Problemas elípticos semilineares com potenciais ilimitados e/ou com decaimento radial

LUCIANO CORDEIRO DE OLIVEIRA

PROBLEMAS EL´IPTICOS SEMILINEARES COM POTENCIAIS ILIMITADOS E/OU DECAIMENTO RADIAL

Disserta¸c˜ao apresentada `a Universidade Federal de Vi¸cosa, como parte das exigˆencias do Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Magister Scientiae.

VIC¸ OSA

LUCIANO CORDEIRO DE OLIVEIRA

PROBLEMAS EL´IPTICOS SEMILINEARES COM POTENCIAIS ILIMITADOS E/OU DECAIMENTO RADIAL

Disserta¸c˜ao apresentada `a Universi-dade Federal de Vi¸cosa, como parte das exigˆencias do Programa de P´os Gradua¸c˜ao em Matem´atica para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Magister Scientiae.

APROVADA: 26 de Fevereiro de 2010.

Emerson A. Mendon¸ca de Abreu Ronaldo Brasileiro Assun¸c˜ao

Paulo C´esar Carri˜ao Sandro Vieira Romero

(Co-orientador) (Co-orientador)

Agradecimentos

O autor expressa seus sinceros agradecimentos aos professores e funcion´arios do DMA/UFV que contribu´ıram para sua forma¸c˜ao. Em especial ao professor Ol´ımpio (Orientador) pela enorme paciˆencia, mesmo quando fazia perguntas ingˆenuas.

Aos professores que compuseram minha banca por aceitarem o convite e pelas sugest˜oes finais.

`

A Coordena¸c˜ao do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal de Vi¸cosa juntamente com todos os professores.

Aos colegas de curso e a todos que participaram diretamente ou indiretamente desta minha caminhada na UFV.

`

Sum´

ario

Nota¸c˜oes v

Resumo viii

Abstract ix

Introdu¸c˜ao 1

1 Resultados Preliminares 3

2 Teoremas Principais 22

3 Aplica¸c˜oes do Teorema 2.3 42

A Apˆendice 46

Nota¸c˜

oes

Nota¸c˜oes Gerais

Bδ(x) bola aberta de centro x e raio δ Bδ(0) =Bδ bola aberta de centro 0 e raioδ ̟n volume da esfera unit´aria em IRn

Xc indica o complementar deX em rela¸c˜ao aU, X _⊂U X_\Y indica o conjunto_{x_∈Xx_6∈Y_}

⇀ convergˆencia fraca

≫ muito maior

q.t.p. quase toda parte

suppf suporte da fun¸c˜aof

Ci indicam constantes positivas independentes da fun¸c˜oes

∇u=

∂u ∂x1

, ∂u ∂x2

, ..., ∂u ∂xn

gradiente de u

∆u=

n

X

i=1

∂2u ∂x2

i

laplaciano de u

Espa¸cos de Fun¸c˜oes

Lp_{(Ω) =}

u mensur´avel sobre Ω e Z

Ω|

u_|pdx <_∞

, 1_≤p < _∞

ku_kLp_(Ω) =

Z

Ω|

u_|pdx

1/p

norma do espa¸co de Lebesgue Lp(Ω) com 1_≤p < _∞

L∞(Ω) =_{u mensur´avel sobre Ω e existe C tal que _|u(x)_{| ≤}C q.t.p. sobre Ω_}

ku_kL∞_(Ω) ={sup|u(x)|=M, µ{x:u(x)> M}= 0}

C0(Ω) : conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas com suporte compacto em Ω

Ck(Ω) : conjunto de todas as fun¸c˜oes k_∈N_{vezes continuamente diferenci´aveis sobre Ω}

C∞(Ω) = \

k≥0

Ck(Ω)

C₀k(Ω) =Ck(Ω)_∩C0(Ω)

C(Ω) : fun¸c˜oes cont´ınuas sobre Ω

C0,α(Ω) =

u_∈C(Ω) sup

x,y∈Ω

|u(x)₋u(y)_| |x₋y_|α <∞

com 0< α <1

D(Ω) =C∞

0 (Ω) : conjunto de todas as fun¸c˜oes suaves com suporte compacto em Ω

C∞

0,r(IRn) =

u_∈C∞

0 (IRn)

u´e radial

Lp_(IRn_{, Q) =}

u:IRn_{→IRu´e mensur´avel, Q∈C((0,∞)) e}

Z

IRn

Q(_|x_|)_|u_|pdx <_∞

L2_(IRn_{, V) =}

u:IRn _{→IRu ´e mensur´avel,V ∈C((0,∞)) e}

Z

IRn

V(_|x_|)_|u_|2dx <_∞

W1,p_{(Ω) =}

u_∈Lp_(Ω) ∂u ∂xi ∈L

p_{(Ω) e}

Z

Ω

u∂ϕ ∂xi =−

Z

Ω

∂u

∂xiϕ, ∀ϕ∈D(Ω),∀i= 1, ..., n

W₀1,p(Ω) : completamento de C1

0(Ω), na norma deW1,p(Ω), 1≤p <∞

H1_{(Ω) =W}1,2_(Ω)

H1

0(Ω) =W01,2(Ω)

D1,2

r (IRn) ´e o completamento de C0∞,r(IRn), com a norma kuk=

Z

IRn|∇

u_|2dx

1/2

H1

r(IRn, V) =D1r,2(IRn)∩L2(IRn, V)

H1

r(IRn, V) ´e um espa¸co de Hilbert com a normakukV =

Z

IRn|∇

u_|2+V(_|x_|)u2dx

1/2

e, por simplicidade, `as vezes usaremos_ku_kH1

Resumo

OLIVEIRA, Luciano Cordeiro de, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, Fevereiro de 2010. Problemas el´ıpticos semilineares com potenciais ilimitados e/ou com decaimento radial. Orientador: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki. Co-orientadores: Paulo C´esar Carri˜ao e Sandro Vieira Romero.

Abstract

OLIVEIRA, Luciano Cordeiro de, M.Sc., Universidade Federal de Vi¸cosa, February 2010. Elliptics semilineares problems with unbounded potential and/or with radial potential. Adviser: Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki. Co-Advisers: Paulo C´esar Carri˜ao and Sandro Vieira Romero.

Introdu¸c˜

ao

Em nosso estudo trataremos das equa¸c˜oes de Schr¨odinger n˜ao-lineares com po-tenciais que podem ser ilimitados. Vamos concentrar nossos esfor¸cos no seguinte modelo de equa¸c˜ao

  

 

−∆u+V(_|x_|)u=Q(_|x_|)up−1, com u >0, em IRn,

|u(x)_{| →}0, quando _|x_{| → ∞}.

(1)

Em [17] os autores mencionam que o problema acima ´e mais sutil do que aqueles em que o potencial verifica a condi¸c˜ao padr˜ao de crescimento n˜ao-linear subcr´ıtico, a saber, Q(_|x_|)up−1_≤C 1 +_|u_|p−1, 2< p <2∗ = 2n

n₋2.

Estabeleceremos o funcional que permite estudar, por m´etodos variacionais, as solu¸c˜oes examinando existˆencia e propriedades qualitativas. Veremos que a existˆencia de solu¸c˜oes est´a intimamente relacionada com o intervalo de varia¸c˜ao depe com os potenciais que aparecem em (1). Estudaremos a imers˜ao entre alguns espa¸cos de Sobolev com pesos. Os resultados ser˜ao utilizados para obter solu¸c˜oes para o problema (1) e nosso foco ser´a o caso com simetria radial a fim de estabelecermos resultados mais fortes do que os que seriam poss´ıveis para os casos gerais. H´a v´arias possibilidades nesse campo de estudo, pois existem muitos problemas que ainda n˜ao foram estudados em detalhes.

Nosso objetivo ´e apresentar condi¸c˜oes para que o problema acima admita solu¸c˜ao. Esta disserta¸c˜ao teve como base de estudo v´arios artigos de pesquisa, entre eles os devido a Wei-Yue Ding e Wei-Ming NiDing-Ni [6] e a Habao Su, Zhi-Qiang Wang e Michel Willem [17].

Cap´ıtulo 1

Resultados Preliminares

Em nosso trabalho sempre consideraremos n _≥ 2 e usaremos as hip´oteses lis-tadas abaixo.

(V) V(r)_∈C((0,_∞)) com V(r)_≥0 e existem constantes a ea0 tais que

lim inf

r→∞

V(r)

ra >0, lim inf_r→0 V(r)

ra0 >0.

(Q) Q(r)_∈C((0,_∞)) com Q(r)>0 e existem constantes b0 e b tais que

lim sup

r→0

Q(r)

rb0 <∞, lim sup_r→∞

Q(r)

rb <∞.

Se as condi¸c˜oes (V) e (Q) s˜ao satisfeitas para n_≥3, definimos

p=p(a0, b0) =

     

    

2(n+b0)

n₋2 , se b0 ≥ −2, a0 ≥ −2, 2(2n₋2 + 2b0−a0)

2n₋2 +a0

, se ₋2(n₋1)< a0 ≤ −2, b0 ≥a0,

∞, se a0 ≤ −2(n−1), b0 >−2(n−1).

p=p(a, b) =      

    

2(2n₋2 + 2b₋a)

2n₋2 +a , se −2< a≤b,

2(n+b)

Nas figuras a seguir, mostramos as regi˜oes onde os valores de p e de p se encontram em nosso trabalho.

Para p temos,

p=p(a0, b0) =

     

    

2(n+b0)

n₋2 , se b0 ≥ −2, a0 ≥ −2,

I

2n₋2 +a0

, se ₋2(n₋1)< a0 ≤ −2, b0 ≥a0,

II

∞, se a0 ≤ −2(n−1), b0 >−2(n−1).

III

0 0

b

a

0

a

0

b

2(

n

1)

2

2

2(

n

1)

III

I

I

I

I

I

I

III

II

II

II

III

Figura 1.1: Regi˜oes poss´ıveis para p

Para p temos,

p=p(a, b) =      

    

2(2n₋2 + 2b₋a)

2n₋2 +a , se −2< a≤b,

I

2(n+b)

n₋2 , se b ≥ −2, a ≤ −2,

II

III

III

III

II

III

III

III

II

2

2

III

III

b

a

a

b

I

I

I

Figura 1.2: Regi˜oes poss´ıveis para p

A seguir daremos um exemplo ilustrando as fun¸c˜oesV(r), V(r)

ra e V(r)

ra0 e outro

exemplo ilustrando as fun¸c˜oes Q(r), Q(r)

rb0 e

Q(r)

rb . Al´em disso, apresentaremos o

compor-tamento destas fun¸c˜oes graficamente e daremos o valor de putilizando a, b e o valor de p

utilizando a0,b0.

(i) Se V(r) = r2+ 2r tomamos a= 2 e a0 = 1 e da´ı,

lim inf

r→∞ V(r)

r2 = lim inf_r→∞

r2+ 2r

r2 = lim_r→∞

2

r + 1

= 1>0

lim inf

r→0

V(r)

r1 = lim inf_r→0

r2+ 2r

r1 = lim_r→0(r+ 2) = 2>0.

2 4 6 8 10

20 40 60 80 100 120

(a) gr´afico da fun¸c˜aoV(r)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2

4 6 8 10 12 14

(b) gr´afico da fun¸c˜ao V(r)

ra

5 10 15 20

5 10 15 20

(c) gr´afico da fun¸c˜ao V(r)

ra0

(ii) SeQ(r) = √₃1

r2 tomamos b0 =−

2

3 e b= 0 e da´ı,

lim sup

r→0

Q(r)

r−2₃ = lim sup_r→0

1

3

√

r2

r−2₃ = limr→0 3

√

r2 3

√

r2 = 1<∞

lim sup

r→∞

Q(r)

r0 = lim sup

r→∞

1

3

√

r2

r0 = lim_r→∞

1

3

√

r2 = 0<∞.

1 2 3 4

0.5 1.0 1.5 2.0

(a) gr´afico da fun¸c˜aoQ(r)

1 2 3 4

0.5 1.0 1.5 2.0

(b) gr´afico da fun¸c˜ao Q(r)

rb0

1 2 3 4

0.5 1.0 1.5 2.0

(c) gr´afico da fun¸c˜ao Q(r)

rb

Figura 1.4: Comportamento das fun¸c˜oes com a condi¸c˜ao (Q)

Com os valores a= 2, a0 = 1, b0 =−

2

3 e b = 0, teremos p=p(2,0) = 2 e

p=p

1,₋2

3

= 2 n−

2 3

n₋2 . Note quep= 2 <

A seguir, apresentaremos os resultados preliminares que dar˜ao suporte para a demonstra¸c˜ao dos teoremas principais no pr´oximo cap´ıtulo. Para maior clareza, os lemas ser˜ao apresentados em detalhes e enfatizamos que os resultados n˜ao demonstrados est˜ao listados no apˆendice. Come¸caremos mostrando dois resultados de Strauss generalizados para os espa¸cos com peso H_r1(IRn, V) e D₀1_,r,2(Br0(0))∩L

2_(Br

0(0), V) respectivamente.

Lema 1.1

Suponha (V) com a >₋2(n₋1). Ent˜ao existe uma constante C >0 de modo que para toda fun¸c˜ao u_∈H_r1(IRn, V),

|u(x)_{| ≤}C_||u_||V|x|−

2(n−1)+a

4 , |x| ≫1. (1.1)

Demonstra¸c˜ao:

Decorre de (V) que existe R >0 tal que para alguma constante C1 >0,

V(_|x_|)_≥C1|x|a, |x| ≥R.

Para u_∈C∞(IRn)_∩H_r1(IRn, V) quando α >₋(n₋1) temos,

d dr r

α+n−1

|u_|2= 2rα+n−1udu

dr + (α+n−1)|u|

2_rα+n−2

≥2rα+n−1udu dr.

Tomandoα= a

2,r > Re utilizando Cauchy-Schwartz, H¨older (A.3), mudan¸ca de vari´avel e a hip´otese (V), valem as desigualdades

|u_|2rα+n−1 _{≤ −}2 Z ∞

r

usα+n−1u′(s)ds

≤ 2 Z ∞

r |

u_|sα+n−1_|u′(s)_|ds= 2 Z ∞

r |

u′(s)_|sn−21sα+ n−1

2 |u|ds

≤ 2 Z ∞

r |

u′(s)_|2sn−1ds

1

2 Z ∞

r

s2α_|u_|2sn−1ds

1 2

≤ 2̟_n−1

Z

IRn_\B r(0)

|∇u_|2dx

1 2 Z

IRn_\Br(0)|

x_|a_|u_|2dx

1 2

≤ 2̟_n−1

Z

IRn_\B r(0)

|∇u_|2dx

1 2 Z

IRn_\Br(0)

V(_|x_|)

C1 |

u_|2dx

≤ 2̟−_n1C−

1 2 1

Z

IRn_\Br(0)|∇

u_|2dx

1 2 Z

IRn_\B r(0)

V(_|x_|)_|u_|2dx

1 2

≤ 2̟−_n1C−

1 2 1

Z

IRn|∇

u_|2+V(_|x_|)_|u_|2dx.

Portanto,

|x_|a2+n−1|u(x)|2 ≤ 2̟−1

n C

−1₂

1 ||u||2V

|u(x)_|2 _≤ 2̟_n−1C−

1 2 1 |x|−

a

2−n+1kuk2

V

|u(x)_{| ≤} 2̟−_n1C−

1 2 1

1/2

|x_|−a2−n+11/2||u||_V.

Tomando C = 2̟−_n1C−

1 2 1

1/2

> 0 e utilizando o argumento da densidade segue que u_∈H_r1(IRn, V) implica

|u(x)_{| ≤}C_||u_||V|x|−

2(n−1)+a

4 , |x| ≥R≫1.

Lema 1.2

Suponha (V) com a0 > −2(n−1). Ent˜ao existem r0 > 0 e C0 > 0 de modo

que para toda fun¸c˜ao u_∈D₀1,_,r2(Br0(0))∩L 2_(B

r0(0), V),

|u(x)_{| ≤}C0kukV|x|−

2(n−1)+a₀

4 , 0<|x|< r₀. (1.2)

Demonstra¸c˜ao:

Decorre de (V) que existe r0 > 0 “pequeno” tal que, para alguma constante

C2 >0,

V(_|x_|)_≥C2|x|a0, 0<|x|< r0.

Para u_∈C∞(Br0(0))∩D 1,2

0,r(Br0(0))∩L 2_(B

r0(0), V) com β >−(n−1) temos,

d dr r

β+n−1

|u_|2= 2rβ+n−1udu

dr + (β+n−1)|u|

Utilizando Cauchy-Schwartz para 0< r < r0 obtemos,

−rβ+n−1_|u_|2 = Z r0

r

2sβ+n−1uu′(s)ds+ (β+n₋1) Z r0

r |

u_|2sβ+n−2ds

rβ+n−1_|u_|2 _≤

Z r0

r

2sβ+n−1uu′(s)ds

−(β+n−1) Z r0

r |

u_|2sβ+n−2ds

rβ+n−1_|u_|2 _≤ 2 Z r0

r |

u_|sβ+n−1_|u′(s)_|ds₋(β+n₋1) Z r0

r |

u_|2sβ+n−2ds.

Quando β _≥a0+ 1, segue da condi¸c˜ao(V) que

Z r0

r |

u_|2sβ+n−2ds = Z r0

r |

u_|2sa0+n−1sβ−a0−1_ds

≤ rβ−a0−1 0

Z r0

r |

u_|2sa0+n−1ds

≤ ̟−_n1rβ−a0−1 0

Z

Br₀(0)\Br(0)

|x_|a0_|u|2_dx

≤ ̟−_n1rβ−a0−1 0

Z

Br₀(0)\Br(0)

V(_|x_|)

C2 |

u_|2dx

≤ ̟−_n1C₂−1rβ−a0−1 0 kuk2V.

Tomando β = a0

2, utilizando H¨older (A.3) e a condi¸c˜ao (V) temos, Z r0

r |

u_|sβ+n−1_|u′(s)_|ds = Z r0

r |

u′(s)_|sn−21|u|sβ+ n−1

2 ds

≤

Z r0

r |

u′(s)_|2sn−1ds

1 2 Z r0

r

s2β_|u_|2sn−1ds

1 2

≤ ̟−_n1

Z

Br₀(0)\Br(0)

|∇u_|2dx

!1 2 Z

Br₀(0)\Br(0)

|x_|a0_|u|2_dx

!1 2

≤ ̟−_n1

Z

Br₀(0)\Br(0)

|∇u_|2dx

!1 2 Z

Br₀(0)\Br(0)

V(_|x_|)

C2 |

u_|2dx

!1 2

Como β+n₋1_≥0 se, e somente se, a0 ≥ −2(n−1), segue queβ+n−1≤0

implica β₋a0−1≥n−2. Em seguida, temos

rβ+n−1_|u_|2 _≤ 2̟_n−1C−12

2 kuk2V −(β+n−1)̟n−1C2−1r

β−a0−1 0 kuk2V

≤ 2̟_n−1C−12 2

2₋(β+n₋1)C−12

2 r

β−a0−1 0

ku_k2_V.

Comor0´e “pequeno” conseguimos que 2−(β+n−1)C

−1₂

2 r

β−a0−1

0 >0 da´ı basta

escolher C0 =C0(a0, r0, n) =

2̟−1

n C −1

2 2

2₋(β+n₋1)C−12

2 r

β−a0−1 0

1/2

>0 e utilizar o argumento da densidade que u_∈D1_0,r,2(Br0(0))∩L

2_(Br

0(0), V) nos dar´a a desigualdade

desejada

|u(x)_{| ≤}C0kukV|x|−

2(n−1)+a₀

4 , 0<|x|< r₀.

O resultado a seguir ´e devido a Strauss.

Lema 1.3

Suponha 1 < p < n. Ent˜ao existe C = C(n, p) > 0 de modo que para toda fun¸c˜ao u_∈D1_r,p(IRn),

|u(x)_{| ≤}C_|x_|−n−ppk∇uk

Lp_(IRn₎. (1.3)

Demonstra¸c˜ao:

Utilizando o argumento da densidade basta considerar u _∈ C₀∞_,r(IRn). Assim, temos

−u(r) =u(_∞)₋u(r) = Z ∞

r

u′(s)ds.

Deste modo, usando H¨older (A.3) temos,

|u(r)_{| ≤} Z ∞

r |

u′(s)_|ds

= Z ∞

r |

u′(s)_|sn−p1s− n−1

p ds

≤

Z ∞

r |

u′(s)_|psn−1ds

1

pZ ∞

r

s−np−−11ds

p−1 p

≤ ̟−

1 p

n

Z

IRn|∇

u_|pdx

1

p Z ∞

r

s−np−−11ds

p−1 p

Uma vez que Z ∞

r

s−np−−11_ds= p−1

n₋pr

p−n

p−1, obtemos

|u(r)_{| ≤} ̟−

1 p

n

Z

IRn|∇

u_|pdx

1

p_p−1

n₋pr

p−n p−1

p−1 p = ̟− 1 p n

p₋1

n₋p

p−1

p Z

IRn|∇

u_|pdx

1 p

rp

−n p

Portanto, tomando C =C(n, p) = ̟−

1 p n p−1 n−p

p−1 p

, segue a desigualdade dese-jada, isto ´e, qualquer que sejau_∈D1_r,p(IRn) vale_|u(x)_{| ≤}C_|x_|−n

−p p k∇_uk

Lp_(IRn₎.

O resultado a seguir estabelece uma rela¸c˜ao de imers˜ao cont´ınua do espa¸co

D1_r,2(IRn) em Lp(IRn,_|x_|c).

Lema 1.4

Sejam n _≥ 3, 2_≤p <_∞ e p= 2(_n−n+₂c) para algum ₋2_≤ c <_∞. Ent˜ao existe

C >0 tal que para toda fun¸c˜ao u_∈D_r1,2(IRn) Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx

2 p

≤C

Z

IRn|∇

u_|2dx (1.4)

Demonstra¸c˜ao:

Nas desigualdades do Lema1.4 vamos precisar das observa¸c˜oes: (i) Existe C >b 0 de modo que _|x_|2+c_|u(x)_|p−2 _≤Cbp−2_k∇u_kp−_L2₍2_IRn₎.

De fato, no Lema 1.3 com p = 2 temos _|u(x)_{| ≤}Cb_|x_|−n−22k∇uk

L2_(IRn₎. Por

hip´otese p= 2(n+c)

p₋2 para algum−2≤c <∞ da´ı 2 +c

p₋2 =

2 +c

2(n+c)

n₋2 −2

= 2 +c

2n+ 2c₋2n+ 4

n₋2

= 2 +c 2(c+ 2)

n₋2

= n−2 2 .

Portanto_|x_|2+cp−2|_u(_x)| ≤_Cbk∇_uk

L2_(IRn₎ e da´ı|x|2+c|u(x)|p−2 ≤Cbp−2k∇ukp−2

L2_(IRn₎.

(ii) Como p= 2(n+c)

p₋2 para algum −2≤c <∞ temos

p n+c =

2

n₋2. Utilizando o argumento padr˜ao da densidade, ´e suficiente considerar o caso

Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx = ̟n

Z ∞

0

rn−1+c_|u(r)_|pdr

= ̟n

n+cr n+c

|u(r)_|p∞

0 −

p̟n n+c

Z ∞

0

rn+c_|u(r)_|p−2u(r)u′(r)dr

= ₋ p̟n

n+c

Z ∞

0

rn+c_|u(r)_|p−2u(r)u′(r)dr

≤ _n2̟n −2

Z ∞

0

rn+c_|u(r)_|p−1_|u′(r)_|dr

= 2̟n

n₋2 Z ∞

0

rn+c−n−21|u(r)|p−1|u

′

(r)_|rn−21dr

≤ _n2̟n −2

Z ∞

0 |

u′(r)_|2_rn−1_dr

1 2 Z ∞

0

r2(n+c−n−21)|u(r)|2(p−1)dr

1 2

= 2̟

1 2

n

n₋2k∇ukL2(IRn) Z ∞

0

rn+2c+1_|u(r)_|2(p−1)dr

1 2

= 2̟

1 2

n

n₋2k∇ukL2(IRn) Z ∞

0

rn−1+c_|u(r)_|pr2+c_|u(r)_|p−2dr

1 2

≤ Cbp−22 2̟ 1 2

n

n₋2k∇uk

p 2

L2_(IRn₎

Z ∞

0

rn−1+c_|u(r)_|pdr

1 2

= Cbp−22 2

n₋2k∇uk

p 2

L2_(IRn₎

Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx

1 2

.

Sendo assim, Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx_≤Cbp−22 2

n₋2k∇uk

p 2

L2_(IRn₎

Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx

1 2

o que

nos d´a Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx

2 p

≤Cb2(p

−2) p

2

n₋2 4

p

k∇u_k2_L2_(IRn₎.

Agora, tomando C = ̟−

p−2 p n 2 4 p 1 n−2 p+2

p _{> 0 (depende somente de n e p) e}

observando que a constante C >b 0 foi dada noLema 1.3 temos a desigualdade desejada, ou seja,

Z

IRn|

x_|c_|u_|pdx

2 p

≤C

Z

IRn|∇

O resultado a seguir estabelece uma imers˜ao compacta de H_r1(BR_\Br, V) em

Lp(BR_\Br, Q).

Lema 1.5

Sejam n _≥2 e 1_≤p _{≤ ∞}. Ent˜ao para algum 0< r < R < _∞ com R _≫1, a seguinte imers˜ao ´e compacta

H_r1(BR_\Br, V)֒_→Lp(BR_\Br, Q). (1.5) Demonstra¸c˜ao:

Vamos dividir a demonstra¸c˜ao em 3 etapas para concluir a imers˜ao. Etapa 1. Mostrar a imers˜ao H1

r(BR\Br, V)֒→Hr1(BR\Br).

Dado u_∈H_r1(BR_\Br) =_{u_∈H1(BR_\Br)_|u ´e radial_}basta verificar que ku_kH1

r(BR\Br)≤CkukHr1(BR\Br,V).

Tomando 0 < r < R com R _≫ 1, observando que V(_|x_|) _≥ 0 e usando a Desigualdade de Poincar´e (A.17) obtemos,

ku_k2_H1

r(BR\Br,V) =

Z

BR\Br

(_|∇u_|2+V(_|x_|)u2)dx

≥ Z

BR\Br

|∇u_|2dx

= 1 2

Z

BR\Br

(_|∇u_|2+_|∇u_|2)dx

= 1 2

Z

BR\Br

|∇u_|2dx+1 2

Z

BR\Br

|∇u_|2dx

≥ 1₂C1

Z

BR\Br

u2dx+1 2

Z

BR\Br

|∇u_|2dx

≥ C2

Z

BR\Br

(_|∇u_|2+u2)dx

= C2kuk2H1

r(BR\Br).

Tomando C =C−12

2 >0 temos a desigualdade desejada.

Para a imers˜ao basta verificar que _ku_kLp_(B

R\Br) ≤CkukHr1(BR\Br).

Se 1_≤p < _∞ usando H¨older (A.3) temos,

ku_kp_Lp_(B

R\Br) =

Z

BR\Br

|u_|pdx

≤ Z

BR\Br

|u_|2dx

p 2 Z

BR\Br

1dx

2−p 2

≤ C1

(Z

BR\Br

(_|∇u_|2+u2)dx

1 2

)p

= C1 kukH1

r(BR\Br)

p .

Tomando C =C

1 p

1 >0 temos a desigualdade desejada.

Se p = _∞ vamos usar a desigualdade _|u(x)_{| ≤} C1|x|− n−2

2 kuk_H1

r(BR\Br)

decor-rente da desigualdade (1.3) dada no Lema1.3 com p= 2. Assim, temos ku_kLp_(B

R\Br) = sup{|u(x)|=M, µ{x:u(x)> M}= 0}

≤ C1|x|− n−2

2 kuk

H1

r(BR\Br)

≤ C1r− n−2

2 kuk

H1

r(BR\Br).

Como n_≥2 tome C =C1r− n−2

2 >0 e a desigualdade segue.

Para provar a compacidade seja (um)⊂Hr1(BR\Br) comkumkH1

r(BR\Br)≤C.

Afirmamos que (um) ´e equicont´ınua. De fato, tomando R > _|x_|>_|y_|> r > 0 e utilizando Cauchy-Schwartz e H¨older (A.3) temos,

|um(x)₋um(y)_{| ≤} Z |x|

|y| |

u′_m(s)_|ds

≤ ||x_{| − |}y_||12

Z |x|

|y| |

u′_m(s)_|2ds

!1 2

≤ ||x_{| − |}y_||12|y|− n−1

2 ̟− 1

≤ |x₋y_|12r− n−1

2 ̟− 1

2k∇uk_L2_(B R\Br)

≤ C1|x−y| 1 2kuk_H1

r(BR\Br)

≤ CC1|x−y| 1 2.

Dadoǫ >0 tomeδ = _CCǫ2

1 >0 e da´ı se|x−y|< δ implica|um(x)−um(y)|< ǫ.

Como (um) ´e limitada e equicont´ınua, pelo Teorema de Arzel´a-Ascoli (A.14),

existe uma subsequˆencia (umj) de (um) que converge uniformemente, ou seja, umj →u.

Das condi¸c˜oes anteriores temos, (i) _|umj| ≤C(uniforme);

(ii) umj(x)→u(x) q.t.p.;

(iii) _|umj −u|

p

→0 q.t.p.; (iv) _|umj −u|

p

≤2p−1(_|umj|

p ₊

|u_|p)_≤2p−1(Cp+_|u_|p)_∈L1.

Assim, pelo Teorema da Convergˆencia Dominada (A.15), temos umj → u em

Lp_(B

R\Br).

Portanto H1

r(BR\Br) est´a compactamente imerso em Lp(BR\Br).

Etapa 3. Mostrar a imers˜ao Lp_(B

R\Br)֒→Lp(BR\Br, Q).

De (Q)temos a existˆencia de r0 >0 e C2 >0 tais queQ(|x|)≤C2|x|b sempre

que _|x_{| ≥}r0. Assim,

ku_kp_Lp_(B

R\Br) =

Z

BR\Br

|u_|pdx

= Z

BR\Br

|u_|pC2|x| b

C2|x|b

dx

≥ C3

Z

BR\Br

|u_|pQ(_|x_|)dx

= C3kukp_Lp_(B

R\Br,Q).

Tomando C =C−

1 p

Lema 1.6

A aplica¸c˜aou_{7→ k}u_kV,kukV =

rZ

IRn |∇

u_|2+V(_|x_|)u2dxest´a bem definida e define uma norma em H_r1(IRn, V). Al´em disso, para R _≫1,

H_r1(BR, V)֒_→H1(BR), (1.6) em que H_r1(BR, V) = _{u_B

R |u∈H 1

r(IRn, V)}.

Demonstra¸c˜ao:

Primeiramente, vamos mostrar que a norma est´a bem definida. De fato (i) Se_ku_kV = 0, ent˜ao

Z

|∇u_|2 = 0 eu´e constante. Decorre de(V)que lim inf

r→∞

V(r)

ra >0

e u= 0. Portanto_ku_kV = 0⇔u= 0;

(ii) Para qualquer α_∈IR e u_∈H_r1(IRn, V) temos

kαu_kV =

sZ

IRn |∇

αu_|2+V(_|x_|)(αu)2dx =_|α_|

sZ

IRn |∇

u_|2+V(_|x_|)u2dx =_|α_|ku_kV.

Portanto_kαu_kV =|α|kukV;

(iii)(Desigualdade Triangular) Sejam u, v _∈H_r1(IRn, V). Ent˜ao

ku+v_k2_V = Z

IRn |∇

(u+v)_|2_+V(|x|)(u+v)2_dx

= Z

IRn|∇

u+_∇v_|2dx+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2_dx

≤ Z

IRn

(_|∇u_|+_|∇v_|)2dx+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2dx

≤ Z

IRn

(_|∇u_|+_|∇v_|)2dx

1/2 Z

IRn|∇

u_|2dx

1/2

+ Z

IRn|∇

v_|2dx

1/2!

+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2dx

1/2 Z

IRn

V(_|x_|)u2dx

1/2

+ Z

IRn

V(_|x_|)v2dx

1/2!

≤ Z

IRn

(_|∇u_|+_|∇v_|)2dx

1/2

+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2dx

1/2!

(_ku_kV +kvkV).

ku+v_kV =

Z

IRn |∇

(u+v)_|2+V(_|x_|)(u+v)2dx

1/2

≤ Z

IRn|∇

(u+v)_|2dx

1/2

+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2dx

1/2

≤ Z

IRn

(_|∇u_|+_|∇v_|)2dx

1/2

+ Z

IRn

V(_|x_|)(u+v)2dx

1/2

.

Portanto, do exposto acima, temos_ku+v_kV ≤ kukV+kvkV.

Em seguida, para mostrar que H1

r(BR, V) ֒→ H1(BR), vamos utilizar as

de-sigualdades 1 e 2 listadas abaixo. SejaR1 >0 tal que (suppV)c ⊂BR1. Para R≥R1+ 1.

Desigualdade 1. Para cada u _∈ H1

r(BR, V), temos

Z

BR\BR₁

u2 _≤ C2

Z

BR

V u2 com

C2 >0. De fato, por(V)existeC1 >0 tal que V(|x|)≥C1|x|a sempre que|x| ≥Re da´ı,

Z

BR\BR₁

u2dx = Z

BR\BR₁

u2C1|x| a

C1|x|a

dx

≤ Z

BR\BR₁

u2V(|x|) C1|x|a

dx

≤ C2

Z

BR\BR₁

V(_|x_|)u2dx

≤ C2

Z

BR

V(_|x_|)u2dx.

Na desigualdade anterior tomamos C2 = (C1Ra1)−1 >0.

Desigualdade 2. Escolha uma fun¸c˜ao corte ou “cut-off” ϕ_∈ C₀∞(BR) satis-fazendo ϕ(x) = 1 para _|x_{| ≤} R1. Ent˜ao, usando a Desigualdade de Poincar´e (A.17) e a

desigualdade 1, temos Z

BR₁

u2dx_≤C6

Z

BR

|∇u_|2+V u2dx com C6 >0. De fato,

Z

BR₁

u2dx _≤

Z

BR

(ϕu)2dx

≤ C3

Z

BR

|∇(ϕu)_|2dx

= C3

Z

BR

≤ 2C3

Z

BR

|∇ϕ.u_|2+_|ϕ._∇u_|2dx

= 2C3

Z

BR

|ϕ._∇u_|2dx+ Z

BR

|∇ϕ.u_|2dx

≤ 2C3

Z

BR

|∇u_|2dx+ Z

BR\BR₁

C4u2dx

!

≤ C5

Z

BR

|∇u_|2dx+ Z

BR\BR₁

u2dx

!

≤ C6

Z

BR

|∇u_|2+V u2dx.

Para a imers˜ao basta verificar que _ku_kH1_(BR) ≤Ckuk_H1

r(BR,V). De fato,

ku_k2_H1_(BR) =

Z

BR

|∇u_|2+u2dx= Z

BR₁

|∇u_|2+u2dx+ Z

BR\BR₁

|∇u_|2+u2dx

= Z

BR₁

|∇u_|2dx+ Z

BR₁

u2dx+ Z

BR\BR₁

|∇u_|2dx+ Z

BR\BR₁

u2dx

≤ Z

BR

|∇u_|2+V u2dx+C6

Z

BR

|∇u_|2+V u2dx+ Z

BR

|∇u_|2dx+C2

Z

BR

V u2dx

≤ 3C7

Z

BR

|∇u_|2+V u2dx= 3C7kuk2H1 r(BR,V).

Tomando C =√3C7 >0 com C7 = max{1, C2, C6} >0 segue a desigualdade

ku_kH1_(BR) ≤Ckuk_H1

r(BR,V).

N´os precisaremos tamb´em da Desigualdade de Hardy e da Desigualdade de Hardy 2-dimensional.

Lema 1.7 (Desigualdade de Hardy)

Seja n_≥3. Para toda fun¸c˜ao radial u_∈D1,2(IRn) Z

IRn|∇

u_|2dx_≥

n₋2 2

2Z

IRn

u2

|x_|2dx. (1.7)

Demonstra¸c˜ao:

Z

IRn|

x_|−2_|u_|2dx

1

≤22

1

n₋2 2Z

IRn|∇

u_|2dx.

Portanto, segue a desigualdade Z

IRn|∇

u_|2dx_≥

n₋2 2

2Z

IRn

u2

|x_|2dx.

Lema 1.8 (Desigualdade de Hardy 2-dimensional)

Considere n = 2. Para toda fun¸c˜ao radial u_∈D₀1,2(B1)

Z

B1

|∇u_|2dx_≥ 1

4 Z

B1

|x_|−2

ln 1

|x_|

−2

|u_|2dx. (1.8)

Demonstra¸c˜ao:

Parau_∈C₀1(B1),u >0 radial definimosψ(r) =

ln1

r

−1₂

u(r) parar _∈(0,1]. Ent˜ao, derivando u em termos deψ temos

u′(r) = ψ′(r)

ln1

r

1 2

+ ψ(r) 2 ln1 r −1 2 r −_r1₂

u′(r) = ψ′(r)

ln1

r

1 2

− ₂1_rψ(r)

ln1

r

−1₂

u′(r) = ₋ 1 2rψ(r)

ln1

r

−1₂

1₋ 2rψ

′_(r) ψ(r) ln

1

r

.

Agora,

|u′(r)_|2 = 1 4r2ψ

2_(r)

ln1

r

−1

1₋2rψ

′_(r) ψ(r) ln

1

r

2

≥ 1 4r2ψ

2_(r)

ln1

r

−1

1₋4rψ

′_(r) ψ(r) ln

1

r

= 1

4r2ψ 2_(r)

ln1

r

−1

−ψ(r)ψ

′_(r)

r .

Z

B1

|∇u_|2dx = ̟n

Z 1

0 |

u′(r)_|2rdr

≥ ̟n

Z 1

0

1 4r2ψ

2_(r)

ln1

r

−1

− ψ(r)ψ

′_(r) r

!

rdr

= ̟n 4

Z 1

0

1

rψ

2_(r)

ln1

r

−1

dr₋ ̟n

2 Z 1

0

d drψ

2_(r)

dr

= ̟n 4

Z 1

0

1

r|u(r)|

2

ln1

r

−2

dr₋ ̟n

2 Z 1

0

d drψ

2_(r)

dr

= 1 4

Z

B1

u2

|x_|2

ln 1

|x_|

−2

dx

Uma fun¸c˜ao radialu_∈D1₀,2(B1) pode ser aproximada por uma sequˆencia (um)

de fun¸c˜oes radiais suaves. Usando a convergˆencia forte de (um) para u na norma do gradiente e o Lema de Fatou (A.18) a desigualdade desejada ´e v´alida para toda fun¸c˜ao

Cap´ıtulo 2

Teoremas Principais

Nesta se¸c˜ao apresentamos as demonstra¸c˜oes dos teoremas principais. Para maior clareza, os teoremas ser˜ao apresentados em detalhes e enfatizamos que os resultados n˜ao demonstrados est˜ao listados no apˆendice. Come¸caremos provando um resultado de compacidade noIRn. Iremos suprimir, nas integrais, o dx a fim de tornar a escrita menos densa.

Teorema 2.1

Seja n _≥ 3, suponha (V) e (Q) tal que p = p(a0, b0) ≥ p = p(a, b) como

definimos anteriormente. Ent˜ao, para p <_∞, temos,

H_r1(IRn, V)֒_→Lp(IRn, Q) para p_≤p_≤p. (2.1) Al´em disso,

(i) se b _≥max_{a,₋2_}, a imers˜ao ´e compacta para p < p < p; (ii) se b < max_{a,₋2_}, a imers˜ao ´e compacta para 2_≤p < p. Demonstra¸c˜ao:

Por (Q) para qualquerr >0, “pequeno” o suficiente, Q(_|x_|)_≤C1|x|b0,|x| ≤r

para algum C1 >0.

Por (V)para qualquer r >0, “pequeno” o suficiente,V(_|x_|)_≥C2|x|a0,|x| ≤r

para algum C2 >0.

Para a imers˜ao ´e suficiente mostrar que

Sr(V, Q) = inf

u∈H_r1(IRn,V)

Z

IRn|∇

u_|2+V u2

Z

IRn

Q_|u_|p

2 p

Por contradi¸c˜ao, suponha que exista uma sequˆencia (um)_⊂H_r1(IRn, V) tal que Z

IRn

Q_|um|p = 1 e

Z

IRn|∇

um|2 +V u2m =o(1).

Distinguimos dois casos.

Caso 1. Primeiramente supomos (V) e (Q) com a _{≥ −}2. Podem ocorrer dois casos para p, a saber,

(i) p= 2 se b_≤max_{a,₋2_}=a; (ii) p= 2(2n−2 + 2b−a)

2n₋2 +a se −2< a≤b.

Apresentam-se trˆes subcasos de acordo com a0 e b0.

Subcaso 1. b0 ≥ −2,a0 ≥ −2.

Colocando p = 2n

n₋2 + 2c

n₋2 e por p ≤ p n´os temos, observando a defini¸c˜ao de p, que c_≤b0.

(i) p= 2 se b_≤max_{a,₋2_}=a.

Afirmamos que p < p sempre que ₋2_≤c. De fato, −2 _≤ c

2(n₋2) _≤ 2(n+c) 2(n₋2)

n₋2 ≤

2n+ 2c n₋2

p= 2 _≤ 2n+ 2c

n₋2 =p Portanto, escolhendo ₋2_≤c_≤b0 temos p≤p≤p.

(ii) p= 2(2n−2 + 2b−a)

2n₋2 +a se −2< a≤b.

Afirmamos que p < p sempre que b_≤c. De fato,

p= 2(2n−2 + 2b−a) 2n₋2 +a ≤

2(2n₋2 + 2b+ 2) 2n₋2₋2 = 2(2n+ 2b)

2n₋4 ≤ 2(_nn+c)

−2 =p.

Portanto, escolhendo b _≤ c _≤ b0 temos p ≤ p ≤ p. Note que para termos

Usaremos o Lema1.4 na desigualdade abaixo, Z

Br

Q_|um|p ≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|u

m|p

= C1

Z

Br

|x_|b0−c_|x|c_|u

m|p

≤ C1rb0−c

Z

Br

|x_|c_|um|p

≤ C1rb0−c

C4

Z

Br

|∇um|2

p 2

≤ C1C p 2 4rb0−c

Z

Br

|∇um|2+V(um)2

p 2

≤ C1C p 2

4rb0−c(o(1)) p 2

= o(1)rb0−c_{. (2.2)}

A desigualdade acima foi poss´ıvel, pois b0−c >0.

Subcaso 2. ₋2(n₋1)< a0 ≤ −2 e b0 ≥a0.

Tomando p _≤ p = 2(2n−2 + 2b0−a0) 2n₋2 +a0

para termos p _≤ p basta exigir que

p_≥max

2,2(2n−2 + 2b−a)

2n₋2 +a

. De fato, (i) p= 2 se b_≤max_{a,₋2_}=a.

Nestas condi¸c˜oes precisamos saber se p= 2 _≤ppara termos p_≤p_≤p.

p= 2 = 2(2n−2 +a0) 2n₋2 +a0

= 2(2n−2 + 2a0−a0) 2n₋2 +a0

≤ 2(2n₂−_n2 + 2b0−a0) −2 +a0

=p.

(ii) p= 2(2n−2 + 2b−a)

Nestas condi¸c˜oes precisamos saber se p= 2(2n−2 + 2b−a)

2n₋2 +a ≤ppara termos p_≤p_≤p. A desigualdade ser´a verificada quandob < b0. De fato,

p= 2(2n−2 + 2b−a) 2n₋2 +a ≤

2(2n₋2 + 2b₋a) 2n₋2 +a0

≤ 2(2n₂−_n2 + 2b0−a0) −2 +a0

=p.

Usaremos o Lema1.2 e p_≤pna desigualdade abaixo. Z

Br

Q_|um_|p _≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|um|p

= C1

Z

Br

|x_|b0−a0_|um|p−2_u2

m|x|a0

≤ C1rb0−a0

Z

Br

C₀p−2_kum_kp−_H12

r(IRn,V)|x|

−2(n−1)+a0

4 (p−2)u2

m|x|a0

= C1C0p−2(o(1)) p−2

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a₀ 4 (p−2)

Z

Br

|x_|a0_u2

m

≤ C1C2−1C

p−2 0 (o(1))

p−2

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a₀ 4 (p−2)

Z

Br

V u2_m

≤ C1C2−1C

p−2 0 (o(1))

p−2

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a₀ 4 (p−2)

Z

Br

|∇um_|2+V u2_m

= C1C2−1C

p−2 0 (o(1))

p

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a₀ 4 (p−2)

= o(1)rb0−a0−2(n

−1)+a₀

4 (p−2). (2.3)

Precisamos que b0 − a0 − 2(n−₄1)+a0(p− 2) ≥ 0. Das condi¸c˜oes b0 ≥ a0 e

a0 >−2(n−1) temos

b0−a0−

2(n₋1) +a0

4 (p−2) ≥ b0−a0 −

2(n₋1) +a0

4 (p−2) = b0−a0 −

2(n₋1) +a0

4

2(2n₋2 + 2b0−a0)

2n₋2 +a0 −

2

= b0−a0 −

2(n₋1) +a0

4

4(b0−a0)

2n₋2 +a0

Subcaso 3. a0 ≤ −2(n−1), b0 >−2(n−1).

Tomando p_≤ p=_∞ basta p_≥ max

2,2(2n−2 + 2b−a)

2n₋2 +a

para que p_≤ p

ocorra trivialmente.

Para qualquer pescolha a′₀ >₋2(n₋1) tal que b0−a0− 2(n−1)+a

′

0

4 (p−2)>0

e r0 >0,C

′

0 >0 tal que V(r)≥C

′

0ra0 ≥C

′

0ra

′

0 para r≤r₀.

Seja φ uma fun¸c˜ao “cut-off” tal que φ(t) = 1 para 0_≤t_≤ r0

2 e φ(t) = 0 para

t _≥r0. Note que φun ∈ D01,r,2(Br0(0))∩L 2_(Br

0(0), V) e para r <

r0

2, usando o Lema1.2, temos

Z

Br

Q_|um|p ≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|u

m|p

= C1

Z

Br

|x_|b0−a0_|φu

m|p−2(φum)2|x|a0

≤ C1

Z

Br

|x_|b0−a0_Cp−2

0 kφumkp−_H12

r(IRn,V)|x|

−2(n−1)+a

′

0

4 (p−2)(φu_m)2|x|a0

≤ C1C0p−2(o(1)) p−2

2 _rb0−a0−

2(n−1)+a′₀ 4 (p−2)

Z

Br

|x_|a0_u2

m

≤ C1C2−1C0p−2(o(1)) p−2

2 _rb0−a0−

2(n−1)+a′₀ 4 (p−2)

Z

Br

V u2_m

≤ C1C2−1C

p−2 0 (o(1))

p−2

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a′₀ 4 (p−2)

Z

Br

|∇um|2+V u2m

= C1C2−1C

p−2 0 (o(1))

p

2 _rb0−a0−2(n

−1)+a′₀ 4 (p−2)

= o(1)rb0−a0−2(n

−1)+a′₀

4 (p−2). (2.4)

Por outro lado, por (V)e (Q), existem R0 >0,C4 >0 e C5 >0 tais que

Q(_|x_|)_≤C4|x|b e V(|x|)≥C5|x|a sempre que |x| ≥R0.

Z

Bc R

Q_|um|p ≤ C4

Z

Bc R

|x_|b_|um|p

= C4

Z

Bc R

|x_|b−a_|um|p−2|x|a|um|2

≤ C4Cp−2kumkp−_H12

r(IRn,V)R

b−a−2(n−₄1)+a(p−2)

Z

Bc R

|x_|au2_m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p−2

2 _Rb−a−2(n

−1)+a 4 (p−2)

Z

Bc R

V u2_m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p−2

2 _Rb−a−2(n

−1)+a 4 (p−2)

Z

Bc R

|∇um|2+V u2m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p

2 _Rb−a−2(n

−1)+a 4 (p−2)

≤ o(1)Rb−a−2(n−41)+a(p−2). (2.5)

Pelo Lema 1.5 podemos ver que

kumkLp_(B

R\Br,Q) =

Z

BR\Br

Q_|um|p

1/p

≤ C8

Z

BR\Br

|∇um|2+V u2m

1/2

= C8kumkH1

r(BR\Br,V) ≤C8o(1)

1/2 _=o(1).

Como Z

IRn

Q_|um_|p = Z

Br

Q_|um_|p+ Z

Bc R

Q_|um_|p+ Z

BR\Br

Q_|um_|pe observando as estimativas feitas em (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5) obtemos

Z

IRn

Q_|um|p →0, o que ´e uma

con-tradi¸c˜ao j´a que Z

IRn

Q_|um|p = 1. Portanto a imers˜ao se verifica.

Agora, vamos considerar compacidade no Caso 1.

Considere (um) ⊂ Hr1(IRn, V) de modo que kumkH1

r(IRn,V) ≤ C. Sem perda

de generalidade, podemos supor um ⇀ 0. Afirmamos que um → 0 em Lp(IRn, Q) nas

condi¸c˜oes abaixo. De fato,

Repetindo as estimativas que fizemos em (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5), em cada caso, teremos as desigualdades

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C1C p 2

4rb0−ckumk

p H1

r(IRn,V)

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C1C2−1C

p−2

0 rb0−a0−

2(n−1)+a₀

4 (p−2)kumkp

H1 r(IRn,V)

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C1C2−1C

p−2

0 rb0−a0−

2(n−1)+a′₀

4 (p−2)kumkp

H1 r(IRn,V)

                         (2.6) Z Bc R

Q_|um|p ≤ C7Cp−2C5−1Rb−a−

2(n−1)+a

4 (p−2)ku

mkp_H1

r(IRn,V) (2.7)

Neste caso ocorreb₋a₋2(n−₄1)+a(p₋2)<0. De fato, da condi¸c˜aob _≥a temos

b₋a₋ 2(n−1) +a

4 (p−2) < b−a−

2(n₋1) +a

4 (p−2)

= b₋a₋ 2(n−1) +a

4

2(2n₋2 + 2b₋a) 2n₋2 +a −2

= b₋a₋ 2(n−1) +a

4

4(b₋a) 2n₋2 +a

= b₋a₋b+a = 0.

As desigualdades abaixo j´a foram apresentadas anteriormente.

b0−c > 0

b0−a0 −

2(n₋1) +a0

4 (p−2) > 0

b0−a0 −

2(n₋1) +a′₀

4 (p−2) > 0 Usando oLema1.5 e

Z

IRn

Q_|um|p =

Z

Br

Q_|um|p +

Z

Bc R

Q_|um|p+

Z

BR\Br

Q_|um|p

obtemos Z

IRn

Q_|um|p →0 quandon → ∞.

Similarmente a (2.7) temos Z

Bc R

Q_|um|2 ≤ C7C5−1Rb−akumk2H1

r(IRn,V) (2.8)

Usando o Lema1.7 temos Z

Br

Q_|um|2 ≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|u

m|2

= C1

Z

Br

|x_|−2_|um|2|x|b0+2

≤ C1rb0+2

Z

Br

|x_|−2_|um|2

≤ C1rb0+2

2

n₋2 2Z

Br

|∇um_|2

≤ C1

2

n₋2 2

rb0+2_kumk2H1

r(IRn,V) (2.9)

Desde que b0 > −2 e b < a n´os obtemos

Z

IRn

Q_|um|p → 0 quando n → ∞ de

forma an´aloga a (i). Assim, terminamos o Caso 1.

Caso 2. Assumimos (V) e (Q) com a _{≤ −}2. Podem ocorrer dois casos para p a saber

(i) p= 2 se b _≤max_{a,₋2_}=₋2;

(ii) p= 2(n+b)

n₋2 se b ≥ −2.

Apresentam-se trˆes subcasos de acordo com a0 e b0.

Subcaso 1. b0 ≥ −2,a0 ≥ −2.

Colocando p = 2n

n₋2 + 2c

n₋2 e por p ≤ p n´os temos, observando a defini¸c˜ao de p, que c_≤b0.

(i) p= 2 se b_≤max_{a,₋2_}=₋2.

Da mesma forma que fizemos no Caso 1. basta escolher ₋2_≤c_≤ b0 e

tere-mos p_≤p_≤p.

(ii) p= 2(n+b)

Para que p_≤p_≤p basta tomarb _≤c_≤b0 com b0 > b. De fato,

p= 2n−2b0

n₋2 ≤p=

2n₋2c n₋2 ≤

2n₋2b n₋2 =p. A estimativa feita em (2.2) continua v´alida para b_{≥ −}2.

Subcaso 2. ₋2(n₋1)< a0 ≤ −2 e b0 ≥a0.

Tomando p _≤ p = 2(2n−2 + 2b0−a0) 2n₋2 +a0

para termos p _≤ p basta exigir que

p_≥max

2,2(n+b) n₋2

. De fato,

(i) p= 2 se b_≤max_{a,₋2_}=₋2.

Basta observar que p _≤p _≤ p sempre, pois p = 2 _≤ p exatamente como fize-mos no Caso 1.

(ii) p= 2(n+b)

n₋2 se b ≥ −2, a≤ −2.

Nestas condi¸c˜oes precisamos saber sep= 2(n+b)

n₋2 ≤ppara termosp≤p≤p. A desigualdade segue quando ₋2 + 2b0−a0 ≥2b. De fato,

p= 2(n+b)

n₋2 ≤

2n₋2 + 2b0−a0

n₋2

= 2(2n−2 + 2b0−a0) 2n₋4

≤ 2(2n₂−_n2 + 2b0−a0) −2 +a0

=p.

A estimativa feita em (2.3) continua v´alida para b_{≥ −}2.

Subcaso 3. a0 ≤ −2(n−1), b0 >−2(n−1).

Tomando p _≤ p = _∞ basta p _≥ max

2,2(2n+b) n₋2

para que p _≤ p ocorra trivialmente.

As estimativas feitas em (2.4) e (2.6) continuam v´alidas para b_{≥ −}2. Agora, precisamos obter estimativas como em (2.5) e (2.7).

Escrevendo p= 2n+ 2c

Z

Bc R

Q_|um|p ≤ C4

Z

Bc R

|x_|b_|um|p

= C4

Z

Bc R

|x_|b−c_|x_|c_|um|p

≤ C1Rb−ck∇umkp_L2_(Bc R)

≤ C1Rb−c kumkH1 r(IRn,V)

p

. (2.10)

Usando b₋c_≤0 temos estimativas como em (2.4) e (2.6). De forma an´aloga ao que fizemos no Caso 1. para mostrar a imers˜ao tamb´em teremos a contradi¸c˜ao no Caso 2. j´a que estimativas similares s˜ao mantidas. Portanto a imers˜ao se verifica.

Agora, vamos considerar compacidade no Caso 2..

Considere (um) ⊂ Hr1(IRn, V) de modo que kumkH1

r(IRn,V) ≤ C. Sem perda

de generalidade, podemos supor um ⇀ 0. Afirmamos que um → 0 em Lp(IRn, Q) nas

condi¸c˜oes abaixo. De fato,

(i) se b_≥max_{a,₋2_}=₋2 a imers˜ao ´e compacta para p < p < p.

Neste caso, basta observar as estimativas feitas no Caso 1.(i).

(ii) se b < max_{a,₋2_}=₋2 a imers˜ao ´e compacta para 2_≤p < p.

Para 2 < p < p as estimativas feitas no Caso 1.(ii) s˜ao mantidas e podem ser utilizadas aqui de forma an´aloga. Quando b <₋2 precisamos mostrar a compacidade para p= 2. Seja φ uma fun¸c˜ao “cut-off” tal que φ(r) = 1 para r _≥2R0 e φ(r) = 0 para

r _≤R0. Ent˜ao pelo Lema1.6,

Z

Bc R

Q_|um_|2 _≤C1Rb+2k∇(φum)kp_L2_(Bc

R) ≤C2R

b+2

k∇um_kp_L2_(Bc

R) ≤C2R

b+2

kum_kH1 r(IRn,V)

p .

Como (2.9) ainda se mant´em parab <₋2, conclu´ımos a parte restante da prova exatamente como fizemos noCaso 1. Assim, terminamos oCaso 2.

Teorema 2.2

Seja n= 2, suponha (V) e (Q). Ent˜ao

H_r1(IR2, V)֒_→Lp(IR2, Q) para p_≤p <_∞. (2.11) Al´em disso,

(i) se b _≥a, a imers˜ao ´e compacta para p < p <_∞; (ii) se b < a, a imers˜ao ´e compacta para 2_≤p <_∞.

Demonstra¸c˜ao:

Antes de realizarmos a demonstra¸c˜ao, observe que p = _∞ e que h´a possibi-lidades para p.

Pode ocorrer p=p(a, b) =  



2(2 + 2b₋a)

2 +a , se −2< a≤b,

2, se b _≤max_{a,₋2_} .

Se a > ₋2 temos dois valores poss´ıveis para p, isto ´e, p= 2(2 + 2b−a) 2 +a ou p= 2 e se a_{≤ −}2 temos somentep= 2.

As desigualdades que vamos precisar dependem somente dos valores de b0 e,

portanto, precisamos separar a demonstra¸c˜ao levando em considera¸c˜ao somente os valores de b0.

Para a imers˜ao ´e suficiente mostrar que

Sr(V, Q) = inf

u∈H1r(IR2,V)

Z

IR2|∇

u_|2+V u2

Z

IR2

Q_|u_|p

2 p

>0.

Por contradi¸c˜ao, suponha que exista uma sequˆencia (um)⊂Hr1(IR2, V) tal que

Z

IR2

Q_|um|p = 1 e

Z

IR2|∇

um|2+V u2m =o(1).

Por (Q) para qualquerr >0, “pequeno” o suficiente, Q(_|x_|)_≤C1|x|b0,|x| ≤r

para algum C1 >0.

Por (V)para qualquer r >0, “pequeno” o suficiente,V(_|x_|)_≥C2|x|a0,|x| ≤r

para algum C2 >0.

Por (V) e (Q) existem R0 > 0, C4 > 0 e C5 > 0 tais que Q(|x|)≤C4|x|b e

Caso 1. a >₋2

Usando o Lema1.1 com n= 2 e R > R0 temos

Z

Bc R

Q_|um|p ≤ C4

Z

Bc R

|x_|b_|um|p

= C4

Z

Bc R

|x_|b−a_|um|p−2|x|a|um|2

≤ C4Cp−2kumkp−_H12

r(IR2,V)R

b−a−2+a₄ (p−2)

Z

Bc R

|x_|au2_m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p−2

2 _Rb−a−2+a4 (p−2)

Z

Bc R

V u2_m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p−2

2 _Rb−a−2+a4 (p−2)

Z

Bc R

|∇um|2+V u2m

≤ C4Cp−2C5−1(o(1)) p

2 _Rb−a−2+a4 (p−2)

≤ o(1)Rb−a−2+a4 (p−2). (2.12)

Algumas passagens na desigualdade acima foram omitidas j´a que desigualdades an´alogas foram vistas no Teorema 2.1 onde podemos ver queb₋a₋ 2 +a

4 (p−2)<0. Repetindo as estimativas feitas em (2.12) obtemos

Z

Bc R

Q_|um|p ≤ C3Rb−a− 2+a

4 (p−2)ku_mkp

H1

r(IR2,V). (2.13)

Caso 2. a_{≤ −}2 Z

Bc R

Q_|um|p ≤ C4

Z

Bc R

|x_|b_|um|p

≤ C4RbC3

Z

Bc R

|um|2

!p/2

≤ C3C4C7Rb

Z

Bc R

|∇um_|2

!p/2

Repetindo as estimativas feitas em (2.14) obtemos Z

Bc R

Q_|um|p ≤ CRbkumkp_H1

r(IR2,V). (2.15)

Agora, note que 2(2 + 2b−a)

2 +a ≥2 para−2< a≤b. De fato,

2 = 2(2 +a) 2 +a =

2(2 + 2a₋a) 2 +a ≤

2(2 + 2v ₋a) 2 +a .

Se b0 >0 e p≥2 usando o Lema1.6 temos

Z

Br

Q_|um|p ≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|u

m|p

≤ C1rb0

Z

Br

|um|p

≤ C1rb0

Z

B1

|um|p

≤ C1rb0

Z

B1

|um|2

p 2 Z

B1

1 2−p

2

≤ C3rb0kumkp_H1_(BR)

≤ C6rb0kumkp_H1 r(BR,V)

≤ rb0_{o(1). (2.16)}

Repetindo as estimativas feitas em (2.16) obtemos Z

Br

Q_|um_|p _≤ C6rb0kumkp_H1

r(IR2,V). (2.17)

Se b0 ∈ (−2,0] e p ≥ 2 escolhemos δ > 0 tal que b0 −δ > −2 e uma fun¸c˜ao

“cut-off” ϕ _∈C₀∞(B1), tal que ϕ(x) = 1 para |x| ≤

1

Z

Br

Q_|um|p ≤ C1

Z

Br

|x_|b0_|u

m|p

= C1

Z

Br

|x_|b0−δ

ln 1

|x_|

b0−δ

(umϕ)−b0+δ|x|δ

ln 1

|x_|

δ−b0

|um|p+b0−δ

≤ C1rδ

ln1

r

δ−b0Z

Br

|x_|b0−δ

ln 1

|x_|

b0−δ

(umϕ)−b0+δ|um|p+b0−δ

≤ C1rδ

ln1

r

δ−b0 Z

B1

|x_|2

ln 1

|x_|

−2

(unϕ)2

!−b₀₊δ

2 Z

Br

|um|

2(p+b0−δ) 2+b0−δ

2+b0−δ 2

≤ C3C6rδ

ln1

r

δ−b0Z

B1

|∇umϕ_|2

−b₀₊δ

2 Z

Br

|um_|2

2+b₀−δ 2

p+b₀−δ 2+b₀−δ

≤ C7rδ

ln1

r

δ−b0

kum_k−b_H10+δ

r(IR2,V)kumk

p+b0−δ

H1 r(IR2,V)

≤ rδ

ln1

r

δ−b0

o(1). (2.18)

Repetindo as estimativas feitas em (2.18) obtemos Z

Br

Q_|um_|p _≤ C7rδ

ln1

r

δ−b0

kum_kp_H1

r(IR2,V). (2.19)

Pelo Lema 1.5 podemos ver que

kum_kLp_(B

R\Br,Q) =

Z

BR\Br

Q_|um_|p

1/p

≤ C8

Z

BR\Br

|∇um_|2+V u2_m

1/2

= C8kumkH1

r(BR\Br,V) ≤C8o(1)

1/2 _=o(1).

Como Z

IR2

Q_|um_|p = Z

Br

Q_|um_|p+ Z

Bc R

Q_|um_|p+ Z

BR\Br

Q_|um_|pe observando as estimativas feitas em (2.12), (2.14), (2.16) e (2.18) n´os obtemos

Z

IR2

uma contradi¸c˜ao j´a que Z

IR2

Q_|um|p = 1. Portanto a imers˜ao se verifica.

No seguinte, consideramos compacidade. Seja (um)⊂Hr1(IR2, V) de modo que

kumkH1

r(IR2,V) ≤C. Sem perda de generalidade, podemos supor um ⇀0. Afirmamos que

um →0 em Lp(IR2, Q) nas condi¸c˜oes abaixo. De fato,

(i) se b_≥a a imers˜ao ´e compacta para p < p <_∞.

Repetindo as estimativas que fizemos em (2.13), (2.17) e (2.19) teremos as desigualdades

Z

Bc R

Q_|um_|p _≤ C3Rb−a− 2+a

4 (p−2)kumkp

H1 r(IR2,V)

Z

Br

Q_|um|p ≤ C6rb0kumkp_H1 r(IR2,V)

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C7rδ

ln1

r

δ−b0

kum_kp_H1 r(IR2,V)

                         (2.20)

Usando oLema1.5 e Z

IR2

Q_|um_|p = Z

Br

Q_|um_|p + Z

Bc R

Q_|um_|p+ Z

BR\Br

Q_|um_|p

temos Z

IR2

Q_|um|p →0 quandom → ∞.

Portanto, segue a imers˜ao compacta desejada.

(ii) se b < a a imers˜ao ´e compacta para 2_≤p <_∞.

Repetindo as estimativas que fizemos em (2.13), (2.17) e (2.19) teremos as desigualdades

Z

Bc R

Q_|um_|p _≤ C3Rb−a− 2+a

4 (p−2)kumkp

H1 r(IR2,V)

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C6rb0kumkp_H1 r(IR2,V)

Z

Br

Q_|um_|p _≤ C7rδ

ln1

r

δ−b0

kum_kp_H1 r(IR2,V)

Usando oLema1.5 e Z

IR2

Q_|um|p =

Z

Br

Q_|um|p +

Z

Bc R

Q_|um|p+

Z

BR\Br

Q_|um|p

temos Z

IR2

Q_|um_|p _→0 quandom _{→ ∞}.

Para b < a temos p = 2 e como (p₋2)2 +a

4 >(2−2) 2 +a

4 = 0 conclu´ımos que b₋a₋2 +a

4 (p−2)<0.

Portanto, segue a imers˜ao compacta desejada.

De posse dos resultados de imers˜ao cont´ınuas e compactas, provaremos que o problema (1) possui uma solu¸c˜ao“ground state”tamb´em chamada solu¸c˜ao estacion´aria ou solu¸c˜ao de estado fundamental.

Teorema 2.3

Seja n_≥2. Suponha (V)e (Q)com o correspondentepe pdefinidos de modo que p < p < p. Ent˜ao a equa¸c˜ao (1) tem uma solu¸c˜ao “ground state” u_∈H_r1(IRn, V),

a saber _Z

IRn|∇

u_|2+V(_|x_|)u2

Z

IRn

Q(_|x_|)up

2 p

= inf

v∈H1r(IRn,V)

v6=0

Z

IRn|∇

v_|2+V(_|x_|)v2

Z

IRn

Q(_|x_|)_|v_|p

2 p

.

Al´em disso,

(i) quando a >₋2 existem C, c >0 tais que u(x)_≤Cexp₋cr2+a2

;

(ii) quando a _{≤ −}2, existe C >0 tal que u(x)_≤C_|x_|−n−22.

Demonstra¸c˜ao:

A existˆencia de uma solu¸c˜ao“ground state” segue da imers˜ao compacta. De fato,

M = inf

v∈H1_r(IRn,V)

v6=0

Z

IRn|∇

v_|2+V(_|x_|)v2

Z

IRn

Q(_|x_|)_|v_|p

2

p ≡

inf

v∈H_r1(IRn,V)

v6=0            Z

IRn|∇

v_|2+V(_|x_|)v2; Z

IRn

Q(_|x_|)_|v_|p = 1

Assim, segue que existe (vm)_⊂H_r1(IRn, V) (chamada sequˆencia minimizante) de modo que

Z

IRn

Q(_|x_|)_|vm|p = 1 e kvmk2V =

Z

IRn|∇