ s✷❩✰
❛sr❦◗ ❛s❦♣✁❀
ãäå íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì ïðåäñòàâëåíèÿì ❢ â âèäå ñóììû ñõîäÿùåãîñÿ â ▲♣✭▼✮ ðÿäà ïî ñôåðè÷åñêèì ïîëèíîìàì
❢✭①✮ ❂❳✶
s❂✵
◗❛s✭①✮❀ ◗❛s✭①✮ ✷ P❛s✿
Ïðîñòðàíñòâà❥❍r
♣ ÿâëÿþòñÿ áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè îòíîñèòåëü✲
íî íîðì
❦❢❦❥❍r
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✻✸
Òåîðåìà ✸✳ Ïðîñòðàíñòâà ❥❍r
♣✱ ❥ ❂ ✶❀ ✿ ✿ ✿ ✺✱ ñîâïàäàþò è èõ íîðìû
✭✸✳✶✮ ýêâèâàëåíòíû ✭ò✳ å✳ áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà❥❍r
♣ ýêâèâàëåíòíû✮✳
Òåîðåìà ✸ áóäåò äîêàçàíà íèæå✳ ➮ç ýêâèâàëåíòíîñòè ➪Ï ✶❍r ♣ è ✹❍r
♣ ñëåäóåò òåîðåìà ✶ äëÿ ñëó÷àÿ q ❂ ✶✱ òàê êàê ❍♣r❂ ❇♣❀✶r ✳ ❰áùàÿ
ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ✸ ñîîòâåòñòâóåò ñõåìå äîêàçàòåëüñòâ àíàëîãè÷íûõ òåîðåì â ❬✶✺❪ äëÿ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà✳
➪óäåì äàëåå äëÿ êðàòêîñòè ïèñàòü ❥❍ ❂ ❥❍r
♣✱ ❊◆✭❢✮ ❂ ❊◆✭❢✮♣✱
❦❢❦ ❂ ❦❢❦♣ è ò✳ ä✳ ×åðåç ❝❀ ❝✶❝✷❀ ✿ ✿ ✿ áóäåì îáîçíà÷àòü ïîëîæèòåëüíûå
ïîñòîÿííûå â îöåíêàõ✱ âîîáùå ãîâîðÿ✱ ðàçíûå â ðàçíûõ ìåñòàõ✱ çàâè✲ ñÿùèå îò íåñóùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ✱ òàêèõ êàê ♣❀ q❀ r❀ ❧❀ ❦❀ ✿ ✿ ✿✳ ➶ûðà✲ æåíèå ❊✶✱✦ ❊✷áóäåò îáîçíà÷àòü✱ ÷òî ➪Ï ❊✶âëîæåíî â ➪Ï ❊✷✳
➘îêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ✸✳
✶✵✳ Ýêâèâàëåíòíîñòü ïðîñòðàíñòâ✸❍ è✹❍ óñòàíàâëèâàåòñÿ ñîâñåì
ïðîñòî✳ Ñ îäíîé ñòîðîíû✱✹❤✭❢✮ ✔✸❤✭❢✮✳ Ñ äðóãîé ñòîðîíû✱ äëÿ ♠ ✷
❩✰ ïîäáåðåì ÷èñëî s ✷ ❩✰ òàê✱ ÷òîáû ❛s❁ ♠ ✔ ❛s✰✶✳ Òîãäà
♠r❊
♠✭❢✮ ✔ ❛r❛sr❊❛s✭❢✮ ✔ ❛r ✹❤✭❢✮✿
Ñëåäîâàòåëüíî✱ ✸❤✭❢✮ ✔ ❝✹❤✭❢✮✱ ãäå ❝ ❂ ❛r✳
✷✵✳ ➶ëîæåíèå✷❍ ✱✦✶❍ î÷åâèäíî✳ ➘îêàæåì✱ ÷òî ✶❍ ✱✦✹❍✳
Ïóñòü ❢ ✷✶❍✱ òîãäà ïðè ✵ ❁ ✍ ✔ ✙
✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮ ✔✶❤✭❢✮ ✍r ❧✿ ✭✸✿✷✮
➮ç òåîðåìû ✷ ñëåäóåò✱ ÷òî
❊♠✭❢✮ ✔ ❝ ♠ ❧✦❦✭❢✭❧✮❀♠✙✮✿ ✭✸✿✸✮
Òîãäà èç ✭✸✳✷✮ è ✭✸✳✸✮
❊❛s✭❢✮ ✔ ❝
❛s❧✦❦ ❢✭❧✮❀
✙ ❛s
✁
✔ ❛❝s❧✶❤✭❢✮ ✙❧ r
❛s✭❧ r✮ ❂ ❝✶ ✶❤✭❢✮
❛sr ✿
Ñëåäîâàòåëüíî✱
✹❤✭❢✮ ✔ ❝ ✶✶❤✭❢✮❀
✶✻✹ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
✸✵✳ ➘îêàæåì✱ ÷òî ✹❍ ✱✦ ✺❍✳ Ïóñòü ❢ ✷ ✹❍✳ ❰áîçíà÷èì ÷åðåç ❣ ❛s
ñôåðè÷åñêèé ïîëèíîì ñòåïåíè ❛s òàêîé✱ ÷òî
❦❢ ❣❛s❦ ✔ ✷ ❊❛s✭❢✮❀
è ïîëîæèì
◗❛✵ ❂ ❣❛✵❀ ◗❛s ❂ ❣❛s ❣❛s ✶ ïðè s ✕ ✶✿
Òîãäà â ìåòðèêå ▲♣✭▼✮
❢ ❂
✶
❳
s❂✵
◗❛s❀
òàê êàê ❊❛s✭❢✮ ✦ ✵ ïðè s ✦ ✶✳
➬àìåòèì✱ ÷òî
❦◗❛✵❦ ✔ ❦❢❦ ✰ ✷ ❊❛✵✭❢✮ ✔ ✸❦❢❦❀
❦◗❛s❦ ✔ ❦❣❛s ❢❦ ✰ ❦❢ ❣❛s ✶❦ ✔ ✹ ❊❛s ✶✭❢✮❀ s ✕ ✶✿
Ñ÷èòàÿ✱ ÷òî ❊❛s✭❢✮ ❂ ✵ ïðè s ❂ ✶✱ ïîëó÷èì✱ ÷òî ïðè ëþáîì s ✷ ❩✰
❛sr❦◗
❛s❦ ✔ ✸❦❢❦ ✰ ✹❛sr❊❛s ✶✭❢✮✿ ✭✸✿✹✮
➮ç ✭✸✳✹✮ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
✺❤✭❢✮ ✔ ❝✭❦❢❦ ✰✹❤✭❢✮✮❀
à èç íåãî ñëåäóåò âëîæåíèå✹❍ ✱✦✺❍✳
✹✵✳ ➘îêàæåì òåïåðü âëîæåíèå✺❍ ✱✦✷❍✳ Ïóñòü ❢ ✷✺❍✱ ✧ ❃ ✵✱ òîãäà
❢ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ñõîäÿùåãîñÿ â ▲♣ ðÿäà
❢ ❂
✶
❳
s❂✵
◗❛s❀
ãäå ◗❛s ✷ P❛s è
❛sr❦◗
❛s❦ ✔✺❤✭❢✮ ✰ ✧✿ ✭✸✿✺✮
➮ç íåðàâåíñòâà ✭✷✳✶✶✮ ñëåäóåò✱ ÷òî ❦◗✭❧✮❛s❦ ✔ ✭❛s✮❧❛ sr ✺❤✭❢✮ ✰ ✧
✁
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✻✺
Òàê êàê r ❧ ❃ ✵✱ òî èç ✭✸✳✻✮ âèäíî✱ ÷òî ðÿäP◗✭❧✮❛s ñõîäèòñÿ â ▲♣✭❇✮✱
ñëåäîâàòåëüíî✱
❢✭❧✮❂❳✶ s❂✵
◗✭❧✮❛s ✷ ▲♣✭❇✮✿
➘àëåå
⑦ ✁❦
t❢✭❧✮❂ ✶
❳
s❂✵
⑦ ✁❦
t◗✭❧✮❛s✿
Ïðè t ✕ ✶✱ ïîëüçóÿñü ✭✸✳✻✮ è î÷åâèäíûì íåðàâåíñòâîì ❦ ⑦✁❦
t❋ ❦ ✔ ✷❦❦❋ ❦❀ ✭✸✿✼✮
ïîëó÷àåì ❦ ⑦✁❦
t❢✭❧✮❦
tr ❧ ✔ ✷❦✭✺❤✭❢✮ ✰ ✧✮ ✶
❳
s❂✵
❛ s✭r ❧✮✔ ❝
✶ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✸✿✽✮
Ïóñòü ✵ ❁ t ❁ ✶✳ Ïîäáåðåì ◆ ✷ ❩✰ òàê✱ ÷òîáû
❛ ✭◆✰✶✮❁ t ✔ ❛ ◆✿
Òîãäà
❦ ⑦✁❦ t❢✭❧✮❦ ✔
◆
❳
s❂✵
❦ ⑦✁❦ t◗✭❧✮❛s❦ ✰
✶
❳
s❂◆✰✶
❦ ⑦✁❦
t◗✭❧✮❛s❦ ❂ ■✶✰ ■✷✿ ✭✸✿✾✮
❰öåíèì îòäåëüíî ñëàãàåìûå ■✶ è ■✷ â ✭✸✳✾✮✳ Ïðè îöåíêå ■✶âîñïîëüçó✲
åìñÿ ëåììîé ✻✿
■✶✔ ◆
❳
s❂✵
t❦❛s❦❦◗✭❧✮ ❛s❦ ✔ t❦
◆
❳
s❂✵
❛s❦❛ s✭r ❧✮ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁❂
❂ t❦ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁❳◆ s❂✵
❛s✭❧✰❦ r✮✔ t❦ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁ ❛✭◆✰✶✮✭❧✰❦ r✮
❛❧✰❦ r ✶ ✔
✔ ❝✷t❦ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁t ✭❧✰❦ r✮❂ ❝✷tr ❧ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✸✳✶✵✮
➘ëÿ îöåíêè ■✷ âîñïîëüçóåìñÿ ✭✸✳✼✮
■✷✔ ✷❦ ✶
❳
s❂◆✰✶
❦◗✭❧✮❛s❦ ✔ ✷❦ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧
✁ ❳✶ s❂◆✰✶
✶✻✻ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
✔ ❝✸ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁❛ ✭◆✰✶✮✭r ❧✮✔ ❝✸tr ❧ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✸✳✶✶✮
➮ç îöåíîê ✭✸✳✽✮✱ ✭✸✳✶✵✮✱ ✭✸✳✶✶✮ ïîëó÷àåì✱ ÷òî t ✭r ❧✮❦ ⑦✁❦
t❢✭❧✮❦ ✔ ❝✹ ✺❤✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✸✿✶✷✮
Òàê êàê t è ✧ ïðîèçâîëüíûå✱ òî èç ✭✸✳✶✷✮ ñëåäóåò✱ ÷òî
✷❤✭❢✮ ✔ ❝ ✹✺❤✭❢✮❀
îòêóäà ñëåäóåò âëîæåíèå✺❍ ✱✦✷❍✳
❰êîí÷àòåëüíî ïîëó÷åíà öåïî÷êà âëîæåíèé
✷❍ ✱✦✶❍ ✱✦✹❍ ✱✦✺❍ ✱✦✷❍❀
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ✸✳
➓ ✹✳ Ýêâèâàëåíòíûå íîðìèðîâêè ïðîñòðàíñòâ ❇
r ♣❀qÏóñòü r ❃ ✵✱ ✶ ✔ ♣ ✔ ✶✱ ✶ ✔ q ❁ ✶✱ ❦❀ ❧ ✷ ❩✰✱ ❦ ❃ r ❧ ❃ ✵✳
➪óäåì ãîâîðèòü✱ ÷òî ôóíêöèÿ ❢✭①✮ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó❥❇r ♣❀q✱
❥ ❂ ✶❀ ✷❀ ✸❀ ✹✱ åñëè ❢ ✷ ▲♣✭▼✮ è êîíå÷íà ïîëóíîðìà❥❜r♣❀q✭❢✮✱ ãäå
✶❜r
♣❀q✭❢✮ ✿❂ ❜r♣❀q✭❢✮ ❂
✒❩ ✙ ✵
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍
✓✶❂q
✭ ✙ çäåñü ìîæíî çàìåíèòü ëþáûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì✮❀
✷❜r ♣❀q✭❢✮ ✿❂
✒❩ ✶
✵
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍
✓✶❂q
❀
✸❜r ♣❀q✭❢✮ ✿❂
✥✶ ❳
s❂✵
❛srq❊q ❛s✭❢✮♣
✦✶❂q
✭❛ ❃ ✶❀ öåëîå ✮❀
✹❜r
♣❀q✭❢✮ ✿❂ ✐♥❢
✥✶ ❳
s❂✵
❛srq❦◗ ❛s❦q♣
✦✶❂q
❀
ãäå íèæíÿÿ ãðàíü áåðåòñÿ ïî âñåì ïðåäñòàâëåíèÿì ❢ â âèäå ñõîäÿùå✲ ãîñÿ â ▲♣✭▼✮ ðÿäà èç ñôåðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ
❢✭①✮ ❂❳✶
s❂✵
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✻✼
Ïðîñòðàíñòâà❥❇r
♣❀qÿâëÿþòñÿ áàíàõîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè îòíîñèòåëü✲
íî íîðì
❦❢❦❥❇r
♣❀q✿❂ ❦❢❦♣✰
❥❜r
♣❀q✭❢✮✿ ✭✹✿✶✮
Òåîðåìà ✹✳ Ïðîñòðàíñòâà ❥❇r
♣❀q✱ ❥ ❂ ✶❀ ✷❀ ✸❀ ✹✱ ñîâïàäàþò è èõ íîðìû
✭✹✳✶✮ ýêâèâàëåíòíû ✭ò✳ å✳ ➪Ï ❥❇r
♣❀q ýêâèâàëåíòíû✮✳
❰òìåòèì✱ ÷òî èç ýêâèâàëåíòíîñòè ïðîñòðàíñòâ ✶❇r
♣❀q è ✸❇♣❀qr ñëå✲
äóåò òåîðåìà ✶ äëÿ ñëó÷àÿ q ❁ ✶✳ ✃àê è â ➓✸✱ áóäåì èñïîëüçîâàòü êðàòêèå îáîçíà÷åíèÿ❥❇ ❂❥❇r
♣❀q✱ ❦❢❦ ❂ ❦❢❦♣ è ò✳ ä✳
➘îêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ✹✳
✶✵✳ ➶ëîæåíèå ✷❇ ✱✦✶❇ î÷åâèäíî✳ ➘îêàæåì✱ ÷òî ✶❇ ✱✦✸❇✳ Ïóñòü
❢ ✷✶❇✳ Òîãäà
✶❜✭❢✮✁q ❂❩ ✙ ✵
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍ ❂ ✶
❳
s❂✶ ✙❂s❩s ✶
✙❂❛s
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍✿ ✭✹✿✷✮
Ïîëüçóÿñü ìîíîòîííîñòüþ ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè ✭ñì✳ ëåììó ✶✮ è òåî✲ ðåìîé ✷ ïîëó÷èì
✙❂ss ✶
❩
✙❂❛s
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍ ✕
✏
✦❦✭❢✭❧✮❀❂❛s✙ ✮
✑q
✭✙❂❛s ✶✮✶✰✭r ❧✮q
✙
❛s ✶✭❛ ✶✮ ✕
✕ ❝✶❛rqs❊❛qs✭❢✮❀ ✭✹✳✸✮
ãäå ❝✶❃ ✵ ✖ íå çàâèñÿùàÿ îò ❢ è s ïîñòîÿííàÿ✳
➮ç ✭✹✳✷✮ è ✭✹✳✸✮ ñëåäóåò✱ ÷òî
✶
❳
s❂✶
❛sqr❊q
❛s✭❢✮ ✔ ❝✷ ✶❜✭❢✮✁q✿ ✭✹✿✹✮
➴ùå íóæíî îöåíèòü ñâåðõó ❊❛✵✭❢✮✳ ➮ç òåîðåìû ✷ ñëåäóåò
✶✻✽ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìîäóëÿ íåïðåðûâíîñòè èç ëåììû ✶✱ çàìåòèì✱ ÷òî
✶❜✭❢✮✁q ✕ ✙
❩
✙❂✷
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍ ✕ ❝✸✦❦✭❢✭❧✮❀
✙
✷✮ ✕ ❝✹✦❦✭❢✭❧✮❀ ✙✮❀ ✭✹✿✻✮
à èç ✭✹✳✺✮ è ✭✹✳✻✮ ïîëó÷èì îöåíêó
❊❛q✵✭❢✮ ✔ ❝✺ ✶❜✭❢✮
✁q
✿ ✭✹✿✼✮
❰êîí÷àòåëüíî✱ ñêëàäûâàÿ íåðàâåíñòâà ✭✹✳✹✮ è ✭✹✳✼✮✱ ïîëó÷àåì îöåíêó
✸❜✭❢✮✁q✔ ❝
✻ ✶❜✭❢✮✁q❀
èç êîòîðîé ñëåäóåò âëîæåíèå✶❇ ✱✦✸❇✳
✷✵✳ ➘îêàæåì✱ ÷òî✸❇ ✱✦✹❇✳ Ïóñòü ❢ ✷✸❇✳ ➮ñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ
è íåðàâåíñòâà èç ïóíêòà ✸✵ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ✸✱ ïîëó÷èì
❦◗❛✵✭❢✮❦q ✔ ✭✸❦❢❦✮q❀
❛srq❦◗
❛s✭❢✮❦q ✔ ✹q❛srq❊❛qs ✶✭❢✮❀ s ✕ ✶✿
Òîãäà
✹❜✭❢✮ ✔
✥ ✸q❊q
❛✵✭❢✮ ✰
✶
❳
s❂✶
✹q❛sqr❊q ❛s ✶✭❢✮
✦✶❂q
✔
✔ ❝✶
✥
❦❢❦ ✰ ❳✶
s❂✵
❛srq❊q ❛s✭❢✮
✁✶❂q✦
❂ ❝✶❦❢❦✸❇❀
îòêóäà è ñëåäóåò âëîæåíèå✸❇ ✱✦✹❇✳
✸✵✳ ➘îêàæåì âëîæåíèå ✹❇ ✱✦ ✷❇✳ Ïóñòü ❢ ✷ ✹❇✱ ✧ ❃ ✵✱ òîãäà ❢
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ✭ s âî âñåõ ñóììàõ ïðîáåãàåò ❩✰✮
❢ ❂❳q❛s❀ ◗❛s ✷ P❛s❀
ïðè÷åì
✏❳ ❛sqr❦◗
❛s❦q
✑✶❂q
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✻✾
Ïðîâåðèì✱ ÷òî ðÿäP◗✭❧✮❛s ñõîäèòñÿ â ▲♣✭❇✮✳ ➘ëÿ ýòîãî çàìåòèì✱ ÷òî
❦◗✭❧✮❛s❦ ✔ ❛s❧❦◗❛s❦ ❂ ❛ s✭r ❧✮❛sr❦◗❛s❦
✭èñïîëüçîâàíî ✭✷✳✶✶✮✮✳ ➶îñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì ➹åëüäåðà✱ ïî✲ ëó÷èì
❳
❦◗✭❧✮❛s❦ ✔
❳
❛ s✭r ❧✮❛sr❦◗ ❛s❦ ✔
✔ ❝✶
✏❳ ❛sqr❦◗
❛s❦q
✑✶❂q
✔ ❝✶ ✹❜✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✹✳✾✮
Ñëåäîâàòåëüíî✱ ðÿä P◗✭❧✮❛s ñõîäèòñÿ â ▲♣✭❇✮ è
❢✭❧✮❂❳◗✭❧✮
❛s ✷ ▲♣✭❇✮✿ ✭✹✿✶✵✮
❰òìåòèì òàêæå✱ ÷òî èç ✭✹✳✶✵✮ è ✭✹✳✾✮ ñëåäóåò✱ ÷òî ❦❢✭❧✮❦ ✔ ❝
✶ ✹❜✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✹✿✶✶✮
➮ñïîëüçóÿ ✭✹✳✶✶✮ è î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî ✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮ ✔ ✷❦❦❢✭❧✮❦❀
ïîëó÷èì✱ ÷òî ❩ ✶
✶
✭✦❦✭❢✭❧✮❀ ✍✮✮q
✍✶✰✭r ❧✮q ❞✍ ✔ ✷❦q❦❢✭❧✮❦q
❩ ✶
✶
❞✍ ✍✶✰✭r ❧✮q ✔
✔ ❝✷ ✹❜✭❢✮ ✰ ✧✁✿ ✭✹✳✶✷✮
➘ëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ◆
⑦ ✁❦
t❢✭❧✮❂ ◆
❳
s❂✵
⑦ ✁❦
t◗✭❧✮❛s✰
✶
❳
s❂◆✰✶
⑦ ✁❦
t◗✭❧✮❛s❀
❦ ⑦✁❦
t❢✭❧✮❦ ✔ t❦ ◆
❳
s❂✵
❛s✭❦✰❧✮❦◗
❛s❦ ✰ ✷❦
✶
❳
s❂◆✰✶
❛s❧❦◗ ❛s❦✿
Òîãäà
✦❦✭❢✭❧✮❀ ❛ ◆✮ ❂ s✉♣ ✵❁t✔❛ ◆❦ ⑦✁
✶✼✵ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
✔ ❛ ◆❦❳◆ s❂✵
❛s✭❦✰❧✮❦◗
❛s❦ ✰ ✷❦
✶
❳
s❂◆✰✶
❛s❧❦◗ ❛s❦✿
➮ìååì✱ äåëàÿ çàìåíó ✍ ❂ ❛ ✉✱
❩ ✶
✵ ✍
✶ ✭r ❧✮q✦q ❦
✏
❢✭❧✮❀ ✍✑❞✍ ❂
❂ ❧♥ ❛ ❩ ✶
✵ ❛
q✭r ❧✮✉✦q ❦
✏
❢✭❧✮❀ ❛ ✉✑❞✉ ❂
❂ ❧♥ ❛
✶
❳
◆❂✵ ◆✰✶❩
◆
❛q✭r ❧✮✉✦q ❦
✏
❢✭❧✮❀ ❛ ✉✑❞✉ ✔
✔ ❧♥ ❛❳✶
◆❂✵
✦❦q✏❢✭❧✮❀ ❛ ◆✑❛q✭r ❧✮◆✔
✔ ❝✸■✶✰ ❝✹■✷❀ ✭✹✳✶✸✮
ãäå
■✶❂P✶◆❂✵❛q✭r ❧ ❦✮◆✏P◆s❂✵❛s✭❦✰❧✮❦◗❛s❦
✑q ❀ ■✷❂P✶◆❂✵❛q✭r ❧✮
P✶
s❂◆✰✶❦◗❛s❦✁q✿
➘ëÿ âûðàæåíèé ■✶ è ■✷ â êíèãå ❬✶✺❪ ✭ñì✳ ïóíêò ✺✳✻✱ ôîðìóëû ✭✶✼✮ ✖
✭✶✾✮ ✮ ïîëó÷åíû îöåíêè
■✶✔ ❝✺P✶s❂✵❛rqs❦◗❛s❦q❀ ✭✹✳✶✹✮
■✷✔ ❝✻P✶s❂✵❛rqs❦◗❛s❦q✿ ✭✹✳✶✺✮
❰êîí÷àòåëüíî✱ èç ✭✹✳✶✷✮✱ ✭✹✳✶✹✮ è ✭✹✳✶✺✮ ñëåäóåò✱ ÷òî ❩ ✶
✵ ✍
✶ ✭r ❧✮q✦q ❦
✏
❢✭❧✮❀ ✍✑❞✍ ✔ ❝ ✼
✶
❳
s❂✵
❛srq❦◗ ❛s❦q❀
à îòñþäà
✷❜✭❢✮ ✔ ❝ ✽✹❜✭❢✮❀
❰ êëàññàõ ❮èêîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà ✶✼✶
➶ ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà öåïî÷êà âëîæåíèé
✷❇ ✱✦✶❇ ✱✦✸❇ ✱✦✹❇ ✱✦✷❇❀
÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ✹✳
❘✁❡s✉♠✁❡
▲❡t ▼ ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t s②♠♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ♦❢ r❛♥❦ ✶✳ ❲❡ ❤❛✈❡ ❞❡✜♥❡❞ t❤❡ ◆✐❦♦❧s❦✐✞✐ ✖ ❇❡s♦✈ t②♣❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❧❛ss❡s ❇r
♣❀✒✭▼✮ ❛♥❞ ✇❡ ❤❛✈❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛
❝♦♥❝tr✉❝t✐✈❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❝❧❛ss❡s ✐♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❜❡st ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❜② t❤❡ s♣❤❡r✐❝❛❧ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧s ♦♥ ▼✳
❐èòåðàòóðà
❬✶❪ ❮èêîëüñêèé Ñ✳ ❒✳✱ ❐èçîðêèí Ï✳ ➮✳ Ïðèáëèæåíèå ñôåðè÷åñêèìè ïîëè✲ íîìàìè✴✴ Òð✳ ❒➮➚❮✳ ✶✾✽✹✳ Ò✳✶✻✻✳ Ñ✳✶✽✻✕✷✵✵✳
❬✷❪ ❮èêîëüñêèé Ñ✳ ❒✳✱ ❐èçîðêèí Ï✳ ➮✳ ➚ïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèé íà ñôå✲ ðå✴✴ ➮çâåñòèÿ ➚❮ ÑÑÑÐ✳ Ñåð✳ ìàòåì✳ ✶✾✽✼✳ Ò✳✺✶✳ ◆✸✳ Ñ✳✻✸✺✕✻✺✶✳ ❬✸❪ Ðóñòàìîâ Õ✳ Ï✳ ❰ ïðèáëèæåíèè ôóíêöèé íà ñôåðå ✴✴ ➮çâåñòèÿ Ð➚❮✳
Ñåð✳ ìàòåì✳ ✶✾✾✸✳ Ò✳✺✼✳ ◆✺✳ Ñ✳✶✷✼✕✶✹✽✳
❬✹❪ ➪åññå ➚✳ ❒íîãîîáðàçèÿ ñ çàìêíóòûìè ãåîäåçè÷åñêèìè✳ ❒✳✿❒èð✱ ✶✾✽✶✳ ❬✺❪ Òèõîìèðîâ ➶✳ ❒✳ Òåîðèÿ ïðèáëèæåíèé✳ ✴✴ Ñîâðåì✳ ïðîáë✳ ìàòåì✳
Ôóíä✳ íàïðàâëåíèÿ✳ ✶✾✽✼✳ Ò✳✶✹✳
❬✻❪ ✃àìçîëîâ ➚✳ ➮✳ ❰á èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëå Ðèññà è íåðàâåíñòâå ➪åðíøòåéíà äëÿ ôóíêöèé íà îäíîðîäíûõ ïðîñòðàíñòâàõ✴✴ ❒àò✳ çà✲ ìåòêè✳ Ò✳✶✺✳ ◆✻✳ Ñ✳✾✻✼✕✾✼✽✳
❬✼❪ ❘❛❣♦③✐♥ ❉✳ ▲✳ P♦❧✐♥♦♠✐❛❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦♥ ❝♦♠♣❛❝t ♠❛♥✐❢♦❧❞s ❛♥❞ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s s♣❛❝❡s✴✴ ❚r❛♥s✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✶✾✼✶✳ ❱✳✶✺✵✳ P✳✹✶✕✺✸✳ ❬✽❪ Ïëàòîíîâ Ñ✳ Ñ✳ ❰ ïðèáëèæåíèè íà êîìïàêòíûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ïðî✲
ñòðàíñòâàõ ðàíãà ✶ ✴✴➘îêëàäû Ð➚❮✳ ✶✾✾✺✳ Ò✳✸✹✷✳ ◆✹✳ Ñ✳✹✺✺✕✹✺✼✳ ❬✾❪ Ïëàòîíîâ Ñ✳ Ñ✳ ❰ òåîðåìàõ ➘æåêñîíîâñêîãî òèïà íà êîìïàêòíûõ
ñèììåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ ðàíãà ✶ ✴✴ ➘îêëàäû Ð➚❮✳ ✶✾✾✻ ✭â ïå÷àòè✮✳
❬✶✵❪ Ïëàòîíîâ Ñ✳ Ñ✳ ❰á îäíîì ïîäõîäå ê òåîðèè ïðîñòðàíñòâ òèïà ❮è✲ êîëüñêîãî ✖ ➪åñîâà íà îäíîðîäíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ ✴✴Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà ✭â ïå÷àòè✮✳
✶✼✷ Ñ✳ Ñ✳ Ïëàòîíîâ
❬✶✷❪ Õåëãàñîí Ñ✳ ➹ðóïïû è ãåîìåòðè÷åñêèé àíàëèç✳ ❒✳✿ ❒èð✱ ✶✾✽✼✳ ❬✶✸❪ Õåëãàñîí Ñ✳ ➘èôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è ñèììåòðè÷åñêèå ïðî✲
ñòðàíñòâà✳ ❒✳✿ ❒èð✱ ✶✾✻✹✳
❬✶✹❪ ❐èçîðêèí Ï✳ ➮✳ ❰ ïðèáëèæåíèè ôóíêöèé íà ñôåðå ✛ ✴✴ ➘îêëàäû Ð➚❮✳ ✶✾✾✸✳ Ò✳✸✸✶✳ ◆✺✳ Ñ✳✺✺✺✕✺✺✽✳
