Spin Waves in a Ferromagnetic Film with a Periodic System of Antidots

і

іХ

іХ Х

і і Х і іХ Х

і

юХ

юХ

г г

« »б г б имб 03056 б

( Хжегже.2014; ХonlineХ25.03.2015)

Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х бХ Х Х в

Х Х Х Х гХ бХ Х Х є Х бХ єХ Х« в

Х »гХ Х Х Х Х є Х Х Х Х в

Х - Х є бХ Х є Х Х Х гХ Х Х Х в

Х Х Х Х бХ Х Х Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х . Х Х бХ Х в

Х Х Х б Х бХ Х Х Х Х бХ Х Х

Х Х Х Х Х Х Х г

ю іХ : , бХ Х Х бХ бХ

-Х г

PACS numbers: 62.23.St, 75.30.Ds, 75.75. + a

1.

i iХ Х Х i Х в

i Х [жбз]Х Х Х Х iХ в

i Х – Х бХ Х Х гХ

i iХ Х єХ 'є Х Х Х Х в

Х Х– i Х[ж]Х Х i i Х[и]Х– ХєХ

Х Х Х Х в

бХ бХ Х Х Х Х в

бХ iХ Х Х Х[йб 5].

Х Х Х ХєХ Х в

Х Х Х Х Х Х в

Х Х гХ Х Х Х Х

Х Х Х Х i Х i Х [л]бХ

i - i Х i Х Х Х

[7-о]бХ Х[же-12] Х Х Х в

Х( гбХ бХ[13])гХ Х i iХ в

iХ Х Х є Х i Х Х Х

Х i i бХ i iХ iХ i Х Х в

Х i Х Х г

Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х бХ Х Х в

Х Х Х Х гХ Х Х

Х [ж4, 15] Х Х ґ Х в

Х [ж6] Х Х Х Х гХ

бХ Х Х Х [ж7, 18]

Х Х бХ Х Х в

Х Х Х Х Х Х Х в

Х гХ Х Х Х Х в

ХєХ Х Х Х Х Х

Х Х ( Х Х Х Х [ж9]бХ Х

Х Х[4]бХ Х Х Х в

Х [20]бХ Х Х Х Х

Х[з1]Х ЮбХ Х Х Х Х в

Х бХ Х Х Х Х Х

бХ г

Х Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х

гХ Х Х Х Х є Х

Х Х Х Х в

Х - Х є бХ Х є Х Х

Х гХ Х Х Х Х

Х Х Х Х Х бХ Х

Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х Х

Х Х г Х Х Х

Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х Х г

2. А АХ А А І

Х Х Х Хl Х в

Х бХ Х єХ Х « Х »гХ

Х Х Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х Х

Х Х Хa Х ХR( гХ

. жЮгХ Х бХ Х бХ Х Х

є Х бХ Х Х

пХ Х Х ХαбХ в

Х Х Х



( є Х ЮбХ

Х Х



( є Х ЮгХ

Х бХ Х Х Х Х( Х

бХ Х Х ХM0бХ Х Х в

є Х Х Х Х ’є Х ЮХ Х

Х Х рХ Х ХOzХ Х Х в

гХ Х бХ Х єХ Х Х

( ) 0

e

H бХ Х Х Х бХ єХ Х Х

Х Х ХOzгХ

Х Х бХ Х є Х

Х Х Х гХ є Х Х Х в

- Х Х Х - бХ Х Х

Х є Х( є бХ Х ХєХ бХ Х

Х Х Х Х Х Х бХ

Х Х є ХєХ Х Х - бХ Х

Х Х є бХ Х Х Х Х Х бХ

Х Х є є Х Х Х ЮгХ

Х бХ Х Х є Х в

бХ Х є Х Х Х бХ Х

єХ гХ є Х – бХ бХ

Х Х Х Х Х– є бХ в

Х Х Х Х Х

г 7– Х бХ Х є

є Х Х ,

бХ Х Хm Х Х Хh

Х Хє Х в

ХM Х ХH i

, гХ бХ Х Хm

Х є Х m  M0 бХ Х в

Хh Х Х ( )

0 i

h H бХ ХM₀ – в

Х бХ ( )

0 i

H – Х Х в

Х Х Х ( Х Х

 

, 0

 

,

M r t M m r t ,  

 

( )

 

0

, ,

i i

H r t H h r t ).

Х Х ХєХ Х Х

Х Х Х Х Х Х

Х Х Х Х бХ Х

Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х г

3. І Х Х А І Х

ІА

Х Х Х

-Х Х Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х гХ бХ

Х Х Х Х Х Х Х в

Х Х бХ Х m r t

 

, m r0

 

exp

 

i t



,

 

, 0

 

exp

 

h r t h r i t



бХ Х[з]Х є Х Х Х

0

m , h0 Х Х п

( ) 0

0 0 0 0 0

0 i

z

H

i m M e h m m

M







_ _  



_



 _ __

 

 

 

; (1)

Х Х Х Х Х ( ) ( )

0 0

i e

H H гХ Х

бХ Х Х Х бХ в

є Х Х Х ( гбХ в

бХ[з]ЮбХ Х Х Х Хh в

пХ h бХ Х Φ – Х гХ Х

Х Х Х Х Х

divh 4



divm є Х Х Х

0 4 div



m0

  , (2)

ХΦ0– Х Х Х h₀, Х

Хh0 0, 

 

r t,  0

 

r exp

 

i t



.

є Х Х Х Х Х

Х Φ0бХ Х Х Х

Х Х Х m0 Х Х Х

(жЮбХ(зЮгХ Х Х Х Х в

Х Х Х Хez Х Х Х Х Х

Х гХ Х Х бХ Хm0z 0, Х Х

Х(2) 0

0

div 4 m





 , Х є



0



0

2 ( )

0 0

0 2 0

0

div

1 4

z

i

i

e m

M

H M z











  

  

 

    _  _  __

 _{  }

. (3)

Х Х Х Х Х Х

( ) 0

0 i

H M



 _



 _

 бХ Х Х Х є

( ) ( )

2

0 0

2 2

0 0

0

( ) 2

0 0

0 2

0

4

4 0

i i

i

H H

M M

M

H

M z



_{ }

_

_{ }





 

     

 _    _{ }_  _   _

 _{    }

 

   

  _   _{ } 

 

.(4)

Х Х бХ бХ Х Х бХ єХ

Х Х Х Х Х в

Х Х( гбХ бХ[10]).

бХ Х Х(йЮХ Х Х в

Х Х гХ Х Х в

Х Х - Х Х Х Х в

бХ Х Х Х в

Х Х Х Х Х ( Х бХ в

єХ Х Х єХ Х Х Х

Х Х ЮбХ Х Х Х в

4. І Х І

Х Х Х Х Х

бХ Х Х є бХ Х Х

(4).

бХ Х Х Х Х Х Х

Х є Х Х Х Х Х в

Х ХdгХ Х Х ХєХ Х Х

Х Х Х є Хlex,

Х Х Х Х Х є гХ бХ

Хd  lex Х Х Х Х в

Х Х Х Х гХ Х

Х г

Х бХ Х Х ’ Х в

Х(йЮХ єХ Х є Х бХ Х Х

- Х r_ Х Х M0 бХ

Х Х Х Х ХxOy. Х Х

Ox OyХ Х Х Х бХ Х Х Х в

Х Х Х Х гХ Х

Х бХ Х Х бХ в

Х - ХХ Х Х Х

Х Хr0ja N e



1j xN e2j y



бХ ХN1j, N2j– Х в

, j– Х гХ Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х Х в

Х Х Хk_:





















 

||

0 0

,

exp

exp

jn n j jn n j j

j n

i k z t

A J k r r B N k r r in





   

   





   ,(5)

Хθj– Х бХ Х є Х Х Х

j-Х гХ

Х Х бХ Х в

Х Х Х Х єХ Х є Х

гХ бХ Х Хn ХAjn Х ХBjn Х

Х Х( Х ХAj ХBjбХ ЮбХ Х Х

n єХ Х ХйгХ Х Х Х в

Х(кЮХ Х

























||

4 0 4 0

, exp

exp 4

n n j n n j j

j n

i k z t

A J k r r B N k r r in





   

   

    (6)

’ Х(лЮХ Х Х(йЮгХ Х в

Х Х Х Х Х є Х

Х Х Х( Х бХ Х Х Х Ю



2 2



||

k_ k

    . (7)

бХ Х Х ’ Х(кЮХ Х Х(йЮХ

Х є Х бХ Х Х

Х Х Х Х в

Х Х Х пХ





















3 2

2 2 2 2 2

|| ||

2

2 2 2 2

|| || ||

2 2

0

2 2

4 4 4 0

k k k k

k k k k

M



 





 









 



    

 

_    _   

 

,(8)

Х 0( ) 0 e

H M



 



гХ Х є Х Х в

Х Х









2 4 2 2

0 2 2 4 4 || 2

M k k k

k

              

 ,(9)

Х Х Х 2 2 2

||

k k k_.

5. Х Ь Х

бХ Х Х Х Х Х єХ

Х Х – Х Х бХ Х бХ

Х Х Х Х Х(оЮХ Х в

Х Х Х є Х Х Х гХ

Х Х Х Х Х k_

Х Х Х бХ Х Х в

Х г

Х Х Хk_ бХ бХ в

Х Х Х Х Х Х ( Х

Х Х Х Х Х бХ Х

Х Х Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х Х Х Хπ/2 в

Х Х ЮгХХ бХ Х Х в

Х Х Х Х Х Х

’ Х єХ Х бХ Х Х

Х Х Х Х Х бХ Х

Х Х г

Х Х бХ Х Х Х Х

Х Х Х ХaгХ є Х в

Х Х гХ Х бХ Х Х

Х ’ Х(лЮбХ ХєХ бХ бХ Х Х

Х Х Х Х Х в

Х Х Х п



0



0

0 2

cos

2 4

n j j

j

n

J k r r k r r

k r r

 



   

 

 

  _    _

  ,(10)



0



0

0 2

sin

2 4

n j j

j

n

N k r r k r r

k r r

 



   

 

 

  _    _

  .(11)

Х Х Х Х Х Хa Х

Х єХ Х Х бХ Х

2π. Х є бХ Х Х Х Х

Х Х Х Х Х Х

2 N k

a



 , (12)

ХN{0} – Х Х г в

Х Х Х Х Х Х Х

 

2 2 2 2





2 2





2

|| 0 || || || 2

2 ||

2 2

2 2 4 4

2

N

N N

k M k k k

a a N

k a













  

  







 

 

 _{ }   _{ }  _{ }

   

 _ _{  }   _ _{  }   _  _

     

    _{   } _

 

 

(13)

Х Х Х Х

Х Х Х бХ Х Х Х Х

Х Х Х бХ бХ Х Х

Х гХ бХ Х бХ Х Х Х

ХlexбХ Х Х Х ХOz

Х б Хk|| 0 Х Х

Х Х Х Х Х Х









4 2

2 0

2 2

2 2 4

N

N N

M

a a

 

   _ _     _ _   

    .(14)

Х Х Х єХlex, Х Х Х

Х Х Х Х Х Х

Х бХ Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х бХ Х

Х Х Х Х Х Х Х

Х Х Х Х / z Х в

Х бХ Х є Х

||

2

p

p k

l



 , (15)



_{ }

_

2 4 2

0 4 2

2 3

2 2

8 2

16

4

16

4

Np

Np Np

Np

M

D D

p

l D

   

 





  











    

 

   

 _{  } 



   

, (16)

Х Х

2 2

1 /

Np

p N

D

l a

   

 _{ } _{ }

    , p– Х бХ

Х Х г

6.

Х бХ Х Х

-Х Х Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х в

гХ Х Х Х Х Х

Х Х Х Х Х в

гХ Х ’ Х Х бХ Х в

ХєХ Х бХ Х Х Х в

Х Х Х Х єХ Х рХ

Х Х Х

гХ Х Х Х Х Х

Х Х Х Х г

Х Х Х ( бХ Х в

Х Х Х бХ Х бХ Х

Х Х Х Ю Х Х

Х Х г

А

Х є Х Х

-Х б б - Х

Х Х гІг Х Х Х Х , в

Х Х Х Х г

ы Х

ыХ Х

Х

Х Х

Х

Х

г г

« »б г б имб еиекл б

Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х бХ Х Х в

Х Х Х Х гХ бХ Х Х Х бХ Х

Х « Х »гХ Х Х Х Х Х Х Х Х

Х - Х бХ Х Х Х Х гХ

Х Х Х Х Х Х Х бХ Х Х Х Х в

Х Х Х Х Х Х Х Х Х гХ Х Х в

бХ Х Х Х Х Х бХ Х бХ Х Х Х Х в

бХ Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х Х г

ю ы Х пХ Х бХ бХ Х Х бХ бХ в

Spin Waves in a Ferromagnetic Film with a Periodic System of Antidots

V.V. Kulish

National Technical University of Ukraine “KіI”б имб іeremogy іrosp., 03056 Kyiv, Ukraine

In the paper, spin waves in a thin film (composed of a uniaxial ferromagnet) with a two-dimensional periodicalХsystemХofХantidotsХareХstudiedгХTheХfilmХferromagnetХisХconsideredХtoХhaveХtheХ“easyХaxis”ХtypeгХ To describe such waves, the magnetostatic approximation with account for the magnetic dipole-dipole in-teraction, the exchange interaction and the anisotropy effects is used. For such waves, an equation for the magnetic potential is derived; for the case of remote antidots, the dispersion relation and the transverse wavenumber spectrum are found. For the case of a film thin compared to the exchange length and for the case of a film bounded by a high-conductivity metal, the longitudinal wavenumber spectrum and the fre-quency spectrum of such spin waves are also obtained.

Keywords: Spin waves, Nanomagnetism, Thin magnetic film, Antidot, Dipole-exchange theory.

Х І А

1. V.V. Kruglyak, S.O. Demokritov, D. Grundler, J. Phys. D: Appl. Phys.43, 264001 (2010).

2. . . , . . , . . ,

( .: пХ 1967) (A.I. Akhiyezer, V.G. Bar'yakhtar, S.V. Peletminskiy, Spinovyye volny (M.: Nauka: 1967)).

3. S.D. Bader, S.S.P. Parkin, Ann. Rev. Condens. Matter Phys.1, 71 (2010).

4. S. Neusser, D. Grundler, Adv. Mater.21, 2927 (2009). 5. T. Schneider, A.A. Serga, B. Leven, B. Hillebrands,

R.L. Stamps, M.P. Kostylev, Appl. Phys. Lett. 92, 022505

(2008).

6. M. Bauer, O. чüttnerбХ SгOг Demokritov, B. Hillebrands, V. Grimalsky, Yu. Rapoport, A.N. Slavin, Phys. Rev. Lett. 81, 3769 (1998).

7. K.Yu. Guslienko, A.N. Slavin, J. Appl. Phys. 87, 6337

(2000).

8. F.G. Aliev, J.F. Sierra, A.A. Awad, G.N. Kakazei, D.-S. Han, S.-K. Kim, V. Metlushko, B. Ilic, K.Y. Guslienko, Phys. Rev. B79, 174433 (2009).

9. J. Jorzick, S.O. Demokritov, C. Mathieu, B. Hillebrands, B. Bartenlian, C. Chappert, F. Rousseaux, A.N. Slavin,

Phys. Rev. B60, 15194 (1999).

10.R. Arias, D.L. Mills, Phys. Rev. B63, 134439 (2001). 11.R. Skomski, M. Chipara, D.J. Sellmyer, J. Appl. Phys.93,

7604 (2003).

12.S.M. Chérif, Y. Roussigné, C. Dugautier, P. Moch,

J. Magn. Magn. Mater.222, 337 (2000).

13.O.Yu. Gorobets, V.Yu. Gorobets, Chaos, Solitons & Frac-tals23, 1121 (2005).

14.K.Yu. Guslienko, X.F. Han, D.J. Keavney, R. Divan, S.D. Bader, Phys. Rev. Lett.96, 067205 (2006).

15.M.J. Van Bael, L. Van Look, K. Temst, M. Lange, J. Bekaert, U. May, G. ьüntherodtбХ V.V. Moshchalkov, Y. Bruynseraede, Physica C332, 12 (2000).

16. . . , . . , . . , TT42, 121

(2000) (Yu.I. Gorobets, Yu.I. Dzhezherya, A.F. Kravets, Sol-id State Physics42, 126 (2000)).

17.S. Neusser, G. Duerr, H.G. Bauer, S. Tacchi, M. Madami, G. Woltersdorf, G. Gubbiotti, C.H. Back, D. Grundler,

Phys. Rev. Lett.105, 067208 (2010).

18.Y. Otani, S.G. Kim, T. Kohda, K. Fukamichi, O. Kitakami, Y. Shimada, IEEE T. Magn.34, 1090 (1998).

19.R.P. Cowburn, A.O. Adeyeye, J.A.C. Bland, Appl. Phys. Lett.70, 2309 (1997).

20.G. Ctistis, E. Papaioannou, P. Patoka, J. Gutek, P. Fumagalli, M. Giersig, Nano Lett.9, 1 (2009).