Ideais iniciais genéricos

(1)

Ideais Iniciais Gen´ericos

Universidade Federal de Minas Gerais

(2)

Ideais Iniciais Gen´ericos

Dissertação de mestrado apresentada como requisito da obtenção do t´ıtulo de Mestre pelo Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas, Uni-versidade Federal de Minas Gerais.

Orientador: Israel Vainsencher

(3)

Agradecimentos

Agradec¸o a minha m˜ae que sempre esteve ao meu lado.

Ao meu orientador Israel Vainsencher, pelos ensinamentos.

A minha tia L´ea, pela hospitalidade.

A minha noiva por todo apoio.

Aos meus amigos.

(4)

(5)

Abstract

(6)

Introduc¸˜ao p. 7

1 Dimens˜ao de Variedades Alg´ebricas Afins p. 9

1.1 Generalidades . . . p. 9

1.2 Variedades Alg´ebricas Afins . . . p. 12

1.3 Dimens˜ao de Variedades - Caso Monomial . . . p. 16

1.4 Base de Gr¨obner . . . p. 19

1.5 A Função e o Polinômio de Hilbert . . . p. 22

1.6 Dimens˜ao de Variedades Alg´ebricas . . . p. 33

2 Ideal Inicial Gen´erico p. 38

2.1 Ideal Borel-fixo . . . p. 45

Anexo A -- Potˆencias Exteriores p. 52

(7)

Introduc¸˜ao

Este trabalho tem como objetivo tratar de um t´opico central na Geometria Alg´ebrica:

o cálculo efetivo da dimensão e do grau de variedades algébricas. A principal ferramenta

utilizada ´e a teoria de Bases de Gr¨obner.

Uma variedade algébrica afim sobre um corpoké qualquer subconjuntoV _⊆kndefinido como conjunto solução de um sistema de equações polinomiais. Dizemos também queV é uma subvariedade (algébrica afim) dekn.

Calcular dimensão de subespaços vetoriais, caso de um sistema de equações lineares

homogêneas, é simples. A ideia central é reduzir o cálculo da dimensão de variedades

alg´ebricas ao caso linear.

O conjunto das equac¸˜oes de uma subvariedadeV _⊆kngera um idealI_⊆k[x1, . . . ,xn].

Iremos inicialmente tratar do caso mais simples que é quandoI é um ideal monomial. Como veremos, o cálculo da dimensão é direto.

No caso de um ideal qualquer, esse cálculo não é direto e em geral pode ser muito

complicado. Para contornar esse problema, vamos associar a esse ideal outro ideal (que

ser´a monomial), de modo que saibamos ter a mesma dimens˜ao. Para obtermos tal ideal,

recorreremos `as“bases de Gr¨obner ”.

Esse novo ideal, é chamado de“ideal inicial” e ele será o principal personagem desse trabalho. Para exemplificar esse fato, considere a variedadeV =V(<xy₋1>)sobrek[x,y]. Neste caso, a figura associada a essa variedade é:

a qual tem dimensão 1. Mas suponha que não saibamos que a variedade dada não represente

(8)

de t´ecnicas estudadas no trabalho, poderemos verificar que o ideal monomial associado a

<xy₋1> é<xy>. Deste modo, teremos a seguinte associação:

dimkV(<xy−1>) =dimkV(<xy>) =1.

A vantagem de se utilizar essa igualdade é que o cálculo da dimensão pode ser feito

uti-lizando propriedades simples, como por exemploV(x_·y) =V(x)_∪V(y), e podemos associar a variedadeV(x) a um espaço vetorial coordenado onde apenas a variávelx é nula. No ex-emplo acima,V(x) é uma reta (mais precisamente, o eixo-y), pois estamos trabalhando com apenas duas coordenadas, e ao fixarmosx=0, resta apenas a coordenada correspondente a variávely. Analogamente vemos queV(y) é também uma reta. A figura associada a essa nova variedade é:

Com isso, observamos que o ideal inicial é muito importante para o cálculo de dimensão.

Iremos estudar com mais cuidado algumas de suas propriedades. Veremos que dentre os ideais iniciais, há alguns que são mais “fortes” no sentido de que eles não dependem da

escolha do sistema de coordenadas, os quais são chamados de“ideais iniciais genéricos”. Veremos ainda uma condição necessária para que um ideal seja inicial genérico, através do

conceito de ideal fixo de Borel.

(9)

1 Dimens˜ao de Variedades Alg´ebricas

Afins

Estudaremos o conceito de dimensão de uma variedade algébrica afim. O objetivo cen-tral é apresentar uma forma computacional para o seu cálculo.

1.1 Generalidades

Denotaremos por S:=k[x1,···,xn], o anel de polinˆomios com coeficientes no corpok.

Um idealI_⊂S é ditomonomialseI é gerado por monômios deS. Umtermoé um produto entre um monômio deSe um escalar dek. Um monômio t´ıpico deStem a seguinte forma:

Xα =xa1₁ _···xan

n ,

ondeα= (a1, . . . ,an)e cadaaié um número inteiro não negativo, convencionando-sex0_i =1.

Em um anel de polinômios a uma variável,k[x], definimos o grau de um monômio como sendo o valor de seu expoente. Em mais variáveis, definimos o grau de um monômio como a soma dos expoentes das variáveis,ou seja,

|Xα_|=_|xa1 1 ···x

an

n |= n

∑

i=1

ai.

Para realizarmos um estudo sobre a ordenac¸˜ao monomial, iremos fazer a seguinte

asso-ciac¸˜ao: _xa1

1 ···x an

n ↔(a1, . . . ,an) =α,

ondeα _∈Zn₊.

Definição 1.1. Sejam Xα,Xβ e Xγ monômios de S. Uma ordem monomial é uma relação<

entre monˆomios de S satisfazendo:

1. < ´e uma ordem total no conjunto de monˆomios, ou equivalentemente emZn+;

2. se Xα <Xβ, ent˜ao Xα_·Xγ<Xβ_·Xγ.

(10)

Definição 1.2. Sejamα = (a1, . . . ,an)eβ = (b1, . . . ,bn), e sejam Xα e Xβ os seus respec-tivos monômios associados.

1. Ordemlexicogr´afica- (lex), que denotaremos por<lex. Dizemos que:

Xα <lexXβ se ai<bipara o menor i tal que ai6=bi.

2. Ordemlexicogr´afica graduada- (grlex), que denotaremos por<grlex. Dizemos que:

Xα <grlex Xβ se|Xα|<|Xβ|, ou se Xα <lexXβ em caso de

|Xα_|=_|Xβ_|.

3. Ordemlexicogr´afica reversa graduada- (grevlex), que denotaremos por<grevlex. Dizemos que:

Xα <grevlexXβ se|Xα|<|Xβ|, ou se ai>bipara o menor i tal que ai6=biem caso de

|Xα_|=_|Xβ_|.

Exemplo 1.1. Sejam os monˆomiosx4yz, xy5ez12 _∈k[x,y,z]. Sez<y<x, ent˜ao

(i)- z12 <lex xy5z6 <lex x4yz;

(ii)- x4yz <grlex z12 <grlex xy5z6;

(iii)- x4yz <grevlex xy5z6 <grevlex z12.1

Um polinˆomio p =cnXαn₊_···₊_c

1Xα1 est´a escrito na forma normal (segundo uma

ordem monomial <) seXαn _>_···_>_Xα1_{. Nesse caso, dizemos que} _cnXαn _{´e o}_{termo l´ıder}

e o denotaremos por in<(p) (iremos também escrever in(p) quando não houver risco de confusão sobre qual ordem monomial está sendo utilizada). Ainda no exemplo anterior, se

p=x4yz+xy5+z12, ent˜aopescrito na forma normal ´e dado por

(i)- (lex) : p=x4yz+xy5z6+z12 e in<lex(p) =x

4_yz_;

(ii)- (grlex) : p=xy5z6+z12+x4yze in<grlex(p) =xy

5_z6_;

(iii)- (grevlex) : p=z12+xy5z6+x4yze in<grevlex(p) =z

12_.

Definic¸˜ao 1.3. Sejam f,g_∈S e<uma ordem monomial. Sejam ainda in(f) =Xα, e in(g) =

Xβ, ondeα = (a1, . . . ,an)eβ = (b1, . . . ,bn).

1. Sejaδ = (d1, . . . ,dn), onde di=max{ai,bi}.

Dizemos então que Xδ é um m´ınimo múltiplo comum de in(f) e in(g), denotado por MMC(in(f),in(g)).

(11)

2. Sejaε= (e1, . . . ,en), onde ei=min{ai,bi}.

Dizemos então que Xε é um máximo divisor comum de in(f) e in(g), denotado por MDC(in(f),in(g)).

SejaIum ideal deS. O conjunto √

I=_{f _∈S_|fn_∈I para algumn_∈Z+},

´e chamadoradicaldeI. Dizemos que um idealI ´e radical (ou perfeito) seI=√I.

O próximo resultado nos dará uma caracterização para o radical de ideais monomiais.

Proposição 1.1. Se I é um ideal monomial, então seu radical√I também é monomial.2

Demonstração. O Teorema da base de Hilbert nos dá que o idealI é finitamente gerado (mas não diz que os geradores são necessariamente monômios!). Seja_{g1, . . . ,gm} um conjunto

de geradores do idealI. Observe que cadagipode ser escrito como:

gi=

k

∑

j=1

aikXαi j.

Com isso, temos para todo ie j que Xαi j _{pertence a}_I_{.(veja [2], p. 71, Lema 3). Isso}

mostra que o conjunto dos monˆomiosXαi j _{(para todo}_i_e _j_{) geram}_I_.

Após reindexamento, sejaI=<Xα1_{, . . . ,}_Xαt _>_{, onde}_Xαi _{são monômios de}_S_.

Se Xαi ₌

n

∏

j=1

xa_ii,j, defina o suporte de Xαi _{como suporte}₍_Xαi_{) =}

n

∏

j=1

xb_ii,j =Xβi_{, onde}

bi,j=

(

1 se ai,j6=0,

0 se ai,j=0.

Mostraremos que√I=J:=<Xβ1, . . . ,_Xβt _>_.

´

E imediato ver queJ_⊂√I. Para verificar a outra inclus˜ao, suponha f _∈√I. Ent˜ao existe

r inteiro positivo tal que fr _∈I. Sem1=in(f)ent˜ao mr1=in(fr)∈I, de onde segue que m1∈

√

I.

Repetindo o processo para f₋m1 ∈

√

I, veremos que m2=in(f−m)∈

√

I, e assim sucessivamente veremos que todos os monˆomios de f tamb´em pertencem a√I.

Temos ainda que para cada j,Xαi _divide_mr

j para algum 16i6t (veja [2], p. 70, Lema

2). ComoXβi _divide _Xαi _{segue que}_Xβi _divide _mr

j. Decorre disso que para algum i, Xβi

dividemj, pois as variáveis que estão presentes emmr_j são as mesmas que aparecem emmj,

e emXβi _{as vari´aveis presentes figuram em n´umero m´ınimo. Isso mostra que}_m

j∈J.

Portanto f _∈J.

(12)

Uma consequência da proposição acima é que somos capazes de listar todos os ideais

radicais que são monomiais. Neste caso, os seus geradores são monômios onde o grau de

cada vari´avel presente ´e 1.

Exemplo 1.2. Todos os ideais monomiais que s˜ao radicais de k[x,y] s˜ao <x>, <y>,

<x,y>e<xy>.

1.2 Variedades Alg´ebricas Afins

Veremos nesta seção a definição de variedade algébrica afim e estudaremos algumas de

suas propriedades. Trabalharemos ainda o conceito de dimens˜ao de variedades alg´ebricas.

Definição 1.4. Sejam p1,···,pr∈S. O subconjunto de knformado pelos pontos que anulam simultaneamente todos os polinômios p1,···,pr ∈S é uma variedade algébrica.

V(p1,···,pr) ={(a1,···,an)∈kn|pi(a1,···,an) =0, ∀i=1,···,r}.

Ainda na definição acima, iremos usualmente escrever V(I), onde I _⊂S é um ideal, significando que

V(I) =_{(a1,···,an)|p(a1,···,an) =0, ∀p∈I}.

Note que sep1,···,pr ´e um conjunto de geradores deI, ent˜ao vale o seguinte:

V(I) =V(p1,···,pr).

Esse fato é bastante útil, pois sabemos do Teorema da Base de Hilbert (ver [2], p. 76, Teorema 4) que todo ideal deS é finitamente gerado, e isso reduz o cálculo da variedade de um idealIao cálculo dos zeros simultâneos dos polinômios do conjunto finito de geradores deI.

Observe que a definição de variedade algébrica afim nos diz que para cada idealI, temos uma varidedade algébricaV(I)_⊆kn. É fácil verificar que a escolha dessa variedade é única. Por outro lado, se temos uma variedade algébrica, então definimos o idealI₍_V₎ é o ideal gerado pelos elementos deS que se anulam emV. O cap´ıtulo 4 de [2] faz a construção da relação entre ideais de S e as subvariedades dekn mostrando que toda variedade algébrica afim pode ser escrita comoV(I), ondeI é um ideal deS.

Vejamos agora algumas propriedades de variedades algébricas que serão úteis:

Proposição 1.2. Sejam V(A) e V(B) variedades algébricas definidas pelos zeros dos ele-mentos dos subconjuntos A e B de S, respectivamente. São válidos:

(i) V(0) =kne V(1) =∅;

(13)

(iii) Se Ai é uma coleção arbitrária de subconjuntos de S, temos∩iV(Ai) =V(∪iAi);

(iv) Se A_⊂B_⇒V(B)_⊂V(A).

Demonstração. A primeira e segunda afirmações seguem imediatamente da definição de variedade algébrica afim.

A terceira afirmac¸˜ao segue do seguinte fato:

V(_∪iAi) = {α ∈kn|f(α) =0∀f ∈ ∪iAi}

= _∩i{α∈kn|f(α) =0∀f ∈Ai}

= _∩iV(Ai).

Para a quarta afirmac¸˜ao, considere o conjuntoC=B₋A. Logo,B=A_∪C, e da´ı,

V(B) =V(A_∪C) =V(A)_∩V(C)_⊂V(A).

Exemplo 1.3. Vejamos queV(I) =V(√I). Segue da definic¸˜ao de radical de um ideal que

I_⊂√I, e pela propriedade (iv) da proposic¸˜ao anterior, segue queV(√I)_⊂V(I). Sejaa= (a1, . . . ,an)∈V(I). Se f ∈

√

I, ent˜ao fn_∈I, e consequentemente, fnse anula ema. Como

k´e um corpo, concluiremos que f se anula emα. Portantoα _∈V(√I).

Dada uma variedadeV(I)_⊂kn, denotaremos porD(I)como o conjunto complementar deV(I)emkn. Definimos

Z :=_{D(I)_|I_⊂S_}.

Utilizando as propriedades enunciadas na Proposic¸˜ao 1.2, somos capazes de mostrar

que os elementos deZ satisfazem os axiomas para abertos de uma topologia: intersec¸˜ao

arbitrária de abertos é um aberto, a união finita de abertos é um aberto e∅, kn_∈Z. Esse fato nos motiva a seguinte definição:

Definição 1.5. A topologia queZ gera em kn é chamadatopologia de Zariski.

Na topologia de Zariski,fechadoé sinônimo de subvariedade algébrica. Uma informação útil sobre abertos de Zariski é fornecida pelo próximo resultado.

Proposição 1.3. Sejam V uma variedade algébrica irredut´ıvel e U, W _⊂V abertos não vazios de Zariski. Então U_∩W ₆=∅.

Demonstração. Observe que seU é um aberto (de Zariski), então pode definição é o con-junto complementar de uma subvariedade algébricaV1=V(I1), ondeI1 é um ideal deS, e

portantoU =D(I1). Analogamente,W =D(I2), comI2um ideal deS. Segue da´ı que:

(14)

Isso nos diz queV(I1·I2) =kn, o que implica em√<I1·I2>={0}.

Com isso mostremos que ouI1={0}ouI2={0}. De fato, para todo produto f1f2, com f1∈I1 e f2∈I2, existe um inteiro ktal que f₁kf₂k = (f1f2)k=0. ComoS ´e um dom´ınio de

integridade, concluiremos que ou f =0 oug=0. Agora suponha queI26={0}, e portanto,

existeg_∈I2, tal queg6=0, e consequentemente, toda potência degtambém é não nula.

Observe o conjuntogI1={g f1|f1∈I1}. Para cada f1, existe um inteiroktal quegkf1k= (g f1)k ∈< I1·I2 >. Como g 6=0, ent˜ao f1 =0. Isso mostra que I1 = {0}. Segue que U=D(I1) =∅, o que prova o enunciado.

3

Dizemos que um espaço topológicoX é irredut´ıvel se sempre que tivermosX =X1∪X2

comXifechado emXimplicar emX=X1ouX=X2. Em particular, uma variedade alg´ebrica V(I)´e irredut´ıvel se, sempre queV(I) =V1∪V2implicar emV(I) =V1ouV(I) =V2.

O próximo resultado nos fornecerá uma técnica para verificar a irredutibilidade deV(I).

Proposição 1.4. Seja I_⊂S um ideal. V(I)é irredut´ıvel se, e somente se,√I for primo.

Demonstrac¸˜ao. Primeiro suponhaV(I)irredut´ıvel. Seja f g_∈√I. DefinaV1=V(I)∩V(f)

eV2=V(I)∩V(g). Da´ı,

V1∪V2 = [V(I)∩V(f)]∪[V(I)∩V(g)] =V(I)∩[V(f)∪V(g)] = V(I)_∩V(f g) =V(I,f g) =V(√I)

´

E de simples verificar queV(√I) =V(I). Da´ı, temos que V(I) =V1∪V2. Por hip´otese

V(I) ´e irredut´ıvel, dondeV(I) =V1ouV(I) =V2. Digamos queV(I) =V2. AssimV(I) = V(I)_∩V(g), o que implica emV(I)_⊂V(g), e consequentemente g_∈I₍V(I)) =√I pelo Teorema de Zeros de Hilbert Forte, cf. [9, p. 31], [2, p. 173]. Portanto√I ´e primo.

Suponha agora√Iprimo. SejaV(I) =V1∪V2, ondeV1=V(J1)eV2=V(J2). Temos:

√

I=I₍_V₍_I_{)) =}I₍_V₁_∪_V₂_{) =}I₍_V₍_J₁₎_∪_V₍_J₂_{)) =}I₍_V₍_J₁_·_J₂_{)) =}√_J₁_·_J₂_⊇_J₁_·_J₂_.

Como√I_⊇J1·J2, ent˜ao pela primalidade de

√

I temos queJ1⊂

√

I ouJ2⊂

√

I. Digamos

J1⊂√I. Decorre disso que

V(J1)⊇V(I) =V(J1)∪V(J2),

e portantoV(I) =V(J1), o que mostra queV(I) ´e irredut´ıvel.

(15)

Exemplo 1.4. A variedadeV(xi1, . . . ,xir)⊂k

n_{, onde}_x

i1, . . . ,xir são variáveis, é uma

varie-dade irredut´ıvel. De fato, como facilmente se verifica,√<xi1, . . . ,xir >=<xi1, . . . ,xir > ´e

um ideal primo, donde o afirmado segue da Proposic¸˜ao 1.4.

Na topologia habitual deRn, a definição de irredutibilidade não é útil, pois nesse caso, concluiremos que os únicos espaços irredut´ıveis são os contendo somente um ponto. No

entanto, na topologia de Zariski emkn, essa noção é bastante rica. O conceito de irredutibi-lidade nos permite apresentar a noção de dimensão de variedades algébricas, como veremos

na próxima definição.

Definição 1.6. Seja V _⊂knuma variedade algébrica. Sejam Vjfechados irredut´ıveis distin-tos de kn. Dizemos que V0 V1 ··· Vn=kn

´e uma cadeia de fechados irredut´ıveis de knde comprimento n.

Definimos a dimens˜ao de Krullde V como o m´aximo dos comprimentos de cadeias de fechados irredut´ıveis de V :

V0⊂V1⊂ ··· ⊂Vn⊆V. Denotaremos com a dimens˜ao de Krull de V por KdimkV .

Outra forma de definir dimensão de variedades algébricas é através da noção de

elemen-tos algebricamente independentes, como veremos a seguir.

Oanel de coordenadasdeV, denotado pork[V] é o conjunto das funções polinomiais deV emk,φ :V _→k(ver [2], p. 239).

Dados elementosa1, . . . ,at ∈k[V], dizemos quea1, . . . ,at s˜ao algebricamente

indepen-dentes sobre k se para todo polinômio p em t variáveis não nulo com coeficientes em k

tivermos que p(a1, . . . ,at)6=0 m´oduloI(V).

Desde quek[V]é umak-álgebra finitamente gerada, segue doLema de Normalização de Noether(ver [9], p. 29) que k[V] contém um anel de polinômiosR=k[x1, . . . ,xd], tal que k[V] é uma extensão inteira deR.

k[V]

inteira

N N N N N N N N N N N N

R=k[x1, . . . ,xd]

k

o o o o o o o o o o o o o

(16)

k[V] é igual ao número máximo de elementos algebricamente independentes deRsobre k, que é igual ad.

Nesse contexto, ´e poss´ıvel mostrar que KdimkV =d. Embora essa igualdade n˜ao seja

óbvia, o seu estudo não é o foco deste trabalho. O estudo detalhado deste resultado

encontra-se em [9] na encontra-sec¸˜ao (2.5.3).

A definição de dimensão de Krull é puramente abstrata, e o calcular a dimensão de uma

variedade ultilizando essa definição (a menos de casos particulares) é muito complicado,

pois teriamos de ser capazes de conhecer todas as subvariedades irredut´ıveis contidas na

variedade em questão, e isso torna essa definição inviável do ponto de vista computacional.

Por outro lado, calcular o número máximo de elementos algébricamente independentes

dek[V] é muito complicado, pois ter´ıamos que testar a independência algébrica de todos os subconjuntos de elementos dek[V], e a menos de casos particulares, esse cálculo é computa-cionalmente inviável.

Quando não houver risco de confusão, denotaremos a dimensão deV simplesmente por KdimV ao invés de KdimkV.

Nosso objetivo agora ´e apresentar uma t´ecnica computacional para o calculo da

di-mensão de variedades algébicas afins. Para tal, os próximos resultados serão úteis, pois nos fornecem informações que podem simplificar o cálculo da dimensão da variedade.

Teorema 1. Uma variedade algébrica V ou é irredut´ıvel ou pode ser decomposta em uma união finita de subvariedades Viirredut´ıveis.

A prova desse teorema pode ser vista em [7] na p´agina 90, e uma consequˆencia dessa

propriedade no contexto de dimensão é a seguinte proposição:

Proposição 1.5. Seja V uma variedade tal que V=_∪t_i₌₁Vi, onde cada Vié uma subvariedade algébrica fechada e irredut´ıvel. A dimensão (de Krull) de V é igual a

maxi=1,...,t{Kdim Vi}.

A prova dessa proposição pode ser encontrada em [9] na página 68. A partir desse

resul-tado é poss´ıvel simplificar o cálculo da dimensão, nos permitindo calcular a dimensão de uma

variedade irredut´ıvelVi⊂V (que possivelmente ser´a mais simples) ao inv´es de calcularmos

a dimens˜ao deV diretamente.

1.3 Dimens˜ao de Variedades - Caso Monomial

(17)

SejaV(xa_i)_⊂knuma variedade algébrica afim. Essa variedade é composta por todos os pontos dekn cuja a i-ésima coordenada é nula. Decorre disso queV(xa_i) é um subespaço vetorial dekn.

O conjunto do todos os pontos dekn, onde fixamos algumas coordenadas iguais a zero e as demais são livres é um subespaço vetorial dekne nesse caso são chamados de subespaços coordenados. Exemplo de tais subespaços são os eixos coordenados, planos contendo dois

eixos coordenados e etc..

´

E fácil ver que se a variedade algébricaVi é um subespaço coordenado, entãoVi é do tipo

V(xai1 i1 , . . . ,x

a_il

il ), onde os ´ındicesij∈ {i1, . . . ,il}correspondem as coordenadas dos elementos

deVique s˜ao nulas.

Nem toda variedade algébrica afim é um subespaço dekn, mas em alguns casosV pode ser escrito como uma união de subespaços coordenados, como por exemplo,V(xy)_⊂k3. De fato, poisV(xy) =V(x)_∪V(y). O próximo resultado nos mostra uma condição suficiente para que a variedade possa ser decomposta em uma união finita de subespaços coordenados.

Proposição 1.6. A variedade de um ideal monomial em S é a união finita de subespaços coordenados de kn.

A ideia da prova da proposição acima é aplicar indução sobre o número de geradores do

idealI(que é finito) e utilizar as propriedades vistas na Proposição 1.2.

SejaI _⊂Sum ideal monomial. Segue da Proposição 1.6 queV(I) é igual a uma união finita de subespaços coordenadosVi. Vimos no Exemplo 1.4 que osVi são variedades

irre-dut´ıveis, e pela Proposição 1.5 a dimensão deV(I)é igual a maior dimensão dentre KdimVi.

Com isso, nosso trabalho se reduz a calcular a dimensão (de Krull) do maior subespaço contido emV(I). Veremos agora que a dimensão de um subespaço coordenadoVi (como espaço vetorial sobrek) é igual a dimensão de Krull da variedadeVi.

Primeiro analisemos o caso de V(xa_i)_⊂kn. Inicialmente, vamos exibir uma cadeia de subvariedades irredut´ıveis contida emV(xi):

V(xa_i,x1, . . . ,xn)⊂V(xai,x1, . . . ,xn−1)⊂ ··· ⊂V(xai,x1)⊆V(xai).

O comprimento dessa cadeia én₋1. Isso mostra que a dimensão de Krull deV(xa_i)é maior ou igual an₋1. ComoV(xa_i)é um subconjunto próprio dekn, a dimensão de Krull deV(xa_i) é menor do quen. Portanto a dimensão de Krull deV(xa_i)én₋1.

Por outro lado,V(xa₁) é um subespaço dekn, onde a primeira coordenada é nula, e com isso, tem como base o conjunto _{(0,1,0, . . . ,0),(0,0,1,0, . . . ,0), . . .(0, . . . ,0,1)_}, ou seja,

(18)

Suponha agora queV =V(xai1 i1 ,x

ai₂

i2 ) ´e uma subvariedade deV1=V(x ai₁

i1 ). Seguindo o

racioc´ınio feito acima para o caso deV(xa₁), veremos que a dimensão de Krull é maior ou igual an₋2 e menor don. ComoV ₆=V1, segue que a dimensão de Krull deV2não pode ser n₋1. Portanto a dimensão de Krull deV én₋2.

Repetindo o processo do par´agrafo anterior obteremos que a dimens˜ao de Krull de

V(xai1 i1 , . . . ,x

a_il

il ) én−l, mostrando que seV é uma variedade algébrica que é um subespaço

coordenado dekn, a sua dimensão de Krull coincide com a sua dimensão como espaço veto-rial.

Por outro lado, temos

V =V(xai1 i1 , . . . ,x

a_il

il ) =V(xi1, . . . ,xil).

Ou seja,V é constitu´ıdo dos vetores de kn cujas j-ésimas coordenadas são nulas, onde j_∈

{i1, . . . ,il}. Deduzimos disso que a dimensão do subespaço vetorialV sobrek én−l.

Com o que vimos nos paragráfos anteriores, quando a variedade algébrica V for um subespaço de kn, podemos calcular a sua dimensão vetorial ao invés de tentarmos obter uma cadeia de subvariedades irredut´ıveis de comprimento máximo ou determinar o número

máximo de elementos algebricamente independentes dek[V]. Doravante, usaremos a notação dimV =d para representar que KdimV =d, ou a dimensão vetorial deV, no caso deV ser um subespaço dekn.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.5. DadoI=<x2y3z,xy5,xyz4>_⊂k[x,y,z]. Temos

V(I) =V(x2y3z,xy5,xyz4) =V(x2y3z)_∩V(xy5)_∩V(xyz4) =V(xy) =V(x)_∪V(y).

Como vimos no Exemplo 1.4,V(x)eV(y)são irredut´ıveis, então segue que a dimensão deV

é igual a maior entre dimV(x)e dimV(y). A variedadeV(x)é exatamente o subespaço dek3

ondex=0, ou seja, onde a primeira coordenada é nula. Geometricamente isso representa o planoyz, e portanto sua dimensão é igual a 2. O mesmo racioc´ınio mostra que dimV(y) =2. Portanto, pela Proposição 1.5, a dimensão deV é 2.

Exemplo 1.6. Consideremos a seguinte variedade alg´ebrica afimV =V(yz₋zx2,z2₋zx3)_⊂

k3. Segue que

V =V(yz₋zx2,z2₋zx3) =V(z(y₋x2),z(z₋x3)) =V(z)_∪V(y₋x2,z₋x3).

Note queV(z) é o planoxy, cuja dimensão é 2 eV(y₋x2,z₋x3) é a variedade irredut´ıvel chamadacúbica reversa afim, e sua dimensão é 1, como veremos em (1.15). Logo dimV =2.

Exemplo 1.7. SejaI=<xy3z,xy4,yz4>_⊂k[x,y,z]. A variedade definida pelos zeros deI ´e

(19)

Neste contexto,V(y)´e um subespac¸o dek3isomorfo ak2, ou seja, um plano (a saber, o plano

xz), eV(x)_∩V(z) é a interseção de dois planos coordenados resultando no eixoy. Portanto, a dimensão deV é 2.

Com os resultados vistos at´e o momento, temos ent˜ao uma forma de se calcular a

di-mens˜ao de uma variedade alg´ebrica V(I), quando I for um ideal monomial, descrita nos seguintes passos

1. Decompomos V(I) em uma uni˜ao finita de subespac¸os coordenados Vi, 1≤ i≤ j

(Proposic¸˜ao 1.6);

2. Calculamos a dimens˜ao de cada um dos subespac¸os coordenadosVi, 1_≤i_≤ jobtidos acima;

3. Conclu´ımos que a dimensão deV(I)será igual a maior das dimensões dos subespaços coordenadosVi, 1≤i≤ j(Proposição 1.5).

No caso em queI não é um ideal monomial, o cálculo da dimensão não é tão simples, e para tal precisamos de mais ferramentas, que serão apresentadas na próxima seção.

1.4 Base de Gr¨obner

Vimos na seção anterior uma forma computacional de calcular a dimensão de uma

varie-dade alg´ebrica determinada por um ideal monomial. Para o caso geral, iremos associar cada

ideal deSa um ideal monomial, cuja a dimensão seja a mesma. Essa associação será feita via teoria das Bases de Gröbner.

Definic¸˜ao 1.7. Dado I_⊂S e<uma ordem monomial, definimos oideal inicialcomo in<(I):=<in<(f)| f ∈I> .

Quando estiver claro no contexto qual a ordem monomial <estamos utilizando,

deno-taremos in<(I)por in(I).

Segue por definição que in(I) é um ideal monomial, e pelo que vimos na seção anterior, somos capazes de calcular a dimensão deV(in(I)). A importância desse ideal é que

dimV(in(I)) =dimV(I),

como veremos na Sec¸˜ao 1.6.

Sabemos do Teorema da Base de Hilbert que in(I)´e finitamente gerado. Se

(20)

queremos explicitar uma base para o ideal in(I). Em um primeiro momento, guiados pela definição de ideal inicial, somos tentados a querer dizer que_{in(f1), . . . ,in(fm)}é uma base

para in(I). Infelizmente n˜ao ´e sempre verdade, como vemos no seguinte exemplo:

Exemplo 1.8. Considere o idealI=<x2₋y,x2₋z>_⊂k[x,y,z],<a ordem monomial lexi-cogr´afica reversa graduada. Os termos l´ıderes deste ideal s˜ao iguais ax2. Mas

y₋z=x2₋x2+y₋z=x2₋z₋(x2₋y)_∈I,

e portantoy_∈in(I), masy_∈/<x2>. Isso mostra que_{in(x2₋y),in(x2₋z)_}n˜ao ´e uma base para in(I).

Mas h´a casos especiais em que_{in(f1), . . . ,in(fm)} ´e uma base para in(I). Isso nos leva

a seguinte definic¸˜ao:

Definição 1.8. Seja I_⊂S um ideal. SejaM ₌_{_f₁_{, . . . ,}_f_m_}_{uma base de I. Então,}M _{é dita} umabase de Gröbner4de I se in<I =<in<(f1), . . . ,in<(fm)>.

Afim de que essa definição seja útil para os nossos interesses, temos que ser capazes de

resolver os seguintes problemas: o primeiro é saber verificar se uma dada base deI é ou não uma base de Gröbner. O segundo é saber se todo ideal admite uma base de Gröbner.

Para resolver o primeiro problema, precisamos antes da seguinte definic¸˜ao:

Definição 1.9. Sejam f,g_∈S e<uma ordem monomial. Oσ–polinômio de f e g é:

σ(f,g) = MMC(in(f),in(g))

in(f) · f−

MMC(in(f),in(g))

in(g) ·g.

Perceba que oσ–polinômio de f egé definido de modo a tentar obter um outro polinômio contido no ideal gerado por< f,g>que possua seu monômio l´ıder menor (segundo a ordem monomial adotada) do que os monômios l´ıderes de f eg. Quando isso é poss´ıvel,_{f,g_}não é uma base de Gröbner para< f,g>. Esse fato será generalizado a seguir no Teorema 2.

Um fato importante a ser considerado é a divisão entre polinômios com várias variáveis.

No caso de uma vari´avel, temos o conhecido algoritmo de Divis˜ao Euclidiana, que nos diz que dados f(x), g(x)_∈k[x]existemq(x)er(x)unicamente determinados emk[x]tais que

f(x) =g(x)q(x) +r(x),

onde o grau der(x)ou é menor do que o grau de g(x)ou é zero. Esse fato ainda é válido para o caso de mais variáveis (fixada uma ordem monomial). Podemos ainda considerar

uma pseudodivisão de um polinômio f(x1, . . . ,xn) por um conjunto finito de polinômios

4_{A teoria das bases de Gröbner para anéis de polinômios foi desenvolvida por}_{Bruno Buchberger}_{em 1966}

(21)

g1(x1, . . . ,xn), . . . ,gt(x1, . . . ,xn). Para uma tal divis˜ao, devemos escolhar uma ordem de

di-vis˜ao para os divisoresg1, . . . ,gt. Assim obtemos a seguinte express˜ao:

f =g1q1+. . .+gtqt+r,

ondeq1, . . . ,qt∈Ssão os quocientes ero resto da divisão. Diferente do caso de uma variável,

os polinˆomiosq1, . . . ,qt,r dependem da ordem dos divisores no processo de divis˜ao. (Veja

[2], sec¸˜ao (2.3) ).

Teorema 2(Teste de Buchberger). Seja I um ideal. SejaM ₌_{_f₁_{, . . . ,}_fm_}_{uma base para} I. EntãoM _{é uma base de Gröbner para I se, e somente se, para todo par i}₆₌ j, o resto da divisão deσ(fi,fj)porM (em qualquer ordem) seja zero.

A prova da existência de bases de Gröbner é dada por:

Teorema 3 (Algoritmo de Buchberger). Seja I _⊂S um ideal. Seja G=_{f1, . . . ,fm} um conjunto de geradores para I. A base de Gr¨obner pode ser constru´ıda repetindo o algoritmo descrito abaixo um n´umero finito de vezes:

1. Teste se G ´e uma base de Gr¨obner para I, utilizando o teste do Teorema 2.

i Se sim, o algoritmo termina;

ii Se n˜ao, defina

G′=G_{∪ {}todos os restos n˜ao nulos obtidos durante o Teste de Buchberger_}.

2. Escreva G=G′e volte em1.

O cálculo de uma base de Gröbner via algoritmo de Buchberger pode ser inviável de se

fazer a m˜ao. Por isso, somos levados a utilizar de programas computacionais. Diversos

soft-wares matemáticos são capazes de realizar tal trabalho, e nesta dissertação opto por utilizar o Singular (veja [3]).

Exemplo 1.9. Vamos calcular a base de Gr¨obner deI=<y₋x2,z₋x3>_⊂k[x,y,z].

Afim de elucidar o uso desse programa, apresentarei um pequeno tutorial para a obtenc¸˜ao

da base de Gr¨obner de um dado idealI:

> ring S = 0, (x,y,z),dp; > poly f1 = y-x^2;

(22)

A primeira linha serve para definir um anel de caracter´ıstica zero, cujas vari´aveis s˜ao

x,y,z e d p informa que a ordem monomial adotada é a lexicográfica graduada reversa. A segunda e terceira linhas servem para definir os polinômios f1=y₋x2e f2=z₋x3 res-pectivamente. A quarta linha serve para definir o idealI =< f1,f2>. Por fim, a quinta linha serve para obter uma base de Gröbner para o idealI (neste caso, o Singular já elimina polinômios redundantes).

Voltando ao exemplo, temos que a base de Gr¨obner deI:

1. com a ordem lexicogr´afica graduada reversa ´e_{y2₋xz,xy₋z,x2₋y_};

2. com a ordem lexicogr´afica ´e_{y3₋z2,xz₋y2,xy₋z,x2₋y_};

3. com a ordem lexicogr´afica graduada ´e_{xz₋y2,xy₋z,x2₋y,y3₋z2_}.

Este exemplo deixa claro que a base de Gr¨obner obtida pelo algoritmo de Buchberger

depende da escolha da ordem monomial.

Para todos os exemplos em que fizermos o uso do Singular ao longo desse trabalho,

apresentaremos apenas os comandos, omitindo os resultados. Em todos os casos, o Singular

retornou uma lista de geradores para a Base de Gr¨obner dos ideais previamente definidos

nos comandos. Dada essa lista de geradores, coletamos apenas os termos iniciais de cada

gerador e os apresentamos nos respectivos exemplos.

1.5 A Função e o Polinômio de Hilbert

Nosso objetivo agora ´e mostrar que dimV(in(I)) =dimV(I). Para isso, precisaremos utilizar o polinˆomio de Hilbert e suas propriedades.

Definição 1.10. Seja I um ideal monomial de S. O conjunto C(I) é a coleção dos expoentes dos monômios de S que não pertencem a I. Temos C(I)_⊂Zn_≥₀.

Note queC(I)não é um conjunto de monômios, mas como cada monômio está associado a um único elemento deZn_≥₀, eventualmente cometeremos um abuso ao dizer que o monômio

Xα =xa1₁ _···xan

n ∈C(I), significando na realidade que o elementoα = (a1, . . . ,an)∈C(I).

Exemplo 1.10. O conjuntoC(I)pode ser ilustrado da seguinte forma. Seja

I=<x2y2,x5>_⊂k[x,y]

(23)

Observe quex_∈/I, enquanto quex5_∈I. Podemos associarC(I)ao seguinte diagrama:

(2,2)

(5,0)

...

onde convencionamos que os monˆomios associados a pares ordenados representados por

bolas cheias pertencem a I, e caso o monômio esteja associado a um par ordenado cuja representação é feita por uma bola vazia, significa que o monômio pertence aC(I).

No exemplo acima, ainda podemos observar queC(I) é formado pelo eixo coordenado formado pelos pontos do tipo(0,n)(que estou convencionando como[y]) e a translação de [y] formada pelos pontos (1,n) (que na notação adotada é representado por x+ [y]) mais os pontos(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1). Ou seja, conseguimos dividirC(I)em dois conjuntos de natureza distinta em relação a sua dimensão. Esse fato nos leva a seguinte

definic¸˜ao:

Definic¸˜ao 1.11. Seja I um ideal e seja o conjunto C(I)5_.

1. C0(I):=o conjunto de pontos de C(I)que n˜ao pertencem a nenhum dos eixos coor-denados.

2. C1(I):=o conjunto dos eixos de C(I)que n˜ao pertencem a nenhum plano contido em C(I).

3. C2(I):=o conjunto dos planos de C(I)que n˜ao pertencem a nenhum hiperplano con-tido em C(I)de dimens˜ao 3.

4. ...

5. Cm(I):= o conjunto dos hiperplanos de C(I) de dimensão m que não pertencem a nenhum hiperplano contido em C(I)de dimensão m+1.

5

Cometemos um abuso de linguagem ao usarmos o termo hiperplano (plano e reta), pois o que existe na verdade é a interseção de um hiperplano coordenado com o reticuladoZn

(24)

No Exemplo 1.10, temos queC0(I) ={(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1)}eC1(I) =

{[y],[y] +x_}.

Afim de padronizar e simplificar a notação, segue a definição:

Definição 1.12. A cada variável xi, associemos a um elemento da base de kn, que deno-taremos por ei. Denodeno-taremos a translação de[xj]na direção do monômio Xα =xa1₁ ···xann como Xα+ [ej]. Mais geralmente, denotaremos a translação do hiperplano formado pelas variáveis xj1, . . . ,xjd na direção do monômio X

α _{como X}α_{+ [}_e

j1, . . . ,ejd].

Ainda, quando não for necessário explicitar quais variáveis estão presentes no subespaço coordenado, denotaremos simplesmente por Tj, onde j é um ´ındice de contagem.

Cada um dosCi(I),i>1, são formados por uniões de subespaços coordenados deknde

dimensãoie de suas translações (comox+ [y]no exemplo anterior).

´

E poss´ıvel provar que C(I) pode ser escrito como uma união finita de translações de subespaços coordenados Tj distintos dois a dois, mas não necessariamente disjuntos (ver [2], p. 447) mais uma quantidade finita de pontos.

Ainda no exemplo 1.10, podemos escrever

C(I) =_{x2,x3,x4,x2y,x3y,x4y,[e2],[e2] +x}.

Exemplo 1.11. SejaI=<x4y2,xy5>. Ent˜ao

C(I) =[e1];xy,xy2,xy3,xy4,x2y,x2y2,x2y3,x2y4,x3y,x3y2,x3y3,x3y4,x4y,[e2] .

Os monômios deC(I)são aqueles que “sobrevivem” quando são aplicados aos vetores deV(I). É essa propriedade que irá relacionarC(I)com o foco central deste trabalho, que é a dimensão deV.

Proposição 1.7. Seja I um ideal monomial. Temos então

dim V(I) = max_{dim Tj_|Tj ´e um subespac¸o de C(I)_}.

Demonstrac¸˜ao. Primeiro iremos mostrar que[ei1, . . . ,eir]⊂C(I)se, e somente se,V(xj: j∈

Λ)_⊂V(I), ondeΛ ´e o complementar do conjunto_{i1, . . . ,ir}C em{1, . . . ,n}.

Se [ei1, . . . ,eir]⊂C(I), então todo monômiom∈I deve conter ao menos uma variável

xj,j∈Λ (caso contrário, se algum monômiom∈I contivesse apenas variáveis xi, i∈/ Λ,

ter´ıamos quem=∏_i_∈_/Λxa_ii. Como cadaxi, com i∈/Λ, n˜ao se anula emV(I), o seu produto

também não irá se anular. Da´ı,mnão se anularia em nenhum ponto deV(I), contrariando o fato dem_∈I). Segue disso queI_⊂<xj: j∈Λ>, o que resulta emV(xj: j∈Λ)⊂V(I).

Por outro lado, seV(xj: j∈Λ)⊂V(I), sejaω∈V(xj: j∈Λ)tal que o valor dai-´esima

(25)

monˆomio associadoXα ´e tal que Xα(ω) =1₆=0. Comoω _∈V(I), segueXα _∈/I. Portanto

α_∈C(I).

Note que

V(xj: j∈Λ) =∩j∈ΛV(xj).

Observamos que dadoβ= (b1, . . . ,bn)∈V(xj)arbitrário, a j-ésima coordenada deβ é a

sua ´unica coordenada que deve ser identicamente nula, ou seja,bj=0. Seβ ∈V(xj: j∈Λ),

então todas as j-ésimas coordenadas deβ são necessariamente nulas. Como_|Λ_|=n₋r, o número de coordenadas que podem variar livremente emβ _∈V(xj: j∈Λ) ér, e portanto,

dimV(xj: j∈Λ) =r=dim[ei1, . . . ,eir].

Se I é monomial, então V(I) pode ser escrita como uma união finita de subespaços coordenados (Proposição 1.6):

V(I) =_∪k_i₌₁Vi.

Acima, vimos que a cada Vi, associa-se um subespac¸o coordenado Ti de C(I) com a

mesma dimensão. No Exemplo 1.4, conclu´ımos que cadaVié irredut´ıvel. Assim, a dimensão deV(I)é igual a max_i₌1,...,t{dimVi}(Proposição 1.5). Digamos que dimV(I) =dimV1=d.

Temos que existe um subespac¸o deC(I), digamosT1, tal que dimT1=dimV1=d. Mais,

dimE1=max{dimTi|Ti ´e subespac¸o coordenado deC(I)}.

Os seguintes resultados nos fornecem uma forma de contar o n´umero de elementos de

C(I).

Lema 1. O número de monômios de grau total menor ou igual a r em S é

n+r r

!

.

Demonstração. A prova será por indução sobre o graure o número de variáveisn.

Claramente a fórmula vale paran=r=2, pois (2+2)(₂2+1) =6, e os monômios de grau menor ou igual a 2 com duas variáveis são 1,x,y,xy,x2,y2.

Agora suponha válida a expressão paran₋1 variáveis e graur₋1. Queremos mostrar que

|S6r|=

n+r r

!

.

Para simplificar a notac¸˜ao, sejam:

- A=_{m_∈k[x1, . . . ,xn−1]|m ´e um monˆomio};

(26)

- Ar ={m∈A|m ´e um monˆomio de grau igual ar};

- B=_{xa_nm_|m_∈A_};

- B<r={m∈B|m´e um monˆomio de grau menor do quer};

- Br ={m∈B|m ´e um monˆomio de grau igual ar}.

Com os conjuntos acima definidos, podemos escrever:

S6r = S<r∪Sr (observe que se trata de uma uni˜ao disjunta.)

= S<r∪(Ar∪Br)(a união apresentada entre os parênteses é também disjunta.)

= S<r∪Ar∪Br.

Como todas as uni˜oes acima s˜ao disjuntas, segue que

|S6r| = |S<r|+|Ar|+|Br|.

Por hipótese de indução,

|S<r|=

(r₋1) +n

(r₋1)

!

= r+n−1

r₋1

!

.

O número de elementos deAr é a combinação completa6den₋1 variáveis tomadasra

r,

CRn−1,r =Cr+(n−1)−1,r=Cr+n−2,r=

r+n₋2

r

!

.

Para calcular o número de elementos de Br, note que todos os seus monômios são do tipoxnm, ondem_∈Sr₋1. Disso resulta que|Br|=|Sr₋1|. Da´ı,

|Br|=|Sr−1|=CRn,r−1=C(r−1)+n−1,r−1=Cr+n−2,r−1=

r+n₋2

r₋1

!

.

Portanto,

|S6r| = |S<r|+|Ar|+|Br|

= r+n−1

r₋1

!

+ r+n−2

r

!

+ r+n−2

r₋1

!

= r+n−1

r₋1

!

+ r+n−1

r

!

= r+n

r

!

,

como quer´ıamos demonstrar.

6_{A expressão para o cálculo de uma combinação completa de}_n_tomados_r_a_r_CR

n,rpode ser encontrada

(27)

Teorema 4. Seja I_⊂S um ideal monomial com dimV(I) =d. Então para r suficientemente grande, o número de monômios que não pertencem a I de grau total menor ou igual a r é dado por um polinômio de grau d na variável r.

Demonstração. A ideia desta demonstração é realizar a contagem dos monômios de grau menor ou igual a r associados aos elementos de C(I), o qual denotaremos por _|C(I)6r|, e

verificar que parar0 suficientemente grande,|C(I)6r| é dado por um polinômio na variável rpara todor>r0. Mas antes iremos fazer algumas observações sobre o conjuntoC(I).

O primeiro fato a se observar é que se uma translação Tj de um subespaço coordenado [ei₁, . . . ,eit] pertence aC(I), então o próprio espaço coordenado pertence aC(I). De fato,

seja f _∈Tj=Xα+ [ei1, . . . ,eit], assim f =cx

ai₁

i1 ···x a_it

it . Isso nos diz que f n˜ao se anula em

nenhum ponto deV(I). Como S ´e um dom´ınio de integridade, xai1 i1 ···x

a_it

it tamb´em n˜ao se

anula em nenhum ponto deV(I), ou sejaxai1 i1 ···x

a_it

it ∈C(I).

Como por hipótese dimV =d, então todos os subespaços coordenados contidos emC(I) possuem dimensão menor ou igual ad, e além disso, pelo menos um deles tem dimensãod

(Proposic¸˜ao 1.7).

Iremos agora realizar a contagem do n´umero de elementos de cada tipo de componente

deC(I)separadamente. Primeiro caso: número de elementos de um espaço coordenado de dimensãot. Neste caso, o número de elementos de grau total menor ou igual ar é dado por

t+r r

!

= t+r

t

!

=(r+t)!

t!r! = 1

t!(r+t)···(r+1). (1.1)

Note que a expressão obtida em (1.1) é um polinômio na variável r de grau t, cujo coeficiente l´ıder é _t1_! (positivo!).

O segundo tipo de componente são as translações Tj dos subespaços coordenados. Di-gamos queTj=Xα+ [ei1, . . . ,eit](observe então que dimT

j₌_t_{). Neste caso, o n´umero de}

elementos deTj de grau menor ou igual ar, denotado por_|Tj_|6r ´e dado por:

|Tj_|6r=

  

 

0 se r<_|Xα_|,

t+r_{− |}α_|

r_{− |}α_|

!

se r>_|Xα_|.

Para simplificar a notação, quando não for necessário explicitar a composição de um

subespaço coordenado[ei1, . . . ,eit], será denotado também porT

j₌_Xα_{+ [}_e

i1, . . . ,eit], onde

j ´e um ´ındice de contagem e nesse casoα =1.

(28)

|C(I)6r| = |T61r∪ ··· ∪T6sr|

= ∑s

k=1

(₋1)k−1₍ _∑ 16i1<...<ik6s

|T₆i1_r_{∩ ··· ∩}Tik

6r|)

= ∑s

k=1|

Tk_{| −} ∑

16i1<i26s|

T₆i1_r_∩T₆i2_r_|+ ∑

16i1<i2<i36s|

T₆i1_r_∩T₆i2_r_∩T₆i3_r_{| −}. . .

(1.2)

Essa penúltima igualdade é um resultado de contagem conhecido por Princ´ıpio de In-clusão e ExIn-clusãoe pode ser encontrado em [11]. O uso desse princ´ıpio se fez necessário, pois em geral os subespaços coordenados e suas translações não são disjuntos, e sendo assim,

devemos considerar suas intersec¸˜oes.

Pelo que vimos anteriormente a parcela

s

∑

k=1|

T₆k_r_|, quando r ´e suficientemente grande, ´e

a soma de polinômios de graus menores ou iguais ad com pelo menos um deles possuindo graud, cujos coeficientes l´ıderes são positivos, e portanto sua soma é um polinômio de grau

dna vari´avelr, digamos p1(r).

O próximo passo é mostrar que a soma das demais parcelas de_|C(I)6r|formam (quando r é suficientemente grande) um polinômio na variável r de grau estritamente menor qued, digamosp2(r). Com isso teremos que

|C(I)6r|=p(r) = p1(r) +p2(r),

ondep(r) é a soma de um polinômio na variávelrde graudcom outro na variávelrde grau estritamente menor do qued. Isso prova o teorema.

Para mostrar que p2(r)é um polinômio na variávelrde grau menor do qued é suficiente

mostrar que seT₆i_r₆=T₆j_r (i₆= j),T₆i_r_∩T₆j_r é uma translação de um subespaço coordenado e que dim_{T₆i_r_∩T₆j_r_}<max_k₌_j_,_i_{dim(Tk)_}. SeT₆i_r_∩T₆j_r =∅, não há nada o que fazer.

Suponha T₆i_r_∩T₆j_r ₆=∅. Suponhamos tamb´em que Ti=Xα + [ei1, . . . ,eim], onde α =

∑

i∈{/ i1,...,im}

aiei, eTj=Xβ+ [ej1, . . . ,ejq], ondeβ = ∑

j∈{/ j1,...,jr}

bjej.

Por construção, as variáveis que aparecem efetivamente em Xα (ou seja, que possuem seu expoente diferente de zero) não pertencem a_{xi1, . . . ,xim}, da´ı podemos escrever (após

reindexamento)Xα =xa1_i

m+1···x aλ

im+λ comai>0∀i. AnalogamenteX

β ₌_xb1 jq+1···x

bδ

jq+δ com

bj>0∀j.

O pr´oximo passo ´e mostrar que [ei₁, . . . ,eim]= [6 ej1, . . . ,ejq]. Para tal, suponha por

ab-surdo que [ei₁, . . . ,eim] = [ej1, . . . ,ejq]. Neste caso temos que m=r e com isso podemos

supor queeik=ejk ∀16k6m.

Ainda, temos que existem f _∈T₆i_r_∩T₆j_r ec1, . . . ,cm,d1, . . . ,dmtais que:

f =xc1_i1 _···xcm

im ·x

a1 im+1···x

a_λ

(29)

e

f =xd1 i1 ···x

dm

im ·x

b1 jq+1···x

b_δ

j_q_+δ. (1.4)

Por definição de f, cada par de ´ındices diferentes remetem a variáveis diferentes. Logo,

ci_l =di_l _∀06l6m. Deste fato segue que podemos reescrever a equac¸˜ao (1.4) como:

f =xc1_i1 _···xcm

im ·x

b1 jq+1···x

bδ

jq+δ. (1.5)

Comparando as equac¸˜oes (1.3) e (1.5), conclu´ımos que:

Xα = xai1 im+1···x

ai_λ

im+λ

= xb1_j_q

+1···x b_δ

jq+δ

= Xβ.

Com isso conclu´ımos que T₆i_r = T₆j_r, contradic¸˜ao. Portanto devemos ter [ei1, . . . ,eim] 6=

[ej1, . . . ,ejq].

Para mostrar queT₆i_r_∩T₆j_r é uma translação contida emC(I), observe que temos

[ei1, . . . ,eim]∩[ej1, . . . ,ejq] = [ek1, . . . ,ekt]

ondet 6min_{m,q_}eekl ∈ {ei1, . . . ,eim,ej1, . . . ,ejq}.

Isso mostra que [ek1, . . . ,ekt]⊂C(I). Desde que α,β ∈C(I), segue que α∩β ∈C(I).

Decorre disso queT6ir∩T j

6r⊂C(I).

Observe que a dimensão da translaçãoT₆i_r_∩T₆j_r é igual a dimensão do subespaço coor-denado[ek1, . . . ,ekt], que é igual at6m1=min{m,q}.

Se t <m1, segue que t < m2 =max{m,q}. Caso m =m1 =t (an´alogo se m1 =q),

segue que[ei₁, . . . ,eim]⊂[ej1, . . . ,ejq]. Nestas condic¸˜oes, set=m2=max{m,q}, ter´ıamos

T₆i_r=T₆j_r. Logo devemos tert<m2.

Isso mostra que dim_{T₆i_r_∩T₆j_r_}<max_{m,q_}=maxk=i,j{dimT6kr}.

Com isso conclu´ımos que para r suficientemente grande, _|C(I)6r| ´e um polinˆomio de

graudna vari´avelr.

Definic¸˜ao 1.13. Definimos S6r={f ∈S|grau total de f seja menor ou igual a r} e Sr={f ∈S|grau total de f seja igual a r}.

O conjuntoS6r é um espaço vetorial de dimensão finita sobreke sua base é{Xα|α ∈Z>0e |α|6r}.

Além disso, o número de elementos do conjuntoS6r é igual a

n+r r

!

(30)

Definição 1.14. Se I_⊂S é um ideal arbitrário, definimos I6r=I∩S≤r e Ir=I∩Sr.

Observe queI6r é um subespaço vetorial deS6r, no entanto não é um ideal.

Definição 1.15. Dado I um ideal de S, a função afim de Hilbert de I é

a_HF

I(r) =dim S6r/I6r=dim S6r−dim I6r,∀r>0.

CasoIseja um ideal monomial, a função afim correspondente a Hilbert (de forma equiv-alente a apresentada acima) é a função que mapeia r à quantidade de monômios que não pertencem aIcujo grau total é menor ou igual ar. De fato, temos por definição que a função conta todos os monômios de grau menor ou igual aremSe subtrai a quantidade presente a

I.

Pelo Teorema 4, temos que para r suficientemente grande, a função afim de Hilbert de um ideal monomial é um polinômio.

Exemplo 1.12. Vamos obter a função afim de Hilbert deV(y2,z2)_⊂k4. Como foi observado acima, no caso deIser um ideal monomial, uma propriedade daaHF(r) é fazer a contagem dos monômios que não pertencem ao ideal que define a variedade. Neste caso o ideal é

I=<y2,z2>_⊂k[x,y,z,w].

Sejam os conjuntos:

1. A1={xawb|a,b∈Z+}eAk₁={xawb|a,b∈Z+, a+b6k};

2. A2={yxawb|a,b∈Z+}eAk2={yxawb|a,b∈Z+, a+b+16k};

3. A3={zxawb|a,b∈Z+}eAk3={zxawb|a,b∈Z+, a+b+16k};

4. A4={yzxawb|a,b∈Z+}eAk₄={yzxawb|a,b∈Z+, a+b+26k}.

Observe que

C(I) =_∪4_i₌₁Ai

e mais,Ak_i _∩Ak_j=∅_∀i₆= je_∀k>0. Com isso, temos que o n´umero de elementos de grau total menor ou igual ak deC(I) pode ser obtido como a soma da quantidade de elementos de cadaAk_i (o qual denoto por_|Ak_i_|).