Transição de fase no modelo de percolação independente em grafos

(1)

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciˆ

encias Exatas

Departamento de Matem´

atica

Transi¸c˜

ao de Fase no Modelo de

Percola¸c˜

ao Independente em Grafos

Marcos Vin´ıcius Ara´

ujo S´a

Orientador:

R´emy de Paiva Sanchis

Apoio: CAPES

Belo Horizonte - MG

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(3)

Resumo

Neste texto será estudado a transi¸cão de fase no modelo de percola¸cão independente em grafos. No primeiro cap´ıtulo será detalhado o trabalho de Lyons [11], onde relacio-naremos o processo de percola¸cão, com passeios aleatórios e circuitos elétricos, a fim de provarmos que o ponto cr´ıtico de uma árvore é igual ao inverso de seu número de rami-fica¸cão. O segundo cap´ıtulo é destinado ao estudo de percola¸cão em grafos mais gerais. Na primeira se¸cão deste cap´ıtulo mostraremos que grafos de grau limitado percolam nos vértices se, e somente se, percolam nos elos, e provaremos também que grafos com cons-tante de Cheeger positiva percolam. Nas demais se¸cões cotaremos o valor do ponto cr´ıtico por meio do Argumento de Peierls, mostrando assim uma grande fam´ılia de grafos que percolam. Teremos como base os artigos de Alves, Procacci e Sanchis [1], Kozma [9] e Timár [13].

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Abstract

In this text will be studied the phase transition of the independent percolation model in graphs. In the first chapter will be detailed Lyons’ work [11], in which is related the process of percolation with random walks and electrical circuits in order to prove that the critical point of a tree is equal to the inverse of its branching number. The second chapter is intended to the percolation study in more general graphs. In its first section, we show that the graphs with limited degree percolades at the vertices if and only if, percolades at the edges, and also prove that graphs with positive Cheeger constant percolades. In the other sections we will quote the value of the critical point through Peierls argument, showing a large family of graphs that percolades. We will be based on the following arti-cles: Alves, Procacci e Sanchis [1], Kozma [9] and Tim´ar [13].

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 9

1 Percola¸c˜ao em ´Arvores 15

1.1 Passeios Aleatórios, Circuitos Elétricos, Fluxos e Energia . . . 15 1.2 Ponto Cr´ıtico em Árvores . . . 28

2 Percola¸c˜ao em Outros Grafos 33

2.1 Desigualdades Isoperim´etricas . . . 33 2.2 Argumento de Peierls e Alguns Resultados . . . 38 2.3 Grafos de Cayley . . . 45

Conclus˜ao 53

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(9)

Introdu¸

c˜

ao

Este texto tem como objetivo determinar condi¸cões gerais sobre grafos para que apre-sentem transi¸cão de fase não-trivial no processo de percola¸cão independente. Histori-camente podemos considerar que a teoria de percola¸cão nasceu em 1957 no artigo de Broadbent e Hammersley (ver [4]), mas nos primeiros anos da teoria apenas se estudava o modelo de percola¸cão emZd. Somente por volta dos anos noventa, come¸caram a estudar o processo de percola¸cão em uma classe maior de grafos, como os grafos transitivos e grafos com constante de Cheeger positiva. Ao longo dos anos, vários resultados foram provados e também conjecturas foram formuladas. Em 1990 Lyons relaciona o ponto cr´ıtico de uma árvore com seu número de ramifica¸cão (ver [10]). Já em 1996 (ver [3]) Benjamini e Scharamm provaram que grafos com constante de Cheeger positiva percolam, além de perguntarem se dim(G)>1 (ver Defini¸cão 2.1.7) implica que pc(G)<1. Esta pergunta,

embora ainda sem resposta, levou vários estudiosos a demonstrar resultados seguindo esta dire¸cão, que serão mencionadas abaixo. Em 1999, Babson e Benjamini (ver [2]) demons-traram que grafos de Cayley de grupos finitamente apresentáveis com um fim percolam. Kozma (ver [9]) em 2007 mostrou que se G é planar, com crescimento polinomial e di-mensão maior que 1, entãoGpercola. Em 2012, Alves, Procacci e Sanchis (ver [1]) definem duas desigualdades isoperimétricas, e estendem ainda mais a fam´ılia de grafos conhecidos que percolam. Mais recentemente Teixeira (ver [12]) em 2014 provou que um grafo com crescimento polinomial satisfazendo uma certa desigualdade isoperimétrica local também percola.

Este trabalho será dividido em duas grandes partes. A primeira será destinada ao cálculo do ponto cr´ıtico em árvores. Basicamente será detalhado o trabalho de Lyons, onde introduziremos em grafos conceitos comuns de circuitos elétricos, e os relacionaremos com passeios aleatórios e o processo de percola¸cão. Embora Lyons desenvolva uma vasta teoria de redes elétricas, neste trabalho desenvolveremos apenas parte da teoria necessária para provar que o ponto cr´ıtico de uma árvore é o inverso do seu número de ramifica¸cão. Para um estudo completo, ver [11].

(10)

que grafos de Cayley de grupos finitamente apresent´aveis com um fim percolam.

Agora, a fim de evitar poss´ıveis ambiguidades entre as nomenclaturas utilizadas neste texto das presentes na literatura matemática, iremos definir e apresentar as nota¸cões dos objetos que aparecerão no decorrer deste texto.

Um multigrafo Gé um par ordenado (V(G), E(G)) consistindo de um conjunto V(G) devértices, um conjuntoE(G) de elose uma fun¸cão de incindênciaΨG que associa para

cada elo de G um par não-ordenado de vértices de G. Se e ∈ E(G) e x, y ∈ V(G) são tais que ΨG(e) = {x, y}, então dizemos que x e y são os extremos do elo e. Quando

x, y ∈V(G) são extremos de algum eloe∈E(G), é dito quexévizinhodeye denotamos por x ∼ y. O grau de um vértice x em G, dx, é o número de elos que possuem x como

um dos seus extremos, e um grafo é dito sern-regular se todos os vértices tiverem graun. Dizemos que Gé finito seV(G)∪E(G) < ∞, e que éinfinito caso contrário. Dizemos

que G é localmente finito se o grau de todo vértice de G é finito. Um elo que possui os dois extremos iguais é chamado de la¸co, e se pelo menos dois elos distintos possuem os mesmos extremos, estes são chamados elos múltiplos. Um multigrafo G que não possui la¸cos nem elos múltiplos é dito ser um grafo. Quando Gé um grafo, denotamos por xy o ´

unico elo de extremos x e y deG, caso exista tal elo.

Para cada d ∈ N, denotamos por Zd o grafo cujos vértices são as d-uplas ordenadas inteiras, e dois vértices são vizinhos se eles diferem em apenas uma coordenada por uma unidade.

Podemos representar um (multi)grafo por meio de um “desenho”, onde os vértices são representados por pontos e os elos por curvas ligando seus dois extremos. Um grafo planar é um grafo que possui uma representa¸cão planar, isto é, um grafo que pode ser “desenhado” no plano de modo que dois elos distintos se intersectem somente nos seus extremos em comum ( para mais detalhes ver [5]).

Um (multi)grafo H ´e dito ser um subgrafo de um (multi)grafo G se V(H) ⊆ V(G), E(H) ⊆ E(G) e ΨH = ΨG|E(H). Dado um subconjunto W ⊆ V(G), denotamos por

G[W] = (W, E[W]) o subgrafo induzido deG por W, onde

E[W] ={e∈E(G); ΨG(e)⊆W}.

Em todo o texto não serão feitas distin¸cões entre um subconjunto dos vértices de G de seu correspondente subgrafo induzido. Seja H ⊆V(G)∪E(G), definimos a diferen¸ca de G porH para ser o multi(grafo) G\H tal que

V(G\H) =V(G)\ H∩V(G) e

E G\H=E[V(G\H)]\ H∩E(G). Definimos afronteira de elos deW ⊆V(G) por

∂W ={e∈E(G); Ψ_G(e)∩W= 1},

a fronteira de v´ertices por

∂vW =x∈V(G)\W; ∃y∈W com x∼y , e definimos tamb´em a fronteira interna por

(11)

Definimos tamb´em o fechode W ⊆V(G) por

W =W ∪∂vW.

Umpasseio γ entre os vértices v0 e vn, em um (multi)grafoG, é uma sequência finita

alternada de v´ertices e elos da forma (v0, e1, v1, e2, v2,· · · , en, vn), onde ΨG(ei) = {vi−1, vi}

para todo 0< i≤ n. Podemos pensar que no passeio dado, saimos do v´ertice v0, damos

um passo ao longo do elo e1 visitando assim o v´ertice v1 e deste damos outro passo ao

longo dee2 visitando assimv2, e assim passeamos ao longo dos elos deGvisitando alguns

de seus vértices até terminarmos o passeio no vértice vn. Denotamos por|γ| o tamanho

do passeioγ, que é a quantidade de passos dados no passeio, isto é, a quantidade de elos que aparece na sequência que define γ (contando possivelmente um mesmo elo mais de uma vez). Se estivermos trabalhando com grafos, podemos omitir os elos da sequência que define o passeio, ou podemos omitir os vértices. Um passeio

γ = (v0, e1, v1, e2, v2,· · · , en, vn)

´e um caminho se vi 6= vj para todo i =6 j e ´e dito ser uma trilha se ei 6= ej para todo

i6= j. γ é um circuito se γ é uma trilha e v0 =vn. Se γ é um circuito, dizemos que γ é

um ciclo se vi 6=vj para todo i =6 j, exceto quando {i, j} ={0, n}. Um passeio infinito

partindo de um vérticev0é uma sequência infinita alternada entre vértices e elos da forma

γ = (v0, e1, v1, e2, v2,· · ·), onde ΨG(ei) = {vi−1, vi} para todoi >0.

Dizemos que um (multi)grafoGéconexose para todox, y ∈V(G) existir um caminho entre eles. Podemos criar uma rela¸cão de equivalência entre os vértices deG, onde dizemos quex∼=y se existir um caminho em Gligandox ay, os vértices de cada uma das classes de equivalência serão chamadas decomponentes conexas de G. Dizemos queGéac´ıclico

se ele não possuir nenhum ciclo, em particular para ser ac´ıclico, G não poderá ter la¸cos nem elos múltiplos. Um grafo conexo e ac´ıclico é denominado árvore. Se T é uma árvore finita teremos queV(G)=E(G)+ 1. Podemos escolher um vérticeo qualquer, de uma

´arvoreT para ser chamado dera´ız.

Definimos adistˆanciaentre dois v´erticesxeyde um (multi)grafoGdo seguinte modo

dG(x, y) = min{ |γ|; γ ´e um caminho entre xe y}.

Em particular, temosdG(x, x) = 0 e sexeyn˜ao pertencem a mesma componente conexa,

definimos que dG(x, y) = ∞. Se est´a claro em qual (multi)grafo estamos calculando as

distâncias, denotamos simplesmente pord(x, y) a distância entre xe y. Se um elo eé tal que ΨG(e) ={y, z}, definimos a distância entre um vérticex e e por

d(x, e) = min{ |γ|; γ ´e um caminho contendo x e e}.

Definimos tamb´em a distˆancia entre dois elos por

d(e, e′) = min{ |γ| −1; γ ´e um caminho contendo e e e′}.

Observe que tanto a distância entre vértices quando a distância entre elos são distâncias no sentido topológico. Definimos também a distância entrex∈V(G) e W ⊆V(G) por

d(x, W) = min{d(x, y); y∈W}.

Odiâmetro de um subconjunto W dos vértices de um (multi)grafoG é definido por

(12)

Dado x∈V(G)∪E(G), definimos

B(x, r) = {y∈V(G); d(x, y)≤r}

para ser a bola centrada em x de raio r, podemos definir tamb´em para W ⊆ V(G) a r-´esima vizinhan¸ca de W por

B(W, r) = [

x∈W

B(x, r).

Um caminho (v0, e1, v1,· · · , vn) em um multi(grafo)G´e dito ser umcaminho geod´esico

se d(vi, vj) =|i−j| para todo 0≤ i, j ≤ n. Chamamos de raio qualquer passeio infinito

ρ = (v0, e1, v1, e2, v2,· · ·) tal que vi 6= vj para todo i 6= j, e este raio ser´a denominado

raio geod´esico se dG(vi, vj) =|i−j| para todo i, j ≥ 0. Seja γ a uni˜ao entre dois raios

geod´esicosρ= (v0, e1, v1, e2, v2,· · ·) eρ′ = (v0, e′1, v1′, e′2, v′2,· · ·), ambos come¸cando emv0,

e V(ρ)∩V(ρ′_{) =}_{_v

0}. Denotemos por v−i =vi′ e e−i =e′i. Se

γ =ρ∪ρ′ = (· · · , e−2, v−1, e−1, v0, e1, v1, e2,· · ·)

é tal quedG(vi, vj) =|i−j| para todoi, j ∈Z, dizemos que γ é uma bi-geodésica infinita.

Em um (multi)grafo G, dizemos que um conjunto Π⊆ E(G) separa os subconjuntos A, Z ⊆ V(G), se todo caminho ligando um vértice de A a um vértice de Z possuir um elo de Π. Dizemos que Π é um corte entreA e Z se nenhum dos Λ (Π separar A deZ. Se G é um (multi)grafo infinito e conexo, dizemos que Π ⊆ E(G) separa W ⊆ V(G) de

∞, se para todo x ∈W a componente conexa de x em G\Π é finita e de mesmo modo, dizemos que Π é um corte entre W e ∞ se para todo Λ ( Π tivermos x pertencendo a algum raio em G\Λ. Seja Π um corte entre um vértice x de ∞, denotamos por Int(Π) a componente conexa dex em G\Π. Pela defini¸cão de corte temos que Int(Π) é a única componente conexa finita em G\Π, e note também que ∂ Int(Π) = Π.

Dois grafos G e H s˜ao ditos isomorfos, se existir uma bije¸c˜ao ϕ : V(G) → V(H) tal que

x∼y⇔ϕ(x)∼ϕ(y)

para todos x, y ∈ V(G). Tal fun¸cão é chamada de isomorfismo entre G e H. Um isomorfismo entre G e ele próprio é denomindado um automorfismo, e definimos Aut(G) como o conjunto de todos os automorfismos de G. Um grafo G é dito ser transitivo se para todo par de vértices x, y ∈ V(G), existir ϕ ∈Aut(G) tal que ϕ(x) =y, e é dito ser

quase-transitivo se existir um subconjunto finitoW ⊆V(G) tal que para todo x∈V(G), existe um automorfismo ϕ satisfazendo ϕ(x)∈W.

Agora irei descrever o modelo de percola¸cão que será abordado em todo texto. Um processo de percola¸cão independente de Bernoulli nos elos de um grafoGde parâmetrop, ou simplesmente percola¸cãoem G com parâmetrop, é uma fam´ılia de variáveis aleatórias

{Xe}e∈E(G) independentes e identicamente distribu´ıdas de modo que Xe ∼ Ber(p), isto

é, P(Xe = 1) = p e P(Xe = 0) = 1 − p. Um elo e é dito aberto se Xe = 1, e é

dito fechado quando Xe = 0. Os resultados desse processo, chamados configura¸c˜oes, s˜ao

elementos ω ∈ {0,1}E(G)_{. Denotamos por} _{ω(e) o valor da coordenada correspondente ao}

elo e em ω. Podemos ver ω como o subgrafo de Gformado apenas por seus elos abertos, e denotamos porCx(ω) a componente conexa aberta do v´erticex em ω. SeG´e um grafo

infinito, localmente finito e conexo (note que neste casoE(G) ´e enumer´avel), podemos

nos perguntar se

(13)

é positivo ou não, ondePp é a medida de probabilidade produto das variáveis{Xe}e∈E(G).

Pelo fato de E(G) ser enumerável, temos que o evento { |Cx| = ∞} é mensurável, de G

ser localmente finito temos a n˜ao trivialidade de θx(p), e de G ser conexo decorre que

θx(p) >0 ⇔ θy(p)> 0. É claro que θx(0) = 0 eθx(1) = 1. Também é fácil ver que θx é

uma fun¸c˜ao crescente em p, podendo assim definir o ponto cr´ıtico deG como

pc(G) = sup{p; θx(p) = 0}.

Note que ocorre uma transi¸c˜ao de fase empc(G), uma vez que sep < pc(G) temos quase

certamente|Cx| < ∞, mas se p > pc(G) temos com probabilidade positiva a ocorrˆencia

de{ |Cx|=∞}. Dizemos que G percola se admite transi¸cão de fase não trivial, isto é, se

pc(G)<1. Para demonstra¸c˜ao de todos os fatos citados acima, ver [6] e [11].

De maneira análoga, podemos definir a percola¸cão de vértices em G, onde agora a configura¸cãoω poderá ser vista como o subgrafo induzido de G pelos vértices abertos de ω. De mesmo modo definimos

θxv(p) =Ppv(|Cx|=∞) e pvc(G) = sup{p; θvx(p) = 0},

onde Pv

p é a medida de probabilidade no modelo para vértices. Dizemos também que G

percola nos v´erticesse pv

(14)

(15)

Cap´ıtulo 1

Percola¸

c˜

ao em ´

Arvores

Em 1980 Kesten mostrou que pc(Z2) = 1/2. At´e hoje s˜ao poucos os grafos em que

se sabe o valor do seu ponto cr´ıtico. Nosso objetivo neste cap´ıtulo será provar que pc(T) = 1/br(T), onde T é uma árvore infinita, mas localmente finita e br(T) é o número

de ramifica¸cão de T. Para isto iremos definir passeios aleatórios em grafos por meio de “pesos”nos elos, que serão denominados condutâncias. Em seguida relacionaremos cir-cuitos elétricos com passeios aleatórios, introduziremos o conceito de fluxo em grafos, definiremos a energia de um fluxo e estabeleceremos rela¸cões entre os vários objetos aqui apresentados. Na segunda se¸cão deste cap´ıtulo mostraremos a partir da primeira e através dos Métodos do Primeiro e Segundo Momento que pc(T) = 1/br(T).

Todos os grafos tratados ao longo deste cap´ıtulo ser˜ao localmente finitos e conexos.

1.1 Passeios Aleat´

orios, Circuitos El´

etricos, Fluxos e

Energia

Dado um grafo G, definimos para cada elo xy de G um número real positivo c(x, y), que denominaremos a condutância de xy. Todos os grafos deste cap´ıtulo possuirão con-dutâncias em seus elos, sendo que irei explicitar o valor das concon-dutâncias apenas quando necessário. Podemos também definir de mesmo modo condutâncias para multigrafos sem la¸cos, neste caso, para todas as defini¸cões a seguir, podemos trocar todos os elos de ex-tremos x e y por um único elo, cuja condutância será a soma das condutâncias dos elos que o originaram. Isto é, dado um multigrafo sem la¸cos, podemos associar a ele um grafo satisfazendo

c(x, y) = X

ΨG(e)={x,y} c(e).

Com base nas condutâncias, podemos definir a probabilidade de transi¸cão entre dois vértices vizinhos de G por

p(x, y) = Pc(x, y)

z∼xc(x, z)

,

onde p(x, y) denota a probabilidade de se dar um passo saindo de x e chegando a y. Suponha que estamos em um v´erticex0 ∈G, e escolhamos um v´ertice x1 vizinho ax0 de

maneira aleatória, com probabilidade de transi¸cão proporcional as condutâncias dos elos incidentes ax0. Neste caso, podemos interpretar que damos um passo ao longo do elox0x1.

Agora estando no v´ertice x1, escolhemos um v´ertice x2 vizinho a x1 com probabilidade

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obtido de maneira aleatória. Este processo é chamado passeio aleatório em G, partindo dex0. Dizemos que o vértice xn é on-ésimo vérticevisitadodo passeio aleatório definido

acima. O passeio aleatório que come¸ca em x é dito ser recorrente se a probabilidade do passeio aleatório visitar novamente o vértice x é 1, e é dito sertransientecaso contrário.

Note que se multiplicarmos todas as condutâncias de G por uma mesma constante positiva, não alteramos a probabilidade de transi¸cão entre os vértices e consequentemente não alteramos o passeio aleatório. O passeio aleatório em um grafo G, tal que todos os elos de Gpossuem a mesma condutância é chamado de passeio aleatório simétrico. Exemplo 1.1.1. O passeio aleatório simétrico em Zd é recorrente para d = 1,2 e tran-siente para d ≥ 3. Este é o famoso Teorema de Pòlya, cuja demonstra¸cão para os casos

d = 1,2 ser´a feita ao longo desta se¸c˜ao e a prova para o caso d ≥ 3 pode ser vista em [11].

Seja Gum grafo finito ea 6=z dois de seus v´ertices. Defimos acondutˆancia efetiva de a para z por

C(a↔z) =X

x∼a

c(a, x)P[a→z],

onde P[a → z] denota a probabilidade do passeio aleatório em G, come¸cando em a, visitar o vértice z antes de retornar a a (usaremos esta nota¸cão outras vezes ao longo deste cap´ıtulo). Se a 6∈Z ⊆V(G), definimos também a condutância efetiva de a para Z por

C(a ↔Z) =X

x∼a

c(a, x)P[a→Z],

onde P[a → Z] denota a probabilidade do passeio aleat´orio em G, come¸cando em a, visitar algum v´ertice deZ antes de retornar aa.

Suponha G infinito, e seja {Vn}n∈N uma sequˆencia de subconjuntos conexos e finitos

de V(G) tal que Vn ⊆ Vn+1, V(G) = S_nVn e a∈ V0. Definimos Gn= G[Vn] e GWn como

o multigrafo obtido de G por identificar os vértices emV(G)\Vn a um único vértice zn.

Formalmente GW

n ´e o multigrafo onde

V(GW_n ) = Vn∪ {zn},

E(GW_n ) = E(Gn)∪ {e ∈E(G);

Ψ_G(e)∩V_n= 1} e (1.1)

ΨGW

n (e) =

(

ΨG(e), se e∈E(Gn)

(ΨG(e)∩Vn)∪ {zn}, caso contr´ario.

Temos por defini¸c˜ao que GW

n é um múltigrafo sem la¸cos, e a condutância nos elos de GWn

´e a mesma dos correspondentes elos deG. Definimos a condutˆancia efetivade a para ∞

por

C(a↔ ∞) = lim

n→∞C(a↔zn) =

X

x∼a

c(a, x)· lim

n→∞P[a→zn],

onde C(a ↔zn) e P[a→zn] correspondem ao grafo GWn . Note que

P[a→zn]≥P[a→zn+1],

logo limn→∞P[a → zn] existe e ´e a probabilidade do passeio n˜ao retornar a a. Logo a

condutância efetiva dea para ∞em Gestá bem definida. Veja que um passeio aleatório é transiente em Gse, e somente se,

lim

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ou seja, o passeio aleat´orio ´e transiente se, e somente se,C(a↔ ∞)>0. Isto nos permite enunciar o seguinte lema.

Lema 1.1.2. Um passeio aleatório em um grafo é transiente se, e somente se, a con-dutância efetiva de qualquer um de seus vértices para infinito é positiva.

A seguir definimos as chamadas fun¸cões harmônicas, provaremos alguns fatos elemen-tares sobre estas fun¸cões e depois introduziremos os conceitos de voltagens e correntes em grafos.

Defini¸cão 1.1.3. Uma fun¸cão f :V(G)→R é dita harmônica em x∈V(G), se

f(x) =

X

y∼x

c(x, y)f(y)

X

y∼x

c(x, y) .

Se f é harmônica para todo x∈W ⊆V(G), dizemos então quef é harmônica em W.

Exemplo 1.1.4. Seja G um grafo finito e sejam A e Z dois subconjuntos disjuntos de

V(G). Defina Ax,A,Z para ser o evento em que o passeio aleat´orio come¸cando em x visita

algum vértice em A antes de visitar um vértice de Z. A fun¸cão

F(x) =P(Ax,A,Z)

é harmônica em V(G)\(A∪Z). É claro que F|A= 1 e que F|Z = 0. Note que para todo

x6∈A∪Z temos

F(x) = X

y

P(primeiro passo ´e de x para y)P(Ax,A,Z|primeiro passo ´e de x paray)

= X

x∼y

p(x, y)F(y) =

X

x∼y

c(x, y)F(y)

X

x∼y

c(x, y) .

Lema 1.1.5 (Pr´ıncipio do M´aximo). Seja G um grafo, H um subgrafo conexo de G, e

f : V(G) → R uma fun¸c˜ao harmˆonica em V(H). Se existir x ∈ V(H) de modo que

f(x) = sup_y_∈_V₍_G₎{f(y)}, então f é constante em V(H). Demonstra¸cão. Seja

W ={y∈V(G); f(y) = supf}.

Note que sex∈V(H)∩W teremos que {x} ⊆W pela harmonicidade de f em x. Como H ´e conexo e V(H)∩W 6=∅, temos V(H)⊆W.

Lema 1.1.6 (Pr´ıncipio do Unicidade). Seja G um grafo, W (V(G) com|W| <∞. Se

f, g : V(G) → R são fun¸cões harmônicas em W, tais que f|V(G)\W = g|V(G)\W, então

f =g.

Demonstra¸c˜ao. Tomeh=f−g. Note queh|V(G)\W = 0. Suponhamos por absurdo que h

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Lema 1.1.7(Pr´ıncipio da Existˆencia). SejaGum grafo,W (V(G)ef0 :V(G)\W →R

uma fun¸cão limitada. Então existe f :V(G)→R tal que f|V(G)\W =f0 e f é harmônica

em W.

Demonstra¸cão. Para todo passeio aleatório come¸cando em um vérticex, sejaXo primeiro vértice em V(G)\W visitado por este passeio aleatório, se este é visitado. Defina Y = f0(X) quandoV(G)\W é visitado eY = 0 caso contrário. De maneira similar ao Exemplo

1.1.4 vemos que f(x) = Ex(Y) ´e harmˆonica, onde Ex(Y) corresponde a esperan¸ca da

variável aleatória Y cujo passeio aleatório come¸cou em x.

Defini¸cão 1.1.8. Seja G um grafo finito, A e Z dois subconjuntos disjuntos de V(G). Uma fun¸cão v : V(G)→ R é dita ser uma voltagem entre A e Z se v é harmônica para todox6∈A∪Z. Dada uma voltagemv, definimos a fun¸cão corrente i:V(G)×V(G)→R

entre A e Z com respeito a v por

i(x, y) =c(x, y) v(x)−v(y),

onde consideramos c(x, y) = 0 quando x6∼y.

Em alguns casos consideramos quev|A = 1 ev|Z = 0, e neste caso temos pelo Exemplo

1.1.4 e pelo Pr´ıncipio da Unicidade que v(x) =P(Ax,A,Z) para todo x∈V(G). Note que

i(x, y) =−i(y, x), e se x∼y temos que

i(x, y)>0⇔v(x)> v(y).

Podemos interpretar que a corrente flui através dos elos, seguindo a dire¸cão em que a voltagem diminui. Agora dev ser harmônica, temos que para todo x6∈A∪Z,

X

y;x∼y

i(x, y) =v(x) X

y;x∼y

c(x, y)− X

y;x∼y

c(x, y)v(y) = 0.

Defini¸cão 1.1.9. Seja G um grafo, A e Z dois subconjuntos disjuntos de V(G). Uma fun¸cão θ :{(x, y)∈V(G)2_;_x_{é vizinho de} _y_{} →}_R _{é um fluxo entre} _A _e _Z_{, se}

θ(x, y) =−θ(y, x)

para todos x e y vizinhos e

X

y; x∼y

θ(x, y) = 0

para todo x6∈A∪Z. Se G é infinito, dizemos queθ é um fluxo de A para ∞ se a última igualdade valer para todo x6∈A.

Pela observa¸cão feita para correntes, temos que toda corrente entre A e Z é também um fluxo entre A e Z.

A fim de facilitar a escrita para o estudo de fluxos, vou definir algumas nota¸cões. Seja G um grafo, ee um elo deG de extremos xe y. O elo e possui duas orienta¸cões, uma de xparay e a outra deypara x. Escolha para cada elo edeGuma orienta¸cão e denotemos os extremos deepore− _e_e+ _{de modo que o ele} _e_{esta orientado de}_e

− para e+. Um grafo

(19)

Um fluxo em um grafo Gpode ser pensado como o fluxo de água passando por canos, onde os canos representão os elos de G. Em tal interpreta¸cão dizemos que a água sai do vértice x e chega ao vértice y, vizinho a x, se θ(x, y) > 0, caso contrário dizemos que a água sai dey e chega ax. Deste modo, o fluxoθ define uma orienta¸cão nos elose tais que

θ(e) > 0, dada pelo sentido que o fluxo est´a pecorrendo. Logo fluxos de A para Z em

um grafo G podem ser vistos como fun¸cões não negativas de E(G) para uma orienta¸cão adequada dos elos deG, e de modo que a quantidade de água que “chega” em um vértice x6∈A∪Z seja a mesma quantidade que “sai” dele.

Uma árvoreT enraizada emopossui uma orienta¸cão natural em seus elos. See∈E(T), orientamos este elo no sentido de se afastar da origem, isto é, e− _{é o extremo de} _e _mais

pr´oximo de o enquando e+ _{´e o seu extremo mais distante da ra´ız.}

Seja G um grafo, denotaremos com abuso de nota¸c˜ao, por E1/2(G) todos os elos G

com uma orienta¸c˜ao fixada e denotamos por

E(G) = E1/2(G)∪ {−e; e∈E1/2(G)}.

Temos que E(G) corresponde aos elos de G com as duas orienta¸cões poss´ıveis, enquanto E1/2(G) contém apenas um de cada par e,−e. Quando não especificar se estou

conside-randoe como um elemento de E(G) ou E1/2(G), assuma que e∈E(G).

Seja G um grafo finito. Denotamos por L2 _V_(G) _{o espa¸co de Hilbert das fun¸c˜oes}

reais deV(G) com produto interno dado por

(f, g) = X

x∈V(G)

f(x)g(x).

Denotamos tamb´em por L2

− E(G)

o espa¸co das fun¸cões antisimétricas α em E(G) isto é, α(−e) =−α(e) para todoe∈E(G) com produto interno dado por

(α, β) = 1 2

X

e∈E(G)

α(e)β(e) = X

e∈E1/2(G)

α(e)β(e).

Considere a fun¸c˜ao

d: L2 _V_(G) _{−→ L}2

− E(G)

f 7−→ df :E(G) −→ R

e 7−→ f(e−₎₋_f_(e+_),

e consideremos tamb´em a fun¸c˜ao

d∗ _: _L2

− E(G)

−→ L2 _V_(G)

α 7−→ d∗_α _:_V_(G) _−→ _R

x 7−→ X

e−₌_x

α(e).

O lema abaixo mostrará que d e d∗ _{são adjuntos e será utilizado em várias das provas a}

seguir.

Lema 1.1.10. Para todo f ∈ L2 _V_(G) _{e todo} _α _{∈ L}2

− E(G)

, temos que

(20)

Demonstra¸c˜ao. Basta ver que

(α, df) = X

e∈E1/2(G)

α(e)df(e) = X

e∈E1/2(G)

α(e)f(e−)− X

e∈E1/2(G)

α(e)f(e+)

= X

x∈V(G)

X

e−₌_x

α(e)f(x)

!

= X

x∈V(G)

X

e−₌_x

α(e)

!

f(x)

= X

x∈V(G)

d∗α(x)f(x) = (d∗α, f).

Como quer´ıamos provar.

O lema que provarei a seguir mostra que se temos um fluxo entre A e Z, ent˜ao a “quantidade que sai” de A ´e a mesma que “chega” emZ. Antes disso, definimos a for¸ca

de um fluxo θ entreA e Z por

For¸ca(θ) =X

x∈A

d∗θ(x).

Um fluxo θ ´e dito ser unit´ario se For¸ca(θ) = 1.

Lema 1.1.11 (Conserva¸cão de Fluxo). Seja G um grafo finito, A e Z dois subconjuntos disjuntos de V(G). Se θ é um fluxo entre A e Z, então temos

For¸ca(θ) = −X

x∈Z

d∗θ(x)

.

Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao de fluxo, temos qued∗_{θ(x) = 0 para todo}_x_6∈_A_∪_{Z, e pelo}

Lema 1.1.10, temos

For¸ca(θ) +X

x∈Z

d∗θ(x) = X

x∈A∪Z

d∗θ(x) = X

x∈V(G)

d∗θ(x) = (d∗θ,1) = (θ, d1) = (θ,0) = 0.

Segue ent˜ao o lema.

Agora definiremos a energia de um fluxo a partir de um novo produto interno em

L2

−(E(G)). Veremos depois que a energia da corrente unit´aria est´a associada com a

condutˆancia efetiva entre um v´ertice e ∞.

Defini¸c˜ao 1.1.12. Definimos um novo produto interno em L2

−(E(G)) com respeito as

condutˆancias c de G da seguinte maneira

(α, β)c =

α c, β

= α,β c ,

kαkc =

p

(α, α)c.

Para indicar que estamos com este novo produto interno, denotamos o espa¸co L2

−(E(G))

por L2

−(E(G), c). Definimos tamb´em a energia de α por

ξ(α) = kαk2

c =

X

e∈E1/2(G) α(e)2

c(e) .

(21)

Considere G um grafo finito, a ∈ V(G) e a 6∈ Z ⊆ V(G). Seja v a fun¸cão voltagem harmônica para todox6∈ {a} ∪Z, comv(a)>0 ev(Z) = 0. Utilizando a mesma nota¸cão do Exemplo 1.1.4, vemos que

v(x)

v(a) =P(Ax,a,Z).

O lema a seguir mostrará que a energia da corrente unitária entrea eZ é igual ao valor da condutância efetiva entre a e Z. Na demonstra¸cão do lema abaixo veremos também que podemos sempre escolher o valor dev(a) para que a corrente i seja unitária.

Lema 1.1.13. Seja G um grafo finito, a ∈ V(G) e a 6∈ Z ⊆ V(G). Seja v a fun¸cão voltagem tal que v(a) > 0, v(Z) = 0, e v harmônica para todo x 6∈ {a} ∪Z. Se i é a corrente unitária entre a e Z, temos que

ξ(i) = 1

C(a↔Z).

Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de corrente, temos quei(e) = c(e)dv(e), e pelo Lema 1.1.10 temos

ξ(i) = (i, i)c =

i,i c

= (i, dv) = (d∗i, v) =d∗i(a)v(a) +X

x∈Z

d∗i(x)v(x) = For¸ca(i)v(a).

Usando a mesma nota¸c˜ao do exemplo 1.1.4 temos

P(a→Z) = X

x

p(a, x) 1−P(Ax,a,Z)

=X

x

c(a, x)

X

x∼a

c(a, x)

1− v(x)

v(a)

= 1

v(a)X

x∼a

c(a, x)

X

x

c(a, x) v(a)−v(x)

= 1

v(a)X

x∼a

c(a, x)

X

x

i(a, x) = 1 v(a)X

x∼a

c(a, x)For¸ca(i).

Veja que i´e a corrente unit´aria se, e somente se,

v(a) = 1 P(a→Z)X

x∼a

c(a, x).

Logo supondo icorrente unit´aria temos que

ξ(i) = v(a) = 1 P(a→Z)X

x∼a

c(a, x) = 1

C(a↔Z).

Provando assim o lema.

(22)

de modo que d∗_i ₌ _d∗_{θ. Ser´a conveniente fazer algumas observa¸c˜oes antes de provar o}

teorema.

Definimos para cada e∈E(G) a fun¸c˜aoχe _{∈ L}2

− E(G)

tal que

χe(f) =

    

1, sef =e ∈E1/2(G) −1, sef =−e ∈E1/2(G)

0, sef 6∈ {e,−e}

Veja que

(χe, θ)c =

θ(e) c(e) e

X

e−₌_x

c(e)χe, θ

c

=d∗θ(x).

Logo se i´e uma corrente de A para Z, ent˜ao para todox6∈A∪Z temos que

 

X

e−₌_x

c(e)χe, i

 

c

=d∗i(x) = 0

e se (e1, e2,· · · , en) é um ciclo orientado (isto é,e+i =e−i+1 para todo i, ee+n =e−1) então

n

X

k=1

χek_{, i}

c = n X k=1

i(ek)

c(ek)

=

n

X

k=1

v(e−_k)−v(e+_k)= 0

Teorema 1.1.14 (Pr´ıncipio de Thomson). Seja G um grafo finito e A e Z dois subcon-juntos dissubcon-juntos de V(G). Seja θ um fluxo de A para Z e i uma corrente de A para Z

com d∗_i₌_d∗_θ_{. Ent˜ao}

ξ(θ)> ξ(i),

exceto se θ =i.

Demonstra¸cão. Primeiro estabeleceremos algumas nota¸cões. A fun¸cão P_e−₌_xc(e)χe será

denominada a estrela de x e denotamos por ⋆ _{o subespa¸co de} L2

− E(G), c

gerado por todas as estrelas. E denotamos por ♦o subespa¸co gerado pelasfun¸cões ciclos que são as fun¸cões da forma Pn_k₌₁χek_{, onde (e}

1, e2,· · · , en) forma um ciclo orientado.

Suponha que exista Θ ∈ L2

− E(G), c

tal que θ seja ortogonal a ⋆ _{e a} ♦. Tome

g(e) = Θ(e) c(e).

Por Θ ser ortogonal a ♦, temos, a menos da adi¸cão de uma constante, uma fun¸cão realf dos vértices de G tal que g =df. Por Θ ser ortogonal a ⋆_{é facil ver que} _f _{é harmônica} em todoV(G). Por Gser finito, segue do Princ´ıpio da Unicidade que f é constante, logo g = 0 e por fim Θ = 0. Note portanto que

⋆₊_♦₌_L2₋ _{E(G), c}_.

Veja tamb´em que para toda estrelaP_e−₌_xc(e)χee todo ciclo

Pn

k=1c(e)χek, temos que

X

e−₌_x

c(e)χe,

n

X

k=1

χek

c

(23)

uma vez que esta estrela e este ciclo poderão ou não ter elos em comum, ou terem dois elos em comum que contribuiram para o produto interno acima com 1 e −1. Logo os subespa¸cos⋆ _e _♦_{são ortogonais.}

Pelo que vimos temos que

L2₋ E(G), c=⋆_{⊕ ♦}_.

Pelo que discutimos antes do teorema, temos que a corrente i é ortogonal a ♦, logo pertence a ⋆_{. Se} _θ _{é um fluxo de} _A _para _Z _com _d∗_i ₌ _d∗_{θ, então} _θ ₋_i _{também é um} fluxo que será ortogonal a ⋆_{, logo pertencerá a} _♦_{. Então temos que}

θ=i+ (θ−i)

é a decomposi¸cão ortogonal de θ com respeito a ⋆⊕ ♦. Denotamos por P⋆ a proje¸cão

ortogonal no subespa¸co ⋆_{, e veja que}

i=P⋆(θ),

logo vemos que dado um fluxo θ existe uma corrente i tal que d∗_i ₌ _d∗_{θ. Veja tamb´em}

que

kθk2

c =kik2c +kθ−ik2c.

Comoξ(θ−i)≥0, o resultado segue.

Agora temos ferramentas suficientes para provarmos a Condi¸cão de Nash-Willians que nos dará condi¸cões para que o passeio aleatório em G seja recorrente. Seguirá como corolário o Teorema de Pòlya para d= 1,2.

Lema 1.1.15 (Desigualdade de Nash-Willians). Sejam a e z vértices distintos de um grafo finito. Considere tambémΠ1,Π2,· · · ,Πn cortes entre a e z, 2 a 2 disjuntos. Então

1

C(a ↔z) ≥

n

X

k=1

X

e∈Πk c(e)

−1

.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 1.1.13, basta mostrar que a corrente unit´ariaientreaez tem energia no m´ınimo igual ao lado direito da desigualdade que queremos provar.

Seja Π um corte entre a ez, e seja Z o conjunto dos extremos dos elos de Π que são separados dea por Π, e denotemos porA o conjunto dos vértices que não são separados de a por Π. Veremos os elos de Π com a orienta¸cão de A para Z. Seja H = G[A∪Z]. Veja que iinduz um fluxo unitário iH dea para Z, e segue do Lema 1.1.11 aplicado a H

que

1 =−X

x∈Z

d∗iH =−

X

e−∈Z, e∈E(H)

i(e).

Se ambos extremos de e pertencerem a Z, então e não contribuirá na soma acima, uma vez quei(−e) = −i(e). Logo temos que

X

e∈Π

i(e)≥1,

e pela desigualdade de Cauchy-Schwarz segue que

X

e∈Π

i(e)2

c(e)

X

e∈Π

c(e)≥

X

e∈Π

i(e)

(24)

donde

ξ(i) = X

e∈E1/2(G) i(e)2 c(e) ≥ n X k=1  X

e∈Πk i(e)2 c(e)  ≥ n X k=1  X

e∈Πk c(e)

 

−1

.

Como quer´ıamos provar.

Teorema 1.1.16 (Crit´erio de Nash-Willians). Seja G um grafo infinito. Seja {Πn}n∈N

uma sequˆencia de cortes, dois a dois disjuntos, que separam um v´ertice a∈ V(G) de ∞. Temos que

1

C(a↔ ∞) ≥

X

n

 X

e∈Πk c(e)

 

−1

.

Em particular, se o lado direito da desigualdade acima ´e infinito, teremos que G´e recor-rente.

Demonstra¸c˜ao. Seja {Vn}n∈N uma sequˆencia de subconjuntos conexos e finitos, todos

contendo o v´ertice a, tais que Vn ⊆ Vn+1, SnVn = V(G), e suponha tamb´em que Vn

contenha todos os extremos de Πn. Podemos identificar V(G)\Vn a um ´unico v´ertice

zn, igual fizemos para definir condutˆancias efetivas, obtendo assim uma sequˆencia de

multigrafos finitos GW

n . Vemos que

1

C(a↔ ∞) = limn→∞

1

C(a ↔zn)

,

onde C(a ↔ zn) ´e a condutˆancia efetiva com respeito ao multigrafo GWn . O resultado

seguir´a da Desigualdade de Nash-Willians. A particulariza¸c˜ao segue do Lema 1.1.2.

Corolário 1.1.17 (Pòlya). Um passeio aleatório simétrico em Zd é recorrente para d = 1,2.

Demonstra¸c˜ao. Basta tomar

Πn={e∈E(Zd); d(0, e−) =n−1 e d(0, e+) = n}.

Para d= 1, vemos que|Πn|= 2 para todo n, e como c(e) = 1 para todo elo e, segue

que

1

C(a↔ ∞) ≥

X

n

1 2 =∞.

Para d= 2, pode-se mostrar que|Πn|= 8n−4 para todo n, donde

1

C(a↔ ∞) ≥

X

n

1

8n−4 =∞.

Logo pelo Crit´erio de Nash-Willians temos que Z eZ2 s˜ao recorrentes.

Definimos a energia de um fluxo θ entrea e ∞ em um grafo infinitoG por

ξ(θ) = X

e∈E1/2 θ(e)2

c(e) .

(25)

Teorema 1.1.18. SejaGum grafo infinito. Se existir um fluxo unit´ario emG de energia finita entrea ∈V(G) e ∞, teremos que G ´e transiente.

Demonstra¸c˜ao. Seja {Vn}n∈N uma sequˆencia de subconjuntos conexos e finitos de V(G)

tal queVn ⊆Vn+1, V(G) =S_nVn ea∈V0. Seja GWn ezncomo definido em (1.1). Temos

por defini¸c˜ao que

C(a↔ ∞) = lim

n C(a↔zn).

Denotemos por in a corrente unit´aria de a para zn em GWn , e seja vn as voltagens

corres-pondentes. Comoξ(in) =C(a↔zn)−1, temos que

C(a↔ ∞)>0⇔lim

n ξ(in)<∞.

Observemos que cada elo de GW

n corresponde a um elo de G, possivelmente com um

extremo diferente. Note que seθ é um fluxo unitário emG entrea e∞ de energia finita, então para todon suficientemente grande, temos que θ|E(GW

n ) ´e um fluxo emG

W

n entre os

v´ertices a ezn. Pelo Pr´ıncipio de Thomson temos que

ξ(in)≤ξ(θ|E(GW

n))≤ξ(θ)<∞. Segue o teorema a partir do Lema 1.1.2.

Dado um grafoG, dizemos que um fluxo ´eadaptadoao grafo seθ(e)≤c(e) para todo

e∈ E(G). Agora suponha G um grafo finito e sejam A e Z dois subconjuntos disjuntos deV(G). Então existe um fluxoθ de for¸ca máxima entre todos os fluxos adaptados deA paraZ. Isto é claro, pois os fluxos adaptados deAparaZ formam um conjunto compacto deRE(G). SeGé um grafo infinito, tome{Vn}n∈Numa sequência de subconjuntos conexos

e finitos deV(G) tal que Vn⊆Vn+1 e

S

nVn =V(G). Seja Gn=G[Vn] com condutˆancias

iguais aos correspondentes elos de G. Seja θn o fluxo adaptado de maior for¸ca em Gn.

Temos que θn converge, elo a elo, para um fluxo θ adaptado em G. Segue do Teorema

da Convergência Dominada que θ é um fluxo adaptado de for¸ca máxima em G. Abaixo provarei o Teorema do Fluxo-Máximo Corte-M´ınimo para árvores finitas e depois darei uma versão deste teorema para árvores infinitas.

Defini¸cão 1.1.19. Dada uma árvore T enraizada em o, dizemos que um vértice x6=o é uma folha de T se dx= 1. Denotamos por

L(T) =x∈V(G)\ {o}; dx= 1

o conjunto das folhas de T.

Teorema 1.1.20 (Teorema do Fluxo-Máximo Corte-M´ınimo para Árvores). Seja T uma árvore finita enraizada em o. Então

max{For¸ca(θ); θ ´e um fluxo de o paraL(T) tal que ∀e, 0≤θ(e)≤c(e)}

= min

X

e∈Π

c(e); Π ´e um corte entre o e L(T)

(26)

Demonstra¸c˜ao. Seja θ o fluxo de maior for¸ca, e Π um corte qualquer entre A eZ. Segue do Lema 1.1.11 que

For¸ca(θ) =X

e∈Π

θ(e)≤X

e∈Π

c(e).

Donde

For¸ca(θ)≤min

X

e∈Π

c(e); Π ´e um corte entre o e L(T)

.

Agora mostrarei que existe um corte tal que a igualdade ocorra. Para isto, dizemos que o caminho (o = x0, x1,· · · , xn) ´e um caminho aument´avel se para todo i = 1,· · · , n

tivermos que θ(xi−1, xi)< c(xi−1, xi). Seja A o conjunto de v´erticesx, tais que existe um

caminho aumentável de o parax. Se A∩L(T)6=∅, então existe um caminho aumentável γ = (0 =x0,· · · , xn) com xn∈L(T). Mas neste caso, tome

ǫ= min

e∈E(γ){c(e)−θ(e)},

e veja que o fluxo

θ′(e) =

(

θ(e) +ǫ, se e∈E(γ) θ(e), caso contr´ario

possui for¸ca maior que θ, o que contradiz a maximalidade de θ. Logo devemos ter que L(T) ⊆ A. Seja Π o conjunto de elos conectando um v´ertice de A a um v´ertice de Ac_.

Note que Π separa o de L(T). Por defini¸c˜ao do conjunto A, temos que θ(e) = c(e) para todo e∈Π. Agora note que

For¸ca(θ) = X

e∈Π

c(e).

Completando assim a prova.

Teorema 1.1.21. Seja T uma ´arvore infinita enraizada em o ∈V(G). Temos que

max{For¸ca(θ); θ ´e um fluxo de o para ∞ tal que ∀e, 0≤θ(e)≤c(e)}

= min

X

e∈Π

c(e); Π ´e um corte entre o e ∞

Demonstra¸c˜ao. Sejaθ o fluxo adaptado deopara∞de maior for¸ca emT. Mais uma vez, segue do Lema 1.1.11 que se Π ´e um corte entre o e ∞que

For¸ca(θ) =X

e∈Π

θ(e).

Donde

For¸ca(θ)≤min

X

e∈Π

c(e); Π ´e um corte entre o e∞

.

Considere agora{Vn}n∈Numa sequˆencia de subconjuntos conexos e finitos deV(T) tal

queVn ⊆Vn+1,SnVn=V(T) eo ∈V1. TomeTn =T[Vn]. Denotemos porC(H) o ´ınfimo

da soma de cortes entre o eL(H) em H, e note que C(T) = infnC(Tn). Denote tamb´em

porθno fluxo de maior for¸ca em Tn. Como Tns˜ao ´arvores finitas segue do Teorema 1.1.20

que

(27)

Sejaθ o limite, elo a elo, dos fluxos θn e veja que

For¸ca(θ)≥C(T) = min

X

e∈Π

c(e); Π ´e um corte entre o e ∞

,

demonstrando assim o teorema.

Agora definiremos o número de ramifica¸cão de uma árvore, e depois provaremos um teorema que relaciona este número com passeios aleatórios em árvores.

Defini¸cão 1.1.22. O número de ramifica¸cão de uma árvore T (enraizada em o), br(T), é definido como o

br(T) = sup{λ≥1;existe um fluxo n˜ao nulo θ em T de o a ∞, tal que

∀ e∈T, 0≤θ(e)≤λ−|e|o_,

onde|e|=d(o, e). Pelo Teorema 1.1.21 temos que

br(T) = sup

λ≥1; inf

Π

X

e∈Π

λ−|e| >0

,

onde Π pecorre os cortes separando a ra´ız de ∞.

Exemplo 1.1.23. Seja T a ´arvore regular de grau r enraizada em o. Tome o corte

Πn ={e∈E(T); d(o, e) = n}

e observemos que

|Πn|=r(r−1)n−1.

Se λ > r−1 teremos a partir do Lema 1.1.11 que para todo fluxo θ satisfazendo

0≤θ(e)≤λ−|e|

que

X

o∼x

θ(o, x) = X

e∈Πn

θ(e)≤ X

e∈Πn

λ−n = r r−1

r−1 λ

n

→0.

Logo temos que brT ≥r−1.

Mas se λ < r−1, podemos tomar o fluxo n˜ao nulo de o para ∞ dado por

θ(e) = (r−1)−|e| ≤λ−|e|.

Segue portanto que brT =r−1.

Lema 1.1.24. Seja T uma árvore infinita, e seja wn uma sequência de números positivos

tais que

X

n

wn<∞.

Todo fluxo θ em T satisfazendo

0≤θ(e)≤w|e|c(e), ∀e ∈E1/2(G),

(28)

Demonstra¸c˜ao. Segue do Lema 1.1.11 que

ξ(θ) = X

e∈E1/2(T) θ(e)2

c(e) =

X

n

X

|e|=n

θ(e)[θ(e)r(e)]≤X

n

wn

X

|e|=n

θ(e)≤X

n

wnFor¸ca(θ)<∞.

Pois For¸ca(θ) ´e finita uma vez que o tem grau finito.

SejaT uma ´arvore (enraizada emo), denotamos porRWλ o passeio aleat´orio associado

as condutˆancias c(e) =λ−|e|_{, onde}_|_e_|₌_{d(o, e).}

Teorema 1.1.25 (Lyons ’90). Seja T uma árvore infinita, então λ < br(T) ⇒ RWλ é

transiente e λ > br(T)⇒RWλ ´e recorrente.

Demonstra¸c˜ao. Se λ > br(T), temos que

inf

X

e∈Π

λ−|e|; Π ´e um corte entre o e ∞

= 0,

donde segue do Crit´erio de Nash-Willians que RWλ ´e recorrente.

Se λ < br(T), tome λ′ _∈ _{λ, br(t)} _{e seja} _w

n = (λ/λ′)n. ´E claro que

P

nwn < ∞, e

pela defini¸c˜ao de br(T), temos que existe um fluxo θ satisfazendo

0≤θ(e)≤(λ′)−|e|=wnλ−|e|.

Segue do Lema 1.1.24 que θ tem energia finita e a partir do Teorema 1.1.18 temos que RWλ ´e transiente.

1.2 Ponto Cr´ıtico em ´

Arvores

Na se¸cão anterior construimos todas as ferramentas necessárias para provar a igualdade pc(T) =br(T)−1. A seguir, através do Método do Primeiro Momento, daremos uma prova

simples que pc(T)≥br(T)−1.

Lema 1.2.1. Para toda ´arvore infinita T (enraizada em o),

pc(T)≥

1 brT.

Demonstra¸c˜ao. E claro que para todo corte Π separando´ o de ∞temos que

|Co|=∞ ⊆

[

e∈Π

{e∈Co},

logo para todo p∈[0,1] temos

Pp(|Co|=∞)≤inf

X

e∈Π

Pp(e∈Co); Π ´e corte separando o de∞

.

´

E claro quePp(e∈Co) = p|e|. Pela Defini¸c˜ao 1.1.22 temos que

p−1 > brT ⇒Pp(|Co|=∞) = 0,

(29)

Para a desigualdade contrária, utilizaremos o Método do Segundo Momento. A seguir será constru´ıda uma variável aleatória, que através do seu segundo momento será permi-tido unir toda a teoria desenvolvida na se¸cão anterior para mostrar pc(T) = br(T)−1.

TomeGum grafo e oum v´ertice fixo de G. Seja Π um corte entreo e∞, e denotemos porP(Π) o conjunto de todas as medidas de probabilidade em Π, isto ´e,

P(Π) =

µ: Π→R+;

X

e∈Π

µ(e) = 1

.

Podemons interpretar cadaµ∈ P(Π) como pesos nos elos de Π. Nosso objetivo será fazer uma contagem, com respeito aos pesos, do número de elos de Π conectados ao. Para isto, definimos para cada µ∈ P(Π) a variável aleatória X(µ) definida em {0,1}E(G) _por

X(µ)(ω) =X

e∈Π

µ(e) Pp(e∈Co)

I{e∈Co}(ω),

onde I{e∈Co}(ω) ´e igual a 1 se e∈Co em ω, e 0 caso contr´ario. Note que E(X(µ)) = 1. ´

E claro que

{X(µ)>0} ⊆ [

e∈Π

{e∈Co}={o ↔Π}. (1.2)

Agora note que

{ |Co|=∞}=

\

Π

{o ↔Π},

onde Π varia entre todos os cortes entreo e∞. Também é fácil ver que dados Π1,· · · ,Πn

cortes entre o e∞, existe um corte Π′ _separando Sn

i=1Int(Πi) de ∞, donde podemos ver

que{o ↔Π′_{} ⊆}Tn

i=1{o↔Πi}. Feitas estas observa¸c˜oes, vemos que

Pp(|Co|=∞) =Pp

\

Π

{o↔Π}

= infPp(o ↔Π); Π ´e um corte entreo e∞ .(1.3)

Feitas estas observa¸c˜oes podemos provar o lema a seguir.

Lema 1.2.2.Dada um processo de percola¸c˜ao em um grafoGeΠum corte entreo∈V(G)

e ∞, temos que para todo µ∈ P(Π)

Pp(o ↔Π)≥

1

E X(µ)2,

onde E denota a esperan¸ca.

Demonstra¸c˜ao. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que

1 = E(X(µ))2 =E X(µ)I{X(µ)>0}

2

≤E X(µ)2E I_{2_X₍_µ₎_>₀_}

= E X(µ)2)P X(µ)>0≤E X(µ)2Pp(o ↔Π),

onde a ´ultima desigualdade decorre de (1.2).

Corol´ario 1.2.3. Dada uma percola¸c˜ao em um grafo G, temos

Pp(|Co|=∞)≥inf

(

1

infµ∈P(Π)E(X(µ)2)

; Π ´e corte entre o e ∞

)

(30)

Demonstra¸c˜ao. Segue de (1.3) e do Lema 1.2.2.

Nosso objetivo ser´a escolher µ∈ P(Π) que minimiza E(X(µ)2_{). Definimos a} _energia

deµ para ser

ξ(µ) = E X(µ)2 = X

e1,e2∈Π

µ(e1)µ(e2)

Pp(e1, e2 ∈Co)

Pp(e1 ∈Co)Pp(e2 ∈Co)

.

Agora seja T uma árvore enraizada em o, dizemos que y é um ancestral de x, se y pertencer ao único caminho emT que ligao ax. Denotemos porx∧y o ancestral comum dexey mais distante deo. Sejame, f ∈E(G), denotamos por e≤f se o eloe pertencer ao menor caminho emT contendoo ef. Denotamos também pore(x) para ser o elo mais próximo de o, tendo x como um de seus extremos. Podemos portanto escrever µ(x) ao invés deµ(e(x)).

O lema a seguir mostra que ξ(µ) =ξ(θ) para um fluxo θ adequado.

Lema 1.2.4. Seja T uma ´arvore infinita (enraizada em o), Π um corte entre o e ∞ e

µ∈ P(Π). Seja T′ ₌_Int_(Π)_{, e seja} _θ _{o fluxo em} _T′ _{induzido por} _µ_{∈ P}_(Π)_{, isto ´e,}

θ(e) = X f∈Π; e≤f

µ(f).

Se para todo x ∈ V(T′₎ _tivermos _P

p(x ∈ Co) = C(o ↔ x) em T′, ent˜ao teremos ξ(µ) =

ξ(θ).

Demonstra¸c˜ao. Note que

ξ(µ) = X

e(x),e(y)∈Π

µ(x)µ(y) Pp(x, y ∈Co) Pp(x∈Co)Pp(y ∈Co)

= X

e(x),e(y)∈Π

µ(x)µ(y) Pp(x∧y∈Co)

.

Veja tamb´em que

ξ(θ) = X

e∈E1/2(T′) θ(e)2

c(e) =

X

e∈E1/2(T′) 1 c(e)

X

x,y∈L(T′) e≤e(x),e(y)

µ(x)µ(y)

= X

x,y∈L(T′₎

µ(x)µ(y) X

e≤e(x∧y)

1 c(e).

Basta agora vermos que para todo x∈V(T′_{), temos}

X

e≤e(x)

1 c(e) =

1

C(o↔x).

Seja (o=x0, x1,· · · , xn =x) o ´unico caminho em T′ entre os v´ertices o e x. Seja

V∗ ={x0, x1,· · · , xn} ∪∂v{o}

e considere tamb´em T∗ ₌ _T′_[V∗_{], preservando o valor das condutˆancias nos elos}

(31)

aleat´orio come¸cando em o visitar x antes de retornar a o em T′ _{´e igual a probablilidade}

do mesmo evento trocando-seT′ _por_T∗_{. Como em} _T′ _{temos que}

C(o↔x) = X

y∼o

c(o, y)P[o→x],

basta ent˜ao calcularmosP[o →x]. ´E claro que

C(o ↔x1) =

X

y∼o

c(o, y)P[o →x1] =

X

y∼o

c(o, y)Pc(o, x1)

y∼oc(o, y)

=c(o, x1).

Agora note que P[o → x2] em T∗ ´e igual a probabilidade do passeio aleat´orio dar o

primeiro passo para o v´ertice x1 e o segundo de x1 para x2, donde segue que

C(o ↔x2) =

X

y∼o

c(o, y)P[o →x2] =

X

y∼o

c(o, y)· Pc(o, x1)

y∼oc(o, y)

· c(x1, x2)

c(o, x1) +c(x1, x2)

= c(o, x1)c(x1, x2) c(o, x1) +c(x1, x2)

=

1 c(o, x1)

+ 1

c(x1, x2)

−1

.

Se repetirmos o mesmo processo emT′ _calculando_P_[x

2 →o] chegar´ıamos novamente que

C(x2 ↔o) =

1 c(o, x1)

+ 1

c(x1, x2)

−1

.

Isto nos mostra que podemos construir uma ´arvore T∗

2 eliminando o v´ertice x1 de T∗ e

adicionando um elo entre o e x2 com condutˆancia igual a C(o ↔ x2). Repetimos este

mesmo procedimente paraT∗

2, e por um processo indutivo vemos que

X

e≤e(x)

1 c(e) =

1

C(o ↔x),

como quer´ıamos provar.

Para utilizar o lema anterior, temos um pequeno problema quando x∧y = o, uma vez que Pp(o ∈ Co) = 1 e C(o ↔ o) = ∞. Vamos dizer então que as condutâncias são

adaptadasao processo de percola¸c˜ao se para todo x tivermos 1

Pp(x∈Co)

= 1 + 1

C(o↔x).

Decorrerá da demonstra¸cão do lema anterior que ξ(µ) = 1 + ξ(θ). Nosso objetivo era minimizar a fun¸cão ξ(µ), e reduzimos este problema a minimizar 1 +ξ(θ), onde agora poderemos usar a teoria de fluxos e as condutâncias para nos auxiliar.

Observamos também que na demostra¸cão do lema anterior encontramos uma maneira simples de calcular condutâncias efetivas entre dois vértices em árvores, e notamos também que isto nos mostra que

1 c(e) =

1

C(o↔e+₎ −

1

C(o↔e−₎+ 1−1 =

1 Pp(e+ ∈Co)

− 1

Pp(e− ∈Co)

= 1−p Pp(e+∈Co)

.

O que nos mostra que as condutˆancias dadas por

c(e) = Pp(x∈Co) 1−p =

p|e|

(32)

são adaptadas ao processo de percola¸cão de parâmetro p. E estas condutâncias também correspondem ao passeio aleatório RW1

p. O teorema que provaremos a seguir, relacionará o processo de percola¸cão em árvores com a condutância efetiva entre a ra´ız e ∞.

Teorema 1.2.5(Lyons ’92). Para o processo de percola¸cão de parâmetropem uma árvore infinita T (enraizada em o), com condutâncias adaptadas a este processo de percola¸cão, temos

C(o↔ ∞)

1 +C(o↔ ∞) ≤Pp(|C0|=∞).

Demonstra¸cão. Usaremos o Corolário 1.2.3 para provar este teorema. Para isto tome Π um corte entre o e ∞. Seja µ∈ P(Π) de energia m´ınima e tome θ o fluxo induzido por µ. Segue das condutâncias serem adaptadas ao processo de percola¸cão, do Pr´ıncipio de Thomson e do Lema 1.1.13 que

ξ(µ) = 1 +ξ(θ) = 1 + 1

C(o ↔Π).

Logo

P(o ↔ ∞)≥inf

Π

1 + 1

C(o ↔Π)

−1

=

1 + 1

C(o↔ ∞)

−1

,

como quer´ıamos.

Agora podemos finalmente provar o teorema central deste cap´ıtulo, o

Teorema 1.2.6 (Lyons ’90). Para toda ´arvore infinita T (enraizada em o),

pc(T) =

1 brT.

Demonstra¸c˜ao. Provamos no Lema 1.2.1 que

pc(T)≥

1 brT. Agora seja

p > 1 brT.

Segue do Teorema 1.1.25 que o passeio aleat´orio RW1

p ´e transiente e pelo Lema 1.1.2 temos que C(o↔ ∞)>0. Finalmente o Teorema 1.2.5 nos garante que

Pp[|Co|=∞]>0,

donde

pc(T)≤

1 brT, obtendo assim a igualdade desejada.

Corolário 1.2.7. Seja T é a árvore regular de grau r. Temos que

pc(T) =

1 r−1.

(33)

Cap´ıtulo 2

Percola¸

c˜

ao em Outros Grafos

O estudo do processo de percola¸cão independente de Bernoulli em um grafo G faz sentido apenas quandoGé um grafo infinito, conexo e localmente finito. Em todo cap´ıtulo (salvo men¸cão ao contrário) vamos designar simplesmente por grafo os grafos infinitos, conexos e localmente finitos. Na primeira se¸cão come¸caremos relacionando o processo de percola¸cão em elos com o processo de percola¸cão nos vértices, em seguida mostraremos que todo grafo com constante de Cheeger positiva admite transi¸cão de fase não trivial, e por fim, definirei algumas constantes relacionadas a fronteira dos subconjuntos de vértices de um grafo. Na segunda se¸cão provaremos o Argumento de Peierls, que me permitirá a partir de uma contagem, cotar o ponto cr´ıtico de um grafo, como consequência teremos que grafos planares de crescimento polinomial com dimensão maior que 1 percolam, além de mostrar que grafos satisfazendo certas desigualdades isoperimétricas também percolam. Na última se¸cão será apresentado os grafos de Cayley, daremos algumas conclusões destes grafos em rela¸cão a percola¸cão e terminaremos provando que grafos de Cayley de grupos finitamente apresentáveis com um fim percolam.

2.1 Desigualdades Isoperim´

etricas

Nesta se¸cão definiremos algumas constantes ligadas a fronteira de subconjuntos de um grafo, e relacionaremos estas constantes com o ponto cr´ıtico deste grafo. Mas primeiro iremos provar dois teoremas que relacionam o processo de percola¸cão em elos com o processo de percola¸cão em vértices (para estes dois teoremas ver [8] e [7], respectivamente).

Teorema 2.1.1 (Hammersley, 1961). Seja G um grafo, p ∈ (0,1) e o ∈ V(G). Temos

θvo(p)≤θo(p). Dondepvc(G)≥pc(G).

Demonstra¸cão. Para provar este lema, iremos construir um acoplamento entre a medida de percola¸cão e a medida de percola¸cão nos vértices. Ou seja, dado ξ ∈ {0,1}V(G)_,

construiremosω ∈ {0,1}E(G)_{, de modo que, se}_ξ _{tem distribui¸c˜ao} _Pv

p em G, ent˜ao ω tem

distribui¸cão Pp em G. Além disto, se a componente conexa de o em ξ é infinita, então

tamb´em ´e infinita a componente conexa deo em ω.

Seja{x1, x2,· · · }uma ordena¸c˜ao qualquer dos v´ertices deG, tal quex1 =o. Considere

também{Xe}e∈E(G) variáveis aleatórias independentes de Bernoulli de parâmetro p.

Seja ξ o subgrafo aberto resultante do processo de percola¸cão de parâmetro p nos vértices de G. Se o vértice o é fechado (isto é, ξ(o) = 0), não fazemos nada, senão seja A1 =o,B1 =∅, en1 = 1. Agora suponhamos definidosAk−1eBk−1. Se∂vAk−1\Bk−1 =∅,

onde∂v _{´e a fronteira com respeito ao grafo} _{G, paramos. Caso contr´ario, seja} _n

(34)

´ındice dos v´ertices em∂v_A

k−1\Bk−1. Denotamos porx′ko vizinho de xnk de menor ´ındice em Ak−1 e definimos ω([xk′, xnk]) =ξ(xnk). Se ξ(xnk) = 1 definimosAk=Ak−1∪ {xnk} e Bk =Bk−1, mas seξ(xnk) = 0 tomamos Ak=Ak−1 eBk=Bk−1∪ {xnk}.

Se paramos, ent˜ao existe k tal que ∂v_A

k = Bk, e portanto temos que a componente

conexa deoemξ´e finita e definimosω(e) =Xepara todo elo deGque n˜ao foi definido seu

valor no processo acima. Se o processo nunca terminar, ent˜ao as componentes conexas de o emξ e em ωs˜ao infinitas, e tomamosω(e) =Xe para todos os elos restantes deG. Pela

argumenta¸c˜ao feita, vemos claramente que θv

o(p)≤θo(p), e portantopvc(G)≥pc(G).

Para o próximo teorema precisamos do conceito de domina¸cão estocástica. Seja S um conjunto enumerável, considere também Y ={Ys; s∈ S} e Z ={Zs; s∈S} fam´ılias de

var´ıaveis aleat´orias de Bernoulli. Dizemos que Z ´e dominada estocasticamente por Y se

E f(Y) ≥E f(Z)

para toda fun¸cão mensurável f :{0,1}S _→_R_{, não-decrescente e limitada.}

Teorema 2.1.2 (Grimmett-Stacey, 1998). Seja G um grafo de grau m´aximod, p∈(0,1)

e o ∈V(G) de grau do. Temos que

θ_ov 1−(1−p)d−1≥ 1−(1−p)d0_θ

o(p).

Donde pv

c(G)≤1− 1−pc(G)

d−1

.

Demonstra¸c˜ao. Para provar este lema, iremos construir um acoplamento entre as duas medida de percola¸c˜ao. A partir de ω ∈ {0,1}E(G)_{, construiremos} _ξ _{∈ {}_0,₁_}V(G)_{, de}

modo que, seωtem distribui¸cãoPp emG, entãoξterá uma distribui¸cão estocasticamente

dominada por Pv

q em G, onde q= 1−(1−p)d−1. Al´em disto, se a componente conexa de

o em ω é infinita, então também é infinita a componente conexa deo em ξ.

Seja{x1, x2,· · · }uma ordena¸c˜ao qualquer dos v´ertices deG, tal quex1 =o. Considere

também {Xx}x∈V(G) variáveis aleatórias independentes de Bernoulli de parâmetro q.

Seja ω o subgrafo aberto resultante do processo de percola¸cão de parâmetro p nos elos de G. Se ω(e) = 0 para todo elo incidente em o, paramos. Caso contrário definimos A1 = {o}, B1 = ∅, ξ(o) = 1 e n1 = 1. Observemos que a probabilidade de algum elo

incidente a o estar aberto ´e 1−(1−p)do_.

Suponhamos definidos Ak−1 eBk−1. Se ∂vAk−1 ⊆Bk−1, paramos. Caso contr´ario seja

nko menor ´ındice dos v´ertices em∂vAk−1\Bk−1. Se existir algum v´erticex6∈Ak−1∪Bk−1

tal que ω(xnk, x) = 1, definimos Ak = Ak−1 ∪ {xnk}, Bk = Bk−1 e ξ(xnk) = 1. Caso contr´ario definimos Ak = Ak−1, Bk =Bk−1∪ {xnk} e ξ(xnk) = 0. Observamos que dado Ak−1 eBk−1, a probabilidade condicional de ξ(xnk) = 1 ´e igual a 1−(1−p)

r_≤_{q, onde}_r

´e o grau do v´ertice xnk em G\(Ak−1∪Bk−1).

Se o processo parar em algum momento, definimosξ(x) = Xxpara todos os v´ertices em

que não definimos seu valor. Mas se o processo não terminar, teremos uma componente conexa infinita de o em ξ (note que a componente conexa de o em ω pode ser finita). Definimos também ξ(x) = Xx para todos os vértices em que não definimos seu valor.

Note que a lei que define ξ é dominada estocasticamente pelo processo de percola¸cão nos vértices de G com parâmetro q, condicionada a termos ξ(o) = 1. Logo temos a desigualdade desejada.

Para todo p > pc(G), temos que θo(p) >0, donde segue que θvo 1−(1−p)d−1

> 0. Logo temos que 1−(1−p)d−1 _{> p}v

c(G). Basta ent˜ao tomarmos p → pc(G) e seguir´a a

(35)

Como consequˆencia destes ´ultimos dois teoremas, temos o

Corol´ario 2.1.3. Seja G um grafo de grau m´aximo ∆. Temos que

pc(G)<1⇔pvc(G)<1.

Logo todos os resultados deste texto que dizem que um grafo de grau limitado admite transi¸cão de fase não trivial para o processo de percola¸cão nos elos, também dizem que estes grafos também possuem transi¸cão de fase não trivial para o processo de percola¸cão nos vértices.

Na busca para se determinar condi¸cões gerais para que um grafo apresente transi¸cão de fase não trivial, apareceram constantes que relacionam o tamanho de subconjuntos finitos de vértices com suas fronteiras. A primeira constante neste sentido, estudada neste texto é a chamada constante de Cheeger, que será definida a seguir.

Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja G um grafo. A constante de Cheeger de G ´e denotada porh(G) e definida da seguinte maneira

h(G) = inf

|∂W|

|W| ; W ⊆V(G), W conexo, 0<|W|<∞

.

Tamb´em definimos a constante de Cheeger nos v´ertices de G por

hv(G) = inf

|∂v_W_|

|W| ; W ⊆V(G), W conexo, 0<|W|<∞

.

Exemplo 2.1.5. Seja T uma árvore regular de grau r. Seja ∅ 6= W ⊆ V(G), conexo e finito. É fácil ver que

r|W|=|∂W|+ 2E(G[W]),

e como G[W] também é uma árvore, temos que

|∂W|

|W| =r−

2E(G[W])

|W| =r−

2(|W| −1)

|W| =r−2 +

2

|W|

donde h(T) = r−2. Pelo cap´ıtulo anterior, sabemos que

pc(T) =

1 r−1 =

1 h(T) + 1.

A primeira desigualdade isoperimétrica que nos garantirá que um grafo admite transi¸cão de fase não trivial é apresentada no teorema abaixo.

Teorema 2.1.6. Seja G um grafo. Ent˜ao

pv_c(G)≤ 1

hv_{(G) + 1}

e

pc(G)≤

1 h(G) + 1.

Em particular, hv_(G)_>₀ ₍_h(G)_>₀_{) implica que} _pv

(36)

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão para elos é identica da demonstra¸cão para vértices. Ire-mos provar apenas para vértices.

Sejax∈V(G), e seja {yn}n∈N uma ordena¸c˜ao qualquer deV(G) de modo quey1 =x.

Se x ´e fechado, definimos An = ∅ para todo n. Caso contr´ario tomamos A1 = {x}

e B1 = ∅. Seja n ≥ 2. Se ∂vAn−1 = Bn−1, definimos An = An−1 e Bn = Bn−1. Caso

contrário, escolhaxno vértice de menor ´ındice em∂vAn−1\Bn−1. Sexné aberto, definimos

An =An−1∪ {xn} e Bn =Bn−1, sen˜ao definimos An =An−1 e Bn=Bn−1∪ {xn}.

Seja A = S_nAn. Se A é finito, não vazio, então existe N tal que ∂vAN = BN.

Podemos supor N m´ınimo. Segue que

|BN|=|∂vAN| ≥hv(G)|AN|.

Por defini¸c˜ao temos|AN|+|BN|=N, logo|BN| ≥hv(G)(N −|BN|), donde

|BN| ≥

N hv(G) 1 +hv_(G).

Isto é, de N variáveis aleatória independentes de Bernoulli de parâmetro p, obtivemos pelo menos N hv_{(G)(1 +}_hv_(G))−1 _{zeros. Mas se}

p > 1

hv_{(G) + 1} = 1−

hv_(G)

hv_{(G) + 1}

e pensarmos numa sequência infinita de variáveis aleatórias independentes Xi ∼Ber(p),

temos com probabilidade positiva, que para todo N, as N primeiras vari´aveis possuem menos que N hv_(G)(hv_{(G) + 1)}−1 _{zeros. Para vermos este ´}_{ultimo fato, note que da Lei}

Forte dos Grandes N´umeros temos que existe M tal que

P

Pm i=1Xi

m > 1

hv_{(G) + 1}, para todo m≥M

≥ 1

2, donde temos que

P

N

X

i=1

Xi >

N

hv_{(G) + 1},para todoN ≥1

≥ ≥ P N X i=1

Xi >

N

hv_{(G) + 1}, para todo n ≥M e X1 = 1, X2 = 1,· · · , XM−1 = 1

≥ ≥ P N X i=1

Xi >

N

hv_{(G) + 1}, ∀n≥M| M−1

Y

i=1

Xi = 1

P

M−1

Y

i=1

Xi = 1

≥

≥ 1

2p

M−1 _>_0.

Logo com probabilidade positiva, temos A infinito. Donde temos que G admite transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial se

p > 1 hv_{(G) + 1}.

A particulariza¸c˜ao ´e clara.