Cap´ıtulo
2.3 Grafos de Cayley
Nesta se¸c˜ao estudaremos os grafos de Cayley, mostraremos alguns resultados sobre o processo de percola¸c˜ao nestes grafos que dependem apenas do grupo e n˜ao de seus geradores. Enuciarei uma conjectura presente em [3] e provarei uma vers˜ao mais fraca dela, mostrando que grafos de Cayley de grupos finitamente apresent´aveis com um fim percolam. A seguir definirei os grafos de Cayley.
Seja Γ um grupo infinito e seja S ⊆ Γ tal que: • 1 6∈ S,
• |S| < ∞,
• S gera o grupo Γ e • Se s ∈ S ent˜ao s−1 ∈ S.
Definimos o Grafo de Cayley do grupo Γ com respeito a S como o grafo cujos v´ertices s˜ao os elementos de Γ e dois v´ertices x, y ∈ Γ formam um elo se, e somente se, x−1y ∈ S.
Denotamos este grafo por GC(Γ, S).
Observe que x−1y ∈ S ⇔ y−1x ∈ S, logo os elos de GC(Γ, S) est˜ao bem definidos.
Como 1 6∈ S, temos que GC(Γ, S) n˜ao possui la¸cos. De |S| < ∞, segue que GC(Γ, S) ´e um grafo regular, de grau |S|. E finalmente pelo fato de S gerar Γ, temos que GC(Γ, S) ´e conexo. Tamb´em podemos notar que se x, y ∈ Γ, ent˜ao ϕ(z) = yx−1z ´e um automorfismo em GC(Γ, S) que leva x em y, logo vemos que GC(Γ, S) ´e transitivo.
Defini¸c˜ao 2.3.1. Seja S um conjunto, cujos elementos denominaremos letras. Definimos o grupo livre gerado por S como o conjunto de todas as palavras finitas escritas com as letras s e s−1 onde s ∈ S. A palavra vazia ser´a a identidade do grupo livre e a concatena¸c˜ao
de palavras ser´a a multiplica¸c˜ao. Denotamos o grupo livre gerado por S por hS| ∅i. O grupo definido pela apresenta¸c˜ao hS| Ri ´e o quociente do grupo livre gerado por S pelo subgrupo gerado por R, onde R consiste de palavras finitas, chamadas relatores. Um grupo
Γ ´e dito ser finitamente apresent´avel se Γ = hS| Ri para S e R finitos. E se Γ = hS| Ri,
denotamos GC(Γ, S) simplesmente por GC(Γ).
Exemplo 2.3.2. Seja o grupo Zdusual, e seja e
ia d-upla ordenada com todas coordenadas
nulas exceto a i-´esima que ´e 1. Tome S = {ei; 1 ≤ i ≤ n} ∪ {−ei; 1 ≤ i ≤ n}.
Veja que GC(Zd, S) ´e o grafo Zd definido na Introdu¸c˜ao deste texto. Veja tamb´em que
GC(ha1, a2, · · · , ar| ∅i) ´e a ´arvore regular de grau 2r. Os grafos GC(ha, b, c| abc, acbi) e
GC(ha, b, c| a2, b2, c2, abcabci) s˜ao conhecidos, respectivamente, como a rede triangular e
a rede hexagonal.
A seguir definirei o conceito de quase-isom´etria para grafos e mostrarei que todos os grafos de Cayley, de um mesmo grupo finitamente gerado, s˜ao quase-isom´etricos e depois mostrarei que se vale o Argumento de Peierls para um grafo G de grau limitado, ent˜ao ele vale para todo grafo quase-isom´etrico a G. Este dois teoremas me permitem concluir que a validade do Argumento de Peierls para um grafo de Cayley, de um grupo finitamente gerado, ´e independente da escolha do conjunto S, e depender´a apenas do grupo.
Defini¸c˜ao 2.3.3. Dizemos que dois grafos G1 e G2 s˜ao bijetivamente quase-isom´etricos
com constante m se existir uma bije¸c˜ao ϕ : V (G1) → V (G2) tal que
dG1(x, y)
m ≤ dG2(ϕ(x), ϕ(y)) ≤ mdG1(x, y), ∀x, y ∈ V (G1).
Teorema 2.3.4. Sejam G1 e G2grafos de Cayley de um mesmo grupo infinito, finitamente
gerado. Ent˜ao G1 e G2 s˜ao quase-isom´etricos.
Demonstra¸c˜ao. Suponha Gj = GC(Γ, Sj) para j = 1, 2, e tome a bije¸c˜ao ϕ : Γ → Γ dada
por ϕ(x) = x. Sejam x, y ∈ Γ e como S1 gera Γ temos que
com ai ∈ S1, ∀i. Podemos supor n m´ınimo, isto ´e, podemos supor que dG1(x, y) = n,
uma vez que todo caminho entre x e y em G1 ´e da forma
(x, xa1, xa1a2, · · · , xa1a2· · · an= y).
Segue de S2 gerar Γ que ai = bi,1bi,2· · · bi,mi com bik ∈ S2. Tome m = maxi{mi} e
note que
x−1y = (b1,1b1,2· · · b1,m1)(b2,1b2,2· · · b2,m2) · · · (bn,1bn,2· · · bn,mn),
logo
dG2(ϕ(x), ϕ(y)) = dG2(x, y) ≤ mn = mdG1(x, y).
O resultado segue agora da trocar dos pap´eis de G1 e G2 na demonstra¸c˜ao acima.
Teorema 2.3.5. Seja ϕ uma bije¸c˜ao quase-isom´etrica com constante m entre dois grafos,
G e G′. Suponha tamb´em que os graus dos v´ertices de G e G′ sejam limitados por ∆.
Fixe x ∈ V (G). Existe uma constante r > 0 tal que para todo n ∈ N, o n´umero de cortes de tamanho n em G separando x de ∞ ´e limitado por rn se, e somente se, existir uma
constante r′ tal que o n´umero de cortes em G′ de tamanho n separando x′ = ϕ(x) de ∞
´e menor que (r′)n.
Demonstra¸c˜ao. Seja Cn e Cn′ o conjunto de cortes de tamanho n separando, respectiva-
mente, x de ∞ em G e x′ de ∞ em G′. Considere Kn = {Int(Π); Π ∈ Cn}, Kn′ = {Int(Π); Π ∈ Cn′}. Note que |Kn| = Π corte entre x e ∞ em G; |Π| = n , e temos tamb´em uma igualdade semelhante para K′
n.
Definimos a seguinte fun¸c˜ao:
ψ : Kn −→ Hn = n∆2m [ j=1 Kj′ ψ(κ) 7−→ B(ϕ(κ), m).
Primeiro irei mostrar que de fato ψ(Kn) ⊆ Hn. Tome κ ∈ Kne sejam v, w ∈ κ vizinhos
em G. Como G e G′ s˜ao bijetivamente quase-isom´etricos com constante m, temos que
existe um caminho em G′, de tamanho no m´aximo m, entre ϕ(v) e ϕ(w). Logo segue de
κ ser conexo em G que ψ(κ) ´e conexo em G′. ´E claro que se x ∈ κ, ent˜ao x′ ∈ ψ(κ). Note
agora que para todo v´ertice v′ ∈ ∂vϕ(κ), teremos que v = ϕ−1(v′) dista no m´aximo m de
∂vκ em G. Logo temos que
∂vϕ(κ) ≤ B(∂vκ, m) ≤ ∆m|∂vκ| . De ψ(κ) = B(ϕ(κ), m), temos que
∂vψ(κ) ⊆ B(∂vϕ(κ), m), logo podemos concluir que
donde vemos que ψ(Kn) ⊆ Hn.
Fixe agora χ ∈ Hn e tome τ = ϕ−1(χ). Se χ = ψ(κ) para algum κ ∈ Kn teremos que
κ = ϕ−1 ϕ(κ) ⊆ ϕ−1B ϕ(κ), m= ϕ−1 ψ(κ)= ϕ−1(χ) = τ, e como ϕ ´e uma bije¸c˜ao quase-isom´etrica com constante m teremos tamb´em que
τ = ϕ−1(χ) = ϕ−1 ψ(κ) = ϕ−1B ϕ(κ), m⊆ B(κ, m2).
Vemos portanto que τ \ κ ⊆ B(∂vκ, m2), donde
τ \ κ ≤ B(∂vκ, m2) ≤ ∆m2|∂vκ| ≤ ∆m2|∂κ| = ∆m2n.
Pela minimalidade dos cortes, temos que G \ κ tem apenas componentes conexas infinitas. Feitas estas observa¸c˜oes, vemos que podemos obter κ de τ ao remover um subconjunto S ⊆ τ , com |S| ≤ ∆m2
n e de modo que toda componente conexa de S contenha algum elemento de ∂iτ . Mostrarei a seguir, a partir de uma limita¸c˜ao exponencial para Kn′,
que existe uma limita¸c˜ao exponencial para os poss´ıveis conjuntos S e consequentemente mostrarei assim que Kn ´e limitado por uma fun¸c˜ao exponencial.
Seja S o conjunto dos subconjuntos de τ de tamanho ≤ ∆m2
n com a propriedade que cada componente conexa, deste subconjunto, cont´em um v´ertice de ∂iτ . Denote por
S1, · · · , Sk as componentes conexas de S ∈ S e fixe para cada 1 ≤ j ≤ k um v´ertice rj em
∂iτ ∩ Sj. Seja R = {r1, · · · , rk}. Para obter um poss´ıvel elemento de S, vamos primeiro
escolher um subconjunto R de ∂iτ , e depois escolhemos o tamanho dos Si’s e finalmente
escolhemos os subgrafos Sj de τ de modo que rj ∈ Sj.
Note que ∂iτ ⊆ B(∂iκ, m2), logo
|∂iτ | ≤
B(∂iκ, m2) ≤ ∆m2|∂iκ| ≤ ∆m2|∂κ| ≤ ∆m2n. Podemos ent˜ao escolher um subconjunto R de ∂iτ de no m´aximo 2∆
m2n
maneiras. Esco- lhido R = {r1, · · · , rk}, n´os escolhemos |Si| para cada i de modo que
k X i=1 |Si| ≤ ∆m 2 n.
Este problema ´e equivalente a encontrar quantas solu¸c˜oes inteiras e n˜ao negativas possui a equa¸c˜ao y + k X i=1 xi = ∆m 2 n − k,
onde xi = |Si| − 1 e y ´e uma vari´avel extra para obtermos a igualdade. Tal problema
´e equivalente a um problema bem simples de contar quantas permuta¸c˜oes existem com ∆m2
n − k s´ımbolos 1 e k s´ımbolos +. Logo temos ∆m2
n k
≤ 2∆m2n
maneiras de escolher os tamanhos dos |Si|. Sabendo que ri ∈ Si e uma vez escolhido
o tamanho de Si, segue do Corol´ario 2.2.8 que podemos escolher o conjunto Si de no
m´aximo ∆2(S
i) modos. Unindo tudo que foi feito, vemos que
|S| ≤ 2∆m2n | {z } cota para a escolha de R · 2∆m2n | {z } cota para os tamanhos dos Si · ∆2(|S1|+···+|Sk|) | {z } cota para os conjuntos Si ≤ (4∆2)∆m2n .
Agora temos que ψ−1(χ) = κ ∈ Kn; ψ(κ) = χ ≤ (4∆2)∆ m2n . Vemos tamb´em a partir de
Kn ⊆ [ χ∈Hn ψ−1(χ) que temos |Kn| ≤ |Hn| (4∆2)∆ m2n . Por hip´otese existe r′ tal que |K′
n| ≤ (r′)n, e podemos supor r′ ≥ 2 que implicar´a que
|Hn| = ∆m2n X j=1 Kn′ ≤ ∆m2n X j=1 (r′)j ≤ 2(r′)∆m2n≤ (2r′)∆m2n. Donde Π corte entre x e ∞ em G; |Π| = n = |Kn| ≤ rn para r = (8∆2r′)∆m2 .
Nosso pr´oximo passo ser´a definir o que s˜ao fins de um grafo, depois definiremos um parˆametro para grafos que foi introduzido no artigo de Babson e Benjamini (ver [2]). Defini¸c˜ao 2.3.6. Seja G um grafo. Dizemos que um conjunto infinito V′ ⊆ V (G) ´e
um fim-convergente se para todo W ⊆ V (G) finito, existir uma componente conexa em
G \ W que cont´em todos, exceto por uma quantidade finita, os v´ertices de V′. E dois
fins-convergentes V′ e V′′ s˜ao equivalentes se V′ ∪ V′′ ´e um fim-convergente. As classes
de equivalˆencia por esta rela¸c˜ao s˜ao chamadas de fins de G. Denotamos por G+ a uni˜ao
de V (G) com os fins de G e estende-se de maneira clara a no¸c˜ao de corte entre dois v´ertices de G, para corte entre dois pontos de G+.
Exemplo 2.3.7. ´E f´acil ver que Z possui dois fins, uma vez que se tirarmos de Z um conjunto finito e n˜ao vazio de v´ertices, sobrar˜ao sempre duas componentes conexas infini- tas. J´a os grafos Zd para d ≥ 2 possuem apenas um fim. Basta ver que para todo conjunto
finito W ⊆ Zd, temos um n ∈ N tal que W ⊆ B(o, n) e Zd\ B(o, n) ⊆ Zd\ W . ´E claro
que Zd\ B(o, n) possui uma ´unica componente conexa infinita, logo Zd possui apenas um
fim. Note tamb´em que as ´arvores infinitas com exatamente k raios saindo de o, possuem
k fins.
Defini¸c˜ao 2.3.8. Seja G um grafo e Y ⊆ V (G) ∪ E(G). Tome
C(Y ) = sup
Y1∪Y2=Y
dG(Y1, Y2).
Se C(Y ) ≤ t, dizemos que Y ´e t-fechado. Definimos
CG = sup Π
C(Π),
Note que se Π ´e um corte entre os v´ertices x e y de G, ent˜ao Π ´e um corte entre um deles e um fim. Caso contr´ario existiriam raios partindo de x e de y para um mesmo fim em G \ Π, donde encontrariamos um caminho entre x e y em G \ Π, contradizendo o fato de Π ser corte entre x e y. Vemos ent˜ao que o supremo na defini¸c˜ao de CG basta ser
tomado sobre todos os cortes entre x ∈ G+ e y ∈ G+\ G.
Exemplo 2.3.9. ´E f´acil verificar que CZ2 = 2 e se GH denota a rede hexagonal, temos
CGH = 3. Babson e Benjamini (ver [2]) perguntaram se existiam grupos finitamente
gerados com um fim tais que CG = ∞, onde G denota um dos grafo de Cayley deste
grupo. T´ımar (ver [13]) mostrou que existem tais grupos, como exemplo ele exibiu o grafo Lamplighter, DL(2, 2) (ver defini¸c˜ao em [13] e [14]).
Babson e Benjamini (ver [2]) tamb´em perguntaram se a propriedade “CG < ∞” para
grafos de Cayley dependem apenas do grupo ou tamb´em do conjunto gerador S escolhido. O teorema que provaremos a seguir, implicar´a que CGser finito depende apenas do grupo.
Lema 2.3.10. Seja G um grafo e Π um corte que separa um subgrafo conexo H ⊆ G de
ξ ∈ G+\ G (isto me diz que Π ⊆ ∂H). Se Π n˜ao ´e t-fechado, ent˜ao o corte Πn formado
pelos elos de ∂B(H, n) que separam B(H, n) de ξ n˜ao ´e (t − 2n)-fechado.
Demonstra¸c˜ao. Assumimos t ≥ 2n. Seja A e B uma parti¸c˜ao de Π tal que d(A, B) > t.
Ent˜ao temos
B(A, n) ∩ B(B, n) = ∅.
O conjunto dos v´ertices de B(H, n) que s˜ao extremos de algum elo de Πn est˜ao em
B(A, n) ∪ B(B, n), e possui interse¸c˜ao n˜ao vazia com B(A, n) e com B(B, n). Portanto os conjuntos
An= Πn∩ B(A, n),
Bn= Πn∩ B(B, n)
formam uma parti¸c˜ao de Πn e ´e claro que d(An, Bn) > t − 2n, mostrando assim que Πn
n˜ao ´e (t − 2n)-fechado.
Teorema 2.3.11. Considere G e G′ grafos bijetivamente quase-isom´etricos. Temos que
CG= ∞ ⇔ CG′ = ∞.
Demonstra¸c˜ao. Seja ϕ : V (G) → V (G′) a bije¸c˜ao quase-isom´etrica com constante m entre
G e G′. Para cada k ∈ N, escolha um subgrafo conexo G
k de G cuja fronteira n˜ao seja
k-fechada, e de modo que todo v´ertice de ∂vG
k perten¸ca a um raio que n˜ao intercepta
Gk. A existˆencia dos Gk’s decorre de CG = ∞. Na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.3.5 vimos
que B(ϕ(Gk), m) ´e conexa, implicando que o subconjunto
Πk ⊆ ∂B(ϕ(Gk), m)
de elos que separam B(ϕ(Gk), m) de ∞ ´e um corte. Pelo Lema 2.3.10 temos que Πkn˜ao ´e
(k/m − 2m)-fechado. Fazendo k → ∞, vemos que os Πk’s nos mostram que CG′ = ∞.
Benjamini e Schramm (ver [3]) tamb´em enunciaram em seu artigo a conjectura abaixo. Conjectura 2.3.12. Se G ´e um grafo de Cayley de um grupo infinito, finitamente gerado, que n˜ao ´e extens˜ao finita de Z, ent˜ao pc(G) < 1.
Embora ainda seja uma conjectura, provaremos a seguir um resultado demonstrado por Babson e Benjamini (ver [2]) que diz que todo grafo de Cayley de um grupo finitamente apresent´avel, com um fim percola. Para isto, demonstrarei primeiro um lema que diz que estes grafos possuem CG finito e depois relacionarei este parˆametro com a constante de
contorno, e o teorema seguir´a de resultados anteriores.
Para mostrar o lema, ser´a ´util observamos que existe uma correspondˆencia entre os subconjuntos de E(G) e os elementos de {0, 1}E(G), de modo que A ⊆ E(G) corresponde ao elemento cuja e-´esima coordenada ´e 1 se e ∈ A ou 0 se e 6∈ A. Deste modo podemos fazer a correspondˆencia entre a adi¸c˜ao mod 2 em {0, 1}E(G) com a diferen¸ca sim´etrica entre os subconjuntos de E(G). Dado um conjunto K de ciclos em um grafo G, dizemos que um ciclo γ ⊆ G ´e gerado por K se γ pode ser escrito como uma soma mod 2 de ciclos de K.
Lema 2.3.13. Seja G um grafo e K um conjunto de ciclos tal que K gera todos os ciclos de G. Suponha tamb´em que todo ciclo de K tenha tamanho no m´aximo 2t. Seja Π um corte entre um v´ertice x ∈ V (G) de y ∈ V (G) ∪ {∞}. Sejam Π1 e Π2 n˜ao vazios, tais que
Π1∪ Π2 = Π e Π1∩ Π2 = ∅. Ent˜ao existem xi ∈ Πi com i = 1, 2 tais que d(x1, x2) ≤ t.
Isto nos mostra que CG ≤ t.
Demonstra¸c˜ao. Se existir um ciclo γ em K que intersecta Π1 e Π2, basta ent˜ao tomar
x1 ∈ γ ∩ Π1 e x2 ∈ γ ∩ Π2, e seguir´a de |γ| ≤ 2t que d(x1, x2) ≤ t. Mostraremos abaixo
que tal ciclo existe.
Pela minimalidade do corte Π existem caminhos P1 e P2 entre x e y, tais que P1
n˜ao intersecta Π2, e P2 n˜ao intersecta Π1. Como P1 e P2 s˜ao caminhos entre os mesmos
v´ertices, temos que P1 + P2 corresponde a uma uni˜ao de ciclos de G. Podemos escrever
ent˜ao
P1+ P2 =
X
c∈K′
c
para algum K′ ⊆ K, uma vez que K gera todos os ciclos de G. Tome agora
K1′ = {c ∈ K′; c ∩ Π1 6= ∅}
e
K2′ = K′\ K1′.
Como λ = −λ para todo λ ∈ {0, 1}E(G), pois nossa soma ´e mod 2, vemos que γ = P1+ X c∈K′ 1 c = P2 + X x∈k′ 2 c.
O lado direito da soma acima corresponde a soma de ciclos com um caminho que n˜ao intersectam Π1, logo temos que γ ∩ Π1 = ∅. ´E claro que os ´unicos v´ertices de γ de grau
´ımpar s˜ao x e y, logo ambos tem que pertencer a mesma componente conexa de γ. Isto nos diz que existe um caminho em γ entre x e y e uma vez que γ ∩ Π1 = ∅ e Π um corte
entre x e y temos que existem caminhos em γ entre x e y que intersectam Π2. Como
P1∩ Π2 = ∅, deduzimos que existe um ciclo em K1′ que intersecta Π2. Este ciclo pertence
a K e intersecta ambos Π1 e Π2.
Teorema 2.3.14. Seja G um grafo de Cayley de um grupo Γ, Γ infinito e finitamente apresent´avel. Se G tem um ´unico fim ent˜ao pc(G) < 1.
Demonstra¸c˜ao. Seja t o maior tamanho dentre todos os relatores de Γ, onde o tamanho
de um relator ´e o n´umero de letras que sua palavra minimal possui. Note que todo ciclo em G corresponde a um produto de elementos de Γ resultando na identidade 1 ∈ Γ. Este produto ´e gerado pelos relatores de Γ. Logo temos que todo ciclo de G ´e gerado por K, onde K ´e o conjunto de todos os ciclos de G de tamanho menor ou igual a t.
Como G tem um ´unico fim, segue do Lema 2.3.13 que CG≤
t 2.
Observe agora que para todo ∅ 6= W ⊆ V (G) conexo e finito, temos que dtG(∂W ) ≤ |∂W | + CG|∂W | = |∂W | (1 + CG),
pois dois elos quaisquer de ∂W podem ser unidos utilizando at´e CG elos. Em geral, temos
que RG = inf ( ∂W dt G(∂W ) ; 0 < |W | < ∞ e W conexo ) ≥ 1 1 + CG . Logo temos que
RG≥
2
t + 2 > 0. Segue do corol´ario 2.2.10 que G percola.
Conclus˜ao
Embora seja recente o estudo sobre o processo de percola¸c˜ao em grafos gerais, v´arios resultados j´a foram provados e muitas perguntas levantadas. Talvez a pergunta
dim(G) > 1 ⇒ pc(G) < 1 ?
feita por Benjamini e Schramm em [3] seja atualmente a mais intrigante da ´area. V´arios resultados s˜ao provados seguindo a dire¸c˜ao desta pergunta, mais recentemente se des- taca o trabalho de Augusto Teixeira [12] que mostra a transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial para grafos de crescimento polinomial satisfazendo uma desigualdade isoperim´etrica local (tal desigualdade ´e satisfeita se dim(G) > 1).
Este texto abordou alguns resultados que foram motivados pela pergunta de Benjamini e Schramm, a demonstra¸c˜ao de todos eles seguiu do Argumento de Peierls. Embora o Argumento de Peierls seja de extrema importˆancia, sabe-se que ele n˜ao pode provar a implica¸c˜ao acima. O grafo de Sierpinski ´e um exemplo de grafo em que o Argumento de Peierls n˜ao se aplica, mas este grafo possui dim(G) > 1 e pc(G) < 1.
Embora ainda estejamos longe de garantir que dim(G) > 1 ⇒ pc(G) < 1, ou encon-
trarmos um contra-exemplo para tal implica¸c˜ao, podemos ter certeza que novos desafios surgir˜ao, mas tamb´em belas demonstra¸c˜oes.