Exploring the properties of the pure spinor b ghost

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TESE DE DOUTORAMENTO IFT–T.006/14

Exploring the properties of the pure spinor b ghost

Renann Lipinski Jusinskas

Orientador

Prof. Dr. Nathan Jacob Berkovits

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❝❛❧❧❡❞ ♥♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❡♥❛❜❧❡s ❛ ♠✉❝❤ s✐♠♣❧❡r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ b

❣❤♦st ❬✼❪✳ ▼♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t✱ t❤❡ t❤❡♦r② ❝❛♥ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❛ t✇✐st❡❞ N = 2 ˆc = 3

t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ str✐♥❣✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❇❘❙❚ ❝❤❛r❣❡ ❛♥❞ t❤❡ b ❣❤♦st ❛r❡ t❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❣❡♥❡r❛t♦rs✱

✇❤✐❧❡ t❤❡ ❣❤♦st ♥✉♠❜❡r ❝✉rr❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ❛r❡ t❤❡ ❜♦s♦♥✐❝ ♦♥❡s✳ ❚❤✐s ❢❛❝t ❛❧❧♦✇❡❞ t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ♠✉❧t✐❧♦♦♣ s✉♣❡rstr✐♥❣ ❛♠♣❧✐t✉❞❡s ✇✐t❤♦✉t ♣✐❝t✉r❡ ❝❤❛♥❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦rs✱ ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ s✉♣❡r P♦✐♥❝❛ré s②♠♠❡tr② ❡①♣❧✐❝✐t ✐♥ ❛❧❧ t❤❡ st❡♣s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢b❛r❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧✱ ❛s ✐t ✐s ❛❧s♦ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧❧② ❝♦♠♣♦s❡❞✳

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❚❤✐s t❤❡s✐s ✇✐❧❧ ♣r❡s❡♥t s❡✈❡r❛❧ ♦❢ t❤❡s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐♥ ❞❡t❛✐❧ ❛♥❞ ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ♦r❣❛♥✐③❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✳ ❈❤❛♣t❡r ✷ r❡✈✐❡✇s t❤❡ ❜❛s✐❝ ❝♦♥❝❡♣ts ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❣❤♦sts ❛♥❞ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡✐r ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ❛♥❞ ♣r❡♣❛r✐♥❣ t❤❡ ❣r♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t st✉❞② ♦♥ t❤❡ b ❣❤♦st✳ ❈❤❛♣t❡r ✸ ✇✐❧❧ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ b ❣❤♦st✱ ✐♥t✉✐t✐✈❡❧② ♣r❡s❡♥t✐♥❣ ✐ts str✉❝t✉r❡✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡❛❧t

✸

✐♥❝❧✉❞✐♥❣✿ ♣r✐♠❛r② ✜❡❧❞ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❝❧❡❛r❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ♣r❡s❝r✐♣t✐♦♥✮❀ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✭❛♥ ❡①❝❧✉s✐♦♥ ❝r✐t❡r✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❡st❛❜❧✐s❤❡❞ ❢♦r t❤❡ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ b✮❀

t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ str✐♥❣ ♣❡rs♣❡❝t✐✈❡❀ ♥♦♥✲✉♥✐q✉❡♥❡ss ✭s♦♠❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝✉rr❡♥ts ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❛❧②③❡❞ ❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♥♦t s♣♦✐❧ t❤❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ str✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛✮❀ ❛♥❞ ❛ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r t❤❡c❣❤♦st ✭t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❞♦❡s ♥♦t ❤❛✈❡ ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❝♦♥❢♦r♠❛❧

✇❡✐❣❤t −1 ✜❡❧❞ t♦ ❛❝t ❛s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ b ❛♥❞ ✐ts ❡①✐st❡♥❝❡ ✐s ✐♥tr✐❣✉✐♥❣✱ r❡q✉✐r✐♥❣

❈❤❛♣t❡r ✷

❘❡✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ P✉r❡ ❙♣✐♥♦r ❋♦r♠❛❧✐s♠

❚❤❡ ❣♦❛❧ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐s t♦ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ✜❡❧❞ ❝♦♥t❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ ❛♥❞ s♦♠❡ ♦❢ ✐ts ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ str✉❝t✉r❡s✱ ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❜❛s✐❝ t♦♦❧s t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ b ❣❤♦st✳

❚♦ ♠♦t✐✈❛t❡ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ ✐t ♠✐❣❤t ❜❡ ✉s❡❢✉❧ t♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❛t ❙✐❡❣❡❧✬s ♣r♦♣♦s❛❧ ❬✶✹❪ ❢♦r t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t q✉❛♥t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♣❡rstr✐♥❣ ✇❛s t♦ r❡♣❧❛❝❡ t❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ t❤❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡s ❜♦t❤ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❝❧❛ss ♦♥❡s✱ ❜② ❛♥♦t❤❡r s❡t ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥ts ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣✐❡❝❡ ✐s

dα ≡ pα−

1 2∂X

m_(θγ m)_α−

1 8(θγ

m_{∂θ) (θγ} m)_α

= 0.

❍❡r❡✱ Xm _{✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ❜♦s♦♥✐❝ ✇♦r❧❞s❤❡❡t s❝❛❧❛r✱ ✇✐t❤ m= 0, . . . ,9 t❤❡ s♣❛❝❡t✐♠❡ ✈❡❝t♦r}

✐♥❞❡①✱ ❛♥❞ (θα_{, p}

α) ✐s t❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♣❛✐r✱ ✇✐t❤ α = 1, . . . ,16 t❤❡ s♣❛❝❡t✐♠❡

✭❝❤✐r❛❧✮ s♣✐♥♦r ✐♥❞❡①✳ ◆♦t❡ t❤❛t dα ✐s t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳

❆❧t❤♦✉❣❤ t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ s✉❝❝❡❡❞❡❞ ❢♦r t❤❡ s✉♣❡r♣❛rt✐❝❧❡ ❬✶✺❪✱ ❛ s✉✐t❛❜❧❡ s❡t ♦❢ ✜rst ❝❧❛ss ❝♦♥str❛✐♥ts ✇❛s ♥❡✈❡r ❢♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ s✉♣❡rstr✐♥❣✳ ❍♦✇❡✈❡r ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✱ ✐t ❛❧s♦ ❧❡❞ ❙✐❡❣❡❧ t♦ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♠❛ss❧❡ss ✈❡rt❡① t♦ ❜❡

V_{❙✐❡❣❡❧} = 1 2πi

˛

{ΠmAm+∂θαAα+dαWα},

✇❤❡r❡ Am✱ Aα ❛♥❞ Wα ❛r❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ s✉♣❡r✲❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ✜❡❧❞s ✭♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❜❡❧♦✇✮✳

✺

❆s ✇✐❧❧ ❜❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❇❘❙❚✲❝❤❛r❣❡ ❤❛s ❛ s✐♠♣❧❡ ❢♦r♠✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ♦♣❡r❛t♦r dα ❛♣♣❡❛rs ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② ❛ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ❜♦s♦♥✐❝

s♣✐♥♦r ❣❤♦st λα_{✱ ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❛ ♥❛t✉r❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✳ ❙✉♣♣♦rt✐♥❣}

t❤✐s str✉❝t✉r❡✱ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐s s❤♦✇♥ t♦ ❜❡ ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ ❙✐❡❣❡❧✬s ♣r♦♣♦s❛❧✱ ❜✉t ✇✐t❤ ❛ ❝♦rr❡❝t✐♦♥ t❤❛t ❝♦♠❡s ❢r♦♠ t❤❡ ❣❤♦st s❡❝t♦r✳

✷✳✶ ▼❛tt❡r ✜❡❧❞s

❚❤❡ ♠❛tt❡r ❝♦♥t❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s✉♣❡rstr✐♥❣ ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③✲ ❙✐❡❣❡❧ ❛❝t✐♦♥

Sm =

1 2π

ˆ

d2z

1 2∂X

m_∂X

m+pβ∂θβ

, ✭✷✳✶✮

✇✐t❤ ❢r❡❡ ✜❡❧❞ ♣r♦♣❛❣❛t♦rs ❣✐✈❡♥ ❜②✿

Xm_(z)Xn_{(y) ∼ −η}mn_ln|z−y|2

, ✭✷✳✷❛✮

pα(z)θβ(y) ∼ ∼

δβ α

z₋y. ✭✷✳✷❜✮

❖❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ str✐♥❣ ✐s ❜❡✐♥❣ ✜①❡❞ t❤r♦✉❣❤ α′ _{= 2} ❜✉t ✐t

❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② r❡❝♦✈❡r❡❞ ❜② ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❛♥❛❧②s✐s✳ ❚❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ❝❤❛r❣❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❜❡

qα ≡

˛

pα+

1 2∂X

m_(θγ m)α+

1

24(θγm∂θ) (θγm)α ✭✷✳✸✮

❛♥❞ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr② ❛❧❣❡❜r❛ ✐s ❞✐r❡❝t❧② r❡♣r♦❞✉❝❡❞

{qα, qβ}=−iγαβmPm. ✭✷✳✹✮

❍❡r❡✱ Pm ✐s t❤❡ ✉s✉❛❧ ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦♣❡r❛t♦r✱ ✇✐t❤

Pm ≡i ˛

∂Xm, ❛♥❞ [Pm, Xn] =−iδmn.

❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♣❡rs②♠♠❡tr✐❝ ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❢♦❧❧♦✇s✿

Πm = ∂Xm+1 2(θγ

✻

dα = pα−

1 2∂X

m_(θγ m)_α−

1 8(θγ

m_{∂θ) (θγ}

m)_α. ✭✷✳✺❜✮

■t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❖P❊✬s ❛♠♦♥❣ t❤❡♠ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♦♥❡s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✭✷✳✷✮✿

Πm(z) Πn(y) _{∼ −} η

mn

(z−y)2, ✭✷✳✻❛✮

dα(z) Πm(y) ∼

γm αβ∂θβ

(z₋y), ✭✷✳✻❜✮

dα(z)dβ(y) ∼ −

γm αβΠm

(z₋y). ✭✷✳✻❝✮

■t ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ❛❧s♦ t♦ ♣r❡s❡♥t ❛❧s♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rs ♦❢ ✭✷✳✺✮ ♦♥ ❛ s✉♣❡r✜❡❧❞

F (X, θ)✿

Πm(z)F (X, θ;y) ∼ −

∂mF

(z₋y), ✭✷✳✼✮

dα(z)F (X, θ;y) ∼

DαF

(z₋y). ✭✷✳✽✮

❍❡r❡✱

Dα ≡∂α+

1 2

γ_αβmθβ∂m, ✭✷✳✾✮

✇✐t❤ ∂α = _∂θ∂α✱ ∂m = _∂X∂m✳ ◆♦t❡ t❤❛t

{Dα, Dβ}=γαβm∂m, ✭✷✳✶✵✮

❛s ❡①♣❡❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❖P❊ ✭✷✳✻❝✮✳

❯♣t♦ t❤✐s ♣♦✐♥t✱ t❤❡ ❜❛s✐❝ ❜❧♦❝❦s ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s❡❝t♦r ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✇✐t❤♦✉t ♠❡♥t✐♦♥✐♥❣ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ s✉♣❡rstr✐♥❣ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❇② t❤❛t ✐t ✐s ♠❡❛♥t t❤❡ t✇♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♦❜❥❡❝ts t❤❛t ❛r✐s❡ ♥❛t✉r❛❧❧② ✐♥ t❤❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥✿ t❤❡ ❱✐r❛s♦r♦ ❝♦♥str❛✐♥t ❛♥❞ t❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭r❡❧❛t❡❞ t♦ κ✲s②♠♠❡tr②✮✳

❚❤❡ ❱✐r❛s♦r♦ ❝♦♥str❛✐♥t ✭1 2Π

m_Π

m+dα∂θα = 0✮ ✐s ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠

t❡♥s♦r T_♠❛tt❡r ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r②✱ ❣✐✈❡♥ ❜②

T_♠❛tt❡r = ₋1 2∂X

m_∂X

✼

❛♥❞ t❤❡ ♠♦st ❞✐r❡❝t ♣✐❡❝❡ ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥❡ ♠❛② ❡①tr❛❝t ❢r♦♠ ✐t ✐s t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r s❡❝t♦r✳ ❈♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ❖P❊ ♦❢ T_♠❛tt❡r ✇✐t❤ ✐ts❡❧❢ ♦♥❡ ♦❜t❛✐♥s✿

T_♠❛tt❡r(z)T_♠❛tt❡r(y)_{∼ −} 11 (z−y)4 +

2T_♠❛tt❡r

(z−y)2 +

∂T_♠❛tt❡r

(z₋y). ✭✷✳✶✶✮

❍❡♥❝❡✱ t❤❡ ❢r❡❡ ♠❛tt❡r ❛❝t✐♦♥ ②✐❡❧❞s ❛ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ✭−22✮✳

❚❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭dα = 0✮❛r❡ ❛ ❜✐t ♠♦r❡ s✉❜t❧❡✱ ❛s t❤❡② s❛t✐s❢② ✭✷✳✻❝✮✳ ❚❤✐s

✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ♦♥❧② ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ dα ❛r❡ ✜rst ❝❧❛ss ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ♦♥❡

❝❛♥ ✉s❡ ❛ ❣❛✉❣❡ ✜①✐♥❣ ♣r♦❝❡❞✉r❡ t♦ s♦❧✈❡ t❤❡♠ ✭❧✐❣❤t ❝♦♥❡ ❣❛✉❣❡✮✱ ✐t ❜r❡❛❦s ❡①♣❧✐❝✐t❧② ▲♦r❡♥t③ s②♠♠❡tr② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ s✐♠♣❧❡ ✇❛② t♦ ❝♦✈❛r✐❛♥t❧② s♣❧✐t t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❝❧❛ss ❝♦♥str❛✐♥ts ♠✐①❡❞ ✐♥✳

❚❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ✐♥ str✐♥❣ t❤❡♦r② ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ ✇♦r❧❞✲ s❤❡❡t ❣r❛✈✐t❛t✐♦♥❛❧ ❛♥♦♠❛❧✐❡s✳ ❚❤❡ ✇❛② t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ s♦❧✈❡s t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ❛♥♦♠❛❧② ❛♥❞ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ ❝♦♥str❛✐♥ts t❤❛t ❛r❡ ❜❡✐♥❣ ✐❣♥♦r❡❞ ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜❡❧♦✇✳

✷✳✷ ●❤♦st ✜❡❧❞s

❚❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✐♥❣r❡❞✐❡♥t ✐♥ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ❛ ❜♦s♦♥✐❝ ❣❤♦st λα

t❤❛t✱ ✐♥ ❛♥ ✐♥❞✐r❡❝t ♠❛♥♥❡r✱ ✐♠♣❧❡♠❡♥ts t❤❡ κ✲s②♠♠❡tr② ❣❡♥❡r❛t♦rs ♦❢ t❤❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③

s✉♣❡rstr✐♥❣ ✐♥ ❛ ❇❘❙❚ ❢❛s❤✐♦♥✳ ❚❤❡ ✜rst st❡♣ ✐s t♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝✉rr❡♥t

J_{❇❘❙❚ ≡}λαdα, ✭✷✳✶✷✮

❛♥❞ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❝❤❛r❣❡

Q=

˛

J❇❘❙❚, ✭✷✳✶✸✮

s❛t✐s❢②✐♥❣

{Q, Q_}=₋

˛

(λγmλ) Πm. ✭✷✳✶✹✮

◆♦✇✱ ✐❢ ♦♥❡ ✐♠♣♦s❡s

λγmλ = 0, ✭✷✳✶✺✮

✭t❤❡ D = 10 ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t✮✱ t❤❡ ❝❤❛r❣❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✶✸✮ ✐s ♥✐❧♣♦t❡♥t✱ ❜❡✐♥❣ ❛

✽

❚♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❛ ❜✐t ♠♦r❡ t❤❡s❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦rs✱ ✐t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ st❛rt ✇✐t❤ ❛♥ ✉♥❝♦♥s✲ tr❛✐♥❡❞ ❜♦s♦♥✐❝ s♣✐♥♦r ♣❛✐r (Λα_,Ω

α)s❛t✐s❢②✐♥❣

Λα(z) Ωβ(y)∼

δα β

z₋y. ✭✷✳✶✻✮

◆❛✐✈❡❧②✱ ♦♥❡ ♠❛② tr② t♦ ♣r♦❥❡❝t Λα _{✐♥t♦ ❛ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r✱}

λα =? P_βαΛβ. ✭✷✳✶✼✮

❍❡r❡✱ Pα

β = δαβ +Kβα ♣❧❛②s t❤❡ r♦❧❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t♦r✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✐ts ❢♦r♠ ✐s ♥♦t ❦♥♦✇♥

②❡t✳ ◆♦✇✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❝♦♥str❛✐♥ Kα

β ❜② s♦♠❡ ❣❡♥❡r❛❧♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡

s✐♠♣❧❡st ♦♥❡ ✐s t❤❛t

Pα γP

γ

β =Pβα ⇒ Kβα =−KγαK γ

β. ✭✷✳✶✽✮

■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ♣r♦❥❡❝t❡❞ s✉❜s♣❛❝❡s ❛r❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❥❡❝t✐♦♥✳ ❲❤❡♥ t❤✐s ❝♦♥❝❡♣t ✐s ❛♣♣❧✐❡❞ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r λα_{✱ t❤❛t ✐s P}α

βλβ =λα✱ ♦♥❡ r❡❛❞✐❧② ♥♦t❡s

t❤❛t

Kα

βλβ = 0 ⇒ Kβα =Kmα(γmλ)β, ✭✷✳✶✾✮

s✐♥❝❡ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t ✐s t❤❡ ♦♥❧② ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s♦ ❢❛r✳ ❇❡s✐❞❡s✱ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✽✮ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t

K_mα(γnλ)_α =K

′_α

n (γmλ)_α−ηmn.

❆ ♣♦ss✐❜❧❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r Kα

β t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❛❧❧ t❤❡s❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

K_βα =₋1 2

(Cγm)α(γmλ)β

C·λ , ✭✷✳✷✵✮

✇❤❡r❡ Cα ✐s ❛❧s♦ ❛ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❛♥❞ Kβα ❞❡♣❡♥❞s r❡❝✉rs✐✈❡❧② ♦♥ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ✇❤✐❝❤ ✐s

❜❡✐♥❣ ♣r♦❥❡❝t❡❞✱ ✇❤✐❝❤ str✐❝t❧② s♣❡❛❦✐♥❣ ♠❛❦❡ ✐t ♥♦t ❛ ♣r♦❥❡❝t♦r✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ❡♥♦✉❣❤ ❢♦r t❤❡ ♣r❡s❡♥t ♣✉r♣♦s❡✳

❚❤❡ ♥❡①t st❡♣ ✐s t♦ ❛ss♦❝✐❛t❡ Ωa t♦ t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ωα ♦❢ λα✳ ❈❧ ❡❛r❧ ② t❤✐s ✐s ♥♦t ❛

tr✐✈✐❛❧r❡❧❛t✐♦♥✱ ❛sλα _{✐s ❝♦♥str❛✐♥❡❞✳ ❚♦ ❛❝❦♥♦✇❧❡❞❣❡ t❤✐s✱ ♥♦t❡ t❤❛t ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ▲♦r❡♥t③}

✐♥✈❛r✐❛♥t ❛❝t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❣❤♦st s❡❝t♦r✱

Sλ =

1 2π

ˆ

d2zωα∂λ¯ α

✾

❤❛s t❤❡ ❣❛✉❣❡ s②♠♠❡tr②

δǫωα =ǫm(γmλ)α. ✭✷✳✷✷✮

■t ✐s ♥♦✇ str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ ❛♥ ❖P❊ ❜❡t✇❡❡♥ λα _=Pα

βΛβ ❛♥❞ Ωβ ∼ωβ✱

λα_(z)ω

β(y)∼

1

z−y

δα β −

1 2

(Cγm)α(γmλ)_β

C·λ

. ✭✷✳✷✸✮

❆s ❛ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ❝❤❡❝❦✱ ♥♦t❡ t❤❛t ωα ❤❛s ♥♦ ♣♦❧❡s ✇✐t❤ λγmλ✳ ❚❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣ ♦❢ Cα ✐s ♥♦t

❝❧❡❛r ✐♥ t❤✐s ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ tr♦✉❜❧❡s♦♠❡✱ s✐♥❝❡ ✐t ❜r❡❛❦s ▲♦r❡♥t③s②♠♠❡tr②✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐t ✐s ❞✐r❡❝t❧② r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❣❛✉❣❡ ✜①✐♥❣ ♦❢ ωα✳ ❋♦r ❛ s✐♠♣❧❡

❡①❛♠♣❧❡ ♦♥ t❤❛t s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ❇✳✸ ♦❢ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✳

❚❤❡ s✐♠♣❧❡st ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t q✉❛♥t✐t✐❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ♦✉t ♦❢ ωα ❛r❡

Tλ =−ω∂λ, Nmn=−1₂ωγmnλ, Jλ =−ωλ,

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✱ t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r✱ t❤❡ ▲♦r❡♥t③❝✉rr❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❣❤♦st ♥✉♠❜❡r ❝✉rr❡♥t✳

❉✉❡ t♦ t❤❡ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t✱ t❤❡r❡ ♠✐❣❤t ❜❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ t❤❡✐r q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥✱ s✉❝❤ ❛s∂2_{ln (Cλ)❢♦rT}

λ ♦r∂ln (Cλ)❢♦r t❤❡ ❣❤♦st

♥✉♠❜❡r ❝✉rr❡♥t✶_{✳ ❲✐t❤♦✉t ❦♥♦✇✐♥❣ t❤❡s❡ ♦r❞❡r✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ♦♥❡ ❝❛♥ ❞❡t❡r♠✐♥❡✱ ❢♦r}

❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❝❤❛r❣❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ t❤❛t ✐s ❞✐r❡❝t❧② r❡❛❞ ❢r♦♠ t❤❡ q✉❛rt✐❝ ♣♦❧❡ ✐♥ t❤❡ ❖P❊ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r ✇✐t❤ ✐ts❡❧❢✱

Tλ(z)Tλ(y)∼

cλ/2

(z₋y)4 +. . .

⇒cλ = 2

δ_βα− 1

2

(Cγm)α(γmλ)_β

C_·λ δ

β α−

1 2

(Cγn)β(γnλ)α

C_·λ

= 22, ✭✷✳✷✹✮

✇❤✐❝❤ ♣r❡❝✐s❡❧② ❝❛♥❝❡❧s t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ♠❛tt❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r②✱ ❡q✉❛✲ t✐♦♥ ✭✷✳✶✶✮✳ ▼♦r❡ t❤❛♥ t❤❛t✱ t❤✐s r❡s✉❧t ❣✐✈❡s ❛ ❤✐♥t ♦♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠✲ ♣♦♥❡♥ts ♦❢ λα_{✿ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t ✭✷✳✶✺✮ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ♦♥❧② 11 ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ λ}α

❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t✳

✶_{❚❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❦♥♦✇♥ ❛s ❨✲❋♦r♠❛❧✐s♠ ❬✶✻✱ ✾❪✿ ❛ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ✈❛r✐❛❜❧❡ Yα=} Cα

Cλ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛♥❞ ❛❧❧ t❤❡

✶✵

■♥st❡❛❞ ♦❢ ✇♦r❦✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✈❛r✐❛❜❧❡ λα _{❛♥❞ ✐ts ♠❡ss② ❖P❊✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡}

t♦ ✉s❡ ♦♥❧② ❢r❡❡ ✜❡❧❞s✳ ❖♥❡ ✇❛② ♦❢ ❞♦✐♥❣ t❤✐s ✐s t❤r♦✉❣❤ t❤❡ U(5) ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ SO(10) s♣✐♥♦rs✱ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐♥ ❬✶❪✳ ❚❤✐s

❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐① ✇✐t❤ ❛ ❢r❡❡✲✜❡❧❞ ♣❛r❛♠❡tr✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r λα _{❛♥❞ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦st ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ❜❡❧♦✇✳}

❋♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ t❤❡ ❢✉❧❧ s❡t ♦❢ ❖P❊✬s ♦❢ t❤❡ ❣❤♦st s❡❝t♦r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

Tλ(z)Tλ(y) ∼ _(z−11_y)4 + 2

Tλ (z−y)2 +

∂Tλ

(z−y), Tλ(z)λ

α_{(y) ∼} ∂λα (z−y),

Tλ(z)Jλ(y) ∼ _(z−8_y)3 + _(zJλ

−y)2 +

∂Jλ

(z−y), Jλ(z)λ

α_{(y) ∼} λα (z−y),

Tλ(z)Nmn(y) ∼ N

mn (z−y)2 +

∂Nmn (z−y), N

mn_(z)λα_{(y) ∼} 1 2

(γmn_λ)α (z−y) ,

Nmn_(z)J

λ(y) ∼ r❡❣✉❧❛r, Jλ(z)Jλ(y) ∼ −_(z−4_y)2,

Nmn(z)Npq(y) ∼ 6η

m[p_ηq]n

(z₋y)2 + 2

ηm[q_Np]n_+ηn[p_Nq]m

(z₋y) .

◆❡①t s❡❝t✐♦♥ ♣r❡s❡♥ts ❛ ❜❛s✐❝ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s✉✲ ♣❡rstr✐♥❣✳

✷✳✸ P✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②

❍❛✈✐♥❣ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❣❤♦st ✜❡❧❞s✱ ✐t ✐s ♥♦✇ t✐♠❡ t♦ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❇❘❙❚ ❝❤❛r❣❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✳✶✸✮ ❛♥❞ ✐ts ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✳

❚❤❡ ✜rst ✉♥❝♦♥✈❡♥t✐♦♥❛❧ t❤✐♥❣ t♦ ❜❡ ♥♦t❡❞ ✐s t❤❛t ✐t ❝♦♥t❛✐♥s ♠♦r❡ t❤❛♥ t❤❡ ✭✇♦✉❧❞ ❜❡✮ 8 ✜rst ❝❧❛ss ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ t❤❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③ s✉♣❡rstr✐♥❣✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r λα

❤❛s ❡❧❡✈❡♥ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳

❆♥♦t❤❡r ❢❛❝t t❤❛t ✐s ✇♦rt❤ ♠❡♥t✐♦♥✐♥❣ ✐s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ξ = Cθ_Cλ✳ ◆♦t❡

t❤❛t {Q, ξ} = 1 ❢♦r ❛♥② ❝♦♥st❛♥t s♣✐♥♦r Cα✳ ❙✉❝❤ ❛♥ ♦♣❡r❛t♦r ✐s ♣♦t❡♥t✐❛❧❧② ❞❛♥❣❡r♦✉s

❛s ✐t tr✐✈✐❛❧✐③❡s t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ❇❘❙❚ ❧✐❦❡ ❝❤❛r❣❡✿ ❛♥② ❇❘❙❚✲❝❧♦s❡❞ ♦♣❡r❛t♦r O✱

✶✶

✐♥✈❡rs❡ ♣♦✇❡rs ♦❢ λα_{✳ ■♥ t❤❡ ❘◆❙ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ξ ❧❡❞ t♦ t❤❡}

✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ s♠❛❧❧ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❛♥❞ ♣✐❝t✉r❡ ❝❤❛♥❣✐♥❣ ♦♣❡r❛t♦rs ❬✺❪✳ P❤②s✐❝❛❧ st❛t❡s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❣❤♦st ♥✉♠❜❡r 1❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ ✭✷✳✶✸✮ ❛♥❞

t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❛ ❜✐t ♠♦r❡ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s✉♣❡rstr✐♥❣ s♣❡❝tr✉♠✱ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ❝❛s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐❧s✳

❚❤❡ ✉♥✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♠❛ss❧❡ss ✈❡rt❡① ♦♣❡r❛t♦r ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

U0 =λαAα(X, θ). ✭✷✳✷✺✮

❆s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤t ✜❡❧❞ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡✷_✱A

α ❝♦♥t❛✐♥s ♦♥❧② t❤❡ ③❡r♦ ♠♦❞❡s

♦❢ t❤❡ ♠❛tt❡r ✜❡❧❞s ✭t❤❛t ✐s ♦♥❧② Xm _{❛♥❞ θ}α_{✱ ♥♦t t❤❡✐r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✮✳}

❚❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r U0 t♦ ❜❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ ❇❘❙❚ ❝❤❛r❣❡ ✐s t❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢

{Q, U0}=λαλβDαAβ, ✭✷✳✷✻✮

✇❤❡r❡ Dα ✇❛s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✷✳✾✮✳ ❚❤❡ ❋✐❡r③ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣r♦❞✉❝t λαλβ

✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

λαλβ = 1 16(λγ

m_λ)γαβ

m +

1 5!_·32(λγ

mnpqr_λ)γαβ

mnpqr, ✭✷✳✷✼✮

✇❤❡r❡ t❤❡ 3✲❢♦r♠ ✈❛♥✐s❤❡s ❜❡❝❛✉s❡ γmnp _{✐s ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ✐♥ t❤❡ s♣✐♥♦r ✐♥❞✐❝❡s✳ ❚❤❡ ✜rst}

t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✈❛♥✐s❤❡s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦❢ ✭✷✳✷✻✮ ✐♠♣❧✐❡s

(DγmnpqrA) = 0, ✭✷✳✷✽✮

✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉♣❡r ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s✉♣❡r✜❡❧❞

Aα ❬✶✼❪✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♠❛ss❧❡ss s✉♣❡rstr✐♥❣ s♣❡❝tr✉♠✳

❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♣t❡r✱ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛ss❧❡ss ✈❡rt❡① ♦♣❡r❛t♦r ❝❧♦s❡❧② r❡s❡♠❜❧❡s t❤❡ ♦♥❡ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❙✐❡❣❡❧ ✐♥ ❬✶✹❪❛♥❞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

V0 =

˛

{ΠmAm+∂θαAα+dαWα+NmnFmn}, ✭✷✳✷✾✮

✷_{■♥ ❢❛❝t✱ ❛♥ ❛rt✐✜❝✐❛❧ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❤❛s ❜❡❡♥ r❡❝❡♥t❧② ♣r♦♣♦s❡❞ ❢♦r ❛ −1 ❝♦♥❢♦r♠❛❧ ✇❡✐❣❤t ❝♦♠♣♦s✐t❡}

✶✷

✇❤❡r❡

Am ≡

1 8

DαγmαβAβ

, ✭✷✳✸✵❛✮

(γmW)_α ≡ (DαAm−∂mAα), ✭✷✳✸✵❜✮

Fmn ≡

1

2(∂mAn−∂nAm) ✭✷✳✸✵❝✮ = 1

16(γmn)

α

βDαW β_,

❛r❡ t❤❡ ✉s✉❛❧ s✉♣❡r✜❡❧❞s ❜✉✐❧t ♦✉t ♦❢ Aα✳ ❇❘❙❚✲❝❧♦s❡❞♥❡ss ♦❢ V ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ ❞❡✲

♠♦♥str❛t❡ ❛♥❞ [Q, V0]✈❛♥✐s❤❡s ✉♣ t♦ ❛ s✉r❢❛❝❡ t❡r♠❛❢t❡r ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥t

❛♥❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✭✷✳✷✽✮✳

❚❤❡ ♠❛ss✐✈❡ s♣❡❝tr✉♠ ✐s ♠✉❝❤ ❤❛r❞❡r t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ t❤✐s ❝♦✈❛r✐❛♥t ❢❛s❤✐♦♥✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ✉♥✐♥t❡❣r❛t❡❞ ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠❛ss✐✈❡ ❧❡✈❡❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

U1 = ∂λαAα(X, θ) +λα∂θβBαβ(X, θ) +λαdβCαβ(X, θ)

+λαΠmCαm(X, θ) +λαNmnDαmn(X, θ) +λαJλEα(X, θ). ✭✷✳✸✶✮

❇❘❙❚✲❝❧♦s❡❞♥❡ss ✇✐❧❧ ✐♠♣♦s❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♠♦♥❣ ❛❧❧ t❤❡ s✉♣❡r✜❡❧❞s ♣r❡s❡♥t ✐♥U1 ❬✶✽❪✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ ❤✐❣❤❡r ♠❛ss✐✈❡ ❧❡✈❡❧s ✇✐❧❧ ✐♥✈♦❧✈❡ ♠♦r❡ s✉♣❡r✜❡❧❞s

❛♥❞ ❝♦♥str❛✐♥ts ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ s❡❛r❝❤ ❢♦r ❛ ❢✉❧❧ s✉♣❡rs♣❛❝❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❡❝tr✉♠ ❛❧♠♦st ✐♠♣♦ss✐❜❧❡✳ ■❢ t❤✐s ✐s s♦✱ ✐t ❝♦✉❧❞ ❜❡ ❛s❦❡❞ ❤♦✇ ♦♥❡ ❦♥♦✇s t❤❛t t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s✉♣❡rstr✐♥❣ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ ❡✈❡♥ ❛t t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣✐❝❛❧ ❧❡✈❡❧✳ ❚❤✐s ✐s ❛ q✉❡st✐♦♥ t❤❛t ❤❛s ❜❡❡♥ ❛❞❞r❡ss❡❞ ❧♦♥❣ ❛❣♦ ❛♥❞ ♣r♦♦❢ t❤❛t t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❧✐❣❤t✲❝♦♥❡ ●r❡❡♥✲❙❝❤✇❛r③ s♣❡❝tr✉♠✇❛s ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ ❬✶✾❪ t❤r♦✉❣❤ ❛ ❝♦♠♣❧✐❝❛t❡❞ ♣r♦❝❡❞✉r❡✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇❛s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ SO(8)

✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❣❤♦st✲❢♦r✲❣❤♦sts✳ ▲❛t❡r✱ t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s♣❡❝tr✉♠ ✇✐t❤ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ s✉♣❡rstr✐♥❣ ❢♦r♠❛❧✐s♠s ✇❛s ❞❡♠♦♥str❛t❡❞ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t ✇❛②s ❬✷✵✱ ✷✶❪✱ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ✜❡❧❞ r❡❞❡✜♥✐t✐♦♥s ❛♥❞ s✐♠✐❧❛r✐t② tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✱ ❜✉t ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t s✉♣❡r✜❡❧❞ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❛ss✐✈❡ st❛t❡s ✇❛s st✐❧❧ ❧❛❝❦✐♥❣✳ ❘❡❝❡♥t❧②✱ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ s♣❡❝tr✉♠❣❡♥❡r❛t✐♥❣ ❛❧❣❡❜r❛ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞✱ ❡♥❛❜❧✐♥❣ ❛ s②st❡♠❛t✐❝ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s♣❡❝tr✉♠✐♥ t❡r♠s ♦❢ SO(8)✲❝♦✈❛r✐❛♥t s✉♣❡r✜❡❧❞s ❬✷✷❪✳ ■♥ ❛ s❡♣❛r❛t❡

✶✸

❉❉❋✲♦♣❡r❛t♦rs✸_{✱ ✉♣ t♦ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❇❘❙❚✲❡①❛❝t ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✳}

◆❡①t s❡❝t✐♦♥ ✇✐❧❧ ♣r❡s❡♥t t❤❡ ♥♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠✳ ❆s ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞✱ t❤❡s❡ ❡①tr❛ ✜❡❧❞s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ t❤❡ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣②✱ ❜✉t ❛r❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✐♥❣r❡❞✐❡♥ts ✐♥ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ b ❣❤♦st✳

✷✳✹ ◆♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❚❤❡ ♥♦♥ ♠✐♥✐♠❛❧ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠ ✐♥❝❧✉❞❡s ❛ ♥❡✇ s❡t ♦❢ ❣❤♦sts✱

λα, rα

✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❡r ✐s ❛❧s♦ ❛ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r✱ t❤❛t ✐s

λγmλ = 0, ✭✷✳✸✷✮

✇❤❡r❡❛s t❤❡ ❧❛tt❡r ✐s ❛ ❢❡r♠✐♦♥✐❝ s♣✐♥♦r ❝♦♥str❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤

λγmr = 0. ✭✷✳✸✸✮

❇♦t❤ ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♠♣❧② t❤❛t t❤❡r❡ ❛r❡ ♦♥❧② 11 ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐♥ ❡❛❝❤ s♣✐♥♦r✳

❚❤❡✐r ❝♦♥❥✉❣❛t❡s ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② (ωα_{, s}α_{) ❛♥❞ ❛r❡ ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❜②}

δǫ,φω¯α = ǫm

γm¯λ

α

+φm(γmr)α,

δφsα = φm

γmλ¯

α

. ✭✷✳✸✹✮

■♥ ❛ str❛✐❣❤t ❛♥❛❧♦❣② ✇✐t❤ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❖P❊✬s

λβ(z)ωα(y)∼

1

z₋y

δ_βα−1

2

λγm

α

γm_C β

λ·C

, ✭✷✳✸✺✮

❛♥❞

rβ(z)sα(y)∼

1

z−y

δα β −

1 2

λγm

α

γm_C β

λ·C

. ✭✷✳✸✻✮

✸_{❚❤❡ ❉❉❋ ♦♣❡r❛t♦rs ✇❡r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬✷✹❪ ❢♦r t❤❡ ❜♦s♦♥✐❝ str✐♥❣✳ ■t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♠❡♥t✐♦♥}

✶✹

❍❡r❡✱ Cα ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ♣✉r❡ s♣✐♥♦r✳ ❉✉❡ t♦ ✭✷✳✸✸✮✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡①♣❡❝t ❛ ♥♦♥ tr✐✈✐❛❧ ❖P❊

❜❡t✇❡❡♥ r ❛♥❞ ω✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ t♦ s❤♦✇ t❤❛t✿

rβ(z)ωα(y)∼

1

z₋y

1 2

r·C

λγm

α

γm_C β

λ·C2 −

1 2

(rγm)α

γm_C β

λ·C

. ✭✷✳✸✼✮

❆❧❧ ♦❢ t❤❡s❡ r❡❧❛t✐♦♥s ✇❡r❡ ♣♦st✉❧❛t❡❞ ✐♥ ❬✾❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡② ✇❡r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ r❡q✉✐r✐♥❣ λγm_r❛♥❞

λγm_{λ t♦ ❜❡ r❡❣✉❧❛r ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ω}α _{❛♥❞ s}α_✳

❚❤❡r❡ ❛r❡ s❡✈❡r❛❧ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t q✉❛♥t✐t✐❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ ❜✉✐❧t ♦✉t ♦❢ ωα _{❛♥❞ s}α_✳

Nmn = 1₂λγ¯ mn_ω¯−rγmn_s,

J¯_λ =−λ¯ω,¯ T_λ¯ =−ω∂¯ ¯λ−s∂r, Φ =rω,¯

S=λs, Smn ₌ 1

2λγ¯ mns, Jr =rs.

✭✷✳✸✽✮

❍❡r❡✱ Nmn ✐s t❤❡ ▲♦r❡♥t③ ❣❡♥❡r❛t♦r✱ T_λ ✐s t❤❡ ❡♥❡r❣②✲♠♦♠❡♥t✉♠ t❡♥s♦r✱ ❛♥❞ J_λ¯ ❛♥❞ Jr

❛r❡ t❤❡ ❣❤♦st ♥✉♠❜❡r ❝✉rr❡♥ts✳ ❚❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♦❜❥❡❝ts ❛r❡ s✉❜❥❡❝t t♦ ♦r❞❡r✐♥❣ ❡✛❡❝ts✳ ❆❣❛✐♥✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✇♦r❦✐♥❣ ✇✐t❤ ✭✷✳✸✺✮✱ ✭✷✳✸✻✮ ❛♥❞ ✭✷✳✸✼✮✱ ✐t ✐s ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ✉s❡ t❤❡ ❢r❡❡ ✜❡❧❞s ❝♦♠✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ✉s✉❛❧ U(5) ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥✳ ❆❧❧ ♦❢ t❤❡

♦r❞❡r✐♥❣ ❡✛❡❝ts t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ r❡❧❡✈❛♥t ❖P❊✬s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ❇✳✸✳ ❚❤❡ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿

T_λ(z)T_λ(y) ∼ 2 Tλ (z−y)2 +

∂T_λ

(z−y), N

mn

(z)T_λ(y) ∼ Nmn

(z−y)2,

J_λ¯(z)T_λ(y) ∼ − 11 (z−y)3 +

J_λ

(z−y)2, S

mn_(z)T

λ(y) ∼ S

mn (z−y)2,

Jr(z)Tλ(y) ∼ _(z−11_y)3 + _(zJr

−y)2, Φ (z)Tλ(y) ∼ Φ (z−y)2,

Φ (z)S(y) ∼ − 8 (z−y)2 −

J_λ+Jr

(z−y), S(z)Tλ(y) ∼ _(z−S_y)2,

T_λ(z)rα(y) ∼ _(z∂r₋α_y), Tλ(z)λα(y) ∼ ₍∂λ_z−α_y),

Φ (z)λα(y) ∼ −_(zr₋α_y), Φ (z)Smn(y) ∼ N

mn (z−y),

Φ (z) Φ (y) _∼ r❡❣✉❧❛r, Nmn(z)J_λ¯(y) ∼ r❡❣✉❧❛r,

✶✺

J_λ¯(z)J¯_λ(y) ∼ −_(z 5

−y)2, J¯λ(z)Jr(y) ∼ − 3 (z−y)2,

Nmn(z)Jr(y) ∼ r❡❣✉❧❛r, N mn

(z)S(y) _∼ r❡❣✉❧❛r, Nmn(z)λα(y) ∼ −1₂(

λγmn₎ α

(z−y) , Jr(z)Jr(y) ∼ 11 (z−y)2,

Nmn(z)rα(y) ∼ −1₂(rγ

mn₎ α

(z−y) , J¯λ(z)λα(y) ∼ _(zλ₋α_y),

Jr(z)rα(y) ∼ ₍r_zα₋(y_y)₎, J_λ¯(z)rα(y) ∼ r❡❣✉❧❛r,

Jr(z)λα(y) ∼ r❡❣✉❧❛r.

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(λαdα+ Φ)

JBRST(z)

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λ, ω, r, s✱❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ q✉❛rt❡t ❛r❣✉♠❡♥t✱❛♥❞ t❤❡r❡ ✐s ❛ st❛t❡ ξt❤❛t tr✐✈✐❛❧✐③❡s

✐t✱

ξ = λ·θ

λ·λ−r·θ, {Q, ξ}= 1.

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t❡r♠s ♦❢ r_·θ✳ ❇❡s✐❞❡s✱ rα ❤❛s ♦♥❧② 11 ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t

ξ= λ·θ

λ·λ

11

n=0

r_·θ λ·λ

n

.

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♣♦✇❡rs ♦❢ λλ✳

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Bτ = ˆ

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{Q, b}=T, ✭✸✳✷✮

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✶✽

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❜✉✐❧❞ ❛♥ ❛♠♣❧✐t✉❞❡ ♣r❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r s✉♣❡rstr✐♥❣ t❤❛t ❤❛s t❤❡ ♥✐❝❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠s✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❤❛✈❡ ❛ ✜❡❧❞ ❛❝t✐♥❣ ❛s ❛ b ❣❤♦st✱ ❛s t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♦♥❡✳

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✸✳✶ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥

❆s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥✐t✐❛❧❧② ✐♥ ❬✻❪❢♦r t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❛♥❞ ❡①t❡♥❞❡❞ ✐♥ ❬✼❪t♦ t❤❡ ♥♦♥✲♠✐♥✐♠❛❧ ♣✉r❡ s♣✐♥♦r ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ b ❣❤♦st ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs

s❛t✐s❢②✐♥❣ s♦♠❡ s♣❡❝✐❛❧ r❡❧❛t✐♦♥s✱ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ r❡✈✐❡✇❡❞ ❜❡❧♦✇✳

■♥ t❤❡ ♠✐♥✐♠❛❧ ❢♦r♠❛❧✐s♠✱ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♥❛t✉r❛❧ st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ❇❘❙❚ ❝❤❛r❣❡ ❝♦♥t❛✐♥sλα_p

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❝❛♥ ❡①♣❡❝t t❤❛t

b_❝❧ =−ωα∂θα+· · ·

❚❤❡ s✉❜s❝r✐♣t ❝❧ ♠❡❛♥s t❤❛t ♦♥❧② ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❝♦♠♠✉t❛t✐♦♥ r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❜❡✐♥❣ ✉s❡❞ ✭♥♦ q✉❛♥t✉♠ ♦r❞❡r✐♥❣ ❡✛❡❝ts✱ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ❞❡❛❧t ✇✐t❤ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s✉❜s❡❝t✐♦♥✮ ❛♥❞ t❤❡ . . .

st❛♥❞ ❢♦r ♣♦ss✐❜❧❡ ❡①tr❛ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s✱ ❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞✳

❆❧t❤♦✉❣❤ s✐♠♣❧❡✱ t❤✐s t❡r♠ ❤❛s ♥♦t t❤❡ ωα ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✭✐♥ ❣❛✉❣❡ ✜①✐♥❣ ✐t✱ s♦♠❡

♦❢ t❤❡ ∂θα _{❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❞❡❝♦✉♣❧❡✮✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❞✐r❡❝t❧② s❡❡♥ ❢r♦♠ ✭✷✳✷✸✮ t❤❛t ♦♥❡ ❝❛♥ ❜✉✐❧❞}

❛ ♥♦♥ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r♠ ♦❢ ωα ❬✶✻❪✱ ❣✐✈❡♥ ❜②

˜

ωα(C) = ωα−

(ωγmC) (γmλ)_α

2Cλ .

■♥s❡rt✐♥❣ ✐t ✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ b_❝❧ ❛❜♦✈❡✱

b_❝❧ = ₋ω˜α∂θα+. . .

= −1

4Nmn

(Cγmn_∂θ)

Cλ −

1 4J

(C∂θ)

Cλ +. . .

✇❤❡r❡✱ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❧✐♥❡✱ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✭❆✳✸✮ ✇❛s ✉s❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t✳ ❚❤❡ . . .st❛♥❞ ❢♦r ❛ t❡r♠ r❡❧❛t❡❞ t♦ Xm_{✱ t❤❛t ❝❧♦s❡s t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥}