Acoplador e linha de lâmina unilateral e bilateral com substrato fotônico

(1)

U

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C

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ACOPLADOR E LINHA DE LÂMINA UNILATERAL E

BILATERAL COM SUBSTRATO FOTÔNICO

M

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O

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(2)

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Acoplador e Linha de Lâmina Unilateral e Bilateral com

Substrato Fotônico

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O

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Natal – RN Julho – 2006

(3)

Acoplador e Linha de Lâmina Unilateral e Bilateral com

Substrato Fotônico

Davi Bibiano Brito

Dissertação de Mestrado aprovada em 6 de julho de 2006 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:

Orientador e presidente: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes...UFRN

Membro externo da banca: Prof. Dr. Paulo Henrique da Fonseca Silva...CEFET-PB

Membro local da banca: Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva...UFRN

(4)

Aos meus pais, Dacio e Roberta; A minha irmã, Taísa

(5)

AGRADECIMENTOS

A Deus por ter me ajudado e dado força durante a realização dessa etapa da

minha vida.

A minha família pelo amor e carinho que sempre me dedicaram.

Aos amigos que me ajudaram ao longo da realização da dissertação.

Ao professor Dr. Humberto César Chaves Fernandes por ter me acolhido no seu

grupo de pesquisa, pela orientação, disponibilidade e paciência em ajudar.

Aos professores da UFRN que de forma direta ou indireta contribuíram para essa

etapa da minha formação acadêmica.

Aos colegas da pós-graduação pelo companheirismo e amizade prestados no

(6)

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo caracterizar e utilizar os parâmetros de

estruturas planares construídas com linhas de lâminas visando a sua utilização em

circuitos, com materiais fotônicos do tipo PBG – Photonic Band Gap como substrato, operando nas faixas de ondas milimétricas e ópticas.

A teoria PBG será aplicada para a obtenção da permissividade relativa para as

polarizações sep dos substratos compostos de material fotônicoPBG.

Os parâmetros considerados na caracterização das estruturas são a constante de

propagação complexa e a impedância característica, de linhas de lâmina unilaterais e

bilaterais, que foram obtidos através da utilização do método da Linha de Transmissão

Transversa – LTT com o auxílio do Método dos Momentos.

Nesse trabalho foi realizado ainda, um estudo do funcionamento do acoplador

com linha de lâmina unilateral assimétrica com substrato fotônico. Esta pesquisa abre

perspectivas para novos trabalhos nesta moderna área.

A análise teórica computacional desse trabalho se mostrou precisa, com

comparações de outros trabalhos, podendo ser empregada em outros dispositivos que

utilizem a linha de lâmina como estrutura básica, e materiais ópticos.

Resultados numérico-computacionais em forma de gráfico em duas e três

dimensões para todas as análises realizadas são apresentados, para as estruturas

propostas que tem como substratos materiais fotônicos.

São apresentadas conclusões e sugestões para a continuidade deste trabalho.

Palavras-chave: Linhas de Lâmina, Photonic Band Gap, Método da Linha de

(7)

ABSTRACT

The aim of this work is to characterize and use the characteristic parameters of

the planar structures constructed with fin lines looking for their applications in devices,

using PBG – Photonic Band Gap photonic materials as substrate, operating in the millimeter and optic wave bands.

The PBG theory will be applied for the relative permittivity attainment for the

PBG photonic substrate s and p polarizations.

The parameters considered in the structures characterization are the complex

propagation constant and the characteristic impedance of unilateral and bilateral fin

lines that were obtained by the use of the TTL – Transverse Transmission Line Method,

together with the Method of the Moments.

The final part of this work comprises studies related to the behavior of the

asymmetric unilateral fin line coupler with photonic substrate. This research opens

perspectives for new works in this modern area.

Numerical results are shown by means of bi-dimensional and three-dimensional

graphics.

Conclusions and suggestions for future works are also presented.

Keywords: Fin Lines, Photonic Band Gap, Transverse Transmission Line

(8)

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO... 13

CAPÍTULO 2 – ESTRUTUTA PBG... ... 17

2.1 INTRODUÇÃO ... 18

2.2 TEORIA... 21

2.2.1 ESTRUTURA PBG BIDIMENSIONAL... 24

2.2.2 CARACTERIZAÇÃO DA BANDA PROIBIDA... 25

2.2.3 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DIELÉTRICA EFETIVA DE UMA ESTRUTURA PBG 2D ... 26

2.3 CONCLUSÕES ... 28

CAPÍTULO 3 – CÁLCULO DA CONSTNTENTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA EM LINHAS DE LÂMINA BILATERAIS SIMÉTRICAS COM SUSBTRATO PBG 2D ... 29

3.2 DETERMINAÇÃO DAS COMPONENTES DE CAMPO ELÉTRICO... ... ...31

3.3 CÁLCULO DAS CONSTANTES DE FASE E ATENUAÇÃO... ... ...40

3.4 RESULTADOS... ... ...42

3.5 CONCLUSÕES... ... ...54

CAPÍTULO 4 – CÁLCULO DA IMPEDÂNCIA CARACETRÍSTICA EM LINHAS DE LÂMINA BILATERAIS SIMÉTRICAS COM SUSBTRATO PBG 2D ... 55

4.2 DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA CARACTERISTICA ... 56

4.3 RESULTADOS ... 59

4.5 CONCLUSÔES ... 64

CAPÍTULO 5 - CÁLCULO DA CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO COMPLEXA EM LINHAS DE LÂMINA UNIILATERAIS ASSIMÉTRICAS COM SUSBTRATO PBG 2D ... 65

5.2 DETERMINAÇÃO DO CAMPO ELETROMANÉTICO ... 66

5.3 CÁLCULO DAS CONSTANTES DE ATENUCAÇÃO E FASE... 73

CAPÍTULO 6 – CÁLCULO DA IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA EM LINHAS DE LÂMINA UNILATERAIS ASSIMÉTRICAS COM SUSBTRATO PBG 2D... 89

6.2 DETERMINAÇÃO DA IMPEDÂNCIA CARACTERÍSTICA... 90

6.4 CONCLUSÃO ... 99

CAPÍTULO 7 –ACOPLADOR COM LINHA DE LÂMINA UNILATERAL ASSIMÉTRICA COM SUBSTRATO PBG 2D... 100

7.2 TEORIA... 102

7.3 OBTENÇÃO DAS COMPONENTES DO CAMPO ELETROMAGNÉTICO ... 103

7.4 CÁLCULO DA CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO... 112

CAPÍTULO 8 - CONCLUSÕES... 123

(9)

SÍMBOLOS UTILIZADOS

n

α Variável espectral na direção x

k

β Variável espectral na direção z

i

γ Constante de propagação na direção y

γ Constante de propagação complexa em z, γ =α + jβ i

k Número de onda da enésima região dielétrica i

ε Permissividade elétrica do material na enésima região ∗

ri

ε Permissividade elétrica relativa do material com perdas na enésima região

0

ε Permissividade no espaço livre

eff

ε Permissividade elétrica efetiva

ω Freqüência angular complexa c Velocidade de luz no vácuo

σ Condutividade

0

μ Permeabilidade no espaço livre

EG Vetor Campo elétrico HG Vetor Campo magnético

Y Matriz admitância

K Matriz característica JG Vetor densidade de corrente

s, p Polarizações das ondas no material fotônico

A Comprimento da fita metálica w Largura da fita metálica

xˆ Vetor direção x yˆ Vetor direção y zˆ Vetor direção z

j Numero imaginário unitário, j = (-1)1/2 f Função de base

F Freqüência

T

EK Vetor campo elétrico tangencial T

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1. Seções transversais de estruturas de linhas de lâmina: (a) unilateral, (b)

bilateral e (c) antipodal...14

Figura 2.1. (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) estrutura fotônica ampliada...18

Figura 2.2. Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional, (b) bidimensional e c) tridimensional...19

Figura 2.3. Cristal finito com simetria hexagonal...20

Figura 2.4. Estrutura PBG...24

Figura 2.5. Cristal PBG bidimensional homogeneizado...27

Figura 3.1. Seção transversal de uma linha de lâmina bilateral simétrica com substrato PBG (a) corte transversal , (b) vista em três dimensões...30

Figura 3.2. Estrutura equivalente para análise de linha de lâmina bilateral simétrica com substrato PBG...30

Figura 3.3. Gráfico de comprovação da atenuação em função da freqüência para uma Linha de Lâmina Bilateral simétrica...45

Figura 3.4. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...46

Figura 3.5. Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...46

Figura 3.6. Constante de atenuação versus a freqüência e a constante dielétrica relativa da região 2 (a) εr2 = 8.7209 (polarização p) εr2 = 10.233 (polarização s), de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a largura entre as lâminas W1 = W2 = 0.15 mm e condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...48

Figura 3.12. Constante dielétrica efetiva versus largura entre as lâminas de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-1...53

Figura 4.1. Impedância característica versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...60

Figura 4.2. Impedância característica versus freqüência e constante dielétrica relativa da região 2 (a) εr2 = 8.7209 (polarização p) εr2 = 10.233 (polarização s), de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a largura entre as lâminas W1 = W2 = 0.20 mm e condutividade σ2 = 1.0(Ω.m)-1 num guia WR-28...61

(11)

Figura 5.1. Linha de lâmina unilateral arbitrária com substrato PBG na região 2 e ar na outras regiões (a) corte transversal , (b) vista em três dimensões...66

Figura 5.2. Gráfico de comprovação da atenuação em função da freqüência para uma linha de lâmina unilateral assimétrica...78

Figura 5.3. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...79

Figura 5.4. Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina

bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...80

Figura 5.5. Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28 com

curvas comparativas do método LTT com o método FDTD...81

Figura 5.6. Constante de atenuação α em função da freqüência e da constante dielétrica relativa da região 2 (a) εr2 = 8.7209 (polarização p) εr2 = 10.233 (polarização s), de

uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a largura entre as lâminas W1 = W2 = 0.15 mm e condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...82

Figura 5.7. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade da região 2 σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-8 num

substrato PBG 2D...83

Figura 5.8. Constante dielétrica efetiva em função da freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-8...84

Figura 5.9. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-3...85

Figura 5.10 Constante dielétrica efetiva em função da freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-3...85

Figura 5.11. Constante de atenuação α em função da largura entre as lâminas de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num

guia WR-1...86

Figura 5.12. Constante dielétrica efetiva em função da largura entre as lâminas de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num

guia WR-1...87

Figura 6.1. Impedância característica versus freqüência de uma linha de lâmina

unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28...95

Figura 6.2. Impedância característica em função da freqüência e da constante dielétrica relativa da região 2 (a) εr2 = 8.7209 (polarização p) εr2 = 10.233 (polarização s), de

uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a largura entre as lâminas W1 = 0.20 mm e condutividade σ2 = 1.0(Ω.m)-1 num guia WR-28...96

Figura 6.3. Impedância característica em função freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-8...97

Figura 7.1 (a) Vista interna superior do acoplador de linha de lâmina; (b) seção transversal de uma linha de lâmina unilateral com fendas acopladas e condutores finos...101

(12)

Figura 7.3. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica, com duas fendas acopladas, para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num

guia WR-28, sendo 7.3a para o modo par e 7.3b para o modo impar...115

Figura 7.4. Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica, com duas fendas acopladas, para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num

guia WR-28, sendo 7.4a para o modo par e 7.4b para o modo impar...117

Figura 7.5. Acoplamento na porta 3 versus freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica, com duas fendas acopladas, para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num

guia WR-28...118

Figura 7.6. Acoplamento em função da freqüência e da permissividade relativa da região 2 de uma linha de lâmina unilateral assimétrica, com duas fendas acopladas, para a condutividade σ2 = 1,0(Ω.m)-1 num guia WR-28, sendo 7.6a para a polarização p e

7.6b para a polarização s...119

guia WR-8...120

Figura 7.8. Acoplamento na porta 3 em função da freqüência de uma linha de lâmina unilateral assimétrica, com duas fendas acopladas, para a condutividade σ2 = 1,0

(Ω.m)-1 num guia WR-3...121

(13)

CAPÍTULO 1

(14)

A demanda crescente por dispositivos de telecomunicações que transmitem

grande quantidade de informação em alta velocidade exige o desenvolvimento de novos

circuitos integrados. Os cristais fotônicos são novos materiais compostos que

possibilitam novos mecanismos de controlar e propagar ondas eletromagnéticas [1].

As linhas de lâmina foram introduzidas como alternativa viável de transmissão

de ondas milimétricas em meados da década de 70. Desde então, significantes avanços

têm ocorrido tanto com as técnicas de trabalho com linhas de lâmina, bem como com a

tecnologia de componentes.

As linhas de lâmina são estruturas que consistem de linhas de condutores com

fendas nas interfaces com substrato dielétrico [2]. Na Fig. 1.1 são apresentadas algumas

configurações de linhas de lâmina utilizadas como linhas de transmissão.

Fig. 1.1 – Seções transversais de estruturas de linhas de lâmina: (a) unilateral, (b) bilateral e (c) antipodal.

O substrato tem papel importante no desempenho da estrutura. Um dos principais

efeitos da presença do substrato é o aumento da banda passante. Outra característica das

linhas de lâmina, é o material que compõe o substrato da linha. Podem ser utilizados

materiais dielétricos com e sem perdas, semicondutores e ferritas [2].

Nesta dissertação o cristal fotônico PBG – Photonic Band Gap – formado por matérias semicondutores, é utilizado como substrato dielétrico para linhas de lâmina

unilaterais, bilaterais e acopladores unilaterais.

As aplicações das linhas de lâmina são inúmeras. Podemos citar algumas, tais

como: acopladores direcionais, atenuadores, misturadores, chaves, filtros, divisores de

(15)

Diversos métodos de análise têm sido relatados na literatura, obtendo-se

resultados aproximados e rigorosos na determinação dos parâmetros de estruturas de

linha de lâmina, dentre estes métodos podem-se citar o Método dos Potenciais Vetoriais

de Hertz, o Método da Linha de Transmissão Equivalente [3], o Método da Equação

Integral [2], o Método de Cohn [2], a Análise no Domínio Espectral [1], o Método da

Linha de Transmissão Equivalente [2] entre outros. Entretanto, os métodos mais

recomendados para o estudo de estruturas em microfita são os de análise rigorosa, pois

estes produzem resultados mais exatos e eficazes quando comparados com os resultados

obtidos através de métodos aproximados.

O método utilizado na análise das estruturas em estudo é o Método da Linha de

Transmissão Transversa – LTT [3-5], que é um método de análise rigorosa no domínio

espectral. Este método consiste em se obter as componentes dos campos elétrico e

magnético em função das componentes transversais

y

E~ e H~_y no domínio da transformada de Fourier – DTF [6]. Com a aplicação das condições de contorno

adequadas a cada estrutura, as componentes dos campos elétrico e magnético são

determinadas.

Serão apresentadas as equações que foram desenvolvidas na teoria da

Homogeneização [9] para substratos compostos de material PBG onde, com estas

expressões, será calculada a permissividade efetiva para as polarizações s e p das ondas

incidentes no dielétrico.

Neste trabalho, serão desenvolvidas as análises teóricas e

numérico-computacionais de estruturas de linhas de lâmina através do Método da Linha de

Transmissão Transversa [3-5]. Este método já foi utilizado em vários outros trabalhos e,

em comparação com outros métodos dinâmicos, também chamados de métodos de

análise com onda completa, mostrou-se como uma ferramenta de alta eficiência,

possibilitando-nos uma simplificação algébrica das equações envolvidas nesse processo.

No capítulo 2 será apresentada a teoria geral sobre os cristais fotônicos PBG,

com a caracterização da banda proibida, o comportamento de ondas eletromagnéticas

nesses cristais e a teoria que possibilita a determinação da permissividade relativa do

material fotônico.

No capítulo 3, é apresentada a análise da constante de atenuação e da constante

dielétrica efetiva para linhas de lâmina bilaterais simétricas com substrato PBG 2D.

(16)

campo são obtidas, usando-se as condições de contorno na interface dielétrica e nas

lâminas, chega-se a uma equação matricial não homogênea. Aplica-se então o Método

de Galerkin, caso particular do Método dos Momentos [26], cujo resultado é uma

equação matricial homogênea. A solução não trivial gera a equação característica que

possui como raízes, as constantes de atenuação e fase. Resultados

numérico-computacionais são apresentados para a constante dielétrica efetiva e para a constante

de atenuação.

No capítulo 4, é apresentada a análise da impedância característica de linhas de

lâmina bilaterais simétricas com substrato PBG 2D para o modo dominante. Para isto

são utilizados os conceitos de potência e tensão na fenda. Com a constante de

propagação determinada no capítulo 3, os campos elétricos e magnéticos são utilizados

na determinação da impedância característica, cujos resultados teórico-computacionais

são apresentados.

No capítulo 5, é feito o estudo de linha de lâmina unilateral assimétrica com

substrato PBG 2D com a determinação da constante de atenuação e constante dielétrica

efetiva para o modo dominante. Esta análise assemelha-se ao caso bilateral

desenvolvido no capítulo 3, porém com uma maior complexidade algébrica decorrente

da assimetria da estrutura. Também são apresentados resultados numéricos para as

constantes de atenuação e constante dielétrica efetiva.

No capitulo 6, é analisada a impedância característica de linhas de lâmina

unilaterais assimétricas com substrato PBG 2D. Aqui também são utilizados os

conceitos de potência e voltagem nas fendas. Novamente, a constante de propagação

calculada no capítulo 5 é utilizada no cálculo da impedância característica através da

determinação dos campos. Os resultados numéricos da impedância característica são

apresentados no final do capítulo.

No capítulo 7, é apresentada a aplicação da linha de lâmina que é o acoplador

com linha de lâmina unilateral assimétrica com substrato fotônico. Esta análise é similar

à apresentada para as linhas de lâmina unilateral desenvolvidas no capítulo 5, com a

diferença de que neste caso serão duas fendas acopladas. Os resultados obtidos para essa

aplicação e a conclusão do estudo, também estão presentes.

No capítulo 8, são apresentadas as conclusões a que se chegou e as sugestões

(17)

CAPÍTULO 2

(18)

2.1 Introdução

Muitos animais apresentam microestruturas complexas, e algumas dessas

estruturas são fotônicas, como por exemplo o azul brilhante de algumas borboletas de

regiões tropicais, que é o resultado da luz refratada de arranjos periódicos compostos de

buracos encontrados nas asas das borboletas. Esse brilho colorido que se assemelha ao

das pedras preciosas acontece devido a uma suave banda fotônica proibida ou PBG, já

que a luz ainda se propaga em algumas direções. Esse PBG natural é causado pela

junção de esferas de sílica espalhadas por uma extensão de uma fração de milímetro nas

asas das borboletas. Inicialmente essa característica foi chamada de “super opal” ou

super opala [7], a Fig. 2.1 mostra esta estrutura PBG natural em uma borboleta azul.

Fonte: www.sciencebase.com/mar03_iss.html

Fig.2.1 – (a) Borboleta com estrutura fotônica nas asas, (b) estrutura fotônica ampliada.

O PBG é uma estrutura dielétrica periódica que pode exibir uma banda proibida

de freqüências (band gap) na sua relação de dispersão eletromagnética w versus k, na

qual o sinal será bloqueado. Inúmeros estudos relacionados a cristais fotônicos foram

desenvolvidos durante as décadas de 1970 e 1980 até que a primeira realização de uma

band gap em uma estrutura tridimensional de um cristal fotônico foi feita em 1989 [8].

O avanço de novas tecnologias em fotônica está intimamente ligado ao

desenvolvimento e aprimoramento de materiais ópticos que permitem novos caminhos

(19)

como uma nova classe de materiais que são caracterizados por uma modulação

periódica espacial do índice de refração.

Esses materiais se assemelham à estrutura periódica dos semicondutores

comuns, por apresentarem uma lacuna na estrutura energética para a passagem de fótons

(em vez de elétrons no caso dos semicondutores). Este gap fotônico vem aproximadamente de um arranjo periódico de cilindros imersos no ar, com diâmetros e

espaçamento entre os cilindros de menos que um comprimento de onda [10-13], a Fig.

2.2 mostra estruturas PBG e suas respectivas representações circulares.

Fig. 2.2 – Estruturas PBG, representações reais e recíprocas: (a) unidimensional, (b) bidimensional e c) tridimensional.

Quanto às dimensões da periodicidade nos cristais, podemos classificar as

estruturas PBG em unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. As estruturas

com periodicidade unidimensional proporcionam gaps em uma determinada direção de propagação do sinal eletromagnético. Nas estruturas com periodicidade bidimensional, a

onda eletromagnética incidente será refletida em qualquer direção do plano E

bidimensional. Já na estrutura com periodicidade tridimensional, a onda eletromagnética

cuja freqüência estiver dentro da banda proibida é bloqueada em qualquer ângulo de

incidência.

Sistemas periódicos com cilindros que se intercalam ao material dielétrico

podem, em determinadas freqüências, provocar a retenção do sinal eletromagnético na

(20)

estrutura, caracterizando assim a Banda Proibida [10]. A estrutura PBG utilizada neste

estudo é de periodicidade bidimensional, ou seja, o material dielétrico é intercalado por

cilindros que se distribuem na estrutura segundo os eixos x e y. A largura do band gap depende de fatores como nível de desordem do sistema, fator de preenchimento e

relação entre as constantes dielétricas entre os dois meios.

Para ondas eletromagnéticas que se propagam no plano xy, as ondas apresentam

campo E paralelo ao eixo z possuem polarizações se as que tem campo E perpendicular

ao eixo z a polarizações p.

O cristal descrito na Fig. 2.3 é iluminado por vários ângulos de polarização δ₀ e por uma onda plana incidente à normal 0

0 =90

θ . O caso da polarização s é definido

pelos parâmetros 0

0 = 90

θ e 0 0 = 90

δ . Da mesma forma, para a polarização p

0 0 =90

θ e 0 0 =0

δ . Isto corresponde ao caso no qual a única componente não zero do

campo elétrico para a polarização sé E~_z e do campo magnético para a polarização p é

z

H~ [9].

Fig. 2.3. Cristal finito com simetria hexagonal.

Como os cristais fotônicos não são encontrados na natureza, estruturas PBG

podem ser obtidas a partir da construção de uma estrutura com padrões repetitivos, ou

seja, uma estrutura que é repetida continuamente em intervalos regulares. Esta estrutura

é construída de um material dielétrico, um tipo de material que é ou isolante, ou capaz

de manter uma determinada carga elétrica ao longo tempo com um mínimo de perda.

(21)

pelo substrato dielétrico em uma faixa específica de freqüências previamente

determinada, em outras palavras é formada uma banda proibida.

Os materiais e estruturas PBG’s são aplicados a vários dispositivos não só na

faixa óptica, mas também na faixa de microondas e ondas milimétricas onde estes

também são denominados EBG’s – Electromagnetic Band Gap, dentre estas aplicações podem ser citados filtros, antenas, acopladores, amplificadores entre outros. Algumas

das características que tornam esses cristais de grande valia para aplicações em

microondas, ondas milimétricas e ópticas, são o controle e mesmo a total supressão de

emissões espontâneas de fótons e elétrons de ondas de superfície. Dentre as várias

aplicações de cristais PBG em estruturas planares da literatura podemos citar:

Inibição da emissão espontânea – A supressão de certos modos eletromagnéticos faz

com que não haja modos disponíveis para a emissão de fótons, não ocorrendo portanto

emissão radioativa o que reduz drasticamente a corrente de limiar e portanto o ruído em

lasers semicondutores.

Guias de onda ópticos – Em circuitos integrados ópticos a fabricação de guias de

ondas de baixas perdas e com grandes curvaturas. Cristais PBG com baixas perdas agem

como espelhos perfeitos para faixas de freqüências proibidas.

Filtros – Baseado no princípio PBG pode-se projetar uma estrutura na qual, os sinais de

determinadas freqüências são impedidos de se propagar. Combinando-se vários destes

dispositivos, como em filtros passa faixa, rejeita faixa, passa alta ou passa baixa.

Substratos de antenas planares – Em antenas planares, o sinal é irradiado para o ar

mas também através do substrato. Substratos em material PBG podem ser usados para

otimizar a irradiação pelo ar, reduzindo assim a ocorrência de ondas superficiais e a

conseqüente difração de borda responsável pela degradação do diagrama de

irradiação[14] .

2.2 Teoria

Partindo do princípio que tanto fótons quanto elétrons se comportam como

(22)

semicondutores cristalinos como o silício, ondas de elétrons com certa energia ou

freqüência, espalham o arranjo regular de átomos e interferindo uns ao outros até que

eles se cancelem. Isso resulta numa faixa característica de energia proibida para os

elétrons chamada de banda proibida.

Bandas eletrônicas proibidas podem ser alteradas adicionando-se “defeitos” ao

cristal, tais como a adição de um átomo diferente. Desta maneira é possível manipular a

maneira como e para onde os elétrons se movem. De forma análoga essa teoria pode ser

aplicada aos cristais fotônicos, porém, neste caso fótons em vez de elétrons serão

manipulados.

As propriedades ópticas de materiais semicondutores, utilizados na fabricação de

cristais PBG, podem ser analisadas partindo das equações de Maxwell [10] para os

campos elétricos E e magnéticos H, assim como para suas respectivas induções

correspondentes D = εE e B = μH, temos que:

1

0 B E

c t

∂

∇× + =

∂

G G

(2.1)

1 D 4

H J

c t c

π

∂

∇× − =

∂

G

G G

(2.2)

4

D πρ

∇ ⋅ = (2.3)

0

B

∇ ⋅ = (2.4)

Para o desenvolvimento das equações é conveniente introduzir potenciais na

forma de um escalar φ e de um vetor A, assim:

1 A

E

c t φ

∂

= − − ∇

∂

G G

(2.5)

BG = ∇×AG (2.6)

Dessa forma pode-se ir ao encontro da primeira e da última equações de

Maxwell. Podemos ainda substituir estes potenciais por outros,

'

(23)

1

' x

c t φ φ= − ∂

∂ (2.8)

sem que os campos físicos E e B sejam alterados. Para muitos casos a chamada medida

de Lorentz é conveniente, neste caso temos,

1

' 0

A c t

φ

∂

∇ ⋅ + =

∂ (2.9)

As equações de Maxwell podem ser reescritas da seguinte forma:

2 2

1 A 4

A J

c t c

π

∂

∇ − =

∂

G

(2.10)

2 2

1

4 c t

φ

φ ∂ πρ

∇ − = −

∂ (2.11)

Quando J=0 assume-se que ∇ ⋅A'=0, 'φ =0, assim é obtida a seguinte solução,

( )

, 0

{

exp

(

)

. .

}

A r t =A ⎡_⎣i kr−ωt ⎤_⎦+c c (2.12)

com os campos definidos como,

(

)

0

(

)

2 / sen

-EG = − ω x A kr ωt (2.13)

(

)

0

2 sen

BG = − ×k A kr−ωt (2.14)

O vetor de Poynting (fluxo de potência) é

(

)

2

2 2 0

1 _ˆ

sen 4

c ck

S E H k A kr ωt

π ⎡ ⎤ π εμ

= _⎣ × _⎦= −

G G G

(2.15)

(24)

2 2 0 2

ˆ 2 c

S k A

c εω π μ εμ

= (2.16)

Como c=1/ εμ é a velocidade da luz, e k =ω εμ é o vetor de onda da luz. A densidade de energia é,

2 2 0 2

2 S

W A

c c

εμ εω

π μ

≡ = (2.17)

Isto pode ser expresso em termos de N_ω, fótons em um volume V de acordo com

a seguinte relação:

N W

V

ω ω

≡ = (2.18)

Deste modo, a relação entre a amplitude da onda e a densidade dos fótons é dada

por:

2 2

0

2 c N

A

V ω π μ

εω

= = (2.19)

2.2.1 Estrutura PBG Bidimensional

As estruturas PBG 2D são dielétricos perfurados periodicamente, de forma tal

que seja possível confinar o sinal previamente projetado de acordo com a periodicidade

dos orifícios. A geometria desses cristais fotônicos é mostrada na Fig. 2.4.

(25)

Um dos processos de fabricação do PBG 2D consiste em se criar uma matriz de

cristais fotônicos artificiais que podem ser construídos com precisão de escala

nanométrica a partir de um bombardeamento com raios-X. Inicialmente é preparada

uma máscara de ouro com perfurações e espaçamentos entre as essas, de forma que as

dimensões desta estrutura sejam determinadas para a fabricação de um cristal PBG em

uma faixa de freqüência específica, assim por baixo desta estrutura é colocado um

material polímero que servira de base para a construção.

O processo de fabricação consiste em aplicar raios-X que irão passar através de

uma máscara de ouro com uma série de buracos, removendo porções do polímero

colado por baixo da máscara. A seguir, deposita-se vidro para preencher os buracos da

máscara de ouro até o interior do polímero perfurado e o restante deste é destruído com

calor. Deposita-se então o material semicondutor nas regiões vazias do vidro.

Finalmente, o vidro é removido com a utilização de produtos químicos apropriados,

deixando como resultado uma rede de cristais semicondutores puros.

A teoria de propagação em PBG’s é baseada no principio da localização, ou seja,

o sinal óptico ao ser introduzido no dielétrico é retido no mesmo, não se propagando.

Este fenômeno ocorre quando a periodicidade da estrutura, distância entre os elementos

dos cilindros de ar, for equivalente ao comprimento da onda eletromagnética em

questão [13].

A banda proibida da estrutura é determinada pela constante de rede, que é a

relação entre o raio dos orifícios e a distância entre os mesmos. Sistemas periódicos

dotados de cilindros intercalados ao material dielétrico, em determinadas freqüências,

podem provocar a retenção do sinal eletromagnético na estrutura. Assim é determinada

a banda fotônica proibida [9].

2.2.2 Caracterização da Banda Proibida

A estrutura PBG abordada nesta dissertação é dotada de uma periodicidade

bidimensional. A largura da banda proibida depende de fatores como nível de desordem

do sistema, fator de preenchimento, relação entre as constantes dielétricas dos meios

envolvidos no sistema e periodicidade do sistema.

Para ondas eletromagnéticas se propagando no plano x,y , as ondas polarizadas p

(26)

por duas equações de onda desacopladas. A equação para a onda com polarização p é

[9]:

0

2

=

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ ∇

∇

H

c

H

ω

ε

(2.20)

onde H = Hz; ε = εr é a constante dielétrica, ω é a freqüência, e c é a velocidade da luz

no vácuo. Já a equação para a polarização s é:

0

2

+

=

∇

E

c

E

ω

ε

_(2.21)

onde E = Ez. Deve-se salientar que a constante dielétrica em estruturas periódicas é

agora dependente da posição r no material. As estruturas PBG são analisadas a partir da

constante dielétrica e do fator de preenchimento, fator este que é dado por:

2

3

2 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

a

r

f

π

_(2.22)

onde r é o raio do cilindro de ar intercalando o dielétrico e a é a constante de rede.

2.2.3 Determinação da Constante Dielétrica Efetiva de uma Estrutura PBG 2D

Um dos problemas que surgem quando lidamos com materiais fotônicos é a

determinação da constante dielétrica efetiva, já que estes cristais são estruturas não

homogêneas e que submetem o sinal incidente ao processo de espalhamento múltiplo.

Uma solução para este impasse pode ser obtida através de um processo numérico

chamado de homogeneização [9].

Este princípio se norteia na teoria relacionada à difração de uma onda

eletromagnética plana incidente, imposta pela presença de cilindros de ar imersos em

um material homogêneo [9].

É escolhido neste caso um sistema cartesiano de eixos (O, x,y,z). Consideremos

(27)

plano xy. Seja uma onda plana monocromática de vetor de onda k0 [k0= ⎟k0⎟=2π/λ

dependente do tempo por ejωt] que ilumina o cilindro.

A partir desta consideração pode-se elaborar um modelo capaz de determinar a

constante dielétrica equivalente de um sistema não homogêneo. Por este processo a

estrutura bidimensional é fatiada em camadas cuja espessura é igual ao diâmetro do

cilindro, sendo realizado o processo de homogeneização em cada uma destas fatias.

Neste processo, os cilindros de permissividade ε1 imersos em um meio com

permissividade ε2 são substituídos por camadas cuja permissividade é igual a εq e que se

intercalam com camadas de permissividade ε2 formando assim uma estrutura

unidimensional. O procedimento consiste em dividir a estrutura em uma superposição

de camadas homogeneizadas, Fig. 2.5.

Fig. 2.5 – Cristal PBG bidimensional homogeneizado.

De acordo com a teoria da homogeneização a permissividade relativa depende da

polarização [9], e os valores das permissividades equivalentes para cada polarização são

Para a polarização s:

(

1 2

)

2

eq

ε =β ε ε− +ε (2.23)

Para a polarização p:

( )

_⎭⎬⎫ ⎩

⎨ ⎧

β + β − β +

β −

ε =

ε 10/3 14/3 2

1 1

eq A A O

3 1

1 1

(2.24)

(28)

1 2 1

1 2

2 / 1/

1/ 1/

A ε ε

ε ε

+ =

− (2.25)

(

1 2

)

2

1 2

1/ 1/

4 / 3 1/

A α ε ε

ε ε

− =

+ (2.26)

onde é a relação da área dos cilindros sobre a da célula, ε1 e ε2 são as permissividades

mo meio 1 e no meio 2 respectivamente, α é uma constante igual a 0,523 e O representa o a origem do sistema considerado.

2.3 Conclusões

Neste capítulo foram analisadas estruturas com periodicidade bidimensional, nas

quais orifícios são perfurados em substratos semicondutores formando assim estruturas

periódicas compostas de material semicondutor e ar, desta forma proporcionando o

contraste necessário na constante dielétrica para caracterizar um material PBG.

As características físicas do material foram descritas assim como as teorias

necessárias para determinação das características dielétricas do material, o que tornara

possível a sua utilização como substrato nas estruturas propostas nos capítulos

(29)

CAPÍTULO 3

CÁLCULO DA CONSTANTE DE PROPAGAÇÃO

COMPLEXA EM LINHAS DE LÂMINA

BILATERAIS SIMÉTRICAS COM SUBSTRATO

(30)

3.1 Introdução

Este capítulo apresenta as fundamentações teóricas para o cálculo das constantes

de fase, constante atenuação e constante dielétrica efetiva, os quais serão utilizados na

determinação dos resultados numérico-computacionais obtidos para as diversas regiões

de linhas de lâmina bilaterais com substrato PBG. A Fig.3.1 mostra a seção transversal

desta estrutura planar, que consiste de duas fitas condutoras nos dois lados de um

substrato dielétrico adaptado no plano-E de um guia de ondas.

Fig. 3.1 – Seção transversal de uma linha de lâmina bilateral simétrica com substrato PBG (a) corte transversal , (b) vista em três dimensões.

A estrutura da Fig. 3.2 será analisada, na qual pode ser observado que existem 2

regiões dielétricas que serão estudadas devido a sua simetria e para facilitar os cálculos

matemáticos.

Fig. 3.2 – Estrutura equivalente para análise de linha de lâmina bilateral simétrica com substrato PBG.

(31)

A Partir das equações de Maxwell, os campos eletromagnéticos Ex, Ez, Hx e Hz,

são escritos em função das componentes Ey e Hy no Domínio da Transformada de

Fourier (FTD). Tais campos são delimitados em cada uma das regiões dielétricas da Fig.

3.2. Aplicando as condições de contorno e adotando uma solução geral da equação de

onda, são obtidas as constantes envolvidas nesta solução calculando os campos em

função do campo elétrico da fenda na direção y, as quais são tomadas como as soluções

das equações de Helmoltz, e a equação matricial não homogênea, envolvendo as

densidades de corrente elétrica nas lâminas é obtida. Para eliminar as componentes de

densidades de corrente, as componentes de campo nas fendas são expandidas em termos

de funções de base, com a aplicação do Método dos Momentos, e como resultado, uma

equação matricial homogênea complexa é obtida, cujos coeficientes da expansão são as

incógnitas. A solução não trivial dessa matriz gera a equação característica, cujas raízes

complexas permitem a obtenção das constantes de atenuação e fase. A constante

dielétrica efetiva é determinada após soluções numéricas do determinante da matriz

através da relação entre a constante de fase e o número de onda no espaço livre.

3.2 Determinação das Componentes do Campo Elétrico

O estudo da Fig. 3.1 é realizado levando-se em conta sua simetria. Esta conduta

leva a determinação da estrutura na forma da Figura 3.2 como o substrato dielétrico

situado na região 2 e ar nas regiões 1 e 3.

Para o material dielétrico, a permissividade relativa é dada por [15]:

*

0 i ri ri j

σ

ε ε

ωε

= − , i=1,2,3 (3.1)

onde:

εri – permissividade relativa do material

σi – condutividade do material

ω – 2πf freqüência angular

ε0 – permissividade no espaço livre

Com o objetivo de facilitar os cálculos matemáticos, é analisada a estrutura na

Fig. 3.2, considerando-se as paredes do guia de ondas milimétricas e as lâminas

(32)

As equações gerais dos campos são obtidas com a utilização do método LTT, a

partir das equações de Maxwell:

0 x E jωμ H

∇ G = − G (3.2)

x H jωεE

∇ G = G (3.3)

Os vetores campo elétrico e magnético no método LTT são decompostos nas

suas três componentes [34],

G G G

H=H_y+H_t (3.4)

G G G

E =Ey+Et (3.5)

∇ = ∇ + ∇ = ∇ +_y _t _t

y y ∂

∂ (3.6)

∇ =_t + = −

xx zz xx z

∂ ∂

Γ (3.7)

onde

G G G

H_t =H_x+H_z – campo magnético na direção transversa (3.8)

G G G

E_t =E_x+E_z – campo elétrico na direção transversa (3.9)

Γ = +α jβ – constante de propagação (3.10)

Substituindo (3.4) a (3.6) em (3.3)

(

)

(

)

∇ + ⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟× + = +

t y t y t

y y H H j E E

∂

∂ ωε

G G G G

(3.11)

∇ ×t Hy+ ∇ ×t Ht+ × y+ × t = y+ t

y y H y y H j E j E

G G ∂ G G G G

∂

∂ ωε ωε

(3.12)

Separando as componentes transversais x e z de (3.12), teremos:

∇ ×t Hy+ × t = t

y y H j E

G ∂ G G

∂ ωε (3.13)

(33)

G G G

E

j H yy H

t = ∇ ×t y+ × t

⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 ωε ∂

∂ (3.14)

Substituindo (3.4) a (3.6) em (3.2),

(

)

(

)

∇ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟× + = − +

t t y t y

y y E E j H H

∂

∂ ωμ

G G G G

(3.15)

∇ ×t Et+ ∇ ×t Ey+ × t + × y = − t− y

y y E y y E j H j H

G G ∂ G G G G

∂

∂ ωμ ωμ

(3.16)

Separando as componentes transversais x e z de (3.16), teremos:

∇ ×t Ey+ × t = − t

y y E j H

G ∂ G G

∂ ωμ (3.17)

então

G G G

H

j E yy E

t = − ∇ ×t y+ × t

⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 ωμ ∂

∂ (3.18)

Para EGt , substituindo (3.18) em (3.14)

j E H

y y j E y y E

t t y t y t

ωεG = ∇ × G +_∂∂ × _ωμ G _∂∂ G

− ∇ × + × ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

1 (3.19)

j E H

j y y E y y E

t t y t y t

ωε ωμ ∂ ∂ ∂ ∂

G G G G

= ∇ × + − ⋅ × ∇ × + × ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 (3.20) mas,

(

)

y E y

xx zz E y y xx E y zz E y

t y y y y

× ∇ × = × ⎛_⎝⎜ + ⎞ ⎠ ⎟× ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= × × + × ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ G ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ (3.21)

= ×⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ y

xE zy zE xy

∂ ∂

∂

(34)

= ×y − ×

x E zy y zE xy

∂ ∂

∂

∂ (3.23)

= ∂ +

∂

∂ ∂

xE xy zE zy (3.24)

= ∇tEy (3.25)

e também

(

)

y

y y Et y y y E xx E zz y y y E xx y y E zz

×⎛ × ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ×⎡ × + ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= × × + × ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ G (3.26) = × −⎛ + ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ y

yE zx y E xz

∂ ∂ ∂ ∂ (3.27) = − ∂ − ∂ ∂ ∂

y E xx yE zz (3.28)

= − ∂

∂yEt G

(3.29)

Substituindo (3.25) e (3.29) em (3.20), temos

j E H

j y E y E

t t y t y t

ωεG = ∇ × G + _ωμ _∂∂ _∂∂ G

− ⋅ ∇ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 (3.30)

(

)

−j j E = −j ∇ ×H + ∇ −

y E y E

t t y t y t

ωμ ωεG ωμ G _∂∂ _∂∂2₂ G (3.31)

ω με ∂

∂ ωμ ∂ ∂ 2 2 2

G G G

E

y E j H y E

t+ t = − ∇ ×t y+ ∇t y (3.32)

2 2

2 Et tEy j t Hy

y y

∂ ∂

ω με ωμ

∂ ∂ ⎛ ⎞ + = ∇ − ∇ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G (3.33) mas, ∂ ∂ 2 2 2

y =ky (3.34)

k k 0 2 2 0 2 2 = = ⎫ ⎬ ⎭ ω με

ω με (3.35)

k k r 2

0 2

(35)

ε ε ε r =

0

(3.37)

Substituindo (3.34) a (3.37) em (3.33)

(

k k

)

E

y E j H

r y t t y t y

0

2ε 2 ∂

∂ ωμ

+ G = ∇ − ∇ × G (3.38)

então,

G G

E

k k y E j H

t

y r

t y t y

= + ∇ − ∇ × ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2ε ∂

∂ ωμ (3.39)

Para HGt, substituindo (3.14) em (3.18), temos:

− = ∇ × + × ⎛∇ × + × ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

j H E

y y j H y y H

t t y t y t

ωμG G _∂∂ _ωε1 G _∂∂ G (3.40)

− = ∇ × + ⋅ × ∇ ×⎡ + × ⎣⎢

⎤ ⎦⎥

j H E

j y y H y y H

t t y t y t

ωμ ωε ∂ ∂ ∂ ∂

G G 1 G G

(3.41)

Utilizando (3.25) e (3.29), mudando E por H, e substituindo em (3.41), temos

− = ∇ × + ⋅ ⎡∇ − ⎣⎢

⎤ ⎦⎥

j H E

j y H yH

t t y t y t

ωμ ωε ∂ ∂ ∂ ∂

G G 1 G

(3.42)

(

)

j j H

y H j E y H

t t t y t y

ωε ωμ ∂

∂ ωε

∂ ∂

− G + 2₂ G = ∇ × G + ∇ (3.43)

∂

∂ ω με ωε

∂ ∂ 2

2 2

y + Ht j t Ey y tHy

⎛ ⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟G = ∇ × G + ∇ (3.44)

Substituindo (3.34) a (3.37) em (3.44), fica

(

k k

)

H j E

y H

y r t t y t y

2 0 2

+ ε G = ωε∇ × G +_∂∂ ∇ (3.45)

então,

G G

H

k k j E y H

t

y r

t y t y

= + ∇ × + ∇ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0

2ε ωε

∂

(36)

Da equação (3.39) tem-se

G G G G

E E E

k k y xx zz E j x x zz H

t x z

y r y y = + = + ⋅ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ + ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟× ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ωμ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.47) G G E E

k k y xE x y zE z j xH z j zH x

x z

y r

y y y y

+ = + ⋅ + − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 2 ε ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ωμ

∂ ∂ ωμ ∂ ∂ (3.48) então, E

k k y x E j zH

x y r y y = + + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 ε ∂

∂ ∂ ωμ

∂

∂ (3.49)

E

k k y zE j x H

z y r y y = + − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 ε ∂

∂ ∂ ωμ

∂

∂ (3.50)

De maneira análoga, para a equação (3.46),

G G G G

H H H

k k j x x zz E y xx zz H

t x z

y r y y = + = + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ × + ⎛_⎝⎜ + ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0

2ε ωε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.51) G G H H

k k y xH x y zH z j xE z j z E x

x z

y r

y y y y

+ = + + + − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 2 ε ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ωε

∂ ∂ ωε ∂ ∂ (3.52) então, H

k k y xH j zE

x y r y y = + − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 ε ∂

∂ ∂ ωε

∂

∂ (3.53)

H

k k y zH j xE

z y r y y = + + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 0 2 2 ε ∂

∂ ∂ ωε

∂

∂ (3.54)

Assim as componentes de campo Ex, Ez, Hx e Hz podem ser obtidas e são escritas

em função de Ey e Hy, obtendo-se, no Domínio da Transformada de Fourier e

(37)

( , , ) ( , , ) j nx j kz

n k

f α y β ∞ ∞ f x y z eα e β dx dz

−∞ −∞

=

∫ ∫

⋅ ⋅

(3.55)

Assim as equações gerais, no domínio espectral, para os campos elétrico e

magnético de cada região são [5],[19-24]:

2 2

1

i n yi j yi

i i

Ex j E H

y k ∂ α ωμ ∂ γ − ⎡ ⎤

= _⎢− Γ _⎥

+ ⎣ ⎦

(3.56)

2 2

1

i yi n yi

i i

Ez E H

y k ∂ _ωμα ∂ γ ⎡ ⎤

= _⎢−Γ − _⎥

+ ⎣ ⎦

(3.57)

2 2

1

i n yi j yi

i i

Hx j H E

y k ∂ α ωε ∂ γ + ⎡ ⎤

= _⎢− Γ _⎥

+ ⎣ ⎦

(3.58)

2 2

1

i yi n yi

i i

Hz H E

y k ∂ _ωεα ∂ γ + ⎡ ⎤

= _⎢−Γ _⎥

+ ⎣ ⎦

(3.59)

onde:

2, 3

i= – corresponde a cada região da Fig. 3.2;

2 2 0

i i

k =ω μ ε – número de onda; j

α β

Γ = + – constante de propagação complexa;

0

i ri

ε =ε ε – permissividade do material;

n

α – variável espectral

0

μ μ= – permeabilidade magnética no vácuo;

2 2 2 2

i n ki

γ =α − Γ − – constante de propagação na direção transversa y;

r j i

ω ω= + ω – freqüência angular complexa.

Deve-se salientar que a espessura da fita condutora é considerada desprezível

para os cálculos matemáticos.

Para a espessura da Fig. 3.2, toma-se como soluções para as componentes E yi _ie

i

H y [3], [23], [25]:

i

2 2 senh 2

(38)

i

2 2 cosh 2

H y = A h γ y (3.61)

i

₍

₎

3 3 cosh 3

E y = A e γ a−y (3.62)

i

₍

₎

3 3 senh 3

H y =A h γ a−y (3.63)

onde Aie e Aih são constantes desconhecidas.

Substituindo (3.60) a (3.63) em (3.56) a (3.59), obtêm-se para as regiões 2 e 3:

i

(

)

[

]

2 ₂ ₂ 2 2 2 2

2 2

cosh n

j

Ex A e A h y

k α γ ωμ γ

γ

−

= − − Γ

+ (3.64)

i

2 2 senh 2

E y = A e γ y (3.65)

i

(

)

[

]

2 ₂ ₂ 2 2 2 2

2 2 1

cosh n

Ez A e A h y

k γ ωμα γ

γ

−

= Γ −

+ (3.66)

i

(

)

[

]

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

senh n

j

H x A e A h y

k ωε α γ γ

γ

= Γ −

+ (3.67)

i

2 2 cosh 2

H y = A h γ y (3.68)

i

(

)

[

]

2 ₂ ₂ 2 2 2 2 2

2 2 1

senh n

H z A e A h y

k ωε α γ γ

γ

= − Γ

+ (3.69)

i

(

)

[

]

(

)

3 2 2 3 3 3 3

3 3

senh n

j

Ex A e A h a y

k α γ ωμ γ

γ

= − Γ −

+ (3.70)

i

₍

₎

3 3 senh 3

-E y = A e γ a y (3.71)

i

(

)

[

]

(

)

3 ₂ ₂ 3 3 3 3

3 3 1

senh n

Ez A e A h a y

k γ ωμα γ

γ

= Γ − −

+ (3.72)

i

(

)

[

]

(

)

3 ₂ ₂ 3 3 3 3 3

3 3

cosh n

j

H x A e A h a y

k ωε α γ γ

γ

= Γ + −

+ (3.73)

i

₍

₎

3 3 senh 3

H y =A h γ a−y (3.74)

i

(

)

[

]

(

)

3 ₂ ₂ 3 3 3 3 3

3 3 1

cosh n

H z A e A h a y

k ωε α γ γ

γ

= + Γ −

+ (3.75)

As constantes Aie e Aih são determinadas usando a continuidade do campo

(39)

i

2

/

y g 3

/

y g

Ex

₌

=

Ex

₌

=

Exg

(3.76)

i

2

/

y g 3

/

y g

Ez

₌

=

Ez

₌

=

Ezg

(3.77)

onde Exgi e Ezgi são as componentes x e z de campo elétrico na fenda.

Usando as equações de campo (3.64) a (3.75), após várias substituições, as

componentes A2e, A3e, A2h e A3h são determinadas em função de Exgi e iEzg:

i i

(

)

2

2cosh 2 n j

A e Exg j Ezg

g α

γ γ

= − Γ (3.78)

i i

(

)

3

3 senh 3 n j

A e Exg j Ezg

f α

γ γ

−

= − Γ (3.79)

i i

(

)

2 2 cosh n j

A h Exg j Ezg

g α

ωμ γ

−

= Γ − (3.80)

i i

(

)

3 3 senh n j

A h Exg j Ezg

f α

ωμ γ

−

= Γ − (3.81)

Em seguida, as equações (3.78) a (3.81) são substituídas nas equações das

componentes de campo que, após devidas simplificações algébricas, tomam a forma:

i i 2 2 2 cosh cosh Exg Ex y g γ γ = (3.82)

i

(

i i

)

2 2

senh

cosh n

j

E y Exg j Ezg y

g α γ

γ γ

= − Γ (3.83)

i i 2 2 2 cosh cosh Ezg Ez y g γ γ = (3.84)

i i

(

2 2

)

i

2 2 2

0 2 2

1

senh

cosh n n

H x Exg j k Ezg y

g α α γ

ωμ γ γ ⎡ ⎤

= _⎣− Γ + − _⎦ (3.85)

i i i

2 2

0 2

cosh

cosh n

j

H y Exg j Ezg y

g α γ

ωμ γ

− _⎡ _⎤

= _⎣Γ − _⎦ (3.86)

i

(

2 2

)

i i

2 2 2

0 2 2

senh

cosh n n

j

H z Exg j Ezg y

g α γ α γ

ωμ γ γ

− _⎡ _⎤

(40)

i i

₍

₎

3 3 3 senh senh Exg

Ex a y

f γ

γ

= − (3.88)

i i i

₍

₎

3 3

cosh

senh n

j

E y Exg j Ezg a y

f α γ

γ γ

− _⎡ _⎤

= _⎣ − Γ _⎦ − (3.89)

i i

₍

₎

3 3

3

senh senh

Ezg

Ez a y

f γ

γ

= − (3.90)

i i

(

2 2

)

i

₍

₎

3 3 3

0 3 3

1

cosh

senh n n

H x Exg j k Ezg a y

f α α γ

ωμ γ γ ⎡ ⎤

= _⎣ Γ − − _⎦ − (3.91)

i i i

₍

₎

3 3

0 3

senh

senh n

j

H y Exg j Ezg a y

f α γ

ωμ γ

− _⎡ _⎤

= _⎣Γ − _⎦ − (3.92)

i

(

2 2

)

i i

₍

₎

3 3 3

0 3 3

cosh

senh n n

j

H z Exg j Ezg a y

f α γ α γ

ωμ γ γ

− _⎡ _⎤

= _⎣ − − Γ _⎦ − (3.93)

3.3 Cálculo das Constantes de Atenuação e Fase

Para a determinação das constantes de atenuação (α) e de fase ( ), são aplicadas

as condições de contorno para o campo magnético y=g:

i i i

2 3

H x −H x =J z (3.94)

i i i

2 3

H z −H z = −J x (3.95)

onde iJ xe iJ zsão as componentes da densidade de corrente elétrica nas fitas condutoras. Usando estas condições de contorno e após vários cálculos, as seguintes

substituições dos campos magnéticos são obtidos:

i i i

1 1 1 1

Yx x Exg Yx z Ezg+ =J x (3.96)

i i i

1 1 1 1

Yz x Exg+Yz z Ez=J z (3.97)

Na forma matricial estas equações podem ser escritas como segue,

i i

i i 1 1 1 1

1 1 1 1

Yx x Yz x Exg J x Yz x Yz z Ezg J z