Cap´ıtulo
2.2 Argumento de Peierls e Alguns Resultados
O Argumento de Peierls, que ser´a apresentado a seguir, embora possua uma demons- tra¸c˜ao simples, ser´a de extrema importˆancia para provar os teoremas a seguir, uma vez que permite concluir que um grafo admite transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial resolvendo um problema combinat´orio.
Teorema 2.2.1 (Argumento de Peierls). Seja G um grafo. Suponha que exista r > 0 e x ∈ V (G) tais que Π corte entre x e ∞; |Π| = n ≤ rn,
para todo n ∈ N. Ent˜ao pc(G) ≤ 1 −
1 2r.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que Cx, a componente conexa aberta do v´ertice x, seja finita.
Ent˜ao existe um corte Π separando x de ∞ contido na fronteira de Cx, em particular,
temos que Π ´e formado apenas por elos fechados. Feito isto, observe que Pp |Cx| < ∞
= Pp(∃Π corte entre x e ∞ de elos fechados)
= X
n≥1
Pp ∃Π corte entre x e ∞ de elos fechados, |Π| = n
≤ X n≥1 X Π corte entre x e ∞; |Π|=n (1 − p)n≤X n≥1 r (1 − p)n.
Logo se p > 1 − 1 2r, teremos que Pp |Cx| < ∞ < 1, donde θx(p) > 0. Conclu´ımos assim que pc(G) ≤ 1 − 1 2r.
Dizemos que um grafo G tem crescimento polinomial, se existirem a ∈ R+ e n ∈ N,
tais que para todo x ∈ V (G) e todo r ∈ N tenhamos B(x, r) ≤ arn. O primeiro resultado que abordarei decorrente do Argumento de Peierls, diz que todo grafo planar de dimens˜ao maior que 1 e crescimento polinomial percola. Mas antes disso definirei o conceito de dual de um grafo planar.
Defini¸c˜ao 2.2.2. Dada uma representa¸c˜ao planar de um grafo G sem v´ertices de acu- mula¸c˜ao, definimos o multigrafo G∗, dual de G, cujos v´ertices s˜ao as faces de G e para
cada elo e pertencente a um par de faces em G, associamos um elo e∗ ligando as respectivas
faces em G∗.
Note que em geral G∗ n˜ao ´e necess´ariamente localmente finito. O lema abaixo al´em
de garantir a existˆencia de G∗, me permitir´a cotar o n´umero de cortes de tamanho fixo
em G, a partir de uma cota para o n´umero de certos ciclos de G∗.
Lema 2.2.3. Seja G um grafo planar sem v´ertices de acumula¸c˜ao. Ent˜ao G∗ existe e satisfaz:
1. Existe uma bije¸c˜ao entre E(G) e E(G∗). Denotamos tal bije¸c˜ao por ∗.
2. Um corte de G entre x ∈ V (G) e ∞ ´e levado por ∗ em um ciclo de G∗ e um ciclo
de G ´e levado por ∗ em um corte entre algum v´ertice de G e ∞. Demonstra¸c˜ao. Ver [9]
Exemplo 2.2.4. Note que (Z2)∗ = Z2. Sejam G
T e GH respectivamente as redes triangu-
lar e hexagonal, que ser˜ao definidas na pr´oxima se¸c˜ao, temos que G∗
T = GH e G∗H = GT.
Seja Π um corte de G entre x ∈ V (G) e ∞. Neste caso dizemos que o ciclo γ = ∗(Π) em G∗ circunda o v´ertice v ∈ V (G).
Teorema 2.2.5. Seja G um grafo que possui representa¸c˜ao planar sem v´ertice de acu- mula¸c˜ao. Se G tem crescimento polinomial e dim(G) > 1, ent˜ao pc(G) < 1.
Demonstra¸c˜ao. Como G tem crescimento polinomial, temos que existem n´umeros c e d tais que para todo x ∈ V (G) e r ≥ 1, B(x, r) ≤ crd. O fato de dim(G) > 1, implica que existem k, ǫ > 0 tais que para todo W ⊆ V (G) conexo, finito e n˜ao vazio, |∂W | ≥ k|W |ǫ. Pelo lema anterior em conjunto com o Argumento de Peierls, basta mostrar que para algum x ∈ V (G), existe uma constante C tal que
{γ ciclo em G∗; |γ| = n e γ circunda x} ≤ Cn.
Para isto, vamos incialmente cotar o n´umero de caminhos de tamanho n entre dois v´ertices de G∗. Sejam a∗ 6= b∗ ∈ V (G∗), definimos p(a∗, b∗, n) como o n´umero de caminhos em G∗
de tamanho n com v´ertice inicial a∗ e final b∗. Definimos tamb´em
p(n) = max
a∗6=b∗∈V (G∗)p(a
∗, b∗, n).
Mostraremos que p(n) ≤ cn
Fixemos um caminho γ∗ de tamanho 2n com v´ertice inicial a∗ e final b∗. Seja δ∗ um
caminho qualquer de mesmo tamanho e mesmos extremos de γ∗. Cotaremos quantos
poss´ıveis δ∗ existem. Para cada e∗ ∈ γ∗, existem dois v´ertices adjacentes a e em G. Seja
{v1, v2, · · · , v4n} o conjunto de todos estes v´ertices. Denotemos por f∗ o n-´esimo elo de
δ∗ e por w
1, w2 os v´ertices correspondentes ao elo f em G. Como γ∗ ∪ δ∗ ´e um passeio
come¸cando e terminando no mesmo v´ertice, ou f∗ ∈ γ∗, ou f∗ ∈ β∗ ⊆ γ∗ ∪ δ∗, onde
β∗ ´e um ciclo. Suponha que f∗ ∈ β∗. Uma vez que β ´e corte, definimos Q para ser a
componente conexa finita de G \ β e denotemos por w o v´ertice de f pertencente a Q. Note que β∗ 6⊆ δ∗, uma vez que δ∗ ´e um caminho, logo existe v ∈ {v
1, v2, · · · , v4n} ∩ Q.
Agora veja que
|∂Q| = |β| ≤ |γ∗∪ δ∗| ≤ 4n,
o que implica pela condi¸c˜ao da dim(G) > 1 que |Q| ≤ 4n k
1 ǫ
. Como Q ´e conexo, temos dist(v, w) ≤ (4n/k)1/ǫ, donde
w ∈ 4n [ i=1 B vi, 4n k 1 ǫ .
Caso ocorra que f∗ ∈ γ∗ , tome w = w
1. Segue que w = vi para algum i, e que
w ∈ 4n [ i=1 B vi, 4n k 1 ǫ .
Decorre do crescimento polinomial de G, que temos no m´aximo 4nc(4n/k)d/ǫ possi-
bilidades para w. Segue tamb´em do crescimento polinˆomial de G que todo v´ertice de G tem no m´aximo c vizinhos, donde temos no m´aximo 4nc2(4n/k)d/ǫ possibilidades para f ,
o que implica que temos no m´aximo 8nc2(4n/k)d/ǫ possibilidades para o v´ertice do meio
de δ∗. Segue portanto que
p(2n) ≤ 8nc2 4n k
d ǫ
p(n)2.
Seja c1 = max{8c2(4/k)d/ǫ, 1}, c2 = 21+d/ǫ e c3 = 1 + (2/k)1/ǫ. Se existir pelo menos 2
elos entre dois v´ertices distintos de G∗, teremos em G cortes de tamanho 2, cujo tamanho
da componente conexa finita ´e no m´aximo (2/k)1/ǫ, feito isso ´e f´acil ver que p(1) ≤ c 3.
Aplicando a desigualdade
p(2n) ≤ c1n1+
d ǫp(n)2
repetidas vezes, teremos p(21) ≤ c 1c02p(1)2 ≤ c1c02c23 = c2 1−1 1 · c02· c2 1 3 , p(22) ≤ c 1c2p(2)2 ≤ c1c2(c1c23)2 = c2 2−1 1 · c1·2 0 2 · c2 2 3 , p(23) ≤ c 1c22p(2)2 ≤ c1c22(c31c2c43)2 = c2 3−1 1 · c (2·20+1·21) 2 · c2 3 3 , e de modo geral p(2n) ≤ c1cn−12 p(2n−1)2 ≤ c1cn−12 c2 n−1−1 1 c (Pn−3i=0(n−2−i)2i) 2 c2 n−1 3 2 = c21n−1·c( Pn−2 i=0(n−1−i)2i) 2 ·c2 n 3 .
Agora mostraremos por indu¸c˜ao que
n−2
X
i=0
(n − 1 − i)2i ≤ 2n
para todo n ≥ 2. ´E imediato para n = 2, e supondo verdade para n − 1, temos que
n−2 X i=0 (n − 1 − i)2i ≤ n−2 X i=0 2i+ n−3 X i=0 (n − 2 − i)2i ≤ 2n−1+ 2n−1 = 2n.
Logo, para todo n ∈ N,
p(2n) ≤ (c 1c2c3)2
n
.
Segue da mesma argumenta¸c˜ao usada ateriormente, que para todo m ≤ n temos p(n + m) ≤ c1n1+
d
ǫp(n)p(m).
Provaremos agora, usando novamente indu¸c˜ao, que para todo n temos p(n) ≤ cn 0, onde
c0 = c21c22c3. Para n = 1 e demais potˆencias de 2 j´a foi feito. Agora suponha a desigualdade
v´alida para todo i < n, seja m tal que que 2m < n < 2m+1 e tome j = n − 2m. Note que
p(n) = p(2m+ j) ≤ c1(2m)1+ d ǫp(2m)p(j) ≤ c1cm 2 (c1c2c3)2 m (c21c22c3)j ≤ (c21c22c3)2 m+j ≤ cn0.
Agora seja x ∈ V (G) e considere γ um corte de tamanho n que separa x de ∞. Como γ ´e a fronteira da componente conexa de G \ γ que cont´em x, temos que o tamanho desta componente ´e ≤ (n/k)1/ǫ e portando est´a contida na bola B(x, (n/k)1/ǫ). Pelo
crescimento polinomial n˜ao temos mais que c(n/k)d/ǫ poss´ıveis v´ertices pertencentes a
esta componente e portanto n˜ao temos mais que c2(n/k)d/ǫ elos que podem participar
de γ. Para cada um destes elos e, um corte que cont´em e ´e levado por ∗ em um ciclo contendo e∗ e outros n − 1 elos de G∗. Logo o n´umero de poss´ıveis cortes de tamanho n
que separam x de infinito ´e igual a
{γ ciclo em G∗; |γ| = n e γ circunda x} ≤ c2 n k d ǫ p(n − 1) ≤ c2 n k d ǫ cn−10 ≤ Cn
para alguma constante C > 0, como quer´ıamos provar.
Nosso pr´oximo objetivo ser´a provar que grafos com grau limitado, constante de con- torno positiva e que possuam bi-geod´esica infinita admitem transi¸c˜ao de fase n˜ao trivial. Tamb´em mostraremos que grafos com grau limitado, tais que as constantes PG e RG s˜ao
positivas, percolam. Mas primeiro ser´a demonstrado o Teorema de Euler, muito conhecido na teoria de grafos, que nos permitir´a, dado um grafo G, cotar o n´umero de subconjuntos conexos de V(G) contendo um v´ertice dado e de tamanho fixado. Esta cota ser´a utilizada durante a demonstra¸c˜ao dos teoremas mencionados acima.
Lema 2.2.6. Seja G um multigrafo finito tal que cada v´ertice de G tenha grau pelo menos
Demonstra¸c˜ao. Se G cont´em um la¸co ou elo m´ultiplo, temos o resultado. Suponha ent˜ao G um grafo. Fixe v0 ∈ V (G), iremos construir um ciclo como se segue. Escolha v1 vizinho
a v0, e para cada i > 1, escolha um v´ertice vi vizinho a vi−1mas diferente de vi−2. Sempre
´e poss´ıvel a escolha dos vi’s pois G tem grau m´ınimo ≥ 2. Como
V (G) < ∞ temos que existem i 6= j de modo que vi = vj. Seja
n = minj; vj = vi para algum 0 ≤ i ≤ j − 1
e seja m ∈ {0, 1, · · · , n − 1} tal que vm = vn. Note que (vm, vm+1, · · · , vn−1, vn) ´e um
ciclo.
Teorema 2.2.7 (Euler). Seja G um multigrafo conexo e finito. Todo v´ertice de G tem
grau par se, e somente se, existe um circuito em G que cont´em todos os seus elos. Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que todo v´ertice de G tenha grau par. A prova ser´a feita
por indu¸c˜ao no n´umero de elos de G. Se E(G) = 1, e pelo fato dos v´ertices de G terem grau par, devemos ter que G ´e um la¸co, e este la¸co ser´a o circuito procurado.
Agora seja G tal que E(G) > 1. Como G ´e conexo e todos seus v´ertices tem grau par, temos que o grau m´ınimo de G ´e pelo menos 2. Pelo Lema 2.2.6 temos que G cont´em um ciclo γ. Caso γ possua todos os elos de G, o teorema estar´a provado. Caso contr´ario seja H = G \ E(γ). Note que H possui todos seu v´ertices de grau par, e ´e claro que E(H) < E(G) , logo pela hip´otese de indu¸c˜ao temos que cada componente conexa de H (exceto v´ertices isolados) possui um circuito contendo todos os seus elos. Pela conexidade de G, cada componente conexa de H cont´em um v´ertice em γ. Para obter o circuito desejado em G, basta seguir pelos elos de γ at´e encontrar um v´ertice n˜ao isolado de H, pecorrer o circuito na componente conexa de H correspondente ao v´ertice e depois continuar pecorrendo os elos de γ, repentindo este processo at´e retornamos ao v´ertice inicial.
A rec´ıproca ´e ´obvia.
Corol´ario 2.2.8. Seja G um grafo com grau m´aximo ∆ e x um v´ertice fixo de G. Temos que
A ⊆ V (G); |A| = n, x ∈ A e A ´e conexo ≤ ∆2(n−1).
Demonstra¸c˜ao. Seja A ⊆ V (G) conexo, |A| = n e o ∈ A. Escolha T uma ´arvore geradora
de G[A], isto ´e, T ´e um subgrafo de G[A] que ´e uma ´arvore e V (T ) = A. Seja T o multigrafo obtido a partir de T por dobrar cada um de seus elos. ´E claro que todos os v´ertices de T possuem grau par e decorre do Teorema de Euler que existe um circuito em Tcontendo todos os seus elos. Em particular existe um passeio em G come¸cando em x de tamanho 2(n − 1) que cont´em todos os v´ertices de A. Segue do fato do grau m´aximo de G ser ∆ que podemos cotar o n´umero de passeios em G come¸cando em x de tamanho 2(n−1) por ∆2(n−1) uma vez que cada passo pode ser tomado de no m´aximo ∆ maneiras distintas.
Como elementos distintos em A ⊆ V (G); |A| = n, x ∈ A e A ´e conexo correspondem a passeios distintos, o resultado segue.
Teorema 2.2.9. Seja G um grafo de grau m´aximo ∆. Se G tem uma bi-geod´esica infinita e RG> 0, ent˜ao
pc(G) ≤ 1 −
1 2(2e∆2)RG1 .
Demonstra¸c˜ao. Seja γ uma bi-geod´esica infinita de G. Escolha x um v´ertice de γ e seja ρ
e ρ′ os dois raios geod´esicos come¸cando em x tais que γ = ρ ∪ ρ′. ´E claro que todo corte Π
que separa x de ∞ cont´em pelo menos um elo do raio ρ, e seja ex(ρ, Π) o elo pertencente
a ρ ∩ Π mais pr´oximo de x. Definimos rn(x, ρ) =
e ∈ E(ρ); ∃Π corte de tamanho n entre x e ∞ tal que e = ex(ρ, Π)
. Como ρ ´e um raio geod´esico, temos que
rn(x, ρ) ≤ supd(x, ex(ρ, Π)); Π ´e corte de tamanho n entre x e ∞ . Segue de ρ ∪ ρ′ ser uma bigeod´esica infinita com ρ e ρ′ come¸cando em x que
d(x, ex(ρ, Π)) ≤ d(ex(ρ, Π), ex(ρ′, Π))
para todo corte Π entre x e ∞. Em geral, se e e e′ s˜ao dois elos de Π, corte entre x e ∞,
temos que d(e, e′) ≤ dt
G(Π), e por defini¸c˜ao da constante de contorno temos que
dtG(Π) ≤|Π| RG
.
Agora variando Π entre os cortes de tamanho n entre x e ∞, teremos rn(x, ρ) ≤ sup Π d(x, ex(ρ, Π)) ≤ sup Π d(ex(ρ′, Π), ex(ρ, Π)) ≤ sup Π dtG(Π) ≤ n RG ≤ eRGn .
Agora, note que Π corte entre x e ∞; |Π| = n ≤ X e∈rn(x,ρ) Π corte entre x e ∞; |Π| = n, e ∈ Π ≤ rn(x, ρ) sup e∈E(G) Π corte entre x e ∞; |Π| = n, e ∈ Π . Agora cotaremos a cardinalidade de Π corte entre x e ∞; |Π| = n, e ∈ Π . Para isto, definimos um mapa τ que a cada corte Π de tamanho n tal que e ∈ Π associa uma ´arvore τ (Π) que ´e um subgrafo de G tal que Π ⊆ E(τ (Π)) e E(τ (Π)) = dtG(Π). Como supomos RG> 0, temos que para todo corte Π de tamanho n, dtG(Π) ≤ n/RG e portanto
E(τ (Π)) ≤ n/RG. Logo temos no m´aximo n
RG
n
≤ 2RGn
maneiras de escolher o conjunto Π de tamanho n em E(τ (Π)). Veja que Π corte entre x e ∞; |Π| = n, e ∈ Π ≤ X τ ´arvore em G |E(τ )|=n/RG e∈E(τ ) 2RGn .
Segue do corol´ario 2.2.8 e de G ter grau m´aximo ∆ que
Π corte entre x e ∞; |Π| = n, e ∈ Π ≤ 2∆2RGn , ∀e ∈ E(G).
Logo pelo que vimos, temos
Π corte entre x e ∞; |Π| = n ≤ rn onde r = 2e∆2RG1 .
Corol´ario 2.2.10. Todo grafo quase-transitivo G com RG> 0 percola.
Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que todo grafo quase-transitivo possui uma bi-geod´esica
infinita.
Fixe um v´ertice o ∈ V (G), irei mostrar primeiramente que G possui um raio geod´esico come¸cando em o. Seja {o = v0, v1, · · · , vn, · · · } uma ordena¸c˜ao de V (G), e escolha para
cada i um caminho γi entre os v´ertices o e vi de tamanho d(o, vi). Como o tem grau finito,
temos que existe w1 vizinho de o que pertence a infinitos γi’s. Defina
Γ1 = {γi; w1 ∈ V (γi)},
e como |Γ1| = ∞ e w1 tem grau finito, temos que existe w2 vizinho a w1 que pertence
a infinitos caminhos de Γ1. Uma vez definido wj e Γj, e de wj ter grau finito, podemos
escolher um wj+1vizinho a wj tal que wj+1 pertence a infinitos caminhos de Γj. Definimos
ent˜ao
Γj+1 = {γi ∈ Γj; wj+1 ∈ V (γi)},
e veja que Γj = ∞. Pelas escolhas feitas acima, ´e claro que d(0, wj) = j para todo j, donde
ρ = (o, w1, w2, · · · , wn, · · · )
´e um raio geod´esico de G come¸cando em o.
Agora tome ∅ 6= W = {w1, · · · , wn} ⊆ V (G) tal que para todo x ∈ V (G) existe um
automorfismo ϕ de G satisfazendo ϕ(x) ∈ W , o que ´e garantido por G ser quase-transitivo. Seja ρ = (o = x0, x1, x2, · · · , xi, · · · ) um raio geod´esico come¸cando em o. Definimos
para todo 1 ≤ i ≤ n o conjunto
Ai = {x ∈ V (ρ) \ {o}; ∃ϕ ∈ Aut(G), ϕ(x) = wi}.
Como V (ρ) = ∞, temos que |Ai| = ∞ para algum i. Fixemos agora este i e seja Ai = {xi1, xi2, · · · }, onde ij ∈ N e ij < ij+1 para todo j. Note que para todo j, temos um
automorfismo ϕj de G de modo que ϕj(xij) = wi. E mais, se ρj = (x0, x1, · · · , x2ij), temos
que δj = ϕj(ρj) ´e um caminho geod´esico de G centrado em wi, de tamanho 2ij ≥ 2j.
Defina
∂j = B(wi, j) \ B(wi, j − 1),
e seja ∂j
2
o conjunto dos subconjuntos de 2 elementos de ∂j. Iremos construir uma
bigeod´esica infinita de G do seguinte modo: Seja β0 = (y0 = wi).
Agora como ∂1
2
´e finito, temos que existe um par {y−1, y1} ∈ ∂21
que pertence a δj para
infinitos j. Definimos
∆1 = {δj; y−1, y1 ∈ V (δj)},
β1 = (y−1, y0, y1).
Uma vez que |∆1| = ∞ e ∂22
´e finito, temos que existe um par {y−2, y2} ∈ ∂22
de modo que y−2 ∼ y−1 e y2 ∼ y1 que pertence a infinitos caminhos de ∆1. Definimos
∆2 = {δj ∈ ∆1; y−2, y2 ∈ V (δ)},
Definidos ∆i e γi, vemos de |∆i| = ∞ e ∂i+12
ser finito, que temos a existˆencia de um par {y−(i+1), yi+1} ∈ ∂i+12
com y−(i+1) ∼ y−i e yi+1∼ yi que pertence a infinitos caminhos
de ∆i. Definimos assim
∆i+1= {δ ∈ ∆i; y−(i+1), yi+1 ∈ V (δ)},
βi+1= (y−(i+1), y−i, · · · , y−1, y0, y1, · · · , yi, yi+1).
Como βi ´e um caminho geod´esico para todo i, temos que
β =[
i
βi = (· · · , y−2, y−1, y0, y1, y2, · · · )
´e a bigeod´esica infinita procurada.
Teorema 2.2.11. Seja G um grafo de grau m´aximo ∆. Se RG > 0 e PG > 0, temos que
pc(G) < 1 −
1 2(2∆2)RG1 ePG1
.
Demonstra¸c˜ao. Escolhamos um v´ertice x de G. Como G ´e conexo, infinito e de grau
limitado, temos que existe um raio geod´esico ρ come¸cando em x (ver demonstra¸c˜ao do Corol´ario 2.2.10). Seja rn(x, ρ) como definido na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.9. Uma
vez que PG> 0, teremos para todo corte Π de G entre x e ∞, que
|Π| ≥ PGlog diam Int(Π). Ent˜ao rn(x, ρ) ≤ sup n
diam Int(Π); Π ´e corte de tamanho n entre x e ∞o≤ ePGn
Na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.9 vimos que Π corte entre x e ∞; |Π| = n ≤ rn(x, ρ) (2∆2) n RG
Logo temos que
Π corte entre x e ∞; |Π| = n ≤ rn, onde r = ePG1 (2∆2)RG1 . O resultado segue pelo Argumento de Peierls.